22 2 2 a bài giảng tự luận hàm số bậc nhất đáp án chi tiết

Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

HÀM SỐ BẬC NHẤT
A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT CHUNG
1. Định nghĩa: Hàm số bậc nhất là hàm số có dạng y = ax + b (a ¹ 0) .
2. Sự biến thiên
· TXĐ: D = ¡
· Hàm số đồng biến khi a  0 và nghịch biến khi a  0
Bảng biến thiên
x
y = ax + b
(a > 0 )

- ¥

+¥
+¥

- ¥

x
y = ax + b
(a < 0 )

- ¥
+¥

+¥

- ¥

3. Đồ thị
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ¹ 0) là một đường thẳng khơng song song v khụng trựng vi cỏc
ổb ử
Aỗ
- ;0ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
a ứ
y
=
ax
trc ta . Đường thẳng này luôn song song với
nếu b 0 và cắt trục hoành tại
và trục
tung tại

B  0; b 

.

4. Hàm số hằng y b
· TXĐ: D = ¡
· Hàm số hằng là hàm số chẵn.
· Đồ thị của hàm số là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hồnh và cắt trục tung tại điểm có
tọa độ

 0;b  .

yx
5. Hàm số
· TXĐ: D = ¡
·

Hàm số

yx

là hàm số chẵn.

· Hàm số số đồng biến trên khoảng  0;   và nghịch biến trên khoảng   ;0  .
6. Chú ý:
· Phương trình x = a cũng là một đường thẳng(nhưng không phải là một hàm số) vng góc với trục tọa
độ và cắt tại điểm có hồnh độ bằng a.
· Cho đường thẳng d có hệ số góc k , d đi qua điểm M ( x0;y0 ) , khi đó phương trình của đường thẳng d
y - y0 = a ( x - x0 )
là:
.
B – BÀI TẬP
Dạng tốn 1. Tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương pháp:
+ Hàm số y = ax + b (a ¹ 0) đồng biến khi a  0 và nghịch biến khi a  0
+ Hàm số

y  ax  b

Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-1-


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

b

khi x 
ax  b
a
y  ax  b 
  ax  b  khi x   b

a nghịch biến trên khoảng

b

 b

  ;  
  ;  
a  và đồng biến trên khoảng  a


Giá trị nào
Lưu ý

Câu 1.

y  m  1 x  m  2
của k thì hàm số
nghịch biến trên tập
xác định?
Lời giải tham khảo
Hàm số nghịch biến trên tập xác định khi m  1  0  m  1 .
1.2. Với những giá trị nào của m thì hàm số
y  m  1 x  2m  3
1.1. Cho hàm số
. Tìm m để
y  m  1 x  2
đồng biến trên  ?
hàm sốđồng biến, nghịch biến, không đổi trên  ?
Lời giải
Lời giải
+ Điều kiện để hàm số đồng biến:
y  m  1 x  2
Hàm số
đồng biến
m  1  0  m 1
 m 1  0  m   1 .
+ Điều kiện để hàm số nghịch biến:
m  1  0  m 1
+ Điều kiện để hàm số không đổi biến:
m  1 0  m 1
y  m  2  x  1
f  x   m 2  1 x  4

1.3. Cho hàm số
. Với những giá trị
1.4. Cho hai hàm số
và

nào của m thì hàm số đồng biến trên ? Nghịch
g  x  mx  2
, với m 0 . Chứng minh rằng:

biến trên ?
f  x , f  x  g  x , f  x  g  x
Lời giải
a. Các hàm số
là
các hàm đồng biếntrên  .
y  m  2  x  1
Hàm số
đồng biến trên
g  x  f  x
b. Hàm số
là hàm nghịch biếntrên  .
  m 2 0 m 2.
Lời giải
y  m  2  x  1
Hàm số
nghịch biến trên
a.Ta lần lượt xét:
  m 20 m2.
2
f  x

 Hàm số
có hệ số a m  1  0 do đó nó là
hàm đồng biến.
 Hàm số:
f  x   g  x   m 2  1 x  4  mx  2
 m 2  m  1 x  2
2

1 3

a m 2  m  1  m     0
2 4

có hệ số:

do đó, nó là hàm đồng biến.
 Hàm số:
f  x   g  x   m 2  1 x  4   mx  2 
 m 2  m  1 x  6
Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-2-


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT
2

1 3


a m 2  m  1  m     0
2 4

có hệ số:

do đó, nó là hàm đồng biến.
b. Hàm số:
g  x   f  x  mx  2    m 2  1 x  4
  m 2  m  1 x  6
2

1  3
a   m  m  1    m      0
2  4 
 
2

có hệ số:
do đó, nó là hàm nghịch biến.

y x 1
Câu 2. Lập bảng biến thiên của hàm số
.
Lời giải tham khảo
ìï x - 1 khi x ³ 1
y = x - 1 = ïí
ïï 1 - x khi x < 1
ỵ
Ta có

Bảng biến thiên
x
- ¥
1
+¥
y

Lưu ý

+¥
+¥

0

y   2x  6
2.1. Lập bảng biến thiên của hàm số
.
Lời giải
ìï - 2x + 6 khi x ³ 3
y = - 2x + 6 = ïí
ïï 2x - 6 khi x < 3
ỵ
Ta có
Bảng biến thiên
x
+¥
- ¥
3

+¥

2.2. Lập bảng biến thiên của hàm số
ìï - x + 3 khi x ³ 2
ïï
y = ïí x - 1 khi - 2 < x < 2
ïï
ïïỵ - 3x - 9 khi x £ - 2
.
Lời giải
Bảng biến thiên
x
- ¥

