chuyên đề lượng giác lê bá trần phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
LỚP TOÁN VB2-K2



























LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Giải phương trình:
33
4sin cos3 4cos sin3 3 3 os4 3x x x x c x  


Bài 2: Giải phương trình:
3
4sin 1 3sin 3 os3x x c x  


Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm, giải phương trình trong các trường hợp đó.

2
3
2 (cos sin ) 2 cos sin
2
m x x m x x    


Bài 4: Giải phương trình:

2sin cot 2sin2 1x x x  


Bài 5: Giải phương trình:
3
(sin cos ) 2(sin 2 1) sin cos 2 0x x x x x      




Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 1. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC, PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Công thức lượng giác, phương trình lượng
giác cơ bản thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các
Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Công thức lượng giác,
phương trình lượng giác cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập
trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -

Bài 1: Giải phương trình:
33
4sin cos3 4cos sin3 3 3 os4 3x x x x c x  

Giải:
1 3 1
sin 4 3 os4 1 sin 4 os4
2 2 2
x c x x c x     

os 4 os 4 2 ,
6 3 6 3
c x c x k k Z
   


        



82
;
24 2
xk
kZ
xk









  



Bài 2: Giải phương trình:
3
4sin 1 3sin 3 os3x x c x  

Giải:
3
3 os3 (3sin 4sin ) 1
3 1 1
3 os3 sin3 1 os3 sin3
2 2 2
c x x x
c x x c x x
  
     

os 3 os 3 2 ;
6 3 6 3
c x c x k k Z
   


       




2
18 3
;
2
63
xk
kZ
xk












Bài 3: Tìm m để phương trình sau có nghiệm, giải phương trình trong các trường hợp đó.

2
3
2 (cos sin ) 2 cos sin
2
m x x m x x    

Giải:
PT
2
3
(2 1)sin (2 1)cos 2
2
m x m x m     

Để phương trình đã cho có nghiệm, ta phải có:
2
2 2 2
3
(2 1) (2 1) 2
2
m m m

    



2 2 2
1
(4 1) 0 (4 1)2 0
2
m m m        

BÀI 1. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC, PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Công thức lượng giác, phương trình lượng
giác cơ bản thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các
Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Công thức lượng giác,
phương trình lượng giác cơ bản Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập
trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


+ TH
1
:
1
sin 1 2 ;
22
m x x k k Z


      

+ TH
2
:
1
os 1 2 ;
2

m c x x k k Z

        


Bài 4: Giải phương trình:
2sin cot 2sin2 1x x x  

Giải:
Điều kiện:
sin 0x 

PT
22
2sin cos 4sin cos sinx x x x x   

22
2
2sin sin 4sin cos cos
sin (2sin 1) cos (4sin 1) cos (2sin 1)(2sin 1)
x x x x x
x x x x x x x
   
      

(2sin 1)(sin cos 2sin cos ) 0x x x x x    

1
sin (1)
2

sin cos 2sin cos 0 (2)
x
x x x x





  


Giải (1)
2
1
6
sin sin ;
5
26
2
6
xk
x k Z
xk









   






Giải (2)
sin cos 2sin cos 0x x x x  

Đặt
sin cos , 2 2x x t t    

Ta có phương trình:
2
1 2 2; 2
2 1 0
1 2 2; 2
t
tt
t


   


   



   




sin cos 1 2 2 os 1 2
4
x x c x


      


12
os os ( os )
4
2
c x c c




   



Vậy
2,
4
x k k Z



    

Bài 5: Giải phương trình:
3
(sin cos ) 2(sin2 1) sin cos 2 0x x x x x      


Giải:
PT
32
(sin cos ) 2(sin cos ) sin cos 2 0x x x x x x       

Đặt:
sin cos , 2 2x x t t    

Phương trình
3 2 2
2 2 0 ( 2)( 1) 0 2t t t t t t          

sin cos 2 sin 2 sin 1
44
x x x x

   
       
   
   

2 2 ;
4 2 4
x k x k k Z
  

       
.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




I. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC
1. Hệ thức lƣợng giác
+
22
22
22
sin 1 os
sin os 1
os 1 sin
a c a

a c a
c a a


  




