Chương 1hh đường thẳng vuông góc và đường thẳng song song hdg

§1. HAI GĨC ĐỐI ĐỈNH
Bài 1:
0




- Vì xIy ' và x ' Iy ' là 2 góc kề bù nên xIy '  x ' Iy ' 180
Mà
 ' 1240  x ' Iy ' 1800  1240
xIy

y'

124
x

I

 x ' Iy ' 560


- Vì xIy ' và x ' Iy là 2 góc đối đỉnh, mà
 ' 1240  x ' Iy 1240
xIy

x'

y




- Vì x ' Iy ' và xIy là 2 góc đối đỉnh, mà
 560
x ' Iy ' 560  xIy
Bài 2:
0

a) Vẽ góc aOb 80

b) Vẽ góc a ' Ob ' đối đỉnh với góc aOb ( Oa và Oa ' đối
nhau)
c) Vẽ tia Om là phân giác của góc aOb
d) Vẽ tia đối Om ' của tia Om .Vì sao Om ' là tia phân
giác của góc a ' Ob ' ?


- Vì aOb và a ' Ob ' là 2 góc đối đỉnh mà Om là tia

phân giác của góc aOb , Om ' là tia đối của tia Om

nên Om ' là tia phân giác của góc a ' Ob ' .

e) Các cặp góc đối đỉnh là:




- aOb và a ' Ob '
- aOb ' và a ' Ob





- aOm và a ' Om '
- aOm ' và a ' Om




- mOb và m ' Ob '
- bOm ' và b 'Om .
f) Viết tên các cặp góc bằng nhau mà khơng đối đỉnh


- aOm và bOm


- a ' Om ' và b ' Om '


- aOm và b ' Om '


- bOm và a ' Om '

b

m

a'

a

O

m'
b'


0

Bài 3: Vẽ góc AOB 72 rồi vẽ góc A ' OB ' đối đỉnh với


góc AOB . Hãy tính góc A ' OB ' và AOB '




- Vì AOB và A ' OB ' là 2 góc đối đỉnh  AOB  A ' OB '
mà
AOB 720  A ' OB ' 720


- Vì AOB và AOB ' là 2 góc kề bù
 AOB  AOB ' 1800

B

72
A'

A

 720  AOB ' 1800
 AOB ' 1080
Bài 4. Hai đường thẳng xx ' và yy ' cắt nhau ở D .


Tính xDy và yDx '


- Vì 2 góc xDy ' và x ' Dy ' là 2 góc kề bù nên
 '  x ' Dy ' 1800
xDy

B'
y'

5a

4a

x

x'

 5a  4a 1800
 9a 1800

y

 a 200
 ' 5a 5.200 1000
 xDy
 x ' Dy ' 4a 4.200 800
-

-



Vì xDy ' và yDx ' là 2 góc đối đỉnh, mà
 ' 1000  yDx
 ' 1000
xDy


Vì x ' Dy ' và xDy là 2 góc đối đỉnh, mà

x ' Dy ' 800  xDy
800

Bài 5. Cho 2 đường thẳng mm ' và nn ' cắt nhau tại E


a) Tính mEn và m ' En '

b) Biểu diễn số đo góc mEn theo x bằng 3 cách
Giải



a) Tính mEn và m ' En '


- Vì nEm ' và mEn ' là 2 góc đối đỉnh


 nEm
' mEn
'
 4x 6x  500
 2x 500

-

 x 250

 nEm
' 4x 4.250 1000

 mEn
' 1000


Vì mEn và nEm ' là 2 góc kề bù

n
m'
4x
E

6x-50

m

n'




 mEn
 nEm
' 1800

 mEn
1800  1000

 mEn
800


- Vì mEn và m ' En ' là 2 góc đối đỉnh, mà

 ' En ' 800
mEn
800  m

b) Biểu diễn số đo góc mEn theo x bằng 3 cách
0

- mEn 180  4x

0
0

- mEn 180  (6x  50 )
Bài 6: Trong hình vẽ bên, O  xx'


a) Tính xOm và nOx '


b) Vẽ tia Ot sao cho xOt; nOx ' là hai góc đối đỉnh. Trên nửa

m

n

mặt phẳng bờ xx ' chứa tia Ot , vẽ tia Oy sao cho
 900
tOy
. Hai góc mOn và tOy là hai góc đối đỉnh
khơng? Giải thích?
Giải

