Các biệm pháp bồi dưỡng học sinh giỏi lới 9 Kỹ năng giải các dạng phương trình vô tỷ

"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
phần1 mở đầu
Từ những năm đầu thập kỷ 90 của thế kỷ XX, Ngành Giáo dục Lệ Thủy đã
chú trọng hoạt động nâng cao chất lợng giáo dục toàn diện trong đó chú trọng chất
lợng giáo dục mũi nhọn. Đó là nhiệm vụ trung tâm của toàn ngành, của mọi cơ sở
giáo dục. Để thực hiện có hiệu quả mục tiêu đó, giải pháp quan trọng đặt ra cho
cấp THCS là thực hiện đổi mới phơng pháp dạy học. Mục tiêu của đổi mới là
nhằm nâng cao chất lợng dạy học, chất lợng đào tạo nguồn nhân lực đáp ứng ngày
càng cao của sự nghiệp công nghiệp hoá, hiện đại hoá đất nớc và yêu cầu hội nhập
khu vực và quốc tế.
Trong những năm gần đây vị thế chất lợng học sinh giỏi của Huyện Lệ Thuỷ
ngày càng đợc khẳng định trong giáo dục tỉnh nhà, hai năm liên tiếp tiếp từ năm
học 2009 - 2010 và 2010 - 2011 thành tích học sinh giỏi văn hóa xếp ở vị trí thứ 2
chỉ sau thành phố Đồng Hới. Trong đó bộ môn Toán cũng có đóng gốp quan trọng
trong thành tích này của giáo dục huyện nhà, tuy nhiên trong giảng dạy bồi dỡng
HSG bộ môn Toán chúng ta cần phải nghiêm túc rút kinh nghiệm và điều chỉnh
cho phù hợp với các đối tợng học sinh khác nhau, trình độ học tập khác nhau và
trang bị chắc, nhuyễn các dạng toán, các chuyên đề để học sinh khi gặp tình
huống trong thực tiễn thì có khả năng giải quyết đơc.
Nhận thấy đây là một vấn đề quan trọng có vị trí chiến lợc lâu dài và cũng để
khẳng định "thơng hiệu" giáo dục Lệ Thuỷ thì mỗi một cán bộ quản lí, mỗi một
giáo viên phải trăn trở tìm đợc các giải pháp tối u để làm tốt công việc đầy gian
khó là bồi dỡng ngày càng đợc nhiều nhân tài cho quê hơng và đất nớc. Với suy
nghĩ nh vậy qua một số năm công tác quản lí chỉ đạo hoạt động bồi dỡng học sinh
giỏi và trực tiếp đứng lớp tại trờng THCS Kiến Giang tôi trăn trở suy nghĩ tìm ra
những giải pháp để ngày càng bồi dỡng đợc nhiều học sinh giỏi bộ môn Toán
nhăm đáp ứng yêu cầu ngày càng cao của việc bồi dỡng HSG cũng nh phong trào
giáo dục huyện nhà. Trong phạm vi một sáng kiến kinh nghiệm tôi xin đợc trao
đổi: "Các biện pháp bồi dỡng học sinh giỏi lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng
trình vô tỉ".
*

* *

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 1
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
Phần 2 nội dung
1. Cơ sở lí luận
Trong quỏ trỡnh phỏt trin, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự
nghiệp đào tạo con ngời. Chính vì vậy mà dạy toán không ngừng đợc bổ sung và
đổi mới để đáp ứng với sự ra đời của nó và sự đòi hỏi của xã hội .Vì vậy mỗi ngời
giáo viên nói chung phải luôn luôn tìm tòi, sáng tạo, đổi mới phơng pháp dạy học
để đáp ứng với chủ trơng đổi mới của Đảng và Nhà nớc đặt ra. Tại đại hội Đảng
toàn quốc lần VIII và IX Đảng ta đều xác định và nhấn mạnh: Giáo dục là quốc
sách hàng đầu là một trong những động lực quan trọng tạo sự chuyển biến toàn
diện trong phát triển giáo dục và đào tạo
Xuất phát từ quan điểm chỉ đạo của Đảng về giáo dục - đào tạo, thực hiện
chiến lợc phát triển giáo dục 2001 - 2010, ngành giáo dục đang tích cực từng bớc
đổi mới nội dung chơng trình đổi mới phơng pháp dạy học, đổi mới phơng pháp
dạy học, đổi mới công tác quản lý giáo dục nâng cao chất lợng quản lý dạy bồi d-
ỡng học sinh giỏi nhằm nâng cao chất lợng giáo dục và đào tạo, nhằm hoàn thành
mục tiêu: Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài. Cũng trong
nghị quyết TW II khoá VIII đã nêu những giải pháp phát triển giáo dục cùng với
việc cải tiến các vấn đề về công tác giáo dục toàn diện học sinh cả mặt tri thức lẫn
đạo đức học sinh.
Chính vì vậy công tác bồi dỡng học sinh giỏi thực chất là một hoạt động
dạy học đòi hỏi ngời giáo viên phải tuân thủ các yêu cầu s phạm, các nguyên tắc
cũng nh phơng pháp dạy học theo hớng phát huy tính sáng tạo của ngời học, ngời
học thực sự là chủ thể của hoạt động dạy học. Do đó ngời giáo viên ở cơ sở cũng
phải nắm bắt đợc các hình thức giáo dục học sinh giỏi. Từ đó giáo viên có các ph-
ơng pháp dạy học sáng tạo đặc biệt đối bộ môn Toán để bồi dỡng để đạt hiệu quả
cao nhất.

