tong hop chuyen de quan he vuong goc trong khong gian

CHUN ĐỀ QUAN HỆ VNG GĨC TRONG KHƠNG GIAN
I. Hai đường thẳng vng góc với nhau
A. Phương pháp chứng minh:
C1 : Dùng các quan hệ vng góc đã biết trong mặt phẳng.
C2 : a  b  góc (a;b)  90o .
C3: Dùng hệ quả:
a

a  (P ) 
a b
b  (P ) 

b

P

C4: Dùng hệ quả:
b

a

c

b // c , a  b  a  c

C5 : Dùng hệ quả:
a
b

a song song (P ) 
a b

b  (P )


P

C6 : Sử dụng định lí ba đường vng góc.
C7: Dùng hệ quả: Nếu một đường thẳng vng góc với hai cạnh của một tam giác thì
vng góc với cạnh cịn lại của tam giác.



A

  AB 
    BC
  AC 

B

C

C8:a  b khi 2 vtcp của 2 đt đó vng góc.
AB 2  AC 2  BC 2
BA 2  BC 2  AC 2
Chú ý:Đlí hàm số cosin cos A 
; cos B 
2. AB. AC
2.BA.BC

B. Bài tập áp dụng

Bài 1 :
Cho tứ diện ABCD đều.
CM: AB vng góc với CD
Hướng dẫn tóm tắt:
dùng tích vô hướng AB.CD  0
C2:Gọi M là tđ của AB ,CM cho AB  (MCD)
>> Truy cập trang để học Tốn – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 1


Bài 2 :
C/M

Cho hình chop S.ABC có AB = AC, góc SAC = góc SAB. M là trung điểm BC.

a. AM vng góc với BC và SM vng góc với BC
b. SA vng góc với BC
Hướng dẫn tóm tắt:
a,  ABC cân  AM  BC.
b,  SAB=  SAC(cgc)  SB=SC  SM  BC
Bài 3 :Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi O là tâm đường tròn ngoại
tiếp tam giác BCD
a. CM: AO  CD
b. Tính góc giữa 2 đt AB và CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a, AO  ( BCD)  AO  CD
b.Gọi M là trđ CD  AM  CD ,lại có
AO  CD  CD  (AMB)  CD  AB
Bài 4 :
Cho hình chóp S.ABC có SA =SB=SC=a, tam giác ABC vng cân và AB= AC
= a 2.

a..Tính góc giữa 2 đt SA và BC
b.Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC
Hướng dẫn tóm tắt:
a. Gọi M là trđ BC  SM  BC; và có AM  BC  BC  (SAM)  góc giữa SA và BC
là 90 0
b. SC.BA  ( BC  BS ).BA  a 2  cos(SC, BA)  2 / 2  (SC;BA)  450
Bài 5 :Cho tứ diện ABCD trong đó AB  AC, AB  BD. Gọi P và Q lần lựơt là trung điểm
của AB
và CD.
Chứng minh AB  PQ
Hướng dẫn tóm tắt:
2.PQ  BD  . AC  AB.PQ  0

Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và BAC = BAD = 600. Chứng minh
a.AB  CD
b.Nếu M,N là trung điểm của AB và CD thì MN  AB, MN  CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Từ g thiết   ABC ,  ABD là đều.Gọi M là tr đ AB
 CM  AB;DM  AB  AB  CD
b.Theo a *có AB  MN
*Xét  MCD có MC=MD   MCD cân tai M,N là tr đ CD  MN  CD.
Bài 6 :

Bài 7 :

Cho tứ diện ABCD có đáy BCD là tam giác đều cạnh 2a, AB= AC= AD =

2a
3

a.CMR AD vng góc BC
b,Gọi I là trung điểm CD. Tính góc giữa AB và CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Gọi E là tr đ CB  AE  BC.  DBC đều  DE  BC  BC  (AED)
 BC  AD
cách 2: BC. AD  BC.( AE  ED)  0  BC  AD
b. I là trung điểm CD  BI  CD;AI  CD  CD  AB
>> Truy cập trang để học Tốn – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 2


Bài 8 :Cho tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính góc giữa AB và CD
Bài 9 :
Cho tứ diện ABCD có AB= AC =AD= a, BC= BD= a 2 , CD= 2a
a.Tính góc giữa 2 đt AB và CD
b.Tính góc giữa 2 đt AD và BC
Hướng dẫn tóm tắt:
a.(AB,CD)= 90 0
b. cos( BC , AD ) 

