KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ - PHẦN I

PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC VÀ HỮU TỶ
I. Phương trình bậc 3:
1. Dạng chuẩn:
3 2
ax bx cx d 0
   
.
2. Phương pháp giải:
a. Nếu phương trình có một nghiệm hữu tỷ
x a

:
Phân tích phương trình về dạng tích:
2
(x a)(mx nx p) 0
   
.
b. Các trường hợp đặc biệt:
* Đưa phương trình về dạng:
3 3
k(x a) b
 

Ví dụ: Giải phương trình:
a.
3 2
3x 9x 9x 5 0
   
b.

3 2
4x 24x 48x 29 0
   

* Đưa phương trình về dạng:
3 3
k(x a) mx
 

Ví dụ: Giải các phương trình:
a.
3 2
9x 6x 12x 8 0
   
b.
3 2
3x 12x 6x 1 0
   

c.
3 2
x 6x 6x 2 0
   
d.
3 2
2x 9x 9x 3 0
   

c. Đặt ẩn phụ dạng lượng giác:
Phương pháp:

+ Tính đạo hàm cấp 2 y’’.
+ Giải phương trình y”=0 tìm ra nghiệm x=a.
+ Sử dụng phép đặt x=t+a. Nếu phương trình đưa về một trong các dạng sau thì có
thể đặt ẩn phụ lượng giác:
*
3
4x 3x k
 
với
| k | 1

có thể đặt:
x cost;t [0; ]
  
.
*
3
x 3x k
 
với
| k | 2

có thể đặt:
x 2cost;t [0; ]
  
.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a.
3
3

4x 3x
2
  b.
3
x 3x 1
 

c.
3 2
8x 12x 1 0
  
d.
3 2
x 6x 9x 1 0
   

d. Dùng phương pháp Carnado:
Phương pháp: Xét phương trình tổng quát:
3 2
ax bx cx d 0
   
.
+ Thực hiện phép biến đổi đưa phương trình về dạng:
3
y py q 0
  
.
+ Đặt y=u+v đưa phương trình về dạng:
3 3
(u v ) (u v)(3uv p) q 0

     

+ Tìm u,v sao cho:
3 3
u v q
3uv p 0

  

 

. Khi đó
3 3
u ;v
là hai nghiệm của phương
trình:
3
2
p
t qt 0
27
  
(*). Giải phương trình tìm u,v từ đó tìm ra nghiệm.
Chú ý: Phương trình bậc 3 thường ít gặp ở dạng tổng quát nên trong quá trình giải
cần lưu ý đến trường hợp đặc biệt nêu trên.
II. Phương trình bậc 4:
1. Phương trình trùng phương:
Dạng:
4 2
ax bx c 0

  
.
Phương pháp: Đặt
2
t x ;(t 0)
 
đưa về phương trình bậc hai.
2. Phương trình hồi quy:


Dạng:
4 3 2
ax bx cx dx e 0
    
với điều kiện:
2
e d
a b
 

 
 

Phương pháp:
+ Chia hai vế phương trình cho
2
x
và nhóm theo dạng:

2

2
e d
(ax ) (bx ) c 0
x
x
    

+ Đặt
k
t x
x
 
phương trình được chuyển qua phương trình bậc hai ẩn t.
Chú ý: - Nếu
k
t x ;k 0
x
  
thì
| t | 2 k


- Nếu
k
t x ;k 0
x
  
thì
t R


Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a.
0231632
234
 xxxx
b.
0
4
14
6
7
234

x
x
x
x

c.
0
9
18
14
6
234

x
x
x

x
d.
0
1
5
8
5
234

x
x
x
x

3. Phương trình nhóm theo trục đối xứng:
Xét phương trình
4 3 2
ax bx cx dx e 0
    
trong đó hàm số
4 3 2
f(x)=ax bx cx dx e
   
thỏa mãn điều kiện hệ:
f '(x) 0
f "'(x) 0






có nghiệm x=a.
Phương pháp:
* PP1: Đặt t=x-a ta được phương trình trùng phương ẩn t.
* PP2: Nhóm khử số hạng chứa
3
x
để đặt ẩn phụ:
2
t ax bx
 

Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a.
4 3 2
x 4x x 6x 2 0
    
b.
4 3 2
8x 8x 4x 3x 1 0
    

c.
4 3 2
12x 12x 13x 5x 3 0
    
d.
4 3 2
4x 16x 13x 6x 1 0
    

4. Phương trình khuyết số hạng chứa
3
x
:
Dạng:
4 2
ax bx cx d 0
   

Phương pháp: Sử dụng đồng nhất:
4 2 2 2 2
ax bx cx d a(x m) n(px q)
      
đưa
phương trình về tích hai tam thức bậc hai:
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a.
4
x 24x 32 0
  
b.
4 3
4x 13x 2x 8 0
   

c.
4 2
9x 3x 12x 11 0
   

d.
4
x 4x 1 0
  

5. Giải phương trình bậc bốn bằng phương pháp tổng quát:
Phương pháp: Xét phương trình bậc bốn dạng:
4 3 2
ax bx cx dx e 0
    

+ Thực hiện phép biến đổi đưa phương trình về dạng:
2 2 2
(px qx) mx nx k
   
.
+ Thêm tham số y thỏa:

2 2 2 2 2 2
(px qx) 2y(px qx) y (m 2py)x (n 2qy)x k y
         

+ Đưa phương trình về dạng:
2 2 2 2
(px qx y) (m 2py)x (n 2qy)x k y
       

+ Xét:
2 2
f(x) (m 2py)x (n 2qy)x k y

     
. Ta đi xác định y sao cho
f(x) 0

có
nghiệm kép.


