Giáo trình lý thuyết tính toán

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN







GIÁO TRÌNH
LÝ THUYẾT
TÍNH TOÁN

PGS.TS. PHAN HUY KHÁNH
ĐÀ NẴNG 1999


PGS.TS. PHAN HUY KHÁNH biên soạn 1

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1 NHẬP MÔN LÝ THUYẾT TÍNH TOÁN 1
I. CÁC ĐỐI TƯỢNG ĐƯỢC XỬ LÝ TRONG TIN HỌC 1
II. CÁC MÁY (MACHINES) 2
II.1. Khía cạnh chức năng (functional look) 2
II.2. Khía cạnh cấu trúc (structural look) 3
III. MÔ HÌNH TÍNH TOÁN 4

IV. ĐỊNH NGHĨA BÀI TOÁN 5
CHƯƠNG 2 MÔ HÌNH CÁC MÁY RAM 9
I. CÁC MÁY RAM 9
II. MÔ PHỎNG MỘT MÁY BỞI MỘT MÁY KHÁC 16
III. MỘT MÔ HÌNH THÔ SƠ KIỂU RAM 19
III.1. Mô phỏng các phép toán trên chuỗi ký tự
bởi các phép toán trên các số nguyên 19

III.2. Thu gọn tập hợp các lệnh ngắt 20
III.3. Thu gọn tập hợp các lệnh số học 20
IV. MÁY RAM VẠN NĂNG 22
CHƯƠNG 3 MÔ HÌNH CÁC MÁY TURING 25
I.
MÔ TẢ VÀ HOẠT ĐỘNG CỦA MÁY TURING 25
I.1. Mô tả máy Turing 25
I.2. Hoạt động của máy Turing 26
I.3. Cấu hình xuất phát của máy Turing 29
I.4. Máy Turing đơn định 29
II. CAC HÀM T-TÍNH ĐƯỢC 30
III. LỚP CÁC HÀM T-TÍNH ĐƯỢC 32
III.1. Một số hàm sơ cấp 32
III.1.1. Các hàm hằng (constant functions) 32
III.1.2. Các hàm chiếu (projection functions) 33
III.2. Các hàm kế tiếp (successor functions) 33
III.3. Các hàm kế trước (predecessor functions) 34
III.4. Sự hợp thành (composition) 34
III.3.1. Các máy được tiêu chuẩn hóa 35
III.3.2. Các máy Turing được chuẩn hóa 36
III.3.3. Tổ hợp các máy Turing 36

III.5. Lập trình trên ngôn ngữ bậc cao máy Turing 37
III.4.1. Cấu trúc if then else và cấu trúc rẽ nhiều nhánh 37
III.4.2. Cấu trúc while 38
III.6. Quản lý bộ nhớ 39
III.5.1. Máy Turing chuyển một ô qua phải 39
2 Lý thuyết tính toán
III.5.2. Máy Turing chỉ sử dụng phần băng bên phải
kể từ vị trí đầu tiên của đầu đọc-ghi 39
III.7. Một số máy Turing thông dụng 40
III.6.1. Sao chép 40
III.6.2. Kiểm tra bằng nhau 41
III.6.3. Liệt kê các câu, các cặp câu và dãy các câu 41
III.6.4. Các hàm chiếu ngược (antiprojection function) 42
III.6.5. Các hàm giao hoán 42

III.7. Các hàm T-tính được phức tạp hơn 42
III.8. Nhận xét 43
IV. CÁC BIẾN THẾ KHÁC CỦA MÔ HÌNH MÁY TURING 46
IV.1. Mô phỏng một máy Turing bởi một máy khác 46
IV.2. Các biến thể của máy Turing 48
IV.2.1. Máy Turing có k băng 48
IV.2.2. Các máy off−line và các máy có băng ra 49
IV.2.3. Các máy Turing không đơn định 49
IV.2.4. Thu gọn một bảng chữ còn ba ký tự 50
IV.2.5. Rút gọn một bảng chữ còn hai ký tự 52

IV.3. Các máy Turing có băng vô hạn một phía 52
V. MÁY TURING VẠN NĂNG 53
VI. TỒN TẠI CÁC HÀM KHÔNG LÀ T−TÍNH ĐƯỢC 55
CHƯƠNG 4 LUẬN ĐỀ CHURCH 59

I. TƯƠNG ĐƯƠNG GIỮA CÁC MÔ HÌNH MÁY TURING VÀ MÁY RAM 59
I.1. Mọi hàm T-tính được cũng là R
−
tính được 59
I.2. Mọi hàm R
−
tính được cũng là T
−
tính được 60
I.2.1. Tăng nội dung thanh ghi n lên 1 60
I.2.2. Giảm 1 nội dung thanh ghi n 60
I.2.3. Đưa nội dung thanh ghi n về 0 60
I.2.4. Nhảy theo nội dung thanh ghi n 61
I.2.5. Hoán vị nội dung hai thanh ghi n và m 61

I.3. Sự khác nhau giữa máy Turing và máy RAM 61
II. MÔ HÌNH CÁC HÀM ĐỆ QUY 62
II.1. Các hàm đệ quy nguyên thủy (primitive recursive functions) 62
II.1.1. Xây dựng các hàm sơ cấp 62
II.1.2. Sơ đồ hợp thành tổng quát 62
II.1.3. Sơ đồ đệ quy đơn (simple recurrence) 63
II.1.4. Sơ đồ đệ quy đồng thời 63
II.1.5. Các hàm được định nghĩa bởi case 65

II.2. Các hàm đệ quy 67
II.2.1. Sơ đồ tối thiểu 67
II.2.2. Các hàm đệ quy trừu tượng (abstract recursive functions) 68
II.2.3. Một số ví dụ 68

II.3. Các hàm đệ quy đều T

−
tính được 70
II.3.1. Sơ đồ hợp thành tổng quát 70
II.3.2. Sơ đồ đệ quy đơn 70
II.3.3. Sơ đồ tối thiểu 71
Nhập môn lý thuyết tính toán 3

