Bài tập xác xuất thống kê (hay)

1

BÀI TẬP CHO MÔN HỌC XÁC SUẤT - THỐNG KÊ

PHẦN TÍNH TOÁN CÁC THAM SỐ ĐẶC TRƯNG MẪU

Bài 1
Có số liệu về tiền lương bình quân tháng (triệu đ) của nhân viên phòng kế toán và phòng kinh
doanh tại 1 công ty như sau :
*Phòng kế toán:
2,0 2,2 2,4 2,6 2,8 3,0 3,2 3,4 4,0 4,4
*Phòng kinh doanh:
2,0 2,4 2,5 2,6 3,2 3,4 3,6 4,0 4,2 4,5 5,0
Yêu cầu:
1-Hãy phân tích dữ liệu về 2 tổng thể mẫu trên bằng các tham số : số trung bình, phương sai,
độ lệch tiêu chuẩn ?
2-So sánh kết quả phân tích giữa 2 mẫu và rút ra nhận xét ?

Bài 2
Có tài liệu về tiền lương (nghìn đ/tuần) của 2 nhóm công nhân như sau:
Nhóm 1: 300, 400, 500, 600, 700 Nhóm 2: 400, 450, 500, 550, 600
Yêu cầu:
1-So sánh số trung bình về tiền lương giữa 2 nhóm công nhân ?
2-So sánh độ lệch chuẩn về tiền lương giữa 2 nhóm công nhân ?nhận xét.

Bài 3
Có số liệu về tuổi thọ (giờ) của 1 mẫu ngẫu nhiên gồm 30 bóng đèn được sản xuất trong 1 ca
làm việc tại 1 phân xưởng như sau:
800 820 810 815 800 820
830 830 825 820 830 835
820 815 830 825 835 820

815 820 840 840 810 815
840 810 810 830 800 800
Yêu cầu:
Phân tích dữ liệu bằng các tham số : số trung bình , phương sai

Bài 4 Có tài liệu về tuổi của các học viên 2 lớp đại học tại chức năm thứ 1 tại 1 trường đại học
:
Số học viên Tuổi
Lớp Kế toán Lớp quản trị kinh
doanh
20 - 24 30 16
25 - 29 20 24
30 - 34 15 10
35 - 39 5 12
≥ 40 - 6
Cộng 70 68
Yêu cầu:
1-Tính số trung bình về tuổi của học viên từng lớp ?
2-So sánh độ lệch chuẩn về tuổi giữa 2 lớp ?
3. So sánh hình dáng phân phối của hai tập dữ liệu tuổi này
2

4. Bao nhiêu phần trăm học viên có tuổi trong tầm 30-34 tuổi

Bài 5
Có tài liệu về lượng nước tiêu thụ (m
3
/tháng) của 200 hộ gia đình tại huyện X như sau:
Lượng nước tiêu thụ (m3/tháng) Số hộ
< 25 24

25- 50 66
50 - 75 80
75 - 100 20
≥ 100 10
Cộng 200
Yêu cầu:
1- Tính lượng nước tiêu thụ trung bình của các hộ gia đình tại huyện này trong 1 tháng ?
2. Tính biến thiên của lượng nước tiêu thụ của các hộ gia đình tại huyện này trong 1 tháng ?
3. Vẽ biểu đồ Histogram mô tả hình dáng phân phối về lượng nước tiêu thụ, nhận xét.

Bài 6
Để nghiên cứu tình hình năng suất lao động của công nhân tại 1 xí nghiệp, người ta chọn ngẫu
nhiên 1 mẫu 50 công nhân và thu được kết quả như sau:
Năng suất lao động (kg) Số công nhân
20 – 30 14
30 – 40 18
40 – 50 10
50 – 60 5
≥ 60 3
Cộng 50
Yêu cầu:
1-Hãy phân tích dữ liệu bằng các tham số : số trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn ?
2- Hãy đánh giá hình dáng phân phối của tập dữ liệu về năng suất lao động này.
3- Mức năng suất nào phổ biến nhất, chiếm bao nhiêu % số công nhân có năng suất đó.
Bài 7
Chiều cao của trẻ em tại một trường học được lập bảng như sau
Chiều cao (cm) Số trẻ
100-110 20
110-120 48
120-130 100

130-140 170
140-150 98
150-160 44
160-170 20
500

Nhận xét được gì về quy luật phân bố của chiều cao trẻ em ở đây
Tính khả năng chọn ngẫu nhiên được một trẻ có chiều cao trên 150cm trong trường này.
Tính khả năng chọn ngẫu nhiên được một trẻ có chiều cao trên 120-130cm trong trường này.

Bài 8
Ban biên tập của một tờ báo ngày A tiến hành khảo sát 200 người về số tờ báo A mà họ đã
đọc trong tuần
3

Số báo đọc (tờ/tuần) Tần số(người)
0 44
1 24
2 18
3 16
4 20
5 22
6 26
7 30
Tổng 200

1- Tính trung bình và phương sai của số tờ báo dân cư ở đây đọc mỗi tuần
2- Các đáp số tìm được có tính thực tế hay không?

PHẦN ÔN TẬP ĐẠI SỐ TỔ HỢP

Bài 9
Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh (3 nam, 3 nữ) vào một bàn dài 6 chỗ.
a) có bao nhiêu cách?
b) Có bao nhiêu cách sao cho ngồi 2 đầu bàn là 2 học sinh nam.
c) Có bao nhiêu cách sao cho ngồi hai đầu bàn là 1 nam, 1 nữ.
d) Có bao nhiêu cách sao cho nam nữ ngồi xen kẽ.

ĐS : a. 720 b. 144 c. 432 d. 72

Bài 10
Biển đăng kí xe gắn máy gồm 2 phần: phần chữ gồm hai chữ cái và phần số gồm 4 chữ số
chẳng hạn AE 1612 và không được sử dụng chữ số 0.
a) có thể đăng kí được bao nhiêu xe?
b) có bao nhiêu biển số mà phần số là một số chẵn?
c) có bao nhiêu biển số mà gồm các chữ và các số hoàn toàn khác nhau?
d) giải quyết lại câu a với điều kiện mở rộng hơn là chỉ không dùng những biển có 4 số 0
liền nhau.
ĐS : a. 4435236 b. 1971216 c. 1965600

Bài 11
Trong một cuôc liên hoan của một lớp học, tất cả mọi người đều bắt tay nhau, và người ta
đếm được tất cả 1225 cái bắt tay. Hãy tìm số người của lớp đó.
Với 1225 cái bắt tay chúng ta có 2450 cái tay. Một người có hai tay khi thực hiện 1 cuộc bắt
tay thì có 2 tay của 2 người bắt nhau. Vậy ta có
2
n
n!
C 1225 n *(n 1) 2450 n 50
2!(n 2)

= = ⇔ − = ⇒ =
−

Đ
S : có 50 ng
ườ
i

Bài 12
M
ộ
t l
ớ
p h
ọ
c có 20 h
ọ
c sinh nam và 30 m
ươ
i h
ọ
c sinh n
ữ
: C
ầ
n l
ậ
p ra m
ộ
t tam ca n

ữ
và m
ộ
t
độ
i múa g
ồ
m 5 nam, 5 n
ữ
.
a)

Có bao nhiêu cách th
ự
c hi
ệ
n vi
ệ
c này?
b)

Có bao nhiêu cách th
ự
c hi
ệ
n n
ế
u ai
đ
ã

đ
ã tham gia ca thì không tham gia múa?

Đ
S : a.
5
20
5
30
3
30
CCC
b.
5
20
5
27
3
30
CCC

4


Bài 13
L
ớ
p có 50 sinh viên trong
đ
ó có A và B

a)

có m
ấ
y cách
để
c
ử
4 sinh viên
đ
i du h
ọ
c
ở
cùng m
ộ
t
đấ
t n
ướ
c?
b)
ở
4 n
ướ
c khác nhau m
ỗ
i n
ướ
c có m

ộ
t ng
ườ
i?
c)
ở
4 n
ướ
c khác nhau m
ộ
t n
ướ
c m
ộ
t ng
ườ
i, trong 4 ng
ườ
i có A và B?
d)

cùng n
ướ
c, trong
đ
ó có A và B?

Đ
S: a. 230300 b. 5527200 c. 27072 d. 1128

Bài 14

Trong m
ộ
t cu
ộ
c picnic c
ủ
a m
ộ
t nhóm sv, hai ng
ườ
i b
ấ
t kì trong nhóm
đề
u ch
ụ
p chung m
ộ
t
t
ấ
m
ả
nh k
ỉ
ni
ệ
m và m

ọ
i
ả
nh
đề
u ch
ỉ
ch
ụ
p 3 ng
ườ
i. M
ộ
t cu
ộ
n phim 36 t
ấ
m dùng v
ừ
a
đủ
. H
ỏ
i
nhóm sv này có bao nhiêu ng
ườ
i

Đ
S: 9 ng

ườ
i

Bài 15
Hãy l
ậ
p công th
ứ
c tính s
ố

đườ
ng chéo c
ủ
a m
ộ
t
đ
a giác l
ồ
i n c
ạ
nh
Đ
S: [n(n-3)]/2


Bài 16
Có 5 lá phi
ế

u ghi s
ố
t
ừ
1
đế
n 5, x
ế
p ng
ẫ
u nhiên chúng c
ạ
nh nhau
a.

có m
ấ
y cách x
ế
p
b.

có m
ấ
y cách x
ế
p
để
s
ố

ch
ẵ
n luôn c
ạ
nh nhau
2!*3! 3*(2!*3!) 48
+ =
( Gi
ả
i thích vì s
ố
cách s
ắ
p x
ế
p
ở
ph
ầ
n t
ử

đầ
u tiên là s
ố
ch
ẵ
n thì
ph
ầ

n t
ử
th
ứ
2 b
ắ
t bu
ộ
c là s
ố
ch
ẵ
n có , các s
ố
l
ẻ
còn l
ạ
i là m
ộ
t hoán v
ị
c
ủ
a 3 ph
ầ
n t
ử

(1,3,5).

c.

có m
ấ
y cách x
ế
p
để
s
ố
ch
ẵ
n và s
ố
l
ẻ
riêng bi
ệ
t
2 Th x
ả
y ra
Th1. S
ố
ch
ẵ
n s
ắ
p tr
ướ

c sau
đ
ó m
ớ
i
đế
n s
ố
l
ẻ
: 2!*3!=12
Th2: S
ố
l
ẻ

đứ
ng tr
ướ
c sau
đ
ó m
ớ
i
đế
n s
ố
ch
ẵ
n: 3!*2!=12

V
ậ
y có 12+12=24 cách x
ế
p
để
s
ố
ch
ẵ
n và s
ố
l
ẻ
riêng bi
ệ
t
Đ
S: a. 120 b. 48 c. 24

TÍNH XÁC SU
Ấ
T B
Ằ
NG
ĐỊ
NH NGH
Ĩ
A C
Ổ

Đ
I
Ể
N V
Ậ
N D
Ụ
NG
ĐẠ
I S
Ố
T
Ổ
H
Ợ
P

Bài 17
Có 5
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng có chi
ề
u dài 1, 3, 5, 7 và 9cm. Xác
đị
nh xác su

ấ
t
để
khi l
ấ
y ng
ẫ
u nhiên 3
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng (trong 5
đ
o
ạ
n th
ẳ
ng) có th
ể
l
ậ
p thành m
ộ
t tam giác.
Đ
S : 0,3

Bài 18

Ta vi
ế
t các ch
ữ
s
ố
: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 và 9 lên các t
ấ
m phi
ế
u, sau
đ
ó s
ắ
p th
ứ
t
ự
ng
ẫ
u nhiên
thành m
ộ
t hàng.
a.

Tính xác su
ấ
t
để

đượ
c m
ộ
t s
ố
ch
ẵ
n.
b.

C
ũ
ng t
ừ
9 t
ấ
m phi
ế
u trên ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên 4 t
ấ
m r
ồ
i x
ế
p th

ứ
t
ự
thành hàng, tính xác
su
ấ
t
để

đượ
c 1 s
ố
ch
ẵ
n
5

Đ
S : a. 4/9 b. 4/9


Bài 19
B
ộ
bài có 52 lá, trong
đ
ó có 4 lá Át. L
ấ
y ng
ẫ

u nhiên 3 lá. Tính xác su
ấ
t có:
a)

1 lá Át b) 2 lá Át

Đ
S : a. 0,204 b. 0,013

Bài 20

M
ộ
t bình có 10 bi, trong
đ
ó có 3 bi
đỏ
, 4 bi xanh, 3 bi
đ
en. L
ấ
y ng
ẫ
u nhiên 4 viên. Tính xác
su
ấ
t
để
có:

a)

2 bi xanh
b)

1 xanh, 1
đỏ
, 2
đ
en.
Đ
S: a. 90/210 b. 36/210

Bài 21
X
ế
p ng
ẫ
u nhiên 5 ng
ườ
i vào m
ộ
t cái bàn dài có 5 ch
ỗ
ng
ồ
i, tính xác su
ấ
t
a.

x
ế
p A và B
đầ
u bàn
b.

x
ế
p A và B c
ạ
nh nhau
Đ
S: a. 0,1 b. 0,4

Bài 22
M
ộ
t
đơ
n v
ị
30 ng
ườ
i, tính xác su
ấ
t
để
ngày sinh c

ủ
a h
ọ
hoàn toàn khác nhau không xét n
ă
m
nhu
ậ
n
Đ
S:
3030
365
365/A

Bài 23
M
ộ
t em bé có 5 ch
ữ
s
ố

đồ
ch
ơ
i ti
ệ
n b
ằ

ng g
ỗ
1, 2, 3, 4, 5. tính xác su
ấ
t
a.

Em bé này nh
ặ
t ng
ẫ
u nhiên 3 ch
ữ
s
ố
mà t
ổ
ng các ch
ữ
s
ố
c
ộ
ng l
ạ
i là s
ố
ch
ẵ
n

b.

Em bé l
ấ
y có th
ứ
t
ự
3 con s
ố

đặ
t c
ạ
nh nhau
đượ
c 1 s
ố
ch
ẵ
n
Đ
S: a. 6/10 b. 2/5

Bài 24
X
ế
p ng
ẫ
u nhiên 5 ng

ườ
i lên 1
đ
oàn tàu có 7 toa, tính xác su
ấ
t
để

a.

5 ng
ườ
i cùng lên toa
đầ
u
b.

5 ng
ườ
i lên cùng toa
c.

5 ng
ườ
i lên 5 toa
đầ
u tiên
d.

5 ng

ườ
i lên 5 toa khác nhau
e.

A và B lên cùng toa
đầ
u
f.

A và B lên cùng toa
g.

A và B lên cùng toa
đầ
u, không còn ai khác trên toa
đầ
u này

Đ
S: a. 1/7
5
b. 1/7
4
c. 120/7
5
d. 2520/7
5
e. 1/7
2

f. 1/7

g. 6
3
/7
5


TÍNH XÁC SU
Ấ
T THEO CÁC CÔNG TH
Ứ
C TÍNH XÁC SU
Ấ
T (C
Ộ
NG; NHÂN;
ĐẦ
Y
ĐỦ
; BAYES VÀ BECNULI)

Bài 25
Trong m
ộ
t b
ộ
bài 54 lá có 4 lá át l
ấ
y ng

ẫ
u nhiên 3 lá, tính xác su
ấ
t
để
có
6

a.

1 ho
ặ
c 2 lá Át
b.

Ít nh
ấ
t m
ộ
t lá Át

Đ
S : a. 4800/22100 b. 4804/22100

Bài 26
M
ộ
t h
ộ
p có 80 tách pha trà,trong

đ
ó có 3 cái m
ẻ
mi
ệ
ng, 4 cái g
ẫ
y quai và trong nh
ữ
ng cái này
có 2 cái v
ừ
a m
ẻ
mi
ệ
ng v
ừ
a gãy quai. L
ấ
y ng
ẫ
u nhiên 1 cái tách trong h
ộ
p. Tính xác su
ấ
t
để

cái

đ
ó có khuy
ế
t t
ậ
t.
Đ
S : 5/80
Bài 27
Theo th
ố
ng kê trung bình m
ộ
t n
ă
m (365 ngày) có 60 ngày có m
ư
a th
ậ
t to, 40 ngày có gió th
ậ
t
l
ớ
n và 20 ngày có bão (v
ừ
a m
ư
a th
ậ

t to v
ừ
a gió th
ậ
t l
ớ
n). tính xác su
ấ
t
để
m
ộ
t ngày ch
ọ
n ng
ẫ
u
nhiên trong n
ă
m là có th
ờ
i ti
ế
t b
ấ
t th
ườ
ng.
Đ
S : 80/365

Bài 28
M
ộ
t thi
ế
t b
ị
g
ồ
m 3 c
ụ
m chi ti
ế
t, m
ỗ
i c
ụ
m b
ị
h
ỏ
ng không
ả
nh h
ưở
ng gì
đế
n các c
ụ

m khác và
ch
ỉ
c
ầ
n m
ộ
t c
ụ
m h
ỏ
ng là thi
ế
t b
ị
ng
ừ
ng ho
ạ
t
độ
ng. Xác su
ấ
t
để
c
ụ
m th
ứ
nh

ấ
t b
ị
h
ỏ
ng trong
ngày làm vi
ệ
c là 0,1, t
ươ
ng t
ự
cho 2 c
ụ
m còn l
ạ
i là 0,5 ; 0,15. Tính xs
để
thi
ế
t b
ị
không b
ị

ng
ừ
ng ho
ạ
t

độ
ng trong ngày
Đ
S : 0,72675

Bài 29
Có 5 linh ki
ể
n
đ
i
ệ
n t
ử
, xác su
ấ
t
để
m
ỗ
i linh ki
ệ
n h
ỏ
ng trong m
ộ
t th
ờ
i
đ

i
ể
m b
ấ
t kì l
ầ
n l
ượ
t là
0,01; 0,02; 0,02; 0,01; 0,04. 5 linh ki
ể
n
đ
ó
đượ
c l
ắ
p vào m
ạ
ch theo các s
ơ

đồ
d
ướ
i
đ
ây. Trong
m
ỗ

i tr
ườ
ng h
ợ
p hãy tính xác su
ấ
t
để
trong m
ạ
ch có dòng
đ
i
ệ
n ch
ạ
y qua.








Đ
S : a. 0,904 b. 0,99999. c. 0,99997

Bài 30
M

ộ
t sinh viên ph
ả
i thi liên ti
ế
p 2 môn là tri
ế
t h
ọ
c và toán. Xác su
ấ
t qua môn tri
ế
t là 0,6 và qua
toán là 0,7. N
ế
u tr
ướ
c
đ
ó
đ
ã qua môn tri
ế
t thì xác su
ấ
t qua toán là 0,8. Tính các xác su
ấ
t
a.

qua c
ả
hai môn
b.

qua ít nh
ấ
t 1 môn
c.

qua
đ
úng 1 môn
d.

qua toán bi
ế
t r
ằ
ng
đ
ã không qua tri
ế
t
Đ
S: a. 0,48 b. 0,82 c. 0,34 d. 0,55

Bài 31
M

ộ
t công ty s
ử
d
ụ
ng hai hình th
ứ
c qu
ả
ng cáo là qu
ả
ng cáo trên
đ
ài phát thanh và qu
ả
ng cáo
trên tivi. Gi
ả
s
ử
có 25% khách hàng bi
ế
t
đượ
c thông tin qu
ả
ng cáo qua tivi và 34% khách
hàng bi
ế
t

đượ
c thông tin qu
ả
ng cáo qua
đ
ài phát thanh và 10% khách hàng bi
ế
t
đượ
c thông tin
1

2

3

4

5

6

a

1

2

3

4

5

b

1

2

3

4

5

c
7

qu
ả
ng cáo qua c
ả
hai hình th
ứ
c qu
ả
ng cáo. Tìm xác su
ấ
t

để
ch
ọ
n ng
ẫ
u nhiên m
ộ
t khách hàng
thì ng
ườ
i
đ
ó bi
ế
t
đượ
c thông tin qu
ả
ng cáo c
ủ
a công ty.

Đ
S: 0,49

Bài 32
M
ộ
t nhà máy s
ả

n xu
ấ
t linh ki
ệ
n
đ
i
ệ
n t
ử
có 4 phân x
ưở
ng. phân x
ưở
ng 1 s
ả
n xu
ấ
t 40%; phân
x
ưở
ng 2 s
ả
n xu
ấ
t 30%; phân x
ưở
ng 3 s
ả
n xu

ấ
t 20% và phân x
ưở
ng 4 s
ả
n xu
ấ
t 10% s
ả
n ph
ẩ
m
c
ủ
a toàn xí nghi
ệ
p. T
ỉ
l
ệ
ph
ế
ph
ẩ
m c
ủ
a các phân x
ưở
ng 1, 2, 3, 4 t
ươ

ng
ứ
ng là 1%, 2%, 3%,
4%. Ki
ể
m tra ng
ẫ
u nhiên m
ộ
t s
ả
n ph
ẩ
m do nhà máy s
ả
n xu
ấ
t.
a)

tìm xác su
ấ
t
để
s
ả
n ph
ẩ
m l
ấ

y ra là s
ả
n ph
ẩ
m t
ố
t?
b)

cho bi
ế
t s
ả
n ph
ẩ
m l
ấ
y ra ki
ể
m tra là ph
ế
ph
ẩ
m. Tính xác su
ấ
t
để
ph
ế
ph

ẩ
m
đ
ó do phân
x
ưở
ng 1 s
ả
n xu
ấ
t?
Đ
S: a. Công th
ứ
c
đầ
y
đủ
b. Công th
ứ
c Bayes

Bài 33
M
ộ
t dây chuy
ề
n l
ắ
p ráp nh

ậ
n các chi ti
ế
t t
ừ
hai nhà máy khác nhau, t
ỷ
l
ệ
chi ti
ế
t do nhà máy
th
ứ
nh
ấ
t cung c
ấ
p là 60%, còn l
ạ
i c
ủ
a nhà máy th
ứ
2. T
ỷ
l
ệ
chính ph
ẩ

m c
ủ
a nhà máy th
ứ
nh
ấ
t
là 90% c
ủ
a nhà máy th
ứ
2 là 85%. L
ấ
y ng
ẫ
u nhiên m
ộ
t chi ti
ế
t trên dây chuy
ề
n và th
ấ
y r
ằ
ng
nó t
ố
t, tìm xác su
ấ

t
để
chi ti
ế
t
đ
ó do nhà máy th
ứ
nh
ấ
t s
ả
n xu
ấ
t.

Đ
S: Công th
ứ
c Bayes

Bài 34
Ba kh
ẩ
u súng
độ
c l
ậ
p b
ắ

n vào m
ộ
t m
ụ
c tiêu, xác su
ấ
t
để
3 kh
ẩ
u b
ắ
n trúng l
ầ
n l
ượ
t b
ằ
ng 0,7;
0,8 ; 0,5. m
ỗ
i kh
ẩ
u b
ắ
n 1 viên, tính xs
để

a.

m
ộ
t kh
ẩ
u b
ắ
n trúng
b.

hai kh
ẩ
u b
ắ
n trúng
c.

c
ả
ba kh
ẩ
u b
ắ
n tr
ậ
t
d.

ít nh
ấ
t m

ộ
t kh
ẩ
u trúng
e.

kh
ẩ
u th
ứ
nh
ấ
t b
ắ
n trúng bi
ế
t r
ằ
ng có 2 viên trúng
Đ
S : a. 0,22 b. 0,47 c. 0,03 d. 0,97 e. 35/47

Bài 35
M
ộ
t c
ử
a hàng máy tính chuyên kinh doanh 3 lo
ạ
i nhãn hi

ệ
u là IBM, Dell và Toshiba. Trong
c
ơ
c
ấ
u hàng bán, máy IBM chi
ế
m 50%; Dell 30% và còn l
ạ
i là máy Toshiba. T
ấ
t c
ả
máy bán
ra có th
ờ
i h
ạ
n b
ả
o hành là 12 tháng. Kinh nghi
ệ
m kinh doanh c
ủ
a ch
ủ
c
ử
a hàng cho th

ấ
y 10%
máy IBM ph
ả
i s
ử
a ch
ữ
a trong h
ạ
n b
ả
o hành; t
ỷ
l
ệ
s
ả
n ph
ẩ
m c
ầ
n s
ử
a ch
ữ
a c
ủ
a hai hi
ệ

u còn l
ạ
i
l
ầ
n l
ượ
t là 20% và 25%.
a.

N
ế
u có khách hàng mua m
ộ
t máy tính, tìm kh
ả
n
ă
ng
để
máy tính c
ủ
a khách hàng
đ
ó
ph
ả
i
đ
em l

ạ
i s
ử
a ch
ữ
a trong h
ạ
n b
ả
o hành.
b. Có m
ộ
t khách hàng mua máy tính m
ớ
i 9 tháng
đ
ã ph
ả
i
đ
em l
ạ
i vì có tr
ụ
c tr
ặ
c, tính xác
su
ấ
t mà máy c

ủ
a Khách này hi
ệ
u Toshiba
Đ
S: a. Công th
ứ
c
đầ
y
đủ
b. Công th
ứ
c Bayes

Bài 36
Tr
ướ
c khi
đư
a s
ả
n ph
ẩ
m ra th
ị
tr
ườ
ng ng
ườ

i ta ch
ọ
n m
ẫ
u ng
ẫ
u nhiên 200 khách hàng, cho th
ử

v
ề
s
ả
n ph
ẩ
m m
ớ
i, ph
ỏ
ng v
ấ
n h
ọ
thì có 34 ng
ườ
i tr
ả
l
ờ
i “s

ẽ
mua”, 96 ng
ườ
i tr
ả
l
ờ
i “có th
ể

8

mua”, 70 ng
ườ
i tr
ả
l
ờ
i “không mua”. Kinh nghi
ệ
m sale c
ủ
a công ty cho bi
ế
t là kho
ả
ng 40%
khách hàng tr
ả
l

ờ
i “s
ẽ
mua” s
ẽ
th
ự
c s
ự
mua s
ả
n ph
ẩ
m
đ
ó, t
ươ
ng
ứ
ng là 20% và 1% cho hai
cách tr
ả
l
ờ
i còn l
ạ
i.
Yêu c
ầ
u

a.

Hãy
đ
ánh giá th
ị
tr
ườ
ng ti
ề
m n
ă
ng c
ủ
a s
ả
n ph
ẩ
m m
ớ
i
b.

Trong s
ố
khách hàng th
ự
c s
ự
mua s

ả
n ph
ẩ
m c
ủ
a công ty, bao nhiêu % thu
ộ
c nhóm tr
ả

l
ờ
i ch
ắ
c “s
ẽ
mua”
Đ
S: a. Công th
ứ
c
đầ
y
đủ
16,75% b. Công th
ứ
c Bayes 0,406
Bài 37
M
ộ

t ng
ườ
i b
ắ
n bia v
ớ
i xác su
ấ
t b
ắ
n trúng là p=0,7
a.

B
ắ
n liên ti
ế
p 3 viên, tính xác su
ấ
t
để
có ít nh
ấ
t m
ộ
t l
ầ
n trúng bia
b.

H
ỏ
i ph
ả
i b
ắ
n ít nh
ấ
t m
ấ
y l
ầ
n
để
có xác su
ấ
t ít nh
ấ
t 1 l
ầ
n trúng bia
≥
0,9

Đ
S : Công th
ứ
c Becnuli

Bài 38

Trong m
ộ
t lô thu
ố
c xs nh
ậ
n
đượ
c thu
ố
c h
ỏ
ng là p =0,1. l
ấ
y ng
ẫ
u nhiên 3 l
ọ

để
ki
ể
m tra. Tính
xs
để

a.