+¥

y

- 2

Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

3

- 3

Dạng toán 2. Xác định hàm số bậc nhất.
Phương pháp:
Để xác định hàm số bậc nhất ta là như sau:

Trang-3-

+¥

+¥
y

0

2

- ¥


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

Gọi hàm số cần tìm là y ax  b, a 0 . Căn cứ theo giả thiết bài toán để thiết lập và giải hệ phương
a,b
trình với ẩn
, từ đó suy ra hàm số cần tìm.
Lưu ý
Câu 1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó
biết: d đi qua A(1;3), B(2;- 1) .
Lời giải tham khảo
y = ax + b,a ¹ 0
Gọi hàm số cần tìm là
.
Vì A Ỵ d và B Ỵ d nên ta có hệ phương trình

ïìï 3 = a + b
Û
í
ïï - 1 = 2a + b
ỵ

ïìï a = - 4
í
ïï b = 7
ỵ
.
Vậy hàm số cần tìm là y = - 4x + 7 .
1.1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng
d . Tìm hàm số đó biết: d đi qua C (1;1), D(3;- 2) .
Lời giải

y = ax + b,a ¹ 0
Gọi hàm số cần tìm là
.
Vì C Ỵ d và D Ỵ d nên ta có hệ phương trình
ìï 1 = a + b
ïí
Û
ïï - 2 = 3a + b
ỵ

ìï
ïï a = - 3
ï
2

í
ïï
5
ïï b =
ỵ
2 .

1.2. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d .
2
E (0;2), F( ;0)
5 .
Tìm hàm số đó biết: d đi qua
Lời giải
y = ax + b,a ¹ 0
Gọi hàm số cần tìm là
.
Vì E Ỵ d và F Ỵ d nên ta có hệ phương trình
ìï 2 = 0.a + b
ïï
Û
í
ïï 0 = 2a + b
ïỵ
5

ïì a = - 5
íï
ïï b = 2
ỵ

3
5
y=- x+
2
2.
Vậy hàm số cần tìm là
1.3. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng
d . Tìm hàm số đó biết: d đi qua G (1;3), H(3;1) .

.
Vậy hàm số cần tìm là y = - 5x + 2 .

Lời giải

Lời giải

y = ax + b,a ¹ 0
Gọi hàm số cần tìm là
.
Vì G Ỵ d và H Ỵ d nên ta có hệ phương trình
ìï 3 = a + b
ïí
Û
ïï 1 = 3a + b
ỵ

ìï a = - 1
ïí
ïï b = 4
ỵ

.
Vậy hàm số cần tìm là y = - x + 4 .

1.4. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d .
Tìm hàm số đó biết: d đi qua I (12;- 3), K(8;- 3) .

y = ax + b,a ¹ 0
Gọi hàm số cần tìm là
.
Vì I Ỵ d và K Ỵ d nên ta có hệ phương trình
ìï - 3 = 12a + b
ïí
Û
ïï - 3 = 8a + b
ỵ

ìï a = 0
ïí
ïï b = - 3
ỵ
.
Vậy hàm số cần tìm là y = - 3 .

Câu 2. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó
biết: d đi qua A(3;- 2) và song song với D : 3x - 2y + 1 = 0.
Lời giải tham khảo
y = ax + b,a ¹ 0
Gọi hàm số cần tìm là
.

Lưu ý
Cho hai đường thẳng:
d1 : y = a1x + b1

d2 : y = a2x + b2.
d
d
Khi đó: 1 và 2 song songnhau
ìï a = a2
ùớ 1
;
ùù b1 ạ b2
ợ

Luyn mói thnh ti, miệt mài tất giỏi

Trang-4-


Tốn tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

ìï
ïï a = 3
ï
2
í
ïï
3

1
1
D :y = x+
ï b¹
2 (1)
2
2 . Vì d / / D nờn ùợ
Ta cú
Mt khỏc A ẻ d ị - 2 = 3a + b (2).
ìï
ïï a =
ï
í
ïï
ïb=Từ (1) và (2) suy ra ïỵ

3
2
13
2.

3
13
x2
2.
Vậy hàm số cần tìm là
2.1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường
thẳng d . Tìm hàm số đó biết: d đi qua B (1;1) và
song song với Ox .
y=

Lời giải
Gọi hàm số cần tìm là

y = ax + b,a ¹ 0

.

2.2. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d .
Tìm hàm số đó biết: d đi qua C (- 1;- 1) và song song
với Ox .
Lời giải
Gọi hàm số cần tìm là

y = ax + b,a ¹ 0

.

ìï a = 0
ïìï a = 0
ïí
í
Ox : y = 0
d / /Ox
ùù b ạ 0
ù bạ 0
Ta cú
. Vỡ
nờn ợ
(1) Ta có Ox : y = 0. Vì d / /Ox nờn ùợ

(1)
Mt khỏc B ẻ d ị 1 = a + b (2)
Mt khỏc C ẻ d ị - 1 = - a + b (2)
ìï a = 0
ïìï a = 0
ïí
í
ïï b = 1
ïb=- 1
Từ (1) và (2) suy ra ỵ
Từ (1) và (2) suy ra ïỵ
Vậy hàm số cần tìm là y = 1.
Vậy hàm số cần tìm là y = - 1.
2.3. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường
thẳng d . Tìm hàm số đó biết: d đi qua D(2;- 2)

2.4. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d .
Tìm hàm số đó biết: d đi qua E (- 1;- 5) và song song

và song song với D : x - y + 1 = 0 .
Lời giải
y = ax + b,a ¹ 0
Gọi hàm số cần tìm là .
ìï a = 1
ïí
ïb¹ 1
Ta có D : y = x + 1. Vì d / / D nên ïỵ
(1).
Mặt khỏc D ẻ d ị - 2 = 2a + b (2).

với D : 2x - y - 3 = 0.
Lời giải
y = ax + b,a ¹ 0
Gọi hàm số cần tìm là
ìï a = 2
ïí
ïb¹ - 3
Ta có D : y = 2x - 3. Vì d / / D nờn ùợ
(1).
Mt khỏc E ẻ d ị - 5 = - a + b (2).

