16 bs bai toan rut gon

22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Ôn thi tuyển sinh vào 10

CHUN ĐỀ:

CÁC BÀI TỐN RÚT GỌN – ƠN THI VÀO 10

Thời lượng:

3 buổi = 9 tiết

Giáo viên:

Nguyễn Văn Tiến – Nguyễn Thị Quyên

Đơn vị:

Trường THCS Liêm Phong

---------------------------------------------------------------------

 CÁC CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI CĂN THỨC
1.

 A nÕu A 0
A2  A 
 A nÕu A < 0

2.

AB  A. B

(Với A 0; B 0 )

3.

A
A

B
B

(Với A 0; B  0 )

4.

A2 B  A

5.

A B  A2 B

6.

A B 

A2 B

(Với A  0; B 0 )

7.

A
1

B
B

AB

(Với A 0; B  0 )

8.

A
A B

B
B

(Với A 0; B 0 )

(Với B  0 )



C A B
C


A  B2
A B

9

C
C

A B

10
11

(Với B 0 )

B

 A
3

VNTEACH.COM

3





A B

A B

2
(Với A 0; A B )



(Với A 0; B 0; A B )

 3 A3  A

1


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Ôn thi tuyển sinh vào 10

 CÁCH TÌM ĐXĐ CỦA MỘT BIỂU THỨC TRONG BÀI TỐN RÚT
GỌN
BIỂU THỨC - ĐKXĐ:
1.
2.

A

A
B

ĐKXĐ: A 0

Ví dụ:

ĐKXĐ: B 0

3.

A
B

ĐKXĐ: B  0

4.

A
B

ĐKXĐ: A 0; B  0

5.

VÍ DỤ

A
B

ĐKXĐ:

  A 0

 B  0
  A 0

  B  0

ĐKXĐ:

x 2018

x4
Ví dụ: x  7

ĐKXĐ:

x 7

Ví dụ:

x 1
x 3

ĐKXĐ:

x 3

Ví dụ:

x

x 3

ĐKXĐ:

 x 0
 x 3

x  3

ĐKXĐ:

  x  1 0

 x  2  0   x   2
 x 1
  x  1 0


  x  2  0

Ví dụ:

x  2018

x 1
x 2

Cho a > 0 ta có:

x a

6. 2
x a  
 x   a
7.

Cho a > 0 ta có:
2

x a   a x a

VNTEACH.COM

2
Ví dụ: x

x a

 1  x   a

2
Ví dụ: x  4   2  x  2

2


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Ôn thi tuyển sinh vào 10

I. RÚT GỌN BIỂU THỨC SỐ
Bài 1: Rút gọn các biểu thức sau: (Biểu thức dưới dấu căn là một số thực dương)
M  45  245 

A  12  27 

80

48

N 5 8  50  2 18

P  125  4 45  3 20 

B 2 3  3 27 

C (2 3  5 27  4 12) : 3

300

80

Hướng dẫn giải
N 5 8  50  2 18

42.5

M  45  245 

5.2 2  5 2  2.3 2

 32.5  7 2 5  42.5
3 5  7 5  4 5 6 5

P 5 5  12 5  6 5  4 5
 5 5

10 2  5 2  6 2
(10  5  6) 2 9 2

A  12  27 

B 2 3  3 27 

48

2 3  3 3  4 3

300

2 3  3 32.3  102.3
2 3  3.3. 3  10 3

 3

C (2 3  5 27  4 12) : 3
(2 3  5.3 3  4.2 3) : 3
 5 3 : 3  5

 3

Nhận xét: Đây là một dạng tốn dễ. Học sinh có thể bấm máy tính để giải, đa phần
áp dụng kiến thức đưa thừa số ra ngồi dấu căn để giải tốn.

