Chuyên đề luyện thi môn Toán của thủ khoa Đặng Thành Nam
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (8.14 MB, 802 trang )
0
LỜI NÓI ĐẦU
Cuốn CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC được viết dựa trên tinh thần
mong muốn có một cuốn tài liệu ôn thi hữu ích tổng hợp và đẩy đủ các phương pháp giải các
dạng toán trong cấu trúc đề thi TSĐH của Bộ giáo dục và đào tào đồng thời phát triển tư duy
giải toán của học sinh. Đây là tâm huyết của tác giả và là mong muốn thời học sinh của tác
giả. Mục tiêu của cuốn tài liệu là cung cấp các dạng toán thông qua các chuyên đề, mỗi dạng
toán sẽ được tác giả tóm lược phương pháp giải kèm theo hệ thống bài tập mẫu và bài tập đề
nghị hay và phong phú , mỗi bài toán đều chứa tính sáng tạo chắc chắn sẽ làm bạn đọc thấy
thú vị và đam mê. Vì thế không đòi hỏi các bạn phải nhớ phương pháp giải mỗi dạng toán mà
phát triển tư duy toán học của bạn đọc, với bài toán cụ thể bạn đọc sẽ tìm được cách giải
nào. Mong muốn đây sẽ là tài liệu hữu ích cho bạn đọc những ai thực sự đang ước mơ bước
chân vào cánh cửa giảng đường đại học. Cuốn tài liệu này được viết theo 15 chuyên đề:
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan.
Chuyên đề 2: Điều kiện để phương trình – hệ phương trình có nghiệm.
Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác.
Chuyên đề 4: Phương trình, bất phương trình vô tỷ.
Chuyên đề 5: Hệ phương trình.
Chuyên đề 6: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ, logarit.
Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng.
Chuyên đề 8: Hình học không gian.
Chuyên đề 9: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức.
Chuyên đề 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng.
Chuyên đề 11: Hình học giải tích trong không gian.
Chuyên đề 12: Ba đường Cônic.
Chuyên đề 13: Các bài toán về số phức.
Chuyên đề 14: Nhị thức Newton và ứng dụng.
Chuyên đề 15: Các bài toán đếm và số cách chọn tổ hợp.
Xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới sự giúp đỡ và động viên tinh thần của thầy cô, bạn
bè và gia đình trong thời gian hoàn thiện cuốn sách.
Dù đã rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức hạn chế của tác giả, cộng với
phạm vi rộng của cuốn sách nên thật khó tránh khỏi các thiếu sót, tác giả rất mong nhận
1
được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để trong thời gian tới có thể hoàn thiện cuốn tài
liệu một cách tổng hợp và đầy đủ, dễ hiểu nhất.
Hà nội, ngày 31 tháng 5 năm 2012
ĐẶNG THÀNH NAM
2
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU:……………………………………………………………………….….0
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan…………………………4
Chuyên đề 2: Điều kiện để phương trình, hệ phương trình có nghiệm……… 102
Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác ……………………………………… …142
Chuyên đề 4: Phương trình, bất phương trình vô tỷ………………………….….196
Chuyên đề 5: Hệ phương trình…………………………………………………… 288
Chuyên đề 6: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ,
logarit 402
Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng……………………………………… 448
Chuyên đề 8: Hình học không gian……………………………………………… 554
Chuyên đề 9: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng
thức………………………………………………………………………… 590
Chuyên đề 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng…………………………… 648
Chuyên đề 11: Ba đường Cônic…………………………………………… 678
Chuyên đề 12: Hình học giải tích trong không gian…………………………….690
Chuyên đề 13: Các bài toán vế số phức…………………………………… 732
Chuyên đề 14: Nhị thức NEWTON và ứng dụng………………………… 754
Chuyên đề 15: Các bài toán đếm và số cách chọn tổ hợp………………… 784
TÀI LIỆU THAM KHẢO:……………………………………………………………798
3
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
4
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email :
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202
CHUYÊN ĐỀ 1:
KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN
LIÊN QUAN
Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
5
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
6
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Email :
Yahoo: changtraipkt
Mobile: 0976266202
Bài toán hàm số và các vấn đề liên quan thuộc loại cơ bản, để giải quyết tốt phần này các em
nên lưu ý đến các bước của một bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Trong chương trình thi
Tuyển Sinh đại học chỉ đề cập đến ba dạng hàm số cơ bản đó là hàm số bậc ba, hàm trùng
phương và phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Cuốn tài liệu này trình bày mẫu các bước của một
bài toán khảo sát, ngoài ra các bài toán liên quan được phân theo từng dạng. Đó là các bài
toán:
- Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
- Bài toán về tính đơn điệu của hàm số
- Bài toán về điều kiện nghiệm của phương trình, hệ phương trình( được trình bày chi tiết
trong chương 2)
- Bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số
- Bài toán về cực trị hàm số
- Bài toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số
- Bài toán về các điểm đặc biệt
BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Dưới đây trình bày mẫu cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của ba dạng hàm số là
hàm đa thức bậc ba, hàm trùng phương và hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
Hàm đa thức bậc ba
Cho hàm số
3 2
2 1
y x x m x m
,
m
là tham số thực.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi
1
m
.
