chuyên đề số phức- lê bá trần phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM
LỚP TOÁN VB2-K2



























LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 06. Số phức

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)
n
, biết rằng n  N thỏa mãn phương trình
log
4
(n – 3) + log
4
(n + 9) = 3
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
5 7 9 2009
4 5 6 2010


i i i i
P
i i i i
   

   

Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức
zi
zi




trong đó
12zi

Bài 4: Cho số phức
13zi
. Tìm số nghịch đảo của số phức:
2
.z z z



Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện:
5z 
và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn

BÀI 1. CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 1)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1) thuộc

khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1). Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 06. Số phức

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 1: Tìm phần thực của số phức z = (1 + i)
n
, biết rằng n  N thỏa mãn phương trình
log
4
(n – 3) + log
4
(n + 9) = 3
Giải:
Điều kiện:
3
nN
n







Phương trình log
4
(n – 3) + log
4
(n + 9) = 3  log
4
(n – 3)(n + 9) = 3
 (n – 3)(n + 9) = 4
3
 n
2
+ 6n – 91 = 0
7
13
n
n







Vậy n = 7.
Khi đó z = (1 + i)
n
= (1 + i)
7

=
     
3
2
3
1 . 1 1 .(2 ) (1 ).( 8 ) 8 8i i i i i i i

        


Vậy phần thực của số phức z là 8.
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:
5 7 9 2009
4 5 6 2010


i i i i
P
i i i i
   

   

Giải:
 
1003
2
5 7 9 2009 5 2 4 2004
2
1

(1 ) .
1
i
i i i i i i i i i i
i

          


4 5 6 2010 2 3 4 2010 2 3
2011
(1 ) (1 )
1
(1 1 ) 1
1
i i i i i i i i i i
i
ii
i
            

     


11
1 2 2
i
Pi
i
   



Bài 3: Tìm phần thực và phần ảo của số phức
zi
zi




trong đó
12zi

Giải:
BÀI 1. CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 1)
ĐÁP ÁN BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Các bài tập trong tài liệu này được biên soạn kèm theo bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1) thuộc
khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn giúp các Bạn kiểm tra, củng cố
lại các kiến thức được giáo viên truyền đạt trong bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1). Để sử dụng
hiệu quả, Bạn cần học trước Bài giảng sau đó làm đầy đủ các bài tập trong tài liệu này.
(thoả mãn)
(không thoả mãn)
Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 06. Số phức

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -

1 2 1 2z i z i    

Ta có:
2
2
1 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 1 6 9 4 3
1 2 1 3 (1 3 )(1 3 ) 1 9 5 5
z i i i i i i i i
i
i i i i i i
zi

       
       
     


Vậy phần thực của

là
4
5

, phần ảo của

là
3
5
.
Bài 4: Cho số phức

13zi
. Tìm số nghịch đảo của số phức:
2
.z z z



Giải:
Với
13zi
, ta có
2 2 2 2
. (1 3 ) (1 3 )(1 3 ) 1 6 9 1 9 1 6z z z i i i i i i i

             

1 1 2 6 1 3
2 6 (2 6 )(2 6 ) 10 10
i
i
i i i


   
  

Bài 5: Tìm số phức z thoả mãn điều kiện:
5z 
và phần thực của z bằng hai lần phần ảo của nó.
Giải:

Giả sử : z = a + bi (a- phần thực, b- phần ảo)
Ta có:
22
2
2 5 2 5
5
5
2
5
2
55
ab
aa
z
ab
ab
b
ab
bb





  

   


   

    





  








Kết luận: Có hai số phức thoả yêu cầu bài toán:
2 5 5 ; 2 5 5z i z i    
.