4x-10

3x-5

x

x

m



a) Tính xOm và nOx '

n

Vì Ox và Ox ' là 2 tia đối nhau nên


 ' 1800
xOm
 mOn
 nOx
 4x  100  900  3x  50 1800
x

 7x 1050

x'

O

 x 1050 : 7
 x 150

xOm
4x  100 4.150  100 500
 ' 3x  50 3.150  50 400

nOx


b) Hai góc mOn và tOy là hai góc đối đỉnh
Vì


+ xOt; nOx ' là hai góc đối đỉnh  Ot và On là hai tia
đối nhau (1)
 mOn



tOy
900
+ Lại có:
mà xOt nOx ' (hai góc đối


đỉnh)  xOm x 'Oy





Mà Ox và Ox' là hai tia đối nhau  Om và Oy là hai tia
đối nhau (2)


 1  2   Hai góc mOn

và tOy là hai góc đối đỉnh.

t

y


Bài 7: Từ điểm O vẽ 4 tia Ox,Ox ', Oy, Oy ' sao cho Ox
0

và Ox ' là hai tia đối nhau. Cho biết xOy 2x  24 ,
 ' 6x  120 x ' Oy ' 5x  300
xOy
,
a) Hai góc xOy ' và x ' Oy có là 2 góc đối đỉnh
khơng? Chứng minh (dùng lập luận giải thích
rõ ràng)
b) Gọi Ot và Ot ' lần lượt là phân giác của các góc


xOy ' và x ' Oy . Chứng minh xOt
và x ' Ot ' là 2

t
y'

O

x

góc đối đỉnh
Giải
a) Hai góc xOy ' và x ' Oy có là 2 góc đối đỉnh
khơng?
- Vì Ox và Ox ' là hai tia đối nhau nên
 '  x ' Oy ' 1800
xOy
 6x  120  5x  300 1800
 11x 1980
 x 1980 :11
 x 180

 ' 6x  120
xOy
 ' 6.180  120 1200  1
 xOy

Mà
-

0
0
0
0

Góc xOy 2x  24 2.18  24 60
- Vì Ox và Ox ' là hai tia đối nhau


xOy

 yOx
' 1800

 600  yOx
' 1800


 yOx
' 1200  2 



Từ (1) và (2)  xOy ' yOx '
Mà Ox và Ox ' là 2 tia đối nhau nên Oy; Oy '
cũng là 2 tia đối nhau nên hai góc xOy ' và
-

x ' Oy là 2 góc đối đỉnh
b) Vì hai góc xOy ' và x ' Oy là 2 góc đối đỉnh mà
Ot và Ot ' lần lượt là phân giác của các góc


xOy ' và x ' Oy nên xOt
và x ' Ot ' cũng là 2 góc đối
đỉnh

y

x'

t'


Bài 8: Cho hai góc kề bù xOy và yOt . Gọi Om, On


lần lượt là tia phân giác của xOy, yOt

a) Tính mOn

- Vì Om là tia phân giác của xOy nên

xOy


xOm
mOy

2
-

-


yOn nOt
  tOy

2
Vì On là tia phân giác của tOy nên
Vì hai góc xOy và yOt là 2 góc kề bù nên


xOy
 yOt 1800

 2.mOy
 2. yOn 1800

m
y

n

O

x

z

t

p


 mOy
 yOn 1800 : 2

 mOn
900



b) Vẽ góc tOz là góc đối đỉnh của góc xOy . Vẽ tia Op là tia đối của tia Om . Chứng minh
Op, On
 
lần lượt là tia phân giác của góc tOz; mOp



- Vì xOy và tOz là 2 góc đối đỉnh mà Om là tia phân giác của xOy , Om và Op lại là 2 tia đố
nhau nên

Op cũng là tia phân giác của tOz



- Vì Om là tia phân giác của xOy nên xOm mOy


Mà tOp xOm (đối đỉnh)


Nên tOp mOy



- Vì On là tia phân giác của tOy nên yOn nOt
  nOt
 mOy

 tOp
 yOn


 pOn mOn


Vậy On là tia phân giác của mOp .


