chuyên đề tích phân- lê bá trần phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
LỚP TOÁN VB2-K2



























LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 05. Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -





1
( 1)( 2)( 3)( 4)x x x x
I dx
xx
   



2
I 
73
25
x
dx
x




2
3
3 7 5
2
xx
I dx
x





4
I 
32
2 5 7 10
1
x x x
dx
x
  



2
5
4 9 10
21
xx
I dx

x





6
2
1
x
I dx
xx




7
( 2)( 5)
dx
I
xx




ln2
8
0
1
1

x
x
e
I dx
e





 
2
1
9
2
0
1
1
x
x
e dx
I
e





10
1

1 ln
e
x
I dx
x







Giáo viên : Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn
BÀI 1. LÝ THUYẾT CHUNG TÍNH TÍCH PHÂN
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Lý thuyết chung tính tích phân thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến
thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Lý thuyết chung tính tích phân. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 05. Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -

1
( 1)( 2)( 3)( 4)x x x x
I dx
xx
   



Giải:
4 3 2
1
3
2
5 3 1 1 3 7 5 3 1 1
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
( 1)( 2)( 3)( 4) 10 35 50 24
2 70
10 35 50 24 4 100 48
73
x x x x x x x x
I dx dx
xx
x
x x x x x dx x x x x x C
  
       


          






2
I 
73
25
x
dx
x




Giải:
2
7 3 7 41 7 41
ln 2 5
2 5 2 2(2 5) 2 4
x
I dx dx x x C
xx


      





2
3
3 7 5
2
xx
I dx
x





Giải:
2
2
3
3 7 5 3 3
3 1 3ln 2
2 2 2
xx
I dx x dx x x x C
xx


        







4
I 
32
2 5 7 10
1
x x x
dx
x
  



Giải:
32
2 3 2
4
2 5 7 10 6 2 3
2 3 4 4 6ln 1
1 1 3 2
x x x
I dx x x dx x x x x C
xx
  

          







2
5
4 9 10
21
xx
I dx
x





Giải:
2
5
4 9 10
21
xx
I dx
x




2
7 13 7 13

2 ln 2 1
2 2(2 1) 2 4
x dx x x x C
x

       






BÀI 1. LÝ THUYẾT CHUNG TÍNH TÍCH PHÂN
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Lý thuyết chung tính tích phân thuộc khóa học
LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến
thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Lý thuyết chung tính tích phân. Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học
trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 05. Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


6
2
1

x
I dx
xx





Giải:

6
2
1
x
I dx
xx





2 2 2
11x x x dx x dx x x dx     
  

 
3
2 2 2 3 2
2
11

( 1) 1 1
33
x dx x d x x x C       



7
( 2)( 5)
dx
I
xx





Giải:
7
1 1 1 1 2
ln
( 2)( 5) 7 2 5 7 5
dx x
I dx C
x x x x x


    

    





ln2
8
0
1
1
x
x
e
I dx
e





Giải:
 
 
ln2 ln2 ln2
8
0 0 0
1
ln2
12
1 ln2 2ln 1 ln18
0
1 1 1

x
xx
x
x x x
de
ee
I dx dx e
e e e



        

  

  


 
2
1
9
2
0
1
1
x
x
e dx
I

e





Giải:

 
2
1 1 1 1
9
2 2 2
0 0 0 0
1
1
2
1 2 1 2 tan 1 2 tan
0
1 1 1 2
x
xx
x
x x x
e dx
e de
I dx dx acr e acr e
e e e




         

  

   


10
1
1 ln
e
x
I dx
x




Giải:

 
13
22
10
11
1 ln 2 2
(1 ln ) (1 ln ) (1 ln ) 2 2 1
1
33

ee
e
x
I dx x d x x
x

       



Giáo viên : Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn : Hocmai.vn
Khóa học LTðH môn To án – Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phâ n
Ho cmai.vn – Ngôi trườn g chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58 -58-12
- Trang | 1
-
A. CÁC CÔNG THỨC TÍNH ðẠO HÀM
1.
( )' 0
C
=
2.
( )' 1
x
=
3.
( )'
Cx C