BC. AD  2

 ( AD; CB)  45 0
BC. AD
2

Bài 10 :Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, tâm O, các góc SAB, SAC,
SAD đều

vng, SA= a

2
. Tính góc giữa SC và AD
2

Hướng dẫn tóm tắt:
SC. AD  a 2  cos( SC; AD ) 

2
5

II. Đường thẳng vng góc với mặt phẳng
A. Phương pháp chứng minh
C1 : Dùng định lý: Đường thẳng vng góc với mặt phẳng khi nó vng góc với hai
đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng
a
b

b , c cắt nhau , b, c  (P ) , a  b, a  c  a  (P )
c

P

C2 : Dùng hệ quả: Cho hai đường thẳng // nếu đường thẳng này vng góc với mặt
phẳng thì đường thẳng kia cũng vng góc với mặt phẳng
b

a

a // b , b  (P )  a  (P )

P

C3 : Dùng hệ quả: Cho hai mặt phẳng vng góc theo giao tuyến b, nếu đường thẳng a
nằm trong mẵt phẳng này vng góc với giao tuyến b thì đường thẳng a cũng vng góc
với mặt phẳng kia
Q
a
b

(P )  (Q )  b 
  a  (P )
a  (Q ), a  b 

P

>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 3


C4 : Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau cùng vng góc với mặt phẳng thứ ba thì
giao tuyến của hai mặt phẳng này cũng vng góc với mặt phẳng thứ ba đó


( )  (  )  
( )

( )


    (P )
( )  (P ),(  )  (P ) 

P

 Lưu ý các kiến thức thường gặp:
- Tam giác ABC cân ở đỉnh A thì đường trung tuyến kẻ từ A cũng là đường cao
- Tam giác đều thì mọi đường trung tuyến đều là đường cao
- Hình thoi, hình vng có 2 đường chéo vng góc với nhau
B.Bài tập ứng dụng
Bài 11 : Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và DBC là hai tam giác cân chung đáy BC.
Gọi I là trung điểm BC.
a. chứng minh BC vuông góc AD
b. kẻ AH là đường cao trong tam giác ADI. Chứng minh AH vng góc với
mp(BCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  DI và BC  AI nên BC  AD
b.AH  DI và AH  BC nên AH  (BCD)
Bài 12 : Cho hình chop SABC. SA vng góc với đáy (ABC) và đáy là tam giác vuông tại
B.
a .cm BC  SB
b.Từ A kẻ 2 đường cao AH, AK trong tam giác SAB và SAC. Cm: AH  (SBC), SC
 ( AHK)
Hướng dẫn tóm tắt:
a. BC  AB và BC  SA nên BC  SB
b. AH  SB và AH  BC nên AH  (SBC)
AH  SC và AK  SC nên SC  (AHK)
Bài 13 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O với SA = SC, SB = SD.
Chứng minh
a.SO vng góc với (ABCD)
b.AC vng góc SD, BD  SA
c.Gọi I, J lần lượt là trung điểm của cạnh BA, BC. cm IJ  (SBD)

d.Trong tam giác SAD kẻ đường cao SH. cm: AD  (SOH)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.SO  AC và SO  BD nên SO  (ABCD)
b.AC  BD và AC  SO nên AC  (SBD) suy ra AC  SD
c.IJ //AC mà AC  (SBD) nên IJ//(SBD)
d.AD  SH và AD  SO nên AD  (SOH)
Bài 1 4 : Cho tứ diện ABCD có AB  CD, AC  BD. Gọi H là trực tâm tam giác BCD.
>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt nhất! 4


a.cm AH  (BCD)
b.cm AD  CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.CD  AH và BD  AH nên AH  (BCD)
b.BC  AH và BC  DH nên BC  AD.
Bài 15 : Cho hình chóp S.ABCD có SA  đáy. Đáy ABCD là hình thang vng tại A.
AD = 2AB = 2BC
a.cm BC  (SAB)
b.cm SC  CD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  SA và BC  AB nên BC  (SAB)
b.MAC cân tại M nên góc MAC = 45 0 .tương tự góc MCD= 45 0 .do đó CD  SA
và CD  AC
nên CD  SC
Bài 16 : Hình chop S.ABC có SA vng với đáy, tam giác ABC cân ở A. Gọi M là trung
điểm BC. CM:
a.BC  (SAM)
b.Vẽ AH  SM tại H. cm AH  SB
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  AM và BC  SA nên BC  (SAM)

b.AH  SM và AH  BC nên AH  (SBC)
Bài 17 : Cho hình chóp S.ABC có SA =

a 6
và các cạnh còn lại đều bằng a. Gọi I là
2

trung điểm BC. cm:
a.BC  SA
b.SI  (ABC)

>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh
tốt nhất!