Trình bày:
Khi
1
m
ta có hàm số
3 2
2 1
y x x
.
+ Tập xác định:
+ Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
' 3 4 ;
y x x
'( ) 0 0
y x x
hoặc
4
3
x
.
Hàm số đồng biến trên các khoảng
;0
và
4
;
3
; nghịch biến trên khoảng
4
0;
3
.
- Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
0; 1
CÐ
x y
, đạt cực tiểu tại
4 5
;
3 27
CT
x y .
- Giới hạn:
lim ;
x
y
lim
x
y
.
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
7
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
- Bảng biến thiên:
+ Đồ thị:
1;0
0;1 .
Hàm trùng phương
Cho hàm số
4 2
2 1y x m x m ,
m
là tham số thực.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi
1m
.
Trình bày:
Khi
1m
, ta có hàm số
4 2
4 1.y x x
+ Tập xác định D
+ Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
3
4 8 ; ' 0 0y x x y x hoặc
2x
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
8
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
; 2
và
0; 2 ;
đồng biến trên các khoảng
2;0
và
2;
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại 2; 3,
CT
x y đạt cực đại tại 0; 1.
CÐ
x y
- Giới hạn: lim lim .
x x
y y
- Bảng biến thiên:
+ Đồ thị:
Đ
0;1
2 3;0 ; 2 3;0
.
Hàm bậc nhất trên bậc nhất
Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
C của hàm số đã cho.
Trình bày:
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
9
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
+ Tập xác định:
1\D
+ Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
1
0,
1
y x D
x
Hàm số đồng biến trên các khoảng
; 1 và
1; .
- Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2;
x x
y y
tiệm cận ngang 2y .
1
lim ,
x
y
1
lim ;
x
y
tiệm cận đứng
1x
.
- Bảng biến thiên:
+ Đồ thị:
1
;0
2
0;1 .
BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
Phương pháp:
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
10
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Hàm số
( )
f x
đồng biến trên khoảng
;
a b
khi và chỉ khi
'( ) 0, ;
f x x a b
.
Hàm số
( )
f x
nghịch biến trên khoảng
;
a b
khi và chỉ khi
'( ) 0, ;
f x x a b
.
Ta thường biến đổi bất phương trình
'( ) 0
f x
thành hai vế một vế là hàm của
x
còn một vế chứa
tham số
m
.
Có hai dạng bất phương trình sau
;
( ) ( ), ; ( ) min ( )
x a b
f x g m x a b g m f x
.
;
( ) ( ), ; ( ) max ( )
x a b
f x g m x a b g m f x
.
Trong đó
( )
g m
là hàm số theo tham số
m
.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hàm số
3 2
1
1 3 2
3
y m x mx m x
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đồng biến trên tập xác định.
Lời giải:
+ Tập xác định
D
Ta có
2
' 1 2 3 2
y m x mx m
Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi
2
1 0
1
' 0, 2
2 1 2 0
' 1 3 2 0
m
m
y x m
m m
m m m
.
Vậy
2
m
là những giá trị cần tìm.
