Chuyên đề quan hệ vuông góc trong không gian toán 11 ctst

CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

VIII

QUAN HỆ VNG GĨC
TRONG KHƠNG GIAN

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
1. GĨC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG:

Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a, b trong khơng gian, kí hiệu ( a, b ) , là góc giữa hai đường thẳng a′
và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b .
Nhận xét
a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường
thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
b) Với hai đường thẳng a và b bất kì: 0° ≤ ( a, b ) ≤ 90° .
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN:
Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b được gọi là vng góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b , nếu góc
giữa chúng bằng 90° .

Page 1

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

II

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.

1

PHƯƠNG PHÁP.
Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) ta có thể thực hiện tính thơng qua góc
giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
Bước 1. Sử dụng tính chất sau:
( d1 , d 2 ) = α
⇒ ( d1 , d 2 ) = ( d1 , d3 ) = α

d 2 / / d3

Bước 2. Áp dụng định lí cơsin trong tam giác để xác định góc.

2
Câu 1:
Câu 2:

BÀI TẬP.
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác cân,

AB
= AC
= a, BAC
= 120° và cạnh bên AA′ = a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC.
Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tính góc giữa 2 đường thẳng
a) AB và B′C ′
b) AC và B′C ′

c) A′C ′ và B′C

Câu 3:

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh bằng  a và các cạnh bên đều bằng

Câu 4:

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh bằng a; SA vng góc với đáy

Câu 5:
Câu 6:
Câu 7:

a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc ( MN , SC ) bằng:

và SA = a 3 . Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC. Gọi α là góc giữa hai
đường thẳng AB và DM, khi đó cos α bằng


′BA= B
′BC= 60° .
Cho hình hộp thoi ABCD. A′B′C ′D′ có tất cả các cạnh bằng a và 
ABC= B
Chứng minh tứ giác A′B′CD là hình vng.
Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD, DAA′, A′AB
đều bằng 60° . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA′, CD . Gọi α là góc tạo bởi hai đường

Câu 8:

thẳng MN và B′C , tính giá trị của cos α .
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm của cạnh BC . Tính góc giữa hai đường thẳng
AB và DM.

Câu 9:

Cho tứ diện ABCD có CD = 4 AB . Gọi G, E , F lần lượt là trung điểm của BC , AC , DB , biết
3

EF =

5
AB . Tính góc giữa CD và AB.
6

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh bằng a ; SA vng góc với đáy
và

SA = a 3 . Tính cơsin góc giữa SB và AC.
Page 2

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
Câu 11: Cho hình chóp S . ABC có BC = a 2 , các cạnh cịn lại đều bằng a . Góc giữa hai đường thẳng
SB và AC bằng:
Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh a , độ dài cạnh bên cũng
bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC . Góc giữa MN và SC bằng

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ , gọi I là trung điểm của cạnh AB . Tính cơsin của góc
giữa hai đường thẳng A′D và B′I được kết quả là
= CD
= a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Xác định độ
Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB
dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng 30° .

=
 =°
 =°
BAD
60 , CAD
90 . Gọi M là trung điểm của
= AD
= a và BAC
Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB
cạnh CD . Tính độ dài cạnh AC để cơsin góc giữa hai đường thẳng AC và BM bằng

1
.
3

Page 3

Sưu tầm và biên soạn


CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

VIII

QUAN HỆ VNG GĨC
TRONG KHƠNG GIAN

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
1. GĨC GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG:

Định nghĩa
Góc giữa hai đường thẳng a, b trong khơng gian, kí hiệu ( a, b ) , là góc giữa hai đường thẳng a′
và b′ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với a và b .
Nhận xét
a) Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường
thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại.
b) Với hai đường thẳng a và b bất kì: 0° ≤ ( a, b ) ≤ 90° .
2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN:
Định nghĩa: Hai đường thẳng a và b được gọi là vng góc với nhau, kí hiệu a ⊥ b , nếu góc
giữa chúng bằng 90° .

Page 1

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

II

HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.