II.4. Mọi hàm T
−
tính được là đệ quy bộ phận 71
III. LUẬN ĐỀ CHURCH 73
CHƯƠNG 5 CÁC BÀI TOÁN KHÔNG QUYẾT ĐỊNH ĐƯỢC 77
I. CÁC NGÔN NGỮ LIỆT KÊ ĐỆ QUY VÀ CÁC NGÔN NGỮ ĐỆ QUY 77
II. CÁC BÀI TOÁN KHÔNG QUYẾT ĐịNH ĐƯỢC 82
III. THUẬT TOÁN RÚT GỌN MỘT BÀI TOÁN VỀ BÀI TOÁN KHÁC 83
CHƯƠNG 6 ĐỘ PHỨC TẠP TÍNH TOÁN 93
I. ĐỘ PHỨC TẠP VỀ THỜI GIAN VÀ VỀ BỘ NHỚ 84
II. CÁC LỚP CỦA ĐỘ PHỨC TẠP 84
II.1. Hiện tượng nén 84
II.2. Các họ P, NP và P
−
bộ nhớ (P
−
space) 84
III. RÚT GỌN ĐA THỨC VÀ CÁC BÀI TOÁN NP−ĐẦY ĐỦ 84
III.1. Khái niệm 84
III.2. Các bài toán cổ điển 84
III.3. Ví dụ về rút gọn kiểu đa thức 84

PGS.TS. PHAN HUY KHÁNH biên soạn 1

CHƯƠNG 1
Nhập môn lý thuyết tính toán
(Introduction to the theory of computation)
It’s not bad being the small fish.
I. Các đối tượng được xử lý trong Tin học
Trong Tin học, các đối tượng (objects) được xử lý thông thường là những
phần tử thuộc vào những tập hợp vô hạn đếm được. Những phần tử này luôn luôn
được biểu diễn (represented) dưới một dạng nào đó.
Chẳng hạn trong ngôn ngữ tự nhiên, số nguyên 1999 được biểu diễn trong hệ
đếm cơ số 10 (hệ thập phân) gồm một dãy bốn chữ số thập phân thuộc bảng ch
ữ
số {0, 1, , 9}. Việc xử lý (thực hiện các phép toán số học thông thường) đối với
các số nguyên được tiến hành trên cách biểu diễn cơ số 10 này.
Ví dụ : Phép cộng hai số 1999 + 1 = 2000.
Người ta giả thiết rằng các đối tượng được xử lý là những câu (word, hay
sentence) được xây dựng trên một bảng chữ (alphabet) hữu hạn, được xem như là
sự biểu diễn của đối tượng trong một b
ản chất khác.
Định nghĩa 1.1 :
Một bảng chữ S là một tập hợp hữu hạn các chữ (letters), hay là các ký tự
(symbols, hay characters).
Số lượng các ký tự, còn gọi là bản số (cardinality) hay lực lượng của S, được
ký hiệu ||S||, hay |S|, nếu không sợ nhầm lẫn.
Một câu, hay một từ, trên bảng chữ S đã cho là một dãy hữu hạn các ký tự của
bảng chữ S được viết liên tiếp nhau.
Độ dài (length) của một câu (trên bảng chữ S đã cho) là số lượng các ký tự có

mặt trong câu. Câu rỗng (empty word), được ký hi
ệu là e (ω hoặc e, hoặc l), là
câu có độ dài không, tức không chứa ký tự nào.
Ghép (concatenation) của hai câu là đặt kế tiếp hai câu đã cho (trên cùng
dòng) để nhận được một câu mới. Bằng cách ghép liên tục như vậy cho mọi ký
tự, mọi câu của S, ta nhận được một tập hợp chứa mọi câu có thể trên S, ký hiệu
S
*
. Người ta nói S
*
là một cấu trúc đồng đẳng (nonoide), mà phần tử trung hòa
(neutral element) chính là câu rỗng.
Cho trước một bảng chữ S, người ta định nghĩa một quan hệ có thứ tự toàn
phần (total order) trên S
*
như sau : cho một thứ tự tùy ý trên các ký tự của S,
2 Lý thuyết tính toán
người ta sắp xếp các câu theo một thứ tự phân cấp (hierechical order), đầu tiên là
theo độ dài câu, sau đó theo thứ tự từ vựng (lexicography), hay thứ tự ABC.
Ví dụ :
Cho S = {a, b, c}, với giả thiết thứ tự phân cấp của các ký tự là a < b < c, ta
có thể đánh số các câu của S
*
(kể cả câu rỗng e) bắt đầu từ 1 trở đi như sau :

Hình 1.1. Thứ tự phân cấp trong S
*

II. Các máy (machines)
II.1. Khía cạnh chức năng (functional look)

Một máy (machine) được biểu diễn một cách hệ thống như sau :

Hình 1.2. Khía cạnh chức năng của một máy
Ở lối vào, người ta cung cấp một hoặc nhiều dữ liệu (data) cho máy, thì lối ra,
người ta nhận được kết quả (result).
Giả thiết rằng các dữ liệu vào có dạng là dãy các ký tự, là một câu trên một
bảng chữ nào đó đã cho (vào từ bàn phím chẳng hạn). Kết quả là mộ
t phần tử của
một tập hợp xác định trước (predefini). Người ta phân biệt các kiểu máy
(machine type) tùy theo bản chất của tập hợp kết quả này như sau :
1. Nếu tập hợp chỉ có hai phần tử { không, có } hay {0, 1}, máy sẽ chia dữ
liệu vào thành ba phần tùy theo kết quả :
 Tập hợp các câu trên bảng chữ vào sau khi được xử lý sẽ cho ra một kết
quả là có (đúng, true), hoặc không (sai, false).
 Tập hợp các câu mà máy đưa ra một kết quả khác.
 Tập hợp các câu trên bảng chữ vào mà máy không cho kết quả nào.
e
1

a
2
b
3
c
4

aa
5
ab
6

ac
7
ba
8
bb
9
bc
10
ca
11
cb
12
cc
13

aaa
14
aab
15
aac
16
. . .
Dữ liệu vào
Máy
Dữ liệu ra
Nhập môn lý thuyết tính toán 3

Các tập hợp này tạo thành các ngôn ngữ (language). Hai tập hợp đầu là bù
nhau nếu với mọi dữ liệu vào, máy đều cho một kết quả. Người ta gọi đó là
máy đoán nhận (recognition machine) câu.