Trong chơng trình môn Toán ở các lớp THCS kiến thức về phơng trình vô tỉ
không nhiều song lại rất quan trọng đó là những tiền đề cơ bản để học sinh tiếp
tục học lên ở THPT.
Khi giải toán về phơng trình vô tỉ đòi hỏi học sinh nắm vững các kiến thức
cơ bản về căn thức, phơng trình, hệ phơng trình, các phép biến đổi đại số, Học
sinh biết vận dụng linh hoạt, sáng tạo các kiến thức, kỹ năng từ đơn giản đến phức
tạp. Việc học sinh giải thành thạo các dạng phơng trình vô tỉ giúp học sinh phát
triển t duy, phát huy tính tích cực chủ động, sáng tạo trong giải toán dỡng HSG.
Đồng thời giáo dục t tởng, ý thức, thái độ, lòng say mê học toán cho học sinh.
2.Cơ sở thực tiễn:
2.1. Về học sinh

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 2
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
Phơng trình vô tỉ là loại toán mà học sinh THCS coi là loại toán khó, nhiều
học sinh không biết giải phơng trình vô tỉ nh thế nào? Có những phơng pháp
nào?
Các bài toán về phơng trình vô tỉ là một dạng toán hay và khó, có nhiều
trong các đề thi học sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT. Tuy nhiên, các tài liệu
viết về vấn đề này rất hạn chế hoặc cha hệ thống thành các phơng pháp nhất định,
gây nhiều khó khăn trong việc học tập của học sinh, cũng nh trong công tác tự bồi
dỡng của giáo viên.
Vì vậy việc nghiên cứu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ là rất thiết
thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác định đợc phơng pháp giảng dạy
phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chất lợng dạy và học, dặc biệt là chất l-
ợng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trờng THCS.
Theo số liệu thống kê thể hiện trong Bảng 01 và 02 thì tỉ lệ học sinh giải
thành thành thạo các dạng phơng trình vô tỉ còn hạn chế chiếm tỉ lệ xấp xỉ 22%
trong tổng số các bài tập mà giáo viên giao về nhà thuộc chuyên đề, trong đó có
nhiều bài tập học sinh cha nắm vững kiến thức cơ bản, kiến thức gốc nên trong

quá trình giải phơng trình vô tỉ kết luận tập nghiệm còn sai, nên hệ quả tất yếu đi
kèm theo là nhiều học sinh trong các kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh điểm cha cao
ảnh hởng đến thành tích của toàn đội tuyển bộ môn Toán.
*Bảng 1:
thống kê tỉ lệ điểm của học sinh tham gia dự thi hsg cấp môn toán
trong hai năm học liền kề
TT
Năm
học
Tổng
số
Điểm
0.0 - 2.9 3.0- 4.9 5.0 - 6.4 6.5 - 7.9 8.0 - 10.0
SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% SL TL%
1 08 - 09 20 11 55.00 8 40.00 1 5.00 0 0.00 0 0.00
2 09 -10
17 2 11.76 8 47.06 6 35.29 1 5.88 0 0.00
*Bảng 2:
Kết quả học tập chuyên đề " phơng trình vô tỉ"
Năm học
Tống số bài
tập rabài ra
Số Bài tập HS hoàn
thành
Số bài HS còn sai
kiến thức cơ bản
Điểm
Số lợng Tỉ lệ % Số lợng Tỉ lệ %
2008-2009 20 15 75.0 5
25.0

2009-2010 20 16 80.0 4
20.0
Tổng 40 31 77.5 9 22.5
2.2. Về giáo viên:

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 3
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
Trong chơng trình đại trà, theo chuẩn kiến thức kỉ năng theo Quyết định 16,
thì dạng phơng trình không đợc giảng dạy trực tiếp mà chỉ thông qua một số bài
tập rèn luyện mà tùy theo đối tợng học sinh, giáo viên có thể lựa chọn và giới
thiệu. Nên trong thực tế giảng dạy giáo viên cúng ít đầu t, tìm hiểu về vấn đề này,
nhng trong các kì thi chọn học sinh giỏi lớp 9 cấp tỉnh, thi tuyển sinh vào các tr-
ờng chuyên lớp chọn lại xuất hiện nhiều bài toán liên quan đến nội dung này.
Mặt khác, việc tìm hiểu các phơng pháp giải phơng trình vô tỉ hiện nay còn
ít giáo viên nghiên cứu, hoặc nghiên cứu cũng không hệ thống.
Theo thống kê các đề thi chọn HSG của Sở GD-ĐT Quảng Bình, trong các
năm lại đây thì các bài thi liên quan đến phơng trình vô tỉ, chiếm tỉ lệ khá đáng kể,
tính ra trung bình đến 20% trong tổng số điểm của toàn bộ đề ra.
*Bảng 3:
thống kê kiến thức liên quan đến pt vô tỉ trong các kì thi chọn hsg lớp 9
tỉnh quảng bình
Năm học Kiến thức chung
Kiến thức liên quan đến
phơng trình vô tỉ
Tỉ lệ %
Tống số bài
ra
Điểm
Tống số bài
ra

Điểm
Tống số
bài ra
Điểm
1998-1999
4 10.0 1
2.5
25.0 25.0
1999- 2000
5 10.0 2
3.0
40.0 30.0
2000-2001
4 10.0 1
2.0
25.0 20.0
2001-2002
4 10.0 1
0.0
25.0 0.0
2002-2003
5 10.0 2
3.5
40.0 35.0
2003-2004
5 10.0 2
3.5
40.0 35.0
2004-2005
4 10.0 1

2.5
25.0 25.0
2005-2006
4 10.0 1
2.5
25.0 25.0
2006-2007
4 10.0 1
2.0
25.0 20.0
2007-2008
5 10.0 0
0.0
0.0 0.0
2008-2009
5 10.0 1
2.0
20.0 20.0
2009-2010
4 10.0 1
2.5
25.0 25.0
2010-2011
5 10.0 1
2.5
20.0 25.0
Tổng
58 130 15 28.5 25.9% 21.9%
3. Các giải pháp đã thực hiện
3.1.Giải pháp 1 : Cung cấp kiến thức cơ bản, kiến thức gốc có hệ thống và

HS đợc rèn luyện nhiều bài tập để nắm chắc các kiến thức gốc liên quan đến
giải phơng trình vô tỉ từ nội dung chơng trình theo chuẩn kiến thức kỉ năng
của QĐ16.
3.1.1 Các kiến thức cơ bản:
3.1.1.1. Căn bậc hai.