§2. HAI ĐƯỜNG THẲNG VNG GĨC
Bài 9.
Hai
Hai
Hai
Hai

-

đường
đường
đường
đường

thẳng
thẳng
thẳng
thẳng

AB và AC trùng nhau.
a và b song song với nhau
cắt nhau tại O

vuông góc

y'

Bài 10.
Hai đường thẳng xx’ và yy’ vng góc với
nhau tại O.

x

x'

O
y
c

Bài 11.
Từ hình vẽ ta có thể chỉ ra góc bẹt, cặp góc
bằng nhau, đối đỉnh, kề bù, kề nhau, tia phân
giác của 1 góc và Oe  Oc

d
e

a

Bài 12.
x

a

A

C

y

O

B

b

Bài 13.
m
t

v

y

x
O

f

b
O





a) Chứng minh xOv tOy ( vì cùng phụ góc tOv)
0
0
0


b) Có xOt  yOv 90  90 180

  yOt
  tOv
 1800
 xOv
 vOt
      

 1800
 xOy
 tOv



c) - Có xOv tOy (cmt)



– Có xOm yOm (vì Om là tia phân giác xOy )





 xOm
 xOv
yOm
 yOt



 vOm
tOm
 Om là tia phân giác của góc tOv.
Bài 14.
a) A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.
C

b) B nằm giữa A và

A

C
B

A

B

Bài 15.
z

x

y'
t

O

t'

y
x'
z'

a) Vẽ góc đối đỉnh

C





xOy
xOy'
yOy'
1800
 tOx
  xOz

tOz





90 0
2
2
2
2
b)



x'Oy'
xOy'
xOx'
1800
t'Oz t'Oy'


 y'Oz 



900
2
2
2
2
Tương tự tính
 tOz
  zOt'


 tOt'
900  900 180 0.

c) Có hai góc xOz và x’Oz’ đối đỉnh nên



xOy'
yOx'


xOz
x'Oz'




yOx'

2
2


 x'Oz'
yOz'=


2
yOx'




2
tia
Oz,Oz'
doi
dinh

yOz'

y'Oz
=

2
Vậy Oz’ là tia phân giác của góc x’Oy.


§3. CÁC GÓC TẠO BỞI MỘT ĐƯỜNG THẢNG CẮT HAI
ĐƯỜNG THẲNG KHÁC
Bài 16:
Với hình vẽ trên, hãy liệt kê các góc địng vị, so le trong, trong cùng phía

A
1

2

4

3

4

1

B
2

3

D
1
2

C
1 4

3

2 3

4

Đáp án :









Các cặp góc đồng vị : A1 và C1 ; A2 và C4 ; A4 và C2 ; A3 và C3








B
1 và D1 ; B2 và D4 ; B4 và D2 ; D3 và D3
A







1 và B4 ; A2 và B1 ; A4 và B3 ; A3 và B2









C
1 và D2 ; C4 và D1 ; C2 và D3 ; C3 và D4
Các cặp góc so le trong:
A



4 và C4 ; A3 và C1 ;




B
3 và D1 ; B2 và D2 ;
A



3 và B4 ; A2 và B3 ;




C
4 và D3 ; C3 và D2 ;
Các cặp góc trong cùng phía:
A




4 và C1 ; A3 và C4 ;




B
3 và D2 ; B2 và D1 ;


A



2 và B4 ; A3 và B3 ;




C
4 và D2 ; C3 và D3 ;
Bài 17:
Hãy tính và so sánh số đo của hai góc so le trong bất kỳ, 2 góc đồng vị bất
kỳ. Số đo 2 góc trong cùng phía có quan hệ gì đặc biệt ?
c
A