5


Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  AI và BC  SI nên BC  SA
b. AI 2  SI 2  SA2 nên SI  AI tại I.
SI  BC và SI  AI nên SI  (ABC)
Bài 1 8 : Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. SA = a và SA
 (ABCD)
a.Gọi I là trung điểm SD. cm AI  (SCD)
b.Gọi O là tâm hình vng ABCD, M di động trên SD. Tìm tập hợp các hình
chiếu của O trên CM
Hướng dẫn tóm tắt:

a.AI  SD và AI  CD nên AI  (SCD)

Bài 19 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác
đều, SCD là tam giác vuông cân đỉnh S. Gọi I, J là trung điểm AB, CD
a. Tính các cạnh của tam giác SIJ, suy ra tam giác SIJ vuông
b. cm SI  (SCD); SJ  (SAB)
c. Gọi H là hình chiếu vng góc của S lên IJ cm SH  AC
Hướng dẫn tóm tắt:
a 3
a
; SJ  .tam giác SIJ vuông tại S
2
2
b.IS  SJ và SI  CD nên SI  (SCD)
c.SH  IJ và SH  AB nên SH  (ABCD) suy ra SH  AC
Bài 20 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng tâm O, SA  (ABCD).

a. SI 

a.cm các mặt bên của h/c là các tam giác vuông
b.cm (SAC) là mp trung trực của BD
Hướng dẫn tóm tắt:
III. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vng góc của đường thẳng và mặt
phẳng
A. Các định lý
1.

b

 a // b
 b  ( )


a  ( )

a

P
a

(  ) //( )
 a  ( )
a  

2. 

( )  (  )

3. a  ( )  ( ) //(  ))
a  (  )


a

b

>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

6


a  b


4. a  ( )  a // b
b  ( )


a
b
a  b
a  ( )

( )  b a //( )

5. 

B. Bài tập ứng dụng
Bài 21 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng tâm O, SA vng góc (ABCD).
Gọi  là mặt phẳng qua A và vng góc với SC,  cắt SC tại I.
a. Xác định giao điểm của SO và (  )
b. Cm: BD vng góc SC. Xét vị trí tương đối của BD và (  )
c. Xác định giao tuyến của (SBD) và (  )
Hướng dẫn tóm tắt:
a.J là giao điểm của AI và SO thì J là giao điểm của SO và(  )
b.BD  AC và BD  SA nên BD  (SAC) suy ra BD  SC
c.giao tuyến là đt qua J và song song với BD
Bài 22 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng tâm O, SA vng góc (BCD) và
SA = AB. Gọi H và M
lần lượt là trung điểm của SB và SD CMR OM vng góc với (AHD)
Hướng dẫn tóm tắt:
OM //SB mà SB  (AHD) suy ra OM  (AHD)
Bài 23 : Cho tam giác ABC cân tại A, I và H lần lượt là trung điểm cạnh AB, BC dựng

SH  (ABC). Trên đoạn CI và SA lần lượt lấy 2 điểm M, N sao cho MC = 2MI, NA =
2NS. Chứng minh MN  (ABC)
Hướng dẫn tóm tắt:M là trọng tâm tam giác ABC nên AM=2MH,lại có AN=2NS nên
MN//SH mà SH  (ABC) suy ra đpcm.
Bài 24 : Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B, SA  (ABC)
a. Kẻ đ/cao AH trong tam giác SAB. cm BC  (SAB) và AH  (SBC)
b. Kẻ đường cao AK trong tam giác SAC. cm SC  (AHK)
c. Kẻ đường cao BM trong tam giác SBC. cm BM //(AHK)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.AH  SB và AH  BC nên AH  (SBC)
b.SC  AK và SC  AH nên SC  (AHK)
c.BM  SC mà (AHK)  SC nên BM//(AHK)

IV. Mặt phẳng vng góc mặt phẳng
>> Truy cập trang để học Tốn – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

7


A. Phương pháp chứng minh
.
C1 : Chứng minh góc giữa chúng là một vuông.
 ( )  (  )   , Ox  ( ),Ox   , Oy  (  ),Oy  



Khi đó:



O

x

y



góc (( );(  ))  góc (Ox ;Oy )  xOy   : 0    90o


 ( )  (  )    90o

C2 : Dùng hệ quả:Cho hai mặt phẳng vng góc với nhau nếu có một đường thẳng
nằm trong mặt phẳng này vng góc với mặt phẳng kia.

a



a  (  )
  ( )  (  )
a  ( ) 