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 06. Số phức

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -

I. Lý thuyết cơ sở:
Gọi z là một số phức, khi đó z có dạng: x = a + bi (
,a b R
)
Trong đó a gọi là phần thực, b là phần ảo, i là một số thỏa mãn
2
1i 
, i được gọi là đơn vị ảo.
+ Nếu b = 0 thì z là số thực.
+ Nếu a = 0 tức là z = bi thì z được gọi là số ảo (còn gọi là số thuần ảo)
+ Tập hợp các số phức được kí hiệu là C.
2. Số phức liên hợp:
Cho số phức z = a + bi, khi đó số phức
z a bi
được gọi là số phức liên hợp của số phức z.
3. Modul của số phức:
Cho số phức z = a + bi, modul của z là một số và kí hiệu là
||z
.
||z
được tính theo công thức:
22
| | | |z a bi a b   

1 2 1 2
11
22

. | || |;
||
||
z z z z
zz
zz



4. Các phép toán về số phức:
Cho 2 số phức: z = a+ bi ; z’ = a’ + b’i
'
'
'
' ' ' ( ') ( ')
' ' ' ( ') ( ')
aa
zz
bb
z z a bi a b i a a b b i
z z a bi a b i a a b b i


  



         
         

Khi nhận 2 số phức với nhau ta nhân bình thường như nhân 2 đa thức, sau đó chỗ nào có i
2
= -1.
Khi chia 2 số phức cho nhau ta nhân cả tử và mẫu với số phức liên hợp của số phức ở dưới mẫu.
II. Các dạng bài tập:
Dạng I: Biến đổi số phức:
Bài tập mẫu:
Bài 1: Tìm phần thực, phần ảo của số phức z biết:
1. ĐHKA 2010:
2
( 2 ) (1 2 )z i i  

67
21
11
2. (1 ) (3 2 )(3 2 )
1
i
z i i i
ii


      




3. ĐHKB 2011:
3
13

1
i
z
i








BÀI 1. CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 1)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1) thuộc
khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến
thức phần Bài 1. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 1). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.


Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 06. Số phức

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -


2012
1

4.
1
i
z
i







2006 2007 2008 2009 2010
2011 2012 2013 2014 2015
5.
i i i i i
z
i i i i i
   

   

2 2012
2
6. 1 (1 ) (1 ) (1 )
7. (2 3 ) (4 ) (1 3 )
z i i i
i z i z i
       
     

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn

Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12
- Trang | 1
-
Tìm số phức z th ỏa mãn ñiều k iện:
Bài 1.
) . 3 (2 ) 19 3
a z z z z i
− + = − +
)| 1| | 2 |
b z z i
− = +
và
1
1
z i
z i
+
=

+ −
Bài 2.
| 1 2 | | 3 4 |
z i z i
+ − = + +

và
2
z i
z i
−
+
là số thuần ảo.
Bài 3.
(
)
3
2 8
z z i
+ =
Bài 4:
Tìm số phức z thỏa mãn:
| 3| | 2 |
iz z i
− = − −
và modul z nhỏ nhất.
Bài 5:
| 1 2 | 1
z i
+ + =

và |z| là nhỏ nhất .

Giáo viên : Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocm ai.vn

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ðẾN SỐ PHỨC (Phần 2)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12
- Trang | 1
-
Tìm số phức z th ỏa mãn ñiều k iện:
Bài 1.
) . 3 (2 ) 19 3
a z z z z i
− + = − +
Gọi z = a + bi
( , )
a b R
∈
Ta có:
[ ]
2 2
2 2

. 3 (2 ) 19 3
( )( ) 3 2 2 19 3
9 3 19 3
4, 5 4
9 19
1 5
3 3
z z z z i
a bi a bi a bi a bi i
a b a bi i
a a z i
a b a
b z i
b
− + = − +
⇔ + − − + + − = − +
⇒ + − − = − +
= = = −

+ − = −
 
⇔ ⇔ ⇒
 

= − = −
− =
 

)| 1| | 2 |
b z z i

− = +
và
1
1
z i
z i
+
=
+ −
Gọi
( , )
z a bi a b R
= + ∈
, ta có:
2 2 2 2
| 1| | 2 |
| 1 | | ( 2) |
( 1 ) ( 2)
4 2 3 0 ( 1 )
z z i
a bi a b i
a b a b
b a
− = +
⇔ − + = + +
⇔ − + = + +
⇔ + + =
| | | 1 |
1 1
z i

z i
z i z i
z i z i
+
+
= ⇔ + = + −
+ − + −

Biến ñổi như tr ên ta có pt : 2a – 4b + 1 = 0 (2)
Từ (1) và (2) suy ra a = -1; b = -1 nên z = -1 – i
Bài 2.
| 1 2 | | 3 4 |
z i z i
+ − = + +
và
2
z i
z i
−
+
là số thuần ảo.
Giải:
CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ðẾN SỐ PHỨC (Phần 2)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức

Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12
- Trang | 2
-
Gọi z = a + bi
( , )
a b R
∈
| 1 2 | | 3 4 | | 1 ( 2) | | 3 (4 ) |
z i z i a b i a b i
+ + − = + + ⇔ + + − = + + −

Biến ñổi ta có pt: a – b + 5 = 0 suy ra b = a+ 5 (1)
(
)
(
)
2 2 2
2
2 2 2 2
( 2) ( 1 )
2 ( 2)
( 1 ) ( 1 )
( 2)( 1 ) 2 2
( 1 ) ( 1 )
a b i a b i
z i a b i
a b i a b i
z i
a b b ab a

i
a b a b
+ − − −
− + −
+ = =
+ − − −
+
+ − − − −
= +
+ − + −
Vì
2
z i
z i
−
+
là số thuần ảo nên ta có:
2
2
2 2
( 2)( 1 )
0 ( 2)( 1 ) 0 (2)
( 1 )
a b b
a b b
a b
+ − −
= ⇔ + − − =
+ −

Thay (1) vào (2) ta có:
2
( 3 )( 4) 0
12
7
23
7
a a a
a
b
+ + − − =

= −

⇔


=


Vậy:
12 23
7 7
z i
= − +
Bài 3.
(
)
3
2 8

z z i
+ =
Giải:
Gọi z = a + bi
( , )
a b R
∈
Ta có:
(
)
[ ]
3
3
2 8 2( ) 8
z z i a bi a bi i
+ = ⇔ + + − =
3 3 2 2 3 3
3 2 3 2
3 2
3 2
(3 ) 8 27 27 8
27 9 ( 27 ) 8
27 9 0
27 8
a bi i a ab i b i i
a ab b a b i i
a ab
b a b
⇔ − = ⇔ − − =
⇔ − + − =


− =

⇔

− =


Giải hệ pt trên ta suy ra:
3
0; 8
1
; 1
3
a b
a b

= =


= ± = −


Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12

- Trang | 3
-
Vậy:
3
8
1
3
1
3
z i
z i
z i


=


= −



= − −


Bài 4:
Tìm số phức z thỏa mãn:
| 3| | 2 |
iz z i
− = − −
và modul z nhỏ nhất.

Giải:
Giả sử:
( , )
z a bi a b R
= + ∈
Ta có:
2 2 2
| 3| | 2 | | 3 | | 2 ( 1 ) |
( 3 ) ( 2) ( 1 ) 2 1
iz z i b ai a b i
b a a b a b
− = − − ⇔ − − + = − + −
⇔ + + = − + − ⇔ = − −
Do ñó:
2 2 2 2 2 2
2 1 1
| | (2 1 ) 5 4 1 5 ( )
5 5 5
z a b b b b b b b R
= + = + + = + + = + + ≥ ∀ ∈
Suy ra |z| nhỏ nhất bằng
2
2
2
0
1
5
5
1
5

2 1
3
b
b
a
a b


= −
 

+ =

 
⇔ ⇔
 
 
 
= −
= − −



Vậy
1 2
5 5
z i
= − −
Bài 5:
| 1 2 | 1

z i
+ + =
và |z| là nhỏ nhất .
Giải:
Gọi z = x + yi
( , )
x y R
∈
M(x,y) là ñiểm biểu diễn số phức z .
Ta có:
2 2
| 1 2 | 1 ( 1 ) ( 2) 1
z i x y
+ + = ⇔ + + + =
ðường tròn (C):
2 2
( 1 ) ( 2) 1
x y
+ + + =
có tâm I(-1;-2)
ðường thẳng OI có phương trình: y = 2x
Số phức z có modul nhỏ nhất khi và chỉ khi ñiểm biểu diễn nó thuộc (C) và gần gốc tọa ñộ O nhất, ñó
chính là 1 trong 2 giao ñi ểm của OI và (C) . Khi ñó nó thỏa mãn hệ:
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12