Bài 2.Cho hàm số
4
mx
y
x m
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số nghịch biến trên khoảng
;1
.
Lời giải:
+ Tập xác định
\
D m
.
Ta có
2
2
4
'
m
y
x m
Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi
2
' 0 4 0 2 2
y m m
.
Để hàm số nghịch biến trên khoảng
;1
thì ta phải có
1 1
m m
Kết hợp 2 điều kiện trên suy ra
2 1
m
.
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
11
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 3. Cho hàm số
3 2
3 4
y x x mx
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
;0
.
Lời giải:
+ Tập xác định
D
.
Ta có
2
' 3 6
y x x m
Hàm số đồng biến trên khoảng
;0
khi và chỉ khi
2
;0
' 0, ;0 ( ) 3 6 , ;0 min ( )
x
y x m f x x x x m f x
Ta có
'( ) 6 6, '( ) 0 1
f x x f x x
. Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
suy ra
;0
min ( ) ( 1) 3
x
f x f
.
Vậy giá trị cần tìm của
m
là
3
m
.
Bài 4.Cho hàm số
3 2
2 3 2 1 6 1 1
y x m x m m x
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
2;
.
Lời giải:
+ Tập xác định
D
.
Ta có
2
' 6 6 2 1 6 1
y x m x m m
có
2
2 1 4 1 1
m m m
' 0 .
1
x m
y
x m
Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
;
m
và
1;m
.
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
2;
khi và chỉ khi
1 2 1
m m
.
Bài 5. Cho hàm số
4 2
2 3 1
y x mx m
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
1;2
.
Lời giải:
+ Tập xác định
.
D
Ta có
3 2
' 4 4 4
y x mx x x m
.
+ Nếu
0 ' 0, 1;2 0
m y x m
thỏa mãn.
+ Nếu
0 ' 0
m y
có nghiệm phân biệt , 0,
x m x x m
.
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
;0 , ;m m
. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
1;2
khi và chỉ khi
1 1
m m
.
Vậy giá trị cần tìm của
m
là
;1
.
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
12
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 6.Cho hàm số
3 2
1 2 2 2
y x m x m x m
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
0;
.
Lời giải:
+ Tập xác định
D
.
Ta có
2
' 3 2 1 2 2
y x m x m
Hàm số đồng biến trên khoảng
0;
khi và chỉ khi
2
' 3 2 1 2 2 0, 0;y x m x m x
2
3 2 2 1 4 0, 0;x x m x x
2
0;
3 2 2
( ) , 0; min ( )
1 4
x
x x
f x m x m f x
x
Ta có
2
2
2
2 6 3
1 73
'( ) 0 6 3 0
12
4 1
x x
f x x x x
x
.
Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
trên
0;
suy ra
0;
1 73 3 73
min ( )
12 8
x
f x f
.
Vậy
3 73
8
m
là giá trị cần tìm.
Bài 7. Cho hàm số
3 2
1
2 2
3
y x x mx
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đồng biến trên khoảng
;1
.
Lời giải:
+ Tập xác định
D
.
Ta có
2
' 4
y x x m
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
;1
khi và chỉ khi
2
' 4 0, ;1
y x x m x
2
;1
( ) 4 , ;1 max ( )
x
m f x x x x m f x
Ta có
;1
'( ) 4 2 0, ;1 max ( ) (1) 3
x
f x x x f x f
.
Vậy
3
m
là giá trị cần tìm.
Bài 8. Cho hàm số
3 2
3 3 3 4
y x mx x m
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1.
Lời giải:
+ Tập xác định
D
.
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
13
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Ta có
2
' 3 2 1
y x mx
Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1 khi và chỉ khi phương trình
' 0
y
có 2
nghiệm
1 2
,
x x
thỏa mãn
1 2
1
x x
.
Điều này tương đương với
2
2
2
1 2
1 2 1 2
1
' 1 0
(*)
1
4 1
m
m
x x
x x x x
Theo định lý Vi – ét ta có
1 2
1 2
2
1
x x m
x x
, thay vào (*) ta dược
2
2
1
5
2
4 4 1
m
m
m
.