B. Bài tập ứng dụng:
Bài 25 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi. Các tam giác SAC và tam giác
SBD cân tại S. Gọi O là tâm hình thoi
a.cm SO  (ABCD)
b. cm (SAC)  (SBD)
Hướng dẫn tóm tắt:

Bài 26 : Hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B. SA  đáy
a. cm: (SAB)  (SBC)
b.Gọi M là trung điểm AC. cm (SAC)
 (SBM)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong (SBC) có BC  (SAB) nên(SBC)  (SAB)
b.Trong (SBM)có BM  (SAC) nên (SBM)  (SAC)
Bài 27 : Cho hình chóp S.ABC có SA  (ABC). Tam giác ABC vuông tại B
a. cm: (SAC)  (ABC)
b.Gọi H là hình chiếu của A lên SC. K là hình chiếu của A lên SB. cm
(AHK)  (SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong (SAC) có SA  (ABC) suy ra đpcm
b.Trong (AHK) có AK  (SBC) suy ra đpcm

>> Truy cập trang để học Tốn – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

8


Bài 28 : Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm BC, D là điểm đối xứng của A
qua I. dựng đoạn SD =

a 6
vng góc với (ABC). cm
2
b.(SAB)  (SAC)

a.(SBC)  (SAD)

Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong tam giác (SBC) có BC  (SAD) suy ra đpcm
b.  SAB=  SAC.Trong  SAC kẻ đg cao CK  SA,Trong tam giác SAB kẻ đg
cao BK  SA.2 tam giác vuông SDA và IKA đồng
dạng 

IK IA
a

 IK  suy ra tam giác BKC vuông tại K.
SD SA
2

Bài 29 : Cho hình chop S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C, mặt bên SAC là tam
giác đều nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABC).
a. cm: (SBC)  (SAC)
b.Gọi I là trung điểm của SC. CMR
(ABI)  (SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.H là tr điểmAC.SH  AC nên SH  (ABC).BC  CA và BC  SH nên
BC  (SAC)suy ra đpcm.
b.SC là giao tuyến của (SAC) và (SBC).tam giác SAC đều nên AI  SC suy ra
AI  (SBC).
Bài 30 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều và nằm
trong mặt phẳng vng góc với đáy, I, K lần lượt là trung điểm của AB, BC
a. cm SI  (ABCD)
b. cm SAD, SBC là tam giác vuông
c. cm (SAD)  (SAB) và (SBC)  (SAB)
d. cm (SDK)  (SIC)
Hướng dẫn tóm tắt:

c.Trong (SAC)có DA  (SAB) nên (SAD)  (SAB)
d.cm DK  IC ta có DK  IC và DK  SI nên DK  (SIC)
Bài 31 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình chữ nhật, SA  (ABCD). Gọi E, F lần
lượt là hình chiếu của A lên SB, SD
a. cm (SAB)  (SBC); (SAD)  (SCD)
b. cm (AEF)  (SBC); (AEF)
 ((SCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
Bài 32 : Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng tâm O và SO  mp(ABCD). SO =
a/2. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC
a. cm: (SBD)  (SAC)
b. cm (SIJ)  (SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
Bài 33 : Cho tứ diện ABCD có SA  (ABC). Gọi H, K là trực tâm của 2 tam giác ABC
và SBC. cm
a. AH, SK, BC đồng quy
b.SC  (BHK); (SAC)  (BHK)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.AH  BC=M .SM  BC do đó SM là đg cao của tam giác SBC  K  SM
>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

9


vậy SK,BC,AH đồng quy tại M
b.SC  BK và SC  BH nên SC  (BHK) từ đó suy ra (SAC)  (BHK)
V.CÁCH XÁC ĐINH GĨC
A. Lý thuyết1. Góc của hai đường thẳng

A
a'

a

 =(a; b)

O
b'






Chọn điểm O tuỳ ý.
Dựng qua O : a’ // a; b’ // b .
Góc (a,b) = góc (a’,b’) = A OB
Thường chọn điểm O  a hoặc O
b



 giao tuyến của  và  .



Dựng:

B

b

2. Góc của hai mặt phẳng

O




B

A

OA  ( )
OB  (  )
và 

OA  
OB  

 Góc ( ,  ) = Góc (OA ,OB ) = A OB  
Chú ý: * 0    90o
* Nếu   90o thi chọn góc ( ;  )  180o  




3. Góc của đường thẳng và mặt phẳng
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu

của nó trên mặt
phẳng
A
a

B


O

.
Gọi a’ là hình chiếu  của a trên (  )
Khi đó: Góc (a;( )) = Góc(a,a’) = A OB   .