+
sin cos
tan ; cot ; tan .cot 1
cos sin
aa
a a a a
aa
  

+
22
22
11
1 tan ; 1 cot
os sin
aa
c a a
   
.
2. Công thức cộng
sin( ) sin cos cos sin

sin( ) sin cos cos sin
os( ) os cos sin sin
os( ) os cos sin sin
tan tan
tan( )
1 t an .tan
tan tan
tan( )
1 t an .tan
a b a b a b
a b a b a b
c a b c a b a b
c a b c a b a b
ab
ab
ab
ab
ab
ab
   
   
   
   

  


  


3. Công thức biến đổi tổng thành tích

sin sin 2sin os ; sin sin 2cos sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
a b c a b
   
   


os cos 2 os os ; os os 2sin sin
2 2 2 2
a b a b a b a b
c a b c c c a c b
   
    


sin( ) sin( )
tan tan ; tan tan
cos cos cos cos
a b a b
a b a b
a b a b

   

Trường hợp đặc biệt:

sin cos 2sin 2 os

44
sin cos 2 sin 2 os
44
a a a c a
a a a c a


   
    
   
   
   
     
   
   

4. Công thức biến đổi tích thành tổng
BÀI 1. CÔNG THỨC LƢỢNG GIÁC, PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Công thức lượng giác, phương trình lượng giác cơ
bản thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững
kiến thức phần Bài 1. Công thức lượng giác, phương trình lượng giác cơ bản. Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài
giảng này.


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


   
   
11
sin sin os( ) os( ) ; cos .cos os( ) os( )
22
11
sin cos sin( ) sin( ) ; cos sin sin( ) sin( )
22
a b c a b c a b a b c a b c a b
a b a b a b a b a b a b
       
       

5. Công thức nhân đôi, nhân ba.
22
22
22
sin2 2sin cos os2 os sin
sin2 (sina cos ) 1 os2 2cos 1
sin2 1 (sina cos ) os2 1 2sin
a a a c a c a a
a a c a a
a a c a a

  




    


    



22
22
22
2tan 2
tan 2 tan ,sina
1 tan 2 1
cot 1 2 1
cot 2 tana ,cos
2cot 1 1
a a t
at
at
a t t
aa
a t t

  







  




33
sin3 3sin 4sin ; os3 4cos 3cosa a a c a a a   

6. Công thức hạ bậc
2 2 2
3 3 3
1 cos2 1 cos2 1 1 cos2
sin ; cos ; sin cos sin 2 ; tan ;
2 2 2 1 cos2
sin3 3sin cos3 3cos sin3 3sin
sin ; cos ; tan
4 4 cos3 3cos
a a a
a a a a a a
a
a a a a a a
a a a
aa
  
   

    
  



Chú ý: * Công thức góc liên quan đặc biệt
sin( ) sin sin osa
2
os( ) cos os sin
2
a a a c
c a a c a a



      



   



* Công thức mũ
6 6 2
4 4 2
3
sin os 1 sin 2
4
1
sin os 1 sin 2
2
a c a a

a c a a
   
  

II. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ BẢN
1.
sin xa
, điều kiện
11a  

Đặt
2
sin sin sin ;
2
xk
a x k Z
xk


  


    

  


Trường hợp đặc biệt:

sin 0 ;

sin 1 2 ;
2
sin 1 2 ;
2
x x k k Z
x x k k Z
x x k k Z





   
    
      

2.
osc x a
, điều kiện
11a  

Đặt
2
os os os ;
2
xk
a c c x c k Z
xk






    

  


Trường hợp đặc biệt:
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -



os 0 ;
2
cos 1 2 ;
os 1 2 ;
c x x k k Z
x x k k Z
c x x k k Z




    

   
     

3.
tan ;x a a R
;
2
x k k Z


  

Đặt
tan tan tan ;a x x k k Z
   
      

Trường hợp đặc biệt:

tan 0 ;
tan 1 ;
4
tan 1 ;
4
x x k k Z
x x k k Z
x x k k Z






   
    
      

4.
t;co x a a R
,
;x k k Z



Đặt
cot cot cot ;a x x k k Z
   
      

Trường hợp đặc biệt:

ot 0 ;
2
cot 1 ;
4
ot 1 ;
4
c x x k k Z
x x k k Z
c x x k k Z







    
    
      

III. PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC CƠ SỞ
a) Phương trình cổ điển

2 2 2
sin cos ; (1)a x b x c a b c   

Cách giải.
2 2 2 2 2 2
(1) sin cos cos( )
c a b
x x x
a b a b a b

    
  