ïìï a = 1
í
ïb=- 4
Từ (1) và (2) suy ra ïỵ
.
Vậy hàm số cần tìm là y = x - 4 .

ìï a = 2
ïí
ïb=- 3
Từ (1) và (2) suy ra ïỵ
Vậy hàm số cần tìm là y = 2x - 3 .

Câu 3. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó

A ( 2;- 1) d ^ d '
biết: d đi qua
và
với d ' : y = 4x + 3.

Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-5-

Lưu ý
Cho hai đường thẳng:
d1 : y = a1x + b1


Tốn tự luận

Gọi hàm số cần tìm là .

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

d2 : y = a2x + b2.

Lời giải tham khảo
y = ax + b,a ¹ 0

Khi đó:

A ( 2;- 1)
Đường thẳng d đi qua
nên - 1 = 2a + b (1).
Và

d ^ d ' Þ 4.a = - 1 Û a = -

nhau

d1 và d2 vng góc

Û a1.a2 = - 1.

1
1
b=4 thay vào (*) ta được
2.

1
1
x4
2.
Vậy hàm số cần tìm là
3.1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d
y=-

. Tìm hàm số đó biết: d , đi qua
với d ' : y = - x + 3.

B ( 1;- 1)

và d ^ d '

3.2. Tìm hàm số bậc nhất biết đồ thị của hàm số đó là

C ( - 1;- 5) d ^ d '
1 đường thẳng d đi qua
và

với
d ' : y = 2x - 3 .
Lời giải

Lời giải

y = ax + b,a ¹ 0
.
B ( 1;- 1)
Đường thẳng d đi qua
nên:
- 1 = a + b (1)

Gọi hàm số cần tìm là

Gọi hàm số cần tìm là

y = ax + b,a ¹ 0

.

C ( - 1;- 5)
Đường thẳng d đi qua
nên:
- 5 = - a + b (1)

Và d ^ d ' Þ - 1.a = - 1 Û a = 1 thay vào (1) ta
được b = - 2 .
Vậy hàm số cần tìm là y = x - 2.

Và

d ^ d ' Þ 2.a = - 1 Û a = -

được

b=-

1
2 thay vào (1) ta

11
2.

Vậy hàm số cần tìm là
Câu 4. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d . Tìm hàm số đó
A - 1;1)
biết rằng d đi qua điểm (
và có hệ số góc bằng - 3 .

y=-

1
11
x2
2.
Lưu ý

Lời giải tham khảo
y = ax + b,a ¹ 0

Gọi hàm số cần tìm là
.
Đường thẳng d có hệ số góc bằng  3  a  3 .

A ( 2;- 1)
Đường thẳng d đi qua
nên - 1 = 2a + b mà a  3 nên:
- 1 = 2a + b Þ - 1 = 2.( - 3) + b Þ b = 5

.

Vậy hàm số cần tìm là y = - 3x + 5 .
4.1. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d.
B 1;- 3)
Tìm hàm số đó biết rằng d đi qua điểm (
và có

4.2. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d.
C - 1;- 3)
Tìm hàm số đó biết rằng d đi qua điểm (
và

hệ số góc bằng 2.
Lời giải

có hệ số góc bằng - 2.
Lời giải

y = ax + b,a ¹ 0
Gọi hàm số cần tìm là

.
Đường thẳng d có hệ số góc bằng 2  a 2 .

y = ax + b,a ¹ 0
Gọi hàm số cần tìm là
.
Đường thẳng d có hệ số góc bằng  2  a  2 .

Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-6-


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

B 1;- 3)
Đường thẳng d đi qua (
nên - 3 = a + b mà
a 2 nên:

C - 1;- 3)
Đường thẳng d đi qua (
nên - 3 = - a + b
mà a 2 nên:

- 3 = a + b Þ - 3 = 2 + b Þ b = - 5.

- 3 = - a +b Þ - 3 = - 2+b Þ b = - 1

Vậy hàm số cần tìm là y = - 2x - 1.

Vậy hàm số cần tìm là y = 2x - 5 .
Dạng toán 3. Bài toán tương giao.

Phương pháp:
· Cho hai đường thẳng d1 : y = a1x + b1 và d2 : y = a2x + b2. Khi đó:
ìï a1 = a2
Û ïí
;
ïï b1 = b2
d
d
ỵ
a) 1 và 2 trùng nhau

ïì a1 = a2
Û ùớ
;
ùù b1 ạ b2
d
d
ợ
b) 1 v 2 song song nhau
ùỡù y = a1x + b1
í
ï y = a2x + b2
d
d
Û

a
¹
a
.
1
2
1
2
c) và
cắt nhau
Và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình ỵï
d
d
Û a1.a2 = - 1.
d) 1 và 2 vng góc nhau
Lưu ý
d : y = x + 2m, d ' : y = 3x + 2
Câu 1. Cho hai đường thẳng
( m là
tham số).
d, d '
a) Chứng minh rằng hai đường thẳng
cắt nhau và tìm tọa độ
giao điểm của chúng
d,d '
b) Tìm m để ba đường thẳng
và d " : y = - mx + 2 phân biệt
đồng quy.
Lời giải tham khảo
a) Ta có

ad = 1 ¹ ad ' = 3 suy ra hai đường thẳng d, d ' cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng

ìï y = x + 2m
ïí
Û
ïï y = 3x + 2
trình î

M ( m - 1;3m - 1)

d, d '

là nghiệm của hệ phương

ìï x = m - 1
ïí
d, d '
ïï y = 3m - 1
ỵ
suy ra
cắt nhau tại

.

b) Vì ba đường thẳng

d, d ', d "

đồng quy nên M Ỵ d " ta có

ém = 1
3m - 1 = - m( m - 1) + 2 Û m2 + 2m - 3 = 0 Û ê
êm = - 3
ê
ë
· Với m = 1 ta có ba đường thẳng là
d : y = x + 2, d ' : y = 3x + 2, d " : y = - x + 2,
phân biệt và đồng
quy tại

M ( 0;2)

.

Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-7-


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

· Với m = - 3 ta có d ' º d " suy ra m = - 3 không thỏa mãn
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
1.1. Cho hai đường thẳng:
d : y = ( m - 1) x + m

1.2. Cho đường thẳng
và
1
d : y = - x + 1, d ' : y = 3x + 5
d ' : y = ( m2 - 1) x + 6
. Tìm m để hai đường
2
d, d '
d, d '
Chứng minh rằng hai đường thẳng
cắt nhau và thẳng
song song với nhau
tìm tọa độ giao điểm của chúng.
Lời giải
Lời giải
d : y = 1, d ' : y = 6
m = 1 ta có
Với
do đó hai
Ta có hệ số góc của hai đường thẳng
đường thẳng này song song với nhau (1)
1
d : y = - 2x - 1, d ' : y = 6
ad = - ¹ ad ' = 3
d, d '
Với m = - 1 ta có
suy
2
suy ra hai đường thng
ổ7 ử

ct nhau.
Mỗ
- ;6ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ 2 ứ
d, d '
ố
Gi M l giao điểm của hai đường thẳng
Tọa ra hai đường thẳng này cắt nhau tại
Với m ¹ ±1 khi đó hai đường thẳng trên là đồ thị
d, d '
độ giao điểm của hai đường thẳng
là nghiệm
của hàm số bậc nhất nên song song với nhau khi và

của hệ phương trình:
Suy ra

d, d '

ìï
ïï y = - 1x + 1
Û
í
ïï y = 32
x
+
5

ùợ

ỡù
ùù x = - 8
ù
7
ớ
ùù
11
ùù y =
7
ợ

ổ 8 11ử
Mỗ
- ; ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
7
7
ứ
ct nhau ti

T (1) v (2), suy ra m = 0 và m = 1 là giá trị cần
tìm.

1.3. Tìm m để ba đường thẳng d : y = 2x,

d ' : y = - x + 6, d '' : y = m2x + 5m + 3

phân

biệt đồng quy.
Lời giải
Ta có
d, d '

ad = 2 ¹ ad ' = - 1 suy ra hai đường thẳng
cắt nhau.

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
nghiệm của hệ phương trình:

ïìï y = 2x
Û
í
ïï y = - x + 6
ỵ

d, d '

là

ïìï x = 2
í
d, d '
ïï y = 4
ỵ

suy ra
cắt nhau tại

M ( 2;4)
Vì ba đường thẳng

d, d ', d "

đồng quy nên M Ỵ d "

2
ta có: 4 = 2m + m + 3

Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

ïìï ém = 1
ìï m - 1 = m2 - 1
ộm = 1
ùờ
ùớ
ờ
m
=
0
ùớ ờ

ờ
ờm = 0
ùù
ùù ở

mạ 6
ờ
ở
ợ
m
ạ
6
ùùợ
ch khi
i chiếu với điều kiện m ¹ ±1suy ra m = 0(2)

Trang-8-


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

ém = - 1
ê
Û 2m + m - 1 = 0 Û ê
êm = 1
ê
ë
2
2

· Với m = - 1 ta có ba đường thẳng là
d : y = 2x, d ' : y = - x + 6, d '' : y = x + 2
phân biệt và đồng quy tại

· Với

m=

M ( 2;4)

.

1
2 ta có ba đường thẳng là

d : y = 2x, d ' : y = - x + 6, d '' : y =
phân biệt và đồng quy tại

M ( 0;2)

1
13
x+
4
4

.

1
2 là giá trị cần tìm.
Vậy m = - 1 và
Câu 2. Cho hàm số y = - 3x + 6 có đồ thị là đường d . Đường thẳng d
tạo với hai trục tọa độ một tam giác. Tính diện tích tam giác đó.

m=

Lưu ý

Lời giải tham khảo

A  2;0  ; B  0;6 
Giao điểm của d với trục hoành, trục tung lần lượt là
.
Ta có:

OA 2, OB 6 .

1
1
SOAB  OA.OB  .2.6 6
2
2
Diện tích tam giác vng OAB là:
(đvdt).
2.1. Cho hàm số y = - 2x - 4 có đồ thị là đường d . 2.2. Cho hàm số y = x + 4 có đồ thị là đường d .
Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác. Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác.
Tính diện tích tam giác đó.
Tính diện tích tam giác đó.
Lời giải

Lời giải

Giao điểm của d với trục hồnh, trục tung lần lượt Giao điểm của d với trục hoành, trục tung lần lượt
là

A   2;0  ; B  0;  4 

Ta có:

.

là

OA 2, OB 4 .