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 4
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
Các định nghĩa:
* Căn bậc hai.
Cho số a

0, số x gọi là CBH của a nếu x
2
= a. Ký hiệu
ax =
.
Ta có nhận xét:
Khi a > 0 thì có hai CBH là
ax =
và
ax =
.
Khi a = 0 thì có một CBH là
0== ax
.
Khi a < 0 thì không có CBH.
* Căn bậc hai số học.
( )

==

=
aax
x
ax
2
2
0
, với a

0.
Phép biến đổi CBH, với giả thiết các căn thức đều có nghĩa.
1.



<

==
0
0
2
AkhiA
AkhiA
AA

2.
ABBA =
( ) ( )
nnn
n
n
n
CBACAAA == B;
3.
B
A
BA =:
4.
BABA =
2
5.
B
BA
B
A
=
6.
( )
BA
BAC
BA
C

+
=

7.
B
AB
B
A
=
8.
( )
ApnmApAnAm +=+
3.1.1.2. Căn bậc ba.
Định nghĩa: Cho số thực a số thực x gọi là CBB của a nếu x
3
= a.
Ký hiệu
3
ax =
.
Lu ý: Mọi số thực đều có duy nhất một CBB.
Phép biến đổi CBB: dựa trên phép biến đổi CBH ta cũng có tơng tự.
(Dành cho HS tự ghi vào vở để ghi nhớ)
3.1.1. 3. Căn bậc n.
Định nghĩa:
Cho số thực a số thực x gọi là CBn của a nếu x
n
= a. Ký hiệu
n
ax =
.
Lu ý:

+Mọi số thực a đều có duy nhất một căn bậc lẻ.
+Mọi số thực a không âm có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau.

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 5
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
3.1.2. Các bài tập rèn luyện các kiến thức cơ bản.
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các biểu thức:
a)
( ) ( )
x 1 x 3
; b)
2
x 4
; c)
x 2
x 3

+
;
d)
2 x
5 x
+

; e)
2
x 1+
; f)
2
3 x

.
Bài 2. Tìm x, thỏa mãn điều kiện sau:
a)
2 x 6=
; b)
2
9x 2x 1= +
; c)
1
2 x 2 4x 8
2
+ + + =
;
d)
2
1 4x 4x 5 + =
; e)
4
x 7=
; f)
2
x 9 3 x 3 0 =
.
3.2.Giải pháp 2: Phát huy tính sáng tạo, t duy linh hoạt mềm dẻo của học
sinh, bằng cách tổ chức cho HS tìm hiểu và xây dựng nhiều lời giải khác nhau
cho một bài toán.
Ta xét bài toán sau ví dụ sau:
Bài 3. Gải pt
x 1 x 2 x 34 x 7 + + = +
(1)

Lời giải: Điều kiện xác định x

1. Ta có thể tổ chức cho HS tìm hiểu các cách
giải khác nhau nh sau:
*Cách 1: Phơng pháp bình phơng
Với x

1, ta có x + 34 > x + 7 > 0 nên hai vế của phơng trình (1) đều dơng,
suy ra:
(1)

( ) ( )
2 2
x 1 x 2 x 34 x 7 + + = +

( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 2 2 x 1 x 2 x 34 x 7 2 x 34 x 7 + + + + = + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )
20 x 1 x 2 x 34 x 7 + = + +


( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
400 40 x 1 x 2 x 1 x 2 x 34 x 7 + + + = + +

( ) ( )
4 x x 1 x 2 = +

2 2
16 8x x x x 2x 2 + = +

x = 2, thử lại thấy thỏa mãn là nghiệm của phơng trình (1).
*Cách 2: Phơng pháp biểu thức liên hợp
Ta có phơng trình (1) tơng đơng với:

( ) ( ) ( ) ( )
x 1 x 2 x 1 x 2 x 34 x 7 x 34 x 7
x 1 x 2 x 34 x 7
+ + + + + +
=
+ + +

( ) ( )
x 2 x 1 x 34 x 7
x 1 x 2 x 34 x 7
+ + +
=
+ + +

1 9
x 1 x 2 x 34 x 7
=
+ + +

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 6
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"

9 x 2 9 x 1 x 34 x 7
x 1 x 2 x 34 x 7

+ = + +


+ + = +



10 x 2 8 x 1 2 x 34+ = +

5 x 2 x 34 4 x 1+ = + +

( ) ( )
2 2
5 x 2 x 34 4 x 1+ = + +

( ) ( )
x 34 x 1 x 4+ = +

( ) ( )
( )
( )
2
2
x 34 x 1 x 4+ = +

25x = 50

x = 2, thử lại thấy x = 2 là một nghiệm của phơng trình (1).
*Cách 3: Phơng pháp đánh giá giá trị hai vế của phơng trình
Ta có phơng trình (1) tơng đơng với phơng trình:

x 1 x 2 x 7 x 34 + + + = +

áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số (
1; 2; 3
) và (
x 1
;
x 2
2
+
;
x 7
3
+
), ta có:
( ) ( )
( )
2
x 2 x 7
1 2 3 x 1 x 1 x 2 x 7
2 3
+ +

+ + + + + + + +


=
( )
2
x 34+

.
Suy ra 6x - 6 + 3x + 6 + 2x + 14

x + 34

10x

20

x

2 (*)
Do x

2


x 1 x 2 3 + +



x 34 x 7 3+ +


x 34 3 x 7+ + +


x 34 9 6 x 7 x 7+ + + + +

3 x 7 +

x 2
(**).
Từ (*) và (**) suy ra x = 2.
Thử lại thấy x = 2 là một nghiệm của phơng trình (1).
*Cách 4: Giải theo phơng pháp đặc trng riêng của dạng phơng trình.
Theo Cách 1, ta có:
(1)