=
4.
1
( )'
x x
α α
α
−
=

1
( )'
u u
α α
α
−
=

5.
'
2
1 1
x x
 
= −
 
 
'
2
1 '

u
u u
 
= −
 
 
6.
(
)
'
1
2
x
x
=

(
)
'
'
2
u
u
u
=

7.
( )
'
sin cos

x x
=
( )
'
sin '.cos
u u u
=

8.
( )
'
cos sin
x x
= −
( )
'
cos '.sin
u u u
= −
9.
( )
'
2
1
tan
os
x
c x
=
( )

'
2
'
tan
os
u
u
c u
=
10.
( )
'
2
1
cot
sin
x
x
= −
( )
'
2
'
cot
sin
u
u
u
= −
11.

(
)
'
ln
x x
a a a
=
(
)
'
'. ln
u u
a u a a
=
12.
(
)
'
x x
e e
=
(
)
'
'.
u u
e u e
=
13.
( )

( )
'
'
1
l og l og
l n
a a
x x
x a
= =

LÝ THUYẾT CHUNG TÍNH TÍCH PHÂN
TÀI LIỆU BÀI GIẢ NG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Khóa học LTðH

môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phâ n
Ho cmai.vn – Ngôi trườn g chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58 -58-12
- Trang | 2
-
( )
( )
'
'
'
l og l og
.l n
a a

u
u u
u a
= =

14.
( )
( )
'
'
1
l n lnx x
x
= =
( )
( )
'
'
'
l n l n
u
u u
u
= =
15.
[
]
'
' ' '
1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
f x f x f x f x f x f x
± ± ± = ± ± ±
16.
[
]
'
( ). ( ) ' ( ). ( ) ' ( ). ( )
u x v x u x v x v x u x
= +
17.
'
2
( ) ' ( ). ( ) ' ( ). ( )
( ) ( )
u x u x v x v x u x
v x v x
 
−
=
 
 
Chú ý:
Với u là hàm của
x
.
B. BẢNG TÍCH PHÂN CƠ BẢN
1. 0
dx C

=
∫
2.
dx x C
= +
∫
3.
1
; 1
1
x
x dx C
α
α
α
α
+
= + ≠ −
+
∫

1
; 1
1
u
u du C
α
α
α
α

+
= + ≠ −
+
∫

4.
l n
dx
x C
x
= +
∫

l n
du
u C
u
= +
∫

5.
x x
e dx e C
= +
∫
u u
e du e C
= +
∫
6.

l n
x
x
a
a dx C
a
= +
∫

l n
u
u
a
a du C
a
= +
∫

7. cos sin
xdx x C
= +
∫
cos sin
udu u C
= +
∫
8. sin cos
xdx x C
= − +
∫

sin cos
udu u C
= − +
∫
9.
2
1
tan
os
dx x C
c x
= +
∫

2
1
tan
os
du u C
c u
= +
∫

Khóa học LTðH môn Toán – Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phâ n
Ho cmai.vn – Ngôi trườn g chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn: 1900 58 -58-12
- Trang | 3
-
10.

2
cot
sin
dx
x C
x
= − +
∫

2
cot
sin
du
u C
u
= − +
∫

C. TÍCH PHÂN X ÁC ðỊNH
I. Công thức:

( ) ( ) ( ) ( )
b
a
b
f x dx F xF b F a
a
= = −
∫
Ví dụ:

3
4
1 3
os2 1
2 2
c xdx
π
π
 
= −
 
 
∫

l n5
3
l n3
98
3
x
e dx =
∫

II. Tính ch ất:
( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx
+ = −
∫ ∫

( ) ( )
b b
a a
kf x dx k f x dx
+ =
∫ ∫

( )
1 2 1 2
( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ( )
b b b b
n n
a a a a
f x f x f x dx f x dx f x dx f x dx
+ + + + = + + +
∫ ∫ ∫ ∫