Vậy
5
2
m
là giá trị cần tìm.
Bài 9. Cho hàm số
3 2 2
1 2 3 2 2 1
y x m x m m x m m
.
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đồng biến trên
2;
Lời giải:
+ Tập xác định
D
.
Ta có
2 2
' 3 2 1 2 3 2 .
y x m x m m
Hàm số đồng biến trên
2;
khi và chỉ khi
' 0, 2
y x
.
2 2
( ) 3 2 1 2 3 2 0, 2;f x x m x m m x
Vì tam thức
( )
f x
có
2
' 7 7 7 0,
m m m
Nên
( )
f x
có hai nghiệm phân biệt:
1 2
1 ' 1 '
;
3 3
m m
x x
.
Vậy
2
1
( ) 0
x x
f x
x x
Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng
1 2
; , ;x x
. Vậy hàm số đồng biến
trên đoạn
2;
khi và chỉ khi
22
2
5 0
5
3
2 ' 5 2 .
2
2 6 0
' 5
m
m
x m m
m m
m
Vậy
3
2;
2
m
là giá trị cần tìm.
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
14
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 10.Cho hàm số
3 2
1
1 3 2 1
3
y mx m x m x
Tìm tất cả các giá trị của tham số
m
để hàm số đồng biến trên
2;
.
Lời giải:
+ Tập xác định
D
.
Ta có
2
' 2 1 3 2
y mx m x m
Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
2;
khi và chỉ khi
2
' 2 1 3 2 0, 2;y mx m x m x
2
2;
6 2
( ), 2; max ( )
2 3
x
x
m f x x m f x
x x
Ta có
2
2
2
2
2 6 3
'( ) 0 6 3 0 3 6 2
2 3
x x
f x x x x
x x
.
Lập bảng biến thiên của hàm số
( )
f x
trên
2;
ta suy ra
2;
2
max ( ) (2) .
3
x
f x f
Vậy
2
3
m
là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1.1. Cho hàm số
3 2 2
1
2 2 3 1
3
y m x m x m x m
.
Tìm các giá trị của tham số
m
để hàm số đồng biến trên tập xác định.
1.2. Cho hàm số
4
x m
y
x m
. Tìm các giá trị của tham số
m
để hàm số nghịch biến trên
khoảng
1;
1.3. Tìm các giá trị của tham số
m
để hàm số
3 2
1 4 3
y x m x x
nghịch biến trên tập
xác định.
1.4. Cho hàm số
3 2
3 4
y x x mx
. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số
nghịch biến trên khoảng
0;
.
1.5. Cho hàm số
3 2
3 2 1 12 5 2
y x m x m x
đồng biến trên cả hai khoảng
; 1
và
2;
.
1.6. Cho hàm số
3 2
3
y x x mx m
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài
bằng 1.
1.7. Cho hàm số
3 2
4 3
y x m x mx
. Tìm m để
a. Hàm số đồng biến trên
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
15
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
b. Hàm số đồng biến trên
0;
c. Hàm số nghịch biến trên đoạn
1 1
;
2 2
d. Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1.
1.8. Tìm m để hàm số
3 2
1 1
1 3 2
3 3
y mx m x m x
đồng biến trên khoảng
2,
1.9. Tìm để hàm số
3 2
3 1 4
y x x m x m
nghịch biến trên khoảng
1,1
.
1.10. Tìm m để hàm số
3 2
1
3 2
3
m
y x mx m x
đồng biến trên
1.11. Tìm m để hàm số
3 2
1
2 1 1
3
y mx m x m x m
đồng biến trên khoảng
,0 2,
1.12. Cho hàm số
4 2 2
2
y x mx m
. Tìm m để
a. Hàm số nghịch biến trên
1,
b. Hàm số nghịch biến trên khoảng
1,0 2,3
1.13. Cho hàm số
1
x
y
x m
. Tìm m để
a. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.
b. Hàm số đồng biến trên khoảng
0,
KHẢO SÁT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PT, HPT
Phương pháp:
Xét hàm số
( )
f x
liên tục trên miền
D
- Nếu
( )
f x
đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên
D
khi đó phương trình
( ) 0
f x
nếu có
nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất.