( ) ( ) ( ) ( )
x 34 x 7 x 1 x 2 20+ + + + =



2 2
x x 2 x 41x 238 20+ + + + =
.
Lại theo cách 3, ta cúng có x

2, suy ra:
2
x x 2 2+
và
2
x 41x 238 18+ +


2 2

x x 2 x 41x 238 20+ + + +


2
2
x x 2 2
x 41x 238 18

+ =


+ + =



x = 2.
Thử lại thấy x = 2 là một nghiệm của phơng trình (1).
3.3.Giải pháp 3: Kiểm soát đợc quá trình việc làm bài tập của học sinh ở
nhà.
GV ra các dạng bài tập tơng tự, các bài tập nâng cao cho HS. In thành phiếu
và phát cho HS, các bài khó nên có định hớng lời giải hoặc kết quả. Sau các buổi
học giáo viên thu và chấm bài làm để nắm vững các kiến thức vận dụng của học
sinh từ đó đáng giá năng lực của hoc sinh trong giải các dạng phơng trình vô tỉ.

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 7
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
Thông tin phản hồi kịp thời cho từng đối tợng học sinh: cụ thể về số bài tập làm đ-
ợc, số bài tập có nhiều lời giải, bài tập có lời giải sáng tạo. Các bài tập tùy theo
buổi học cho học sinh kiểm tra chéo vở bài tập lẫn nhau, để thông qua đó học sinh
tự học lẫn nhau. Cũng thông qua việc giải bài tập mà bản thân cùng với giáo viên

tuyến 2 kèm cặp học sinh ở các trờng để cũng cố các kiến thức còn yếu cho học
sinh.
Ví dụ: Sau khi dạy bồi dỡng về chuyên đề "Phơng trình vô tỉ", ta có thể
giao phiếu bài tập về nhà đợc thiết kế nh sau:
Bài tập Buổi Phơng trình vô tỉ
Bài 1. Giải phơng trình:
253 =+ xx
(1)
HD: Nhận dạng phơng trình cơ bản.
Bài 2. Giải các phơng trình:
a)
3 2 4 4 4 1x x x x + =
(2)
b)
2 2 5 2 3 2 5 7 2x x x x + + + + =
(3)
Bài 3. Giải phơng trình:
( )
1
1 2
2
x y z x y z+ + = + +
(4)
Bài 4. Giải phơng trình:
( ) ( ) ( )
1 2 8 32x y z xyz+ + + =
(5), với x, y, z > 0.
HD: áp dụng bđt Cô-si cho hai số không âm.
Bài 5. Giải phơng trình sau:
2 2 2

4
3 6 19 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + =
(5)
Nhận xét của GV kèm cặp tuyến hai sau khi hớng dẫn học sinh ôn tập lí thuyết,
giải bài tập:
-Kiến thức cơ bản:
.
.
-Kĩ năng làm bài:
.
-Triển vọng:
, ngày tháng năm 2011
GV kèm
(Kí, ghi rõ họ tên)
3.4.Giải pháp 4: Trang bị kĩ cho học sinh về một số phơng pháp giải các dạng
phơng trình vô tỉ thờng gặp.
* Khái niệm: Phơng trình vô tỉ là phơng trình đại số chứa ẩn trong dấu căn thức (ở
đây tôi chỉ đề cập đến những phơng trình mà ẩn nằm dới dấu căn bậc hai và căn
bậc ba phù hợp với đối tợng học sinh lớp 9 bậc THCS).
* Phơng trình vô tỉ rất phong phú và đa dạng, hớng chung để giải quyết phơng
trình vô tỉ là làm cho phơng trình đợc chuyển về dạng hữu tỉ.

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 8
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
3.4.1-Phơng pháp nâng lên luỹ thừa:
a) Kiến thức vận dụng:
+ (A

B)
2

= A
2


2AB + B
2
+ (A

B)
3
= A
3


3A
2
B + 3AB
2


B
3
+
[ ]





=

=
2
)()(
0)(
0)(
)()(
xgxf
xg
xf
xgxf
+
3
3
mAmA ==
b) Bài toán rèn luyện
Bài 4. Giải phơng trình sau:
xx =+ 122
(1)
Giải
Điều kiện căn có nghĩa:
012 x
(2)

2
1
x
(1)
212 = xx

(3)
Với điều kiện
02

x
(4)
(3)

2x - 1 = (x-2)
2
(5)
056
4412
2
2
=+
+=
xx
xxx
Giải ra ta đợc x
1
=1 không thoả mãn (4)
x
2
= 5 thoả mãn (2) và (4) nghiệm duy nhất của phơng trình: x = 5
Bài 5. Giải phơng trình:
23151 = xxx
(1)
Giải
Phơng trình (1) có nghĩa:

0
023
015
01









x
x
x
x
(2)
(1)
15231 += xxx
Hai vế đều dơng, bình phơng hai vế ta đợc




=+


+=
++=

)3()72()21315(4
072
21315272
)15)(23(215231
22
2
xxx
x
xxx
xxxxx
Giải (3) ta đợc:
7
2
x
không thoả mãn (1).
Vậy phơng trình vô nghiệm.
Bài 6. Giải phơng trình
121 =+ xx
(1)
Giải
Điều kiện:
2

x
(2)
Viết PT (1) dới dạng

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 9
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"

121 +=+ xx
(3)
Hai vế của (3) không âm, bình phơng hai vế ta đợc

22121 ++=+ xxx

31212222 ==== xxxx
thoả mãn điều kiện (2)
Vậy phơng trình có nghiệm duy nhất x= 3
Lu ý:
+ Nếu để (1) bình phơng ta phải đặt điều kiện:
x + 1
2

x
(Điều kiện này luôn đúng)
+ Nếu biến đổi (1) thành
112 += xx
rồi bình phơng hai vế ta phải đặt điều
kiện
011 + xx
Bài 7. Giải phơng trình:
33
721 xx =+
(1)
Giải:

33
33
33

2)71(
2271)1(
=++
=++
xx
xx
Giải (1)
7;1
0)7)(1(
0)7)(1(
21
3
==
=+
=+
xx
xx
xx
Là nghiệm của phơng trình
Chú ý:
- Khi bình phơng hai vế của phơng trình cần chú ý điều kiện hai vế cùng dơng.
- Trớc khi lên luỹ thừa cần biến đổi phơng trình về dạng thuận lợi nhất để hạn chế
các trờng hợp hoặc có lời giải ngắn gọn.
Bài 8. Giải pt:
844
2
=++ xxx
(1)
Giải:
8)2(

2
=+ xx
2 x
+
8=x
Nếu
2x
thì
582 ==+ xxx
Nếu
x
<
2
thì
82
=+
xx
vô nghiệm
Kết luận : x = 5 là nghiệm của pt
c) Bài tập tơng tự:
Bài 9. Giải các phơng trình sử dụng phép bình phơng.
1/ x
2
- 4x = 8
1x
(x = 4 + 2
2
)
2/
682

2
++ xx
+
1
2
x
= 2x + 2
3/
2
2
7
x
x
+
2
7
x
x
= x (x = 2)
4/
1+x
-
2+x
=
5+x
-
10+x
(x=-1)
Bài 10. Giải các pt sử dụng phép lập phơng:
1/

3
1x
+
3
2x
=
3
32 x
(x = 4; 2);

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 10
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
2/
3
1+x
+
3
1x
=
3
5x
(x=0;

2
5
);
3/
3
1+x
+

3
13 +x
=
3
1x
(x=- 1);
4/
3
1 x+
+
3
1 x
=1 (x =
27
28
);
3.4.2. Phơng trình đa về phơng trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối
a) Kiến thức vận dụng :
Ta có:
== )()(
2
xfxf

)(xf
nu
0)( xf

)(xf
nu
0)( <xf

Phơng pháp giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối (tự tìm hiểu ).
b) Bài tập rèn luyện:
Bài 11. Giải phơng trình :
242 + xxx
+
1267 =+ xx
(1)
Giải:
Điều kiện : x - 2
0
hay x
2
(2)

13222
1)32()22(
22
=+
=+
xx
xx
Cách 1: Chia các trờng hợp để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức
baba ++
, dấu = xảy ra khi a,b > 0.
Khi đó
123222322 =++ xxxx
(3)
Dấu =xảy ra khi:

( )( )
02322 xx
(4)
Giải (4) ta đợc:
116 x
Thoả mãn (2)
Vậy nghiệm của phơng trình (1)là :
116

x
c) Chú ý :
+ Phơng pháp này thờng đợc áp dụng khi các biểu thức trong dấu căn bậc hai viết
đợc thành bình phơng của một biểu thức.
+ Có những phơng trình cần phải biến đổi mới có dạng trên.
d) Bài tập áp dụng:
Bài 12. Giải các phơng trình sau:
1/
21212
22
=++++ xxxx
( )
1x
2/
211
22
=+ xxxx
( )
2=x

3/

225225232 =+++ xxxx







3
2
5
x
3.4.3. Phơng pháp đặt ẩn phụ
a) Đặt ẩn phụ đa về phơng trình ẩn mới
Bài 13. Giải phơng trình
954135
22
+=+ xxxx
(1)

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 11
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
Giải:
Ta có :
4
11
2
5
95
2

+






=+ xxx
> 0
Đặt:
222
95095 yxxyxx =+=+

Khi đó (1)

y
2
+ 4 = 4y

055
455
2
2
2
=+
=+
=
xx
xx
y

=
+
=
2
55
2
55
x
x
Bài 14. Giải phơng trình:
2
4
1
2
1
=++++ xxx
(1)
Giải:
Điều kiện:
4

x

(2). Đặt:
0
4
1
=+ yx
4
1
2
= yx
Khi đó (1) trở thành
2)
2
1
(
4
1
22
=++ yy
0744
2
=+ yy







=

=

2
122
0
2
122
y
y
Trờng hợp
2
122
=y
< 0 (loại)
22 = x
, thoả mãn điều kiện (2).
Vậy nghiệm của phơng trình là :
22 =x
.
Bài 15. Giải phơng trình:
0331
333
=+++++ xxx
(1)
Giải:
Đặt:
yx =+ 2
(1)
yyy =++

3
3
3
3
11
Lập phơng hai vế ta có :
3
63
1= yyy




=
=

3
62
1
0
yy
y
Nếu:
2020
3
==+= xxy
Nếu
11
66
3

62
== yyyy
, vô nghiệm.
Vậy nghiệm của phơng trình là: x = -2
b) Đặt ẩn phụ đa về hệ phơng trình:
* Dạng:
edxvuxrbax +++=+ )(
(1)
Với a, u, r
0

. Đặt
baxvyu +=+.
.

