Đề thi toán chuyên Ngoại Ngữ tuyển sinh từ năm 1999 đến năm 2010

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 1991
MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: … – … – 1991 Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1: (2 điểm) Dùng phương pháp đặt ẩn số phụ giải phương trình sau:
2
2
53
4
5
x
xx
x
xx
+− −
+=
+ −

Câu 2: (2 điểm) Cho biểu thức:
2
1
1
1. 1

1
1:
11
(1) 1(1)
11
m
mm
m
C
mm mm
mm
−+
−−
−
=−
1− +− + −
−
+−
với m > 1
1) Kí hiệu
1, 1mam−= +=b
. Viết biểu thức C theo a, b.
2) Rút gọn biểu thức C, từ đó chứng minh C > 0.
Câu 3: (2 điểm)
a. Vẽ đồ thị hai hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ: y = x
2
– 1 (1)
và y = -x
2
– 2x + 3 (2).

b. Chứng minh các giao điểm của hai đồ thị hàm số (1) và (2) thuộc đồ thị
của hàm số:
()
2
1
123
1
ykxkx
k
⎡⎤
=−−+
⎣⎦
+
1k−
với
1k ≠ ±

Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A ở ngoài đường
tròn. Từ một điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A, vẽ các
tiếp tuyến MI, MJ với đường tròn (O). Dây IJ cắt OM tại N và cắt OA tại B.
1. Chứng minh OA.OB = OM.ON = R
2
.
2. Gọi C là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MIJ. Chứng minh C thuộc nửa
đường tròn cố định.
3. Cho góc MIJ =
α
. Chứng minh diện tích tứ giác MOIJ bằng R
2
.tan

α
.
Câu 5: (1 điểm) Cho ba số nguyên dương a, b, c khác nhau và xếp theo thứ tự tăng
dần. Biết rằng tổng các nghịch đảo của chúng là một số nguyên k. Tìm k, a, b, c.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 1992
MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 02 – 08 – 1992 Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1: Tìm các số nguyên a, b để
1x =+ 3
là một nghiệm của phương trình:
3x
3
+ ax
2
+ bx + 12 = 0
Câu 2:
Hai đội học sinh tham gia lao động. Nếu làm chung thì sẽ hoàn thành công việc trong 4
giờ. Nếu mỗi đội làm một mình thì đội này có thể làm xong việc nhanh hơn đội kia 6
giờ. Tính xem nếu mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc.
Câu 3: Cho k và n là hai số tự nhiên, . Chứng minh:
2, 2kn≥≥

a.
2
11
1kk
<−
−
1
k
.
b.
22
11
1 2
2 nn
+++<−
1
.
Câu 4: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và một điểm A nằm ngoài (O). Vẽ đường
thẳng d vuông góc với OA tại A. Từ M thuộc d vẽ hai tiếp tuyến MP và MP’ với
đường tròn (O). Dây PP’ cắt OM tại N, cắt OA tại B.
1. Chứng minh OA.OB = OM.ON = R
2
.
2. Tìm tập hợp điểm I là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác MPP’ khi M di
động trên đường thẳng d.
3. Giả sử tam giác MPP’ cố định và góc MPP’ = 2
α
. Tính diện tích tứ giác
MPOP’ theo R và
α

.
Câu 5:
Hai đường chéo của một tứ giác ABCD chia tứ giác làm 4 tam giác nhỏ có diện tích là
4 số tự nhiên. Chứng minh tích của các số tự nhiên ấy là bình phương của một số tự
nhiên.

Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc



ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 1993
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 08 – 08 – 1993 Đề thi gồm: 01 trang
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức:
212
1.
1
12
1
x
xxxxxx
A
x

x
x
xx
⎛⎞
+− −+ −
=+ −
⎜⎟
⎜⎟
−
− −
⎝⎠

a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa.
b) Tìm x biết
66
5
A
−
=
.
c) Chứng minh rằng
2
3
A ≤
là bất đẳng thức sai.
Câu 2: (2 điểm)
Tìm đa thức f(y) biết rằng:
f(y) chia cho (y – 1) còn dư -3.
f(y) chia cho (y + 1) còn dư 3.
f(y) chia cho (y – 1)(y + 1) được thương là 3y và còn dư.