0 0  A OB    90 0

B. Bài tập
Bài 34 : Cho tứ diện đều ABCD. Tính các góc sau:
Góc giữa AB và (BCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

10


a 3
.Góc giữa AB và (BCD)=góc giữa AB và
3
0

BG.; cos ABG  1 / 3  gócABG  54 44 '
Bài 35 : Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a; SA  (ABCD) và SA
= a 6 . Tính các góc giữa:

G là trọng tâm  BCD.BG=

a. SC và (ABCD); SC & (SAD); SB & (SAC); AC & (SBC)
b. (SBC) và (ABCD); (SBD) và (ABCD); (SAB) và (SCD)

Hướng dẫn tóm tắt:
a.
 .Góc của SC và (ABCD)=góc giữa SC &AC=góc SCA;góc SCA= 60 0
 Góc (SC;(SAD))=góc (SC:SD)=góc CSD=69017’
 Góc SB&(SAC)=góc (SB;SH)=góc HSB=15030’(kẻ BH  AC thì
BH  (SAC) )
 gócAC&(SBC)=góc (AC;CK)=40053’ vói K là hc của A lên SB
 góc giữa (SBC)&(ABCD) là góc SBA=67047’
 góc giữa (SBD)&(ABCD)là góc SOA=73053’
 góc giữa (SAB)&(SCD)=góc DSA=22012’
Bài 36 : Cho hình chóp S.ABCD có SA vng góc với đáy và SA = 2a, ABC là tam
giác đều cạnh a. Tính các góc giữa SB, (ABC) và góc giữa SC, (SAB)
Hướng dẫn tóm tắt:
 Góc giữa SB&(ABC)=(SB;AB)=góc SBA=63026’
 Góc giữa SC&(SAB)=(SC;AC)=góc SCA=63026’
Bài 37 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD)
a. CMR: BC  (SAB)
b. Biết góc tạo bởi SC và (ABCD) là 450 . Tính SA
Hướng dẫn tóm tắt:
b.SA=AC= a 2
Bài 38 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng cạnh a, SA= SB= SC =SD = a 2

a. CMR (SAC)  (SBD)
b. Tính góc giữa 2 mp (ABCD) và (SAB)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Trong (SAC) có AC  SO và AC  BD nên AC  (SBD) suy ra đpcm
b.Gọi M là tr điểm AB.Góc giữa (SAB)&(ABCD)=góc(MO;SM)=
góc SMO.

SM 

a 7
a
a 6
; OM  ; SO 
 SOM vng tại M;góc SMO=20042’
2
2
2

Bài 39 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vng ABCD vng tại A và D,
có AB = 2a, AD=DC=a, SA  mp(ABCD) và SA = a
a. CMR BC  (SAC)
b. Xác định góc giữa SB và (ABCD); SB và (SAC)
c. CMR mp(SAD)  mp(SDC), mp(SAC)  mp(SCB)
d. Tính tan của góc giữa 2 mp(SBC) và (ABCD)
>> Truy cập trang để học Tốn – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

11

e. Goi   là mp chứa SD và vuông góc với mp(SAC). Xác định thiết diện
của hình chóp S.ABCD với  
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Gọi M là tr điểm của AB.tính được góc BCA=900 nên BC  AC và BC  SA
do đó BC  (SAC)
b. (SB;(ABCD))=(SB;AB)=góc SBA=26033’
Góc giữa SB&(SAC)= (SB;SC)=BSC;tam giác SBC vng tại C nên góc
0
’
BSC=32 18
c.Trong (SDC) có DC  DA và DC  SA nên DC  (SAC) hay (SCD)  (SAC)
d.Trong (SBC)có SC  BC và (SAC) có AC  BC nên góc của 2 mp này =góc
(SC;AC)=35015’
e.Gọi M là tđiểm AB có DM  (SAC) nên thiết diện là tam giác SMD
Bài 40 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a góc BAD = 600 và
SA = SB = SD =

a 3
2

a. CMR: (SAC)  (ABCD)
b. CMR SB  BC
c. Tính góc giữa hai mp(SBD) và (ABCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
c.Trong (SBD) có SO  BD;trong (ABCD) có AC  BD nên góc của
(SBD)&(ABCD)=(SO;AC)=SOA. Tính được
SO=