1

PHƯƠNG PHÁP.
Để tính số đo của góc giữa hai đường thẳng ( d1 ) và ( d 2 ) ta có thể thực hiện tính thơng qua góc
giữa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng đã cho.
Bước 1. Sử dụng tính chất sau:
( d1 , d 2 ) = α
⇒ ( d1 , d 2 ) = ( d1 , d3 ) = α

d 2 / / d3

Bước 2. Áp dụng định lí cơsin trong tam giác để xác định góc.

2
Câu 1:

BÀI TẬP.
Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC. A′B′C ′ có đáy ABC là tam giác cân,

AB
= AC
= a, BAC
= 120° và cạnh bên AA′ = a 2 . Tính góc giữa hai đường thẳng AB′ và BC.
Lời giải

AB′, BC ) =
AB′, B′C ′ )
Ta có BC / / B′C ′ ⇒ (
(

Xét ∆AB′C ′ có AB′ =AC ′ = AB 2 + BB′2 =a 3
Áp dụng định lý cosin cho ∆ABC , ta có

BC 2 = AB 2 + AC 2 − 2. AB. AC.cos BAC
= a 2 + a 2 − 2.a.a.cos120°= 3a 2

⇒ BC = B′C ′ = a 3

Suy ra ∆AB′C ′ đều, do đó

AB′, BC=
AB′, B′C ′=
(
) (
)
Câu 2:


AB′C=′ 60°

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tính góc giữa 2 đường thẳng
a) AB và B′C ′
b) AC và B′C ′
c) A′C ′ và B′C
Lời giải
Page 2

Sưu tầm và biên soạn

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

A′B′, B′C ′=
AB, B′C ′=
a) Ta có AB / / A′B′ mà (
) 90° nên (
) 90°

AC , BC=
b) Vì tứ giác ABCD là hình vng nên (
) 45° .
AC , B′C ′=
Ta có BC / / B′C ′ nên (
) 45°
c) Ta có AC / / A′C ′ và ∆ACB′ là tam giác đều vì có các cạnh đều bằng đường chéo của các hình
A′C ′, B′C=
AC , B′C=
vng bằng nhau. Do đó (
) (
) 60° .
Câu 3:

Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh bằng  a và các cạnh bên đều bằng

a . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SD . Số đo của góc ( MN , SC ) bằng:
Lời giải

Ta có: MN / / SA ⇒ ( MN , SC ) =
( SA, SC ) .
2

Ta lại có: AC = a 2 . Xét ∆SAC , nhận thấy: AC
=
SA2 + SC 2 .

Theo định lí Pitago đảo, ∆SAC vng tại S . Suy ra: ∠ASC =
900 hay

=
, SC ) (=
SA, SC )
( MN

Câu 4:

900 .

Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh bằng a; SA vng góc với đáy
và SA = a 3 . Khi đó, cosin góc giữa SB và AC bằng
Lời giải

Page 3

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Gọi I là trung điểm của SD

⇒ OI là đường trung bình của ∆SBD

OI / / SB

⇒
SB
= =
OI
2


SA2 + AB 2
=
2

3a 2 + a 2
= a
2

SB, AC ) = (
OI , AC ) = 
AOI
Vì OI / / SB ⇒ (
AI
Ta có: =

SD
=
2

SA2 + AD 2
=

2

3a 2 + a 2
= a
2

⇒ AI= OI ⇒ ∆AOI cân tại I.
Gọi H là trung điểm của OA ⇒ IH ⊥ OA
Và OH
=

OA AC a 2
= =
2
4
4

a 2
OH
4

= =
=
Xét ∆OHI , ta có: cos HOI
OI
a

Vậy cos (
SB
=

, AC ) cos
=
HOI

Câu 5:

2
4

2
.
4

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a, M là trung điểm của cạnh BC. Gọi α là góc giữa hai
đường thẳng AB và DM, khi đó cos α bằng
Lời giải:

Page 4

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Gọi N là trung điểm của AC

⇒ MN là đường trung bình của ∆ABC
 MN / / AB

⇒

1
 MN = 2 AB
Vì ∆BCD và ∆ACD là các tam giác đều cạnh bằng a
⇒ MD = ND =

a 3
.
2

AB=
, DM ) (
MN , DM )
=
⇒ α (
Vì MN / / AB
Xét ∆MND , ta có:
MN 2 + MD 2 − ND 2

cos NMD =
2 MN .MD
2

2

2
a a 3 a 3
 −

  +
2  2   2 

1
=
=
=
a a 3
2 3
2. .
2 2

3
>0
6


 < 90° ⇒ (
⇒ NMD
MN , DM ) = NMD

Vậy
cos α cos
NMD
=
=

Câu 6:

3
.
6



′BA= B
′BC= 60° .
Cho hình hộp thoi ABCD. A′B′C ′D′ có tất cả các cạnh bằng a và 
ABC= B
Chứng minh tứ giác A′B′CD là hình vng.
Lời giải

Page 5

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Ta có tứ giác A′B′CD là hình bình hành.

′BC= 60° nên ∆BB′C đều. Suy ra B′C = a .
Do B
′C a nên A′B′CD là hình thoi.
Do đó CD
= B=
        
a2 a2
Ta có CB′.CD =
CB + BB′ .BA =
CB.BA + BB′.BA =
− +
=

0.
2
2
Suy ra CB′ ⊥ CD . Vậy tứ giác A′B′CD là hình vng.

(

Câu 7:

)

Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD, DAA′, A′AB
đều bằng 60° . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AA′, CD . Gọi α là góc tạo bởi hai đường
thẳng MN và B′C , tính giá trị của cos α .
Lời giải

 A′D / / B′C
Ta có 
với P là trung điểm của DC ′ .
 MN / / A′P


′P
=
MN , B′C ) (
=
A′P, A′D ) DA
Suy ra (

=′ 

Vì BA
A′AB= 60° và các cạnh của hình hộp bằng a.
D= DAA
′D a, C=
′D C=
′A′ a 3 .
Do đó A=

A′D 2 + A′C ′2 DC ′2
5a
.
−
=
⇒ A′P
2
4
2
Áp dụng định lý cosin cho tam giác A′DP , ta có

Suy=
ra A′P

A′D 2 + A′P 2 − DP 2 3 5
=
cos α =
2 A′D. A′P
10

Câu 8:

Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm của cạnh BC . Tính góc giữa hai đường thẳng
AB và DM.
Lời giải
Page 6

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Gọi N là trung điểm AC thì MN / / AB .
Suy ra (
AB, DM ) = (
MN , DM ) .

=
Ta có cos DMN
2

MN 2 + DM 2 − DN 2
2.MN .DM

2

2

a a 3 a 3
 −

  +

2  2   2 
=
a a 3
2. .
2 2

3
6

 = arccos 3 .
Suy ra DMN
6

3
AB, DM ) = arccos
Vậy (
.
6

Câu 9:

Cho tứ diện ABCD có CD = 4 AB . Gọi G, E , F lần lượt là trung điểm của BC , AC , DB , biết
3
5
EF = AB . Tính góc giữa CD và AB.
6

Lời giải

Gọi G là trung điểm của BC.

Page 7

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
AB a
Đặt AB = a . Ta có GE
.
= =
2

GF
=

2

CD 2
2a
5
5a
.
=
AB
=
; EF
=
AB
=
2

3
3
6
6

a 2 4a 2 25a 2
2
2
GE
+
GF
=
+
=
=EF 2
Từ đó
4
9
36
⇒ ∆GEF vng tại G.
= 90° .
Vì GE / / AB, GF / / CD nên (
AB, CD=
GE , GF =
) EGF
) (

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD là hình vng tâm O, cạnh bằng a ; SA vng góc với đáy
và

SA = a 3 . Tính cơsin góc giữa SB và AC.
Lời giải

Gọi I là trung điểm của SD

⇒ OI là đường trung bình của ∆SBD . Suy ra

OI / / SB


SB
= =
OI

2

SA2 + AB 2
=
2

3a 2 + a 2
= a
2

Vì OI / / SB ⇒ (
SB, AC ) = (
OI , AC ) = 
AOI

SD

SA2 + AD 2
=
=
2
2
⇒ AI= OI ⇒ ∆AOI cân tại I.