2. Nếu kết quả là một dãy hữu hạn các ký tự, ta nhận được một câu trên một
bảng chữ G nào đó.
Cho S là bảng chữ vào, máy xác định một hàm f từ S
*
vào G
*
, ta viết :
f : S
*
→ G
*

nghĩa là với một câu vào w ∈ S
*
, f(w) ∈ G
*
. Người ta nói máy thực hiện
hàm f. Nếu với mọi câu vào w ∈ S
*
, máy đều cho một kết quả f(w) ∈ G
*
,
thì f được gọi là hàm toàn phần (partial function). Người ta gọi đó là máy
tính toán (computation machine) hay máy tính.
Chú ý rằng kiểu máy thứ nhất (máy đoán nhận) mà chúng ta vừa phân biệt
thực ra chỉ là một trường hợp đặc biệt của kiểu máy thứ hai (máy tính).
3. Nếu kết quả là một dãy vô hạn các ký tự và bảng chữ đang sử dụng chỉ có
tối thiểu hai ký tự, trong đó có một dấu phân cách (separator) #, thì ng
ười ta
nhận được kết quả là một dãy liên tiếp các câu phân cách nhau bởi dấu #,

tạo thành một ngôn ngữ. Người ta gọi ngôn ngữ này là liệt kê được
(enumerated) bởi máy.
II.2. Khía cạnh cấu trúc (structural look)
Ở đây, ta chỉ quan tâm đến các máy được mô tả đầy đủ về chức năng hoạt
động của chúng. Những máy này có thê :
 Thực hiện các phép toán sơ cấp (elementary operation) trong một khoảng
thời gian hữu hạn. Mỗi phép toán, giả thiết không chia cắt nhỏ hơn được,
được chọn trong một tập hợp hữu hạn các phép toán là một phần mô tả cấu
trúc máy.
 Lần lượt thực hiện các phép toán sơ cấp theo một thứ tự xác định trước, tạo
thành một chương trình (program), là một phần mô tả cấu trúc máy.
Một dãy các phép toán sơ cấp được máy thực hiện liên tiếp được gọi là một
tính toán (computation) của máy.
4 Lý thuyết tính toán
III. Mô hình tính toán
Thay vì phải thay đổi lại máy tính mỗi lần thay đổi bài toán cần giải, người ta
định nghĩa các lớp máy có cùng nguyên lý hoạt động và chúng chỉ khác nhau ở
chương trình.
Người ta gọi mô hình tính toán (model), ký hiệu
T, là sự mô tả tất cả các phép
toán sơ cấp có thể được thực hiện trên những đối tượng nào, cách tác động lên
mỗi một trong chúng như thế nào, và mô tả cách thức chương trình được thực
hiện (execution) trên máy.
Một trường hợp riêng (instance) của mô hình là một máy biệt lập nào đó, gọi
tắt là máy, hoạt động theo cách mô hình tính toán đã chỉ ra. Máy này được định
nghĩa bởi dữ liệu vào của chương trình :
Mô hình + Chương trình = Máy
Một khi một mô hình tính toán
T được định nghĩa, được gọi là một T−máy,
vấn đề đặt ra là làm sao để có thể biết :

− lớp ngôn ngữ đoán nhận được (recognized), được gọi là
T
−
nhận biết được,
hoặc
− lớp các hàm tính được (computable), được gọi là
T−tính được, hoặc
− lớp các ngôn ngữ liệt kê được (enumerable) được gọi là
T −liệt kê được,
bởi một máy nào đó của mô hình này ?
Hai mô hình tính toán được đưa ra so sánh với nhau : một mô hình
T
1
được
nói là mạnh hơn so với một mô hình
T
2
nếu :
− mọi ngôn ngữ
T
2
−nhận biết được cũng là T
1
−nhận biết được, hoặc
− mọi hàm
T
2
-tính được cũng là T
1
−tính được, hoặc

− mọi ngôn ngữ
T
2
-liệt kê được cũng là T
1
-liệt kê được.
Hai mô hình được gọi là tương đương (equivalent) nếu mỗi mô hình mạnh
hơn mô hình kia và ngược lại.
Hai mô hình là không thể so sánh với nhau được nếu không tồn tại mô hình
nào ít ra đủ mạnh hơn mô hình kia.

Nhập môn lý thuyết tính toán 5

IV. Định nghĩa bài toán
Trong Tin học lý thuyết, định nghĩa về bài toán (problem) có vai trò đặc biệt
quan trọng, khác với khái niệm thông thường về bài toán được dùng trong lĩnh
vực Toán học hoặc hiểu theo nghĩa thông dụng.
Định nghĩa 1.2 :
Một bài toán là :
− Sự mô tả cách biểu diễn (hữu hạn) các phần tử của một tập hợp hữu hạn
hay vô hạn đếm được.
− Một phát biểu liên quan đến các phần tử của tập hợp này, có thể là đúng,
hoặc có thể là sai tùy theo phần tử được chọn.
Sau đây là một số ví dụ :
Bài toán 1 :
Dữ liệu: Một số nguyên viết trong hệ 10.
Câu hỏi : Số nguyên đã cho có là số nguyên tố hay không ?
Bài toán 2 :
Dữ liệu : Một số nguyên viết trong hệ 10.
Câu hỏi : Có phải số nguyên này được viết dưới dạng tổng của 4 số bình phương

?
Bài toán 3 :
Dữ liệu : Một số
nguyên viết dưới dạng tích của các số hạng trong hệ 10.
Câu hỏi : Số nguyên đã cho có là số nguyên tố hay không ?
Bài toán 4 :
Dữ liệu : Một đồ thị hữu hạn được biểu diễn bởi một danh sách gồm các đỉnh
và các cung, trong đó mỗi đỉnh được biểu diễn bởi một số nguyên
trong hệ 10.
Câu hỏi : Có tồn tại một đường đi Hamilton (đi qua hết tất cả
các đỉnh của
đồ thị, mỗi đỉnh đi qua đúng một lần) trong đồ thị đã cho không ?
Bài toán 5 :
Dữ liệu : Một biểu thức chính quy (regular expression) được xây dựng trên
một bảng chữ S (là một biểu thức nhận được từ các câu w∈S
*
bởi
các phép hoặc, phép ghép tiếp, phép
*
và lấy bù).
Câu hỏi : Có phải biểu thức đã cho biểu diễn (hay chỉ định) một ngôn ngữ
trống (empty language) hay không ?
Bài toán 6 :
Dữ liệu : Một dãy hữu hạn các cặp câu (u
1
, v
1
), (u
2
, v