A   4;0  ; B  0; 4 

Ta có:

.

OA 4, OB 4 .

Diện tích tam giác vng OAB là:

Diện tích tam giác vng OAB là:

1
1
SOAB  OA.OB  .2.4 4
2
2
(đvdt).

1
1
SOAB  OA.OB  .4.4 8
2
2
(đvdt).

Dạng toán 4. Đồ thị hàm số bậc nhất.
Phương pháp giải
Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-9-


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

* Đồ thị của hàm số y ax  b
Để vẽ đồ thị hàm số y ax  b ta chỉ cần xác định 2 giao điểm phân biệt của đường thẳng.
* Đồ thị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối: Vẽ đồ thị
b

khi x 
ax  b
a
y  ax  b 
  ax  b  khi x   b

a

Ta có:
Phương pháp 1: Vẽ
x³ -

( C1 )

(C )

của hàm số

y = ax + b

là đường thẳng y = ax + b với phần đồ thị sao cho hoành độ x thỏa mãn

b
b
x (
)
2
a , Vẽ
a . Khi đó ( C ) là hợp của
là đường thẳng y = - ax - b lấy phần đồ thị sao cho

hai đồ thị

( C1 )

và

( C2 ) .

Phương pháp 2: Vẽ đường thẳng y = ax + b và y = - ax - b rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục

(C ) .
hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hồnh chính là
Chú ý:
· Biết trước đồ thị ( C ) : y = f ( x ) khi đó đồ thị ( C 1 ) : y = f ( x
- Giữ nguyên đồ thị

(C )

- Lấy đối xứng đồ thị

)

là gồm phần :

ở bên phải trục tung;

(C )

ở bên phải trục tung qua trục tung.

· Biết trước đồ thị ( C ) : y = f ( x ) khi đó đồ thị ( C 2 ) : y = f ( x ) là gồm phần:
( C ) ở phía trên trục hồnh
- Giữ ngun đồ thị
( C ) ở trên dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.
- Lấy đối xứng đồ thị
· Từ đồ thị ta có thể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất cũng như biện luận số nghiệm của phương trình.

Câu 1. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 3x + 6 .
Lời giải tham khảo
TXĐ: D = ¡ , a = 3 > 0 suy ra hàm số đồng biến trên ¡
Bảng biến thiên

x

- ¥

+¥
+¥

y = 3x + 6

- ¥
Đồ thị hàm số
y = 3x + 6 đi qua A ( - 2;0) , B ( - 1;3)

Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-10-

Lưu ý


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT
y

3

-2 -1 O

x

1

1.1.Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y=-

1.2. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
y 2 x  3 .

1
3
x+
2
2.

Lời giải
a =-

TXĐ: D = ¡ ,
biến trên ¡ .
Ta có bảng biến thiên:
Đồ thị hàm số

1
<0

2
suy ra hàm số nghịch

1
3
y=- x+
2
2 đi qua

Lời giải
TXĐ: D = ¡ , a = 2 > 0 suy ra hàm số đồng biến
trên ¡ .
Bảng biến thiên
Đồ thị hàm số y = 2x - 3

x

- ¥

+¥

x

- ¥

+¥
+¥

+¥
y = 2x - 3

1
3
y=- x+
- ¥
2
2

ỉ 3ư
A ( 3;0) , B ỗ
0; ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 2ứ

ổ3 ử
Aỗ
;0ữ
ữ
ỗ
ữ, B ( 0;- 3)
ỗ
ố
2
ứ
i qua

y
- Ơ

1

y

O
3/2
O

Cõu 2.Cho các hàm số:

1

3

-3

x

y = 2x - 3, y = - x - 3, y = - 2

.
a) Vẽ đồ thị của các hàm số trêncùng hệ trục tọa độ Oxy .
b) Xác định giao điểm của các đồ thị hàm số đó.
Lời giải tham khảo
ỉ3 ÷
ư
A ( 0;- 3) , B ỗ
;0ữ
ỗ

ỗ
ố2 ữ
ứ.
a) ng thng y = 2x - 3 đi qua các điểm
A ( 0;- 3) ,C ( - 3;0)
Đường thẳng y = - x - 3 đi qua các điểm
.
Đường thẳng y = - 2 song song với trục hồnh và cắt trục tung tại điểm
có tung độ bằng -2
Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-11-

Lưu ý

2
(C)

x


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

b) 2 đường thẳng
y = 2x - 3, y = - x - 3

y
3

2

-3

1

-1 O
-2

A ( 0;- 3)
nhau tại
,
2 đường thẳng
x
y = - x - 3, y = - 2
A '( - 1;- 2)
tại
,
2 đường thẳng
y = 2x - 3, y = - 2

-3

ổ1
ử
A "ỗ
;- 2ữ
ữ
ỗ
ữ

ỗ
ố
2
ứ
ti
.
2.1. Cho cỏc hm s:
y = - 2x + 3, y = x + 2, y =

3
2.

a)Vẽ đồ thị của các hàm số trêncùng hệ trục tọa độ Oxy .
b) Xác định giao điểm của các đồ thị hm s ú.
Li gii
ổ3 ử
A ( 0;3) , B ỗ
;0ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố
2
ứ
y
=
2
x
+