Với
2 2 2 2 2 2
sin ; cos ; cos 2
a b c
xk

a b a b a b
     
      
  

Chú ý: (1) có nghiệm
2 2 2
c a b  

Ví dụ mẫu:Giải phương trình:
Ví dụ 1. (ĐHKD 2007):
2
sin os 3cos 2
22
xx
cx

  



Ví dụ 2.
os7 3sin 7 2c x x  

Ví dụ 3.
2 2(cos sin )cos 3 cosx x x x  


b. Phương trình đối xứng:

(sin cos ) sin cos 0
(sin cos ) sin cos 0
a x x b x x c
a x x b x x c
   
   

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


Bƣớc 1. Đặt
2
2
1
sin cos 2 sin 2 os 2; 2 sin cos ( 1)
4 4 2
1
sin cos 2sin 2 os 2; 2 sin cos (1 )
4 4 2
t x x x c x x x t
t x x x c x x x t



   


          
   


   


   

           

   

   


Biến đổi đưa về phương trình bậc 2 ẩn t.
Bƣớc 2. Giải phương trình bậc 2 ẩn t. Từ đó suy ra nghiệm
x
.


Ví dụ: Giải phương trình:
1.
22
2cos2 sin cos os sin 2(sin cos )x x x c x x x x   

2.
33

os sin sin2 sin cosc x x x x x   
.



Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Giải phương trình:
sin cos 2 os9x x c x

Bài 2: Giải phương trình:
2sin4 sin 3 osx x c x

Bài 3: Giải phương trình:
31
8cos
sin cos
x
xx


Bài 4: Giải phương trình:
os2 cos
3
sin2 sin
c x x
xx




Bài 5: Giải phương trình:
33
2 3 2
os3 . os sin3 .sin
8
c x c x x x



Bài 6: Giải phương trình:
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x  

Bài 7: Giải phương trình:
 
2
2 3 cos 2sin
24
1

2cos 1
x
x
x


  





Bài 8: Giải phương trình:
2cos4
cot tan
sin2
x
xx
x


Bài 9: Giải phương trình:
22
3
4sin 3 os2 1 2cos
24
x
c x x



   



Bài 10: Giải phương trình:
2
2
os2 1
tan 3tan
2 os
cx
xx
cx



  










Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 2. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT

GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 2. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT
lượng giác (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn
giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 2. Các dạng bài tập và
các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 1) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các
bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Giải phương trình:
sin cos 2 os9x x c x

Giải:
2 os 2 os9
4
PT c x c x


  



os9 os 9 2
44
32 4
40 5
c x c x x x k
xk
kZ
xk




   
       
   
   

  








Bài 2: Giải phương trình:
2sin4 sin 3 osx x c x

Giải:
13
sin 4 sin cos
22
sin 4 sin
3
42
3
42
3
PT x x x
xx
x x k
kZ
x x k





  

  



  






   





2
93
;
42
15 5
xk
kZ
xk












Bài 3: Giải phương trình:
31

8cos
sin cos
x
xx


Giải:

Điều kiện:
sin 0
cos 0
x
x






BÀI 2. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 1)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 2. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT
lượng giác (Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn
giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 2. Các dạng bài tập và
các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 1) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các
bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


2 2 3
3cos sin 8cos .sin 8(1 sin )sin 8sin 8sinPT x x x x x x x x      
33
3cos sin 6sin 8sin 2(3sin 4sin ) 2sin3PT x x x x x x x      

31
cos sin sin3
22
x x x  

32
3
sin sin3 ;
3
32
3
x x k
x x k Z
x x k







  



    




   






12 2
;
3
xk
kZ
xk













(thỏa mãn điều kiện)
Bài 4: Giải phương trình:
os2 cos
3
sin2 sin
c x x
xx




Giải:
Điều kiện:
sin 0
sin 2 sin sin (2cos 1) 0
1
cos
2
x
x x x x
x



    






 
os2 cos 3 sin 2 sin
cos2 3sin2 cos 3sin
os 2 os
33
PT c x x x x
x x x x
c x c x

   
   
   
   
   
   

2 2 ;
33
x x k k Z



      



2
2
3
;
2
3
xk
kZ
xk




  