Câu 3: (1 điểm) Giải phương trình:
( )( )
2
273 1 3xx x x−−+ + −=0

Câu 4: (3,5 điểm)
1) Cho tam giác ABC với trung tuyến AM. Chứng minh rằng:
2
22
2.
2
BC
2
ABAC AM+=+

2) Từ kết quả trên giải bài toán: Cho tam giác ABC đều, cạnh a, nội tiếp đường
tròn (O).
a) Cho I là một điểm thuộc đường tròn, chứng minh giá trị của biểu thức:
IA
2
+ IB
2
+ IC
2
không phụ thuộc vào vị trí của điểm I.
b) Cho điểm M thỏa mãn MA
2
+ MB
2
+ MC

2
= 13a
2
. Tìm quỹ tích điểm M.
Câu 5: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số sau:
2
1993
4122
y
xx
=
++
9

Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 1994
MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 08 – 08 – 1994 Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1: (1,5 điểm)
Chứng minh rằng:
33

52 7 52 7 2+− −=
.
Câu 2: (1,5 điểm)
Giải phương trình: .
43
x - 4x + 8x + 3 = 0
Câu 3: (2 điểm)
Tìm đa thức f(x) biết rằng:
f(x) chia cho (x – 1) còn dư -3.
f(x) chia cho (x + 1) còn dư 3.
f(x) chia cho (x – 1)(x + 1) được thương là 2x và còn dư.
Câu 4: (4 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và các đường cao AA’, BB’, CC’
cắt nhau tại H. Vẽ hình bình hành BHCD. Đường thẳng qua D và song song với BC cắt
đường thẳng AH tại M.
1. Chứng minh các điểm A, B, C, D, M thuộc một đường tròn.
2. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Chứng minh góc BAM
= góc OAC và BM = DC.
3. Gọi E là trung điểm của BC, đường thẳng AE cắt OH tại G. Chứng minh G
là trọng tâm tam giác ABC.
4. Tìm hệ thức liên hệ giữa các tỷ số lượng giác góc B, C để OH song song
với BC.
Câu 5: (1 điểm)
Chứng minh rằng hàm số
2
23
1
xx
y
x
−++

=
−
đồng biến trong khoảng (1945;1994).

Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 1995
MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 30 – 07 – 1995 Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1: (2 điểm) Tìm các số nguyên a, b để
1x =+ 3
là một nghiệm của phương trình:
3x
3
+ ax
2
+ bx + 12 = 0
Câu 2: (2 điểm)
a) Chứng minh rằng số
3
3
52 7 7 52M =+−−

là một số nguyên.
b) Giải phương trình:
()( ) ( )( ) ( )
2
33 316 5 2 4545 1xx xx x−+++ −++=−+

Câu 3: (3,5 điểm) Cho hai đường tròn tâm O và I cắt nhau tại M, N. Một đường thẳng
d quay quanh M, cắt đường tròn (O) và (I) lần lượt tại A và B.
1. Chứng minh góc ANB có giá trị không đổi.
2. Gọi C là giao điểm của AO và IB. Chứng minh rằng các điểm O, C, N, I cùng
thuộc một đường tròn.
3. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của MA, MB. K là trung điểm của EF. Khi
đường thẳng d quay quanh M thì K chuyển động trên đường nào? Vì sao?
4. Tìm vị trí của đường thẳng d để chu vi tam giác ABN lớn nhất.
Câu 4: (1,5 điểm) Cho hình vuông ABCD thuộc mặt phẳng (P) và SA vuông góc với
mặt phẳng (P). Gọi AE, AF lần lượt là đường cao của tam giác SAB, SAD.
1. Chứng minh AE vuông góc với mặt phẳng (SBC).
2. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (AEF).
Câu 5: (1 điểm) Cho các số a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
()()()()(
52 2 52 2 52 2 4 4 4 3 3 3
1
.
2
ab c ba c cb a a c b a c b++ ++ + = ++ ++
)


Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 1996
MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 28 – 07 – 1996 Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
29 32
56 23
xxx
A
1
x
xx x
− ++
=−−
−+ − −

1. Tìm điều kiện của x để biểu thức A có nghĩa và rút gọn A.
2. Tìm các số nguyên x để giá trị biểu thức A cũng là số nguyên.
Câu 2: (2,5 điểm) Cho hàm số y = ax
2
+ bx + c (a
≠
0)

