GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (448.54 KB, 37 trang )
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
1
PP GIẢI CÁC DẠNG BT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Để viết pt măt phẳng em có 2 cách cơ bản :
<1>. Xác định 1 điểm và 1 VTPT
<2>. Hoặc gọi ptmp dạng Ax+By+Cz+D=0 rồi dựa vào giả thiết tìm
A,B,C,D.
Vậy khi nào sử dụng cách 1 , khi nào sử dụng cách 2 thì em phân biệt
các dạng đề bài sau:
Dạng 1: Viết PT mp đi qua A(x
0
; y
0
;z
0
) và có VTPT
n
=(A;B;C)
A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0
Ax + By + Cz + D = 0
Dạng 2: Viết pt mặt phẳng đi qua A(x
0
; y
0
;z
0
) và // mp (Q)
- Từ ptmp(Q)
VTPT
n
Q
= (A;B;C)
- Vì (P) // (Q)
VTPT
n
P
=
n
Q
= (A;B;C)
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT
n
P
Dạng 3: Viết pt mp đi qua A(x
0
; y
0
;z
0
) và vuông góc với đường thẳng
d
- Từ (d)
VTCP
u
d =
(A;B;C)
- Vì (P) vuông góc với (d)
Chọn VTPT
n
P
=
u
d
=(A;B;C)
Viết ptmp (P) đi qua A và có vtpt
n
P
.
Dạng 4: Viết ptmp đi qua A và
(Q) ,
(R)
- Từ pt mp (Q) và (R)
VTPT
n
Q
; VTPT
n
R
- Vì (P)
(Q) và
(R)
VTPT
n
P
Q
n
và
n
P
n
R
Chọn
n
P
= [
n
Q;
n
R
]
- Vậy pt mp (P) đi qua A và có VTPT
n
P
= [
n
Q;
n
R
]
Dạng 5: Viết Pt mp (P) đi qua 3 điểm A,B,C không thẳng hàng
- Tính
AB
,
AC
và
a
= [
AB
,
AC
]
- PT mp (P) đi qua A và có VTPT
n
P
=
a
= [
AB
,
AC
]
Dạng 6: Viết ptmp (P) đi qua A,B và
(Q)
- Tính
AB
, vtpt
n
Q
và tính [
AB
,
n
Q
]
- Vì A, B
(P) ; (Q)
(P) nên chọn
n
P
=[
AB
,
n
Q
]
- Viết ptmp (P)
Dạng 7: Viết ptmp (P) đi qua A ;
(Q) và // với dt (d)
- Tính VTPT
n
Q
của mp (Q); VTCP
u
d
của đường thẳng (d).
- Tính [
u
d
,
n
Q
]
- Vì (P)
(Q) và // (d) nên VTPT
n
P
= [
u
d
,
n
Q
]
- Từ đó viết được PT mp (p)
Dạng 8: Viết ptmp (P) là trung trực của AB.
- Tình trung điểm I của ABvà
AB
- Mp (P) đi qua I và nhận
AB
làm VTPT.
Dạng 9: Viết pt mp(P) chứa (d) và đi qua A
- Tính VTCP
u
d
của đường thẳng (d) và tìm điểm M
(d)
- Tính
AM
và [
u
d
,
AM
]
- Ptmp (P) đi qua A và có VTPT
n
P
=[
u
d
,
AM
].
Dạng 10: Viết pt mp (P) chứa (d) và // (
)
- Từ (d)
VTCP
u
d
và điểm M
(d)
- Từ (
)
VTCP
u
và tính [
u
d
,
u
]
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT
n
= [
u
d
,
u
].
Dạng 11: Viết Pt mp(P) chứa (d) và
(Q)
- Từ (d)
VTCP
u
d
và điểm M
(d)
- Từ (Q)
VTPT
n
Q
và tính [
u
d
,
n
Q
]
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
2
- PT mp (P) đi qua M và có VTPT
n
=[
u
d
,
n
Q
].
Dạng 12: Viết PT mp (P) // với (Q) và d(A;(P))=h
- Vì (P) // (Q) nên pt mp (P) có dạng Ax + By +Cz + D=0
( theo pt của mp (Q) , trong đó D
D
Q
)
- Vì d(A,(P))= h nên thay vào ta tìm được D
- Thay A,B,C,D ta có PT mp (P) cần tìm.
Dạng 13: Viết PT mp(P) chứa (d) và d(A,(P))=h
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
P
= (A,B,C) với đk là A
2
+ B
2
+ C
2
>0
- Từ (d)
VTCP
u
d
và điểm M
(d)
- Vì (d) nằm trong (P)
u
d.
n
P
=0 (1)
- PT mp (p) đi qua M: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0
- d(A,(P)) = h (2)
- Giải (1);(2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta
viết được PT mp(P).
Dạng 14: Viết Pt mp(P) chứa (d) và hợp với mp (Q) một góc
90
0
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
P
= (A,B,C) với đk là A
2
+ B
2
+ C
2
>0
- Từ (d)
VTCP
u
d
và điểm M
(d)
- Vì d
(P)
u
d.
n
P
=0 (1)
- Tính cos ((P),(Q)) (2)
- Từ (1) và (2) ta tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta
viết được PT mp(P).
Dạng 15: Viết Pt mp (P) chứa (d) và hợp với đt(
)một góc
90
0
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
P
= (A;B;C) với đk là A
2
+ B
2
+ C
2
>0
- Từ (d)
VTCP
u
d
và điểm M
(d)
- Vì d
(P)
u
d.
n
P
=0 (1)
- Tính sin ((P),(
)) (2)
- Hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C từ đó chọn A,B,C đúng tỉ lệ , ta
viết được PT mp(P).
Dạng 16: Cho A và (d) , viết PT mp (P) chứa (d) sao cho d(A,(P))
là lớn nhất
- Gọi H là hình chiếu
của A lên (d)
- Ta có : d(A,(P)) = AK
AH
(tính chất đường vuông góc và đường xiên)
Do đó d(A(P)) max
AK = AH
K
H
- Viết PT mp (P) đi qua H và nhận AH làm VTPT
Dạng 17: Viết Pt mp (P) // với (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt của mp (Q) , trong đó D'
D
Q
).
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(I,(P))= R
tìm được D'
- Từ đó ta có Pt (P) cần tìm
Dạng 18: Viết PT mp(P) // (Q) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến
là đường tròn(C) có bán kính r ( hoặc diện tích, chu vi cho trước).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C =
2 r
và diện tích S =
2
r
tính r.
- d(I,(P)) =
2 2
R r
(1)
- Vì (P) // (Q) nên (P) có dạng Ax + By + Cz + D'=0
(theo pt của mp (Q) , trong đó D'
D
Q
)
- Suy ra d (I,(P)) (2)
Giải hệ (1), (2) tìm được D'
viết được
pt (P).
Dạng 19: Viết PT mp(P) chứa (d) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
P
= (A;B;C) với đk là A
2
+ B
2
+ C
2
>0
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
3
- Từ (d)
VTCP
u
d
và điểm M
(d)
- d
(P)
u
d.
n
P
=0 (1)
- Mà (P) tiếp xúc với (S) nên d(A,(P))= R (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C
PT mp(P).
Dạng 20: Viết Pt mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là
đường tròn (C) có bán kính r ( hoặc diện tích , chu vi cho trước)
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Adct : Chu vi đường tròn C =
2 r
và diện tích S =
2
r
tính r.
- Vì d
(P)
u
d.
n
P
=0 (1)
- Gọi VTPT của mp (P) là
n
P
= (A,B,C) với đk là A
2
+ B
2
+ C
2
>0,
chọn M trên đường thẳng d.
=>PT mp (P) đi qua M: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
) = 0
- Vì (P) cắt (S) theo đường tròn bán kính r nên d(I,(P)= r (2)
- Giải hệ (1) và (2) tìm được A,B theo C
PT mp(P).
Dạng 21: Viết PT mp (P) chứa (d) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến
là đường tròn (C) có bán kính nhỏ nhất .(áp dụng trường hợp d cắt (S)
tại 2 điểm).
- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu (S)
- Bán kính r =
2 2
( ,( ))R d I p
để r min
d(I,(P)) max
- Gọi H là hình chiếu
của I lên (d) ; K là hình chiếu
của I lên (P)
- Ta có: d(I,(P))= IK
Ih ( tính chất đường vuông góc và đường xiên)
- Do đó: d(I,(P)) max
AK = AH
K
H
- PT mp(P) đi qua H và nhận
IH
làm VTPT
PP GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Có 2 loại phương trình đường thẳng : PT ThamSố và PT ChínhTắc.
Dạng 1: Viết ptđt (d) qua M(x
0
; y
0
;z
0
) và có VTCP
u
=(a,b,c)
PP: phương trình tham số của d là (d):
0
0
0
x x at
y y bt
z z ct
với t
R
* Chú ý : Nếu cả a, b, c
0 thì (d) có PT chính tắc
0 0 0
x x y y z z
a b c
* Chú ý: Đây là bài toán cơ bản. Về nguyên tắc muốn viết PT dt(d)
thì cần phải biết 2 yếu tố đó là tọa độ một điểm thuộc d và toạ độ
VTCP của d.