Bài 5: Giải phương trình:
33
2 3 2
os3 . os sin3 .sin
8
c x c x x x




Giải:
os3 3cos 3sin sin3 2 3 2
os3 sin3
4 4 8
c x x x x
PT c x x
  
   
  
   
   

22
2 3 2 3 2
os 3 sin 3 3( os3 cos sin3 sin ) 1
82
c x x c x x x x

      

2
os4 os 4 2
2 4 4
;
16 2
c x c x k
x k k Z




      
    

Bài 6: Giải phương trình:
2 2 2 2
sin 3 os 4 sin 5 os 6x c x x c x  

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


Giải:

1 os6 1 os8 1 os10 1 os12
2 2 2 2
c x c x c x c x
PT
   
   

os12 os6 os10 os8 0
2sin9 .sin3 2sin9 .sin 0
sin9 (sin3 sin ) 0
c x c x c x c x

x x x x
x x x
    
   
  

9
sin9 0
3 2 ;
sin3 sin
32
xk
x
x x k k Z
xx
x x k








     






  


9
;
2
2
k
x
k
x k Z
xk









  







Bài 7: Giải phương trình:

 
2
2 3 cos 2sin
24
1
2cos 1
x
x
x


  





Giải:
Điều kiện:
1
cos
2
x 

 
1 os
2
2 3 cos 2 2cos 1
2
cx

PT x x





    

3cos sin 0
13
2 sin cos 0 2sin 0
2 2 3
3
xx
x x x
xk



   


     





  

Kết hợp với điều kiện:
4
2;
3
x k k Z


  

Bài 8: Giải phương trình:
2cos4
cot tan
sin2
x
xx
x


Giải:
Điều kiện:
sin2 0x 

22
cos sin os4
os sin os4
sin cos sin cos
x x c x
PT c x x c x
x x x x
     

os2 os4 4 2 2 ;
()
;
3
c x c x x x k k Z
x k loai
x k k Z



      








Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


Bài 9: Giải phương trình:
22

3
4sin 3 os2 1 2cos
24
x
c x x


   



Giải:
3
2(1 cos ) 3 os2 1 1 os 2
2
PT x c x c x


      



2cos 3 os2 sin2
2cos 3 os2 sin 2
x c x x
x c x x
    
   

31

os2 sin 2 cos
22
os 2 cos os( )
6
c x x x
c x x c x


   

     



2 ( ) 2
6
52
18 3
;
72
63
x x k
xk
kZ
xk




     












Bài 10: Giải phương trình:
2
2
os2 1
tan 3tan
2 os
cx
xx
cx



  



Giải:
Điều kiện:
cos 0

cos 0
os 0
sin 0
2
x
x
cx
x

















2
22
2
2sin
cot 3tan 2tan

os
x
PT x x x
cx

     

2
3
1
tan 0
tan
tan 1 tan 1
;
4
x
x
xx
x k k Z


   
     
    



Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)

Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Dạng I. Sử dụng trực tiếp phƣơng trình cơ bản.
Bài tập mẫu: Giải phương trình sau:
Bài 1:
 
os7 sin5 2 os5 sin7c x x c x x  

Bài 2 (ĐHKA – 2009):
(1 2sin )cos
3
(1 2sin )(1 sin )
xx
xx




Bài 3 (ĐHKD -2009):
3 os5 2sin3 . os2 sin 0c x xc x x  

Bài 4 (ĐHKB -2009):
3

sin cos .sin 2 3cos3 2( os4 sin )x x x x c x x   

Bài 5 (ĐHKB -2006):
cot sin 1 tan .tan 4
2
x
x x x

  



Dạng II: Nhóm thừa số chung
Giải các phương trình sau:
Bài 1 :
3 3 2 2
sin 3 os sin . os 3sin . osx c x x c x xc x  

Bài 2 (ĐHKD -2004):
(2cos 1)(2sin cos ) sin2 sinx x x x x   

Bài 3 (ĐHKD -2011):
sin 2 2cos sin 1
0
tan 3
x x x
x
  



Bài 4 (ĐHKB -2005):
1 sin cos sin2 os2 0x x x c x    

Bài 5 (ĐHKB -2010):
(sin2 os2 )cos 2cos2 sin 0x c x x x x   

Bài 6 (ĐHKD -2008):
2sin (1 os2 ) sin2 1 2cosx c x x x   

Bài 7 (ĐHKB -2011):
sin2 cos sin cos os2 sin cosx x x x c x x x   

Bài 8 (ĐHKA -2007):
22
(1 sin )cos (1 os )sin 1 sin2x x c x x x    




Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 2. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 2. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác
(Phần 1) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm
vững kiến thức phần Bài 2. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 1). Bạn cần kết hợp xem tài liệu
cùng với bài giảng này.