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 12
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
Khi đó phơng trình (1) đa đợc về dạng :
0)12)(( =+++ urruxruyyxu
Bài 16. Giải phơng trình:
203232152
2
+=+ xxx
(1)
Giải:
Điều kiện:
2
15
0152

+ xx
Khi đó: (1)
28)24(2152
2
+=+ xx
(2)
Đặt:
15224 +=+ xy
(3)
Điều kiện:
2
1
024

+ yy
Khi đó (2) trở thành (4x + 2)
2
= 2y + 15 (4)
Từ (3) ta có : (4y + 2)
2
= 2x + 15 (5)
Từ (4) và (5) có hệ:





+=+
+=+
)5(152)24(

)4(152)24(
2
2
xy
yx
Trừ vế với vế của (4) cho (5) ta đợc (x- y)(8x + 8y + 9) = 0
+) Nếu: x - y = 0
yx =
thay vào (5) ta đợc: 16x
2
+ 14x-11 = 0






=
=

8
11
2
1
x
x
với
8
11
=x

, loại
+) Nếu 8x + 8y + 9 = 0
988 = xy
. Thay vào 9 (4) ta đợc:
64x
2
+ 72x - 35 = 0

9 221
x
16

=
( loại );
9 221
x
16
+
=
(nhận).
Vậy nghiệm của phơng trình là:
2
1
1
=x
;
16
2219
2
+

=x
.
* Dạng:
edxvuxrbax +++=+
3
3
)(
(1)
Đặt
3
baxvuy +=+
, pt (1) đa đợc về dạng:
0)1)((
22
=+++ rQrPQrPvyu

Trong đó:
vuyP +=

vuxQ +=

Bài 17. Giải phơng trình:
255336853
23
3
+= xxxx
(1)
Giải:
(1)
3

53 x
=(2x - 3)
3
- x + 2 (2)
Đặt :2y - 3 =
3
53 x
3
)32(53 = yx
(3)
Khi đó (2)
3
)32(52 =+ xxy
(4)
Từ (3),(4) có hệ :





=+
=
3
3
)32(52
)32(53
xxy
yx

Trừ vế với vế ta đợc :

0)1)((
22
=+++ PQQPyx
(5)
Trong đó :
32 = yP
;
32 = xQ
.
Vì:
01.
22
>+++ QPQP

yx,

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 13
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
Do đó :(5)
yx =
Thay vào (3) ta đợc:
(x-2)(8x
2
-20+11)=0


x
1
=2 ; x
2

=
2
35 +
; x
3
=
2
35
* Một số dạng khác:
Bài 18. Giải phơng trình:
312
3
=++ xx
(1)
Giải
Điều kiện: x
1
(2)
Đặt:
3
3
x 2 y x 2 y = =

3
101
22
2
=
=+=+
yz

zxzx
Với điều kiện (2) thì (1) đa về hệ:







=
=+
0
3
3
22
z
yz
zy
Giải hệ này ta đợc:



=
=
2
1
z
y
Từ đó suy ra: x = 3 là nghiệm của phơng trình (1)
Bài 19. Giải phơng trình:

2
2
11
2
=

+
x
x
(1)
Giải:
Điều kiện:



<<

22
0
x
x
Đặt:
202
222
=+>= yxyx
Ta có hệ: (1)

=+
=+
2
11
2
22
yx
yx

Đặt: x +y = S ; xy = P
(1)




==
==




=
=

1,
2
1
2,1
2

22
2
SP
SP
PS
PS

+Trờng hợp 1: Ta đợc x = y =1.
+Trờng hợp 2:








=
+
=
2
31
2
31
y
x
hoặc

+
=

=
2
31
2
31
y
x
.
Từ đó ta đợc x = 1; x =
2
31
là nghiệm của phơng trình.

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 14
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
c) Chú ý
* Giải phơng trình vô tỉ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ giúp ta giải đợc nhiều bài
toán khó, tuy nhiên để đặt cái gì làm ẩn phụ và có mấy ẩn phụ thì phải biết nhận
xét và tìm mối liên quan giữa các biểu thức trong phơng trình, liên quan giữa các
ẩn
* Cần phải có kỹ năng giải phơng trình và hệ phơng trình.
d) Bài tập áp dụng
Bài 20. Giải các phơng trình sau:

1/
22
24692 xxxx ++=+
;
2/
41212 =++ xxxx
; (HD: đặt
5;01 == xyx
)
3/
14421 =+++ xxxx
; (HD: đặt
41; = xyx
)
Bài 21. Giải các phơng trình sau bằng cách đa về hệ phơng trình:
1/
46283
23
+=+ xxx
; (HD: đặt:
bxxax =+=+ 42,2
2
)
2/
)2(215
23
+=+ xx
(HD: đặt
2
x 1 a; x x 1 b+ = + =

; kết quả
5 37
x
2

=
133;133 =+= xx
).
3/
x
xx
x =+
1
1
1
(HD: đặt:
1 1
x a; 1 b;
x x
= =
kết quả
1 5
x
2
+
=
).
4/
112
3

=+ xx
(HD: đặt
10;2;1;2
3
= xax
)
5/
513413
2
+=+ xxx
(HD: đặt
)
8
3711
;
4
11
;1,1332
+
=+= xxy
6/
534
2
= xxx
(HD: đặt
)
2
295
;1,25
+

==+ xyx
7/
3
3
2332 =+x
(HD: đặt
)2;1,23 == xyx
3.4.4. Phơng pháp bất đẳng thức.
a) Chứng tỏ tập giá trị ở hai vế rời nhau khi đó phơng trình vô nghiệm
*Nội dung phơng pháp:
Xét phơng trình: f(x) = g(x)
Nếu tập giá trị của f(x), g(x) lần lợt là: S
1
, S
2
mà S
1
giao với S
2
bằng rỗng thì phơng
trình vô nghiệm.
*Bài tập rèn luyện:
Bài 22. Giải phơng trình:
25373 = xxx
(1)
Giải:
Điều kiện: x
3

Với điều kiện này thì:

373 < xx
Khi đó vế trái của (1) âm, còn vế phải dơng do đó phơng trình (1) vô nghiệm
b) Sử dụng tính đối nghịch ở hai vế
*Nội dung phơng pháp:

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 15
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
Xét phơng trình F(x) = G(x) (1)
Nếu: F(x)

K, dấu đẳng thức sảy ra khi x = a, G(x)

K, dấu đẳng thức sảy ra khi
x = b (k, a, b là các hằng số).
Khi a = b

(1) có nghiệm là: x = a
Khi a

b

(1) vô nghiệm
*Bài tập rèn luyện:
Bài 23. Giải phơng trình:
222
2414105763 xxxxxx =+++++
(1)
Giải:
Vế trái:
5949)1(54)1(3