3a 2 + a 2
= a
2

AI
Ta có =

=
Gọi H là trung điểm của OA ⇒ IH ⊥ OA và OH

a 2
OH
4

= = =
Xét ∆OHI có cos HOI
OI
a

SB
=
, AC ) cos
=

HOI
Vậy cos (

OA AC a 2
= =
2
4
4

2
4

2
.
4

Câu 11: Cho hình chóp S . ABC có BC = a 2 , các cạnh cịn lại đều bằng a . Góc giữa hai đường thẳng
SB và AC bằng:
Lời giải
Page 8

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
S

N
B

C
H
M
A

Tập có AB 2 + AC 2 = a 2 + a 2 = 2a 2 = BC 2 . Suy ra tam giác ABC vuông tại A .
Gọi H , M , N lần lượt là trung điểm của BC , AB , SA .
 MN // SB
nên góc giữa SB và AC là góc giữa MN và MH .

 MH // AC
MN
=

BC a 2
SB a
AC a AH
, NH
, = =
.
=
= =
2
2
2
2
2
2

Xét tam giác SBC có SB = SC nên SH ⊥ BC ⇒ SH =

SB 2 − HB 2 =

a2 −

2a 2 a 2
.
=
4
2

Lại có H là tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .

= SB
= SC
= a nên SH ⊥ ( ABC ) . Suy ra tam giác SAH vuông cân tại H .
Mà SA
HN
=

SA a
. Do đó tam giác MHN đều cạnh a . Góc cần tìm bằng 600 .
=
2
2
2

Câu 12: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vng ABCD cạnh a , độ dài cạnh bên cũng
bằng a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và BC . Góc giữa MN và SC bằng
Lời giải

.
Gọi P là trung điểm của SB , ta có SC // NP ⇒ ( MN , SC ) = ( MN , NP ) = MNP

(

)

(

)

2 SC 2 + AC 2 − SA2 2 a 2 + 2a 2 − a 2 5a 2
1
a
1
a
2
Mà =
;=
; MC
;
=
= =
MP =
AB
NP
SC
=
4

4
4
2
2
2
2

Page 9

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

MB =

a 3
.
2

 5a 2 3a 2  2
2
+

−a
2 ( MC 2 + MB 2 ) − BC 2
4
4 
3a 2


2
.
MN
=
= =
4
4
4

a 3
NP + MN − MP
MN
2

=
= = =
Do đó cos MNP
2.NP.MN
2 NP 2. a
2
2

Vậy

2

2

3
.

2

= 30° .
MNP

Câu 13: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ , gọi I là trung điểm của cạnh AB . Tính cơsin của góc
giữa hai đường thẳng A′D và B′I được kết quả là
Lời giải

Gọi độ dài cạnh hình lập phương là a > 0 .

) (

(

)


′I , B′C .
A′D, B′I =
B
Ta có B′C || Α′D ⇒ 
2

a 5
a
=CI ; B′C =a 2 .
Tính được B′I = a +   =
2
2

2

2

2

2 a 5
a 5

 + a 2 −

2 
2 
2a 2



Trong tam giác B′CI có cos=
IB′C
= =
a 5
a 2 10
2.
.a 2
2

(

)

(

)

10
.
5

10
A′D, B′I =
Vậy cos 
.
5

Page 10

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
Câu 14: Cho tứ diện ABCD có AB
= CD
= a . Gọi M , N lần lượt là trung điểm AD và BC . Xác định độ
dài đoạn thẳng MN để góc giữa hai đường thẳng AB và MN bằng 30° .
Lời giải
A

M

P

D

B
N
C

Gọi P là trung điểm AC .
a
Ta có NP / / AB, MP / / CD à NP
= MP
=

2

⇒ (
AB, MN ) =
NP, MN ) .
(

a2 a2
MN 2 +
−
+ NP − MP
MN .
4
4
 MN =
=
cos MNP
=

a
2.MN .NP
a
2.MN .
2
2

AB, MN )=
(

2

2

= 30°
 MNP
30° ⇒ 

 MNP
= 150°

= 30° ⇒ MN=
MNP
a

3
a 3
⇔ MN=
.
2

2

 = 150° ⇒ MN = − 3 (loại).
MNP
a
2

=
 =°
 =°
BAD
60 , CAD
90 . Gọi M là trung điểm của
= AD
= a và BAC
Câu 15: Cho tứ diện ABCD có AB
cạnh CD . Tính độ dài cạnh AC để cơsin góc giữa hai đường thẳng AC và BM bằng