+ Nếu
[
]
;
a b
α
∈
thì
( ) ( ) ( )
b b
a a
f x dx f x dx f x dx

α
α
= +
∫ ∫ ∫

III. BA KỸ NĂNG CƠ BẢN KHI TÍNH TÍCH PHÂN.
a) Kỹ n ăng ñưa vào dấu vi ph ân
.
Chú ý:
[
]
( ) ' ( )
d f x f x dx
=

( )
dx d x C
= ±
Ví dụ:
2
1
(l n os3 ) 2l n . 3sin 3
d x c x x x dx
x
 
+ + = −
 
 
(
)

(
)
5 2 5
3 2 5. 6
x x
d e x e x dx
+ − + = −
( )
1
3 3
2
dx d x x
x
 
+ + = +
 
 
( )
1
l n
dx d x
x
+ =
Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocm ai.vn

Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1. Tính tích phân:
3
2
0
4sin
1 cos
x
dx
x



Bài 2. Tính tích phân:
1
2
0
1
x
x
e
dx
e 

Bài 3. Tính tích phân:
4
sin
0
(tan cos )

x
x e x dx



Bài 4. Tính tích phân:
3
2
0
4sin
1 cos
x
dx
x



Bài 5. Tính tích phân:
ln3
0
2
x
dx
e 

Bài 6. Tính tích phân:
 
2
32
0

os 1 os .I c x c x dx



Giáo viên: Lê Bá Trần P hƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1. Tính tích phân:
3
2
0
4sin
1 cos
x
dx
x



Hƣớng dẫn giải:
 
32

22
00
4sin 4sin
cos
1 cos 1 cos
xx
dx d x
xx




   
2
2
2
0
0
cos
4 1 cos cos 4 cos 2
2
x
x d x x



      




Bài 2. Tính tích phân:
1
2
0
1
x
x
e
dx
e 

Hƣớng dẫn giải:
   
1 1 1
2
0 0 0
1
11
1 1 1
xx
x x x
x x x
ee
dx d e e d e
e e e

    

  


  
   
 
1
31
22
0
22
1 2 1 1 2
33
xx
e e e e

      


Bài 3. Tính tích phân:
4
sin
0
(tan cos )
x
x e x dx



Hƣớng dẫn giải:
4 4 4
sin sin
0 0 0

sin
(tan cos ) cos
cos
xx
x
x e x dx dx e xdx
x
  
  
  
 
4
2
sin sin
4
42
0
0
0
2 ln2
lncos ln 1
22
xx
x d e e e



        

Bài 4. Tính tích phân:

3
2
0
4sin
1 cos
x
dx
x



Hƣớng dẫn giải:
3
2
0
4sin
1 co s
x
I dx
x




CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 1)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -

   
33
2
2
0
4sin 4sin (1 cos )
4sin 4sin cos 4sin 2sin 2
1 cos sin
4sin 2sin 2 cos2 4cos 2
2
0
x x x
x x x x x
xx
I x x dx x x



    

     

Bài 5. Tính tích phân:
ln3
0
2

x
dx
e 

Hƣớng dẫn giải:
 
 
 
ln3 ln3 ln3
0 0 0
1 1 1
2 2 2
2
x
x
x x x
xx
de
dx
de
e e e
ee

  




  
ln3

0
1 1 3 1 1 6
ln ln ln ln
2 2 2 5 2 2 5
x
x
e
e

   



Bài 6. Tính tích phân:
 
2
32
0
os 1 os .I c x c xdx



Hƣớng dẫn giải:
I =
22
52
00
os . os .c xdx c x dx




Ta có: I
2
=
22
2
00
1
os . (1 os2x).dx
2
c x dx c



=
11
sin 2
2
2 2 4
0
xx






Mặt khác xét I
1
=

22
54
00
os . os . osx.c x dx c xc dx



=
3
2
2 2 5
0
1 2sin 8
(1 sin ) (sin ) sin sin
2
5 3 15
0
x
x d x x x



    



Vậy I = I
1
– I
2

=
8
15 4


Giáo viên: Lê Bá Trần P hƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 05. Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -





Ví dụ 1. ĐHKB 2003: Tính tích phân
2
4
0
12
12
sin
sin
x
I dx
x







Ví dụ 2:Tính tích phân
4
2
6
3sin ( cot )
dx
I
xx






Ví dụ 3:Tính tích phân
2 2 2
2
1
1
ln ln
(ln )
e
x x x x
I dx
xx






Ví dụ 4:Tính tích phân
2
2
3
ln(ex)
ln
dx
I
xx




Ví dụ 5:Tính tích phân
1
5
7
0
3
7
()
()
x
dx
x





Ví dụ 6:Tính tích phân
66
6
44
12
1
2
sin os
sin os
x c x
dx
x c x






Ví dụ 7:Tính tích phân
4
4
0
os
dx
cx






Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 2. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 2. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 1)
thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm
vững kiến thức phần Bài 2. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 1). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với
bài giảng này.


Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1. Tính tích phân:
 
1
6
53
0
1I x x dx


Bài 2. Tính tích phân:
 
 
99
1
101
0
7x 1
I = dx
2x +1


Bài 3. Tính tích phân:
2
2
3
1
1
.
x
I dx
xx




Bài 4. Tính tích phân:
3
2
2

1
log
1 3ln
e
x
I dx
xx



Bài 5. Tính tích phân:
3
1
1
x
dx
I
e



Bài 6. Tính tích phân:
3
2
1
ln 2 ln
e
xx
I dx
x




Bài 7. Tính tích phân:
 
2
2
0
sin2
2 sin
x
I dx
x




Bài 8. Tính tích phân:
 
4
2
0
cos2
sin cos 2
x
I dx
xx





Giáo viên: Lê Bá Trần P hƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1. Tính tích phân:
 
1
6
53
0
1I x x dx


Hướng dẫn giải:
 
 
11
78
3 2 6 6 7
2
00
1

1 1 1 1
1 3 1
0
3 3 3 3 7 8 168
dt t t
t x dt x dx dx I t t dt t t dt
x


              



Bài 2. Tính tích phân:
 
 
99
1
101
0
7x 1
I = dx
2x +1


Hướng dẫn giải:
 
99 99 100
11
100

2
00
1
7 1 dx 1 7 1 7 1 1 1 7 1 1
21
0
2 1 9 2 1 2 1 9 100 2 1 900
21
x x x x
Id
x x x x
x
   
       

     
       

   
       


Bài 3. Tính tích phân:
2
2
3
1
1
.
x

I dx
xx




Hướng dẫn giải:
Cách 1.
2
2
3
1
1
.
x
I dx
xx




=
2
2
1
1
1
x
1
x

d
x
x



=
2
1
1
()
1
dx
x
x
x




=
1
2
1 5 4
ln( ) ln2 ln ln
25
x
x
    
Cách 2.

2
2
3
1
1
.
x
I dx
xx




=
2
2
22
22
11
1
1 2x ( 1) 4
x= ln .
1 1 5
dx d x
d
x x x x


   




  
Bài 4. Tính tích phân:
3
2
2
1
log
1 3ln
e
x
I dx
xx



Hướng dẫn giải:
3
3
2
2
3
2 2 2
1 1 1
ln
log
1 ln . ln
ln2
.

ln 2
1 3ln 1 3ln 1 3ln
e e e
x
x
x xdx
I dx dx
x
x x x x x




  
  
CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 2)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
Đặt
2 2 2
11
1 3ln ln ( 1) ln .
33
dx

x t x t x tdt
x
      
.
Suy ra
 
 
2
22
3
2
2
33
2
1 1 1
1
1
log
1 1 1
3
.1
ln 2 3 9ln 2
1 3ln
e
t
x
I dx tdt t dt
t
xx


   

  
2
3
33
1
1 1 4
9ln 2 3 27ln 2
tt

  


Bài 5. Tính tích phân:
3
1
1
x
dx
I
e



Hướng dẫn giải:
3 3 3
3
1
1 1 1

1
2 ln 1
11
x x x
x
xx
e e e
I dx dx dx e
ee

       

  
32
2 ln( 1) ln( 1) 2 ln( 1)e e e e          
Bài 6. Tính tích phân:
3
2
1
ln 2 ln
e
xx
I dx
x



Hướng dẫn giải:
 
   