22
=++++++ xx
Vế phải: 4 - 2x - x
2
= 5- (x + 1)
2


5
Do đó cả hai vế đều bằng 5 khi x = -1, với giá trị này cả hai bất đẳng thức trên đều
là đẳng thức.
Vậy x = -1 là nghiệm của phơng trình.
Bài 24. Giải phơng trình:
13626
2
+=++ xxxx
(1)
Giải:
Sử dụng bất đẳng thức:
2
2
2
1
2
2
2
12211
. bbaababa +++
(Với dấu = xảy ra khi
)

2
2
1
1
b
a
b
a
=
Vế trái:
426.1126
22
=++++ xxxx
Dấu = xảy ra khi x = 3.
Vậy phơng trình vô nghiệm.
c) Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:
*Nội dung phơng pháp:
Ta chỉ ra nghiệm cụ thể và chứng minh đợc các trờng hợp khác của ẩn không là
nghiệm của phơng trình .
*Bài tập rèn luyện:
Bài 25. Giải phơng trình:
312
3
=++ xx
(1)
Giải:
Ta thấy x = 3 nghiệm đúng phơng trình.
+ Với x > 3 thì
<+> 21,12
3

xx
vế trái của (1) lớn hơn 3
+ Với -1
3< x
thì
<+> 21,12
3
xx
vế trái của (1) nhỏ hơn 3
Vậy x = 3 là nghiệm duy nhất của phơng trình.
d) Sử dụng điều kiện xảy ra dấu "=" ở bất đẳng thức không chặt.
*Nội dung phơng pháp:
TA xét dấu bằng xảy ra ở một trong hai vế cảu phơng trình và dự đoán giá trị đó
là một trong các nghiệm.
*Bài tập rèn luyện:
Bài 26. Giải phơng trình:
2
14
14
=

+

x
x
x
x
(1)

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 16

"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
Giải:
Điều kiện: x >
4
1
(2). Sử dụng bất đẳng thức:
2+
a
b
b
a
Với a,b > 0 thì dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b
Do đó:
2
14
14


+

x
x
x
x
Dấu = xảy ra
14 = xx
2
x 4x 1 0 + =
x 2 3 =
, thoả mãn (2)

Vậy nghiệm của phơng trình là: x = 2
3
e) Bài tập áp dụng:
Bài 27. Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp áp dung bất đẳng thức:
1/
271064
2
+=+ xxxx
(x = 5)
2/
51343
26122
=++
+
yyx
x
(x = y = 2)
3/
126
22
=+ xxx
(Vô nghiệm)
4/
xxxxxx 24)53)(1(.231
2
=++++
5)/
665
1225
1

4
3
16

+

+
zyx
= 82 -
66513 zyx
(x = 19; y =
5; z = 1890).
3.4.5. Những chú ý trong việc giải các dạng phơng trình vô tỉ thờng gặp
a) Khi giải phơng trình vô tỉ cần tránh những sai lầm sau
+ Không chú ý đến điều kiện có nghĩa của căn thức.
+ Không đặt điều kiện có nghĩa của căn thức.
b) Để giải phơng trình vô tỉ thành thạo thì các kiến thức sau cần nắm vững
+ Các phép biến đổi căn thức.
+ Các phép biến đổi biểu thức đại số.
+ Các kiến thức và phơng pháp giải các phơng trình và hệ phơng trình.
+ Các kiến thức về bất đẳng thức
4. Kết quả đạt đợc bớc đầu và bài học kinh nhiệm.
Sau khi áp dung các giải pháp chỉ đạo trên thực hiện công tác bồi dỡng học
sinh giỏi THCS Kiến Giang trong năm học 2010 - 2011 cho đội tuyển Toán lớp 9
thgi chọn học sinh giỏi tỉnh, thì đạt kết quả nh sau (xem Bảng 4, 5).
*Bảng 4:
Kết quả học tập chuyên đề " phơng trình vô tỉ"
Năm học
Tống số bài
tập ra bài ra

Số Bài tập HS hoàn
thành
Số bài HS còn sai
kiến thức cơ bản
Điểm
Số lợng Tỉ lệ % Số lợng Tỉ lệ %
2010-2011 20 18 90.0 2
10.0
Tổng 20 18 90.0 2 10.0
So với Bảng 2, thì sau khi áp dung các biện pháp bồi dỡng kỉ năng giải các
dạng phơng trình vô tỉ, thì học sinh đã có kỉ nảng giải thành thao các dạng phơng

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 17
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
trình cơ bản, tỉ lê các em không giải đợc chỉ còn 10% (trớc khi áp dụng là 22,5%).
Thông qua kết quả chấm vở bài tập của học sinh thì số học sinh nhận dạng và làm
đúng dạng chiếm 100%, còn số học sinh khi gặp các dạng bài tập lạ đòi hỏi nhiều
tháo tác t duy, kỉ thuật giải phức tạp đã giảm xuống rõ rệt. Không có hiện tợng
học sinh cha nắm vững các kiến thức cơ bản khi vận dụng giải các dạng phơng
trình vô tỉ.
Do đó, kết quả học sinh giỏi bộ môn Toán 9 trong kì thi chọn HSG lớp 9
diễn ra ngày 31 tháng 03 năm 2011 khả quan: điểm đồng đội trung bình 5,0 xếp
thức nhì sau huyện Bố Trạch có điểm trung bình là 5,5 điểm. Bảng thống kê tỉ lệ
điểm:
*Bảng 5:
thống kê tỉ lệ điểm trong kì thi chọn hsg lớp 9 tỉnh quảng bình 2010 - 2011
Năm học
Tổng
số
Điểm

0.0 - 2.9 3.0- 4.9 5.0 - 6.4 6.5 - 7.9 8.0 - 10.0
SL TL% SL TL% SL TL% SL TL% SL TL%
2010 - 2011
12
1 8.33 4 33.33 6 50.00 1 8.33 0 0.00