2
) , (u
k
, v
k
).
Câu hỏi : Tồn tại hay không một dãy chỉ số i
1
, i
2
, i
n
sao cho thoả mãn
u
i
1
u
i
2
u
i
n
= v
i
1
v
i
2
v
i

n
?
6 Lý thuyết tính toán
Việc biểu diễn tường minh các dữ liệu là một thành phần của bài toán. Điều
này đóng vai trò đặc biệt quan trọng khi người ta quan tâm đến độ phức tạp
(complexity) của một bài toán. Mỗi dữ liệu sẽ tạo thành một trường hợp cá biệt
của bài toán, được biểu diễn bởi một câu trên một bảng chữ hữu hạn đã cho.
Với mỗi bài toán P được hợp thành t
ừ một biểu diễn các phần tử của một tập
hợp và từ một phát biểu liên quan đến các phần tử này, người ta thường kết hợp
bài toán P với một ngôn ngữ, gọi là ngôn ngữ đặc trưng (characteristic language)
của bài toán, được hợp thành từ tập hợp các câu biểu diễn một phần tử của tập
hợp để từ đó, kết quả củ
a bài toán là câu trả lời đúng. Người ta ký hiệu L
P
là
ngôn ngữ đặc trưng của bài toán P.
Cho trước một bài toán P, bài toán ngược lại
C
P
là bài toán nhận được từ P
bằng cách giữ nguyên cách biểu diễn các dữ liệu nhưng riêng câu hỏi thì đặt
ngược lại. Ví dụ, bài toán ngược với bài toán 1 sẽ là :
Bài toán 1’ :
Dữ liệu : Cho một số nguyên viết trong hệ 10.
Câu hỏi : Số nguyên này không phải là một số nguyên tố ?
Từ đó, lời giải một bài toán đưa đến sự nhận biết của một ngôn ngữ : ngôn
ngữ kế
t hợp với bài toán này. Người ta đưa ra định nghĩa hình thức sau đây :
Định nghĩa 1.2 :

Một máy giải (solve) một bài toán P nếu và chỉ nếu với mọi câu f biểu diễn
một phần tử của tập hợp liên quan đến bài toán này, máy cho phép xác định,
trong một khoảng thời gian hữu hạn, nếu câu này thuộc về L
P
hay L
C
P
.
Người ta phân lớp các bài toán tùy theo độ khó (difficulty) để đưa ra câu trả
lời từ dữ liệu vào đã cho.
Một bài toán là tầm thường (trivial) nếu L
P
= ∅ hoặc nếu L
C
P

= ∅.
Thật vậy, trong trường hợp này, không cần thiết biết dữ liệu đưa vào để đưa ra
câu trả lời. Chú ý rằng, những gì là tầm thường, đó là việc đưa ra câu trả lời,
nhưng có thể rất khó để chứng minh rằng bài toán là tầm thường theo nghĩa này.
Ví dụ, bài toán 2 là tầm thường.
Các bài toán 1 và 3 có cùng câu hỏi, nhưng bài toán 3 giải quyết rất dễ dàng :
chỉ cần đọc qua dữ liệu vào, ng
ười ta có thể đưa ra kết quả, tuy nhiên trong bài
toán 1 thì cần phải xử lý dữ liệu vào. Bài toán 4 phức tạp hơn : người ta chưa biết
phương pháp nào hoạt động một cách đơn định (deterministic) tiêu tốn một lượng
thời gian đa thức (polynomial times) để giải quyết vấn đề đặt ra.
Đối với bài toán 5 thì tính phức tạp còn lớn hơn nữa : người ta biết rằng mọi
phương pháp đều hoạ
t động theo thời gian tối thiểu là lũy thừa. Cuối cùng bài

toán 6 không thể giải được theo nghĩa đã đưa ra. Bài toán này được gọi là bài
toán tương ứng Post (Post’s correspondence problem).
Nhập môn lý thuyết tính toán 7




Bài tập
1) Chứng minh rằng một tập hợp E là hữu hạn hay vô hạn đếm được nếu tồn tại
một đơn ánh từ E vào N. Tương tự, nếu tồn tại một toàn ánh (surjection) từ Ν
vào E.
2) Chứng minh rằng tích Đê-cac của hai tập hợp vô hạn đếm được cũng là một
tập hợp vô hạn đếm được.
3) Chứng minh các tập hợp sau đ
ây là vô hạn đếm được : N×N, Q, tập hợp Ν
*

gồm các dãy số nguyên, S
*
, S
*
×G
*
, S
*
×N, tập hợp (S
*
)
*
gồm các dãy các

câu. Thể hiện các song ánh (bijection) giữa N và mỗi một tập hợp vừa nêu.
4) Cho S là một bảng chữ kích thước (bản số) n. Với mọi câu w∈S
*
, ký hiệu |w|
là độ dài của w và m(w) là số thứ tự của w trong thứ tự phân cấp đã cho. Hãy
tìm cách tính m(w) khi biết w.
5) Chứng minh rằng N
N
không phải là vô hạn đếm được. Tập hợp các chương
trình Pascal có phải là vô hạn đếm được hay không ? Tập hợp các hàm f: N →
N tính được nhờ một chương trình Psacal có là vô hạn đếm được hay không ?
Từ đó suy ra rằng tồn tại các hàm từ N vào N không là vô hạn đếm được nhờ
một chương trình Pascal.
6) Viết một chương trình để liệt kê :
− các cặp số nguyên
− các dãy h
ữu hạn các số nguyên
− các câu trên một bảng chữ hữu hạn (chẳng hạn S={a, b, c})
− các cặp câu
− các dãy hữu hạn các câu.