A2 B  A

Bài 2: Rút gọn các biểu thức sau: (Áp dụng trực tiếp hằng đẳng thức
2

a)  3  2 2    3  2 2 
2
2




3

2

1

2
d)

2

 5 2 62   5  2 62

b)
e)



5

2

2 



5  2

2

c)

2

f) 

B

( B 0 )

A2  A
2

3 
2

2  1 

)

1 


3

2  5

Giải mẫu:
a)

3 2 2

2



32 2

2

 3  2 2  3  2 2 3  2 2  3  2 2 6

Lưu ý: Điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

Kết quả:

b)  4 6

c) 1

 A nÕu A 0
A2  A 
 A nÕu A  0

d) 4

e) 2 5

f) 2 2  4

Bài 3: Rút gọn biểu thức ( Biểu thức dưới dấu căn đưa được về hằng đẳng thức)
VNTEACH.COM

3

2
2


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Ôn thi tuyển sinh vào 10

a) A  4  2 3

b) B  8  2 15

c) C  9  4 5

d) D  7  13  7  13

e) E  6  2 5  6  2 5

f)

F  7  2 10  20 

1
8
2

Hướng dẫn giải
a)

b)
c)

A  42 3 
B  8  2 15 





3 1



2

 3 1



15  1
2

2

C  9 4 5 

 2  5

D  7  13 

7  13 

 5 2

1
2

d)


1 

2





2

13  1 



 15  1



14  2 13  14  2 13



2
13  1   2




e) E  6  2 5  6  2 5  5  2 5  1  5  2 5  1
 ( 5  1) 2 

f)

( 5  1) 2 | 5  1|  | 5  1| 5  1 

F  7  2 10  20 

 5

1
8
2

2 2 5  2  5 



5

2



2

5  1 2

1
 2 5  .2 2
2

2  2 5  2 3 5

Bài 4: Rút gọn biểu thức: (áp dụng các kiến thức tổng hợp)
A

62 5
5 2 6

5 1
3 2

B

3
4
1


5 2
6 2
6 5

1
1
1
1

1


 ... 
D
 7 4 3
1 2
2 3
3 4
99  100
2 3
1
2
2
3 3 4
34
F


E

2 3
6 3 3
2 3 1
5 2 3

C

VNTEACH.COM

4


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Ôn thi tuyển sinh vào 10

Hướng dẫn giải
A

62 5
5 2 6
5 1
3



5 1
3 2
5 1
3

B

3
3
4
1




5 2
6 2
6 5

a)

b)



2
2
2

  4

5 2
3

6

2

4





6

5



 5  2  6  2  6  5 2 6
1
1
1
1
C


 ... 
1 2
2 3
3 4
99  100
c)





 

21 

D
d)



1
2 3

1
2

3

E

3

 

2 

 7 4 3 

2

3

3 3 4


2 3 1



4

1
2 3

2 3
2
(2  3)(2  3)

3

34

5 2 3

22  11 3

11



4 2 3

2

3


 2 3
3



2

3










2 3

 (2  3) 2

2 3
2
1

 

3 4



  2 3

3 4 52 3
52

1

2

2

2 
3 1 




3 1 





3 1 3 1 

2

3





3 1

 

  3 1  2  2  3 
3  3  1  2  3 

3 1  2  3

2

2 3 4
3

1

2 3

1
.( 2)  2
2
1
1
1

2
2 


F


2 3
3
2 3
6 3 3
f)


1
2



99 9

3 4 2 3 1

26  13 3
 2
13
42 3
1 



2
2



100 

 4 4 3 3 

e)





3  ... 



3 1 2  3

VNTEACH.COM





3





3 2





3 1 2  3

2. 3





3







3 1



3 1



3 1

5


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
2 3




  3

3 1

3  3  1

 3 

3 1
3

3
3

1 

Ôn thi tuyển sinh vào 10

3
3

Kinh nghiệm: Đơi khi một số bài tốn rút gọn căn thức sẽ thực hiện dễ dàng hơn nếu
chúng ta trục căn thức hoặc rút gọn được một hạng tử trong đề tốn. Nếu quy đồng
mẫu số thì việc thực hiện các phép tính rất phức tạp. Vì vậy trước khi làm bài toán rút
gọn, học sinh cần quan sát kỹ đề tốn từ đó có định hướng giải đúng đắn để lời giải
được ngắn gọn, chính xác.