Dạng 2: Viết pt dt(d) đi qua 2 điểm A,B
- Tính
AB
- Viết PT đường thăng đi qua A, và nhận
AB
làm VTCP
Dạng 3: Viết PT dt (d) đi qua A và //với đường thẳng (
)
- Từ pt(
)
VTCP
u
- Viết Pt dt(d) đi qua A và nhận
u
làm VTCP
Dạng 4: Viết PT dt(d) đi qua A và
(P)
- Tìm VTPT của mp(P) là
n
P
- Pt dt(d) đi qua A và Có VTCP
u
d
=
n
P
Dạng 5: Viết Pt dt(d) đi qua A và vuông góc với cả 2 dt (d
1
),(d
2
)
- Từ (d
1
),(d
2
)
1 2 1 2
, à u à uVTCPd d l v
=> tính [
1
u
,
2
u
].
- Vì (d)
(d
1
),(d
2
) nên có VTCP
u
d=
[
1
u
,
2
u
]
- Pt dt(d) đi qua A và có VTCP
u
d=
[
1
u
,
2
u
]
Dạng 6: Viết PT của dt (d) là giao tuyến của 2 mp
(P):Ax + By + Cz + D = 0
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
4
(Q):A
'
x + B
'
y + C
'
z + D
'
= 0
- Từ (P) và (Q)
n
P
,
n
Q
- Tính [
n
P
,
n
Q
]
- Xét hệ
'
' ' '
Ax + By + Cz +D =0
A 0x B y C z D
.
Chọn một nghiệm (x
0
; y
0
;z
0
) từ đó
M
d
- Pt dt(d) đi qua M và có VTCP
u
d
=[
n
P
,
n
Q
].
Dạng 7: Viết PT hình chiếu của d lên mp(P)
Cách 1: - Viết ptmp(Q) chứa d và vuông góc với mp(P)
- Hình chiếu cần tìm d
'
= (P)
(Q)
Cách 2: + Tìm A =
( )d P
( chỉ áp dụng với giả thiết d cắt (P) )
+ Lấy M
d
và xác định hình chiếu H của M lên (P)
+ Viết phương trình d' đi qua M, H
Dạng 8: Viết pt đg thẳng d đi qua điểm A và cắt 2 đường thẳng d
1
, d
2
:
Cách 1 *Viết pt mặt phẳng (
) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d
1
* Tìm B =
2
( ) d
* Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : Viết pt mặt phẳng (
) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d
1
Viết pt mặt phẳng (
) đi qua điểm B và chứa đường thẳng d
2
Đường thẳng cần tìm d =
Dạng 9: Viết pt đường thẳng d song song d
1
và cắt cả d
2
, d
3
- Viết phương trình mp (P) song song d
1
và chứa d
2
- Viết phương trình mp (Q) song song d
1
và chứa d
3
- Đường thẳng cần tìm d =
( ) ( )P Q
Dạng 10 : Viết ptđt d đi qua A và vuông góc đường thẳng d
1
và cắt d
2
Cách 1 : - Viết pt mp
( )
qua A và vuông góc d
1
- Tìm giao điểm B =
2
( ) d
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Cách 2 : * Viết pt mp
( )
qua A và vuông góc d
1
* Viết pt mp
( )
qua A và chứa d
1
* Đường thẳng cần tìm d =
Dạng 11 : Viết ptđt d đi qua A, song song mp
( )
, cắt đường thẳng d'
Cách 1 : - Viết ptmp(P) đi qua A và song song với
( )
- Viết ptmp(Q) đi qua A và chứa d'
- Đường thẳng cần tìm d =
( ) ( )P Q
Cách 2 : * Viết ptmp(P) đi qua A và song song với
( )
* Tìm B =
( ) 'P d
* Đường thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A,B
Dạng 12 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và cắt 2 đường thẳng d
1
, d
2
cho
trước.
- Tìm giao điểm A=d
1
( )P
và B=d
2
( )P
- Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B
Dạng 13 : Viết ptđt d nằm trong mp(P) và vuông góc với đường thẳng
d' tại giao điểm I của (P) và d'.
* Tìm giao điểm I' = d'
( )P
* Tìm VTCP
u
của d' và VTPT
n
của (P) và tính
[u,n]v
* Viết ptđt d qua I và có VTCP
v
Dạng 14 : Viết ptđt vuông góc chung d của 2 dường thẳng chéo nhau
d
1
, d
2
:
- Gọi
0 0 0 1
( , , )M x at y bt z ct d
,
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
5
và
' ' '
0 0 0 2
( ' ', ' ', ' ')N x a t y b t z c t d
là các chân đường vuông góc chung của d
1
, d
2
- Ta có hệ
1
1
2
2
. 0
, '
. 0
MN d
MN u
t t
MN d
MN u
.
- Thay t, t' tìm M, N. Viết ptđt đi qua M,N.
( Với cách 2 em tính thêm được khoảng cách MN, cũng chính là độ dài
đường vuông góc)
Dạng 15 : Viết pt đường thẳng d vuông góc với mp(P) và cắt 2 đường
thẳng d
1
,d
2
.
* Viết ptmp(Q) chứa d
1
và vuông góc với mp(P)
* Viết ptmp(R) chứa d
2
và vuông góc với mp(P)
* Đường thẳng d =
( ) ( )Q R
Dạng 16 : Viết ptđt d đi qua điểm A , cắt và vuông góc với đường
thẳng d
1
.
- Viết pt mp
( )
qua A và vuông góc d
1
- Tìm giao điểm B =
1
( ) d
- Đường thẳng cần tìm đi qua A, B
Dạng 17 : Viết ptđt d đi qua A ,vuông góc với d
1
,tạo với d
2
góc
0 0
(0 ;90 )
(= 30
0
, 45
0
, 60
0
)
* Gọi VTCP của d là
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c
* Vì
1
1
. 0d d u u
=>phương trình (1)
Vì
2
2
.
.
u u
cos
u u
=> phương trình (2)
Thế (1) vào (2) => a,b,c => ptđt d.
( chú ý : nếu thay giả thiết là d tạo với mp(P) góc
0 0
(0 ;90 )
thì
có
.
.
P
P
u u
sin
u u
)
Dạng 18 : Viết ptđt d di qua A , song song với mp(P) , tạo với d
1
góc
0 0
(0 ;90 )
.
- Gọi VTCP của d là
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c
- Vì d//(P) nên
. 0
p
u n
=> phương trình (1).
- Vì
1
1
1
.
( , )
.
u u
cos d d cos
u u
nên có phương trình (2).
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp
( ; ; )u a b c
Dạng 19 : Viết ptđt d di qua A , nằm trong mp(P) , tạo với d
1
góc
0 0
(0 ;90 )
.
- Gọi VTCP của d là
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c
- Vì d
(P) nên
. 0
p
u n
=> phương trình (1).
- Vì
1
1
1
.
( , )
.
u u
cos d d cos
u u
nên có phương trình (2).
- Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp
( ; ; )u a b c
Dạng 20: Viết ptđt d di qua A , vuông góc d
1
và khoảng cách từ M đến
d bằng h.
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
6
* Gọi VTCP của d là
2 2 2
( ; ; ), : 0u a b c dk a b c
* Vì d
1
d
nên
1
. 0u n
=> phương trình (1).
* Vì
[ , ]
( , )
u
u AM
d M d h h
=> phương trình (2).
*Giải hệ phương trình (1), (2) tìm a,b theo c=> chọn a,b,c.