PGS.TS. PHAN HUY KHÁNH biên soạn 9

CHƯƠNG 2
Mô hình các máy RAM
« I like the dreams of the future better than
the history of the past »
Jefferson

I. Các máy RAM
Máy RAM là một mô hình tính toán rất gần với máy tính điện tử và ngôn ngữ
assembler. Máy RAM có các thành phần đặc trưng chung như sau :
 Một băng vào, hay dải vào (input tape) được chia thành nhiều ô (square hay
pigeonhole) liên tiếp nhau, mỗi ô chứa một số nguyên hoặc một ký tự. Một
đầu đọc (read head) đọc lần lượt nội dung từng ô trên băng vào, đọc từ trái
qua phải.
 Một băng ra (output tape) cũng chia ra thành nhiều ô liên tiếp nhau và một
đầu ghi (write head) có thể ghi mỗi lần lên một ô và tiến từ trái qua phải.
Người ta nói rằng đầu đọc (hoặc ghi) được đặt trên (tại) một ô và di chuyển
qua phải mỗi lần một ô. Trước tiên, ta xem rằng mỗi ô chứa một số nguyên có thể
lớn tuỳ ý. Băng vào và băng ra của máy RAM được gọi là các cơ quan vào/ra.
Máy RAM còn có các thành phần bên trong như sau :
 Các thanh ghi (registers) là các phần tử nhớ được đánh số thứ tự, số lượng
các thanh ghi có thể lớn tuỳ ý. Mỗi thanh ghi có thể lưu giữ một số nguyên.
Các thanh ghi lần lượt được đặt tên là R
0
, R
1
, R
2
, , R
n

Chỉ số i, i = 0, 1, 2, , được gọi là địa chỉ (address) của mỗi thanh ghi (hay
của bộ nhớ). Riêng R
0
là một thanh ghi đặc biệt, được gọi là thanh tổng (ACC −
accumulator) hay thanh tích luỹ.

 Một tập hợp các đơn vị nhớ được đánh số chứa chương trình của máy RAM
dưới dạng một dãy các lệnh sơ cấp (primary instructions) không bị thay đổi
trong quá trình chạy (thực hiện). Mỗi lệnh được lưu trữ trong một đơn vị
nhớ, được đánh số tương ứng với số thứ tự hay nhãn của lệnh (label).
 Một đơn vị nhớ chứa số thứ tự của lệnh đang được thực hiện, được gọi là
thanh đếm lệnh (OC − Ordinal Counter). Lúc đầu nội dung là của OC là 1.
Trong kiểu máy này, người ta truy cập trực tiếp đến mỗi thanh ghi bởi địa chỉ
của thanh ghi đó. Chính lý do này mà kiểu máy này được đặt tên là Random
Access Memory (viết tắt RAM).
10 Lý thuyết tính toán
Hình 2.1 Sơ đồ một máy RAM
Mỗi chương trình của máy RAM gồm một dãy lệnh sơ cấp, mỗi lệnh được tạo
thành từ 2 thành phần : mã lệnh (operation code) và toán hạng (operand) :
Mã lệnh
T
oán hạng
Các lệnh được phân thành nhóm theo chức năng của phần mã lệnh như sau :
Nhóm lệnh gán :
LOAD Operand
STORE Operand
Nhóm lệnh số học :
INCR Operand
DECR Operand
AD Operand
SUB Operand
MULT Operand
DIV Operand
Nhóm lệnh nhảy (hay lệnh ngắt, cũng còn gọi là lệnh chuyển điều khiển) :
JUMP Label
JGTZ Label

JZERO Label
HALT
Nhóm lệnh vào
−
ra :
READ Operand
WRITE Operand
1 R
0

Thanh tổng
2 R
1

. . . . . . . . . . . . Các thanh ghi
j R
i

. . . . . . . . . . . .
p R
n

i
Thanh
đếm lệnh
y
1
y
2
y

3 . . . Băng ra

Chương trình
x
1
x
2
. . . x
n Băng vào

Mô hình các máy RAM 11

Theo nguyên tắc địa chỉ, phần toán hạng là địa chỉ (address) của toán hạng
tham gia phép toán chỉ định bởi phần mã lệnh. Toán hạng có thể là một trong ba
kiểu sau :
Kiểu địa chỉ Ý nghĩa
Số nguyên n Chỉ nội dung của thanh ghi thứ n (R
n
).
A: n (A = Absolute) toán hạng chính là số nguyên n đó.
I: n (I = Indirection) toán hạng là nội dung của thanh ghi có số thứ
tự là nội dung của thanh ghi R
n
. Đây là kiểu lệnh gián tiếp.
Nếu lệnh là một lệnh nhảy thì địa chỉ chính là số thứ tự của lệnh trong chương
trình. Các lệnh trên đây của máy RAM điển hình cho các lệnh của ngôn ngữ
assembler. Tuy nhiên ở đây vắng mặt các lệnh xử lý ký tự và các lệnh logic nhằm
đơn giản cách trình bày.
Thứ tự thực hiện các lệnh của chương trình là tuần tự (on sequence), bắt đầu
t

ừ lệnh đầu tiên (có nhãn 1). Ngoại lệ duy nhất là khi gặp lệnh nhảy (hay chuyển
điều khiển) thì lệnh tiếp theo được thực hiện có nhãn chỉ định bởi lệnh nhảy này.
Nguyên tắc thực hiện như sau : OC luôn luôn chứa nhãn của lệnh sẽ được
thực hiện, lúc đầu nội dung OC là 1. Sau khi thực hiện lệnh, nội dung OC được
tự động tăng thêm 1 (increment) nếu như lệnh vừa thực hi
ện không là lệnh nhảy.
Nếu như lệnh vừa thực hiện là lệnh nhảy thì nội dung của OC lấy nhãn là phần
địa chỉ của lệnh nhảy này.
Sau đây sử dụng một số quy ước để giải thích cách thực hiện lệnh.
← dấu gán ; quy ước số nguyên i nằm bên trái dấu gán chỉ thanh ghi
thứ i là R
i
, số nguyên i nằm bên phải dấu gán chỉ giá trị chính là số
nguyên i đó.
<i> Chỉ nội dung của thanh ghi R
i
.
<<i>> Chỉ nội dung của thanh ghi có số thứ tự được chứa trong thanh ghi
R
i
đối với kiểu lệnh gián tiếp.
ACC Chỉ thanh ghi R
0
.
CO Chỉ thanh đếm lệnh.
<CO> Nội dung của CO.
Sau đây là bảng các lệnh RAM và ý nghĩa sử dụng của chúng.
12 Lý thuyết tính toán
Lệnh Ý nghĩa
LOAD n ACC ← <n>

LOAD A: n ACC ← giá trị n
LOAD I: n ACC ← <<n>>
STORE n n ← <ACC>
STORE I: n <n> ← <ACC>
INCR n n ← <n> + 1
DECR n n ← <n> - 1
ADD n ACC ← <ACC> + <n>
SUB n ACC ← <ACC> − <n>
MULT n ACC ← <ACC> × <n>
DIV n ACC ← <ACC> / <n>
JUMP n CO ← n
JGTZ n CO ← n nếu <ACC> ≥ 0
JZERO n CO ← n nếu <ACC> = 0
Cả hai trường hợp trên, nếu không thỏa mãn, CO ← <CO> + 1
HALT Dừng máy
READ n n ← số nguyên trong ô dưới đầu đọc của băng,
đầu đọc dịch một ô qua phải
WRITE n Nội dung <n> được ghi vào ô dưới đầu ghi,
đầu ghi dịch qua phải một ô.
Ví dụ 2.1 : Chương trình RAM sau đây đánh giá trị n!
READ 0 đọc một giá nguyên n vào ACC
JZERO 10 nếu n = 0, nhảy đến nhãn 10,
nếu không, thực hiện lệnh tiếp theo
STORE 1 R
1
← <ACC>
4: STORE 2 R
2
← <ACC>
DECR 1 R

1
← < R
1
> − 1
LOAD 1 ACC ← <R
1
>
JZERO 12 nếu <ACC> = 0 nhảy đến 12
MULT 2 ACC ← <ACC>
*
<R
2
>
JUMP 4 CO ← 4
10: LOAD A: 1 ACC ← 1
STORE 2 R
2
← <ACC>
12 : WRITE 2 ghi ra <R
2
>
HALT Dừng máy
Mô hình các máy RAM 13

Ví dụ 2.2 : Chương trình RAM tính n
n

READ 1 R
1
← số nguyên trên ô của băng vào

LOAD 1 ACC ← <R
1
>
JGTZ 6 nếu <ACC> ≥ 0, nhảy đều 6
WRITE A:0 in ra 0
JUMP 22 về lệnh dừng
6 : LOAD 1 ACC ← <R
1
>
STORE 2 R
2
← <ACC>
LOAD 1 ACC ← <R
1
>
DECR 0 ACC ← <ACC> − 1
STORE 3 R
3
← <ACC>
11 : LOAD 3 ACC ← <R
3
>
JGTZ 14 nếu <ACC> ≥ 0, nhảy đến 14
JUMP 21 nhảy đến 21 nếu <ACC> < 0
14: LOAD 2 ACC ← <R
2
>
MULT 1 ACC ← <ACC>
*
<R

1
>
STORE 2 R
2
← <ACC>
LOAD 3 ACC ← <>
DECR 0 ACC ← <ACC> − 1
STORE 3 R
3
← <ACC>
JUMP 11 nhảy đến 11
21: WRITE 2 in ra nội dung <R
2
>
22: HALT dừng
Ta có thể viết đoạn trình Pascal minh họa trình RAM như sau :
begin
read (R1)
if R1 < 0 then write (R0)
else begin
R2:= R1 ; R3:= R1 − 1 ;
while R3 > 0 do begin R2:= R2
*
R1 ; R3:= R3–1 end ;
write (R2)
end
end ;
Ta thấy một trình RAM xác định một ánh xạ từ tập các băng vào lên tập các
băng ra. Đây là ánh xạ bộ phận (partial map) vì một số ánh xạ có thể không xác
định trên một số băng vào, nghĩa là chương trình ứng với băng vào đó không

dừng.
Ta có thể giải thích ánh xạ này ở dưới hai dạng : dạng hàm và dạng ngôn ngữ.
14 Lý thuyết tính toán
Dạng hàm f : S* → S*
Giả sử chương trình P luôn đọc được từ băng vào n số nguyên x
1
, x
2
, , x
n
và
ghi lên băng ra không quá một số nguyên y ở ô đầu tiên, khi đó ta nói P tính hàm
f (x
1
, x
2
, , x
n
) = y.
Dạng ngôn ngữ L
⊆
S*
Giả sử trên băng vào có câu w = a
1
a
2
a
n
với a
i

ở ô thứ i, i = 1 n, còn ô thứ
n+1 chứa # là ký tự kết thúc dãy. Ta nói w được thừa nhận bởi chương trình
RAM nếu nó đọc được hết w, kể cả ký tự #, sau đó viết lên ô đầu tiên của băng ra
một ký tự kết quả và dừng.
Ta nói máy RAM thừa nhận một ngôn ngữ L đã cho nếu thừa nhận mọi câu
w∈L. Nếu w∉L
thì máy RAM có thể không đọc hết w, ghi ký tự kết thúc lên
băng ra, hoặc bị hóc (crash), hoặc không bao giờ dừng.
Sự khác nhau cơ bản giữa mô hình máy RAM vừa mô tả ở trên và các máy
tinh điện tử hiện nay là ở chỗ :
1) Ta đã giả thiết có thể sử dụng một số lớn tùy ý các thanh ghi, tuy nhiên
trong thực tế điều này rất khó thực hiện. Tương tự, ta đã giả thiết có thể
đặt
một số nguyên lớn tùy ý vào một thanh ghi nào đó, hoặc vào một ô nào đó
trên băng vào, hoặc trên băng ra. Nhưng điều này cũng rất khó thực hiện
trong thực tiễn.
2) Ta đã giả thiết rằng chương trình có sẵn trong bộ nhớ RAM chỉ có thể đọc
(không thể bị thay đổi khi chạy chương trình), khác với các bộ nhớ kiểu
thanh ghi. Điều này cũng không xảy ra với các máy tính thông d
ụng.
Sự khác nhau chi tiết như sau :
3) Các lệnh sơ cấp được chọn hạn chế hơn so với các ngôn ngữ assembler
Tuy nhiên, người ta có thể nói rằng vẫn không làm mất tính tổng quát nếu
giảm đáng kể tập hợp các lệnh sơ cấp.
4) Các dữ liệu đưa vào không phải dưới dạng các số nguyên được đọc toàn bộ
một lần trong một ô, mà dưới dạng một dãy ký tự
(một dãy các chữ số),
tương tự như vậy đối với các kết quả ra.
Ta hãy xem làm cách nào để giải quyết vấn đề do 4) đặt ra : Trong các máy
tính, các số nguyên thường được biểu diễn theo hai cách phân biệt là biểu diễn

thập phân, hoặc biểu diễn nhị phân. Cách biểu diễn nhị phân có lợi thế hơn vì chỉ
sử dụng hai chữ số. Máy tính sẽ chuyển đổi chuỗi ký tự biể
u diễn số nguyên
thành biểu diễn nhị phân để đặt trong các thanh ghi, sau đó chuyển đổi kết quả
đang ở dạng biểu diễn nhị phân của số nguyên thành chuỗi ký tự trên băng ra.
Điểm 1) trên đây có nghĩa : trong mọi trường hợp, kích thước của bài toán cần
giải là đủ bé để bộ nhớ máy tính có thể chứa hết ở dạng nhị phân trong các đơn vị
nhớ, hay từ nh
ớ (memory word). Chú ý rằng nếu chỉ làm việc với cách biểu diễn
số nguyên bởi chuỗi các chữ số thì không còn giả thiết số lớn tùy ý nữa.
Mô hình các máy RAM 15