- Nếu tồn tại ,
a b D
thỏa mãn
( ) ( ) 0
f a f b
khi đó phương trình
( ) 0
f x
có nghiệm
0
,
x a b
.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Chứng minh rằng phương trình
5 2
2 1 0
x x x
có đúng 1 nghiệm thực.
Lời giải:
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
16
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Phương trình tương đương với :
2
5
1 0 0
x x x
. Với
2
0 1 1
x x
. Khi đó để
phương trình có nghiệm thì
5
1 1
x x
.
Vậy ta xét nghiệm của phương trình trên khoảng
1,
.
Ta xét hàm số
5 2
( ) 2 1
f x x x x
liên tục trên
.
Ta có
4 4 4
'( ) 5 2 2 2 2 3 2 0, 1,f x x x x x x x
Do đó hàm số
( )
f x
đơn điệu tăng trên
1,
. Do đó nếu có nghiệm thì phương trình đã cho sẽ
có nghiệm duy nhất.
Mặt khác ta lại có
(1) 3; (2) 23 (1) (2) 0
f f f f
. Vậy phương trình đã cho có nghiệm thực duy nhất.
Bài 2. Chứng minh rằng phương trình
.2 1
x
x
có nghiệm thực duy nhất trong khoảng
0,1
.
Lời giải :
Xét hàm số
( ) .2 1
x
f x x
trên khoảng
0,1
Ta có
'( ) 2 2 ln 2 2 1 ln 2 0, 0,1
x x x
f x x x x . Nên hàm số
( )
f x
đơn điệu tăng trong
khoảng
0,1
.
Mặt khác ta lại có
(0) 1; (1) 1 (0). (1) 1 0
f f f f
. Từ đó suy ra phương trình đã cho có
nghiệm duy nhất trên khoảng
0,1
.
Bài 3. Chứng minh rằng phương trình
2
1
x
e
x
x
có nghiệm thực duy nhất trên đoạn
1
,1
2
.
Lời giải :
Phương trình tương đương với :
2
1
x
e x x
Với
1
,1
2
x
ta lấy logarit tự nhiên hai vế của phương trình trên ta được
ln 2ln 1 0 (*)
x x x .
Ta xét hàm số
( ) ln 2ln 1
f x x x x
liên tục trên đoạn
1
,1
2
Ta có
2
1 2 2 1 1
'( ) 1 0, ,1
1 1 2
x x
f x x
x x x x
. Nên
( )
f x
đơn điệu giảm trên doạn
1
,1
2
. Mặt khác ta có
1 1 3
(1) 1 2ln2 0; ln2 2ln 0
2 2 2
f f
Từ đó suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất trên
1
,1
2
.
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
17
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Bài 4. Chứng minh rằng phương trình
1
1
x
x
x x
có nghiệm thực dương duy nhất.
Lời giải :
Điều kiện :
0
x
.
Lấy logarit tự nhiên hai vế của phương trình ta được :
1 ln ln 1 0
x x x x
.
Xét hàm số
( ) 1 ln ln 1
f x x x x x
trên khoảng
0,
.
Ta có
1 2 1
'( ) ln ln( 1) ln
1 1 1
x x x x
f x x x
x x x x x
Xét hàm số
2 1
( ) ln , 0;
1 1
x x
g x x
x x x
.
Ta có
2
1
'( ) 0
g x
x
, nên hàm số
( )
g x
đơn điệu giảm trên khoảng
0,
.
Mặt khác ta có
2 1
lim ( ) lim ln 0
1 1
x x
x x
g x
x x x
. Vậy
( ) 0, 0,g x x
. Từ đó
suy ra
'( ) 0, 0,f x x
. Vậy
( )
f x
là hàm đơn điệu tăng trên khoảng
0,
.
Mặt khác ta có (1) ln 2 0, lim ( ) lim ln .
1
x
x x
x
f f x x
x
Từ đó suy ra phương trình
( ) 0
f x
có nghiệm duy nhất
0
1,x
. Ta có đpcm.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1.1. Chứng minh rằng phương trình
5 3
10 9 1 0
x x x
có 5 nghiệm thực phân biệt.