1. Xác định các hệ số a, b, c biết rằng giá trị của hàm số bằng 1 khi x = 0 và x = 1, đồng
thời đồ thị của hàm số đi qua điểm (-1;3).
2. Gọi d là đường thẳng đi qua gốc tọa độ có phương trình y = mx. Với giá trị nào của m
thì đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị hàm số y = x
2
– x + 1.
3. Gọi M và M’ là giao điểm của đồ thị hàm số y = x
2
– x + 1 với đường thẳng d. Tìm tập
hợp các trung điểm I của đoạn MM’ khi m thay đổi.
Câu 3: (1,5 điểm) Cho hai phương trình:
x
2
– (a + 3b)x – 6 = 0 (1)
x
2
– (2a + b)x – 3a = 0 (2)
Tìm a và b để hai phương trình trên có cùng tập hợp nghiệm.
Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O, đường kính AB và một điểm P chuyển động trên đường tròn
đó (P khác A, B). Trên tia PB lấy Q sao cho PQ = PA. Dựng hình vuông APQR. Tia PR cắt đường
tròn ở C.
1. Chứng minh AC = BC và C là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AQB.
2. Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác APB. Chứng minh 4 điểm I, A, Q, B cùng
thuộc một đường tròn.
3. Gọi H là chân đường cao hạ từ P xuống cạnh huyền AB của tam giác vuông PAB. Gọi
r
1
, r
2
, r

3
là các bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác APB, APH, BPH. Xác định vị
trí của điểm P để tổng r
1
+ r
2
+ r
3
đạt giá trị lớn nhất.
Câu 5: (1 điểm) Phần nguyên [x] của số x là số nguyên lớn nhất, nhỏ hơn hoặc bằng x. Hãy tìm phần
nguyên của số
22 2
43610Bx x x x=+ + ++3, trong đó x là số nguyên dương.
Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 1997
MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 03 – 08 – 1997 Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
22
11
aaaa

M
aa aa
−+
=−
+ +−+

Rút gọn biểu thức
11PMa=++−
.
Câu 2: (1,5 điểm) Tìm các giá trị của a sao cho hai phương trình x
2
+ ax + 2a + 1 =
0(1) và ax
2
– (2a + 1)x + 1 = 0(2) có nghiệm chung.
Câu 3: (2,5 điểm) Cho hàm số y = x
2
– (2m + 1)x + m
2
+
9
4

a. Khi m = 3, hãy tìm giá trị của x thỏa mãn y = 0.
b. Chứng minh đồ thị của hàm số không thể cắt Ox tại điểm có hoành độ x
0
= 1 -
2
.
Câu 4: (3 điểm) Cho ba điểm cố định A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự đó). Một đường

tròn (O) thay đổi nhưng luôn đi qua B và C. Từ A kẻ tiếp tuyến AM, AN đến đường
tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC, MN cắt AO và AC lần lượt ở H, K.
1. Chứng minh M, N di động trên đường tròn cố định khi (O) thay đổi.
2. NI cắt (O) tại P. Chứng minh: MP song song BC.
3. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác OHK luôn đi qua hai điểm cố
định khi đường tròn (O) thay đổi.
4. Cho góc MON =
2
α
. Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác
AMN theo
α
và bán kính R của đường tròn (O).
Câu 5: (1 điểm) Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn các điều kiện:
333
3
1
ab
abc
abc
⎧
<
⎪
+=+
⎨
⎪
= ++
⎩

Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 1998
MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 19 – 07 – 1998 Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức:
22
22
1:
xy x xy y
xy xy
A
x yxxyy
⎛⎞⎛
+
=+ +
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
+++
⎝⎠⎝
xy
⎞
⎟

⎟
⎠

1. Rút gọn A.
2. Tìm m để phương trình A = m – 1 có nghiệm x, y thỏa mãn:
6xy+=
.
Câu 2: (2,5 điểm)
1. Tìm m để phương trình: x
2
– (2m + 1)x + m
2
– 1 = 0 có nghiệm x
1
, x
2
thỏa
mãn: .
22
12
5xx+=
2. Cho hàm số y = x
2
– (2m + 1)x + m
2
– 1, tìm m để đồ thị hàm số cắt trục
hoành tại hai điểm có hoành độ x
1
, x
2

thỏa mãn: x
1
< 0, x
2
> 0, x
2
> |x
1
|.
Câu 3: (4 điểm) Cho đường tròn tâm O, điểm A cố định thuộc đường tròn. Hai điểm B
và C chuyển động trên đường tròn (O) sao cho góc BAC =
α
không đổi (
α
> 90
0
).
Qua B dựng một tia song song với tia AC, qua C dựng một tia song song với tia AB.
Hai tia này cắt nhau ở D. Gọi E là trực tâm tam giác BCD, F là trực tâm tam giác ABC
và I là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:
1. Độ dài dây BC không đổi.
2. Điểm E cố định.
3. Ba điểm E, I, F thẳng hàng.
4. Điểm I thuộc một đường tròn cố định.
Câu 4: (1 điểm) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x
2
+ y
2
+ z
2