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Giải phương trình:
2sin2 os2 7sin 2cos 4x c x x x   


Bài 2: Giải phương trình:
2
4
4
(2 sin 2 ).sin3
tan 1
os
xx
x
cx



Bài 3: Giải phương trình:
3 tan (tan 2sin ) 6cos 0x x x x   


Bài 4: Giải phương trình:
32
2
3(1 sinx)
3tan t anx 8cos
os 4 2
x
x
cx



   




Bài 5: Giải phương trình:
33
2sin sinx 2cos cos os2x x x c x   


Bài 6: Giải phương trình:
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos os os osx x x x x c x c x c x      

Bài 7: Giải phương trình:
2sin (1 os2 ) sin2 1 2cosx c x x x   


Bài 8: Giải phương trình:
2 2 2
sin tan os 0
2 4 2
xx
xc


  




Bài 9: Giải phương trình:
22
3cot 2 2 sin (2 3 2)cosx x x  




Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 3. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT
lượng giác (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn
giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 3. Các dạng bài tập và
các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các
bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Giải phương trình:
2sin2 os2 7sin 2cos 4x c x x x   

Giải:
2
2sin2 (1 2sin ) 7sin 2cos 4PT x x x x     

2
2sin 2 2cos 2sin 7sin 3 0
2cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 3) 0
(2sin 1)(sin 2cos 3) 0
sin 2cos 3( ô ê )
2
6

;
1
5
sin sin
2
26
6
x x x x
x x x x
x x x
x x v nghi m
xk
kZ
x
xk





     
     
    






  










Bài 2: Giải phương trình:
2
4
4
(2 sin 2 ).sin3
tan 1
os
xx
x
cx



Giải:
Điều kiện:
cosx 
0
4 4 2
22
22
2

2
sin os (2 sin 2 )sin3
1
1 sin 2 (2 sin 2 )sin3
2
2 sin 2 2(2 sin 2 )sin3
(2 sin 2 )(2sin3 1) 0
2
sin 2 2 ( )
18 3
;
1
52
sin3 sin
26
18 3
PT x c x x x
x x x
x x x
xx
xk
x loai
kZ
x
xk



   
   

   
   






  










Bài 3: Giải phương trình:
3 tan (tan 2sin ) 6cos 0x x x x   

Giải:
Điều kiện:
cos 0x 

sin sin 2sin cos
3 6cos 0
cos cos
x x x x

PT x
xx


   



BÀI 3. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 2)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 3. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT
lượng giác (Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn
giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 3. Các dạng bài tập và
các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các
bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


2 2 2 3
22
3cos sin 2sin cos 6cos 0
(3cos sin )(2cos 1) 0
1

2cos 1 0 cos os
23
2;
3
x x x x x
x x x
x x c
x k k Z



    
   
     
    

Bài 4: Giải phương trình:
32
2
3(1 sinx)
3tan t anx 8cos
os 4 2
x
x
cx



   




Giải:
Điều kiện:
cos 0 sinx 1x    

Khi đó:
22
tanx(3tan 1) 3(1 sinx)(1 tan ) 4 1 os 4(1 sinx)
2
PT x x c x



         





 
22
22
2
tanx(3tan 1) (1 sinx) 3 1 tan 4 0
(3tan 1)(tanx 1 sinx) 0 (3tan 1)(sinx cos sin cos )0
3tan 1 (1)
sinx cos sin cos 0 (2)
xx
x x x x x

x
x x x

      

         




  


2
13
(1) tan tanx
3 3 6
x x k


        

Giải (2) đặt:
2
sinx cos 2 sin ; 2, 1 1 2sin cos
4
t x x t t t x x


         




2
2
1 2; 2
1
(2) 0 2 1 0
2
12
tt
t
t t t
t

   

       


  


22
21
44
sin sin ;
3
4
2

22
44
x k x k
xk
x k x k

   



    

     



      




      




Bài 5: Giải phương trình:
33
2sin sinx 2cos cos os2x x x c x   

Giải:
 