1
.
3

Lời giải

Page 11

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Gọi N là trung điểm của AD. Ta có (
=
=
BM , AC ) (
BM , MN ) α
Đặt AC =
2 x ⇒ MN =>
x 0

BD a=
, BN
Theo bài ra ta có tam giác ABD đều cạnh a nên=

a 3
.
2

Tam giác ACD vuông tại A nên DC 2 =
AD 2 + AC 2 =
a2 + 4 x2
Xét tam giác ABC ta có BC 2 =a 2 + 4 x 2 − 2ax

a 2 + a 2 + 4 x 2 − 2ax a 2 + 4 x 2 3a 2 + 4 x 2 − 4ax
=
BM
−=
Do đó
2
4

4
2

3a 2 + 4 x 2 − 4ax
3a 2
2
+
x
−
2
+ MN 2 − BN 2
4
4
 BM
Ta tính cos BMN
=
=
2
2
2 BM .MN
3a + 4 x − 4ax
2.
.x
2

8 x 2 − 4ax
=
4 x. 3a 2 + 4 x 2 − 4ax

2x − a

2

3a + 4 x 2 − 4ax

Theo giả thiết ta có
cos α =

x = 0
1
= ⇔ 8 x 2 − 8ax =⇔
0

3
3a 2 + 4 x 2 − 4ax
x = a
2x − a

a AC =
2x =
2a
Do x > 0 nên x =⇒

Page 12

Sưu tầm và biên soạn


CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

VIII

QUAN HỆ VNG GĨC
TRONG KHƠNG GIAN

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

III

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1:

Cho hình lập phương ABCD. A B C D  . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng
A. 60 .
B. 90 .
C. 45 .
D. 30 .

Câu 2:

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa hai đường thẳng AB và A′C ′ bằng

A. 60° .
Câu 3:

B. 45° .

C. 90° .

D. 30° .

Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vng cạnh a , tam giác SAD đều. Góc giữa BC và
SA là:

A. 60° .

B. 30° .

C. 90° .

D. 45° .

Câu 4:

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tính góc giữa hai đường thẳng B′D′ và AA′ .
A. 90° .
B. 45° .
C. 60° .
D. 30° .

Câu 5:

Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi I và J lần lượt là trung điểm

của SC và BC . Số đo của góc ( IJ , CD ) bằng:
A. 90° .

B. 45° .

C. 60° .

D. 30° .

Câu 6:

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa hai đường thẳng BA′ và CD bằng
A. 45° .
B. 60° .
C. 30° .
D. 90° .

Câu 7:

Cho hình lập phương ABCD. A/ B / C / D / . Góc giữa hai đường thẳng A/ B và AD / bằng
A. 60o .
B. 120o .
C. 90o .
D. 45o .

Page 4

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
Câu 8:

=
AB a=
; AA’ a 3 . Góc giữa hai đường thẳng
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có
AB’ và CC’ bằng

A. 300 .
Câu 9:

B. 600 .

C. 450 .

D. 900 .

Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Góc giữa hai đường thẳng AC và DA1 bằng
A. 60° .

B. 90° .

C. 45° .

D. 120° .

Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Số đo góc giữa hai đường thẳng
SA và CD bằng
B. 90° .
C. 60° .
D. 45° .
A. 30° .

Câu 11: Cho lăng trụ ABCA′B′C ′ có tất cả các cạnh bằng nhau
B

A

C
A'

B'
C'

Góc giữa hai đường thẳng AB và C ′A′ bằng
A. 30° .