1. Chứng minh
rằng:
≥
333
1
xyz
yzx
++≥
.
Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc



ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 1999
MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 01 – 07 – 1999 Đề thi gồm: 01 trang


Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
2
11
:
x
P

x xx x xx
+
=
+ +−

1) Tìm x để biểu thức P có nghĩa. Rút gọn P.
2) Tìm các số nguyên x để
2
2
1
P
x
Q
x
+
=
+
nhận giá trị nguyên.
Câu 2: (2 điểm) Cho phương trình:
()
2
12 2mxmxm 0− −++=
, m là tham số.
1. Tìm m để phương trình trên luôn có 2 nghiệm phân biệt x
1
, x
2
. Khi đó tìm
hệ thức liên hệ giữa x
1

, x
2
không phụ thuộc vào m.
2. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
thỏa mãn hệ thức:
12
21
60
xx
xx
+ +=

Câu 3: (2 điểm) Cho hàm số y = mx
2
+ 3(m – 1)x + 2m + 1 (1)
a) Khi m = 1, hàm số (1) có đồ thị là (C). Gọi d là đường thẳng đi qua điểm
A(0;2) có hệ số góc k. Tìm giá trị của k để đường thẳng d tiếp xúc với (C).
b) Chứng minh đồ thị hàm số (1) luôn đi qua hai điểm cố định với m.
Câu 4: (3 điểm)
Cho đường tròn (O;R) có đường kính AB cố định. Đường thẳng xy là tiếp tuyến của
đường tròn tại điểm B. Đường kính MN quay quanh O (MN khác AB và MN không
vuông góc với AB). Gọi C, D lần lượt là giao điểm của đường thẳng AN, AM với
đường thẳng xy.
1. Chứng minh tứ giác MNDC nội tiếp.
2. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MNDC và K là trung điểm của
DC. Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành.
3. Gọi H là trực tâm tam giác MCD. Chứng minh H thuộc 1 đường tròn cố

định.
Câu 5: (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
()
4
2
2
1
1
x
A
x
+
=
+

Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2000
MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 01 – 07 – 2000 Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức:
(

)
(
)
.1
21 2
1.
1
12
1
x xx
xxxxxx
M
x
xx x
⎡ ⎤
−−
⎡⎤
−+ + −
⎢ ⎥
=− +
⎢⎥
⎢ ⎥
−
+−
⎣⎦
⎣ ⎦

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa và rút gọn M.
2) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức (2000 – M) khi x 4.
≥

3) Tìm x nguyên để M nhận giá trị nguyên.
Câu 2: (1 điểm) Giải phương trình sau:
(x – 1).(x + 2).(x – 6).(x – 3) = 34
Câu 3: (2 điểm) Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm I(0;1) và cắt parabol
y = x
2
tại hai điểm phân biệt M và N sao cho độ dài MN =
210
.
Câu 4: (3,5 điểm) Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (O). Trên đoạn BC lấy
điểm M, trên đoạn AB lấy điểm N, trên đoạn AC lấy điểm P sao cho BM = BN và
MC = CP.
1) Chứng minh: O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP.
2) Chứng minh: Tứ giác ANOP nội tiếp.
3) Tìm một vị trí của M, N, P để đoạn thẳng NP ngắn nhất
Câu 5: (1 điểm) Giải hệ phương trình với ẩn x, y sau:
()
()
22
1999 2000
1999 2000
1
.2
xy
xy yxxyxy
⎧
+=
⎪
⎨
−= − +++

⎪
⎩
001

Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.



Kì thi tuyển sinh lớp 10 trường PTCN năm 2001
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi: 01-07-2001

Bài 1: (2 điểm)
Cho biểu thức:
P=
3 9 3 1 1 1
2 :
1
2 1 2
x x
x
x x x x
 
 
  
 
 

   

 

a/ Tìm điều kiện của x để P có nghĩa, khi đó hãy rút gọn P.
b/ Tìm các số tự nhiên để
1
P
là số tự nhiên?
c/ Tính giá trị của P với x = 4 -
2 3 .