a
2

;AC= a 3 ;SC=

a 7
6
; cos SOA 
6
2

Bài 41 : Cho hình chóp S.ABCD có (SAB) và (ABCD) nằm trong hai mp vng góc,
ABCD là hình vng cạnh a, tam giác SAB đều. Gọi M,N là trung điểm của AB và DC
a. Chứng minh DC  (SMN)
b. Tính góc giữa đường thẳng SN với mp(ABCD)
c. Tính góc giữa 2mp(SMC) và (ABCD)
Hướng dẫn tóm tắt:SM  AB và (SAB)  (ABCD) nên SM  (ABCD)
a.DC  SM và DC  MN nên DC  (SMN)
b.góc (SN;(ABCD))=(SN;MN)=góc SNM=40053’.
C,SM  (ABCD) nên (SMC)  (ABCD)
Bài 42 : Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác ABC vng cân tại A, AB= AC= a,
SA  (ABC),
SA = a
a. Tính góc giữa 2 mp (SBC) và (ABC)
b. Tính góc giữa 2 mp (SAC) và (SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Gọi H là t điểm BC .Góc (SBC)&(ABC)=(SH;AH)=góc SHA=54044’
b.Có BA  (SAC).(1)
Trong (SAH) kẻ AN  SH thì AN  (SBC) .(2) Từ (1) &(2) có góc (SAC)&(SBC)
=góc (BA;AN)=góc BAN=54044’
>> Truy cập trang để học Tốn – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

12


Bài 43 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vng cạnh a, SA  (ABCD), SA = a.
Tính góc giữa 2mp
a. (SBC) và (ABCD)
b. (SBC) và (SCD)
Hướng dẫn tóm tắt:
a.góc (SBC)&(ABCD)=góc SBA=450
b.Trong tam giác SDC kẻ DK  SC; trong tam giác SBC kẻ BK  SC. Góc (SBC)&
(SDC)
= (DK;BK)=góc BKD.có DK=BK.;BD= a 2 ;SC  (BDK) nên SC  KO do đó tam
giác CKO vng tại K. KO=

a 6
và góc DKO =600suy ra góc DKB=1200.Vậy góc
6

(SBC)&(SDC)=600.
VI.KHOẢNG CÁCH
A. Lý thuyết
Khoảng cách từ một điểm
đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm
đến
một mặt phẳng
M

M

Khoảng cách giữa hai
đường thẳng song song

 1 //  2

H

Khoảng cách giữa mặt
H
phẳng và đường
thẳng //


songM song

1

Dùng: MH  ( ), H thuéc ( ) ta cã: d(M,( )) = MH

M MH   : d(M, ) = MH
Dùng

 // ( )

2
H

H


Chän ®iĨm M thc  , dùng MH  
( H thuéc ( )), ta có d( ,( )) = MH

Chọn điểm M trên 1, dùng MH   2
( H thuéc  2) ta cã d( 1, 2) = MH

Khoảng cách giữa hai
Đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng song song

Cách1
M
( ) // (),  chøa trong ( )




A a

M

a'


Ta cã: d(( ),()) = d( ,( )) = MH
(M thuéc , MH ( ), H thuộc )

H
B

H



b

Dựng mặt phẳng ( ) chøa b & ( ) // a
 Dùng MH  ( ), M thuéc a, H thuéc ( )
Dựng a' trong mặt phẳng ( ), a' // a
đ-ờng thẳng a' cắt đ-ờng thẳng b tại B
Dựng qua B và // MH, cắt a tại A
Khi ®ã: d(a,b) = d(a,( ))
= d(M,( )) = MH = AB

 a vµ b chÐo nhau

Cách 2 nếu a  b
>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

13


- d ựng ho ặc tìm mp(  ) ch ứa b v à vu ơng g óc v ới a t ại A.
- trong  , dựng đoạn AB  b tại B
- đoạn AB là đoạn vng góc chung của a và b
B. Bài tập

Bài 44 : Cho tứ diện S.ABC, tam giác ABC vuông cân tại B và AC = 2a, cạnh SA 
(ABC)
và SA = a
a. CM: (SAB)  (SBC)
b. Tính khoảng cách từ A đến mp(SBC); C đến (SAB); B đến (SAC)
c. Tính khoảng cách từ trung điểm O của AC đến mp(SBC)
d. Gọi D , E là trung điểm của BC và SC tính khoảng cách từ A đến SD, k/c từ
E đến AB
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  (SAB) nên (SBC)  (SAB)
b.*Trong tam giác SAB kẻ AH  SB ,  AH  (SBC)  d ( A; ( SBC ))  AH 
*d(C;(SAB))=CB=a 2

a 6
3

;d(B;(SAC))=BO=a với O là t điểm AC.