2

a

3

1 4

500

2

1

500

b

B 3 4

Hình 4

Giải
Xét các góc tạo bởi đường thẳng a và cát tuyến c
*) Ta có
A  A
1
3 ( đối đỉnh)
0
0


mà A1 50 => A3 50

0


*) Vì A1  A2 180 ( hai góc kề bù )
0
0
0
0


mà A1 50 => A2 180  50 130
0



Mà A2  A4 ( đối đỉnh) => A4 130

*) Ta có
 B

B
1
3 ( đối đỉnh)
0
0


mà B1 50 => B3 50
0



*) Vì B1  B2 180 ( hai góc kề bù )
0
0
0
0


mà B1 50 => B2 180  50 130


0



Mà B2 B4 ( đối đỉnh) => B4 130


BÀi 18:

c
3
A 2
4 1



Với hình vẽ bên cho biết A2 B2 . Chứng
minh rằng

a





a) A4 B2 ; A1 B3

3




 

b) A3 B3 ; A1 B1 ; A4 B4




c) A1  B2 180 ; A4  B3 180
0

B 4 1
0

Vì


a) A4  A2 ( đối đỉnh)






mà A2 B2 (gt ) =>. A4 B2 ( vì cùng bằng A2 )
0


Ta có A2  A4 180 ( hai góc kề bù )

 B
 1800
B
2
3
( hai góc kề bù )


Mà A2 B2 ( gt )


=> A1 B3 ( cùng bù với hai góc bằng nhau)
b)
0


*) Ta có A2  A1 180 ( hai góc kề bù )

 B

 1800
B
2
3
( hai góc kề bù )


Mà A2 B2 ( gt )


=> A3 B3 ( cùng bù với hai góc bằng nhau)
0


*) Ta có A2  A1 180 ( hai góc kề bù )

 B
 1800
B
1
2
( hai góc kề bù )


Mà A2 B2 ( gt )


=> A1 B1 ( cùng bù với hai góc bằng nhau)



*) Ta có A2  A4 (Đối đỉnh)

2

b


 B

B
2
4 ( Đối đỉnh)




Mà A2 B2 ( gt )  A4 B4
c)
0


*)Vì A1  A2 180
0




mà A2 B2 ( gt ) => A1  B2 180
0





*) Ta có B3  B2 180 (kề bù) mà A4 B2 (c / mt )
0


=> A4  B3 180

Bài 19: Cho đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, tại hai điểm A và B tạo
thành cặp góc trong cùng phía bù nhau. chứng minh rằng
a) 2 góc so le trong ( trong mỗi cặp ) bằng nhau
b) 2 góc đồng vị ( trong mỗi cặp) bằng nhau
c) 2 góc trong cùng phía cịn lại bù nhau.

Giải
0




Giải sử ta có A4  B1 180 . Ta cần chứng minh hai góc so le trong A3 B1 ;
0




Hai góc đồng vị A1 B1 ; Hai góc trong cùng phí a A3  B2 180

a) 2 góc so le trong ( trong mỗi cặp ) bằng nhau

0
0






Ta có A4  B1 180 mà A4  A3 180 ( hai góc kề bù ) => A3 B1

b) 2 góc đồng vị ( trong mỗi cặp) bằng nhau


0
0






Ta có A4  B1 180 mà A1  A4 180 ( hai góc kề bù => A1 B1

c) 2 góc trong cùng phía cịn lại bù nhau.
0
0









Ta có A4  B1 180 mà A3 B1 (c/mt) và A1 B1 (c/mt) => A3  B2 180

§4. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG
Bài 20.
a) “Thế nào là hai đường thẳng song song?”
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng khơng có điểm
chung.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không cắt
nhau.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng không cắt
nhau, không trùng nhau.
Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng phân biệt
không cắt nhau.
b) Nếu hai đường thẳng a, b cắt đường thẳng c mà trong các góc tạo
thành có:
Hai góc so le trong bằng nhau.
Hai góc đồng vị bằng nhau.
Hai góc trong cùng phía bù nhau.
Thì a / /b
Bài 21.
Cách 1:
0
¶ ¶
Có B1  B2 180 (kề bù)
¶ 1800  B
¶ 1800  600 1200