Bài 5: Thu gọn các biểu thức sau: (Luyện dạng đề 01)
B = 27 - 6

a) A = 18 - 2 50 + 3 8
C =

c)

5
7+ 2

-

b)

1
3- 3

+
3
3

8- 2 7 + 2

Hướng dẫn giải
2
2
2
a) A = 18 - 2 50 + 3 8 = 3 .2 - 2 5 .2 + 3 2 .2 = 3 2 - 10 2 + 6 2 = - 2

1
3- 3
3
+
= 32.3 - 6.
+ 13
3
3

B = 27 - 6

b)

C =

5

c)

7+ 2

= 7-

2-

= 7-

2-

-

(
(

8- 2 7 + 2

)

=

)

5 7-

2

)(

7-

7+ 2

= 3 3 - 2 3 + 1-

)

2

-

3=1

7- 2 7 + 1 + 2

2

7- 1 + 2 = 7-

)

(

(

3

7- 1 + 2

= 1 ( Vì

2-

7- 1+ 2

7 >1 )

Bài 6: Thực hiện phép tính: (Luyện dạng đề 02)
1
48 - 2 75 a) 2
b)

6 +2 5 -

VNTEACH.COM

33
1
+5 1
3
11

6- 2 5 -

3

8

6

22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Ôn thi tuyển sinh vào 10

50a - 2 a 3 + 4 32a với a ³ 0

c) 5 2a -

Hướng dẫn giải

a)

1
48 - 2 75 2

33

1 1 2
+5 1 =
4 .3 - 2 52.3 3 2
11

3+5

b) 6 + 2 5 -

6- 2 5 -

(

)

(

2

5 +1 -

11

+5

4
3

22
10 3 - 17 3
=- 9 3+
=
3
3
3

= 2 3 - 10 3 -

=

3. 11

)

3

8 = 5+ 2 5 + 1-

2

5- 1 - 2 =

5 +1 -

= 5 +1=0

5 +1- 2 ( Vì 5 >1 )

c) 5 2a -

50a - 2 a 3 + 4 32a = 5 2a -

5- 2 5 + 1 -

3

23

5- 1- 2

52.2a - 2 a 2 .a + 4 42.2a

= 5 2a - 5 2a - 2 a a +16 2a =- 2a a +16 2a
( Vì a ³ 0 )

Bài tập tự luyện
Tính giá trị ca biu thc:
ổ
1
A =ỗ
28 ỗ
ỗ
ố2

B=

(

)

ử
7ữ
ữ
ữ 7 + 2 21
ứ

12 -

2

3 +1 + 2

(

2
ổ 1
3 - 2 - 4ỗ
ỗ
ỗ
ố 3- 1

)

C = 18 - 3 8 + 6 2
D=
E=

F = ( 24 -

6
+
3- 3

48 -

VNTEACH.COM

1 ư
÷

÷
÷
3 +1ø

ĐS: 4
ĐS: 3 2

2
9 16
25 + 144
5
2 81
4
3 +1

ĐS: 0

(

ĐS: 12

)

3- 5

2

6). 6 +12 2

ĐS: 3 3 + 6

ĐS: 6
7


22

Chuyờn : Rỳt gn biu thc

ổ1
G =ỗ
ỗ
ỗ
ỗ
ố 5

ử
16
ữ
+ 5ữ
: 20
ữ
ữ
5
ứ

H = 21 + 3 48 -

1
ĐS: 5

21- 3 48

Hướng dẫn ý H :

Ôn thi tuyển sinh vào 10

ĐS: 6

(

21 ± 3 48 =

)

2 3±3

2

II. RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CHỮ VÀ BÀI TỐN PHỤ
 Rút gọn.
Bước 1:

Tìm điều kiện xác định.