=>viết ptđt d đi qua A, có vtcp
( ; ; )u a b c
PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Dạng 1: Lập mặt phẳng P đi qua điểm M có véc tơ pháp
tuyến
n
Ví dụ : Lập mặt phẳng P
a) Đi qua điểm
1, 2,4M
và song song với mặt phẳng :
2x+3y +5z-10=0
b) Đi qua điểm M( 0,2,-1 ) và vuông góc với đường thẳng d:
1 2 1
1 3 2
x y z
c) Đi qua M(1,0,-4 ) và vuông góc với giao tuyến của hai
mặt phẳng (
): 1 0 : 2 3 7 0x y z x y z
Dạng 2: Lập mặt phẳng P đi qua điểm M ,có cặp vec tơ chỉ
phương
Ví dụ 1. Lập mặt phẳng P đi qua 3 điểm A(5,1,3), B(1,6,2),
C(5,0,4)
2. Lập mặt phẳng P đi qua điểm M và đồng thời // với 2
đường thẳng chéo nhau cho sẵn
Ví dụ :Cho 2 đường thẳng
1 2
8
3 1 1
: 5 2 , :
7 2 3
8
x t
x y z
d y t d
z t
a) Chứng tỏ hai đường thẳng đó chéo nhau
b) Viét phương trình mặt phẳng P đi qua gốc toạ đọ O,// cả
1 2
,d d
3. Lập mặt phẳng P chứa một đường thẳng và // với một
đường thẳng khác (hai đường thẳng này chéo nhau )
Ví dụ :(ĐHKA-2002) Cho là giao tuyến của 2 mặt phẳng
(P): x-2y+z-4=0 và (Q): x+2y-2z+4=0 , đường thẳng:
' :
1
2
1 2
x t
y t t R
z t
a) Lập mặt phẳng (R) ,chứa và //'
b) Tìm điểm H thuộc sao cho MH đạt GTNN ,với
M(2,1,4)
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
7
Ví dụ 2: (ĐHKB-2006) Trong không gian OXYZ,cho hai
đường thẳng
1 2
1
1 1
: , : 1 2
2 1 1
2
x t
x y z
d d y t t R
z t
1. Viết phương trình mặt phẳng qua A(0,1,2 ),đồng thời //
với
1 2
,d d
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc d1, N thuộc d2 sao cho 3 điểm
A,M,N thẳng hàng
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng Oxyz , cho đường thẳng d có
phương trình :
2 1 1
1 2 3
x y z
và mặt phẳng P có phương
trình : x- y +3z +2 =0
1. Tìm toạ độ giao điểm M của d và P
2. Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d và
vuông góc với mặt phẳng P
4. Lập mặt phẳng chứa hai dường thẳng // hoặc cắt nhau:
Ví dụ 1:( Bài6-Ôn chương III-tr110 -HHKG12NC )
Cho hai đường thẳng d
:
7 3
1 2 5
2 2 ':
2 3 4
1 2
x t
x y z
y t t R d
z t
a) Chứng minh d và d' đồng phẳng .Viết phương trình mặt
phẳng P chứa chúng
b) Tính thể tích tứ diện giới hạn bởi P và 3 mặt phẳng toạ độ
c) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói trên
Ví dụ 2.(ĐHKD-2005)
TRong Oxyz cho hai đường thẳng
1 2
1 2 1
: :
3 1 2
x y z
d d
là giao tuyến của hai mặt phẳng
:x+y-z-2=0,và x+3y-12=0
a) Chứng minh d1,d2 // nhau .Viết phương trình P chứa hai
đường thẳng d1,d2
b) Mặt phẳng Oxz cắt d1,d2 lần lượt tại A,B.Tính diện tích
tam giác OAB (O là gốc toạ độ )
5. Lập mặt phẳng đi qua một điểm và chứa một đương
thẳng cho sẵn
Ví dụ 1 (Bài 4.tr110-HH12NC)
Cho điểm A(2,3,1) và hai đường thẳng :
1 2
2
5 2
: 2 :
3 1 1
2
x t
x y z
d y t t R d
z t
a) Viết phương trình mặt phẳng P đi qua A và d1
b) Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua A và d2
Ví dụ 2.
Trong Oxyz cho điểm M(5,2,-3) và mặt phẳng P : 2x+2y-
z+1 = 0
a) Gọi M1,là hình chiếu vuông góc Mlên mặt phẳng P.Xác
định toạ độ điểm M1 và tính độ dài đoạn MM1
b) Viết phương trình mặt phẳng Q đi qua điểm M và chứa
đường thẳng d :
1 1 5
2 1 6
x y z
6. Lập mặt phẳng P,tiếp xúc với mặt cầu
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
8
Ví dụ (Bài 87-tr137-BTHH12NC )
Trong Oxyz cho mặt cầu S có phương trình :
2 2 2
10 2 26 113 0x y z x y z
Và hai đường thẳng d
7 3
5 1 13
': 1 2
2 3 2
8
x t
x y z
d y t t R
z
a) Viết phương trình mặt phẳng P tiếp xúc S và vuông
góc với d
b) Viết phương trình mặt phẳng Q tiếp xúc S và // với
cả d và d'
Ví dụ 2. (Bài 9-tr111-HH12NC )
Cho mặt cầu S có phương trình :
2 2 2
2 4 6 0x y z x y z
1.Tìm toạ độ tâm ,bán kính mặt cầu
2.Tuỳ theo giá trị k ,xét vị trí tương đối của cầu S và mặt
phẳng P : x+y-z+k=0
3. Mặt cầu S cắt 3 trục Ox,Oy,Oz lần lượt tại A,B,C khác
với gốc O.Viết phương trình mặt phẳng ABC
4. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cầu S tại B
5. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với cầu S và // với
mặt phẳng Q có phương trình : 4x+3y-12z-1=0
ĐƯỜNG THẲNG .
-Trước khi phân dạng lập phương trình đường thẳng các em
cần chú ý đến khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳng
: Là véc tơ có phương song song với đường thẳng
-Vì vậy véc tơ này có thể là véc tơ chỉ phương của một
đường thẳng khác song song với đường thẳng cần lập , hoặc
là véc tơ pháp tuyến của một mặt phẳng vuông góc với
đường thẳng cần lập .
-Ngoài ra còn chú ý đến các quan hệ vuông góc , quan hệ
song song của đường thẳng với đường thẳng , quan hệ
vuông góc , song song của đường thẳng với mặt phẳng trong
không gian .
- Do đó trước khi tiến hành các bước lập phương trình
đường thẳng chúng ta nên vẽ sơ bộ mô phỏng một hình vẽ (
không đòi hỏi phải chính xác ) , để từ hình vẽ ta tìm ra cách
giải hợp lý .
1. Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm M và có véc
tơ chỉ phương
; ;u a b c
.
Ví dụ 1: ( Bài 6-tr89-HH12CBXB-2007)
Viết phương trình tham số của đường thẳng d trong các
trường hợp sau :
a/ d đi qua M(5;4;1) và có véc tơ chỉ phương
2; 3;1a
.
b/ d đi qua A(2;-1;3) và vuông góc với mặt phẳng
: 5 0x y z
.
c/ d đi qua B(2;0;-3) và song song với d’:
1 2
3 3
4
x t
y t
z t
.
d/ d đi qua hai điểm P(1;2;3) và Q(5;4;4) .
2. Lập đường thẳng d đi qua
0 0 0
; ;M x y z
, đồng thời cắt hai
đường thẳng chéo nhau (cho sẵn :
1 2
,d d
).
Ví dụ 1. .(Bài 29-tr103-HH12NC).
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
9
LËp đường th¼ng d ®i qua A(1,-1,1) vµ c¾t hai đường
th¼ng
1 2
1 2 '
: : 1 2 ' '
3 2 '
x t x t
d y t t R d y t t R
z t z t
Ví dụ 2( HVKTQS-2000)
Cho hai đường thẳng :
2 4 8 6 10
: ; ':
1 1 2 2 1 1
x y z x y z
d d
.
Viết phương trình đường thẳng (m) song song với trục Ox
và cắt d với d’ tại M và N . Tìm tọa độ M,N .
Ví dụ 3. Cho đường thẳng
3
: 1 2
4
x t
y t t R
z
và đường
thẳng
'
là giao tuyến của hai mặt phẳng : x-3y+z=0 và
x+y-z+4=0 .
Hãy viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm M(1;1;2)
đồng thới cắt
và
'
3. Lập d song song với
1
d
đồng thới cắt
2 3
,d d
cho sẵn .
Ví dụ 1: Cho
1
1
: 2 4
1
x
d y t
z t
,
2
1 2 2
:
1 4 3
x y z
d
và
3
4 5 '
: 7 9 '
'
x t
d y t
z t
.
Lập phương trình đường thẳng d song song với
1
d
đồng thới
cắt
2 3
,d d
.
Ví dụ 2. Cho :
1
1 6
:
1 2 3
x y z
d
và
2
1
: 2
3
x t
d y t
z t
a/ Chứng tỏ
1 2
,d d
chéo nhau
b/ Viết phương trình đường thẳng d song song với trục Oz
đồng thời cắt cả
1 2
,d d
Ví dụ 3. ( ĐH-KA-2007)
Cho đường thẳng
1
1 2
:
2 1 1
x y z
d
và
2
1 2
: 1
3
x t
d y t
z
.
a/ Chứng tỏ
1 2
,d d
chéo nhau .
b/ Lập phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt
phẳng (Q): 7x+y-4z=0 và cắt hai đường thẳng
1 2
,d d
4. Lập đường thẳng d đi qua
0 0 0
; ;M y z
, vuông góc với
1
d
và cắt
2
d
( với
1 2
,d d
chéo nhau cho sẵn )
Ví dụ 1.(ĐH-KD-2006).
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;2;3) và
hai đường thẳng :
1
2 2 3
:
2 1 1
x y z
d
,
2
1 1 1
:
1 2 1
x y z
d
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
10
a/ Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với điểm A qua đường
thẳng
1
d
.
b/ Viết phương trình đường thẳng
đi qua A vuông góc với
1
d
và cắt
2
d
.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz ,
cho hai đường thẳng :
1
1 2
:
3 1 1
x y z
d
,
2
: 1 2
1
x t
d y t
z t
và điểm M(3;2;1) .
a/ Lập phương trình đường thẳng d đi qua M vuông góc với
1
d
và cắt
2
d
b/ Tìm tọa độ điểm A thuộc
1
d
và điểm B thuộc
2
d
sao cho
M,A,B thẳng hàng .