 
 
3 3 2 2
2 sin cos sinx -cos sin os
sinx -cos 0(1)
sinx +cos sin 2 1 0(2)
PT x x x x c x
x
xx
    




  


(1) tan 1 ,
4
x x k k


     

Xét (2) ta đặt:
2
sinx cos 2 os ; 2 1 sin 2
4

t x c x t t x


       



2
0 os 0
4
(2) ( 1) 1 0 ( 1) 0
13
1 os os
44
2
t c x
t t t t
t c x c




   




        



      





Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


 
3
2 1 ;
4 2 4
2
3
2;
44
2
2
x k x k k
k
x k x k
k
  








      








      








Bài 6: Giải phương trình:
2 3 4 2 3 4
sin sin sin sin cos os os osx x x x x c x c x c x      

Giải:
 

     
 
2 2 3 3 4 4
sinx cos sin x cos sin x cos sin x cos 0
sinx cos 0
1 sinx cos 1 sinx.cos sinx cos 0
tanx 1(1) ;
4
2 sinx cos inx.cos 2 0(*)
PT x x x x
x
x x x
x k k
x s x


        




      


    



   





Xét (*), ta đặt:
2
2
2
sinx cos 2 os ; 2 1 2sin cos
4
1
(*) 2 2 0 4 3 0 1; 3( )
2
2
13
1 os os
44
2
2
2
t x c x t t x x
t
t t t t t loai
k
Khi t c x c x
k







       



            




        






Bài 7: Giải phương trình:
2sin (1 os2 ) sin2 1 2cosx c x x x   

Giải:
PT
2
4sin cos 2sin cos (1 2cos ) 0x x x x x    

2sin cos (1 2cos ) (1 2cos ) 0
2
1
2
cos

3
(1 2cos )(sin2 1) 0 ( )
2
sin2 1
4
x x x x
xk
x
x x k Z
x
xk




    

  




      










Bài 8: Giải phương trình:
2 2 2
sin tan os 0
2 4 2
xx
xc


  



Giải:
Điều kiện để PT có nghĩa là:
, ( )
2
x k k Z


  

Khi đó: PT
2
2
1 os
1 os 1 cos
24
.0

2 os 2
x
c
c x x
cx






  

2
(1 sin )(1 cos )(1 cos ) os (1 cos ) 0
(1 sin )(1 cos )(sin cos ) 0
x x x c x x
x x x x
      
    

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


2

sin 1
2
cos 1 2 ;
tan 1
4
xk
x
x x k k Z
x
xk












      






  




Kết hợp điều kiện ta có:
; 2 ,
4
x k x k k Z

  
     

Bài 9: Giải phương trình:
22
3cot 2 2 sin (2 3 2)cosx x x  

Giải:
Điều kiện:
xk



 
 
2
2
2
2 2 4 2
2
22
2

3cos
2 2 sin (2 3 2)cos
sin
3cos 3 2 sin .cos 2 2sin 2sin cos 0
2 os cos 2 0
cos 2 sin 3cos 2sin 0
2cos 3cos 2 0
13
2
cos os
2
2
1
3
cos
2
x
PT x x
x
x x x x x x
c x x
x x x x
xx
xk
xc
xk
x





   
    

  
    

  




  







  








Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng

Nguồn: Hocmai.vn
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Dạng II: Nhóm thừa số chung (tiếp)
Bài 9: (Đại học khối B – 2007): Giải phương trình sau:
2
2sin 2 sin7 1 sinx x x  

Bài 10: (Đại học khối A – 2010): Giải phương trình sau:
(1 sin os2 ).sin
1
4
cos
1 tan
2
x c x x
x
x


  







Bài 11: (Đại học khối A – 2011): Giải phương trình sau:
2
1 sin2 os2
2sin sin2 .
1 cot
x c x
xx
x




Bài 12: (Đại học khối A – 2008): Giải phương trình sau:
1 1 7
4sin
3
sin 4
sin
2
x
x
x




  







Bài 13: (Đại học khối D – 2003): Giải phương trình sau:
2 2 2
sin .tan os 0
2 4 2
xx
xc


  



Bài 14: (Đại học khối A – 2003): Giải phương trình sau:
2
os2 1
cot 1 sin sin2
1 tan 2
cx
x x x
x
   


Bài 15: (Đại học khối D – 2010): Giải phương trình sau:
sin2 os2 3sin cos 1 0x c x x x    


Bài 16: Giải phương trình sau:
sin2 2cos2 4cos sin 1 0x x x x    
.