+ Dựa vào giá trị y tìm được co phuong trình dạng:
2 2 2
(px qx y) (ux v)
   

Chú ý: Việc tính

để tìm ra giá trị của y sẽ dẫn đến việc giải phương trình bậc 3 ẩn
y. Trong các bài toán về phương trình bậc 4 thì giá trị của y tìm được thường là các
số hữu tỷ.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a.
4 3 2
x 3x 3x 9x 2 0
    
b.
4 3 2
x 12x 24x 73x 18 0
    

c.
4 3 2

2x 3x 5x 11x 3 0
    
d.
4 3 2
3x 8x 33x 27 0
   

6. Giải phương trình nhờ việc tìm nghiệm bằng máy tính:
Cách giải phương trình này thường chỉ áp dụng đối với các phương trình bậc 4 có
nghiệm và có thể phân tích thành tích hai tam thức bậc hai. Tuy nhiên trong đại đa
số các bài toán khi đưa về phương trình bậc cao thì lời giải sơ cấp cuối cùng cũng
đưa ta tới việc giải một phương trình bậc hai trừ một số dạng đặc biệt của phương
trình bậc 3 đã xét ở trên.
Phương pháp:
a. Sử dụng chức năng SHIFT SLOVE của máy tính tìm ra 1 nghiệm nào đó
của phương trình là
1
x
.
* Nếu
1
x
là số hữu tỷ thì ta có thể đưa về tích của các phương trình có bậc
thấp hơn đã xét ở trên.
* Nếu
1
x
là số vô tỷ, mục tiêu tiếp theo là tìm thêm một nghiệm
2
x

của
phương trình thỏa mãn
1 2
1 2
x x p
x x q
 




(*) trong đó p, q là các số hữu tỷ.
Ta có thể tìm ra nghiệm
2
x
dựa vào 1 trong hai cách sau:
Cách 1: ( Cách này mang tính may rủi cao và thường đạt kết quả nhanh nếu phương
trình bậc 4 có 2 nghiệm).
+ Sử dụng chức năng SHIFT SLOVE của máy tính tìm ra 1 nghiệm nào đó
của phương trình là
2
x
. Ngiệm này phải thỏa mãn điều kiện (*).
Cách 2: Cách này luôn thực hiện được nếu ta chọn giá trị B trong lúc nhập vào máy
tính.
+ Từ công thức 1 nghiệm phương trình bậc hai:
1
B D
x
2A

 
 ta có:
2
1
D (2Ax B)
 
+ Sử dụng máy tính:
- Gán giá trị D=0;B=k ( Lưu ý giá trị k được chọn sao cho quét được nghiệm
của phương trình. Thông thường tôi hay chon k=-20 cho chắc ăn).
- Nhập phép gán:
2
1
B B 1: D (2Ax B)
    (Chú ý số A chính là hệ số của
4
x

trong phương trình ban đầu)
- Ấn dấu bằng liên tiếp đồng thời quan sát khi D xấp xỉ là một số nguyên thì
dừng lại.
- Dựa vào công thức nghiệm của phương trình bậc hai ta có thể xác định được
tam thức bậc hai sinh nên nghiệm
1
x
.
(Đối với dòng máy tính ES-570PLUS việc tìm nghiệm còn có thể dùng lệnh gán trực
tiếp hoặc có thể dò giá trị bằng bảng TAB).


b. Công việc còn lại là tách đa thức bậc 4 thành tích hai tam thức trong đó 1

tam thức đã được tìm ở phần a.
Ví dụ: Giải các phương trình sau:
a.
4 3 2
x 9x 17x 18x 18 0
    
b.
4 3 2
x x 36x x 63 0
    

c.
4 3 2
6x x 32x 2x 35 0
    
d.
4 3 2
6x 21x 31x 90x 88 0
    

III. Phương trình đưa về dạng đẳng cấp:
1. Phương trình đẳng cấp hai ẩn:
Dạng phương trình:
n n 1 n 1 n
n n 1 1 0
a x a x y a xy a y 0
 

    

Phương pháp giải:
+ Xét y=0 kiểm tra.
+ Với
y 0

chia cả hai vế phương trình cho
n
y
, đặt
x
t
y

ta được phương
trình bậc n theo ẩn t.
Thông thường với các dạng phương trình bậc thấp ( Phương trình đẳng cấp bậc hai
ta có thể phân tích thành tích bằng cách tìm nghiệm của phương trình đặc trưng).

Một số kỹ thuật đẹp để giải phương trình căn thức
( Tiếp tục ở phần sau)