Bước 2:

Tìm mẫu thức chung, quy đồng mẫu thức, rút gọn tử, phân
tích tử thành nhân tử.

Bước 3:

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung của tử và mẫu.

Bước 4:

Khi nào phân thức tối giản thì ta hồn thành việc rút gọn.

Bài 1: Cho biểu thức

Q=

x + 2 x - 10
x- x - 6

x- 2
x- 3

1
( x ³ 0; x ¹ 9)
x +2

1. Rút gọn biểu thức Q
2. Tính giá trị của Q khi x = 16
1
Q=
3
3. Tìm giá trị của x khi
Q>

4. Tìm giá trị của x sao cho

5. Tìm giá trị lớn nhất của Q .

1
9
Hướng dẫn giải

1. Với x ³ 0; x ¹ 9 thì
VNTEACH.COM

8


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
Q=
=
=

=

=
=

x + 2 x - 10
x- 3 x +2 x - 6
x

(

(

x- 2
x- 3

x + 2 x - 10

)

x - 3 +2

(

x + 2 x - 10

)(

x- 3

x +2

x + 2 x - 10 -

(

)

x- 3

)

(

x- 2
x- 3

-

x- 2

)(

x- 3

(

)(

x- 3

x +2

x- 3

)(

x- 3

x +2

)

)

1
x +2

1
x +2

) (

)

x +2 -

x +2

x + 2 x - 10 - x + 4 -

(

)(

1
x +2

x- 2
x- 3

-

Ôn thi tuyển sinh vào 10

)

x- 3

x +3

1
x +2

=

Q=

1
x +2

Vậy với x ³ 0; x ¹ 9 thì
2. Thay x = 16 ( thỏa mãn x ³ 0; x ¹ 9 ) vào Q ta được:
1
1
1
Q=
=
=
16 + 2 4 + 2 6
Q=

1
6

Vậy khi x = 16 thì
1
1
1
Q= Û
= Û 3 = x +2 Û
3
x +2 3
3.
Vậy với x = 1 thì

Q=

x =1 Û x =1

( thỏa mãn x ³ 0; x ¹ 9 )

1
3

9- x - 2
7- x
1
1
1
1

1
Q> Û
> Û
- >0 Û
>0 Û
> 0 ( 1)
9
9
9
x
+
2
x
+
2
x
+
2
x
+
2
4.
Vì x ³ 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 9 nên x + 2 > 0 vi mi x 0; x ạ 9
ị ( 1) Û 7 -

x >0 Û

x < 7 Û x < 49

Kết hợp với điều kiện x ³ 0; x ¹ 9 nên

VNTEACH.COM

ìïï 0 £ x < 49
í
ïïỵ x ¹ 9
9


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Vậy với

ïìï 0 £ x < 49
ớ
ùùợ x ạ 9

thỡ

Q>

1
9

x 0 vi mi x ³ 0; x ¹ 9 nên
1
1
£
x + 2 2 với mọi x ³ 0; x ¹ 9

x + 2 ³ 2 vi mi x 0; x ạ 9

5. Vỡ
ị

ễn thi tuyển sinh vào 10

1
Vậy Q đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi x = 0 ( thỏa mãn x ³ 0; x ¹ 9 )

Bài 2: Cho biểu thức

P





3 x 2 2 x  3 3 3 x  5


x 1 3  x x  2 x  3 .

a) Rút gọn P;
b) Tìm giá trị của P, biết x 4  2 3 ;
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: x 0; x 9 .

P

3 x 2 2 x  3


x 1
x 3

a)









3



x 2



3 3 x 5





x 1



x 3



 
  x 1  3  3
 x 1  x  3

x 3  2 x 3

x 5



3x  9 x  2 x  6  2 x  2 x  3 x  3  9 x  15





x 1

x 3



5 x  17 x  6





x 1

x 3



5 x  15 x  2 x  6





x 1

VNTEACH.COM

x 3


10

22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức



5



x  1 
x 2

b) Ta có

x 3

P 5 

x 2
x 1






5

P

c) Ta có



 5



.