B
2
1
Có:
¶ B
¶ 1200

A
1
2
 xy / / zt
mà hai góc này ở vị trÝ so le trong 
Cách 2:
0
¶ ¶
Có B1  B3 180 (kề bù)

¶ 1800  B
¶ 1800  600 1200
B
3
1
Có:

¶ B
ả 1200
A
1
3

xy / / zt
mà hai góc này ở vị trí đồng vị

x

A

z

60
120

B

y
t

m


Cách 3:
0
¶
¶
Có B4 B1 60 (2 góc đối đỉnh)

Có:

¶ B

¶ 1200  600 1800
A
1
4


  xy / / zt
mµ hai góc này ở vị trí trong cùng phía


Bài 22.

·
·
·
Cã DBC
DBA
 ABC
700  30 0 100 0

·
·
DBC
 BCA
1000  800 1800


  AC / / BD
mµ hai gãc này ở vị trí trong cùng phía
Bi 23.

ỏp ỏn: a) d) e) f) g) h) k)
Bài 24.
0
¶
¶
*) Có N1  N 4 180 (2 góc kề bù)
0
¶
¶
¶
Mà N1  N 4  M1 228 (gt)

¶ 2280  M
¶ 2280  1800 480
 1800  M
1
1
¶ M
¶ 480
 M
3
1
(2 góc đối đỉnh)
0
¶
¶
*) Có N1  N 4 180 (2 góc kề bù)

¶ 4 N
¶  4N

¶ N
¶ 1800  15 N
¶ 1800  N
¶ 1800 : 15 132 0
N
1
4
4
4
4
4
11
11
11
11
Mà
0
0
0
¶
¶
*) Có M3  N 4 48 132 180

Mà 2 góc này ở vị trí trong cùng phía nên a / /b (dấu hiệu nhận biết hai
đường thẳng song song)
Bài 25:

DE  AB  gt 

  DE / /AC


AB  AC BAC
90 

a) Ta có:
(quan hệ từ vng góc đến
song song)


b) Ta có DE // AC (cmt)  BDE BAC ( hai góc so le trong) (1)





1

BDx
 BDE

2
Lại có :
(Dx là tia phân giác BDE )
(2)
1

DAy
 BAC

2

(Ay là tia phân giác BAC ) (3)


Từ (1); (2); (3)  BDx DAy . Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị
nên Dx // Ay ( dấu hiệu)

Bài 26:


E



a) Ta có D1  FDG 180 (2 góc kề bù)

60°



 60  FDG
180  FDG
120
H

 D
  1 FDG

D
60D
2

3
FDG
2
Vì Dx là tia phân giác của
nên
3

Ta có :

1

60°
F

2


 60
HGD
D
3

Mà hai góc nằm ở vị trí so le trong nên HG // Dx

x

G




b) Ta có: D3 E 60 . Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị nên Dx // EF.
Bài 27:


Cách 1: vẽ BCA CAt 70


Cách 2: vẽ xAt ABC 50

Cách 3: vẽ


 70
BCA
yAt



Cách 4: vẽ BAt ABC 50


Cách 5 : vẽ BAt 130

Cách 6: vẽ CAt 110

M
A
N

Bài 28: Các cách phát biểu tiên đề Ơ- clit:

Qua một điểm ở ngồi một đường thẳng chỉ có
một đường thẳng song song với đường thẳng
đó.

m


Có duy nhất 1 đường thẳng đi qua một
điểm (nằm ngoài đường thẳng) song
song với đường thẳng đã cho.
Cho một điểm nằm ngồi một đường
thẳng.Đường thẳng đi qua điểm đó
song song với đường thẳng đã cho là
duy nhất.