Bài 2: (2,5 điểm)
Cho phương trình: 2 2 1 2
x x x a
     , với a là tham số.
a/ Giải phương trình khi a=2.
b/ Với giá trị nào của a, phương trình đã cho vô nghiệm?

Bài 3: (4 điểm)
Cho đường tròn (O;R) và điểm A cố định với OA = 2R, đường kính BC của
(O;R) quay quanh O sao cho 3 điểm A,B,C không thẳng hàng. Đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA tại điểm thứ hai I.
1/ Tính độ dài đoạn OI.
Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.



2/ Khi đường thẳng AB, AC lại cắt (O;R) lần lượt tại D,E với D  B, C  E. Nối
DE cắt đường thẳng OA tại K.
a/ Chứng minh rằng: AK.AI = AE.AC
b/ Tính độ dài AK theo R.

c/ Chứng tỏ rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn đi qua một
điểm cố định F (F khác A) khi BC quay quanh O.

Bài 4: (1,5 điểm)
Cho x>0, hãy tìm x để hàm số f(x)=
 
2
2001
x
x 
, đạt giá trị lớn nhất và tính
giá trị lớn nhất đó của f(x).

____________________________

Kì thi tuyển sinh lớp 10 PTCNN năm 2002
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi: 30-06-2002

Bài 1: (2,0 điểm)
1. Chứng minh rằng
     
3
3 3 3
3
x y z x y z x y y z z x
        
2. Chứng minh rằng: Với , ,a b c Z thì
       

3 3 3 3
P a b c a b c b c a c a b           
chia hết cho 24.
Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.




Bài 2: (2,0 điểm)
Giải phương trình:








2
4 5 6 10 12 3
x x x x x
    

Bài 3: (2,0 điểm)
Chứng minh rằng:
1.
2 2 2
a b c ab bc ca     với mọi a,b,c
2.



4 4 4
x y z xyz x y z
     với mọi x,y,z

Bài 4: (3,5 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm (O). Các đường cao AD, BP,
CK cắt nhau tại H.
1. Chứng minh góc HAB bằng góc OAC.
2. Gọi E,M tương ứng là trung điểm của AH và BC. Chứng minh rằng tứ giác
KEPM là tứ giác nội tiếp được.
3. Qua A dựng đường thẳng Ax vuông góc với KP. Chứng minh rằng đường
thẳng Ax luôn đi qua một điểm cố định khi ba đỉnh A,B,C của tam giác
thay đổi trên đường tròn (O).

Bài 5: (0,5 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:
6 3 2
2 2 64x x y y  
______________________
Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.



Kì thi tuyển sinh lớp 10 PTCNN năm 2003
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi: 17-06-2003

Câu 1: (2,5 điểm)

Cho biểu thức A=
2 1 1
1 1 1
x x
x x x x x
 
 
   

1/ Tìm x để A có nghĩa. Rút gọn A.
2/ Tính A với
33 8 2x  

3/ Chứng minh rằng
1
3
A 

Câu 2: (2 điểm)
1/ Phân tích biểu thức
2 2
2 2
x x xy y y
    thành nhân tử
2/ Giải hệ phương trình:
2 2
- - 2 - 2
2 2
1
x x xy y y

x





 



Câu 3: (1,5 điểm)
Cho hàm số y = f(x) =


 
2 2
2
2 6 1 2 5
3 4
x x x
x x
   
 

1/ Tìm tập xác định của hàm số y = f(x)
2/ Chứng minh 3y  . Chỉ rõ dấu bằng xảy ra khi x bằng bao nhiêu ?
Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.

Câu 4 : (3 điểm)
Cho đường tròn (O) và dây AB. Gọi M là điểm chính giữa của cung AB ; điểm
C bất kì nằm giữa A và B thuộc dây AB. Tia MC cắt đường tròn (O) tại D.
1/ Chứng minh MA
2
= MC.MD
2/ Kẻ Bt tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD. Chứng minh BM và
Bt thuộc cùng một đường thẳng.
3/ Gọi O
1
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD ; O
2
là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ACD. Chứng minh rằng khi C chuyển động trên AB thì tổng các
bán kính của hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) không đổi.