1
2
a 35
d.tam giác SDA vng tại A,kẻ AK  SD thì AK=d(A;SD)=
7

c.Gọi I là tđ AB  IO // BC  IO //( SBC )  d (O; ( SBC ))  d ( A; ( SBC )) 

a 6
6

Bài 45 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tam giác đều cạnh a; SA = SB = SD =

a 3
. Gọi H là trực tâm tam giác ABC, I là trung điểm cạnh SH.
2
a. Tính khoảng cách từ S đến (ABC)
b. Tính khoảng cách từ S đến BC
c. Tính khoảng cách từ I đến BC

Hướng dẫn tóm tắt:
Bài 46 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = 3, AD = 4,
SA  (ABCD) & SA = 5. Tính các khoảng cách từ:
a. A đến (SBD)
b.A đến (SBC)
c.O đến (SBC)
Hướng dẫn tóm tắt:
a. Kẻ AI  BD  BD  SI,trong (SAI)
kẻAH  SI  AH  (SBD).;AH.SI=AB.AI
60
AI=12/5;SI= 769 5 ;AH=
769
b.d(A;(SBC))= 15

34

>> Truy cập trang để học Tốn – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

14


c.M là t đ của AB  OM//(SBC) nê n

d(O;(SBC))=d(M;(SBC))=1/2d(A;(SBC))=

15
2 34

Bài 47 : Cho hình chop S.ABCD có đáy SA  (ABCD), đáy ABCD là hình thang
vng tại A và B. AB = BC =

AD
= a, SA = a
2

a. CM các mặt bên của hình chóp là những tam giác vng
b. Tính k/c từ A đến mp(SBC)
c. Tính khoảng cách từ B đến đt SD
Hướng dẫn tóm tắt:
b.d(A;(SBC))= a 2
c.tam giác SBD cân tại D;I là tđ SB; DI= 3a 2 2 ; S SBD = 3a 2 2  d (b; SD)  3a

5

Bài 48 : Cho tứ diện ABCD có 2 mp(ABC) và (ADC) nằm trong 2 mp vng góc với
nhau. Tam giác ABC vng tại A và AB = a, AC =b, tam giác ADC vuông tại D và DC =
a.
a. CMR các tam giác BAD và BDC đều vuông
b. Gọi I, J lần lượt là trung điểmcủa AD và BC. CM: ỊJ là đương vng góc
chung của AD và BC
Hướng dẫn tóm tắt:
a.tam giác BAD vng tại A.;tam giác BCD vuông tai D
b.BC= a 2  b 2 ; AD  b 2  a 2 ;DJ=1/2BC;AJ=1/2BC suy ra tam giác AJD cân tại

J  IJ  AD (1)
IC=

3a 2  b 2
a2  b2
a2
;JC=
;IJ=
.tam giác IJC vuông tại J  IJ  JC (2)
2
2
2

Từ (1) & (2) IJ là đường vng góc chung của AD&BC
Bài 49 : Cho hình chop S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng góc (ABC) và
SA = h. Gọi I là trung điểm SC.
Tính khoảng cách từ I đến (ABCD)
Tính k/c từ I đến AB
CMR (SBC)  (SAB); tính k/c từ A đến (SBC) và từ A đến (SBD)
Tính k/c giữa các cặp đường thẳng AD và SC; SA và CD
Dựng và tính độ dài đoạn vng góc chung sau:SB & CD; SC & BD; SC &
AB
Hướng dẫn tóm tắt:
a.Gọi H là tđ AC ;IH=d(I;(ABCD))=h/2
a.
b.
c.
d.
e.

b.Gọi K là tđ AB ;thì AB  KH nên AB  (KHI)  d(I;AB)=KI=

a2  h2
2

>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

15


c.)d(A;(SBC))=

ah
a h
2

2

;kẻ AE  SH thì AE  (SBD)  d ( A; ( SBD ))  AE 

ah 2
4h 2  2a 2

d.)d(AD;SC)=d(AD;(SBC))=d(A;(SBC)). d(SA;CD)=AD=a
e. * đoạn vng góc chung của SB&CD là CB=a
*. đoạn vng góc chung của SC& BD là HM với HM  SC
* đoạn vng góc chung củaSC&AB là AF với AF  SC
Bài 50 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là h/vng tâm O, cạnh a. SA= SB =SC =SD =
a 2 . Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AD và BC

a. Tính k/c từ S đến (ABCD)
b. CM (SIJ)  (SBC)
c. Tính k/c từ O đến (SBC)
d. Tính k/c giữa 2 đt AD và SB
e. Tính k/c từ S đến CI
Hướng dẫn tóm tắt:
a,d(S;(ABCD))=SO= a 6 2
b.d(O;(SBC))=OH= a 42 14 ,vớiOH  SJ
c.d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=d(I;(SBC))IK=2OH ,với IK  SJ
e.d(S;CI)=SE =