- Trang | 4
-
2 2
1 2
1 ; 2
2
5 5
1 2
( 1 ) ( 2) 1
1 ; 2
5 5
x y
y x
x y
x y

= − − = − −

=


⇒

+ + + =


= − + = − +


Chọn

1 2
1 2
5 5
z i
 
= − + + − +
 
 
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocm ai.vn

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 06. Số phức

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 2 – ĐHKA 2011: Tìm modul của số phức z biết:
(2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2z i z i i      

Bài 3: ĐHKA 2010: Cho số phức z thỏa mãn:
 
3
13
1
i

z
i



. Tính modul của số phức
z iz

Bài 4: Cho số phức z thỏa mãn:
( 2)(1 2 ) 5z i z  
. Tính modul của số phức
2011
w=(z+2i)

Bài 5: Tìm modul của số phức z biết:
22
53
1. 2011: 1 0
2. 2011: ( 3 ) 1 9
3. 2011: | |
i
KB z
z
KD z z i z i
KA z z z

  
   


4. 2010: | | 2KD z 
và z
2
là số thuần ảo.

Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn

BÀI 2. CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 2)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 2. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 2) thuộc
khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến
thức phần Bài 2. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 2). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.


Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12
- Trang | 1
-
Bài 1:
Tìm modul của số phức z biết:
3
2 3
100 98 96

) 4 3 ( 1 )
) (4 3 ) ( 1 2 )
) 3 ( 1 ) 4 ( 1 ) 4( 1 )
a z i i
b z i i
c z i i i i
= − + −
= − + +
= + − + + +
Bài 2:
Cho số phức z thỏa mãn:
| | 2 3 ( 1 2 )
z z i
− = − +

Tính
2 3
| | | | | |
z z z
+ +

Bài 3:
Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp các ñiểm biểu di ễn số phức z thỏa ñiều kiện:
2
2
)2 | | 5 5 0
)| 2 | | 2| 6
) | | 0
a z z z
b z z

c z z
+ + =
− + + =
+ =
d) z
2
là số thuần ảo.
e) z có phần thực bằng 3.
Bài 4:
Cho số phức
z x yi
= +
;
,
x y Z
∈
thỏa mãn:
3
18 26
z i
= +

Tính
( ) ( )
2009 2009
2 4T z z= − + −


Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocm ai.vn

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ðẾN SỐ PHỨC (Phần 3)
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12
- Trang | 1
-
Bài 1:
Tìm modul của số phức z biết:
3
2 3
100 98 96
) 4 3 ( 1 )
) (4 3 ) ( 1 2 )
) 3 ( 1 ) 4 ( 1 ) 4( 1 )
a z i i
b z i i
c z i i i i
= − + −
= − + +
= + − + + +
Giải:
2 3
2 2

2 2 3
2 2
96 4 2
96 2 96
) 4 3 ( 1 3 3 ) 2 5
| | | 2 5 | 2 ( 5) 29
) ( 16 24 9 ) ( 1 3.2 3.4 8 ) 4 26
| | | 4 26 | ( 4) ( 26) 2 173
) ( 1 ) 3 ( 1 ) 4 ( 1 ) 4
( 1 ) 3 (2 ) 4 (2 ) 4 ( 1 ) .0 0
| |
a z i i i i i
z i
b z i i i i i i
z i
c z i i i i
i i i i i
z
= − + − + − = −
⇒ = − = + − =
= − + + + + + = − −
⇒ = − − = − + − =
 
= + + − + +
 
 
= + − + = + =
 
⇒ = 0
Bài 2:

Cho số phức z thỏa mãn:
| | 2 3 ( 1 2 )
z z i
− = − +
Tính
2 3
| | | | | |
z z z
+ +

Giải:
Gọi z = a + bi
( , )
a b R
∈
Từ giả thiết suy ra:
2 2
2 2
2( ) 3 6
2 3
2 6
a b a bi i
a b a
b
+ − − = − +


+ − = −
⇔


=


Giải hệ pt trên ta suy ra:
CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ðẾN SỐ PHỨC (Phần 3)
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Khóa h
ọ
c
LTĐH mơn Tốn - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn : 1900 58 -58-12
- Trang | 2
-
0( )
4( )
a L
a N
=