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 3. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác
(Phần 2) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm
vững kiến thức phần Bài 3. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 2). Bạn cần kết hợp xem tài liệu
cùng với bài giảng này.


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -

Bài 1. (Đại học khối D – 2006): Giải phương trình:
os3 os2 cos 1 0c x c x x   

Bài 2: (Đại học khối D – 2002): Giải phương trình:
os3 4cos2 3cos 4 0c x x x   
, với
 
0;14x

Bài 3: Giải phương trình:
53
4cos os 2(8sin 1)cos 5
22
xx
c x x  

Bài 4: Giải phương trình:
1
2cos2 8cos 7
cos
xx
x
  

Bài 5: Giải phương trình:
2 2 2
sin sin 3 3cos 2 0x x x  

Bài 6: Giải phương trình:
42
12
48 (1 cot2 .cot ) 0
os sin
xx
c x x
   

Bài 7: Giải phương trình:
42
(sin 3).sin (sin 3)sin 1 0
22
xx
xx    

Bài 8: Giải phương trình:
44
sin os 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x c x
x
xx



Bài 9: Giải phương trình:
2
os2 cos (2tan 1) 2c x x x  

Bài 10: Giải phương trình:
62
3cos4 8cos 2cos 3 0x x x   

Bài 11: Giải phương trình:
2 2 3
sin os2 os (tan 1) 2sin 0xc x c x x x   

Bài 12: Giải phương trình:
3 3 2
cos 4sin 3cos sin sin 0x x x x x   









Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn
BÀI 4. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 4. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT
lượng giác (Phần 3) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn
giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 4. Các dạng bài tập và

các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các
bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: (Đại học khối D – 2006): Giải phương trình:
os3 os2 cos 1 0c x c x x   

Giải:
32
32
2
2
2
4cos 3cos 2cos 1 cos 1 0
4cos 2cos 4cos 2 0
2cos (2cos 1) 2(2cos 1) 0
(2cos 1)( os 1) 0
1
2
cos
2
;

2
3
os 1
PT x x x x
x x x
x x x
x c x
x
xk
kZ
xk
cx



      
    
    
   



  


  









Bài 2. (Đại học khối D – 2002): Giải phương trình:
os3 4cos2 3cos 4 0c x x x   
, với
 
0;14x

Giải:
32
32
2
4cos 3cos 4(2cos 1) 3cos 4 0
4cos 8cos 0
4cos (cos 2) 0
PT x x x x
xx
xx
      
  
  

cos 0 ;
2
x x k k Z


     

Do
 
1 28
0;14 0 14 3,8
2 2 2
x k k




         

0;1;2;3k

Vậy:
3 5 7
; ; ; .
2 2 2 2
x x x x
   
   

Bài 3: Giải phương trình:
53
4cos os 2(8sin 1)cos 5
22
xx
c x x  

Giải:
2
2cos4 8sin 2 5 0
4sin 2 8sin 2 3 0
3
sin 2 ( )
2
1
sin 2
2
PT x x
xx
x loai
x
   
   










BÀI 4. CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ CÁC KỸ THUẬT
GIẢI PT LƢỢNG GIÁC (PHẦN 3)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 4. Các dạng bài tập và các kĩ thuật giải PT
lượng giác (Phần 3) thuộc khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn
giúp các Bạn kiểm tra, củng cố lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 4. Các dạng bài tập và
các kĩ thuật giải PT lượng giác (Phần 3) Để sử dụng hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các
bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


22
6
12
sin 2 sin ;
55
6
22
6 12
xk
xk
x k Z
x k x k














    




   





Bài 4: Giải phương trình:
1
2cos2 8cos 7
cos
xx
x
  

Giải:
Điều kiện:
cos 0x 

22
32
2(2cos 1).cos 8cos 7cos 1
4cos 8cos 5cos 1 0
2
cos 1
;
1
2
cos
3
2
PT x x x x
x x x
xk
x
kZ
xk
x



    
    







  


  