Cuối cùng, sự khác nhau ở điếm (2) đưa đến việc xây dựng một mô hình
tương tự mô hình RAM, nhưng chương trình được đặt trong các thanh ghi (và do
vậy có thể bị thay đổi), được gọi là mô hình các máy RASP (Random Access
with Stored Program). Sự khác nhau cơ bản với các máy RAM là vùng nhớ lưu
giữ chương trình của RASP hoàn toàn không khác gì so với các vùng nhớ khác.
Máy RASP
Để thuận tiện cách trình bày, ta quy ước rằng mỗi lệnh RASP chiếm chỗ hai
thanh ghi liên tiếp nhau : thanh ghi đầu chứa trườ
ng toán hạng, thanh ghi thứ hai
chứa trường địa chỉ của lệnh.
Hình 2.2 Sơ đồ một máy RASP

Trong máy RASP, thanh tổng luôn luôn là R
0
, thanh ghi R
1
dùng để lưu giữ
trung gian nội dung của thanh tổng.

Các thanh ghi từ 2 p (với p là một số nguyên lẻ) chứa chương trình của máy
RASP, và các thanh ghi tiếp theo, từ p + 1 trở đi, là các thanh ghi còn trống.
Sự khác nhau cớ bản với mô hình máy RAM là có thể thay đổi một thanh ghi
chứa chương trình, và do vậy, có thể thay đổi chương trình.
R
0

Thanh tổng
R
1

R
2

Chương trình
R
p


. . . Các thanh ghi khác
Thanh đếm lệnh

i
y
1
y
2
y
3 . . . Băng ra

x
1
x
2
. . . x
n Băng vào

16 Lý thuyết tính toán
II. Mô phỏng một máy bởi một máy khác
Từ đây trở đi, người ta thường phải mô phỏng một máy bởi một máy khác :
máy mô phỏng sẽ bắt chước hay nhại lại (mime) mỗi một lệnh của máy được mô
phỏng, bằng cách thực hiện nhiều lệnh (nói chung) để đi đến cùng một kết quả.
Khi có một máy RAM M có chương trình P chạy và sử dụng đến thanh ghi 0
và các thanh ghi từ 1 đến p (giá trị của p thay
đổi tùy theo dữ liệu), người ta nói
rằng một máy RAM M’ có chương trình P’ mô phỏng chức năng của máy RAM
M nếu :
 Tồn tại một ánh xạ I từ N vào N mà biến 0 thành 0.
 Mỗi lệnh của P được thay thế bởi một lệnh của P’ sao cho, mỗi lần thực
hiện chương trình P (nghĩa là với mọi dữ liệu), nội dung mỗi thanh ghi I (r)
của M’ sau khi thực hiện dãy các lệnh của P’ là giống như nội dung của
thanh ghi R của M sau khi thực hiện các lệnh tương ứng của P.
Ví dụ 2.3 : Dịch chuyể
n các địa chỉ thanh ghi.
Xuất phát từ một máy RAM có chương trình P khi chạy sử dụng thanh ghi 0
và các thanh ghi từ 1 đến p, ta có thể xây dựng một máy RAM khác có chương
trình P
k
mô phỏng trình P với ánh xạ I xác định bởi :
I (0) = 0

I (r) = k + r với r > 0.
Việc mô phỏng máy RAM sẽ trở nên tầm thường nếu không xử lý các lệnh
gián tiếp. Đối với kiểu lệnh này, vấn đề là thay đổi địa chỉ các thanh ghi sử dụng
đến, bằng cách thêm giá trị k (nhờ lệnh ADD A:k) vào nội dung của thanh ghi
liên quan (đặt sau I) để thực hiệ
n kiểu gián tiếp.
Các máy RASP cũng có thể được mô phỏng và có thể xử lý kiểu lệnh gián
tiếp.
Dịch chuyển các địa chỉ thanh ghi của RASP
Những gì mà một máy RAM làm được thì một máy RASP cũng có thể được
làm được. Thật vậy, nếu chương trình của RASP được lưu giữ trong các thanh
ghi từ 2 đến p, chỉ cần thực hiện một sự biến đổi của p lên tất cả các s
ố của thanh
ghi sử dụng bởi máy RAM tương ứng.
Tuy nhiên trong mô hình của RASP, kiểu lệnh gián tiếp được xử lý như sau :
Giả sử một chương trình P của máy RASP được lưu giữ từ thanh ghi số 2 đến
p và khi chạy sử dụng đến các thanh ghi từ p + 1 đến q. Ta sẽ xây dựng một
chương trình mới mô phỏng P được lưu giữ trong các thanh ghi từ 2 đến p’.
Khi ch
ạy, chương trình sử dụng đến các thanh ghi từ p’ + 1 đến q + p’ − p,
bằng cách thay thế mỗi lệnh kiểu gián tiếp bởi 6 lệnh không là kiểu gián tiếp, sao
cho kết quả của 6 lệnh này là tương tự trên mỗi thanh ghi số p’ + i với kết quả
của lệnh được mô phỏng trên mỗi thanh ghi số p + i.
Mô hình các máy RAM 17