 
1
3
2
3
2 2 2
3
1 1 1
4
2
3
3
3
44
1
ln 2 ln 1
ln 2 ln ln 2 ln 2 ln
2
3 2 ln
13
. 3 2
2 4 8
e e e
e
xx
I dx x xd x x d x
x
x

     



  

  
Bài 7. Tính tích phân:
 
2
2
0
sin2
2 sin
x
I dx
x




Hướng dẫn giải:
   
 
22
22
00
sin2 sin
2 sin
2 sin 2 sin
xx
I dx d x

xx





 
 
 
 
11
22
00
2
0
22
22
22
2
2 ln 2 2ln 2 1
2
t
t
dt dt
tt
t
t





    




Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -
Bài 8. Tính tích phân:
 
4
2
0
cos2
sin cos 2
x
I dx
xx




Hướng dẫn giải:
 
  
 

44
22
00
sin cos cos sin
cos2
sin cos 2 sin cos 2
x x x x
x
I dx dx
x x x x



   

Đặt
sin cos 2 cos sint x x dt x x     
, khi
0 3; 2 2
4
x t x t

      
Do đó:
22
2 2 2 2
22
33
3
2 1 2 2 2 2 5

ln ln 2
33
t
I dt dt t
t t t t



   
       
   
   

Giáo viên: Lê Bá Trần P hƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 05. Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Ví dụ 8. Tính tích phân
3
3
0
tanI xdx





Ví dụ 9. ĐHKD 2005: Tính tích phân
2
0
sinx
( cos )cosI e x xdx




Ví dụ 10. ĐHKA 2009: Tính tích phân
2
32
0
1( os ) osI c x c xdx




Ví dụ 11. Tính tích phân
2 2 2
2
1
1
ln ln
(ln )
e

x x x x
I dx
xx





Ví dụ 12. ĐHKA 2010 Tính tích phân
1
22
0
2
12
xx
x
ee
.e
x x dx
I





Ví dụ 13. ĐHKA 2011:Tính tích phân
4
0
1sin ( )cos
sin cos

x x x x
dx
x x x





Ví dụ 14.Tính tích phân
5
2
1
2 ln
ln
e
x
xdx
x



Ví dụ 15.Tính tích phân
a) ĐHKA 2005
2
22
0
2
4
sin
os sin

xdx
I
c x x





b)
 
3
2
0
3
1
ln
x
x
e dx
I
e




c)
2
3
0
sinx cos

sinx cos
x
I dx
x







Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 3. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 2)
thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm
vững kiến thức phần Bài 3. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 2). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với
bài giảng này.


Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1. Tính tích phân:
3

3
4
1
cos .sin
I dx
xx




Bài 2. Tính tích phân:
 
2
33
0
sin cosI x x dx



Bài 3. Tính tích phân:
2
0
sin 2
3 4sin cos 2
x
dx
xx




Bài 4. Tính tích phân:
2
0
sinx
1 3cos
dx
I
x




Bài 5. Tính tích phân:
1
0
1
x
dx
I
e



Bài 6. Tính tích phân:
2
0
sin 2
osx+1
xdx
I

c



Giáo viên: Lê Bá Trần P hƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -
Bài 1. Tính tích phân:
3
3
4
1
cos .sin
I dx
xx




Hướng dẫn giải:
 
 

3 3 3
3 2 3
23
4 4 4
sin
1 cos
cos .sin cos .sin
1 sin sin
dx
x
I dx dx
x x x x
xx
  
  
  

  

 
33
22
32
23
22
22
11
1
1
dt t

dt
t t t
tt

   






3
2
2
2
2
2
1 1 1 1
ln ln 1 ln3
2 2 2 3
tt
t

     


Bài 2. Tính tích phân:
 
2
33

0
sin cosI x x dx



Hướng dẫn giải:
 
2 2 2
3 3 3 3
0 0 0
sin cos sin cosI x x dx xdx xdx
  
   
  

   
22
22
00
22
33
00
sin cos cos sin
cos sin 4
cos sin
3 3 3
xd x xd x
xx
xx



  
   
     
   
   

Bài 3. Tính tích phân:
2
0
sin 2
3 4sin cos 2
x
dx
xx



Hướng dẫn giải:
CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 3)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Khóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tích phân
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -
 