1.2. Chứng minh rằng phương trình
2
4 4 1 1
x
x
có đúng ba nghiệm thực phân biệt.
1.3. Chứng minh rằng với mỗi nguyên dương n thì phương trình
2 3 2 2 1
2012 2004
n n
x x x x x
có nghiệm thực duy nhất.
1.4. Chứng minh rằng phương trình :
2011
3 2
1 2 1 1 3 3 2 0
x x x x x x
có nghiệm thực duy nhất.
1.5. Chứng minh rằng phương trình :
*
2
1 1 1 1
0,
1 2
n
n
x x x x n
luôn có nghiệm thực duy nhất thuộc khoảng
0,1
.
1.6. Chứng minh rằng phương trình :
lg sin
x x
có đúng một nghiệm thực trên đoạn
3 5
,
2 2
.
1.7. Chứng minh rằng với mỗi n nguyên dương,
2
n
thì phương trình
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
18
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
tan tan tan 0
2 2 2
n
x x x
có nghiệm thực duy nhất trong khoảng
0,4
.
1.8. Cho 2 ,n k k
. Chứng minh rằng phương trình :
2 1 2
1 3 2 2012 0
n n n
n x n x
.
1.9. Chứng minh rằng với mọi m thì phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất
3 2 2 3
3 1 3 1 1 0
x m x m x m
.
1.10. Chứng minh rằng phương trình
3 2
3 1 0
x x
có ba nghiệm phân biệt
1 2 3
x x x
thỏa mãn
1 2
1 2 3
2 2 2 27
x x
x x x
1.11. Chứng minh rằng với
, ,
A B C
là ba góc của một tam giác thì phương trình sau luôn có 4
nghiệm phân biệt
2
2
3 sin sin sin
2 2 2
x x
A B C
1.12. Chứng minh rằng với mọi m thì hệ sau luôn có nghiệm
2008 2008
2
( ) ( ) 0
4 1
f x f y
x m y
, trong đó
2 2
( ) 3 2 2 3
f x x x x x
BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong
( )
y f x
và
( )
y g x
Khi đó số giao điểm của hai đường cong chính là số nghiệm của phương trình (*).
Trong kì thi Tuyển sinh Đại học và Cao đẳng chỉ xét bài toán giao điểm của đường thẳng với đồ
thị của hàm số bậc ba, hàm trùng phương và đồ thị của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất.
Kiến thức cần vận dụng:
Hai đường cong tiếp xúc nhau:
Hai đường cong
: ( )
C y f x
và
' : ( )
C y g x
tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình:
0 0
0 0
( ) ( )
'( ) '( )
f x g x
f x g x
có nghiệm
0
x
.
Tương giao với hàm đa thức bậc ba:
(i). Xét phương trình:
3 2
0 (*), 0.
y ax bx cx d a
Khi đó phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số
( ) ( ) 0 (*)
f x g x
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
19
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
3 2
0
y ax bx cx d
có hai điểm cực trị thỏa mãn
0.
CD CT
y y
i.1- Nếu phân tích phương trình (*) thành
1
2
1
2
0
( ) (1)
x x
a x x x px q
g x x px q
Khi đó phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm
phân biệt khác
1
x
.
2
1
0
4 0
( ) 0
a
p q
g x
i.2- Định lý Vi-ét
1 2 3
1 2 2 3 3 1
1 2 3
(1)
(2)
(3)
b
x x x
a
c
x x x x x x
a
d
x x x
a
Một số biến đổi thường dùng:
2
2 2 2
1 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 1
2
x x x x x x x x x x x x
3
3 3 3
1 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 3
3
x x x x x x x x x x x x
i.3- Phương trình (*) có ba nghiệm lập thành cấp cố cộng khi
1 3 2
2
x x x
thay vào (1) suy ra
2
3
b
x
a
, lúc này thay ngược vào phương trình (*) ban đầu sẽ tìm ra giá trị của tham số cần tìm.