Một cách cụ thể hơn, p’ − p có giá trị 2 × (6 − 1) × s = 10s với s là tổng số
lệnh kiểu gián tiếp của chương trình.
Giả sử ta cần mô phỏng một trong các lệnh MULT I: n của chương trình
RASP cần mô phỏng, được lưu giữ trên các thanh ghi 30 và 31 của máy xuất
phát. Để mô phỏng, ta cần tạo ra nhóm 6 lệnh chiếm 12 liên tiếp, giả sử từ thanh

ghi số
50 đến 61, với giả thiết chương trình có trên hai lệnh kiểu gián tiếp. Lệnh
đầu tiên của nhóm 6 lệnh này là lưu giữ nội dung của thanh tổng vào thanh ghi
R
1
:
50 STORE
51 1 R
1
← <ACC>
Lệnh thứ hai nạp vào thanh tổng nội dung của thanh ghi n + p’ − p (tương ứng
với thanh ghi n trong chương trình xuất phát) :
52 LOAD
53 n + p’- p ACC ← <R
n
> + (p’ − p)
Lệnh thứ ba tăng nội dung của thanh tổng lên p’ − p để lúc này thanh tổng
chứa địa chỉ của thanh ghi chứa giá trị cần nhân :
54 ADD A:
55 p’- p ACC ← <ACC> + (p’ − p)
Lệnh thứ tư gán trực tiếp lệnh thứ sáu bằng cách thay đổi trường địa chỉ của
lệnh này (việc thực hiện chương trình làm thay đổi bả
n thân chương trình đó) :
56 STORE
57 61 R
61
← <ACC>
Lệnh thứ năm khôi phục nội dung lúc đầu của thanh tổng :
58 LOAD
59 1 ACC ← <R

1
>
Cuối cùng, thực hiện phép nhân :
60 MULT
61 x ACC ← <ACC> * <R
x
>
Ở đây, lúc bắt đầu thực hiện chương trình, x là một giá trị nào đó, và mỗi lần
thực hiện, nếu thanh ghi n của máy xuất phát chứa số nguyên a, thì x sẽ có giá trị
là a + p’ - p tại thời điểm thực hiện lệnh đặt trong các thanh ghi 60 và 61. Như
vậy, khi mô phỏng trình P thành P’ đặt trong các thanh ghi RASP, P’ đã bị thay
đổi khi thực hiện nó.
18 Lý thuyết tính toán
Ví dụ 2.4 : Dịch chuyển một trình RASP có một lệnh dạng gián tiếp :
Tính in
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>+
≤+
b ab
b aa
nãúu
nãúu
1
1

Chương trình RASP xuất phát P : sau khi dịch chuyển thành P’ :

2 READ READ

3 27
R
27
← a
37

4 READ READ

5 28
R
27
← b
38

6 LOAD A: LOAD A:

7 27
ACC ← <R
27
>
37

8 STORE STORE

9 26
R
26

← <ACC>
36

10 LOAD LOAD

11 28
ACC ← <R
28
>
38

12 SUB SUB

13 27
ACC ← <ACC> - <R
27
>
37

14 JGTZ JGTZ

15 18
OC ← 18, if <ACC> > 0
18

16 INCR INCR

17 26
R
26

← < R
26
> + 1
36

18 LOAD A: LOAD A:

19 1
ACC ← 1
1
Phần này là
dịch chuyển của P
với ánh xạ :
I(r) = r+p’-p = r+10

20
ADD I: STORE

21
26
ACC ← <ACC> + <<R
26
>>
1
R
1
← <ACC>

22 WRITE
LOAD

23 0
In ra <ACC>
36
ACC ← <R
36
>

24 HALT
ADD A:
p
25 0
Dừng
10
ACC ← <ACC> +
10
P+1 26 27 / 28 Nội dung 27, hoặc 28
STORE

27 a Chứa giá trị a
31
R
31
← <ACC> : số
x
q
28 b Chứa giá trị b
LOAD

29

1
ACC ← <R
1
>

30

ADD

31

Nội dung thay đổi : số x
→
0
ACC←<ACC> +
<R
x
>

32

WRITE


33

0

34

HALT

P’
35

0

P’+1 36

37 / 38 Nội dung 37, hoặc 38

37

a Chứa giá trị a
q +P’-p 38

b Chứa giá trị b
Hình 2.3. Trình P’ bị thay đổi khi thực hiện
Mô hình các máy RAM 19

III. Một mô hình thô sơ kiểu RAM
Trong phần này, ta sẽ chỉ ra rằng có thể thu gọn về một tập hợp lệnh sơ cấp rất
nhỏ. Đặc biệt, ta sẽ chỉ ra rằng có thể xử lý ký tự và xử lý các số nguyên.
Trước hết, ta quay lại cách biểu diễn các số nguyên. Trong máy tính, có hai
cách biểu diễn : biểu diễn nhị phân cho phép lưu trữ một số nguyên trong một
thanh ghi làm tiết kiệm chỗ và tính toán nhanh chóng nhưng có nhược điểm là
độ
lớn của số nguyên phụ thuộc vào kích thước thực tế của thanh ghi (hữu hạn).

Cách biểu diễn thứ hai là sử dụng một dãy chữ số trên bảng chữ {0 9}. Thực
tế, ngay cả khi người ta có thể biểu diễn trong một thanh ghi nhiều ký tự (thường
không quá 4), thì để biểu diễn một số nguyên cũng đòi hỏi có nhiều thanh ghi.
Mặc dù dải số nguyên có thể biểu diễn
được là khá lớn, nhưng do số lượng các
thanh ghi trong máy tính hiện nay bị hạn chế nên cách biểu diễn này cũng chưa
phải tối ưu.
III.1. Mô phỏng các phép toán trên chuỗi ký tự bởi các
phép toán trên các số nguyên
Mỗi ký tự được mã hóa bởi một dãy các chữ số nhị phân {0, 1} (chẳng hạn 8
chữ số cho một ký tự). Một chuỗi bit như vậy có thể dùng để biểu diễn các số
nguyên nhờ thực hiện các phép toán trên các số nguyên.
Chẳng hạn, ghép 198 và 7, dẫn đến phép nhân số nguyên biểu diễn chuỗi 198
với 2
8
rồi cộng thêm số nguyên biểu diễn chuỗi 7 vào tích số nhận được :
Hình 2.4 Ghép hai số nguyên
Ngược lại, các phép toán số học có thể được thực hiện trên biểu diễn các số
nguyên bởi các chuỗi ký tự, đó là các phép tính sơ cấp.
Chú ý rằng khi người ta tiến hành các phép toán trên các số nguyên theo cách
biểu diễn nhị phân, người ta đã xử lý trên các câu của bảng chữ {0, 1}, và phép
toán được thực thi trên các ký tự.

198 7
198
2
8

7
~ × +