Bài 5: Giải phương trình:
2 2 2
sin sin 3 3cos 2 0x x x  

Giải:
2
32
32
1 cos2 1 os6
3cos 2 0
22
2 os2 (4cos 2 3cos2 ) 6cos 2 0
2cos 2 3cos 2 os2 1 0
1
os2
2
3
;
51
os2 os
2

2
x c x
PT x
c x x x x
x x c x
cx
xk
kZ
xk
c x c






   
     
    



  



  





  






Bài 6: Giải phương trình:
42
12
48 (1 cot2 .cot ) 0
os sin
xx
c x x
   

Giải:
Điều kiện:
sin 0
cos 0
x
x






42

4 4 4 4
44
42
42
2
2
1 2 cos
48 . 0
os sin sin 2 .sin
11
48 0 48sin os (sin os ) 0
os sin
1
3sin 2 1 sin 2 0
2
6sin 2 sin 2 2 0
1
2
sin 2 sin
sin 2 ( )
4
2
3
1
1
sin 2
sin 2 sin
2
4
2

x
PT
c x x x x
xc x x c x
c x x
xx
xx
x
x loai
x
x


   
       

   


   











   










Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -


8
3
8
;
8
5
8
xk
xk
kZ
xk

xk


















  






Bài 7: Giải phương trình:
42
(sin 3).sin (sin 3)sin 1 0
22

xx
xx    

Giải:
22
22
2
32
(sin 3).sin (1 sin ) 1 0
22
(sin 3).sin os 1 0
22
1
(sin 3). sin 1 0
4
sin 3sin 4 0
sin 1
sin 2 ( )
xx
PT x
xx
xc
xx
xx
x
x loai
     
    
    
   








Vậy
2;
2
x k k Z


  

Bài 8: Giải phương trình:
44
sin os 1 1
cot 2
5sin 2 2 8sin 2
x c x
x
xx



Giải:
Điều kiện:
sin2 0x 

2
2
1
1 sin 2
os2 1
2
5 2 8
9
os 2 5cos2 0
4
9
os2
2
1
os2
2
x
cx
PT
c x x
cx
cx

  
   











1
os2 ;
26
c x x k k Z


     

Bài 9: Giải phương trình:
2
os2 cos (2tan 1) 2c x x x  

Giải:
Điều kiện:
cos 0x 

2
22
32
sin
os2 2 cos 2
cos
(2cos 1).cos 2(1 os2 ) os 2cos
2cos cos 3cos 2 0
x

PT c x x
x
x x c x c x x
x x x
   
     
    

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 08. Lượng giác

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -


cos 1 2
;
cos os 2
x x k
kZ
x c x k

  


  

   


Bài 10: Giải phương trình:
62
3cos4 8cos 2cos 3 0x x x   

Giải:
24
2 2 2 2
3(1 os4 ) 2cos (4cos 1) 0
6cos 2 2cos (2cos 1)(2cos 1) 0
PT c x x x
x x x x
    
    

2 2 2
22
2
42
2
6cos 2 2cos (2cos 1).cos2 0
2cos2 3cos2 os (2cos 1) 0
os2 0
os2 0
os 1
2cos 5cos 3 0
3
os 1
2
os2 0

;
42
sin 0
x x x x
x x c x x
cx
cx
cx
xx
cx
cx
xk
kZ
x
xk


   

   







  



  










  







Bài 11: Giải phương trình:
2 2 3
sin os2 os (tan 1) 2sin 0xc x c x x x   

Giải:
2 2 2
2
sin ( os2 2sin ) sin os 0
sin ( os2 1 os2 ) os2 0
sin os2 0 sin 1 2sin 0
2

2
sin 1
2;
1
6
sin sin
26
5
2
6
PT x c x x x c x
x c x c x c x
x c x x x
xk
x
x k k Z
x
xk







    
    
      

  







    










Bài 12: Giải phương trình :
3 3 2
cos 4sin 3cos sin sin 0x x x x x   

Giải:
• Khi
2
xk



thì cosx = 0 và sinx =
1

thì phương trình vô nghiệm.
• Do cosx = 0 vô nghiệm nên ta chia cả 2 vế của PT cho
3
cos 0x 
ta có:
3 2 2
32
2
1 4tan 3tan tan (1 tan ) 0
3tan 3tan tan 1 0
tan 1
4
(tan 1)(3tan 1) 0 ( )
3
tan
3
6
PT x x x x
x x x
x
xk
x x k Z
x
xk




     
    




  


      




  





Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn