Đa thức chủ đề nâng cao lớp môn Toán lớp 10

ða thức-ðTH.
1
Chủ ñề:
ðA THỨC


Chủ ñề nâng cao lớp 10
Biên soạn: ðỖ THANH HÂN
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

A/ MỤC TIÊU:

- Cung cấp cho học sinh một số khái niệm cơ bản về ña thức, phép chia ña
thức và phương trình hàm ña thức.
- Cung cấp cho học sinh một số phương pháp giải toán về ña thức qua các ví
dụ và bài tập.
- Rèn kĩ năng vận dụng linh họat, diễn ñạt chặt chẽ.
- Góp phần xây dựng năng lực tư duy lôgic, tư duy ñộc lập sáng tạo.

B/ THỜI LƯỢNG:

6 tiết

C/ NỘI DUNG:

Chủ ñề bao gồm các kiến thức ñược trình bày trong hai bài:
- Bài 1: ða thức và phép chia ña thức. (4 tiết)
- Bài 2: ða thức với hệ số nguyên và phương trình hàm ña thức. (2 tiết)

D/ CHÚ THÍCH VỀ MỨC ðỘ YÊU CẦU:

- Chủ ñề này thuộc loại chủ ñề nâng cao, nhằm bổ sung một số kiến thức cơ
bản và cần thiết về ña thức và ứng dụng, nâng cao khả năng tự học của học sinh
dưới sự hướng dẫn của giáo viên.
- ðây là tài liệu tự học có hướng dẫn nhằm ñạt ñược mục tiêu như ñã nêu
trên.
- Chủ ñề này giúp các em học sinh khá giỏi có thêm tài liệu tham khảo (qua
các ví dụ và bài tập có ñánh dấu * ).

- - - - - - - - - - - - -




ða thức-ðTH.
2


Bài 1


ðA THỨC – PHÉP CHIA ðA THỨC


I/ ðA THỨC VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:


1) ðịnh nghĩa 1.1
a) ða thức
(

)
f x
là một biểu thức có dạng:

(
)
1
1 1 0

n n
n n
x x x a
f x a a a
−
−
= + + + +

( trong ñó
*
n N
∈
;
x R
∈
;
0 1
, , ,
n
a a a R
∈

;
0
n
a
≠
)
b) Nếu
(
)
f x
là một ña thức thì hàm số
(
)
y f x
=
gọi là một hàm ña thức.
Với mỗi số thực a,
(
)
a
f
gọi là giá trị của hàm ña thức
(
)
f x
tại ñiểm a .
c) Số tự nhiên n gọi là bậc của
(
)
f x

, kí hiệu
deg .
f n
=

d) Các hệ
s
ố

0 1
, , ,
n
a a a
g
ọ
i là các h
ệ
s
ố
c
ủ
a
(
)
f x
,
n
a
g
ọ

i là h
ệ
s
ố
b
ậ
c cao
nh
ấ
t,
0
a
g
ọ
i là h
ệ
s
ố
t
ự
do;
k
k
x
a

( 0)
k
a
≠

g
ọ
i là h
ạ
ng t
ử
b
ậ
c
k
,
n
n
x
a
là h
ạ
ng t
ử

b
ậ
c cao nh
ấ
t.

2)
ðị
nh lí 1.1
a)

ð
a th
ứ
c
(
)
1
1 1 0

n n
n n
x x x a
f x a a a
−
−
= + + + +
b
ằ
ng không khi và ch
ỉ
khi

1 1 0
0
n n
a a a a
−
= = = = =

b) M

ỗ
i
ñ
a th
ứ
c
(
)
f x
khác không có m
ộ
t cách vi
ế
t duy nh
ấ
t d
ướ
i d
ạ
ng:

(
)
(
)
1
1 1 0
0 .
n n
n n n

x x x a a
f x a a a
−
−
= + + + + ≠

3)

H
ệ
qu
ả
1.1
Hai
ñ
a th
ứ
c khác không là b
ằ
ng nhau khi và ch
ỉ
khi chúng có cùng b
ậ
c và
các h
ệ
s
ố
c
ủ

a m
ỗ
i h
ạ
ng t
ử
cùng b
ậ
c là b
ằ
ng nhau.

•
Chú ý: T
ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
các
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s

ố
th
ự
c
ñượ
c kí hi
ệ
u là
[
]
x
R
.
T
ươ
ng t
ự

[
]
Q x
,
[
]
Z x
t
ươ
ng
ứ
ng là t

ậ
p h
ợ
p t
ấ
t c
ả
các
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố

h
ữ
u t
ỉ
, h
ệ
s
ố
nguyên.

ða thức-ðTH.
3



Thực hành 1: Xác ñịnh các hệ số của ña thức.

Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:
S
ử
d
ụ
ng h
ệ
qu
ả
1.1

(
Nguyên lí so sánh các h
ệ
s
ố

c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
)
.

Ví dụ 1)
Tìm
a,b,c
bi
ế
t r
ằ
ng:

( ) ( )
2 2
2 3 5a x b x cx x R+ + + = + ∀ ∈

L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có
( ) ( )

2 2
2 3 5
a x b x cx
+ + + = +


(
)
(
)
2
4 6 4 9 5
a b x a b x a b cx
⇔ + + + + + = +

Theo h
ệ
qu
ả
1.1, ta có:
0
4 6
4 9 5
a b
a b c
a b
+ =


+ =



+ =


Gi
ả
i h
ệ
trên ta
ñượ
c:
1; 1; 2.
a b c
= − = =

- - - - - - - - - - - - - - -
Bài tập tự giải:

1)
Tìm
a, b
bi
ế
t r
ằ
ng
4 3 2
2 3
x x x ax b

+ + + +
là bình ph
ươ
ng c
ủ
a m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c khác.
(
H
ướ
ng d
ẫ
n:
ðặ
t
(
)
2
4 3 2 2
2 3
x x x ax b x mx n
+ + + + = + +


ð

S:
2, 1
a b
= =
)
- - - - - - - - - - - - - - -
2)
Tìm
a, b, c
bi
ế
t r
ằ
ng
2
2 2
2 3
.
1 1
x x bx c
a x R
x x
− − + +
= + ∀ ∈
+ +

(
ð
S:
1; 2; 4.

a b c
= − = − =
)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Ví dụ 2)*
Tìm t
ấ
t c
ả
các
ñ
a th
ứ
c
[
]
( )
f x Z x
∈ khác không, th
ỏ
a:

(
)
( )
2
2
16 2 . (1)
f x f x x R

 
= ∀ ∈
 


L
ờ
i gi
ả
i:
G
ọ
i
(
)
(
)
1
1 1 0
0; , 1,2, , .
n n
n n n i
x x x a a a R i n
f x a a a
−
−
= + + + + ≠ ∈ =

Ta có
(1)

( )
( ) ( ) ( )
2
1
2 2 2 2
1 1 0 1 1 0
16 2 2 2
n n
n n
n n n n
x x x a x x x a
a a a a a a
−
−
− −
 
⇔ + + + + = + + + +
 

ðồ
ng nh
ấ
t h
ệ
s
ố
c
ủ
a
2

n
x
ta có:
2 2
16
16. 2 .
4
n
n n n
n
a a a= ⇒ =
(do
0
n
a
≠
)
Mà
n
a Z
∈
nên
0,1,2.
n
=

•
V
ớ
i

0
n
=
: ta có
0
16
a
=

( ) 16 .
f x x R
⇒ = ∀ ∈


ða thức-ðTH.
4
•
V
ớ
i
1
n
=
: ta có
1
4
a
=
nên
(

)
0
4
x a
f x
= +
thay vào (1) ta có
(
)
( )
2
2
0 0
16 4 8
x a x a
+ = +

2
0 0 0 0
16 16 0.
a a x a a
⇔ = + ⇔ =
( do (1)
ñ
úng
x
∀
)
V
ậ

y
(
)
4
x x R
f x
= ∀ ∈
.
•
V
ớ
i
2
n
=
: ta có
2
1
a
=
nên
(
)
2
1 0
x a x a
f x
= + +
thay vào (1) ta có
(

)
( )
2
4 2 2
1 0 1 0
16 (2 ) 2
x a x a x a x a
 
+ + = + +
 

(
)
(
)
4 2 4 3 2 2 2
1 0 1 1 0 1 0 0
16 16 16 4 8 4
x a x a x a x a a x a a x a
⇔ + + = + + + + +

ðồ
ng nh
ấ
t các h
ệ
s
ố
ta
ñượ

c:
1 0
0.
a a
= =

V
ậ
y
(
)
2
.
x x R
f x
= ∀ ∈

Th
ử
l
ạ
i, ta th
ấ
y c
ả
3 hàm s
ố

(
)

( )
( )
2
16
4
x
x
f x
f x
f x

=

=


=


ñề
u th
ỏ
a
ñề
ra.
- - - - - - - - - - - - - - -
Bài tập tự giải:

Tìm t
ấ

t c
ả
các
ñ
a th
ứ
c
[
]
( )
f x Z x
∈ khác không, th
ỏ
a:

(
)
( )
2
2
.
f x f x x R
 
= ∀ ∈
 

(
ð
S:
(

)
, 0,1,2,3,
n
x n
f x
= = )
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Thực hành 2: Tính tổng các hệ số của ña thức.

Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:
S
ử
d
ụ
ng k
ế
t qu
ả
:
N
ế
u
(
)
(

)
1
1 1 0
0 ,
n n
n n n
x x x a a
f x a a a
−
−
= + + + + ≠

thì
(
)
1 1 0
1
n n
a a a a
f
−
= + + + +
.


Ví dụ:
Hãy tính t
ổ
ng các h
ệ

s
ố
c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c:

(
)
(
)
32 2006
5 2 3
( ) 2 3 3 3 5 8 6 .
f x x x x x x= − + − + −


L
ờ
i gi
ả
i:
Ta vi
ế
t
( )
f x

ở
d
ạ
ng:
(
)
1
1 1 0

n n
n n
x x x a
f x a a a
−
−
= + + + +
.
Ta có t
ổ
ng các h
ệ
s
ố
c
ủ
a
ñ
a th
ứ

c
ñ
ã cho là:

( ) ( ) ( )
32 2006
1 1 0
1 2 3 3 3 5 8 6 0.
n n
a a a a f
−
+ + + + = = − + − + − =

- - - - - - - - - - - - - - -
Bài tập tự giải:
V
ớ
i
a R
∈
, hãy tính t
ổ
ng các h
ệ
s
ố
c
ủ
a
ñ

a th
ứ
c:

(
)
(
)
( )
(
)
6 12 10
5
2 4 2 3
( ) 1 4 2 3 2 1 1 .
f x x ax a x x x x x x= + − + − − + − + + −

(
ð
S: 32 )
- - - - - - - - - - - - - - -

ða thức-ðTH.
5
II/ PHÉP CHIA ðA THỨC:


1/ Phép chia hết:

ðị

nh ngh
ĩ
a 1.2)
Ta nói r
ằ
ng
ñ
a th
ứ
c
( )
f x
chia h
ế
t cho
ñ
a th
ứ
c
( )
g x
, kí hi
ệ
u
(
)
( )
f x g x
⋮
, n

ế
u
t
ồ
n t
ạ
i m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c
( )
h x
sao cho
( ) ( ). ( )
f x g x h x
=



2/ Phép chia có dư:


ðị
nh lí 1.2)
V
ớ
i hai

ñ
a th
ứ
c
( )
f x
và
( )
g x
(
( ) 0
g x
≠
) luôn t
ồ
n t
ạ
i duy nh
ấ
t hai
ñ
a th
ứ
c
( )
q x
và
( )
r x
sao cho

( ) ( ). ( ) ( )
f x g x q x r x
= +
, trong
ñ
ó
( ) 0
r x
=
ho
ặ
c
deg deg
r g
<
.
(
ð
a th
ứ
c
( )
q x
g
ọ
i là th
ươ
ng,
ñ
a th

ứ
c
( )
r x
g
ọ
i là d
ư
c
ủ
a phép chia
( )
f x
cho
( )
g x
).


3/ Nghiệm của ña thức:


ðị
nh ngh
ĩ
a 1.3)
Ta nói
a
là nghi
ệ

m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
( )
f x
n
ế
u
( ) 0.
f a
=



ðị
nh lí 1.3) (
ðị
nh lí B
ơ
-du)
S
ố

a
là nghi
ệ

m c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
( )
f x
khi và ch
ỉ
khi
(
)
( ) .
f x x a
−
⋮



ðị
nh ngh
ĩ
a 1.4)
Ta nói
a
là nghi
ệ
m b

ộ
i
k
( ; 2)
k N k
∈ ≥
c
ủ
a
ñ
a th
ứ
c
( )
f x
n
ế
u t
ồ
n t
ạ
i
ñ
a th
ứ
c
( )
g x
mà
( ) 0

g a
≠
và
( )
( ) ( ) .
k
f x x a g x x R
= − ∀ ∈




Thực hành 3: Xác ñịnh ña thức chia trong phép chia hết.

Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:

PP1: S
ử
d
ụ
ng
ñị
nh ngh
ĩ
a phép chia h
ế

t và nguyên lí so sánh các h
ệ
s
ố
c
ủ
a
ñ
a
th
ứ
c.
PP2: S
ử
d
ụ
ng
ñị
nh lí phép chia có d
ư
sau
ñ
ó cho d
ư
th
ứ
c b
ằ
ng không.
PP3: S

ử
d
ụ
ng
ñị
nh lí B
ơ
-du.

Ví dụ 1)
Tìm
a
bi
ế
t r
ằ
ng:

4 3 2
( ) 6 7 3 2
f x x x ax x
= − + + +
chia h
ế
t cho
ñ
a th
ứ
c
2

1.
x x
− −


L
ờ
i gi
ả
i:

ðặ
t
(
)
(
)
2 2
( ) 1 6
f x x x x bx c
= − − + +

Ta có
(
)
(
)
(
)
4 3 2 4 3 2

6 7 3 2 6 6 6
x x ax x x b x c b x b c x c
− + + + = + − + − − − + −


ða thức-ðTH.
6
Suy ra
6 7
6
3
2
b
c b a
b c
c
− = −


− − =


− − =


− =


1
2

7
b
c
a
= −


⇔ = −


= −


V
ậ
y
a
= -7 là giá tr
ị
ph
ả
i tìm.
- - - - - - - - - - - - - - -

Ví dụ 2)
Tìm
a, b
bi
ế
t r

ằ
ng:
4 3
( ) 1
f x ax bx
= + +
chia h
ế
t cho
2
( 1) .
x −

L
ờ
i gi
ả
i:

*
Cách 1:


ðặ
t
( )
(
)
2
2

( ) 1
f x x ax mx n
= − + +

Ta có
(
)
(
)
(
)
4 3 4 3 2
1 2 2 2
ax bx ax m a x n m a x m n x n
+ + = + − + − + + − +

Suy ra
2
2 0
2 0
1
m a b
n m a
m n
n
− =


− + =



− =


=


1
2
3
4
n
m
a
b
=


=

⇔

=


= −


V
ậ

y
a
= 3,
b
= - 4 là giá tr
ị
ph
ả
i tìm.
- - - - - - - - - - - - - - -

*
Cách 2:
L
ấ
y
( )
f x
chia cho
(
)
2
1
x
−
, ta
ñượ
c d
ư
:

(
)
( ) 4 3 1 3 2 . (1)
r x a x a b= + + − −

Do
( )
2
( ) 1
f x x
−
⋮
nên
( ) 0
r x x R
= ∀ ∈
vì v
ậ
y t
ừ
(1) ta có:

4 3 0 3
1 3 2 1 4
a b a
a b b
+ = =
 
⇔

 
− − = = −
 

- - - - - - - - - - - - - - -
*
Cách 3:
Vì
(
)
2
( ) 1
f x x
−
⋮
nên
1
x
=
là nghi
ệ
m b
ộ
i 2 c
ủ
a
( )
f x
, do
ñ

ó:

(1) 0 1 0 1
f a b b a
= ⇒ + + = ⇒ = − −

Suy ra
(
)
4 3
( ) 1 1
f x ax a x
= − + +


(
)
(
)
3 2
1 1
x ax x x
= − − − −

Do
1
x
=
là nghi
ệ

m b
ộ
i 2 c
ủ
a
( )
f x
nên
1
x
=
là nghi
ệ
m c
ủ
a
3 2
( ) 1
q x ax x x
= − − −

Vì v
ậ
y
(1) 0 3 0 3.
q a a
= ⇒ − = ⇒ =

Suy ra
4.

b
= −

V
ậ
y
a
= 3,
b
= - 4 là giá tr
ị
ph
ả
i tìm.
- - - - - - - - - - - - - - -

Ví dụ 3)*
Cho
3 3 3
F x y z mxyz
= + + +
.

ðị
nh
m

ñể

F

chia h
ế
t cho
(
)
x y z
+ +
.

ða thức-ðTH.
7

L
ờ
i gi
ả
i:
Xem
F
là m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c theo
x ,
kí hi
ệ
u

( )
F x
.
Vì
(
)
(
)
x y z x y z
+ + = − − −
và
(
)
F x y z
+ +
⋮
nên
(
)
( )
F x x y z
 
− − −
 
⋮

Suy ra
( ) ( )
3
3 3

( ) 0 0
F y z y z y z m y z yz
− − = ⇔ − − + + + − − =


(
)
(
)
3 0
yz y z m y z yz
⇔ − + + − − =


(
)
(
)
3 0
yz y z m
⇔ − + + =


ðẳ
ng th
ứ
c trên
ñ
úng
,

y z
∀

3.
m
⇔ = −

- - - - - - - - - - - - - - -

Bài tập tự giải:

1)
Tìm
a, b
bi
ế
t r
ằ
ng
4 3 2
( ) 6 7 3 2
f x x x ax x
= − + + +
chia h
ế
t cho
ñ
a th
ứ
c

2
.
x x b
− +

(
H
ướ
ng d
ẫ
n:
ðặ
t

(
)
(
)
2 2
( ) 6
f x x x b x mx n
= − + + +


ð
S:
7 12
1 2
a a
b b

= − = −
 
∨
 
= − = −
 
)
- - - - - - - - - - - - - - -
2)
Tìm
a, b
bi
ế
t r
ằ
ng
4
( ) 1
f x x
= +
chia h
ế
t cho
ñ
a th
ứ
c
2
.
x ax b

+ +

(
H
ướ
ng d
ẫ
n:
ðặ
t

(
)
(
)
2 2
( )
f x x ax b x mx n
= + + + +


ð
S:
2 2
1 1
a a
b b
 
= = −
 

∨
 
= =
 
 
)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Thực hành 4: Xác ñịnh ña thức chia trong phép chia có dư.

Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:

S
ử
d
ụ
ng
ñị
nh lí phép chia có d
ư
, chú ý
ñế
n các giá tr
ị

ñặ

c bi
ệ
t c
ủ
a
x
.

Ví dụ 1)
Tìm
a, b, c
bi
ế
t r
ằ
ng:

4 2
( ) 2
f x x ax bx c
= + + +
chia h
ế
t cho
2
x
+
và khi chia
( )
f x

cho
2
1
x
−

thì
ñượ
c d
ư
là
x
.

L
ờ
i gi
ả
i:
T
ừ
gi
ả
thi
ế
t, ta có:
(
)
(
)

( )
( )
1
2
2
2 ( )
1 ( )
x q x
x q x x
f x
f x

= +


= − +


.
Suy ra
( )
( )
( )
28
2 0 32 4 2 0
3
1 1 2 0 1
1 1 2 0 22
3
a

a b c
a b c b
a b c
c
f
f
f

= −


− = + − + =


 
= ⇒ + + + = ⇔ =
  
  
− = − + − + =



=


- - - - - - - - - - - - -

ða thức-ðTH.
8
Ví dụ 2)

Tìm
a, b, c
bi
ế
t r
ằ
ng:

5 4 3 2
( ) 3 2
f x x x x ax bx c
= − + + + +
chia cho
3 2
2 2
x x x
− − +
thì có s
ố
d
ư
là 1.

L
ờ
i gi
ả
i:
Vì
3 2

2 2 ( 1)( 1)( 2)
x x x x x x
− − + = − + −
nên t
ừ
gi
ả
thi
ế
t ta có:

(
)
( 1)( 1)( 2) ( ) 1
x x x q x
f x
= − + − +

Suy ra:
(1) 1 1 1
( 1) 1 7 3
(2) 1 4 2 1 3
f a b c a
f a b c b
f a b c c
= + + = =
  
  
− = ⇒ − + = ⇔ = −
  

  
= + + = =
  


- - - - - - - - - - - - - - -

Bài tập tự giải:

1)
Tìm
a, b, c
bi
ế
t r
ằ
ng
3 2
( )
f x x ax bx c
= + + +
chia h
ế
t cho
2
x
−
và khi chia
( )
f x

cho
2
1
x
−
thì
ñượ
c d
ư
là 2
x
.

(
ð
S:
10; 19; 10
a b c
= − = − = −
)
- - - - - - - - - - - - - - -

2)
Tìm
ñ
a th
ứ
c b
ậ

c ba
( )
f x
, bi
ế
t r
ằ
ng
ñ
a th
ứ
c
ñ
ó chia h
ế
t cho
2
x
−
và có cùng
s
ố
d
ư
là -4 khi chia l
ầ
n l
ượ
t cho
1

x
+
,
2
x
+
,
1
x
−

(
ð
S:
3 2
2 14
( )
3 3 3 3
x x x
f x
= + − −
)

- - - - - - - - - - - - - - - - - -*)(* - - - - - - - - - - - - - - - - -

ða thức-ðTH.
9
Bài 2


ðA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN
VÀ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ðA THỨC

I/ ðA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN:

Tính ch
ấ
t 2.1)
N
ế
u
( )
f x

là m
ộ
t
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i nh
ữ
ng h
ệ
s
ố
nguyên và
a
,
b
là nh
ữ
ng s
ố

nguyên, thì hi
ệ
u
f(a) – f(b)
chia h
ế
t cho

a – b.


Ch
ứ
ng minh:
Vì
[
]
1
1 1 0
( )
n n
n n
f x x x a x a Z x
a a
−
−
= + + + + ∈
,
,
a b Z
∈
nên:

(
)
(
)
(

)
1
( )
n n
n
f a b a a b a a b
f
− = − + + −


( )
(
)
1 1
1

n n
n
a b a a b a
− −
 
= − + + + +
 

T
ừ

ñ
ây suy ra tính ch
ấ

t
ñượ
c ch
ứ
ng minh.



Thực hành 5: Các bài toán ña thức liên quan ñến số học.

Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:

S
ử
d
ụ
ng tính ch
ấ
t 2.1.




Ví dụ 1)
Cho
( )

f x
là
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên, có
(0)
f
,
(1)
f
là các s
ố
l
ẻ
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình
( )

f x
=0 không có nghi
ệ
m nguyên.

L
ờ
i gi
ả
i:
G
ọ
i
α
là nghi
ệ
m nguyên c
ủ
a
( )
f x
, ta có
(
)
(
)
( )
f x x g x
α
= −

v
ớ
i
[
]
( )
g x Z x
∈

Suy ra
(
)
(
)
(1) 1 1
f g
α
= −
mà
(1)
f
là s
ố
l
ẻ
nên
α
là s
ố
ch

ẵ
n.
T
ươ
ng t
ự

(
)
(
)
(0) 0 0
f g
α
= −
mà
(0)
f
là s
ố
l
ẻ
nên
α
là s
ố
l
ẻ
.
Mâu thu

ẫ
n trên ch
ứ
ng t
ỏ

ñ
i
ề
u ta gi
ả
s
ử
là sai.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
( )
f x
=0 không có nghi
ệ
m nguyên. (
ñ
pcm
)
- - - - - - - - - - - - -

Ví dụ 2)*

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng v
ớ
i m
ọ
i s
ố
nguyên
a
ph
ươ
ng trình:

(
)
4 3 2
( ) 2007 2006 2005 0
f x x x a x x a
= − + + − + =
không th
ể
có hai nghi
ệ
m
nguyên phân bi
ệ
t.

ða thức-ðTH.
10
L
ờ
i gi
ả
i:
G
ọ
i
α
là nghi
ệ
m nguyên c
ủ
a
( )
f x
, ta có
( ) 0
f
α
=
.
Vì
(1) 2 2005
f a
= −

là s
ố
l
ẻ
, nên
(
)
(1) 2 2005
f a
f
α
− = −
là s
ố
l
ẻ
.
Do
(
)
(1) (1 )
f
f
α α
− −
⋮
nên
1
α
−

là s
ố
l
ẻ
, suy ra
α
là s
ố
ch
ẵ
n.
Gi
ả
s
ử

1 2
,
α α
là hai nghi
ệ
m nguyên phân bi
ệ
t c
ủ
a ph
ươ
ng trình
( )
f x

=0, thì
1 2
,
α α
là các s
ố
ch
ẵ
n và:

(
)
(
)
1 2
1 2
0
f f
α α
α α
−
=
−


(
)
(
)
(

)
(
)
3 2 2 3 2 2
1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2
2007 2006 2005
a
α α α α α α α α α α α α
= + + + − + + + + + −

ðẳ
ng th
ứ
c trên không th
ể
x
ả
y ra vì
1 2
,
α α
là các s
ố
ch
ẵ
n.
Mâu thu
ẫ
n trên ch
ứ

ng t
ỏ

ñ
i
ề
u ta gi
ả
s
ử
là sai.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
( )
f x
=0 không th
ể
có hai nghi
ệ
m nguyên phân bi
ệ
t. (
ñ
pcm
)
- - - - - - - - - - - - - -

Bài tập tự giải:

1)
Cho
( )
f x
là
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên th
ỏ
a
ñ
i
ề
u ki
ệ
n:
f(a+b) = ab
v
ớ
i m
ọ

i
s
ố
nguyên không âm
a, b
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(
)
a b
f
⋮
và
(
)
.
b a
f
⋮

- - - - - - - - - - - - - -

2)
Có hay không
ñ
a th

ứ
c
(
)
[
]
f x Z x
∈
th
ỏ
a:

(
)
( )
2007 2006
2002 2003
f
f

=


=



- - - - - - - - - - - - - -

3)*

Cho
( )
f x
và
(
)
g x
là hai
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên th
ỏ
a
ñ
i
ề
u ki
ệ
n:

(
)
(

)
(
)
(
)
3 3 2
1
P x xg x x x
f x
= + + +
⋮

Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(
)
(
)
(
)
2006 , 2006 2005.
UCLN g
f
≥

(
H

ướ
ng d
ẫ
n: Vi
ế
t
(
)
P x

ở
d
ạ
ng:

( )
(
)
( )
(
)
( ) ( ) ( )
3 3
1 1 1 1
P x x g g xg
f x f x f
   
= − + − + +
   
)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -


Thực hành 6: Các bài toán ña thức liên quan ñến số học.

Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:

S
ử
d
ụ
ng
ñị
nh lí B
ơ
-du và
ñị
nh ngh
ĩ
a 1.4


Ví dụ 1)
Cho
( )
f x

là
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên, có
(
)
(2005) 2006 2007.
f
f
=
H
ỏ
i
ñ
a th
ứ
c
(
)
f x
có nghi
ệ
m nguyên hay không?

ða thức-ðTH.
11

L
ờ
i gi
ả
i:
G
ọ
i
α
là nghi
ệ
m nguyên c
ủ
a
( )
f x
, ta có
(
)
(
)
( )
f x x g x
α
= −
v

ớ
i
[
]
( )
g x Z x
∈

Nên
(
)
(
)
(2005) 2005 2005 .
f g
α
= −


(
)
(
)
(2006) 2006 2006 .
f g
α
= −

Suy ra
(

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(2005) 2006 2005 2006 2005 2006 .
f g g
f
α α
= − −

Do
(
)
(
)
2005 2006 2
α α
− −
⋮
nên
(
)
(2005) 2006 2007 2
f
f

=
⋮
vô lí.
Mâu thu
ẫ
n trên ch
ứ
ng t
ỏ

ñ
i
ề
u ta gi
ả
s
ử
là sai.
V
ậ
y ph
ươ
ng trình
( )
f x
=0 không th
ể
có nghi
ệ
m nguyên. (

ñ
pcm
)
- - - - - - - - - - - - - - - -

Ví dụ 2)*
Cho
( )
f x
là
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng n
ế
u
(
)
(

)
(0), 1 , , 1
f m
f f
−

ñề
u không chia h
ế
t cho
m
(
)
, 2
m N m
≤ ≥
thì ph
ươ
ng trình
(
)
0
f x
=
không có nghi
ệ
m nguyên.

L
ờ

i gi
ả
i:
Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình
(
)
0
f x
=
có m
ộ
t nghi
ệ
m nguyên là
α
, ta có:
(
)
(
)
( )
f x x g x
α
= −

v
ớ
i
[
]
( )
g x Z x
∈

Khi
ñ
ó:
(
)
(
)
(0) 0 0 .
f g
α
= −


(
)
(
)
(1) 1 1 .
f g
α
= −

. . . . . . . . . . . . . . .

(
)
(
)
( 1) 1 1 .
f m m g m
α
− = − − −

Vì:
(
)
(
)
(
)
0 , 1 , , 1m
α α α
− − − −
là
m
s
ố
nguyên liên ti
ế
p nên ph
ả

i có m
ộ
t s
ố
chia
h
ế
t cho
m
, vì v
ậ
y trong
m
s
ố

(
)
(
)
(0), 1 , , 1
f m
f f
−
ph
ả
i có ít nh
ấ
t m
ộ

t s
ố
chia h
ế
t
cho
m,
mâu thu
ẫ
n gi
ả
thi
ế
t.
V
ậ
y
ñ
i
ề
u ta gi
ả
s
ử
là sai, suy ra ph
ươ
ng trình
(
)
0

f x
=
không có nghi
ệ
m
nguyên. (
ñ
pcm
)
- - - - - - - - - - - - - - - -

Ví dụ 3)*
Cho
ñ
a th
ứ
c
(
)
f x
v
ớ
i các h
ệ
s
ố
nguyên. Gi
ả
s
ử

ph
ươ
ng trình
(
)
1
f x
=
có quá 3 nghi
ệ
m nguyên. Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng ph
ươ
ng trình
(
)
1
f x
= −

không có nghi
ệ
m nguyên.

L
ờ
i gi

ả
i:
Gi
ả
s
ử
ph
ươ
ng trình
(
)
1
f x
= −
có nghi
ệ
m nguyên
α
, ta có:
( ) 1.
f
α
= −

Vì ph
ươ
ng trình
(
)
1

f x
=
có quá 3 nghi
ệ
m nguyên nên có ít nh
ấ
t 4 nghi
ệ
m
nguyên khác nhau, g
ọ
i 4 nghi
ệ
m
ñ
ó là:
1 2 3 4
, , ,
α α α α
.
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
1 2 3 4
1
x x x x g x
f x
α α α α
− = − − − −
v
ớ
i
[
]
( )
g x Z x
∈


ða thức-ðTH.
12
Suy ra
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
1 2 3 4
1 2 g
f
α α α α α α α α α α
− = − = − − − −
,
trong
ñ
ó:
1 2, 3 4
, ,
α α α α α α α α
− − − −
là 4 s
ố
nguyên phân bi
ệ
t.
V
ậ
y -2 phân tích
ñượ
c thành tích c
ủ
a 4 s
ố

nguyên khác nhau, vô lí.
Suy ra ph
ươ
ng trình
(
)
1
f x
= −
không có nghi
ệ
m nguyên.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Bài tập tự giải:

1)
Cho
( )
f x
là
ñ
a th
ứ
c v
ớ
i h
ệ
s
ố

nguyên có
(
)
1996
f x
=
t
ạ
i 5 giá tr
ị
nguyên
c
ủ
a
x.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(
)
2006
f x
≠
v
ớ
i m
ọ
i giá tr

ị
nguyên c
ủ
a
x.

(
H
ướ
ng d
ẫ
n: chú ý 10 ch
ỉ
có th
ể
phân tích c
ủ
a nhi
ề
u nh
ấ
t 4 s
ố
nguyên khác
nhau
)
- - - - - - - - - - - - - - - -
2)
Bi
ế

t
ñ
a th
ứ
c
(
)
f x
v
ớ
i h
ệ
s
ố
nguyên nh
ậ
n giá tr
ị
b
ằ
ng 2 t
ạ
i 4 giá tr
ị
nguyên
khác nhau c
ủ
a
x.
Ch

ứ
ng minh r
ằ
ng:
(
)
f x
không th
ể
nh
ậ
n các giá tr
ị
1, 3, 5, 7, 9.
(
H
ướ
ng d
ẫ
n:
ðặ
t
(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
2
x x a x b x c x d g x
F f x
= − = − − − −
)

- - - - - - - - - - - - - - - -
3)
Bi
ế
t
ñ
a th
ứ
c
(
)
f x
v
ớ
i h
ệ
s
ố

nguyên có tính ch
ấ
t
(
)
2
f x
=
v
ớ
i
x
nh
ậ
n 5 giá
tr
ị
nguyên khác nhau
.
Ch
ứ
ng minh r
ằ
ng:
(
)
f x
không th
ể
có nghi

ệ
m nguyên.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

II/ PHƯƠNG TRÌNH HÀM ðA THỨC:



ðị
nh lí 2.1) ( Khai tri
ể
n
ñ
a th
ứ
c theo các nghi
ệ
m )
Gi
ả
s
ử

1 2
, , ,
m
a a a
là các nghi
ệ
m c

ủ
a
ñ
a th
ứ
c
( )
f x
v
ớ
i các b
ộ
i t
ươ
ng
ứ
ng
l
ầ
n l
ượ
t là
1 2
, , ,
m
k k k
, khi
ñ
ó t
ồ

n t
ạ
i
ñ
a th
ứ
c
( )
g x
sao cho:

(
)
(
)
(
)
1 2
1 2
( ) ( ) .
m
k k k
m
f x x a x a x a g x x R
= − − − ∀ ∈
.
( v
ớ
i
( ) 0

i
g a
≠
,
1,2, ,
i m
=
và
1 2
deg deg
m
f k k k g
= + + + +
)

H
ệ
qu
ả
2.1)
a)

M
ọ
i
ñ
a th
ứ
c b
ậ

c
1
n
≥

ñề
u có không quá
n
nghi
ệ
m th
ự
c.
b)

N
ế
u
ñ
a th
ứ
c
( )
f x
có b
ậ
c
n
mà t
ồ

n t
ạ
i
n+
1 s
ố
th
ự
c phân bi
ệ
t
1 2 1
, , ,
n
a a a
+
sao cho
(
)
1,2, , 1
i
a c i n
f
= ∀ = +
thì
(
)
.
c x R
f x

= ∀ ∈




Thực hành 7: Tìm phương trình hàm ña thức.

Ph
ươ
ng pháp gi
ả
i:

S
ử
d
ụ
ng
ñị
nh lí 2.1 và h
ệ
qu
ả
2.1.

ða thức-ðTH.
13


Ví dụ 1)*

Tìm t
ấ
t c
ả
các
ñ
a th
ứ
c
[
]
( )
f x R x
∈
th
ỏ
a:

(
)
(
)
. ( 1) 3 . .
x f x x x R
f x
− = − ∀ ∈
(1)

L
ờ

i gi
ả
i:
T
ừ
(1): cho
x
=0 ta có
(0) 0
f
=
.
Suy ra: v
ớ
i
x
=1 ta có
(1) 0
f
=
.
V
ớ
i
x
=2 ta có
(2) 0
f
=
.

V
ậ
y
( )
f x
nh
ậ
n 0, 1, 2 làm nghi
ệ
m, nên theo h
ệ
qu
ả
2.1 ta có:

(
)
(
)
(
)
( ) 1 2
f x x x x g x
= − −
v
ớ
i
[
]
( )

g x R x
∈
.
Thay vào (1) ta có:

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 3 1 3 1 2 .
x x x x g x x x x x g x x R
− − − − = − − − ∀ ∈

Suy ra:
(
)
{
}

( 1) \ 0;1;2;3
g x g x x R
− = ∀ ∈
.
Suy ra
(
)
(
)
(
)
(4) 5 6
g g g g n
= = = = =
t
ứ
c là
( )
g x
nh
ậ
n cùng m
ộ
t giá tr
ị
t
ạ
i vô
s
ố

ñ
i
ể
m, nên:
( ) .
g x c x R
= ∀ ∈

V
ậ
y
(
)
(
)
( ) 1 2
f x cx x x x R
= − − ∀ ∈

Th
ử
l
ạ
i ta th
ấ
y
(
)
(

)
( ) 1 2
f x cx x x x R
= − − ∀ ∈
th
ỏ
a
ñề
bài.
- - - - - - - - - - - - - - - -

Ví dụ 2)*
Tìm t
ấ
t c
ả
các
ñ
a th
ứ
c
[
]
( )
f x R x
∈
th
ỏ
a:

(
)
( 1) 2 1 .
f x x x R
f x
+ = + + ∀ ∈
(2)

L
ờ
i gi
ả
i:
Ta có (2)
( ) ( )
2
2
( 1) 1 .
f x x x x R
f x
⇔ + − + = − ∀ ∈
(3)

ðặ
t
(
)
(
)
2

.
g x x x R
f x
= − ∀ ∈

Ta có:
(
)
(
)
3 1 ( ) .
g x g x x R
⇔ + = ∀ ∈

Suy ra
(
)
(
)
(
)
(0) 1 2
g g g g n
= = = = =
t
ứ
c là
( )
g x
nh

ậ
n cùng m
ộ
t giá tr
ị
t
ạ
i vô
s
ố

ñ
i
ể
m, nên:
( ) .
g x c x R
= ∀ ∈

V
ậ
y
2
( )
f x x c x R
= + ∀ ∈

Th
ử
l

ạ
i ta th
ấ
y
2
( )
f x x c x R
= + ∀ ∈
th
ỏ
a
ñề
bài.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Bài tập tự giải:

1)*
Tìm t
ấ
t c
ả
các
ñ
a th
ứ
c
[
]
( )

f x R x
∈
th
ỏ
a:

(
)
(
)
(
)
1 . ( 1) 2 . .
x f x x x R
f x
− + = + ∀ ∈

(
ð
S:
(
)
2
( ) 1 .
f x cx x x R
= − ∀ ∈
)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ða thức-ðTH.

14
2)*
Tìm t
ấ
t c
ả
các
ñ
a th
ứ
c
[
]
( )
f x R x
∈
th
ỏ
a:

(
)
(
)
. ( 1) 5 . .
x f x x x R
f x
− = − ∀ ∈

(

ð
S:
(
)
( ) 1 ( 2)( 3)( 4) .
f x cx x x x x x R
= − − − − ∀ ∈
)
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
3)*
Tìm t
ấ
t c
ả
các
ñ
a th
ứ
c
[
]
( )
f x R x
∈
th
ỏ
a:

(
)

2 2
( 1) 2 1 .
f x x x R
f x
 
+ = + + ∀ ∈
 

(
ð
S:
( ) .
f x x c x R
= + ∀ ∈
)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
4)*
Tìm t
ấ
t c
ả
các
ñ
a th
ứ
c
[
]
( )

f x R x
∈
th
ỏ
a:

(
)
(
)
2 2
( 1) ( 3) .
2
x f x x x R
f x
− = − ∀ ∈
+

( ðS:
( )
2
( ) 3 .
f x c x x R
= − ∀ ∈
)

- - - - - - - - - - - - - - - - - -*) HẾT (* - - - - - - - - - - - - - - - - -