B. 60° .

C. 45° .

D. 90° .

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều. Góc giữa AB và CD là?
A. 120° .
B. 60° .
C. 90° .
D. 30° .
Câu 13: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a 3 và cạnh bên bằng
a . Góc giữa đường thẳng BB ' và AC ' bằng
A. 90° .
B. 45° .
C. 60° .

D. 30° .
Câu 14: Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình bình hành và mặt bên SAB là tam giác vng cân
tại S . Góc giữa hai đường thẳng SA và CD bằng
A. 60° .
B. 90° .
C. 30° .
D. 45° .
Câu 15: Cho tứ diện đều ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và BC . Tính số đo góc
giữa hai đường thẳng MN và CD .
A. 30° .
B. 60° .

C. 45° .

D. 90° .

Câu 16: Cho tứ diện ABCD với đáy BCD là tam giác vuông cân tại C . Các điểm M , N , P, Q lần lượt
là trung điểm của AB, AC , BC , CD . Góc giữa MN và PQ bằng
A. 450 .

B. 600 .

C. 300 .

D. 00 .

Câu 17: Cho hình chóp S . ABC có độ dài các cạnh SA
= SB
= SC
= AB

= AC
= a và BC = a 2 . Góc
giữa hai đường thẳng AB và SC bằng
A. 60° .
B. 90° .
C. 30° .
D. 45° .

Page 5

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
Câu 18: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , tam giác SAD đều. Góc giữa
BC và SA bằng
A. 60 .
B. 30 .
C. 90 .
D. 45 .
Câu 19: Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD có đáy là hình vng ABCD tâm O cạnh a , SO =
góc giữa hai đường thẳng AB và SD là
A. 120° .
B. 60° .

C. 30° .

a 2
,
2

D. 90° .

Câu 20: Cho hình lăng trụ ABC. A′B′C ′ có đáy là ABC là tam giác cân tại A , M là trung điểm của BC
.

Góc giữa hai đường thẳng B′C ′ và AM bằng
A. 60° .

B. 30° .

= CD
= a,=
JI
Câu 21: Cho tứ diện ABCD có AB
góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng
B. 30° .
A. 60° .

C. 45° .

D. 90° .

a 3
, I , J lần lượt là trung điểm của AD, BC . Số đo
2
C. 45° .

D. 90° .

Câu 22: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh bên SA = 2a và vng góc
với mặt phẳng đáy. Gọi F là trung điểm cạnh AB và G là trung điểm của SF . Gọi α là góc
tạo bởi hai đường thẳng CG và BD . Tính cos α ?
A.

82
.
41

B.

41
.
41

C.

2 41
.
41

D.

82
.
82

  300 . Mặt
Câu 23: Cho hình chóp S .ABCD có đáy hình vng, tam giác SAB vng tại S và SBA

phẳng SAB  vng góc với mặt phẳng đáy. Gọi M là trung điểm của AB . Tính cosin góc tạo
bởi hai đường thẳng SM , BD  .
A.

1

.

B.

3
.
6

B.

2

.

C.

26
.
13

D.

2
.

4

C.

3
.
2

D.

2
.
2

3
3
Câu 24: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a . Gọi M là trung điểm của BC . Tính cosin góc giữa hai đường
thẳng AB và DM

A.

1
.
2

Page 6

Sưu tầm và biên soạn

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
Câu 25: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A′B′C ′ có đáy là tam giác vng tại A ,=
BA 2=
AC 2a , cạnh bên
AA′ = 2a , M là trung điểm BC . Cosin góc giữa hai đường thẳng B′C và AM bằng

1
1
5
5
.
B.
.
C. − .
D. .
2
2
5
5
Câu 26: Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C . Tam giác SAB vuông cân tại
= 60° . Gọi M là trung điểm cạnh SB , ϕ là góc giữa đường thẳng AB và CM . Khẳng
S và BSC

A. −

định nào sau đây đúng?
A. cos ϕ =

6
.

3

B. cos ϕ =

6
.
2

C. cos ϕ =

3
.
6

D. cos ϕ =

6
.
6

Câu 27: Cho hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có độ dài tất cả các cạnh bằng a và các góc BAD, DAA′ , A′AB
đều bằng 60° . Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AA′, CD . Gọi α là góc tạo bởi hai đường
thẳng MN và B′C , giá trị của cos α bằng:
A.