C
ả

3 l
ọ

đề
u h
ỏ
ng
b.

Có 2 l
ọ
h
ỏ
ng và 1 l
ọ
t
ố
t
c.

Có 1 l
ọ
h
ỏ
ng và 2 l
ọ
t
ố
t
d.

C
ả
3 l
ọ

đề
u t
ố
t
Đ
S : Công th
ứ
c Becnuli

Bài 39
M
ộ
t phân x
ưở
ng có 5 máy. Xác su
ấ
t
để
trong m
ộ
t ca m
ỗ
i máy b
ị

h
ỏ
ng là 0,1. tìm xác su
ấ
t
để

trong m
ộ
t ca có
đ
úng 2 máy b
ị
h
ỏ
ng

Đ
S : Công th
ứ
c Becnuli

Bài 40
M
ộ
t lô hàng có t
ỷ
l
ệ
ph

ế
ph
ẩ
m là 5%, c
ầ
n ph
ả
i l
ấ
y m
ẫ
u c
ỡ
bao nhiêu sao cho xs
để
b
ị
ít nh
ấ
t
m
ộ
t ph
ế
ph
ẩ
m không bé h
ơ
n 0,95

Bài 41

M
ộ
t nhà toán h
ọ
c có xs gi
ả
i
đượ
c m
ộ
t bài toán khó là 0,9.
Đư
a cho anh ta 5 bài toán khó
đượ
c
ch
ọ
n m
ộ
t cách ng
ẫ
u nhiên
a.

tính xs
để
anh ta gi
ả

i
đượ
c 3 bài
b.

tính xs
để
anh ta gi
ả
i
đượ
c ít nh
ấ
t m
ộ
t bài
c.

tính s
ố
bài có kh
ả
n
ă
ng nh
ấ
t mà anh này gi
ả
i
đượ

c








9






Ngu
ồ
n tham kh
ả
o
Sách Xác su
ấ
t Th
ố
ng kê c
ủ
a PGS
Đặ
ng H

ấ
n, NXB Th
ố
ng kê
Bài t
ậ
p Xác su
ấ
t Th
ố
ng kê c
ủ
a PGS
Đ
inh Ng
ọ
c Thanh, l
ư
u hành n
ộ
i b
ộ

Bài t
ậ
p Th
ố
ng kê
ứ
ng d

ụ
ng c
ủ
a
Đ
inh Bá Nh
ẫ
n, Tr
ầ
n Thái Hoàng, NXB Th
ố
ng kê
Xác định biến ngẫu nhiên.
Bài 1. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng
a)
[
]
[ ]
Ax khi x 0,1
f (x)
0 khi x 0,1

∈

=

∉



b)
[
]
[ ]
A sin x khi x 0,
f (x)
0 khi x 0,

∈ π

=

∉ π



c)
[
]
[ ]
1
2
1
2
A cos x khi x 0,
f (x)
0 khi x 0,

π ∈


=

∉



d)
4
1
A khi x 1
f (x)
x
0 khi x 1

≥

=


<


Hãy xác định A. Tìm hàm phân phối xác suất của X. Tính
µ
X
,
σ
2
X
, nếu có.

Bài 2. Tuổi thọ của một loại bóng đèn nào đó là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị năm) với
hàm mật độ như sau

2
kx (4 x) khi 0 x 4
f (x)
0 khi x [0, 4]

− ≤ ≤
=

∉


a) Tìm k và vẽ đồ thị f(x).
b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước khi nó được 1 năm tuổi.
Bài 3. Trọng lượng của một con vịt 6 tháng tuổi là 1 biến ngẫu nhiên X (đơn vị tính là
Kg) có hàm mật độ
2
k (x 1) khi 1 x 3
f (x)
0 khi x [1, 3]

− ≤ ≤
=

∉


a) Tìm k.

b) Với k tìm được, tìm
(i) trọng lượng trung bình của vịt 6 tháng tuổi,
(ii) hàm phân phối xác suất của X,
(iii) tỷ lệ vịt chậm lớn, biết vịt 6 tháng tuổi chậm lớn là vịt có trọng lượng
nhỏ hơn 2Kg.
Bài 4. Cho hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X có dạng

2 2
2 2
a cos x khi x ,
f (x)
0 khi x ,
π π
π π

∈ −
 

 
=

∉ −
 

 


a) Tìm a và xác định hàm phân phối xác suất F(x) của X.
b) Tính xác suất để X nhận giá trị trong khoảng
,

4
π
 
π
 
 
.
Bài 5. Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối

π

< −


π π

= + − ≤ ≤


π

>


0 k hi x ,
2
F(x) a b sin x khi x ,
2 2
1 khi x
2

với a, b là hằng số.
a) Tìm a và b.
b) Với a và b tìm được ở câu a), tính hàm mật độ f(x) của X;
[
]
M od x
;
[
]
M e x
;
P X
4
π
 
>
 
 
.
Vectơ ngẫu nhiên.
Bài 6. Số trẻ em sinh ra trong một tuần ở một làng A nào đó là một đại lượng ngẫu
nhiên có phân bố xác suất là
X 0 1 2 3
P 0,4 0,3 0,2 0,1
Số người chết trong một tuần ở làng A là một đại lượng ngẫu nhiên Y có phân
bố xác suất là
Y 0 1 2 3 4
P 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05
Giả sử rằng X và Y độc lập.

a) Tìm phân phối xác suất đồng thời của X và Y.
b) Tính P(X > Y).
Bài 7. Cho bảng phân phối xác suất đồng thời của X, Y như sau :

Y

X
4 5
1 0,1 0,06
2 0,3 0,18
3 0,2 0,16
a) Lập bảng phân phối xác suất thành phần của X và Y.
b) Lập bảng phân phối xác suất có điều kiện của X và Y.
c) Tính covariance và hệ số tương quan của X và Y.

Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
Bài 8. Các đại lượng ngẫu nhiên X và Y có bảng phân phối xác suất đồng thời như
sau

Y

X
1 2 3
1 0,12 0,15 0,03
2 0,28 0,35 0,07

a) Chứng minh rằng X và Y độc lập.
b) Lập bảng phân phối xác suất của Z = XY. Từ đó tính E(Z) và kiểm tra rằng
E(Z) E(X)E(Y)
=

.
Bài 9. Cho X, Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau
Y

X
-1 1
-1
1
6

1
4

0
1
6

1
8

1
1
6

1
8


Hãy tính E(X), E(Y), cov(X,Y) và
(X, Y)

ρ
.
Bài 10. Cho X,Y là hai đại lượng ngẫu nhiên có phân bố xác suất đồng thời như sau
Y

X
-1 0 1
-1
4
15

1
15

4
15

0
1
15

2
15

1
15

1 0
2
15

0

a) Tìm
µ
X
,
µ
Y
, cov(X,Y) và
(X, Y)
ρ
.
b) X và Y có độc lập không ?
Bài 11. Có hai hộp, mỗi hộp đựng 6 bi. Trong hộp một có : 1 bi mang số 1, 2 bi mang
số 2, 3 bi mang số 3. Trong hộp hai có : 2 bi mang số 1, 3 bi mang số 2, 1 bi mang số
3. Rút từ mỗi hộp 1 bi. Gọi X là số ghi trên bi rút ra từ hộp một, Y là số ghi trên bi rút
ra từ hộp hai.
a) Hãy lập bảng phân phối xác suất đồng thời của
(
)
V X, Y
=
.
b) Bảng phân phối xác suất lề của X , Y.
c) Kỳ vọng, phương sai của X , Y.
d) Hiệp phương sai, hệ số tương quan.
Bài 12. Tung ba lần độc lập một con xúc xắc. Gọi X là số lần mặt chẵn xuất hiện và Y
là số lần mặt lẻ xuất hiện.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X và Y.

b) Tính hệ số tương quan
(X, Y)
ρ
. Nhận xét?
Đáp án
Bài 1.
a)
=
A 2
,
µ =
X
2
3
,
σ =
2
X
0.055
,
( )

≤ ≤

= <


>

2

x khi 0 x 1
F x 0 khi x 0
1 khi x 1
.
b)
=
A 0.5
,
π
µ =
X
2
,
π
σ = −
2
2
X
2
4
,
( )
( )

− ≤ ≤ π


= <



> π


1
1 cos x khi 0 x
2
F x 0 khi x 0
1 k hi x
.
c)
= π
A
,
µ = −
π
X
1 1
2
,
π −
σ =
π
2
X
2
3
,
( )
( )


π ≤ ≤


= <



>

1
sin x khi 0 x
2
F x 0 khi x 0
1
1 khi x
2
.
d)
=
A 3
,
µ =
X
3
2
,
σ =
2
X
3

4
,
( )

− ≥

=


<

3
1
1 khi x 1
F x
x
0 khi x 1
.
Bài 2.
a)
=
3
k
64
,
1
2
3
4
0.1

0.2
0.3
0.4
.
b)
0.0508
.

Bài 3.
a)
=
3
k
20
.
b) (i)
µ =
X
2.4
kg.
(ii)
( )

− +
≤ ≤



= <



>



3
x 3x 2
khi 1 x 3
20
F x 0 khi x 1
1 khi x 3
.
(iii)
0.2
.

Bài 4.
a)
=
1
a
2
,
( )
+ π π

− ≤ ≤


π


= < −


π

>


sin x 1
khi x
2 2 2
F x 0 khi x
2
1 khi x
2
.
b)
0.1465
.

Bài 5.
a)
=
1
a
2
,
=
1

b
2
.
b)
[
]
=
Mod x 0
,
[
]
=
Me x 0
,
π
 
> =
 
 
P X 0.1465
4
,
( )

π π
 
∈ −

 
  

=

π π
 

∉ −
 

 

1
cos x khi x ,
2 2 2
f x
0 khi x ,
2 2
.
Vectơ ngẫu nhiên.
Bài 6.
a)
Y

X
0 1 2 3 4
0 0.04 0.12 0.16 0.06 0.02
1 0.03 0.09 0.12 0.045

0.015

2 0.02 0.06 0.08 0.03 0.01

3 0.01 0.03 0.04 0.015

0.005

b)
0.19
.

Bài 7.
a)
X 1 2 3
P
X
0.16 0.48 0.36

Y 4 5
P
Y
0.6 0.4
b)
Y

X
4 5
1 0.17 0.15
2 0.5 0.45
3 0.33 0.4

X

Y
1 2 3
4 0.625

0.625

0.56
5 0.375

0.375

0.44
c)
=
cov(X, Y) 0.02
,
ρ =
(X, Y) 0.059
.

Tham số đặc trưng của biến ngẫu nhiên.
Bài 8.
b)
Z 1 2 3 4 6
P 0.12 0.43 0.03 0.35 0.07
(
)
=
E Z 2.89
,

(
)
=
E X 1.7
,
(
)
=
E Y 1.7
.

Bài 9.
µ = −
X
1
8
,
µ =
Y
0
,
= −
cov(X, Y) 0.125
,
ρ = −
(X, Y) 0.1502
.