2

x 4  2 3  3  1 

P
Do đó:

x 3


3  1  1

3 1  2


Ôn thi tuyển sinh vào 10

x  3 1








;




5 3 3 5 3 3 2  3

7 3  9
3 2
3 2 2 3

.

5 x  2 5 x 5 7

x 1
x 1

7
x 1 .

Vì

7
0


x 1
nên P có giá trị nhỏ nhất



x  1 nhỏ nhất  x 0 .

7
x  1 lớn nhất

Khi đó min P 5  7  2 .

 x 1 2 x
5 x 2 3 x  x
Q 


:
4  x  x  4 x  4
x 2
x 2

Bài 3: Cho biểu thức
a) Rút gọn Q;
b) Tìm x để Q 2 ;
c) Tìm các giá trị của x để Q có giá trị âm.
Hướng dẫn giải
ĐKXĐ: x  0; x 4; x 9 .

a)

 x 1 2 x
5 x 2 3 x  x
Q 


:
4  x  x  4 x  4
x 2
 x 2

VNTEACH.COM

11


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức











x 1



x 2





 

x  2  5 x 2
x 2



x 2



 x 2 x



x 2







x 2

x 2
x 2







x 2



x 2
.

.





x 2





x 3



x 2



x 3

.



x 2



x 3



2

x



2

x



 : x 3 x 
 x  2
2



x  3 x  2  2x  4 x  5 x  2

 x




x 2  2 x

Ôn thi tuyển sinh vào 10



2

x





x 2
x 3

x 2
2
x 3

Q 2  
b)

x  2 2 x  6



  x  8 

Q0
c)


x 8  x 64 .(Thỏa mãn ĐKXĐ).

x 2
0
x 3

x  3  0 (vì

x 2 0 )

x 3  x 9.

Kết hợp với điều kiện xác định ta có

Bài 4: Cho biểu thức

B

a

a 3

Q  0 khi 0  x  9 và x 4 .

3
a 2

a  3 a  9 với a 0; a 9

a) Rút gọn B.
b) Tìm các số nguyên a để B nhận giá trị nguyên
Hướng dẫn giải

a)

Với a 0; a 9 ta có:

VNTEACH.COM

12


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
a

a 3

B

a
3
a 2


a 3 a  9 = a  3

3
a 2

a  3 ( a  3)( a  3)



a ( a  3)
3( a  3)
a 2


( a  3)( a  3) ( a  3)( a  3) ( a  3)( a  3)



a 3 a  3 a 9  a  2
11

a 9
a  3)( a  3)

b) Để
Ư

BZ 

11
 Z  11( a  9)  (a  9) 
a 9
Ư (11)

(11)  1;11;  1;  11

Vậy

Ơn thi tuyển sinh vào 10

. Khi đó ta có bảng giá trị

a 9

-11

-1

1

11

a

-2

8

10

20

Không thoả mãn

Thoả mãn

Thoả mãn

Thoả mãn

a   8;10; 20

thì B  Z

Bài 5: Cho biểu thức

A

x 2 x
x 1
1 2x  2 x


x x  1 x x x x
x 2  x ( Với x  0, x 1 )

a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để biểu thức A nhận giá trị là số nguyên.
Hướng dẫn giải
A
a)

x 2
.
x  x 1

b) Cách 1: Với x  0, x 1  x  x  1  x  1  1.
x 2
x 2

1
0 A

1 
 2.
x  x 1
x 1
x 1
Vậy


x 2
1  x 1
x  x 1
( Khơng thỏa mãn).