2
.
5

B.

1
.
5

C.

3
.
5

D.

3 5
.
10

Câu 28: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA ⊥ ( ABCD ) , SA = a và M
là trung điểm cạnh SD. Cơ-sin góc giữa đường thẳng AC và đường thẳng BM bằng
A.

6
.
3

B.

1
.
3

C.

3
.
6

D.

2
.
6

Câu 29: Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng
= AB
= a. Gọi M là trung điểm của SB. Góc giữa AM và BD bằng
đáy, SA
A. 45° .
B. 30° .
C. 90° .
D. 60° .
= SB
= SC
= AB
= AC
= a và BC = a 2 . Góc giữa
Câu 30: Cho hình chóp S . ABC có độ dài các cạnh SA
hai đường thẳng AB và SC là?
A. 60° .
B. 90° .

C. 30° .
D. 45° .

Page 7

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
DẠNG 2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
Câu 31: Trong khơng gian, cho đường thẳng d và điểm O . Qua O có bao nhiêu đường thẳng vng góc
với đường thẳng d ?
A. 3.
B. vơ số.
C. 1.
D. 2.
Câu 32: Trong không gian, cho các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề đúng?
A. Một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng vng góc thì vng góc với
đường thẳng cịn lại.
B. Hai đường thẳng cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau
C. Một đường thẳng vng góc với một trong hai đường thẳng song song thì vng góc với
đường thẳng cịn lại.
D. Hai đường thẳng cùng vng góc với đường thẳng thứ ba thì vng góc với nhau.
Câu 33: Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
A. Trong khơng gian hai đường thẳng phân biệt cùng vng góc với một đường thẳng thì song
song với nhau.
B. Trong khơng gian hai đường thẳng vng góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau.
C. Trong không gian hai mặt phẳng cùng vng góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
D. Trong không gian hai đường thẳng không có điểm chung thì song song với nhau.
Câu 34: Trong hình hộp ABCD. A′B′C ′D′ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Trong các mệnh đề sau, mệnh

đề nào sai?
A. BB′ ⊥ BD .

B. A′C ′ ⊥ BD .

C. A′B ⊥ DC ′ .

D. BC ′ ⊥ A′D .

Câu 35: Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Đường thẳng nào sau đây vng góc với đường thẳng BC ′
?
A. A′D .
B. AC .
C. BB′ .
D. AD′ .
Câu 36: Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình thoi tâm O và SA = SC , SB = SD . Trong các mệnh đề
sau mệnh đề nào sai?
A. AC ⊥ SD .
B. BD ⊥ AC .
C. BD ⊥ SA .
D. AC ⊥ SA .

Page 8

Sưu tầm và biên soạn


CHƯƠNG

CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

VIII

QUAN HỆ VNG GĨC
TRONG KHƠNG GIAN

BÀI 1: HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC

III

HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.

DẠNG 1: XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
Câu 1:

Cho hình lập phương ABCD. A B C D  . Góc giữa hai đường thẳng BA và CD bằng
A. 60 .
B. 90 .
C. 45 .
D. 30 .
Lời giải



 






, CD  BA
, AB .
Ta có AB  CD nên BA






, AB  
Vì ABB A là hình vng nên BA
ABA  45 .

Câu 2:

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa hai đường thẳng AB và A′C ′ bằng

Page 1

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
A. 60° .

B. 45° .

C. 90° .
Lời giải


A′B′, A′C ′ )
) (=

(


AB, A′C ′
Vì AB // A′B′ nên =
Câu 3:


′A′C ′ .
B


′A′C=′ 45° .
Tam giác A′B′C ′ vng cân tại B′ nên B
Cho hình chóp S . ABCD có ABCD là hình vng cạnh a , tam giác SAD đều. Góc giữa BC và
SA là:
A. 60° .