Ví dụ 3.(ĐH-Dược-98).
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho điểm
A(0;1;4) và hai đường thẳng
1
1 2
:
3 1 1
x y z
d
,
2
1
:
1
x
d y t
z t
.
Hãy lập phương trình đường thẳng d đi qua A vuông góc với
1
d
và cắt
2
d
.
5. Lập đường thẳng d đi qua M , đồng thời vuông góc và cắt
đường thẳng d’ ( cho sẵn )
Ví dụ 1. Lập phương trình đường thẳng đi qua M(1;2;-2)
vuông góc và cắt đường thẳng d’: x=t;y=1-t;z=2t .
.
Ví dụ 2. (ĐH-KB-2004)
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho điểm
A(-4;2;4) và đường thẳng d có phương trình :
3 2
1
1 4
x t
y t t R
z t
. Viết phương trình đường thẳng d’ đi qua
A vuông góc và cắt d .
.
Ví dụ 3.(ĐH- Thương mại -2001)
Viết phương trình đường thẳng đi qua M(2;-1;0) vuông góc
và cắt đường thẳng d’ có phương trình :
5x 2 0
2z 1 0
y z
x y
.
6.Lập phương trình đường thẳng đi qua M ( thuộc mặt phẳng
(P) ), nằm trong (P) và vuông góc với đường thẳng d’ ( cho
sẵn ) .
BÀI TOÁN
Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz , cho mặt
phẳng (P) và đường thẳng d . Hãy lập phương trình đường
thẳng d’ đi qua điểm A ( là giao của d với (P) ), nằm trong
(P) và vuông góc với d .
Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz ,
cho mặt phẳng (P) có phương trình : 2x+y+z-2=0 và đường
thẳng d :
1 2
2 1 3
x y z
.
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
11
a/ Tìm tọa độ điểm M là giao của d với (P)
b/ Viết phương trình đường thẳng
qua M vuông góc với d
và nằm trong (P).
Ví dụ 2.( ĐHCĐ- 97).
Cho mặt phẳng (P) : x+2y-z+5=0 và đường thẳng d:
3 1 3
2 1 1
x y z
.
a/ Tìm tọa độ điểm M là giao của d với (P)
b/ Viết phương trình đường thẳng
đi qua M , vuông góc
với d và nằm trong mặt phẳng (P) .
Ví dụ 3.( ĐH-SPTPHCM-99)
Cho mặt phẳng (P): 2x+y+z-1=0 và đường thẳng d :
3 4 3
1 2 1
x y z
.
a/ Tìm tọa độ điểm N là giao của d với (P)
b/ Viết phương trình của đường thẳng
vuông góc với d ,
đi qua N và nằm trong mặt phẳng (P) .
.
Ví dụ 4.( ĐH-KA-2005).
Trong không gian với hệ trục vuông góc Oxyz cho đường
thẳng d :
1 3 3
1 2 1
x y z
, và mặt phẳng (P): 2x+y-2z+9=0
.
a/ Tìm tọa độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến
mặt phẳng (P) bằng 2
b/ Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng
(P). Viết phương trình tham số của đường thẳng nằm trong
mặt phẳng (P), biết đường thẳng này đi qua A và vuông góc
với d .
7.Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm M đồng thời
vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau ( cho sẵn )
Ví dụ 1. Hãy lập phương trình đường thẳng
đi qua điểm
A(-1;-3;0) đồng thời vuông góc với hai đường thẳng :
1
1 1
: , ': 3
2 2 1
2 3
x t
x y z
d d y t R
z t
Ví dụ 2. Lập phương trình đường thẳng
đi qua điểm M(1;-
1;2) và vuông góc với hai đường thẳng :
3z 1 0 2x 2z 5 0
: ':
2x 9z 2 0 2x 2 2 0
x y y
d d
y y z
.
8. Lập phương trình đường thẳng vuông góc chung của hai
đường thẳng chéo nhau (cho sẵn )
BÀI TOÁN
Cho hai đường thẳng :
1
d
đi qua
1
M
và có véc tơ chỉ phương
1
u
. Đường thẳng
2
d
đi qua
2
M
và có véc tơ chỉ phương
2
u
.
Lập phương trình đường thẳng
là đường thẳng vuông góc
chung của hai đường thẳng đã cho .
Ví dụ 1.(ĐHCS-2000)
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
12
Cho hai đường thẳng
1 2
1 0
: 0 , : 4 2 '
5 5 3 '
x t x
d y d y t
z t z t
a/ Chứng tỏ
1 2
,d d
chéo nhau ?
b/ Viết phương trình tham số của đường thẳng
( là đường
thẳng vuông góc chung của
1 2
,d d
).
Ví dụ 2. ( Bài 7-tr111-BTHH12NC)
Cho hai đường thẳng
2 '
: 3 ' : 1 ' , '
6 2 '
x t x t
d y d y t t t R
z t z t
Hãy viết phương trình chính tắc đường vuông góc chung của
d và d’ .
Ví dụ 3. ( ĐHKTQD-98).
Cho hai đường thẳng :
1
: 2 2
3 3
x t
d y t
z t
và
2 0
':
2x 3z 5 0
x y z
d
y
.
a/ Xét vị trí tương đối của d và d’
b/ Viết phương trình đường vuông góc chung của d và d’ và
tính d(d,d’) ?
Ví dụ 4.( Bài 3.42-BTHH12CB).
Cho hai đường thẳng :
1 2
:
1 2 3
x y z
d
và d’:
1 '
3 2 ' '
1
x t
y t t R
z
Lập phương trình đường vuông góc chung của d và d’ .
Ví dụ 5.( Bài 77-tr135-BTHH12NC).
Viết phương trình đường vuông góc chung của các cặp
đường thẳng sau :
a/
2 3 4
:
2 3 5
x y z
d
và
1 4 4
':
3 2 1
x y z
d
b/
2
: 1
2
x t
d y t
z t
và
2 2 '
': 3 , '
'
x t
d y t t R
z t
9. Lập phương trình hình chiếu của một đường thẳng lên
một mặt phẳng ( theo phương chiếu cho sẵn )
a. Hình chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt
phẳng :
b. Hình chiếu của đường thẳng d theo phương chiếu d’ trên
mặt phẳng (P) cho sẵn
Giống như cách phân tích trên , dựa vào định nghĩa phép
chiếu song song thì đường thẳng d’’(là hình chiếu của d theo
phương chiếu d’ trên (P) ) phải nằm trên mặt phẳng (Q)
chứa d và song song với d’ . Do đó ta có cách giải sau :
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1.( Bài 27-tr103-HH12NC)
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
13
Cho đường thẳng d :
8 4
3 2
x t
y t t R
z t
và mặt phẳng (P) :
x+y+z-7=0 .
a/ Tìm véc tơ chỉ phương của d và một điểm nằm trên d
b/ Viết phương trình mặt phẳng đi qua d và vuông góc với
mặt phẳng (P)
c/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (P) .
Ví dụ 2. (HVCNBCVT-2001).
Cho hai đường thẳng
3 1 1
:
7 2 3
x y z
và
7 3 3
':
1 2 1
x y z
.
a/ Viết phương trình hình chiếu của
'
theo phương của
trên mặt phẳng (P)có phương trình : x+y+z+3=0 .
b/ Tìm điểm M thuộc (P) sao cho :
MA MB
đạt GTNN .
Biết A(3;1;1) và B(7;3;9).
Ví dụ 3.( Bài 3-tr109-HH12NC)
Cho đường thẳng d :
2
3
11
3
x t
y t
z t
, và mặt phẳng (P) : x-3y+z-
1=0 .
a/ Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên mặt
phẳng (P).
b/ Viết phương trình đường thẳng d’’ là hình chiếu của d
trên (P) theo phương của Oz
BÀI TẬP TỔNG HỢP
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: Lập phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau :
1) (d) đi qua điểm M(1,0,1) và nhận
)3,2,3(a
làm VTCP
2) (d) đi qua 2 điểm A(1,0,-1) và B(2,-1,3)
Bài 2: Trong không gian Oxyz lập phương trình tổng quát của các giao
tuyến của mặt phẳng
(P) : x-3y+2z-6=0 và các mặt phẳng toạ độ
Bài 3: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm
M(2,3,-5) và song song với đường thẳng (d) có phương trình
0323
0723
:
zyx
zyx
d
Bài 4: Cho đường thẳng (D) và mặt phẳng (P) có phương trình là :
0732
0143
:
zyx
zyx
d
và (P): x+y+z+1=0
Tìm phương trình chính tắc của đường thẳng (t) đi qua A(1,1,1) song
song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng (D)
Bài 5: Cho mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(3,0,0), B(0,6,0), C(0,0,9).