3
ng thẳng
đi qua các điểm
.
C ( 0;2) , D ( - 2;0)
Đường thẳng y = x + 2 đi qua các điểm
.
Đường thẳng

y=

3
2 song song với trục hoành và cắt trục tung

3
tại điểm có tung độ bằng 2 .
Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-12-

cắt

cắt nhau

cắt nhau


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

y
3
2

O

-2

x

b)
2 đường thẳng

y = - 2x + 3, y = x + 2

cắt nhau ti

ổ1 7 ữ
ử
Aỗ
; ữ
ỗ
ỗ
ố3 3ữ
ứ
ổ 1 3ử
3
A 'ỗ
- ; ữ

ữ
ỗ
ữ
ỗ
2 ct nhau ti ố 2 2ứ.
2 ng thng
ổ3 3ử
3
A "ỗ
; ữ
ữ
ỗ
y = - 2x + 3, y =
ữ
ỗ
ố
4
2
ứ
2
2 ng thẳng
cắt nhau tại
.
3x khi x 0
y 
 3x khi x  0 .
Câu 3:Vẽ đồ thị của hàm số

y = x + 2, y =

Lời giải tham khảo
Với x ³ 0 đồ thị hàm số y = 3x là phần đường thẳng đi qua hai điểm
O ( 0;0) , A ( 1;3)

nằm bên phải của đường thẳng x = 0 .
Với x < 0 đồ thị hàm số y = - 3x là phần đường thẳng đi qua hai điểm
B ( - 1;3) , C ( - 2;6)

nằm bên trái của đường thẳng x = 0 .
y

O

Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

1

x

Trang-13-

Lưu ý
Ta có thể vẽ đồ thị hàm số này
bằng cách:
Vẽ đường thẳng y = 3x và
y = - 3x rồi xóa đi phần
đường thẳng nằm dưới trục
hồnh. Phần đường thẳng nằm
trên trục hồnh chính là đồ thị
hàm số cần tìm.

Đồ thị hàm số nhận trục tung
làm trục đối xứng.


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

3.1.Vẽ đồ thị của các hàm số sau
ìï 2x khi x ³ 0
y = ïí
ïï - x khi x < 0
ỵ
a)
.

3.2.Vẽ đồ thị của hàm số
Lời giải

y = - 3x + 3
b)
.
Lời giải
a) Với x ³ 0 đồ thị hàm số y = 2x là phần đường
O ( 0;0) , A ( 1;2)

thẳng đi qua hai điểm
nằm bên
phải của đường thẳng x = 0 .
Với x < 0 đồ thị hàm số y = - x là phần đường

B ( - 1;1) , C ( - 2;2)

thẳng đi qua hai điểm
bên trái của đường thẳng x = 0 .
b) Vẽ hai đường thẳng y = - 3x + 3 và

nằm

y

2

-2

O

1

x

O

1

ïì x - 2 khi x ³ 0
y = ïí
ïï - x - 2 khi x < 0
ỵ
Cách 1: Ta có
Vẽ đường thẳng y = x - 2 đi qua hai điểm

A ( 0;- 2) , B ( 2;0)

và lấy phần đường thẳng bên phải

của trục tung
Vẽ đường thẳng y = - x - 2 đi qua hai điểm
A ( 0;- 2) , C ( - 2;0)

và lấy phần đường thẳng bên trái

của trục tung.
Cách 2: Đường thẳng d : y = x - 2 đi qua

y = 3x - 3 và lấy phần đường thẳng nằm trên trục
hoành.

y

x

A ( 0;- 2) , B ( 2;0)

y= x - 2

.Khi đó đồ thị của hàm số

là phần đường thẳng d nằm bên phải của
trục
y
tung

và
phần
đối
xứng
của
nó
qua
x
-2
O 1 2
trục
tung.

-2

Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

y= x - 2

Trang-14-


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

3.3.Vẽ đồ thị của hàm số
Lời giải

y= x - 2

3.4.Vẽ đồ thị của hàm số
Lời giải

y = 3 x - 2 - 2x - 6

ìï x
khi x ³ 3
ïï
y = ïí 5x - 12 khi 2 < x < 3
ïï
khi x £ 2
ïïỵ - x
y= x - 2
- Giữ nguyên đồ thị hàm số
ở phía trên Ta có
trục hồnh.
Vẽ đường thẳng y = x đi qua hai điểm
Đồ thị

y= x - 2

là gồm phần:

O ( 0;0) , A ( 1;1)
y= x - 2
và lấy phần đường thẳng bên phải
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số
ở
phía dưới trục hồnh và lấy đối xứng qua trục của đường thẳng x = 3 .

hoành.
Vẽ đường thẳng y = 5x - 12 đi qua hai điểm
B ( 3;3) , C ( 2;- 2)

và lấy phần đường thẳng nằm giữa
x = 2, x = 3
của hai đường thẳng
.
Vẽ đường thẳng y = - x đi qua hai điểm

y

O ( 0;0) , D ( - 1;- 1)

và lấy phần đường thẳng bên trái
của đường thẳng x = 2.

2

-2

O

1

2

x

y

3
2
1
-3 -2 -1 O
-1

1

2

3

x

-2
-3
Dạng toán 5. Bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất.
Phương pháp:

éa; b ùÌ ¡
f ( x ) = ax + b
y  f  x
Cho hàm số
và đoạn ë û
. Khi đó, đồ thị của hàm số
trên [a; b] là một
đoạn thẳng nên ta có một số tính chất:



max
f ( x ) = max { ff( a ) ;
é ù

( b) }

min
f ( x ) = min { ff( a ) ;
é ù

( b) }

ëa ,b û

ëa ,b û

Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-15-


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT



max
f (x) = max { ff(a) ;

é ù
ëa ,b û

(b) }

.

Áp dụng các tính chất đơn giản này cho chúng ta cách giải nhiều bài toán một cách thú vị, ngắn gọn, hiệu
quả.
Câu 1: Cho hàm số y = f (x) = x - 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm
số trên đoạn [  1, 3] .

Lưu ý

Lời giải tham khảo
Do

a 1  0 nên hàm số đồng biến trên ¡ .
min
y = f (- 1) = - 4
é
ù
ë- 1;3û

Do đó,
Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn

[  1, 3] là  4.

1.1. Cho hàm số y = f (x) = - x + 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

trên đoạn [1, 2] .
Lời giải
a  1  0 nên hàm số nghịch biến trên ¡ . Do đó,
Do
min
y = f (2) = 1
é ù
ë1;2û

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [1, 2] là 1.
f ( x ) = 2x - m
Câu 2: Cho hàm số
. Tìm m để giá trị lớn nhất của
é1;2ù
f ( x)
trên ë û đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải tham khảo
Dựa vào các nhận xét trên ta thấy
x = 1 hoặc x = 2 .
Như vậy nếu đặt M =

M ³ f ( 2) = 4 - m

max f (x)
[1;2]

max f (x)
[1;2]

thì

chỉ có thể đạt được tại

M ³ f ( 1) = 2 - m

và

.

Ta có
2- m + 4- m
(2 - m) + (m - 4)
ff(1) + (2)
=
³
=1
2
2
2
ìï 2 - m = 4 - m
ïí
Û m=3
ïï (2 - m)(m - 4) ³ 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ỵ
.
M ³

Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 1, đạt được chỉ khi m = 3.

Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-16-

Lưu ý


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

y=

2x - x2 - 3m + 4

2.1. Cho hàm số
của hàm số y là nhỏ nhất.
Lời giải

t=
Gọi A = max y . Ta đặt
0£ t £ 1
Khi đó hàm số được viết lại là
A = max t - 3m + 4

. Tìm m để giá trị lớn nhất

2

2x - x2 Þ t = 1 -

( x - 1)

y = t - 3m + 4

ù
tỴ é
ë0;1ûsuy ra

với

do đó

[0,1]

= max { - 3m + 4 , 5 - 3m + }
³

- 3m + 4 + 5 - 3m

2
Áp dụng BĐT trị tuyệt đối ta có

- 3m + 4 + 5 - 3m = 3m - 4 + 5 - 3m ³ 1

Đẳng thức xảy ra

m=

Do đó

A³

1
2.

3
2.

m=

3
2.

Vậy giá trị cần tìm là
Dạng tốn 6. Bài tập tổng hợp
Lưu ý
Từ bảng biến thiên ta có thể tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng, một đoạn.
Bài 2.1. Lập bảng biến thiên của hàm số sau
Lời giải
ìï x - 3 khi x ³ 3
y = x - 3 = ïí
ïï - x + 3 khi x < 3
ợ
.
Ta cú
Bng bin thiờn
x
- Ơ
3

+Ơ

y x 3

.

Bài 2.2. Lập bảng biến thiên của hàm số sau
ìï - 2x + 2 khi x ³ 2
ïï
y = ïí x - 4 khi 0 < x < 2
ïï
ïïỵ - 3x - 4 khi x £ 0
.

+¥

Lời giải
Bảng biến thiên
x
- ¥

+¥

y

0

0

- 2

- 4

2
2
Bài 2.3. Lập bảng biến thiêncủa các hàm số sau y = x + x - 2x + 1.
é- 2;2ù
û.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên ë

Trang-17-

+¥

+¥
y

Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

2




Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

Lời giải

x2 + x2 - 2x + 1

Ta có: y =

ìï 2x - 1 khi x ³ 1
ïï
Þ y = x + x - 1 = ïí 1
khi 0 < x < 1
ïï
ïïỵ 1 - 2x khi x £ 0
.
Bảng biến thiên
x
- ¥

y

Ta có

+¥

1
y ( - 2) = 5, y ( 2) = 3

Dựa vào bảng biến thiên ta có
Bài 2.

+¥
+¥

1

0

1
max
y=5
é- 2;2ù
ë
û
tại x = - 2.

4. Lập bảng biến thiên của hàm số sau

y=

x2 + 4x + 4 - x + 1

.

é- 2;2ù
û.
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên ë
Lời giải
y=

x2 + 4x + 4 - x + 1

Ta có
ìï 1

khi x ³ - 1
ïï
Þ y = x + 2 - x + 1 = ïí 2x + 3 khi - 2 < x < - 1
ïï
khi x £ - 2
ïïỵ - 1
Bảng biến thiên

x

- ¥

- 2

+¥

- 1
1

1

y
- 1
Ta có

- 1

y ( - 2) = - 1, y ( 2) = 1

min y = 1

max
y =1
é
ù
é- 2;2ù
ë
û
x
=
2
Dựa vào bảng biến thiên ta có
tại
, ë- 2;2û
khi và chỉ khi x Ỵ [ - 1;2].

Bài 2.5. Lập bảng biến thiên của hàm số sau y =

x2 - 4x + 4 - 3 x2 - 2x + 1

é0;2ù
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của các hàm số đó trên ë û.
Lời giải
Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-18-


Tốn tự luận

y=

Ta có:

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

x2 - 4x + 4 - 3 x2 - 2x + 1

ìï - 2x + 1 K hi x ³ 2
ïï
= ïí - 4x + 5 K hi 1 £ x < 2
ïï
Þ y = x - 2 - 3 x - 1 ïïỵ 2x - 1 K hi x < 1
Bảng biến thiên
x
+¥
- ¥
1
2
1

y

-3

- ¥

- ¥

min y = - 3
max y = 1
é ù

Ta có: éë0;2ùû
tại x = 1, ë0;2û
tại x = 2.
Bài 2.6. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng Bài 2.7. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường
d . Tìm hàm số đó biết: d đi qua A(3;1), B (- 2;- 1) thẳng d. Tìm hàm số đó biết: d đi qua
A(1;5), B (- 5;- 1)
Lời giải

y = ax + b,a ¹ 0
Gọi hàm số cần tìm là
Vì A Ỵ d và B Ỵ d nên ta có hệ phương trình

Lời giải

y = ax + b,a ¹ 0
Gọi hàm số cần tìm là
Vì A Ỵ d và B Ỵ d nên ta có hệ phương trình

ìï
ïï a = - 2
ï
5
í
ïï
11
ïï b =
ỵ
5
2
11

y=- x+
5
5
Vậy hàm số cần tìm là
ïìï 1 = 3a + b
Û
í
ïï - 1 = - 2a + b
ỵ

Bài 2.8. Cho đường thẳng

ïìï 5 = a + b
Û
í
ïï - 1 = - 5a + b
ỵ

ïìï a = 1
í
ïï b = 4
ỵ
Vậy hàm số cần tìm là y = x + 4

d : y = ( m - 1) x + m

và

d ' : y = ( m2 - 1) x + 6

. Tìm m để đường thẳng d
cắt trục tung tại A , d ' cắt trục hoành tại B sao cho
tam giác OAB cân tại O .
Lời giải
Ta có tọa độ điểm A là nghiệm của hệ

ïìï y = ( m - 1) x + m
ïì x = 0
Û ïí
Þ A ( 0;m)
í
ïï
ïï y = m
x=0
ỵ
ỵ
Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
ìï y = ( m2 - 1) x + 6
ïí
Û
ïï
y=0
ỵ

ìï ( m2 - 1) x + 6 = 0
ïí
ïï
y=0
ỵ
(*)

Rõ ràng m = ±1 hệ phương trình (*) vơ nghiệm
Với m ¹ ±1 ta có (*)
Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-19-

Bài 2.9. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường
thẳng d . Tìm hàm số đó biết: d đi qua M (1;2) và
cắt hai tia Ox,Oy tại P ,Q sao cho D OPQ cân
tại O.
Lời gii
ổb ử
Pỗ
- ;0ữ
ữ
ỗ
ữ
ỗ a ứ
ố
d
Ox
ng thng ct trc
ti
v ct
Oy ti Q ( 0;b) với a < 0, b > 0
Ta có:
b
OP = OQ Û - = b
a

Û b( a + 1) = 0
éb = 0(l )
Û ê
êa = - 1
ê
ë
Ta cú M ẻ d ị 2 = a + b Þ b = 3


Toán tự luận

BÀI GIẢNG HÀM SỐ BẬC NHẤT

Vậy hàm số cần tìm là y = - x + 3.

ìï
6
ïï x =
ổ 6
ử
ữ
2 ị Bỗ
ớ
;0
ữ
ỗ
1
m
ữ
2

ỗ
ùù
ố
1
m
ứ
y
=
0
ùợ

O m =

6
1 - m2

Do đó tam giác OAB cân tại
ém - m3 = 6
3
Û m- m = 6 Û ê
êm - m3 = - 6
ê
ë
3
ém - m + 6 = 0
ém = - 2
ê
Û ê
Û
êm3 - m - 6 = 0

êm = 2
ê
ê
ë
ë
(thỏa mãn)
Vậy m = ±2 là giá trị cần tìm.
Bài 2.10. Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng Bài 2.11.Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường
d. Tìm hàm số đó biết: d đi qua M (1;2) và cắt hai tia thẳng d. Tìm hàm số đó biết rằng d đi qua điểm
A ( 2;- 1)
và có hệ số góc bằng 1.
Ox,Oy tại P ,Q sao cho SD OPQ nhỏ nhất.
Lời giải
Lời giải
y = ax + b,a ạ 0
ổb ử
Gi hm s cn tỡm l
ữ
Pỗ
;0
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ng thng d cắt trục Ox tại è a ø và cắt Oy Đường thẳng d có hệ số góc bằng 1  a 1 .
A 2;- 1)
a < 0, b > 0
Q ( 0;b)
Đường thẳng d đi qua (
nên - 1 = 2a + b

tại
với
mà a 1 nên:
Suy ra:
- 1 = 2a + b Þ - 1 = 2 + b Þ b = - 3
1
1 b
b2
SDOPQ = OP .OQ = . - . b = 2
2 a
2a (*)
Vậy hàm số cần tìm là y = x - 3.
Ta có M Î d Þ 2 = a + b Þ b = 2 - a thay vào (*)
ta được:

( 2- a)

2

2 a
+2
2a
a 2
Áp dụng bất đẳng thức cơsi ta có
SDOPQ = -

-

=-

ổ 2ử
ổ aử
2 a
2 ỗ
- ữ
.ỗ
- ữ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ= 2 ị SDOPQ 4
ỗ
ỗ
a 2
ố a ứ ố 2ứ

ng thc xy ra khi và chỉ khi
ìï 2
ïï - = - a
Û a = - 2Þ b= 4
í a
ïï a < 0 2
ïỵ
Vậy hàm số cần tìm là y = - 2x + 4 .

Bài 2.12. Cho hàm số y = 3x - 9 có đồ thị là đường
d . Đường thẳng d tạo với hai trục tọa độ một tam giác.
Tính diện tích tam giác đó.

Lời giải
Luyện mãi thành tài, miệt mài tất giỏi

Trang-20-