B. 30° .

Vì BC  AD nên ( BC , SA=
)
Câu 4:

D. 30° .

C. 90° .
Lời giải

( AD, SA=)

D. 45° .

60°

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Tính góc giữa hai đường thẳng B′D′ và AA′ .
A. 90° .
B. 45° .
C. 60° .
D. 30° .
Lời giải
A'

D'

B'

C'

A

D

B

C

Vì ABCD. A′B′C ′D′ là hình lập phương nên các tứ giác AA′D′D và AA′B′B đều là hình vng.
   
′. A′D AA
′. A′B′ 0
Do đó AA
=
=
        
Vậy : AA′.B′D=′ AA′. A′D − A′B′= AA′. A′D − AA′. A′B=′ 0

(

)

 
 
Do đó AA′ ⊥ B′D′ nên AA′, B′D′= 90° . Suy ra ( AA′, B′D′=
) 90°

(

Câu 5:

)

Cho hình chóp S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Gọi I và J lần lượt là trung điểm
của SC và BC . Số đo của góc ( IJ , CD ) bằng:
A. 90° .

B. 45° .

C. 60° .

D. 30° .
Page 2

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
Lời giải
S

I
A

D

B

C

J

Theo giả thiết ta có IJ là đường trung bình của ∆SBC nên IJ // SB .
Vì IJ // SB và CD // AB nên ( IJ , CD=
)
Câu 6:

( SB, AB=)

= 60° .
SBA

Cho hình lập phương ABCD. A′B′C ′D′ . Góc giữa hai đường thẳng BA′ và CD bằng
A. 45° .
B. 60° .
C. 30° .
D. 90° .
Lời giải
A′

B′

D′

C′

A

B

Vì CD //AB nên ( BA′, CD=
)
Câu 7:

( BA′, BA=)

D

C


ABA=′ 45° .

Cho hình lập phương ABCD. A/ B / C / D / . Góc giữa hai đường thẳng A/ B và AD / bằng
A. 60o .
B. 120o .
C. 90o .
D. 45o .
Lời giải

Page 3

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Ta có A/ B / / D / C , nên góc giữa hai đường thẳng A/ B và AD / bằng góc giữa hai đường thẳng
AD / C ⇒ 
AD / C =
60o ;
D / C và AD / và là góc 
Mà tam giác ACD / là tam giác đều nên góc giữa hai đường thẳng A/ B và AD / bằng 60o.
Câu 8:

=
AB a=

; AA’ a 3 . Góc giữa hai đường thẳng
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có
AB’ và CC’ bằng

A. 300 .

B. 600 .

C. 450 .
Lời giải

D. 900 .
C

A
B

A'

C'
B'

Vì AA’ / / CC’ nên góc giữa CC’ và AB ' bằng góc giữa AA’ và AB’ và bằng góc 
A ' AB '
A' B '
a
1
=
AB a=
; AA’ a 3 thì tan 

Với
A ' AB ' = = = ⇒ 
A ' AB ' =
300
AA ' a 3
3
Câu 9:

Cho hình lập phương ABCD. A1 B1C1 D1 . Góc giữa hai đường thẳng AC và DA1 bằng
A. 60° .

B. 90° .

C. 45° .
Lời giải

D. 120° .

Page 4

Sưu tầm và biên soạn


CHUYÊN ĐỀ VIII – TOÁN – 11 – QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN

Ta có AC  A1 C1 , do đó góc giữa ( AC , DA1 ) = ( A 1 C1 , DA1 ) , bằng góc DA1C1 .
Do DA1 ; A1C1 , DC1 là các đường chéo hình vng nên bằng nhau. Vậy ∆DA1C1 đều,
Vậy góc DA1C1 bằng 60° .
Câu 10: Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a . Số đo góc giữa hai đường thẳng
SA và CD bằng

A. 30° .
B. 90° .
C. 60° .
D. 45° .
Lời giải

SA, CD ) =
SA, AB ) .
Vì AB  CD ⇒ (
(

(

)

=

Tam giác SAB đều cạnh a ⇒ SAB
60° . Vậy SA
, CD= 60° .
Câu 11: Cho lăng trụ ABCA′B′C ′ có tất cả các cạnh bằng nhau

Page 5

Sưu tầm và biên soạn