Vì A ngun nên A = 1
Vậy khơng có giá trị ngun nào của x để giả trị A là một số nguyên.
Cách 2: Dùng miền giá trị

VNTEACH.COM

13


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
A=

Ôn thi tuyển sinh vào 10

x +2

Û Ax+(A - 1) x + A - 2 = 0
x + x +1
Trường hợp 1: A 0  x  2  x  
A 0   (A  1) 2  4 A( A  2)  3 A2  6 A  1 0  A2  2 A 

Trường hợp 2:

1
0
3

4
4
 A2  2 A  1   (A  1) 2   A   1; 2 doA  Z , A  0
3
3
Với A = 1 => x = 1 ( loại)


Với A = 2

x 2
2  x 0
x  x 1
( loại).

Bài 6: Cho biểu thức

P=

x- 3
x- 2
9- x
+
2 - x 3 + x x + x - 6 với x ³ 0; x ¹ 4

a) Rút gọn P
b) Tìm x để
c) Tìm x để

P=

7
12

P>

1
2

1
d) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.
e) Tìm tất cả các giá trị hữu tỷ của của x để P nhận giá trị nguyên.
Hướng dẫn giải

a) Với x ³ 0; x ¹ 4 thì

=

=

x- 3
2-

x

x- 3
2-

=-

x

+

+

x- 3
x- 2

x- 2
3+ x
x- 2
3+ x

+

VNTEACH.COM

-

x

-

x- 2
3+ x

P=

x
-

(

(
(

x- 3
x- 2
9- x
+
2 - x 3 + x x +3 x - 2 x - 6
9- x

) (

)

x +3 - 2 x +3
9- x

) (

)

x +3 - 2 x +3
9- x

)(

x +3

)

x- 2

14


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

=

=

-

(

)(
(

) ( x - 2)
x + 3)( x - 2)

x- 3

9- x +

(

(

x +3 +

)

)(

)

x- 2

Vậy với x ³ 0; x ¹ 4 thì

P=
b)

=

P=

- 9+ x

(

2

x - 2 - 9+ x

x +3

2

(

Ôn thi tuyển sinh vào 10

)

x- 2

)(

x +3

2

)

x- 2

x- 2

=

x +3

x- 2
x +3

x- 2
7
= Û 12 x - 24 = 7 x + 21 Û 5 x = 45
x + 3 12

7
Û
12

x = 9 Û x = 81 ( thỏa mãn x ³ 0; x ¹ 4 )
7
P=
12
Vậy với x = 81 thì

Û

P>
c)
Vì

x- 2 1
> Û
x +3 2

1
Û
2

x- 2 1
2 x - 4- x - 3
- >0 Û
>0
Û
x +3 2
2 x +3

(

x ³ 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 4 nên

Nên (3) Û

x - 7 >0 Û

)

x- 7
>0
x +3
(3)

x + 3 > 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 4

x > 7 Û x > 49

Kết hợp với điều kiện x ³ 0; x ¹ 4 .
1
P>
2
Vậy x > 49 thì
1
x +3
x - 2 +5
5
=
=
=1 +
x- 2
x- 2
x- 2
d) Ta có P
5
1
5M x - 2

Û x - 2 là Ư (5) = { ±1; ±5}
P nguyên Û x - 2 nguyên Û
Lập bảng:

(

x- 2
x
x
VNTEACH.COM

)

-1

1

-5

5

1

3

-3

7

1

Thỏa mãn

9
Thỏa mãn

Loại

49
Thỏa mãn
15


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Ôn thi tuyển sinh vào 10

1
x Ỵ {1;9;49}
Vậy
thì P ngun.
P=
e) Ta có

Vì

x- 2
x +3- 2
=

= 1x +3
x +3

2
x +3

2
x + 3 > 0 nên P <1 với mọi x ³ 0; x ¹ 4
x +3 ³ 3 Þ

Mà

2
2
£ Þ x +3 3

2
2
³ - Þ 13
x +3

2
2 1
³ 1- =
3 3
x +3

1
£ P <1
Do đó 3

. Vậy khơng có giá trị hữu tỷ nào của x để P nguyên.
1   x  1 1 x 

P  1 


 :
x  
x
x  x 

Bài 7: Cho biểu thức
, (với x  0 và x 1 ).
a) Rút gọn biểu thức P .
b) Tính giá trị của biểu thức P tại x  2022  4 2018 

2022  4 2018 .