C

M

A

Bài 30

B

N

K

Bài 29: Ta có A, M , N thẳng hàng. Vì

theo tiên đề Ơ clit qua một điểm ở
ngoài một đường thẳng chỉ có một đường thẳng song song với đường
thẳng đó, do
đó tia AM trùng với tia
z
AN
x

D

A

x'



MAC
ACK
 gt  . Mà
có
nằm ở vị trí so le trong
CB.(1)

Bài 30: Ta
hai góc này
nên MA //
70°

y
B

Lại
(2)

có:

y'
C

Bài 31

Từ (1) (2) suy ra M,A, N thẳng
hàng ( tiên đề Ơ clit)

AB  CK(gt)
 CK / /AN
AB  N(gt)



C

D

Bài 31: bổ sung thêm : Vẽ

CDx
' 70 . Chứng
minh D
thuộc tia đối của tia Ax.

A

I

B
E

Bài 32:

a) Ta có :
b) Ta có:

AB  CD
 CD / /EF
AB  EF





IDC
IFE
CD / /EF  cmt   


IEF
ICD
(2 góc so le trong)



Có : DIC EIF (2 góc đối đỉnh )

Bài 32

F


Bài 33:

a) Ta có:

AB  BC(gt)
 AB / /IB
  BC(gt)



(dấu hiệu)
A



 IAB
 AIC
180 ( hai góc trong cùng phía)

140°




 45  AIC
180  AIC
135

b) Ta có

CD  DE(gt)
 CD / /FE
FE  DE(gt)



Mà AB // IB (cm a)

x

B
130°

y

(dấu hiệu) (1)
C

(2)

bài 34

z

Từ (1) ; (2) suy ra AB // FE (t/c)



c) AB / /FE(cmt)  IFE IAB (hai góc so le trong)


Mà IAB 45  IFE=45

Bài 34: Ta có:

BC  Cz(gt)
 Cz / /By
BC  By(gt)



(dấu hiệu) (1)

Ta có:



CBy
 CBA
 yBA
360

 90  130  yBA 360


 yBA
140


 yBA BAx
140
Mà hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên By // Ax (2)
Từ (1); (2) suy ra Ax // By // Cz
B

A
45°
I
D

E

C

Bài 33

F


LUYỆN TẬP CHUNG
Bài 35:




Nếu xx '/ / yy' thì xAB  ABy ' (hai góc ở vị trí so le trong)
0


 2x  4 3x  21  x 25
và x ' AB  ABy ' 180 (hai góc trong
5
 4x  26  3x  21 1800  x 
7 (vơ lý)
cùng phía)
 xx ' khơng song song với yy '

Bài 36:
0


0
0
0
a) Vì tBy  yBA 180 (góc kề bù)  2x  7  3x  7 180  5x 180  x 36
0
0




Có BAy 4.36  29 115 và yBA 3.36  7 115  BAy  yBA mà hai góc so le
trong  Ax//By
b) Kẻ Ax’ là tia đối của tia Ax.
0

0


Có BAC 2.36  8 80 và ACz 5.36  15 165
0
0



Vì By//Ax’  yBA  BAx' 180  BAx' 65 (hai góc trong cùng phía)
0
0



Có BAx '  x'AC 80  x'AC 15
0
0
0
0


Có ACz  x ' AC 180 (vì 165  15 180 )  Ax’// Cz hay Ax//Cz
Bài 37:
0
0



Vì tMx '  x ' MN 180 (góc kề bù)  x ' MN 50

0


Có: x ' MN MNy 50 mà hai góc ở vị trí so le
trong


 xx’ // yy’ (dhnb)  xMN MNy ' (hai góc so
le trong)

xMN
 zMN

xMN

2
Vì Mz là tia phân giác của

MNy
' 
MNz '
MNy '

2
Vì Nz’ là tia phân giác của

t
M
x

z'

z
y

N

t'

x'
y'





Mà xMN MNy '  zMN MNz ' mà hai góc ở vị
trí so le trong
 Mz//Nz’
Bài 38:
0
0
0


a) Có: xAB  ABy 135  45 180 mà hai góc ở vị trí trong cùng phía  Ax//
By (dhnb)
0
0
0



Và yBC  BCz 55  125 180 mà hai góc ở vị trí trong cùng phía  By//Cz