Qua bảng số liệu này ta có thể thấy rằng HS giải tốt phơng trình vô tỉ và các
kiến thức liên quan đến căn thức giúp các em có t duy giải toán, tỉ lệ học sinh
điểm dới 5 chỉ còn 5/12 em chiểm 41,67%, so với hai năm học trớc là 29/37 em
chiếm tỉ lệ 78,38% (xem Bảng 01).
Từ sự phân tích trên, cho chúng ta thấy các giải pháp trên là sát đúng với
thực tế công tác bồi dỡng học sinh giỏi bộ môn Toán tại THCS Kiến Giang nên đã
gặt hái bớc đầu những kết quả quan trọng, tạo sự động viên khích lệ bản thân yên
tâm công tác bồi dỡng học sinh giỏi bộ môn Toán. Để làm đợc vấn đề này thì
theo tôi chúng ta phải lu ý một số bài học kinh nghiệm trong việc dạy các dạng
phơng trình vô tỉ. Đó là:
Thứ nhất, phơng trình vô tỉ là một dạng toán không thể thiếu đợc trong ch-
ơng trình bồi dỡng học sinh giỏi bậc THCS. Nếu chỉ dừng lại yêu cầu trong sách
giáo khoa thì cha đủ, vì vậy đòi hỏi giáo viên phải tích cực tự học, tự nghiên cứu,
tìm tòi sáng tạo thờng xuyên bổ sung kiến thức và tích luỹ kinh nghiệm về vấn đề
này thông qua các kênh thông tin.
Thứ hai, để dạy học cho học sinh hiểu và vận dụng tốt phơng pháp giải ph-
ơng trình vô tỉ thì bản thân mỗi giáo viên phải hiểu và nắm vững về phơng trình vô
tỉ: các dạng phơng trình vô tỉ, phân biệt sự khác nhau giữa phơng trình vô tỉ với
các dạng phơng trình khác, đồng thời phải nắm vững các phơng pháp giải phơng
trình vô tỉ.
Thứ ba, qua việc nghiên cứu bên cạnh việc giúp cho bản thân nâng cao kiến
thức nâng cao nghiệp vụ, bồi dỡng học sinh giỏi có hiệu quả, ngoài ra còn giúp

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 18

"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
bản thân nâng cao phơng pháp tự học, tự nghiên cứu để có thể tiếp tục nghiên cứu
các vấn đề khác tốt hơn trong suốt quá trình dạy học của mình.
Thứ t, giáo viên phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức, phơng pháp s
phạm vào trong công tác bồi dỡng học sinh giỏi, và có những sáng kiến phù hợp
với điều kiện thực tế cũng nh các vấn đề nảy sinh trong bồi dỡng học sinh giỏi bộ
môn Toán.
*
* *
Phần 3 kết luận

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 19
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"
Bồi dỡng học sinh giỏi là một vấn đề nhạy cảm, đòi hỏi nghệ thuật dạy học
cao của nhà s phạm vì học sinh thực sự là các tinh hoa của các em cùng trang lứa.
Làm tốt vấn đề này thì ở cơ sở phải có các giải pháp sáng tạo để thực hiện tốt các
biện pháp chỉ đạo của cấp trên, vận dung linh hoạt phơng pháp s phạm vào thực
tiễn bồi dỡng học sinh giỏi. Để thực hiện tốt công việc giảng dạy học sinh giỏi,
đặc biệt là công tác bồi dỡng học sinh giỏi bộ môn Toán ngời thầy phải thờng
xuyên học, học tập, nghiên cứu. Trong thực tiễn quá trình bối dỡng, đọc tài liệu
tham khảo, phân tích các tình huống s phạm, phân tích các kết quả học tập của
học sinh về tiếp thu kiến thức, kỉ năng vận dụng vào làm bài, kỉ năng tự giải quyết
bài tập tôi đã rút ra một số kinh nghiệm để bồi dỡng học sinh học gỏi bộ môn
Toán trong vấn đề gải quyết các dạng phơng trình vô tỉ, một trong những mảng
kiến thức quan trọng bộ môn Toán. Hy vọng đề tài "Các biện pháp bồi dỡng học
sinh giỏi lớp 9 phơng pháp giải các dạng phơng trình vô tỉ" làm một kinh nghiệm
của mình để giúp bản thân và đồng nghiệp, học sinh tiếp thu vấn đề này, phần nào
nâng cao năng lực t duy, sự sáng tạo và rèn kỹ năng giải các phơng trình vô tỉ cho
học sinh, để học sinh học tốt, có t duy, kỉ năng xây dựng chiến lợc giải toán và
ngày càng yêu thích bộ môn toán. Bản thân tôi tuổi đời còn trẻ, vừa tham gia

công tác quản lí, vừa bồi dỡng học sinh giỏi toán cũng cha đợc nhiều nên bản
sáng kiến này chắc chắn còn có nhiều chỗ còn hạn chế, nhng với tinh thần muốn
đóng góp cho phong trào bồi dỡng học sinh giỏi huyện nhà ngày càng có những
dấu hiệu khởi sắc, xứng tầm với thành tích của giáo dục Lệ Thuỷ. Cần đợc sự
đóng góp bổ sung của các đồng nghiệp. Tôi chân thành cám ơn chuyên viên
Phòng giáo dục, Hội đồng khoa học nhà trờng đã giúp tôi thành bản sáng kiến
kinh nghiệm này.
Kiến Giang, ngày 15 tháng 05 năm 2011
Ngời viết
Lê Dơng Quyền
nhận xét của hội đồng khoa học nhà trờng.


Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 20
"Các biện pháp bồi dỡng HSG lớp 9 kĩ năng giải các dạng phơng trình vô tỉ"









nhận xét của hội đồng khoa ngành giáo dục

Lê Dơng Quyền - PHT trờng THCS Kiến Giang Trang: 21