Viết phương trình tham số của đường thẳng (d) đi qua trọng tâm tam
giác ABC và vuông góc với mặt phẳng chứa tam giác đó
CHUYỂN DẠNG PHƯƠNG TRINH ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1:Tìm véc tơ chỉ phương của các đường thẳng sau
1)
3
1
4
2
3
1
:)(
zyx
d
2)
0642
0104
:
zyx
zyx
d
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
14
Bài 2:Cho đường thẳng (d) có phương trình :
0642
0104
:
zyx
zyx
d
. Hãy viết phương trình tham số của đường thẳng đó
Bài3:Cho đường thẳng (d) có phương trình :
0642
0104
:
zyx
zyx
d
. Hãy viết phương trình chính tắc của đường thẳng đó
Bài4:Cho đường thẳng (d) có phương trình :
R t,
21
22:
tz
ty
tx
d
.
Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng đó
Bài5:Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường
thẳng (d) đi qua điểm A(2,1,3) và vuông góc với mặt phẳng (P) trong
các trường hợp sau:
1) (P): x+2y+3z-4=0
2)
Rt
ttz
tty
ttx
P
21
21
21
21
, t
5
24
34
:
. 3)
Rt
tz
ty
tx
P
21
2
2
1
, t
3
2
1
:
Bài 6:Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường
thẳng (d) đi qua điểm A(1,2,3) và song song với đường thẳng (D) cho
bởi :
1)
R
tz
ty
tx
D
t
3
3
22
:
. 2.
014
01
:
zx
yx
D
Bài 7:Lập phương trình tham số, chính tắc và tổng quát của đường
thẳng (d) đi qua điểm A(1,2,3) và vuông góc với 2 đường thẳng :
032
022
:
1
zx
yx
d
,
0642
0104
:
2
zyx
zyx
d
Bài8:Trong không gian Oxyz, lập phương trình tham số, chính tắc và
tổng quát của đường thẳng (d) đi qua điểm A(3,2,1), song song với
mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng
Biết mặt phẳng
(P): x+y+z-2=0 và
014
01
:)(
zy
yx
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Bài1: Xét vị trí tương đối của đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) ,biết:
1)
R t,
2
3
1
:
tz
ty
tx
d
(P): x-y+z+3=0
2)
R t,
1
9
412
:
tz
ty
tx
d
(P): y+4z+17=0
3)
05
010632
:
zyx
zyx
d
(P): y+4z+17=0
4)
01
03
:
y
zyx
d
(P): x+y-2=0
Bài 2: hãy tính số đo góc tạo bởi đường thẳng (d) và mặt phẳng (P)
cho bởi :
1)
)(t
1
39
412
: R
tz
ty
tx
d
. và
), t(
3
2
1
:
21
2
2
1
Rt
tz
ty
tx
P
.
2)
05
010632
:
zyx
zyx
d
), t(21
2
:
21
1
2
21
Rt
tz
ty
ttx
P
3)
R t,
22
2
21
:
tz
ty
tx
d
(P): x-2y+2z+3=0.
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
15
Bài 3: (ĐHNN_TH-98): Cho mặt phẳng (P) và đường thẳng (d) có
phương trình (P) :2x+y+z=0 và
3
2
12
1
:
zyx
d
.
1) Tìm toạ độ giao điểm A của (d) và (P) .
2) Lập phương trình đường thẳng (d
1
) qua A vuông góc với (d) và
nằm trong mặt phẳng (P) .
Bài 4: (ĐH Khối A-2002): Trong không gian 0xyz ,cho mặt phẳng (P)
và đường thẳng (d
m
) có phương trình : (P) :2x-y+2=0 ,
024)12(
01)1()12(
:
mzmmx
mymxm
d
m
xác định m để (d
m
)//(P)
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Bài 1: sử dụng tích hỗn tạp xác định vị trí tương đối của hai đường
thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình cho bởi:
1)
R
tz
ty
tx
d
t
46
32
23
:
1
,
015
0194
:
2
zx
yx
d
2)
R
tz
ty
tx
d
t
33
2
21
:
1
,
13
23
2
:
2
uz
uy
ux
d
3)
01
012
:
1
zyx
yx
d
,
012
033
:
2
yx
zyx
d
Bài 2: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có
phương trình cho bởi :
5
1
25
:
1
tz
ty
tx
d
,
R
tz
ty
tx
d
1
1
1
1
2
tt,
1
3
23
:
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau .
2) Viết phương trình đường thẳng (d) song song ,cách đều (d
1
),(d
2
) và
thuộc mặt phẳng chứa (d
1
),(d
2
) .
Bài 3: Cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình cho bởi :
4
9
1
5
3
7
:
1
zyx
d
,
4
18
1
4
3
:
2
zyx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau .
2) Viết phương trình đường thẳng (d) song song ,cách đều (d
1
),(d
2
) và
thuộc mặt phẳng chứa (d
1
),(d
2
).
Bài 4: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có
phương trình cho bởi :
R t
46
2
23
:
1
tz
ty
tx
d
,
015
0194
:
2
zx
yx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) cắt nhau .
2) Viết phương trình đường phân giác của (d
1
),(d
2
)
Bài5: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có
phương trình cho bởi :
3
4
1
2
2
1
:
1
zyx
d
t
32
1
:
2
R
tz
ty
tx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) cắt nhau.
2) Viết phương trình đường phân giác của (d
1
),(d
2
)
Bài 6: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có
phương trình cho bởi :
1
1
:
1
z
ty
tx
d
,
R
tz
ty
tx
d
1
1
1
1
2
tt,1
2
:
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Viết phương trìnhmặt phẳng(P) song song ,cách đều (d
1
),(d
2
) .
Bài 7: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có
phương trình cho bởi :
0104z-y
0238zx
:d
1
,
022
032
:
2
zy
zx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
16
2) Viết phương trìnhmặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1
),(d
2
) .
Bài8: Trong không gian 0xyz ,cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có
phương trình cho bởi :
3
3
2
2
1
1
:
1
zyx
d
0532
02
:
2
zyx
zyx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Viết phương trình mặt phẳng(P) song song, cách đều (d
1
),(d
2
)
HAI ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG PHẲNG & BÀI TẬP LIÊN QUAN
Bài 1: (ĐHBK-TPHCM-93): Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa
(d
1
),(d
2
) ,biết:
2
3
2
1
3
1
:
1
zyx
d
2
3
1
1
1
:
2
zyx
d
Bài 2: (ĐHSPII-2000): Cho điểm A(1,-1,1) và hai đường thẳng
(d
1
),(d
2
) có phương trình cho bởi :
01y-2x
03z-y-3x
:d
1
t
3
21:
2
R
tz
ty
tx
d
CMR (d
1
),(d
2
) và điểm A cùng thuộc mặt phẳng.
Bài 3: Cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình cho bởi :
01y-x
01y2x
:d
1
z
012
033
:
2
yx
zyx
d
1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
3) Viết phương trình đường phân giác của(d
1
),(d
2
)
Bài 4: Cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình cho bởi :
1
1
2
1
1
2
:
1
zyx
d
t
31
2
21
:
2
R
tz
ty
tx
d
1) CMR hai đường thẳng đó cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm của
nó.
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
3) Viết phương trình đường phân giác của(d
1
),(d
2
)
Bài5: cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình cho bởi :
3
2
4
1
1
3
:
1
zyx
d
,
03
024
:
2
zx
yx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) song song với nhau.
2) Viết phương trình tổng quát của mặt phẳng (P) chứa (d
1
),(d
2
).
3) Viết phương trình đường thẳng (d) trong (P) song song cách đều
(d
1
),(d
2
) .
HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU VÀ BÀI TẬP LIÊN QUAN
Bài 1: (ĐHNN-96): cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình cho
bởi :
34
24
37
:
1
tz
ty
tx
d
R
tz
ty
tx
d
1
1
1
1
2
tt,
12
29
1
:
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 2: (ĐHTCKT-96): Trong không gian 0xyz , cho hai đường thẳng
(d
1
),(d
2
) có phương trình cho bởi : (d
1
): x=-y+1=z-1, (d
2
): -x+1=y-1=z
Tìm toạ độ điểm A
1
thuộc (d
1
) và toạ độ điểm A
2
thuộc (d
2
) để đường
thẳng A
1
A
2
vuông góc với (d
1
) và vuông góc với (d
2
) .
Bài 3: (ĐH L 1996) Cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình
cho bởi :
1
1
:
1
z
ty
tx
d
,
R
tz
ty
tx
d
1
1
1
1
2
tt,1
2
:
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.Viết phương
trình mặt phẳng (P),(Q) song song với nhau và lần lượt chứa
(d
1
),(d
2
)
2) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
) .
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
17
Bài 4: (ĐHTS-96): Cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình cho
bởi :
Rt
12
23
31
:
1
z
ty
tx
d
01225
0823
:
2
zx
yx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau. Tính khoảng
cách giữa (d
1
),(d
2
)
2) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 5: : (PVBC 99) Cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết:
1
2
3
1
2
1
:
1
zyx
d
25
2
2
2
:
2
zyx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 6: (ĐHSPQui Nhơn-D-96): cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết:
:
04y-x
0yx
:d
1
z
t
2
31
:
2
R
tz
ty
tx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
)
Bài 7: : cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) ,biết:
1
9
2
3
1
7
:
1
zyx
d
3
1
2
1
7
3
:
2
zyx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của (d
1
),(d
2
) .