=

2 3
4 3
| | | | | | 155
z i
z z z

⇒ = +
⇒ + + =

Bài 3:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp các điểm bi ểu di ễn số phức z thỏa điều kiện:
2
2
)2 | | 5 5 0
)| 2 | | 2| 6
) | | 0
a z z z
b z z
c z z
+ + =
− + + =
+ =
d) z
2
là số thuần ảo.
e) z có phầ n thực bằng 3
Giải:
(
)
2
2
2
2 2
2 2
2
2

)
2 | | 5 5 0
2 | | 5 ( ) 5 ( ) 0
2 10 0
5 0
5 25
2 4
Gọi z = z+ yi (x, y R), ta có:
a
z z z
x yi x yi x yi
x y x
x y x
x y
∈
+ + =
⇔ + + + + − =
⇔ + + =
⇔ + + =
 
⇔ + + =
 
 
Vậy tập hợp các đi ểm biểu di ễn số phức z thỏa điều kiện đã cho là đường tròn tâm
5 5
;0 ;
2 2
R
 
− =

 
 
2 2 2 2
)
| 2 | | 2 | 6
( 2) ( 2) 6 ( *)
Gọi z = z+ yi (x, y R), ta có:
b
x yi x yi
x y x y
∈
− + + + + =
⇔ − + + + + =
Gọi F
1
(-2;0)
F
2
(2;0 ) (x,y) khi đó (*)
1 2
6
MF MF
⇔ + =
Tập hợp các điểm biểu diễ n số phức z thỏa mãn điều kiệ n đã cho là (E) có độ dài trục lớn 2a = 6, tiêu cự 2c = 4
(c = 2), độ dài trục bé
2 2 5
b = tứ c:
2 2
( ) : 1
9 5

x y
E
+ =
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12
- Trang | 3
-
2
)
| | 0 2 2 2 2 2 0
2 2 2 2 0 0
2 2 2 0
2 0
0
0 , 1
0 , 1
Goïi z = z+ yi (x, y R)
Khi ñoù:
c
z z x y xyi x y
x y x y xyi i
x y x y
xy
x y
x y

x y
∈
+ = ⇔ − + + + =
⇔ − + + + = +

− + + =

⇔

=


= =


⇔ = =


= = −

Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễ n số phức z thỏa mã n ñiều kiện ñã cho g ồm 3 ñiểm :
{(0;0 ),(0;1 );(0;-1)}
d) Gọi z = x + y i
( , )
x y R
∈
Khi ñó:
2 2 2 2
( ) 2
z x yi x y xy

= + = − +
là số thuầ n ảo khi và chỉ khi:
2 2 2 2
0
x y
x y x y
x y
=

− = ⇔ = ⇔

= −

Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễ n số phức z thỏa mã n z
2
là số thuầ n ảo là các ñường thẳng y = x ; y = -x .
e) z có phầ n thực bằng 3:
Gọi z = x + y i
( , )
x y R
∈
Khi ñó z có phần thực bằ ng 3
3
x
⇔ =
Vậy tập hợp các ñiểm biểu diễ n số phức z c ó phầ n thực bằng 3 là ñường thẳ ng x = 3.
Bài 4:
Cho số phức
z x yi
= +

;
,
x y Z
∈
thỏa m ãn:
3
18 26
z i
= +

Tính
( ) ( )
2009 2009
2 4T z z= − + −

Giải:
Ta có:
(
)
(
)
3 3 2 2 3
3 2
2 3
3 3 18 26
3 18
3 26
z x xy x y y i i
x xy
x y y

= − + − = +

− =

⇔

− =


Do x = y = 0 không là ng hiệ m. ðặt y = tx
3 2
3 3
( 1 3 ) 18
(3 ) 26
x t
x t t

− =

⇒

− =


Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt

Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12
- Trang | 4
-
Chia vế theo vế ta có:
2
2
3
1 3 18
(3 1 )( 3 12 13 ) 0
3 26
t
t t t
t t
−
= ⇔ − − − =
−

+ Khi
1
3
t
=
thì y = 1, x = 3 thỏa m ãn x ,y
Z
∈
+ Khi
2
3 12 3 0
t t
− − =

thì x ,y
Z
∉
Vậy số phức ñã c ho là z = 3 + i.
Vậy :
(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
2009 2009
2009 2009
1004 1004
2 2
1004 1004 1005
2 4
1 1
( 1 ) 1 ( 1 ) 1
2 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2
T z z
i i
i i i i
i i
= − + −
= + + −
   
= + + + + −
   
= + + − =

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocm ai.vn

Khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chun đề 06. Số phức

Hocmai.vn – Ngơi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




Bài 5: Tìm modul của số phức z biết:
2
5) | (2 ) | 10 25
6)( 1)( 2 )
1 2 | 3
2)
và z.
là số thực và |z| nhỏ nhất
7)z 0, |z+1-2i|=| và z là số thuần ảo
8)|z-2|=2và (2+i)( có phần ảo bằng -2
z i z
z z i
z i iz
z
   

   



Bài 6: Trong (0xy) tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:
1. ĐHKD 2009:
| (3 4 )| 2zi  

2. ĐHKB 2010:
| | |(1 ) |z i i z  

3) 1
3
zi
zi




2
4) | | 0zz

5)| 3| 10 | 3|zz   


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn

BÀI 3. CÁC DẠNG LIÊN QUAN ĐẾN SỐ PHỨC (PHẦN 3)
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG
Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 3. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 3) thuộc

khóa học LTĐH KIT-1: Mơn Tốn (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến
thức phần Bài 3. Các dạng liên quan đến số phức (Phần 3). Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.


Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12
- Trang | 1
-
Bài 1:
Gọi
1 2 3 4
; ; ;
z z z z
là 4 nghiệm phức của phương trình:
4 2
3 4 0
z z
+ + =
Tính
4 4 4 4
1 2 3 4
A z z z z
= + + +

Bài 2:

Gọi z
1
; z
2
là 2 nghiệm phức của phương trình:
2
2 5 0
z z
+ + =
Tính giá trị của biểu thức
2 2
1 2
P z z
= +

Bài 3:

Giải phương trình sau trên tập số phức:
2
1 ) ( 1 ) 6 3 0
z i z i
− + + + =
3
2) 1
z i
i z
+
 
=

 
−
 
(
)
(
)
(
)
2
3 ) 2 3 2 10
z z z
− + + =
Bài 4:
Giải pt nghiệm phức:
25
8 6
z i
z
+ = −
Bài 5:
Giải pt sau trên t ập phức biết rằng nó có nghiệm thực:
3 2
2 5 (3 2 ) 3 0
z z i z i
− + + + + =
Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocm a i.vn

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12
- Trang | 1
-
Bài 1:
Gọi
1 2 3 4
; ; ;
z z z z
là 4 nghiệm phức của phương trình:
4 2
3 4 0
z z
+ + =
Tính
4 4 4 4
1 2 3 4
A z z z z
= + + +

Giải:
( )( )
2 2 2

2 2
2
2
4 4 4 4
( 2) 0
2 2 0
2 0
2 0
1 7
2 2
1 7
2 2
1 7 1 7 1 7 1 7
2 2 2 2 2 2 2 2
16
Pt z z
z z z z
z z
z z
z i
z i
A i i i i
⇔ + − =
⇔ + + − + =

+ + =
⇔

− + =



= − ±


⇔

= ±


⇒ = − + + − − + + + −
=
Bài 2:

Gọi z
1
; z
2
là 2 nghiệm phức của phương trình:
2
2 5 0
z z
+ + =
Tính giá trị của bi ểu thức
2 2
1 2
P z z
= +
Giải:
Giải tương tự bài 1 ta có ñáp số: P = 10
Bài 3:

Giải phương trình sau trên tập số phức:
2
1 ) ( 1 ) 6 3 0
z i z i
− + + + =
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC
HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƯƠNG
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12
- Trang | 2
-
Ta có:
2
( 1 5 )
i
∆ = −

