Chap02 kinh tế lượng tmu

KINH TẾ LƯỢNG

BỘ MƠN PHÂN TÍCH DỮ LIỆU KINH TẾ
KHOA TỐN KINH TẾ

Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

1 / 19


Chương 2. MƠ HÌNH HỒI QUY HAI BIẾN
1

Phương pháp bình phương nhỏ nhất
Mơ hình hồi quy tuyến tính hai biến
Phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS)
Các tính chất của ước lượng OLS

2

Các giả thiết cơ bản của mơ hình hồi quy hai biến
Các giả thiết cơ bản của phương pháp OLS
Các đặc trưng của hệ số ước lượng
Giải thiết về phân phối xác suất của Ui

3

Khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy
Khoảng tin cậy của các hệ số hồi quy

Kiểm định giả thuyết về các hệ số hồi quy

Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

2 / 19


§1. Phương pháp bình phương nhỏ nhất

Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

3 / 19


1.1 Mơ hình hồi quy tuyến tính hai biến
Yi = β1 + β2 Xi + Ui .

(1)

Trong đó :
Yi là giá trị của biến phụ thuộc Y .
β1 là hệ số chặn.
β2 là hệ số góc của biến giải thích.
Ui là sai số ngẫu nhiên.


Mơ hình hồi quy mẫu xây dựng dựa trên mẫu ngẫu nhiên kích thước n : (Yi , Xi ), i = 1, n .
Yˆi = βˆ1 + βˆ2 Xi

(2)

Trong đó
Yˆi là ước lượng của Yi hoặc E (Y /Xi ), i = 1, n.
βˆj là ước lượng của các hệ số hồi quy tổng thể (j = 1, 2).
Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

4 / 19


1.2 Phương pháp bình phương nhỏ nhất (OLS)
Kí hiệu ei = Yi − Yˆi là phần dư của hàm hồi quy mẫu.
Phương pháp OLS đòi hỏi các hệ số hồi quy được xác định sao cho
n
X
i=1

ei2 =

n 
X

Yi − βˆ1 − βˆ2 Xi

2

= f (βˆ1 , βˆ2 ) −→ min

i=1

Các hệ số βˆ1 , βˆ2 thỏa mãn (3) gọi là ước lượng bình phương nhỏ nhất của β1 , β2 .
Ta có f (βˆ1 , βˆ2 ) nhỏ nhất khi βˆ1 , βˆ2 là nghiệm hệ phương trình

∂f


 ˆ =0
∂ β1
∂f


 ˆ =0
∂ β2

Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế

(3)

Kinh tế lượng

(4)

5 / 19

P 

 2 Yi − βˆ1 − βˆ2 Xi (−1) = 0

(4) ⇔ P 
 2 Yi − βˆ1 − βˆ2 Xi (−Xi ) = 0
(
P
P
nβˆ1 + ( Xi ) βˆ2 = Yi
⇔ P
P 2
ˆ
P
( Xi ) βˆ1 +
Xi β2 = Xi Yi .




P

n


P
P
X
i

P 2

= n Xi2 − ( Xi )2 ̸= 0.
Ta có, định thức ∆ =
P
Xi
Xi
1P
1P
Đặt Y =
Yi ; X =
Xi và xi = Xi − X ; yi = Yi − Y , thì hệ (5) có nghiệm
n
n
P
P
P
P
yi xi
n
Y
X
−
(
Y
)(
X
)
i
i

i
i
= P 2
βˆ2 =
P 2
P
2
xi
n Xi − ( Xi )
βˆ1 = Y − βˆ2 X .
Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

(5)

(6)
(7)
6 / 19


Ví dụ 2.1
Theo dõi thu nhập hàng tháng và mức chi về hàng thực phẩm của 8 gia đình có số thành viên
như nhau, ta có số liệu sau (đơn vị: triệu đồng)
Xi
Yi

1.2
0.9

3.1
1.2

5.3
1.8

7.4
2.2

9.6
2.6

11.8
2.9

14.5
3.3

18.7
3.8

Trong đó:
Xi : thu nhập hàng tháng của gia đình thứ i
Yi : mức chi cho hàng thực phẩm của gia đình thứ i.
Dựa vào bảng số liệu trên và phương pháp OLS hãy xây dựng hàm hồi qui mẫu:
Yˆi = βˆ1 + βˆ2 Xi .