Bài 8: (ĐH Huế 1998) Cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình
cho bởi :
1
1
22
:
1
1
1
z
ty
tx
d
,
R
tz
ty
x
d
21
2
22
t,t
3
1
1
:
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d
1
) và song song với (d
2
) .
3) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
) .
Bài 9: (ĐHNN-97): Cho hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) có phương trình
cho bởi :
01y-x
02zyx
:d
1
z
t
2
5
22
:
2
R
tz
ty
tx
d
1) Chứng tỏ rằng hai đường thẳng (d
1
),(d
2
) chéo nhau.
2) Tính khoảng cách giữa (d
1
),(d
2
) .
3) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(1,1,1) và cắt đồng
thời (d
1
),(d
2
) .
Bài 10: (ĐHKT-98): Cho tứ diện SABC với các đỉnh S(-2,2,4), A(-
2,2,0) ,B(-5,2,0) ,C(-2,1,1). Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối SA và
SB.
Bài 1: (ĐHSP TPHCM-95): Viết phương trình đường thẳng đi qua
A(0,1,1) và vuông góc với đường thẳng (d
1
) và cắt (d
2
) ,biết :
11
2
3
1
:
1
zyx
d
01
02
:
2
x
zyx
d
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,1,1) và vuông góc
với đường thẳng (d
1
) và cắt (d
2
) ,biết :
01-zy
03-zyx
:d
1
01
0922
:
2
zy
zyx
d
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng cắt cả ba đường thẳng (d
1
) (d
2
) ,
(d
3
) và vuông góc với vectơ
3,2,1u
, biết:
01z
01y-x
:d
1
0
01
:
2
z
yx
d
1
01
:
3
z
yx
d
Bài 4: Tìm tất cả các đường thẳng cắt (d
1
), (d
2
) dưới cùng một góc ,
biết:
az
0y-mx
:d
1
0
:
2
az
ymx
d
Bài 5: (ĐHTL-97):Viết phương trình đường thẳng đi qua A(3,-2,-4)
song song với mặt phẳng (P) :3x-2y-3z-7=0 và cắt đường thẳng (d)
biết:
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
18
2
1
2
4
3
2
:
zyx
d
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,2,3) và cắt cả hai
đường thẳng (d
1
) ,(d
2
):
1)
0104z-y
0328zx
:d
1
022
032
:
2
zy
zx
d
2)
01225
0823
:
1
zx
yx
d
t
2
23
31
:
2
R
tz
ty
tx
d
Bài 2: (ĐHTCKT 1999) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua
A(1,1,-2) song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng
(d):
01-z-y-x:(P)
3
2
1
1
2
1
:
zyx
d
Bài1: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,2,3) và cắt cả hai
đường thẳng
1)
0104z-y
0328zx
:d
1
022
032
:
2
zy
zx
d
2)
3
3
2
2
1
1
:
1
zyx
d
0532
02
:
2
zyx
zyx
d
Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc toạ độ và cắt cả hai
đường thẳng:
R
tz
ty
tx
d
t
33
2
21
:
1
,
13
23
2
:
2
uz
uy
ux
d
Bài 3: Viết phương trình đường thẳng (d) song song với đường thẳng
() và cắt cả hai đường thẳng:
01
02
:
zyx
zyx
R
tz
ty
tx
d
t
2
1
2
:
1
03
022
:
2
y
zx
d
Bài 4: (ĐHDL-97): Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,-1,0)
và cắt cả hai đường thẳng:
2
1
1
1
1
:
1
zyx
d
121
1
:
2
zyx
d
Bài 5: (ĐHTS-99): Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1,-1,0)
và cắt cả hai đường thẳng:
012-2z5x
08-2y-3x
:d
1
t
2
23
31
:
2
R
tz
ty
tx
d
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng (d) vuông góc với (P) :x+y+z-
2=0 và cắt cả hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
):
R
tz
ty
tx
d
t
2
1
2
:
1
03
022
:
2
y
zx
d
Bài 7: Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua gốc toạ độ và cắt cả 2
đường thẳng (d
1
) và (d
2
):
R
tz
ty
tx
d
t
33
2
12
:
1
0313
23
2
:
2
uz
uy
ux
d
Bài 1: (ĐHQG TPHCM 1998) Trong không gian với hệ trục toạ độ
trực chuẩn 0xyz ,cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương
trình :
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
19
(P):x+y+z-3=0 và
032
03
:
zy
zx
d
Lập phương trình hình chiếu
vuông góc của đường thẳng (d) lên (Q).
Bài 2: Lập phương trình hình chiếu vuông góc của giao tuyến (d) của
hai mặt phẳng 3x-y+z-2=0 và x+4y-5=0 lên mặt phẳng 2x-z+7=0.
Bài3: (ĐHMĐC-98) :Trong không gian với hệ toạ độ trực chuẩn 0xyz
cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
2
1
3
4
4
:
zyx
d
và (P): x-y+3z+8=0.
Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc của (d) lên (P) .
Bài4: Trong không gian 0xyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q)
có phương trình :
02z-x
03-z2y-3x
:d
R
ttz
tty
ttx
Q
21
21
21
21
t,t
5
24
34
:
Lập phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng (d) lên (Q) .
Bài5: Cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (Q) có phương trình :
03-z-2yx
01zy-2x
:d
(Q): x-y+z+10=0
Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d
1
) của (d) lên
(P) .
Bài6: (ĐH Càn Thơ 1998) Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc
0xyz cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
3
1
2
2
1
1
:
zyx
d
và (P): x+y+z+1=0.
Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d
1
) của (d) lên
(P) .
Bài7: (HVQY-95): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz
cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
3
1
2
2
1
1
:
zyx
d
và (P): x+y+z+1=0.
1) Hãy viết phương trình chính tắc hình chiếu vuông góc (d
1
) của (d)
lên (Oxy) .
2) CMR khi m thay đổi đường thẳng (d
1
) luôn tiếp xúc với một đường
tròn cố định trong mặt phẳng 0xy.
Bài8: (ĐHQG-98): Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc 0xyz
cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình :
(P):x+y-z+1=0
02yx
01z-2y
:d
1
02
0123
:
2
zx
zy
d
1) Hãy viết phương trình hình chiếu vuông góc (
1
), (
2
) của (d
1
),
(d
2
) lên (P) .Tìm toạ độ giao điểm I của (d
1
), (d
2
).
2) Víêt phương trình mặt phẳng
1
P
chứa (d
1
) và vuông góc với (P).
BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM
A. LÝ THUYẾT CHUNG
1. Nếu điểm M(x;y;z) thuộc đường (C ): y=f(x;y;z) thì tọa độ của
điểm phải thỏa mãn phương trình của đường .
2. Khoảng cách :
- Nắm vững công thức tính khoảng cách giữa hai điểm
- Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng , đến
một mặt phẳng
3. Thuộc các dấu hiệu nhận dạng tam giác : cân , vuông , đều .
Các tính chất của đường trung tuyến , phân giác trong của góc
tam giác , tính chất trọng tâm , trực tâm của tam giác
4. Nhớ các tính chất của đường tròn : Đường kính đi qua điểm
giữa của một dây cung , tiếp tuyến kẻ từ một điểm nằm ngoài
đường tròn tới đường tròn , dấu hiệu nhận biết về vị trí tương
đối của hai đường tròn . Đặc biệt nhớ tính chất vị tự của đường
tròn trong hình học lớp 11.
B. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. ( KA-2002)
Câu IV-2. Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng
Chuyờn LTH - Gii tớch trong khụng gian Biờn son: Lờ Minh t - 0918 344 200
20
1 2
1
2 4 0
: ; : 2
2 2z 4 0
1 2
x t
x y z
y t
x y
z t
a/ Vit phng trỡnh mt phng (P) cha
1
v song song vi ng
thng
2
.
b/ Cho im M(2;1;4) . Tỡm ta im H thuc ng thng
2
sao
cho on thng MH cú di nh nht ?
Vớ d 2 (HKA-2005)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đờng thẳng d:
1 3 3
1 2 1
x y z
và mặt phẳng (P): 2x + y - 2z + 9 = 0.
a.Tìm toạ độ điểm I thuộc d sao cho khoảng cách từ I đến mặt
phẳng (P) bằng 2
b.Tìm toạ độ giao điểm A của đờng thẳng d và mặt phẳng (P).
Viết phơng trình tham số của đờng thẳng nằm trong mặt
phẳng (P), biết đi qua A và vuông góc với d.