2S SCI
 ;tam giác SCI
CI

Bài 51 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a.
SA  (ABCD) và SA = a.
a.CMR (SAE)  (SBD) với E là chân đường cao hạ từ A của tam giác ABD
b.Tính k/c từ A đến (SBD)
c.Tính k/c giữa các đt AD và SB; AB và SC
Hướng dẫn tóm tắt:
b.trong tam giác SAE kẻ AH  SE .d(A;(SBD))=AH=2a/3
c.trong tam giác SAB kẻ AK  SB thì AK=d(SB;AD)= a 2 2
Bài 52 : Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vuông tại A và B với AB= BC= a;
AD= 2a, SA  (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa a. SB và CD;
b.SD và
AC
Hướng dẫn tóm tắt:
a.
b.Từ A kẻ AE//=CD,suy ra ACDE là hcn.Từ A hạ AH  SE thì AH  DE do đó

AH  (SED).
D(AC;SD)=d(AC;(SED))=d(A;(SED))=AH= a 6 3
Bài 53 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâmO, cạnh a, góc BAD = 600 .
SO  (ABCD),
SO = a .
a.Tính k/c từ O đến (SBC)
b.Tính k/c giữa 2 đt chéo nhau AD và SB
Hướng dẫn tóm tắt:
>> Truy cập trang để học Tốn – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

16


a,d(O;(SBC))=OH= a 57 19 .với OH  SC
b.d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=2.OH
Bài 54 : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a. tam giác
SAD đều và nằm trong mp  (ABCD). Gọi I, J là trung điểm của AD và BC
a.CMR (SIJ)  (SBC)
b.Tính khoảng cách từ S đến (ABCD)
c.Tính khoảng cách giữa 2 đt AD và SB; SA và BD
Hướng dẫn tóm tắt:
a.BC  IJ và BC  SI nên BC  (SIJ) ,do đó (SIJ)  (SBC)
b.d(S;(ABCD))=SI= a 3 2
c. d(AD;SB)=d(AD;(SBC))=IH = a 21 7 ,với IH  SJ
d(SA;DB)=

BD ; SA AD a 21

BD ; SA 7

Bài 55 : Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cacsc cạnh bằng a.
a.CM (BĐ’B’)  (ACD’)
b.Tính khoảng cách giữa 2 mp (ACD’) và (BA’C’)
c.Tính khoảng cách giữa 2 đt BC’ và CD’; BB’ và AC’
Hướng dẫn tóm tắt:
HÌNH VẼ MỘT SỐ HÌNH CHĨP ĐẶT BIỆT
67/ Hình chóp tam giác đều
Hình chóp tam giác đều:
S
 Đáy là tam giác đều
 Các mặt bên là những tam giác cân
Đặc biệt: Hình tứ diện đều có:
 Đáy là tam giác đều
h
 Các mặt bên là những tam giác đều

A
Cách vẽ:
C

 Vẽ đáy ABC
 Vẽ trung tuyến AI
H
Dựng
trọng
tâm
H
Vẽ SH  (ABC)



I
B
 Ta có:
 SH là chiều cao của hình chóp
 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là: SA H   .
 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH  

>> Truy cập trang để học Tốn – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

17


68/ Hình chóp tứ giác đều
Hình chóp tứ giác đều:
 Đáy là hình vng
 Các mặt bên là những tam giác cân
Cách vẽ:
 Vẽ đáy ABCD
 Dựng giao điểm H của hai đường

S

chéo AC &
A BD

D




I

H

B

C

 Vẽ SH  (ABCD)
 Ta có:
 SH là chiều cao của hình chóp

 Góc giữa cạnh bên và mặt đáy là:
SA H   .

 Góc mặt bên và mặt đáy là: SIH  

69/ Hình chóp có một cạnh bên vng góc với đáy
S



A

C



 SA  (ABC)
 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA  
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA  

B

 SA  (ABCD)
 Góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy là: SBA  
 Góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là: SCA  

S

.

 Góc giữa cạnh bên SD và mặt đáy là: SDA  


A

B

D


C

>> Truy cập trang để học Tốn – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

18

* Chú ý:
a/ Đường chéo của hình vng cạnh a là d = a 2 ,
Đường chéo của hình lập phương cạnh a là d = a 3 ,
Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là d =
b/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là h =

a 2  b2  c 2 ,

a 3
2

c/ Hình chóp đều là hình chóp có đáy là đa giác đều và các cạnh bên đều bằng
nhau ( hoặc có đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
d/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.

>> Truy cập trang để học Toán – Lý - Hóa – Sinh – Văn – Anh tốt
nhất!

19