Câu 5 : (1 điểm)
Cho phương trình (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = m. Biết phương trình đã cho có 4
nghiệm phân biệt x
1
,x
2
,x
3
,x

4
. Chứng minh x
1
.x
2
.x
3
.x
4
= 24-m
_____________________


Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên ngoại ngữ năm 2004
Môn thi : Toán
Thời gian : 150 phút
Ngày thi: 13-06-2004

Bài 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức
M=
2 1
1
1 2 1 2 1
x x x x x x x x
x
x x x x x
 
   
 

 
 

   
 

Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.



a. Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa, sau đó rút gọn M.
b. Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ
nhất đó.

Bài 2: (2,0 điểm)
a. Giải phương trình




2 2
3 2 7 12 24x x x x    
b. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2 2
2 5 4 2P x y xy x    

Bài 3: (2,0 điểm)
Giải hệ phương trình
2
2 2

6 3 1
1
x xy x y
x y

   


 




Bài 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn (O) và dây cung BC cố định. Gọi A là điểm di động trên cung
lớn BC của đường tròn (O), (A khác B,C). Tia phân giác của góc ACB cắt đường tròn
(O) tại điểm D khác điểm C. Lấy điểm I thuộc đoạn CD sao cho DI = DB. Đường
thẳng BI cắt đường tròn (O) tại điểm K khác điểm B.
a. Chứng minh tam giác KAC cân.
b. Chứng minh đường thẳng AI luôn đi qua 1 điểm J cố định, từ đó hãy xác định
vị trí của A để độ dài đoạn AI là lớn nhất.
c. Trên tia đối của tia AB lấy điểm M sao cho AM = AC. Tìm tập hợp các điểm M
khi A di động trên cung lớn BC của đường tròn (O).
Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.




Bài 5: (1,0 điểm)
Hãy tìm cặp số (x;y) sao cho y nhỏ nhất thỏa mãn:

2 2
5 2 4 3 0x y y xy    
_________________________

Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên ngoại ngữ năm 2005
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi: 12-06-2005

Câu 1: (2,0 điểm)
1. Rút gọn biểu thức:
1 1 1

2 1 1 2 3 2 2 3 2005 2004 2004 2005
A    
  

2. Cho đẳng thức:
           
2 2 2 2 2 2
2 2 2
x y y z z x x y z y z x x z y
             
Chứng minh rằng: x=y=z

Câu 2 : (3,0 điểm)
1. Giải phương trình :





2 2 2
3 3 2 3 2
x x x x x
    
2. Cho phương trình :
Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.






2
5 6 0x m x m     (1), với m là tham số.
Tìm m để giữa 2 nghiệm
1
x
;
2
x
của phương trình (1) có hệ thức :

1 2
2 3 13x x 

Câu 3 : (1,0 điểm)
Cho phương trình :





2 2 2
1 2 1 0m x m x m     (1), với m là tham số.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của :
2 2
1 2
A x x 
với
1
x
;
2
x
là nghiệm của phương trình (1).

Câu 4 : (3,0 điểm)
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O), có các đường phân giác trong
cắt nhau tại I. Các đường thẳng AI, BI, CI cắt đường tròn (O) tương ứng tại các
điểm M, N, P.
1. Chứng minh tam giác NIC cân tại N.
2. Chứng minh điểm I là trực tâm tam giác MNP.
3. Gọi E là giao điểm của MN và AC, F là giao điểm của PM và AB. Chứng minh
rằng 3 điểm E, I, F thẳng hàng.
4. Gọi K là trung điểm của BC và giả sử BI vuông góc với IK, BI=2IK. Hãy tính
góc A của tam giác ABC.

Câu 5: (1,0 điểm)
Giải phương trình:
3 2

5 6 12 8 0x x x   
Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.



_____________________
Kì thi tuyển sinh lớp 10 THPT Chuyên ngoại ngữ năm 2006
Môn thi: Toán
Thời gian: 150 phút
Ngày thi: 11-06-2006

Câu 1: (2,0 điểm)
Cho biểu thức:
1 2
1 : 1
1
1 1
x x
P
x
x x x x x
   
   
   
   

   
   

a. Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn biểu thức P.

b. Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức
Q P x  nhận giá trị nguyên.