Hướng dẫn giải
1
a) Ta có

Và

1
x1

x
x

x  1 1  x x  1 1 x



x
x x
x 1 x



b) Có x  2022  4 2018 
 2018  2 







x  1
x1

x

2022  4 2018 

2018  2  2018  2 





x1
x 1

P
nên

2018  2

2018  2 4

+ Vậy giá trị của biểu thức P tại x 4 là:

VNTEACH.COM

x



2





x  1 x 1
x 1
.


x
x1
x .
2018  2



2

thỏa mãn điều kiện x  0 và x 1 .

4 1 3

2.
4

16


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
A

Bài 8: Cho hai biểu thức

Ôn thi tuyển sinh vào 10

x 2
3

20  2 x
B

x  25 với x 0, x 25 .
x  5 và
x 5

a) Tính giá trị biểu thức A khi x 9 .

1
x 5.

B
b) Chứng minh rằng

A B. x  4
c) Tìm tất cả các giá trị của x để
.
Hướng dẫn giải

a) Tính giá trị biểu thức A khi x 9 .

Khi x 9 ta có

9  2 32
5


2
9  5 3 5

A

1
x 5.

B
b) Chứng minh rằng
B

Với x 0, x 25 thì

3






x  5  20  2 x



x 5



x 5





3
3
20  2 x 


x

5
x  15
x 5
3 x  15  20  2 x



x 5

c) Tìm tất cả các giá trị của để



x 5



A B. x  4



20  2 x



x 5



x 5



x 5



x 5



1
x 5  x 5
(đpcm)



.

A B. x  4

Với x 0, x 25 Ta có:


x 2
1

. x 4

x 5
x 5

x 2 x 4

Nếu x 4, x 25 thì (*) trở thành :
 x

Do

x  6 0 

x  2  0 nên

VNTEACH.COM



x 3



(*)

x  2 x  4



x  2 0

x 3  x 9 (thỏa mãn)
17


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
Nếu 0  x  4 thì (*) trở thành :
 x  x  2 0 
x  2  0 nên

Do





Ôn thi tuyển sinh vào 10

x  2 4  x



x1

x  2 0

x 1  x 1 (thỏa mãn)

Vậy có hai giá trị x 1 và x 9 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 9: Cho biểu thức

B=

2 ( x + 4)
x- 3 x - 4

+

x
x +1

8
x - 4 với x ³ 0; x ¹ 16

a) Rút gọn B.
b) Tìm giá trị của x để B = 1
3
c) Tính giá trị của x sao cho B khơng vượt q 2
d) Tìm giá trị của B khi x thỏa mãn đẳng thức 2 x - 1 = x
e) Tìm x để giá trị của B là một số nguyên.

Hướng dẫn giải
a) Với

=

=

x

x ³ 0; x ¹ 16 thì

(

)

x +1 - 4

2x +8 + x

(
3 x

=

2 ( x + 4)

(

(

x- 4

xx- 4

)

x +1

2 ( x + 4)
x+ x- 4 x - 4

+

) (
4)( x +1)
x- 4 - 8

x
x +1

x
x +1

+

8
=
x- 4

(

8
x- 4

2 ( x + 4)
x- 4

) = 2 x +8 + x - 4
( x - 4)(

x +1

)(

)

x +1

x- 8 x- 8

)

x +1

x
x +1

+

=

(

8
x- 4

3 x - 12 x
x- 4

)(

)

x +1

)

3 x
3 x
=
B
=
x +1)
x +1 Vậy với x ³ 0; x ¹ 16 thì
x +1

)(

B =1 Û
b)