Tuy nhiên đây chưa phải là điều kiện cần và đủ do đó với mỗi giá trị của tham số tìm được cần
giải lại phương trình xem phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng hay không. Lúc đó
mới chấp nhận giá trị của tham số đó hay không.
i.4- Một cách tương tự phương trình (*) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân thì
2
1 3 2
x x x
, lúc
này ta thay vào (3),…
(ii). Xét với
0
a
, ta có:
ii.1- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt biệt có hoành độ
, khi và chỉ khi
phương trình
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
x x
và thỏa mãn
1 2
( ) 0
( ). ( ) 0
y
y x y x
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
20
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
ii.2- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt biệt có hoành độ
, khi và chỉ khi
phương trình
' 0
y
có hai nghiệm phân biệt
1 2
x x
và thỏa mãn
1 2
( ) 0
( ). ( ) 0
y
y x y x
Với
0
a
, ta biến đổi phương trình hoành độ giao điểm về phương trình có hệ số
a
dương và áp
dụng với trường hợp
0
a
.
Tương giao với hàm trùng phương :
(i). Xét phương trình:
4 2
, 0 (*)
ax bx c a
Đặt
2
0
t x
, khi đó phương trình trở thành
2
( ) 0 (1)
g t at bt c
i.1- Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân
biệt đều dương
2
0
4 0
0
0
a
b ac
b
S
a
c
P
a
Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm
1 2
0
t t
. Lúc này phương trình (*) sẽ có bốn nghiệm là:
1 2 2 1 3 1 4 2
, , ,
x t x t x t x t
i.2- Vậy phương trình (*) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
2 1 3 2 4 3 2 1 1 2 1
2 9
x x x x x x t t t t t
Định lí Vi-ét với phương trình (1) ta lại có:
1 2
1 2
b
t t
a
c
t t
a
Lưu ý: Dạng toán này luôn cần thiết sử dụng đến định lí Vi-ét.
BÀI TẬP MẪU
Bài 1. Cho hàm số
3 2
2 1
y x x m x m
(1),
m
là tham số thực
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
21
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Tìm
m
để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ
1 2 3
, ,
x x x
thỏa mãn
điều kiện
2 2 2
1 2 3
4
x x x
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
2 1 0
x x m x m
2
1 0 1
x x x m x
hoặc
2
0 (*)
x x m
Đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt, khác 1.
Kí hiệu
2
1 2
( ) ; 1,
g x x x m x x
và
3
x
là các nghiệm của (*).
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi
2 2
2 3
0 1 4 0
1
(1) 0 0 1
4
1 2 3
3
m
g m m
m
x x
và
0
m
Vậy
1 0
\
1
,
4
m
là giá trị càn tìm.
Bài 2.Cho hàm số
4 2
1
y x mx m
(1)
Tìm
m
để đồ thị hàm số
(1)
cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
4 2
1 0
x mx m
Đặt
2
0
t x
, khi đó phương trình trở thành
2
1 0 (*)
t mt m .
Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt đều dương
2
2 0
0
0 0 1 2
0 1 0
m
S m m
P m
Bài 3. Cho hàm số
3 2
3 1
y x x mx
(1)
(
m
là tham số
)
Tìm
m
để đường thẳng
: 1
d y
cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt
0;1 ,
A
,
B C
sao cho
các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại
B
và
C
vuông góc với nhau.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
3 1 1
x x mx
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
22
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
2
3 0 0
x x x m x
hoặc
2
3 0(*)
x x m
Kí hiệu
2
( ) 3
g x x x m
Đường thẳng
d
cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt, khác 0.
9 4 0
9
, 0.
(0) 0
4
m
m m
g m
Khi đó hoành độ của
,
B C
là nghiệm của phương trình (*)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại
,
B C
lần lượt là
2 2
1 2
3 6 ; 3 6
B B C C
k x x m k x x m
Tiếp tuyến tại
,
B C
vuông góc với nhau khi và chỉ khi
2 2
1 2
1 3 6 3 6 1
B B C C
k k x x m x x m
2 2
3 3 2 3 3 3 2 3 1
B B B C C C
x x m m x x x m m x
2
2 3 2 3 1 4 6 9 1(2)
B C B C B C
m x m x m m x x x x
Theo định lí Vi-ét ta có
3
B C
B C
x x
x x m
, khi đó (2) trở thành
2
9 65
4 9 1 0
8
m m m
Bài 4.Cho hàm số
3 2
3 2
y x m x m
(1)
Tìm
m
để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt.
