Lũy thừa,- hàm số mũ, hàm số logarit

GV : Trần Thanh Hồng – THPT Nguyễn Trân
LŨY THỪA – HÀM SỐ MŨ , HÀM SỐ LOGARIT
Lũy thừa thừa với số mũ nguyên
Đònh nghóa: a
n
=

.
n thuaso
a a a
, a ∈ R, n ∈ N*.

Khi a ≠ 0 ta có a
0
= 1 , a
-n
=
1
n
a
, a
-1
=
1
a

Tính chất: với a,b ≠ 0 , m,n ∈Z ta có:
. ; . ( )
;
( )
m n m n n n n

n
m n
m n
n n
n m mn
a a a a b ab
a a a
a
a b b
a a
+
−
= =
 
= =
 ÷
 
=
Căn bậc n:
•
m
n m
n
a a=
;
=
.
;
m
n m n

a a
( )
= ;
m
n m
n
a a

•
= = . . ; ;
n
n n n
n
n
a a
a b a b
b
b

•
n
n n
n
a nchan
a
a n le


=




Tínhchất :
+ a > 1: m > n ⇒ a
m
> a
n

+ 0 < a < 1 : m > n ⇒ a
m
< a
n
+ 0 < a < b * a
x
< b
x
khi x > 0 ;
* a
x
> b
x
khi x < 0
HÀM SỐ LOGARIT:
1. Đ/n : y = log
a
x ( 0 <a ≠1) TXĐ: R*
+
; TGT: R
log
a

x = y ⇔ a
y
= x
Nếu : a > 1 HS: đồng biến trên R*
+ ;

Nếu: 0 < a < 1 HS nghòch biến trên R*
+
2. Công thức về logarit : 0 < a ≠ 1
• log
a
1 = 0; log
a
a = 1;
•
log ;
x
a
a x=

log
a
x
a x=
( x > 0)
•
1 2 1 2
log ( . ) log log
a a a
x x x x= +

, ( x
1
,x
2
> 0 )
1
1 2
2
log log log
a a a
x
x x
x
= −
, (x
1
,x
2
> 0 )
log log
n
a a
x n x=
(x > 0)
log
log
log
a
b
a

x
x
b
=
(x,b > 0 )
log .log log
a b a
b x x=
1
log
log
a
b
b
a
=

a
1
log .log x
a
x
α
α
=
Giải pt mũ :
Đưa về dạng cơ bản :
* a
x
= a

b
⇔ x=b đk: 0 < a ≠ 1
* a
x
= c (*)
 Nếu c ≤ 0 (*) vô nghiêm
 Nếu c > 0 thì a
x
= c ⇔
a
x=log c
Đưa về cùng một cơ số :

( ) ( )
( ) ( )
0 1
f x g x
a a
f x g x
a

=
⇔ =

< ≠

 Đặt ẩn phụ : t= a
x
( đk t > 0) đưa về pt đại số
với ẩn t .

 Dùng PP: Logarit hóa 2 vế theo cơ số a.
 Đóan nghiệm và CM nghiệm đó duy nhất.
 Bằng phương pháp đồ thò
Giải pt Logarit
Đưa về dạng cơ bản :
* log
a
x = log
a
b ⇔ x = b đk (0 < a ≠ 1 , b> 0)
* log
a
x = c ⇔ x= log
a
c đk (0 < a ≠ 1 )
Đưa về cùng một cơ số dạng :

log ( ) log ( )
a a
f x g x=
Đk: g(x) ≥ 0 ; 0 <a ≠ 1
Gpt: f(x)=g(x)
 Đặt t = log
a
x đưa pt đại số với ẩn t
 Đoán nghiệm và CM nghiệm đó duy nhất.
 Bằng phương pháp đồ thò
Bất pt mũ : Bất pt Logarit :
- Biến đổi đưa về
Dạng 1: a

f(x)
>a
g(x)
(*) (0<a ≠1)
+ Nếu a>1 thì (*) ⇔ f(x) > g(x)
+ Nếu 0<a<1 thì (*) ⇔ f(x) < g(x)

Dạng 2: a
f(x)
>c

(0<a ≠1)
+ Nếu a>1 thì (*) ⇔ f(x) > log
a
c
+ Nếu 0<a<1 thì (*) ⇔ f(x) < log
a
c
-Có thể đặt ẩn phụ
-Biến đổi đưa về
Dạng 1:log
a
f(x) >log
a
g(x) (*)

(0<a ≠1)
+ Nếu a>1 thì (*)⇔ f(x) > g(x)
+ Nếu 0<a<1 thì (*)⇔ f(x) > g(x)

Dạng 2: log
a
f(x) > c

(*) (0<a ≠1)
+ Nếu a>1 thì (*)⇔ f(x) > a
c
+ Nếu 0<a<1 thì (*)⇔ f(x) < a
c
-Có thể đặt ẩn phụ
1
GV : Trần Thanh Hồng – THPT Nguyễn Trân
BÀI TẬP
Câu 1.Tính
9 1
32
log 2-log 5
2 log 3
1
2 2
5
5
27
) 4 b) 3 c) log 8 d) log
9
a
+
e)
3 9 9
log 5 log 36 4log 7

81 27 3+ + =
3 81 10
2log 2 4log 2+2log 7
2
) 9 g) 10 ) log
a
f h a a a a
+

3 1
2 1
2 4
92
8
5
log 2 log
2log 5 log 9
log 3 log
9
11
) 2 j) 4 k) 9i
+
+
+
lg2+lg3
)
lg3.6+1
m =

2 4

log 3-log 5
n) 8

4
4
log 19
3
3log 27
3
1
p)
243
−
 
 ÷
 

1 1
2
5 2
1 4 1
log log 3 log 2 21
2 10
7
q) 5
 
 
+ + + +
 ÷
 ÷

 
 
0 0 0
)lg(tg1 )+lg(tg2 )+ +lg(tg89 )t
Câu 2.Tìm x biết :
5
x
3 -3 1 1
) log 2 2 b) log 2 = c) lgx= lg9 lg64 lg2
4 5 2 3
x
a = − +
Câu 3.Rút gọn:
a a
a
a
a
log (log a)
log y
log a
log x
x
) log log b) a c)
y
x
a
a a
a a
 
 

Đặt t = x
log
a
y
( ĐS =1)
Câu 4. a) Cho biết log
27
5 = a , log
8
7 = b, log
2
3 = c Tính log
6
35 theo a, b, c ĐS:= 3(ac + b ) /( 1+c)
b) Biết a = log
3
15 . Tính log
25
15 theo a ĐS=a/2(a-1).
c)
3
49 2
7
121
log log 11 log 7
8
theo a và b= =
Câu 5. Giải các phương trình sau:
a) 4
x

= 8
2x-3
b) 3
x-1
= 18
2x
.2
-2x
.3
x+1


c ) (0.4)
x-1
=(6.25)
6x-5

d) 2
x
.3.3
x-2
.5
x+1
= 4000 e) 5
2x+1
-3.5
2x-1
= 550
2
2

g) 10 1
x x+ −
=
x-1 2x-1
h) 4.9 =3 2
i)
( )
2 2
4
x -6 x -6 x-1
5
1
2 .3 = 6
6
k)
2
7.2 3.9
5 .(3 9 3) 0
x x
x
− +
− − =
Câu 6. Giải các pt :
a) 6
3-x
=216 b)
3 7 7 3
3 7
7 3
x x− −

   
=
 ÷  ÷
   
c)
( )
5
1
2 .5 0.1 10
x x x−
=
d)
3
1 1
3 .
3 27
x x
x
−
   
=
 ÷  ÷
   
e)
2
1 lg cos
log
3
8 10
x

π
 
+
 ÷
 
=
f)
7
5
log
log 0.75
2
7 5
x
=
g)
( )
x
5-
x+1
4
2 =16 0.25
h)
11
log (70 )
1 2lg7
11 10
x
+
=

q)
1 2 1 2
5 5 5 3 3 3
x x x x x x+ + + +
+ + = + +
R)
1 7
2 1
2 2
9 2 2 3
x x
x x
+ +
−
+ = −
S)
1
1
3 4 9
4 3 16
x
x
−
   
=
 ÷  ÷
   
Câu 7. Giải các phương trình sau ( HD : đặt ẩn phụ :)
a) 5
2x

-2.5
x
-15 = 0 b)25
x
-6.5
x+1
+ 5
3
=0 c) 3
2+x
+ 3
2-x
= 0
d) 4
x
+2
x
-6 = 0 e)
2 2
2 2
4 9.2 8 0
x x+ +
− + =
f) 6.9
x
-13.6
x
+ 6.4
x
= 0

h)
(
)
(
)
5 2 6 5 2 6 10
x x
+ + − =
k)
1
sin
sin
2
4 3.2 1 0
x
x
+
− + =
l) 3.4
x
-2.6
x
= 9
x
m) 8
x
– 4
x
= 2
x

n)
4 2
3 4.3 3 0
x x
− + =
p)
2
4 0.5
3 81 3
x x− −
=
Câu 8. Giải các phương trình sau:
a)2
x
+3
x
=5
x
b) 4
x
+3
x
=5
x
c)
( 2 3) ( 2 3) 2
x x x
+ + − =
d) 3
x

.2
x2
= 1 e) 3
x
= x +5 f)4
x
= x+2
Câu 9.Giải các phương trình sau :
a)Log
2
(x-3) + log
2
(x-1) = 3 b)log
2
(x
2
+6x+1) = 3
c)
2 1
8
log ( 2) 2 6log 3 5x x− − = −
d)
3 9 81
7
log log log
2
x x x+ + =
2
GV : Trần Thanh Hồng – THPT Nguyễn Trân
e)

2
6 36
3 6
log log log 0x x x
+ + =
f) log
x
(4 -x) + log
x
(x+1) = 1
g) lg(x+1) – lg(2-x)+ lg2 = lg7 – lg4 h) log
2
(x – 1) = 6log
x
2 k) lg
2
x – lgx
3
+2 = 0
l) 1 + log
2
(x-1) = log
x-1
4 m) log
3x+7
(4x
2
+12x+9)+log
2x+3
(6x

2
+23x+21)=4
n) lg(x
2
+x-6) +x
2
+x-3 = lg(x+3) +3x 0)
x 1- x
2(lg2-1)+lg(5 +1)=lg(5 +5)

p)
1 2
lg(4 .2 1) 1 lg( 2 2) 2lg2
x x− −
− − = + −
q) 2x-lg(5
2x
+x-2) = lg4x
r) 5
lgx
+x
lg5
= 50 s) (5)
7x
=(7)
5x
t)
2
3 3
3

log log 1
x
x
x
+ =
u)
2
5
5
log (4 6) log (2 2) 2
x x
− − − =

v) log
5-x
(x
2
-2x+65)=2 x)
3
log
log 3 2
x
=

Câu 10.Bất phương trình mũ và logarit
a)
2
2 4
x x−
>

b)
2
1 1
2 4
x x−
 
>
 ÷
 
c)
2
2
3 9
x x x− +
>
d)
2
6
1
9
3
x x
x
+
− −
 
≤
 ÷
 

e) 3.5
2x-1
-2.5
x-1
< 0.2 f) 5
2x-1
-26.5
x
+5>0
Câu 11. Bất phương trình logarit
a) log
4
(2x
2
+3x+1)<log
2
(2x+2) b)
1 3
3
log ( 1) log (2 )x x+ ≤ −
c)log
3x-2
x<1
d)log
2x
(x
2
-5x+6) <1 e)
2 1 5
3

log log (log ) 0x
 
>
 
 
f)
3
log log (9 6) 1
x
x
 
− >
 

g) 2log
5
x-log
x
125<1 h)
2
1
2
log ( 4 6) 2x x− + < −
k)
1
5
4 6
log 0
x
x

+
≥

l)
1
5
log (6 36 ) 2
x x+
− ≤
m)
1 1
2 2
log (9 7) log (3 1) 2
x x− −
+ > + +

n)
9
log log (3 9) 1
x
x
 
− <
 
Câu 12.Giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2
lg lg 1
29
x y

x y
+ =


+ =

b)
3 3 3
log log 1 log 2
5
x y
x y
− = +


+ =

c)
2 2
lg( ) 1 3lg2
lg( ) lg( ) lg3
x y
x y x y

+ = +

+ − − =

d)
4 2

2 2
log log 0
5 4 0
x y
x y
− =


− + =

e)
1 1
3.2 2.3 8
2 3 19
x y
x y+ +

− = −

− = −

f)
3 3
4 32
log ( ) 1 log ( )
x y
y x
x y x y
+



=


− = − +

g)
2 2
( ) ( )
log log 1 0
x y
x y x y
x y

+ = −

− = =


3