Bộ môn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

7 / 19


Bảng kết quả
i
1
2
3
4
5
6
7
8
P

Xi
1.20
3.10
5.30
7.40
9.60
11.80
14.50
18.70
71.60

Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế

Yi

0.90
1.20
1.80
2.20
2.60
2.90
3.30
3.80
18.70

xi
-7.75
-5.85
-3.65
-1.55
0.65
2.85
5.55
9.75
0.00

xi2
60.06
34.22
13.32
2.40
0.42
8.12
30.80
95.06

244.42

Kinh tế lượng

yi
-1.44
-1.14
-0.54
-0.14
0.26
0.56
0.96
1.46
0.00

yi2
2.07
1.29
0.29
0.02
0.07
0.32
0.93
2.14
7.12

xi yi
11.14
6.65
1.96

0.21
0.17
1.60
5.34
14.26
41.35

8 / 19


Từ đó X = 8.95 và Y = 2.34, khi đó
P
yi xi
41.35
ˆ
= 0.169
β2 = P 2 =
244.42
xi
βˆ1 = Y − βˆ2 X = 2.34 − 0.169 ∗ 8.95 = 0.827
Khi đó, hàm hồi quy mẫu
Yˆi = 0.827 + 0.169Xi
Ý nghĩa hệ số hồi quy:
βˆ2 = 0.169 phản ánh là khi thu nhập của gia đình tăng thêm 1 triệu đồng thì mức chi trung
bình hàng tháng cho hanhg thực phẩm tăng lên 169 ngàn đồng.

Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

9 / 19


1.3 Các tính chất của ước lượng OLS
1

2

3

4

5

Đường hồi quy mẫu đi qua điểm trung bình (X , Y ), tức là
Y = βˆ1 + βˆ2 X
Giá trị trung bình của các giá trị Yˆ được xác định theo hàm hồi quy mẫu bằng giá trị
trung bình của biến phụ thuộc, tức là
1P ˆ
Yˆ =
Yi = Y
n
Tổng các phần dư của hàm hồi quy mẫu bằng 0, tức là
P
ei = 0
Các phần dư ei không tương quan với Xi , tức là
P
ei Xi = 0
ˆ
Các phần dư ei không tương quan với Yi , tức là

P ˆ
ei Yi = 0
Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

10 / 19


§2. Các giả thiết cơ bản của mơ hình hồi quy hai
biến

Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

11 / 19


2.1 Các giả thiết cơ bản của phương pháp OLS
Giả thiết 1
Biến giải thích X là phi ngẫu nhiên, giá trị của nó là xác định.

Giả thiết 2
Kì vọng tốn của các sai số ngẫu nhiên Ui bằng 0, tức là
E (Ui ) = E (Ui /Xi ) = 0

Giả thiết 3
Phương sai của các sai số Ui là không đổi (phương sai thuần nhất)
Var (Ui ) = Var (Ui /Xi ) = σ 2 , ∀i

Từ giả thiết 3, ta cũng được Var (Yi /Xi ) = σ 2 , ∀i
Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

12 / 19


Giả thiết 4
Các sai số Ui không tương quan với nhau
Cov (Ui , Uj ) = 0, ∀i ̸= j.

Giả thiết 5
Các sai số Ui và Xi không tương quan với nhau
Cov (Ui , Xi ) = 0, ∀i

Bộ môn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

13 / 19


2.2 Các đặc trưng của hệ số ước lượng
Với các giả thiết 1-5 thỏa mãn, ta có
σ2
Var (βˆ2 ) = P 2
xi
P
2

X2
σ
Var (βˆ1 ) = P 2i
n xi
Các độ lệch chuẩn của các hệ số hồi quy mẫu
s
σ2
σ
se(βˆ2 ) = P 2 = qP
xi
xi2
s P
sP
2
2
σ
X
X2
P 2i = σ
P i2.
se(βˆ1 ) =
n xi
n xi
Do Var (Ui ) = σ 2 chưa biết, ta thường lấy ước lượng khơng chệch của nó là
P 2
ei
2
2
σ ≈σ
ˆ =

n−2
Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế
Kinh tế lượng

(8)
(9)

(10)

(11)

(12)
14 / 19


Định lí Gauss - Markov
Với các giả thiết của phương pháp OLS thì các ước lượng OLS βˆj là các ước lượng tuyến tính,
khơng chệch và có phương sai nhỏ nhất trong lớp các ước lượng tuyến tính, khơng chệch của
βj (j = 1, 2).
 
n
P
ki Yi , ki = const và E βˆ2 = β2 .
Cụ thể, ta có βˆ2 =
i=1

Với β2∗ là ước lượng tuyến tính, khơng chệch bất kì của β2 , ta có
σ2
Var (βˆ2 ) = P 2 ≤ Var (β2∗ )
xi

Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

15 / 19


2.3 Giải thiết về phân phối xác suất của Ui

Giả thiết 6
Sai số ngẫu nhiên Ui có phân phối chuẩn, tức là
Ui ∼ N(0; σ 2 )
Với các giả thiết 1-6 mơ hình hồi quy hai biến (1) được gọi là mơ hình hồi quy hai biến cổ điển.




1. βˆ1 ∼ N β1 , Var (βˆ1 )
2. βˆ2 ∼ N β2 , Var (βˆ2 )
(n − 2)ˆ
σ2
3. χ2 =
∼ χ2(n−2) 4. Yi ∼ N(β1 + β2 Xi , σ 2 )
σ2
5. Các ước lượng OLS βˆ1 , βˆ2 của β1 , β2 là các ước lượng hiệu quả.

Bộ môn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

16 / 19


§3. Khoảng tin cậy và kiểm định giả thuyết về các
hệ số hồi quy

Bộ mơn Phân tích dữ liệu kinh tế

Kinh tế lượng

17 / 19