22

2
00
sin sin
sin 2
2
3 4sin cos2 2 4sin 2sin
xd x
x
dx dx
x x x x


   


 
 
1
1
2
0
0
1 1 2ln2 1
2 ln 1 ln 2
1 2 2
21
tdt
dx t
t
t


   
      
   

   


Bài 4. Tính tích phân:
2
0
sinx
1 3cos
dx
I
x




Hướng dẫn giải:
4
1
ln
1 1 1
1 3cos 3sin ln4
3sin 3 3 3
t
dt
t x dt xdx dx I dt

xt

          

Bài 5. Tính tích phân:
1
0
1
x
dx
I
e



Hướng dẫn giải:
 
11
00
1
1
12
1 1 ln 1 1 ln(1 ) ln2 ln
0
1 1 1 1
x
x
x
x x x
de

ee
I dx e e
e e e e


            

   


Bài 6. Tính tích phân:
2
0
sin 2
osx+1
xdx
I
c



Hướng dẫn giải:
22
00
sin cos sin ( osx+1) sinx
22
osx+1 osx+1
x xdx x c
I dx
cc





22
00
sin
2 sinxdx - 2
osx+1
xdx
c



2
2
0
0
( os 1)
2cos 2
osx+1
d c x
x
c



  

2

0
2 2ln(1 osx)c

  
= 2 – 2ln2
Giáo viên: Lê Bá Trần P hƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyển đề 05. Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Ví dụ 16. Tính tích phân
2
4
12
sinx cos
sin
x
I dx
x








Ví dụ 17. Tính tích phân
3
3
4
3
3
sin sinx.cot
sin
xx
I dx
x






Ví dụ 18. Tính tích phân
4
0
1
(sinx cos )cos
I dx
xx






Ví dụ 19. Tính tích phân
4
2
0
2(sinx cos )
dx
I
x





Ví dụ 20. Tính tích phân
3
0
4
cos . os
dx
I
x c x










Ví dụ 21. Tính tích phân
3
0
3 5 3sin cos
dx
xx




Ví dụ 22. Tính tích phân
2
3
sinx
dx






Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 4. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 3)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 4. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 3)
thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm

vững kiến thức phần Bài 4. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 3). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với
bài giảng này.


K hóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tíc h ph ân
Hocmai.vn – Ngôi trường c hung của học t rò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- T rang | 1 -
Bà i 1. Tính tích p hâ n :
 
 
3
1
dx
x 2 x +5
I 


Bà i 2. Tính n gu y ên h àm :
 
  
dx
x 5 x +2 x +4

Bà i 3. Tính tích p hâ n :
2
3
1

dx
x 3x
I 


Bà i 4. Tính tích p hâ n :
2
2
1
4
2
x1
= dx
x +1
I


Bà i 5. Tín h tích ph ân :
 
4
3
2
1
1
I dx
xx



Bà i 6. Tín h tích ph ân :

1
x
0
dx
2 +5
I 

Bà i 7. Tính tích p hâ n :
5
6
0
cos
1 sin
x
I dx
x




Bà i 8. Tính tích p hâ n :
2
0
sin 3cos
sin cos
xx
dx
xx





G iá o viên: Lê Bá Trần Ph ươn g
Nguồn : Hocmai.vn
CÁC KỸ NĂ NG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 4 )
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Gi áo vi ên : LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
K hóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tíc h ph ân
Hocmai.vn – Ngôi trường c hung của học t rò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- T rang | 1 -
Bà i 1. Tính tích p hâ n :
3
1
dx
x 2 x +5
I
Hướn g dẫn giải:
Ta c ó:
dx
x 2 x +5
1 5 2 1 1 1 1 2
ln
7 2 5 7 5 5 7 5
x x x
dx dx c
x x x x x
Do đó:

13
ln
74
I
Bà i 2. Tính n gu y ên h àm:
dx
x 5 x + 2 x + 4
Hướn g dẫn giải:
Ta c ó:
dx 1 4 5
x 5 x +2 x +4 9 5 2 4
xx
dx
x x x
1 1 1 1 2 5 1 4 2
9 5 2 2 4 63 5 2 18 2 4
1 1 1 1 1 1 1 5 1 4
ln ln
63 5 2 18 4 2 63 2 18 2
x x x x
dx dx dx
x x x x x x x x
xx
dx dx c
x x x x x x
Bà i 3. Tính tích p hâ n :
2
3
1
dx

x 3x
I
Hướn g dẫn giải:
Ta c ó:
22
32
22
22
2
22
dx 1 3 1
x 3x 3 3 3
33
1 1 3 1 1 1 3
ln 3 ln ln
3 2 3 3 2 6
dx x x xdx dx
dx
xx
x x x x
d x dx x
x x c c
x x x
Do đó:
1
ln8
6
I
CÁC KỸ NĂ NG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (Phần 4 )
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Gi áo vi ên : LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
K hóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tíc h ph ân
Hocmai.vn – Ngôi trường c hung của học t rò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- T rang | 2 -
Bà i 4. Tính tích p hân :
2
2
1
4
2
x1
= dx
x +1
I
Hướn g dẫn giải:
Ta c ó:
2
2
2
4
2
2
2
1
11
1
2

x 1 1
dx ln
1
1
x +1
22
1
2
2
d x x
xx
x
dx c
x
x
x
x
x
x
Do đó:
0I
Bà i 5. Tín h tích ph ân :
4
3
2
1
1
I dx
xx
Hướn g dẫn giải:

4
3 3 3
4 4 4
3
3
3
2 2 2
2
11
1 1 1 65
ln ln 1 ln 2 ln
3 1 3 3 9
1
x x d x
dx
I dx x x
xx
xx
Bà i 6. Tín h tích ph ân :
1
x
0
dx
2 +5
I
Hướn g dẫn giải:
Ta có :
x
dx 1 2 1 [(2 5) 2 ] 2 1 1 1 1 2
2 ln

2 +5 ln2 5ln2 5ln2 2 2 5 5ln2 2 5
2 2 5 2 2 5
x x x x x
x
x x x
x x x x
dd
dc
Do đó:
1 12
ln
5ln2 7
I
Bà i 7. Tính tích p hâ n :
5
6
0
cos
1 sin
x
I dx
x
Hướn g dẫn giải:
Ta c ó:
5
3 2 3
cos
cos 1 sin 1 sin cos cos sin dx
1 sin
x

dx x x dx x x x x
x
34
23
sin cos
1 sin sin cos cos sin
34
xx
x d x xd x x
Do đó:
109
192
I
K hóa học
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Tíc h ph ân
Hocmai.vn – Ngôi trường c hung của học t rò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- T rang | 3 -
Bà i 8. Tính tích p hâ n :
2
0
sin 3cos
sin cos
xx
dx
xx
Hướn g dẫn giải:
2 2 2 2
0 0 0 0

2
0
sin 3cos 2(sin cos ) (sin cos ) sin os
2
sin cos sin cos sin cos
ln |sin cos |
x x x x x x x c x
dx dx dx dx
x x x x x x
xx
G iáo viên: Lê Bá Trầ n Ph ƣơn g
Nguồn : Hocma i.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 05. Tích phân

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Kỹ năng thêm bớt:
Ví dụ 1. Tính tích phân
3
0
1
cos
cos
x

I dx
x





Ví dụ 2. ĐHKD 2009 Tính tích phân
3
1
1
x
dx
I
e




Ví dụ 3. Tính tích phân
2
0
1
1
ln
x
x
e
I dx
e






Ví dụ 4. Tính tích phân
1
5
0
1()
dx
x 


Ví dụ 5. Tính tích phân
2
2
1
2
5
1
2
35
1
1
1
)
()
)
()

)
dx
aI
xx
dx
bI
xx
dx
cI
xx










Ví dụ 6. Tính tích phân
2
0
54sin cos
sinx cos
xx
I dx
x











Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 5. CÁC KỸ NĂNG CƠ BẢN TÍNH TÍCH PHÂN (PHẦN 4)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 5. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 4)
thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm
vững kiến thức phần Bài 5. Các kỹ năng cơ bản tính tích phân (Phần 4). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với
bài giảng này.