(

(

B=

3 x
= 1 Û 3 x = x +1 Û 2 x = 1 Û
x +1

x=

1
1
Û x=
2
4

1
x=
x
³
0;
x
¹
16
4 thì B = 1
( thỏa mãn
). Vậy

VNTEACH.COM

18


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức
3 Û B£ 3 Û
2
c) B không vượt quá 2
Û

6 x- 3 x- 3
2

(

)

x +1

£0Û

3 x- 3
2

(

)

x +1

Ôn thi tuyển sinh vào 10

3 x
3
£
x +1 2 Û

3 x
3
- £0
x +1 2

x- 1
£0
x +1
(*)
x +1 > 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 16

£0

Û

x ³ 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 16 nên
Suy ra (*) Û x - 1 £ 0 Û x £ 1 Û x £ 1
Kết hợp với điều kiện x ³ 0; x ¹ 16
Vì

3
Vậy 0 £ x £ 1 thì B khơng vượt q 2
d) Ta có 2 x - 1 = x ( x ³ 0; x ¹ 16 )
2

Û 2 x - 1 = x 2 Û x 2 - 2 x +1 = 0 Û ( x - 1) = 0 Û x = 1
( tha món x 0; x ạ 16 )
ị B=

3 1
3
=
1 +1 2 Vậy

B=

3
2

2 x - 1 = x thì
3 x
3 x +3- 3
3
3
B=
=
= 3<3
>0
x

+
1
x
+
1
x
+
1
x
+
1
e)
( vì
với x ³ 0; x ¹ 16 )
Vì x ³ 0 với mọi x ³ 0; x ¹ 16 nên x +1 ³ 1 với mi x 0; x ạ 16
3
3
- 3 ị 3³ 0
x +1
x +1
B Ỵ { 0;1;2}
Suy ra 0 £ B < 3 M B ẻ Z nờn
ị

3
Ê 3ị x +1

B =0 Û

3 x

=0 Û x =0
x +3
( thỏa mãn)

B =1 Û

3 x
=1 Û 3 x = x + 3 Û
x +3

B =2 Û

3 x
= 2 Û 3 x = 2 x +6 Û
x +3

TH1:
TH2:
TH3:

x=

3
9
Û x=
2
4 ( thỏa mãn)

x = 6 Û x = 36
( thỏa mãn)

ìï 9 ü
x Ỵ ớ 0; ;36ùý
ùù thỡ B ẻ Z
ợùù 4 ỵ
Vy

VNTEACH.COM

19


22

Chuyên đề: Rút gọn biểu thức

Ôn thi tuyển sinh vào 10

ỉx + 2 x - 2
x- 1
1 ư
÷
÷
P = 1: ç
+
ç
÷
ç
÷
ç x x +1

x - x +1
x +1ø
è
Bài 10: Cho biểu thức
với x > 0
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P biết x = 7 - 4 3
c) Tìm x để P = 2 x - 1
d) Tìm m để có giá trị x thoả mãn P = m
e) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Hướng dẫn giải

ỉx + 2 x - 2
x- 1
1 ử
ữ
ữ
P = 1: ỗ
+
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
x
x
+
1
x
x

+
1
x
+
1
ố
ứ
a) Với x ³ 0 thì
é
ù
x- 1
1 ú
ê x +2 x - 2
= 1: ê
+
ú
ê x +1 x - x +1 x - x +1
x +1ú
ê
ú
ë
û

(

=

=

)(

(

)

)(

)

x +1 x -

x +1

x + 2 x - 2 - x +1 + x -

(

)(
x(

x +1 x -

b) Với

)

x +1

Vậy với x > 0 thì

) = x-

x +1

P=

x-

x +1

=

(

)(

x +1 x x+ x

x +1
x

x +1
x

(

x = 7 - 4 3 = 4 - 2.2. 3 + 3 = 2 -

VNTEACH.COM

)

x +1

3

)

2

thỏa mãn điều kiện x > 0
20