Câu 2: (2,0 điểm)
a. Giải phương trình:
4 3 2
4 2 4 1 0x x x x    
b. Giải hệ phương trình:
2 2
2
3 2 0
2 3 5 0
x xy y
x xy

  


  




Câu 3: (2,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình
2
2
x
y


 . Gọi
(d) là đường thẳng qua điểm I(0;-2) và có hệ số góc k.
Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.



a. Viết phương trình đường thẳng (d). Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn
cắt parabol tại 2 điểm phân biệt A và B khi k thay đổi.
b. Gọi H, K theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A và B lên trục hoành.
Chứng minh rằng tam giác IHK vuông tại I.

Câu 4: (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O, bán kính R và AB là đường kính cố định của đường
tròn (O). Đường thẳng d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại B. MN là đường kính
thay đổi của đường tròn (O) sao cho MN không vuông góc với AB và M khác A, N
khác B. Các đường thẳng AM và AN cắt đường thẳng d tương ứng tại C và D. Gọi I
là trung điểm của đoạn thẳng CD, H là giao điểm của AI và MN. Khi MN thay đổi,
chứng minh rằng:
a. Tích AM.AC không đổi.
b. Bốn điểm C, M, N, D cùng thuộc một đường tròn.
c. Điểm H luôn thuộc một đường tròn cố định.
d. Tâm J của đường tròn ngoại tiếp tam giác HIB luôn thuộc một đường thẳng
cố định.

Câu 5: (1,0 điểm)
Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện x+y = 1. Hãy tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức:
2 2
1 1
A

x y xy
 


____________________
Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2007
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 10 – 06 – 2007 Đề thi gồm: 01 trang
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
2
2
11 11 1
.1
2
1111
xxx
P
xxxx
⎛⎞
⎛⎞

+− −+ −
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−+ − +− +
⎝⎠
⎝⎠
+

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P.
2) Tìm x để
2
2
P ≤
.
Câu 2: (2 điểm)
1) Giải phương trình:
(
)
11 1xx xx++=+ +

2) Giải hệ phương trình:
32
32
22
22
xyx
yxy
⎧

+=
⎪
⎨
4
4
+ =
⎪
⎩

Câu 3: (2 điểm)
1) Cho phương trình (1), với m là tham số. Tìm giá
trị của m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
()
2
32xmxm−++=
2
0
1
, x
2
thỏa mãn:
x
1
= 9x
2
.
2) Trong mặt phẳng Oxy cho ba đường thẳng (d
1
): y = - x + 1, (d
2

): y = x – 1 và
(d
3
):
32
1
ax + a
3
y=− − −
a
. Tìm a để (d
1
) cắt (d
2
) tại một điểm thuộc (d
3
).
Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn tâm O và đường tròn tâm I là hai đường tròn cố định
cắt nhau tại hai điểm A và B, biết rằng đường tròn (I) đi qua điểm O. Vẽ hai đường
kính AE và BF của đường tròn (O). Gọi C là một điểm di động trên cung
p
EF
của
đường tròn (O) (cung
p
EF
không chứa điểm A) với C khác E và F. Đường thẳng CO
cắt đường tròn (O) và đường tròn (I) lần lượt tại K và D (K khác C, D khác O).
1) Chứng minh rằng:
n

n
0
180CA
.
D OBK+=
2) Chứng minh K là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABD.
3) Xác định vị trí điểm C trên cung
p
EF
sao cho diện tích tứ giác ABCD lớn nhất.

Câu 5: (1 điểm) Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
111 1 1 1
3
222abc a bb cc a
⎛⎞
++≥ + +
⎜⎟
+++
⎝⎠

Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2008
MÔN THI: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 08 – 06 – 2008 Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
3
2
.
xy xy xy
y
P
x
yxy
xy yx xy yx
⎛⎞
−+
=+ −
⎜⎟
⎜⎟
+ −
+−
⎝⎠

Chứng minh rằng P luôn nhận giá trị nguyên với mọi x, y thỏa mãn điều kiện:
0, 0,xyx>>≠y