Lời giải:
Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số (1) phải có hai điểm cực
trị
2 2
' 3 3 0
y x m
có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
0 (*)
m
Khi đó ' 0
y x m
Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại đúng hai điểm khi và chỉ khi hoặc
0
CT
y
hoặc
CD
0
y
3
( ) 2 2 0 0 1
y m m m m m
3
( ) 2 2 0 0
y m m m m
Chỉ có
1
m
thỏa mãn điều kiện (*). Vậy giá trị cần tìm của m là
1
m
hoặc
1
m
Bài 5. Cho hàm số
4 2
2 1 2 1
y x m x m
(1)
Tìm
m
để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số
cộng.
Lời giải:
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
23
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Phương trình hoành độ giao điểm:
4 2
2 1 2 1 0
x m x m
Đặt
2
0
t x
, khi đó phương trình trở thành
2
2 1 2 1 0 (*)
t m t m
Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2
nghiệm đều dương
2
0
' 0
1
0 2 1 0 0 (2)
2
0
2 1 0
m
S m m
P
m
.
Khi đó (*) có hai nghiệm là
1 2
0
t t
. Suy ra hoành độ bốn giao điểm lần lượt là
1 2 2 1 3 1 4 2
; ; ;
x t x t x t x t
. Bốn điểm này lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi
2 1 3 2 4 3 2 1 1 2 1
2 9
x x x x x x t t t t t
4
1 9 1 5 4 1
4
9
m
m m m m m m
m
thỏa mãn (2)
Vậy giá trị cần tìm của
m
là
4
;4
9
m
Bài 6.Cho hàm số
3 2
6 9 6
y x x x C
.
Tìm
m
để đường thẳng
: 2 4
d y mx m
cắt đồ thị
C
tại ba điểm phân biệt.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
6 9 6 2 4
x x x mx m
3 2 2
6 9 2 2 0 2 4 1 0
x x m x m x x x m
2
x
hoặc
2
4 1 0 (*)
x x m
Kí hiệu
2
( ) 4 1
g x x x m
. Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) có hai
nghiệm phân biệt, khác 2
' 0 3 0
3
(2) 0 3 0
m
m
g m
Bài 7. Cho hàm số
3 2
2 3 1 6 2
m
y x m x mx C
.
Tìm
m
để đồ thị
m
C
cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Lời giải:
HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
24
Dang Thanh Nam
Auditing 51a, National economics University, Ha Noi, Viet Nam
Phương trình hoành độ giao điểm:
3 2
2 3 1 6 2 0
x m x mx
3 2 2
2 3 2 3 2 (*)
x x m x x
Nhận thấy
0, 2
x x
không là nghiệm của phương trình (*), khi đó phương trình (*) tương
đương với:
3 2
2
2 3 2
3 (1)
2
x x
m
x x
Xét hàm số
3 2
2
2 3 2
( )
2
x x
g x
x x
, ta có bảng biến thiên:
Từ bảng biến thiên suy ra để phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi
3 3 3 3 3 3 3 1 3 1 3
m m .
Vậy
1 3,1 3
m
là những giá trị cần tìm.
Cách 2: Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại duy nhất một điểm thì xảy ra một trong hai khả
năng
1. Hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến.
2. Hàm số có cực đại, cực tiểu nhưng
CÐ
0
CT
y y
.
Bạn đọc tự làm theo hướng này và so sánh với kết quả trên.
Bài 8. Cho hàm số
3
2
m
y x mx C
.
Tìm
m
để đồ thị
m
C
cắt trục hoành tại một điểm duy nhất.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm:
3
2 0
x mx
2
2
0
m x x
x
, do
0
x
không là nghiệm của phương trình
Xét hàm số
2
2
( )f x x
x
. Ta có
3
2
2 2
'( ) 0 1.
x
f x x
x
Ta có bảng biến thiên:
