ĐỊNH lÝ VI-ÉT

ĐỊNH LÍ VIÈTE
Định lí Viète về các nghiệm là định lí thiết lập hệ thức giữa các
nghiệm và các hệ số của một đa thức một biến, nghĩa là của phương trình đại
số tương ứng với đa thức đó
* Đối với phương trình bậc 2:
Tổng các nghiệm của phương trình bậc 2: ax
2
+bx+c=0, bằng
b
a
−
; tích
các nghiệm bằng
c
a
Các hệ thức: x
1
+x
2
=
b
a
−
= - p ; x
1
.x
2
=
c
a
=q

* Định lí đảo của định lí Viète:
Hai số
1
α
và
2
α
, mà tổng bằng – p và tích bằng q, là nghiệm của
phương trình bậc 2: x
2
+ px+q = 0.
* Cả định lí Viète lẫn định lí đảo của nó được tổng quát hóa cho các
phương trình đại số bậc tùy ý. Chẳng hạn, đối với phương trình đại số bậc n
dạng:
x
n

+

a
1
x
n-1
+ a
2
x
n-2

+
…

+ a
n
= 0,
hệ thức giữa các hệ số và các nghiệm được xác định như sau:
x
1
+ x
2
+ … + x
n
= - a
1
x
1
.x
2
+ x
1
.x
3
+ … + x
n-1
. x
n
= a
2
……………………
x
1.
x

2.
x
3…
x
n
= (-1)
n
a
n
Đặc biệt, với mọi n, tổng tất cả các nghiệm bằng số đối của hệ số thứ
hai (tức là bằng hệ số của x
n-1
), còn tích các nghiệm bằng hạng tử tự do, với
độ chính xác đến dấu của nó.
François Viète (Vi-ét, 1540 - 13 tháng 2, 1603, phiên âm: Phrăng-xoa
Vi-ét) đã tìm được sự phụ thuộc đó đối với mọi n, tuy nhiên với điều kiện
các nghiệm nguyên dương.
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA
3 2
ax 0x bx c+ + + =
(1)
Đưa về phương trình bậc ba dạng:
3
0y py q+ + =
(2)
bằng cách đặt
3
a
y x= +
để giải phương trình (2) ta đặt

y u v
= +
.
3
p
u v− =
Khi đó u và v được xác định bởi các công thức sau:
2 3
3
2 4 27
q q p
u
 
 
∈ − + +
 
 
 
2 3
3
2 4 27
q q p
v
 
 
∈ − − +
 
 
 
Giả sử u

1
là một giá trị của
2 3
3
2 4 27
q q p
− + +
khi đó phần tử v
1
tương
ứng với nó là một trong ba giá trị của
2 3
3
2 4 27
q q p
− − +
sao cho u
1
.v
1
=
3
p
−
.
Gọi
ε
là một căn nguyên thủy bậc ba của một thì ta có công thức
nghiệm của phương trình (2) là:
y

1
= u
1
+v
1
y
2
= u
2
ε
+v
1
ε
2
y
3
= u
1
2
ε
+v
1
ε
.
Ví dụ: Giải các phương trình sau
a. 4x
3
-36x
2
+84x- 20=0;

b. x
3
-x-6=0;
c. x
3
+18x+15=0;
d. x
3
-3x
2
-6x+4=0;
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN
0
234
=++++
dcxbxaxx
Trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loại
phương trình bậc bốn đặc biệt. Đó là phương trình trùng phương. Tuy nhiên
trong các đề thi đại học thì dạng phương trình thường khai triển và đưa về
dạng phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương
Sau đây xin giới thiệu với các bạn cách giải các phương trình bậc bốn
dạng
0
234
=++++ dcxbxaxx
trong đó
dcba ,,,
là các số thực khác không.
1. Với các phương trình bậc bốn, trong một số trường hợp cụ thể,
nếu ta có cách nhìn sáng tạo, biết biến đổi hợp lí và sáng tạo, ta có thể

giải được chúng không khó khăn gì
Ví dụ 1 . Giải phương trình

( )
0246
2
2
2
=++−− axxax
(1)
Phương trình (1) được viết thành

02462
2224
=++−+− axxaaxx
hay
( )
02462
224
=++++− aaxxax
(2)
Phương trình (2) là phương trình bậc bốn đối với x mà bạn không được
học cách giải.
Nhưng ta lại có thể viết phương trình (1) dưới dạng

( )
04612
2422
=+−+−− xxxaxa
(3)

Và xem (3) là phương trình bậc hai đối với a.
Với cách nhìn này, ta tìm được a theo x:

xxxxxxa 46121
24242
2,1
−+−+−±−=

( )
121
1441
2
22
−±−=
+−±−=
xx
xxx
Giải các phương trình bậc hai đối với x

022
2
=−−+ axx
(4)
Và
02
2
=−− axx
(5)
Ta tìm đuợc các nghiệm (1) theo a.
Điều kiện để (4) có nghiệm là

03 ≥+ a
và các nghiệm của (4) là

ax +±−= 31
2,1
Điều kiện để (5) có nghiệm là
01 ≥+ a
và các nghiệm của (5) là

ax +±= 11
4,3
Tổng kết
a -3 -1
Phương trình (4) Vô nghiệm 2 nghiệm 2 nghiệm
Phương trình (5) Vô nghiệm Vô nghiệm 2 nghiệm
Phương trình (6) Vô nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm
1 nghiệm 3 nghiệm
Ví dụ 2. Giải phương trình

0445
234
=++−− xxxx
(1)
Phương trình (1) được viết dưới dạng:

( )
( ) ( )
( )( )
014
0141

0444
22
222
2234
=−−−
=−−−−−
=−−−−−
xxx
xxxxx
xxxxx
Vậy (1) có 4 nghiệm là

.
2
51
;
2
51
;2;2
4321
+
=
−
==−= xxxx
Ví dụ 3. Giải phương trình

0521104832
234
=++−− xxxx
(1)

Ta viết (1) dưới dạng:

( ) ( )
05347924162
2234
=+−−+− xxxxx
Và đặt:
xxy 34
2
−=
thì (1) được biến đổi thành

0572
2
=+− yy
Từ đó
1
1
=y
và
2
5
2
=y
Giải tiếp các phương trình bậc hai đối với x sau đây (sau khi thay
1
1
=y
và
2

5
2
=y
vào
xxy 34
2
−=
):

0134
2
=−− xx
Và
0568
2
=−− xx
Ta sẽ được các nghiệm của (1).
Ví dụ 4. Giải phương trình

0231632
234
=++−+ xxxx
(1)
Đây là phương trình bậc bốn (và là phương trình hồi quy khi
2
e d
a b
 
=
 ÷

 
)
Với phương trình này ta giải như sau:
Chia hai vế của phương trình cho
2
x
(khác không) thì (1) tương đương với

0
23
1632
2
2
=++−+
x
x
xx
Hay
2
2
1 1
2 3 16 0x x
x x
   
+ + + − =
 ÷  ÷
   
Đặt
1
y x

x
= +
thì
2 2
2
1
2y x
x
− = +
Phương trình (1) được biến đổi thành:

( )
2
2 2 3 16 0y y− + − =
hay
2
2 3 20 0y y+ − =
Phương trình này có nghiệm là
1 2
5
4,
2
y y= − =
Vì vậy
1
4x
x
+ = −
và
1 5

2
x
x
+ =
tức là
2
4 1 0x x+ + =
và
2
2 5 2 0x x− + =
Từ đó ta tìm được các nghiệm của (1) là:
1,2 3 4
1
2 3, , 2
2
x x x= − ± = =
.
Như vậy, với các ví dụ 2,3 và 4 ta giải được phương trình bậc bốn nhờ
biết biến đổi sáng tạo vế trái của phương trình để dẫn tới việc giải các
phương trình và phương trình quen thuộc.
2. Có thể giải phương trình bậc bốn nói trên bằng cách phân tích vế
trái của phương trình thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định.
Ví dụ 5 . Giải phương trình:
4 3 2
4 10 37 14 0x x x x+ − + − =
(1)
Ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai
2
x px q+ +
và

2
x rx s+ +
,
trong đó
, , ,p q r s
là các hệ số nguyên chưa xác định.
Ta có:
( ) ( )
4 3 2 2 2
4 10 37 14x x x x x px q x rx s+ − + − = + + + +
(2)
Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai vế của đồng nhất
thức ta có hệ phương trình sau

4
10
37
14
p r
s q pr
ps qr
qs
+ = −


+ + = −


+ =



= −

Nhờ phương trình cuối cùng của hệ này ta đoán nhận các giá trị nguyên
tương ứng có thể lấy được của q và s như sau
q 1 2 7 14 -1 -2 -7 -14
s -14 -7- 2 -1 14 7 2 1
Thử lần lượt các giá trị trên của q thì thấy với
2, 7q s= = −
phương trình
thứ hai và thứ ba của hệ trên cho ta hệ phương trình mới

5
7 2 37
pr
p r
= −


− + =

Mà khử
p
đi thì đuợc
2
2 37 35 0r r− + =
Phương trình này cho nghiệm nguyên của
r
là 1. Nhờ thế ta suy ra
5p = −

Thay các giá trị
, , ,p q r s
vừa tìm được vào (2) thì có:

( ) ( )
4 3 2 2 2
4 10 37 14 5 2 7x x x x x x x x+ − + − = − + + −
Phương trình (1) ứng với
( ) ( )
2 2
5 2 7 0x x x x− + + − =
Giải phương trình tích này ta được các nghiệm sau của (1):

5 17 1 29
;
2 2
x x
± − ±
= =
Lưu ý: Trong một số trường hợp ta không thể dùng phương pháp này vì
nhiều khi việc phân tích trên không được như mong muốn chẳng hạn khi hệ
trên không có nghiệm nguyên.
3. Sau đây ta sẽ tìm công thức nghiệm của phương trình bậc bốn

( )
4 3 2
0f x x ax bx cx d= + + + + =
(1)
trong đó
, , ,a b c d

là các số thực.
Dụng ý của ta là phân tích đa thức
4 3 2
x ax bx cx d+ + + +
thành hai nhân tử
bậc hai
Dùng ẩn phụ h, ta biến đổi như sau:

( )
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 4 4 2
f x x ax h bx cx d a x h hx ahx
 
= + + + + + − − − −
 ÷
 

( )
2
2 2 2 2
1 1 1 1 1
2 2 4 2 4
f x x ax h h a b x ah c x h d
 
       
= + + − + − + − + −
 ÷  ÷  ÷  ÷
 

       
 
(2)
Tam thức trong dấu móc vuông có dạng:
2
Ax Bx C+ +

2
Ax Bx C+ +
có thể viết dưới dạng:
( )
2
2
Ax Bx C Px q+ + = +
(3)
Khi và chỉ khi
2
4 0B AC− =
hay
2
4 0AC B− =
Ta có:
2
2 2
1 1 1
4 0
4 4 2
h a b h d ah c
    
+ − − − − =

 ÷ ÷  ÷
    
Đây là phương trình bậc ba đối với
h
nến phải có ít nhất một nghiệm thực.
Giả sử nghiệm đó là
1h =
.
(Ta có thể dùng công thức biểu diễn nghiệm phương trình bậc ba của
Cacđanô (nhà toán học người Italia)
3 2
0x px q+ + =
(*) qua các hệ số của nó.
Mọi phương trình bậc ba tổng quát:
3 2
0 1 2 3 0
0, 0a y a y a y a a+ + + = ≠
đều có thể
đưa về dạng (*) nhờ phép biến đổi ẩn số
1
0
3
a
y x
a
= −
. Công thức được viết
như sau:
2 3 2 3
3 3

2 4 27 2 4 27
q q p q q p
x = − + + + − − +
trong đó mỗi căn thức bậc ba ở
vế sau có ba giá trị, nhưng phải chọn các cặp giá trị có tích bằng
3
p
−
để cộng
với nhau)
Thế thì (2) đuợc viết dưới dạng:
( ) ( )
2
2
2
1 1
2 2
f x x ax t px q
 
= + + − +
 ÷
 
(4)
Vậy:
( )
2 2
1 1 1 1
0
2 2 2 2
f x x ax t px q x ax t px q

  
= + + + + + + − + =
 ÷ ÷
  
Từ đó:
2
1 1
0
2 2
x a p x t q
 
+ + + + =
 ÷
 
hoặc
2
1 1
0
2 2
x a p x t q
 
+ − + − =
 ÷
 
Giải hai phương trình bậc hai này ta đuợc tập hợp nghiệm của (1):
2
1,2
1 1 1
4 2
2 2 2

x a p a p q t
   
= − + ± + − −
 ÷  ÷
   
Và
2
3,4
1 1 1
4 2
2 2 2
x a p a p q t
   
= − − ± − + −
 ÷  ÷
   
Ví dụ 6. Giải phương trình:
4 3 2
7 6 0x x x x− − + + =
Dựa vào công thức (3) ta xác định đuợc
h
:

2
2
29 1 1
4 6 1 0
4 4 2
h h h
    

+ − − − − =
 ÷ ÷  ÷
    
tức
3 2
7 25 175 0h h h+ − − =
Ta tìm được một nghiệm thực
h
của phương trình này là
5h =
Dựa vào (3) và với
5, 1,, 7, 1, 6h t a b c d= = = − = − = =
thì tính đuợc
7 1
,
2 2
p q
−
= =
Phương trình đã cho sẽ được diễn đạt theo (4) là:
2 2
2
2 2
1 5 7 1
0
2 2 2 2
1 5 7 1 1 5 7 1
0
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x

x x x x x x
   
− + − − =
 ÷  ÷
   
  
⇔ − + + − − + − + =
 ÷ ÷
  
Thì được tập nghiệm của phương trình đã cho là:
{ }
1; 2;3;1− −
4. Ta còn có thể giải phương trình bậc bốn bằng cách sử dụng đồ
thị.
Thật vậy, để giải phương trình bậc bốn

4 3 2
0x ax bx cx d+ + + + =
(1)
bằng đồ thị, ta hãy đặt
2
x y mx= −
Phương trình (1) trở thành:
2 2 2 2 2
2 0y mxy m x axy axm bx cx d− + + − + + + =
Để khử được các số hạng có
xy
trong phương trình này thì phải có:
2 0m a
− + =

và
2
a
m =
Vậy nếu đặt
2
x y mx= −
và
2
a
m =
tức
2
2
a
x y x= −
Thì (1) trở thành:
2 2
2 2 2 2
0
4 2
a a
y x x bx cx d+ − + + + =
(2)
Thay
2
x
bởi
2
a

y x−
và biến đổi thì (2) trở thành

3 2
2 2
1 0
2 8 2 4
a a ab a
x y c x b y d
   
+ + + − + + − − + =
 ÷  ÷
   
Vậy phương trình (1) tương đương với hệ phương trình

4
3 2
2 2
,(3)
2
1 0,(4)
2 8 2 4
a
y x x
a a ab a
x y c x b y d

= +




   

+ + + − + + − − + =
 ÷  ÷

   

Do đó hoành độ các giao điểm của parabol, đồ thị (3) và của đường
tròn, đồ thị của (4), là nghiệm của phương trình (1) đã cho
Nếu ta đặt
2
( 0)
2
a
my x x m= + ≠
thì khi ấy nghiệm của phương trình (1) lại là
hoành độ các giao điểm của hai parabol

2
1
2
a
y x x
m m
= +
và
2
2 2
3 3

4
2 8 2 3
a
m b y
m y
x d
ab a ab a
c c
 
−
 ÷
 
= + +
− − − −
Bây giờ, ta hãy vận dụng các phương pháp trên để giải các phương trình
bậc bốn sau:
4 3 2
4 3 2
4 3 2
4 3 2
4 3 2
4 3 2
4 3 2
4 3 2
4 3 2
1) 4 3 2 1 0,
2) 2 5 4 12 0,
3)6 5 38 5 6 0,
4) 5 12 5 1 0,
5) 2 2 6 15 0,

6) 3 4 6 0,
7) 4 3 2 1 0,
8) 2 8 2 7 0,
9) 6 6 8 0.
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
+ + + − =
+ + + − =
+ − + + =
+ − + + =
+ − + − =
− + + − =
− + + − =
− + + + =
+ + − =