có 2 căn bậc 2 là:
1 5
i
± −
Vậy pt có 2 nghiệm:
1 2
3

z i
z i
= −


=

3
2) 1
z i
i z
+
 
=
 
−
 
ðK:
z i
≠
ðặt
3
: 1
w w
z i
pt
i z
+
= ⇒ =
−

(
)
(
)
2
2
1 1 0
1
1 0
1
1 3
2
1 3
2
w w w
w
w w
w
w
w
i
i
⇒ − + + =
=

⇔

+ + =




=

− +

⇒ =


− −

=


+ Với
1
w
=
ta có z = 0
+ Với
1 3
2
w
i
− +
= ta có: z = -
3
+ Với
1 3
2
w

i
− −
= ta có z =
3
Vậy pt có 3 nghiệm:
0
3
3
z
z
z =


= −


=

(
)
(
)
(
)
( )( )( )
( )( )
( )
( )( )
2
2

2 2
3 ) 2 3 2 10
1 3 2 10
1 3 2 10
2 2 3 10
z z z
z z z z
z z z z
z z z z
− + + =
⇔ − + + =
⇔ − + + =
⇔ + + − =
ðặt
2
2
t z z
= +
. K hi ñó pt trở thành:
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12
- Trang | 3
-
2
3 10 0

t t
− − =
1
2
5
1 6
z i
t
t
z
= − ±

= −

⇔ ⇒


=
= − ±


Bài 4:
Giải pt nghiệm phức:
25
8 6
z i
z
+ = −
Giải:
Gọi z = a + bi với

,
a b R
∈
và a, b không ñồng thời bằng 0
Khi ñó:
z a bi
= −
2 2
25 ( )
8 6
( ) 8 ( ) 6( )
( 8( )
) 6( )
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
a +b +25)-b(a +b +25 a +b a +b
a +b +25) a +b
b(a +b +25 a +b
a bi
Pt a bi i
a b
a i i
a
−
⇔ − + = −
+
⇔ = −

=


⇔

=


Giải hệ pt trên ta có:
0
4
a
a
=


=

Với a = 0 thì b = 0 (loại)
Với a = 4 thì b = 3 nên ta có số phức z = 4 + 3i.
Bài 5:
Giải pt sau trên tập phức biết rằng nó có nghiệm thực:
3 2
2 5 (3 2 ) 3 0
z z i z i
− + + + + =
Giải:
3 2
2 5 3 3 (2 1 ) 0
Pt z z z z i
⇔ − + + + + =
Vì pt có nghiệm thực

( )
z R
∈
3 2
2 5 3 3 0
1
2
2 1 0
z z z
z
z

− + + =
⇒ ⇔ = −

+ =

Do ñó pt
2
(2 1 )( 3 3 ) 0
z z z i
⇔ + − + + =
Khóa h
ọ
c
LTĐH môn Toán - Thầy Lê Bá Trần Phương
Số phức
Ho cmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng ñài tư vấn : 1900 58 -58-12
- Trang | 4

-
2
1/ 2
2 1 0
2
3 3 0
1
z
z
z i
z z i
z i
= −

+ =


⇔ ⇔ = −


− + + =


= +

Giáo viên: Lê Bá Trần Phương
Nguồn : Hocm ai.vn

Khóa học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương)
Chuyên đề 06. Số phức

Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt
Tổng đài tư vấn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -




a) Cách tính căn bậc 2 của số thực âm và số phức:
VD1: Tính căn bậc 2 của:
1) 5
2) 16
z
z



VD2: Tính căn bậc 2 của
48 14zi  

b) Bài tập:
Bài 1: ĐHKA 2009 Gọi z
1
; z
2
là 2 nghiệm phức của phương trình:
2
2 10 0zz  

Tính giá trị của biểu thức:

22
12
| | | |A z z

Bài 2: Gọi z
1
; z
2
là 2 nghiệm phức của phương trình:
2
(1 ) 1 0z i z i    

Tính giá trị của biểu thức
12
||A z z

Bài 3: Giải phương trình sau trên tập số phức:
3
) 1 0az

2
)2(1 ) 4(2 ) 5 3 0b i z i z i     


Giáo viên: Lê Bá Trần Phƣơng
Nguồn: Hocmai.vn

BÀI 4. GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC
TÀI LIỆU BÀI GIẢNG
Giáo viên: LÊ BÁ TRẦN PHƢƠNG

Đây là tài liệu tóm lược các kiến thức đi kèm với bài giảng Bài 4.Giải phương trình trên tập số phức thuộc khóa
học LTĐH KIT-1: Môn Toán (Thầy Lê Bá Trần Phương) tại website Hocmai.vn. Để có thể nắm vững kiến thức
phần Bài 4.Giải phương trình trên tập số phức Bạn cần kết hợp xem tài liệu cùng với bài giảng này.