Câu 2: (3 điểm)
1) Giải phương trình:
32
33

121 3xx xx2+ ++=+ ++

2) Tìm x, y là các số nguyên thỏa mãn đẳng thức: x
2
– xy – y + 2 = 0
Câu 3: (3 điểm)
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB và C là điểm chính giữa của cung
p
A
B
.
Gọi K là trung điểm của đoạn thẳng BC. Đường thẳng đi qua hai điểm A và K cắt
đường tròn (O) tại điểm M (M khác A). Kẻ CH vuông góc với AM (với H là chân
đường vuông góc). Đường thẳng OH cắt đường thẳng BC tại N, đường thẳng MN cắt
đường tròn (O) tại điểm D (D khác M).
1) Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành.
2) Chứng minh hai tam giác OHC và OHM bằng nhau.
3) Chứng minh ba điểm B, H, D thẳng hàng.
Câu 4: (1 điểm)
Tìm tất cả các nghiệm nhỏ hơn – 1 của phương trình:
()
2
2
2
8
1
x
x
x
+ =

+
.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b là các số không âm thỏa mãn
22
2ab+ ≤
, hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
(
)
(
)
32 32
M
aba b bab a=+++
.
Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc


ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2009
MÔN THI: TOÁN
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 07 – 06 – 2009 Đề thi gồm: 01 trang

Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:

32 32
3
3
33 3
32
3
82
:2
22 2
2
xx xx
Ax
xx x
4
x x
⎛⎞
⎛⎞
−−
=+++
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
++ −
+
⎝⎠
⎝⎠

Với . Chứng minh rằng giá trị của A không phụ thuộc vào x.
8; 8; 0xx x≠≠−≠

Câu 2: (2 điểm) Cho phương trình:
(
)
22
214xmxmm0− ++−=
, m là tham số.
1. Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
2. Gọi x
1
; x
2
là các nghiệm của phương trình trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
12
A
xx=−
.
Câu 3: (2 điểm) Giải hệ phương trình:
(
)
22
22
20
4240
xy xyxy
xy xy
⎧
+ +++=
⎪
⎨

++−+=
⎪
⎩

Câu 4: (3 điểm) Trên đường tròn tâm O, bán kính R ta lấy hai điểm A, B tùy ý. Giả sử
C là một điểm nằm phía trong đoạn thẳng AB (C khác A và B). Kẻ đường kính AD của
đường tròn (O). Cát tuyến đi qua C và vuông góc với đường kính AD tại H, cắt đường
tròn (O) tại M và N. Đường thẳng đi qua M và D cắt AB tại E. Kẻ EG vuông góc với
AD tại G.
1. Chứng minh BDHC và AMEG là các tứ giác nội tiếp.
2. Chứng minh: AM
2
= AB.AC
3. Chứng minh: AE.AB + DE.DM = 4R
2
.
Câu 5: (1 điểm) Với x, y là những số thực thỏa mãn điều kiện x + y + xy = 8.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = x
2
+ y
2
.
Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI NGỮ
CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NGOẠI NGỮ NĂM 2010
MÔN THI: TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian phát đề)
Ngày thi: 06 – 06 – 2010 Đề thi gồm: 01 trang
ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1: (2 điểm) Cho biểu thức:
21
:
9
33
xx x
P
x
2
x
xxx
⎛⎞⎛
−
=+ −
⎜⎟⎜
⎜⎟⎜
−
+−
⎝⎠⎝
⎞
⎟
⎟
⎠

1) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P.
2) Tìm giá trị của x để
4
3
P =−
.
Câu 2: (2 điểm)
1) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn đẳng thức: x
2
+ 4x + 1 = y
4
.
2) Giải hệ phương trình sau:
22
3
3
3( ) 1
xxyy
xyx
⎧
+ +=
⎪
⎨
+ −=
⎪
⎩

Câu 3: (2 điểm)
Cho phương trình ẩn x: (m – 10)x
2

+ 2(m – 10)x + 2 = 0 (m là tham số).
1) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
.
2) Chứng minh rằng khi đó ta có:
332 2
121212
4xxxxxx+ ++<−
.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và AB < AC. Vẽ đường cao AD và đường phân
giác trong AO của tam giác ABC (D, O thuộc BC). Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc
với AB, AC lần lượt tại M và N.
1. Chứng minh các điểm M, N, O, D, A cùng thuộc một đường tròn.
2. Chứng minh:
n
n
BDM CDN=
.
3. Đường thẳng qua O và vuông góc với BC cắt MN tại I. Đường thẳng AI
cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh K là trung điểm của cạnh BC.
Câu 5: (1 điểm)
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện: a + b + c + ab + bc + ca = 6. Chứng
minh rằng:
333
222
3
abc

abc
bca
++≥++≥

Vn phòng Chuyên ng: 0986619810 of 24.