Vi d 3.(HKD-2005) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho
hai đờng thẳng:
d
1
:
1 2 1
3 1 2
x y z
và d
2
la giao tuyn ca 2 mt phng
( ): 2 0 ; ( ): 3 12 0x y z x y
a.Chứng minh rằng: d
1
và d
2
song song với nhau. Viết phơng
trình mặt phẳng (P) chứa cả hai đờng thẳng d
1
và d
2
b.Mặt phẳng toạ độ Oxz cắt hai đờng thẳng d
1
, d
2
lần lợt tại
các điểm A, B. Tính diện tích OAB (O là gốc toạ độ)
Vi d 4. ( HKB-2006)
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm A(0; 1; 2) và hai
đờng thẳng :
d
1
:
1 1
2 1 1
x y z
d
2
:
1
1 2
2
x t
y t
z t
a.Viết phơng trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song
với d
1
và d
2
.
b.Tìm toạ độ các điểm M d
1
, N d
2
sao cho ba điểm A, M, N
thẳng hàng
Vớ d 5.(HKA-2009)
Trong gian h ta Oxyz , cho mt phng (P) : x-2y+2z-1=0 v hai
ng thng cú phng trỡnh :
1 2
1 9 1 3 1
: ; :
1 1 6 2 1 2
x y z x y z
. Xỏc nh ta im
M thuc ng thng
1
sao cho khong cỏch t M n ng thng
2
v khong cỏch t M n mt phng (P) bng nhau .
Vớ d 6. (HKB-2009).
A. Theo chng trỡnh chun .
* Trong khụng gian ta Oxyz , cho t din ABCD cú cỏc nh
A(1;2;1),B(-2;1;3),
C(2;-1;1) v D(0;3;1). Vit phng trỡnh mt phng (P) i qua A,B sao
cho khong cỏch t C n (P) bng khong cỏch t D n (P) .
B. Theo chng trỡnh nõng cao .
Trong khụng gian ta Oxyz ,cho mt phng (P):x-2y+2z-5=0 v hai
im A(-3;0;1)
B(1;-1;3) . Trong cỏc ng thng i qua A v song song vi (P) , vit
phng trỡnh ng thng m khong cỏch t B n ng thng ú l
nh nht ?
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
21
Ví dụ 7. (ĐHKD-2009).
A. Theo chương trình chuẩn .
Trong không gian hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm
A(2;1;0),B(1;2;2),C(1;1;0) và mặt phẳng (P): x+y+z-20=0 .
Tìm tọa độ điểm D thuộc đường thẳng AB sao cho đường thẳng CD
song song với (P)
B. Theo chương trình nâng cao .
- Trong không gian tọa độ Oxyz ,cho đường thẳng
1 2
:
2 1 1
x y z
d
và mặt phẳng (P): x+2y-3z+4=0 .
Viết phương trình đường thẳng d’ nằm trong mp(P) sao cho d’ cắt và
vuông góc với d
Ví dụ 8. ( ĐHKA-2008).
Trong không gian tọa độ Oxyz , cho điểm A(1;1;3) và đường thẳng
1
:
1 1 2
x y z
d
.
a/Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường
thẳng d
b/ Tìm tọa độ điểm M thuộc đường thẳng d sao cho tam giác MOA cân
tại đỉnh O
Chú ý: Trong bài toán tìm điểm đã trình bày ở trên , ta cần chú ý đến
dạng bài toán sau :
BÀI TOÁN : Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A,B và mặt
phẳng (P)
a/ Nếu A,B nằm về một phía của (P) thì ta gặp cau hỏi : Tìm điểm M
trên (P) sao cho
MA MB
đạt GTNN hoặc chu vi tam giác MAB có
chu vi nhỏ nhất
b/ Nếu A,B nằm về hai phía của (P) thì thì ta gặp câu hỏi : Tìm M trên
(P) sao cho
MA MB
đạt GTLN ?
CÁCH GIẢI
1. Để MA+MB đạt GTNN .
Bước 1. Kiểm tra vị trí tương đối của A,B đối với (P) ( Bằng
cách thay tọa độ của A,B vào phương trình của mặt phẳng (P),
nếu hai giá trị cùng dấu thì A,B nằm về một phía của (P) ).
Bước 2: Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (P)
Bước 3: Lập phương trình đường thẳng (A’B)
Bước 4: Tìm tọa độ giao điểm của (A’B) với (P) : Đó chính là
điểm M cần tìm .
Bước 5: Chứng minh M là điểm duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài
toán .
2. Để
MA MB
đạt GTLN
Bước 1: Kiểm tra vị trí tương đối của A,B đối với (P) ( Cách
làm như trên ).
Bước 2: Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua (P)
Bước 3: Lập phương trình đường thẳng (A’B)
Bước 4: Tìm tọa độ giao điểm của (A’B) với (P) : Đó chính là
điểm M cần tìm .
Bước 5: Chứng minh M là điểm duy nhất thỏa mãn yêu cầu bài
toán .
VÍ DỤ MINH HỌA
Ví dụ 1. ( ĐHQG-KB-2000)
Cho mặt phẳng (P) : x+y+z-1=0 và hai điểm A(1;-3;0) ,B(5;-1;-2)
1/ Chứng minh rằng đường thẳng (AB) cắt mặt phẳng (P) tại điểm I .
Tìm tọa độ của I
2/ Tìm trên mặt phẳng (P) điểm M sao cho
MA MB
đạt GTLN ?
GIẢI
1/ Chứng minh rằng đường thẳng (AB) cắt mặt phẳng (P) tại điểm I .
Tìm tọa độ của I
- Ta có :
/ /
. 1 3 1 5 1 2 1 3 0
A P B P
P P
, suy ra A,B nằm
về hai phía của (P).
- Tìm tọa độ A’ đối xứng với A qua (P).
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
22
Lập đường thẳng
qua A(1;-3;0) và vuông góc với
(P)
1
: 3
x t
y t
z t
Tìm tọa độ H là giao của
với (P) , thì tọa độ của H là nghiệm
của hệ :
1
3
3 3 1 2; 2;1
1 0
x t
y t
t t H
z t
x y z
Tọa độ A’ :
'
'
'
2x 2.2 1 3
2x 2.2 3 1 ' 3; 1;2
2x 2.1 0 2
A H A
A H A
A H A
x x
y y A
z z
- Lập đường thẳng d=(A’B) , qua A(1;-3;0) có
' 2;0; 4 / / 1;0; 2A B u
.
Do đó đường thẳng (A’B) :
3
1
2 2
x t
y
z t
- Tìm tọa độ điểm M là giao của (A’B) với (P) , tọa độ của M là
nghiệm của hệ :
1 0
3
1 0 1 2; 1;0
1
2 2
x y z
x t
t t M
y
z t
. Đó
chính là điểm cần tìm .
- Chứng minh M là điểm duy nhất .
Do A’ đối xứng với A qua (P) cho nên (P) là mặt phẳng trung trực của
đoạn thẳng AA’ : MA=MA’ suy ra
' 'MA MB MA MB A B
.
Với một điểm M’ khác M ta có :
' ' ' ' ' 'M A M B M A M B A B
. Chứng tỏ M là điểm duy nhất
cần tìm .
Ví dụ 2. Cho hai điểm A(1;2;-1),B(7;-2;3) và đường thẳng d :
1 2 2
3 2 2
x y z
.
1/ Chứng tỏ đường thẳng (AB) và đường thẳng d thuộc cùng một mặt
phẳng . Viết phương trình mặt phẳng đó ?
2/ Tìm điểm I trên d sao cho IA+IB đạt GTNN ?
GIẢI
1. Chứng tỏ (AB) và d thuộc một mặt phẳng .
-Ta có :
6; 4;4 2 3; 2;2 / /AB u AB u
. Mặt khác : đường
thẳng d qua M(-1;2;2) , cho nên
2 2 2 3 3 2
2;0;3 , ; ; 6; 13; 4 0
0 3 3 2 2 0
AM AM u
. Vậy (AB)//d .
- Mặt phẳng (P) chứa A,B và d qua A(1;2;-1) và có véc tơ chỉ phương :
, 6;13;4 :6 1 13 2 4 1 0 :6x 13 4z 28 0.AMu P x y z P y
2/ Tìm điểm I trên d sao cho IA+IB đạt GTNN ?
- Nếu I thuộc d thì I=(3t-1;2-2t;2+2t )
2 2
2 2
3 2; 2 ;3 2 3 2 4 2 3 17 13AI t t t IA t t t t
2 2 2 2
3 8;4 2 ; 1 2 3 8 4 2 2 1 17 2 13BI t t t IB t t t t
Vậy IA+IB=f(t)=
2
2
17 13 17 2 13t t
.
Ta có :
2 2 2 2
17 2 17 2
17 17
'( ) 0
17 13 17 13
17 2 13 17 2 13
t t
t t
f t
t t
t t
Chuyên đề LTĐH - Giải tích trong không gian Biên soạn: Lê Minh Đạt - 0918 344 200
23
2 2 2
2 2 2
17 2 13 2 17 13 2 1t t t t t t t
Bằng cách lập bảng biến thiên :
Ta tìm được t=1 và I=(2;0;4)
Ngoài cách trên ta còn có một cách nữa là :
Nếu A’ đối xứng với A qua d thì d
là đường trung trực của đoạn thẳng
AA’ vì vậy : IA+IB=IA’+IB=A’B .
Khi đó I là điểm cần tìm và IM là
đường trung trực của AB , Từ đó
tìm I ta làm như sau :
- Tìm tọa độ trung điểm M của AB
,M=(4;0;1 )
- Lập mặt phẳng (P) là mặt phẳng
trung trực của đoạn AB . Thì (P)
qua M và có
6; 4;4 / / 3; 2;2
P
AB n
. Suy ra (P):3x-2y+2z-
14=0 .
- Tìm tọa độ I là giao của d với (P) , tọa độ của I là nghiệm của hệ
:
1 3
2 2
17 17 1 2;0;4
2 2
3x 2 2z 14 0
x t
y t
t t I
z t
y
.
Ví dụ 3. Cho hai điểm A(-1;3;-2),B(-9;4;9) và mặt phẳng (P) : 2x-
y+z+1=0 . Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho AM+BM có
GTNN ?
Ví dụ 4 : Cho A(1; 1; 1); B(2; 2; 2) và đường thẳng (d):
tz
y
tx
3
2
Tìm M trên (d) sao cho: MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất
LỜI GIẢI
Cách 1: Gọi M(t; 2; 3-t) là điểm cần tìm
Ta có: MA=
2
3
662)2(11
22
2
tttt
. Dấu “=” xảy
ra
t=
2
3
MB=
.
2
1
562)1()2(
222
tttt
Dấu “=” xảy ra
2
3
t
2
13
MBMA
. Dấu “=” xảy ra
2
3
t
. Vậy
)
2
3
;2;
2
3
(M
Cách 2: ta thấy:
)(dAB
. Gọi (P) là mp chứa AB và vuông góc (d).
Suy ra ptmp(P): x - z = 0
M thoả mãn bài toán khi và chỉ khi M là giao điểm của (d) và (P)
Vậy
)
2
3
;2;
2
3
(M
Nhận xét: Nếu gt không cho
)(dAB
thì ta phải khảo sát hàm số để
tìm t
Ví dụ 5 : Cho A(1; 1; 1); B(2; 2; 2) và đường thẳng (d):
tz
ty
x
23
2
1
a, CMR: AB và (d) chéo nhau
b, Tìm M trên (d) để MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất.
LỜI GIẢI
a, (d) có vtcp:
)2;1;0( u
và qua điểm C(1;2;3)
Ta có:
04., ACuAB
AB và (d) chéo nhau
b, Gọi M(1; 2+t; 3-2t) là điểm cần tìm
Ta có: MA=
575)22()1(
222
tttt
; MB=
245)12(1
222
tttt
A
B
M
I
d
A’
Chuyờn LTH - Gii tớch trong khụng gian Biờn son: Lờ Minh t - 0918 344 200
24
15
342
01836135
10
7
5
2
575)104(245)710(0)('
245
25
5752
710
)('
245575)(
2
22
22
22
x
xx
x
tttttttf
tt
t
tt
t
tf
tttttfMBMA
T ú lp BBT. Suy ra im M cn tỡm.
III. BI TON I XNG
* Ta cú hai bi toỏn i xng c bn : im i xng vi im qua
ng thng , qua mt phng . Ngoi ra nu ngiờn cu sõu thờm thỡ cú
bi toỏn : lp phng trỡnh ng thng i xng vi ng thng qua
mt im, qua mt ng thng cho trc .
A. TèM IM I XNG VI IM QUA MT MT PHNG
1. Bi toỏn : Trong khụng gian ta Oxyz , cho M
0 0 0
; ;x y z
v mt
phng (P) cú phng trỡnh : Ax+By+Cz+D=0 . Tỡm ta im M
i xng vi M qua (P) .
V D MINH HA
Vớ d 1.( Bi 3.41-tr114-BTHH12CB)
Cho im M(1;-1;2) v mt phng (P) : 2x-y+2z+12=0
a/ Tỡm ta im H l hỡnh chiu vuụng gúc ca im M trờn mt
phng (P)
b/ Tỡm ta im M i xng vi im M qua mt phng (P)
Vớ d 2. (HVKTQS-99).
Trong khụng gian ta Oxyz cho hai im A(1;2;1) ,B(2;1;3) v mt
phng (P) cú phng trỡnh : x-3y+2z-6=0
a/ Lp phng trỡnh mt phng (Q) qua AB v vuụng gúc vi (P)
b/ Vit phng trỡnh ng giao thuyn ca (P) v (Q) .
c/ Tỡm ta im K i xng vi im A qua (P).
Vớ d 3. ( HKTTC-2000)
Cho im A(2;3;5) v mt phng (P) : 2x+3y+z-17=0.
a/ Vit phng trỡnh ng thng d qua A v vuụng gúc vi (P)
b/ Chng minh d giao vi Oz ti im M . Tỡm ta im M
c/ Tỡm ta im A i xng vi A qua mt phng (P) .
B. TèM TA CA IM I XNG QUA NG THNG
Bi toỏn : Trong khụng gian ta Oxyz , cho im A(
1 1 1
; ; )x y z
v
ng thng d cú phng trỡnh :
0 0 0
x x y y z z
a b c
. Tỡm ta
im A i xng vi im A qua d ?
V D MINH HA
Vớ d 1.( Bi 3.40-tr114-BTHH12CB)
Cho im M(2;-1;1) v ng thng
1 1
:
2 1 2
x y z
a/ Tỡm ta im H l hỡnh chiu vuụng gúc ca M trờn ng thng
.
b/ Tỡm ta im M i xng vi im M qua ng thng
.
Vớ d 1.(HKD-2006).
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và hai
đờng thẳng
d
1
:
2 2 3
2 1 1
x y z
d
2
:
1 1 1
1 2 1
x y z
a.Tìm toạ độ điểm A đối xứng với điểm A qua đờng thẳng d
1
b.Viết phơng trình đờng thẳng đi qua A vuông góc với d
1
và
cắt d
2
Chuyờn LTH - Gii tớch trong khụng gian Biờn son: Lờ Minh t - 0918 344 200
25
Vớ d 2. ( HSPTPHCM-2000)
Trong khụng gian ta Oxyz , cho im A(3;2;0) v ng thng d
cú phng trỡnh
1 3 2
1 2 2
x y z
. Tỡm ta im A i xng vi im A qua
dng thng d .
Vớ d 3. ( HC-2000)
Trong khụng gian Oxyz cho hai ng thng
1 2
2 1 1 2
: :
1 1 2 2 1 1
x y z x y z
d d
a/ Tớnh khong cỏch gia hai ng thng
1 2
;d d
.
b/ Tỡm ta im A i xng vi im B(3;-3;2) qua ng thng
1
d
.
C. LP PHNG TRèNH NG THNG I XNG VI MT
NG THNG CHO SN
Bi toỏn : Cho hai ng thng d , d ln lt i qua hai im M,N v
vộc t ch phng
, 'u u
. Hóy lp phng trỡnh ng thng
i
xng vi ng thng d qua ng thng d
CCH GII .
Cỏch 1.
Bc 1: Trờn ng thng d ly hai im A,B ( ta cho hai giỏ
tr ca t )
Bc 2: Tỡm ta hai im A,B tng ng i xng vi
A,B qua ng thng d
Bc 3: ng thng cn tỡm chớnh l ng thng (AB).
Cỏch 2:
Bc 1: Trờn ng thng d ta ly im A bt k ( Ta ca
A l cỏc biu thc cú cha t )
Bc 2: Tỡm ta im B i xng vi im A qua dng
thng d . Ta im B tha món phng trỡnh ng thng
. ( Vỡ A chy trờn d thỡ B s chy trờn
).
V D MINH HA
Vớ d : (HVCNBCVT-2000)
Cho hai ng thng :
3 1 1 7 3 9
: ; ':
7 2 3 1 2 1
x y z x y z
d d
.
Hóy vit phng trỡnh ng thng
i xng vi ng thng d
qua ng thng d
BI TP T LUYN
Bi 1.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hai điểm
A(1;4;2),B(-1;2;4) và đ- ờng thẳng
:
1 2
1 1 2
x y z
.Tìm toạ độ điểm M trên
sao
cho:
2 2
28MA MB
Bài 2.Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho im M(2 ; 1 ; 0) v
ng thng d :
d :
x 1 y 1 z
2 1 1
.Vit phng trỡnh chớnh tc ca ng thng i
qua im M, ct v
vuụng gúc vi ng thng d và tìm toạ độ của điểm M đối xứng
với M qua d
Bài 3.Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho hai ng thng:
2
5
1
1
3
4
:
1
zyx
d
13
3
1
2
:
2
zyx
d
Vit phng trỡnh mt cu cú bỏn kớnh nh nht tip xỳc vi c ng
thng d
1
v d
2
Bài 4.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đ- ờng thẳng d
và d lần lợt có phơng trình :