Bài 10.
a)

µ = −
X
0.467
,
µ =
Y
0
,
=
cov(X, Y) 0
,
ρ =
(X, Y) 0
.
b) X và Y độc lập.

Bài 11.
a)
Y

X
1 2 3
1
2
36

3
36

1

36

2
4
36

6
36

2
36

3
6
36

9
36

3
36

b)
X 1 2 3
P
X
1
36

2

36

3
36


Y 1 2 3
P
Y
2
36

3
36

1
36

c)
µ =
X
2.33
,
µ =
Y
1.83
,
σ =
2
X

0.555
,
σ =
2
Y
0.472
.
d)
=
cov(X, Y) 0.0139
,
ρ =
(X, Y) 0.027
.

Bài 12.
a)
X 0 1 2 3
P
X
0.125 0.375 0.375 0.125

Y 0 1 2 3
P
Y
0.125 0.375 0.375 0.125
b)
ρ = −
(X, Y) 1
, X và Y phụ thuộc chặt, nghịch biến.

1

Bài 1. Có 8000 sản phẩm trong đó có 2000 sản phẩm không đạt tiêu chuẩn kỹ thuật. Lấy
ngẫu nhiên (không hoàn lại) 10 sản phẩm. Tính xác suất để trong 10 sản phẩm lấy ra có 2
sản phẩm không đạt tiêu chuẩn.
Bài 2. Đường kính của một loại chi tiết do một máy sản xuất có phân phối chuẩn, kỳ
vọng 20mm, phương sai
2
(0, 2mm)
. Lấy ngẫu nhiên 1 chi tiết máy. Tính xác suất để
a) có đường kính trong khoảng 19,9mm đến 20,3mm,
b) có đường kính sai khác với kỳ vọng không quá 0,3mm.
Bài 3. Một máy dệt có 4000 ống sợi. Xác suất để mỗi ống sợi bị đứt trong 1 phút là
0,0005. Tính xác suất để trong 1 phút
a) có 3 ống sợi bị đứt,
b) có ít nhất 2 ống sợi bị đứt.
Bài 4. Một cửa hàng cho thuê xe ôtô nhận thấy rằng số người đến thuê xe ôtô vào ngày
thứ bảy cuối tuần là một đại lượng ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số
2
λ =
. Giả sử cửa hàng có 4 chiếc ôtô. Hãy Tìm xác suất để
a) không phải tất cả 4 chiếc ôtô đều được thuê,
b) tất cả 4 chiếc ôtô đều được thuê,
c) cửa hàng không đáp ứng được yêu cầu,
d) trung bình có bao nhiêu ôtô được thuê,
e) cửa hàng cần có ít nhất bao nhiêu ôtô để xác suất không đáp ứng được nhu cầu

thuê bé hơn 2%.
Bài 5. Một tổng đài bưu điện có các cuộc điện thoại gọi đến xuất hiện ngẫu nhiên, độc
lập với nhau và có tốc độ trung bình 2 cuộc gọi trong 1 phút. Tìm xác suất để
a) có đúng 5 cuộc điện thoại trong 2 phút,
b) không có cuộc điện thoại nào trong khoảng thời gian 30 giây,
c) có ít nhất 1 cuộc điện thoại trong khoảng thời gian 10 giây.
Bài 6. Tỷ lệ cử tri ủng hộ ứng cử viên A trong một cuộc bầu cử là 60%. Người ta hỏi ý
kiến 20 cử tri được chọn một cách ngẫu nhiên. Gọi X là số người bỏ phiếu cho A trong
20 người đó.
a) Tìm giá trị trung bình, độ lệch chuẩn và Mod của X.
b) Tìm
(
)
P X 10
≤
.
c) Tìm
(
)
P X 12
>
.
d) Tìm
(
)
P X 11
=
.
Bài 7. Xác suất để một máy sản xuất ra phế phẩm là 0.02.
a) Tính xác suất để trong 10 sản phẩm do máy sản xuất có không quá 1 phế phẩm.

2

b) Một ngày máy sản xuất được 250 sản phẩm. Tìm số phế phẩm trung bình và số
phế phẩm tin chắc nhất của máy đó trong một ngày.
Bài 8. Một máy sản xuất ra sản phẩm loại A với xác suất 0.485. Tính xác suất sao có
trong 200 sản phẩm do máy sản xuất ra có ít nhất 95 sản phẩm loại A.
Bài 9. Xác suất để một máy sản xuất ra sản phẩm loại A là 0.25. Tính xác suất để trong
80 sản phẩm do máy sản xuất ra có từ 25 đến 30 sản phẩm loại A.
Bài 10. Gieo 100 hạt giống của một loại nông sản. Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là 0.8.
Tính xác suất để có ít nhất 90 hạt nảy mầm.
Bài 11. Một sọt cam có 10 trái trong đó có 4 trái hư. Lấy ngẫu nhiên ra 3 trái.
a) Tính xác suất lấy được 3 trái hư.
b) Tính xác suất lấy được 1 trái hư
c) Tính xác suất lấy được ít nhất 1 trái hư.
d) Tính xác suất lấy được nhiều nhất 2 trái hư.
Bài 12. Giả sử tỷ lệ dân cư mắc bệnh A trong vùng là 10%. Chọn ngẫu nhiên 1 nhóm 400
người.
a) Viết công thức tính xác suất để trong nhóm có nhiều nhất 50 người mắc bệnh A.
b) Tính xấp xỉ xác suất đó bằng phân phối chuẩn.
Bài 13. Một nhà xã hội học cho rằng 12% số dân của thành phố ưa thích một bộ phim A
mới chiếu trên tivi. Để khẳng định dự đoán này, ông ta chọn một mẫu ngẫu nhiên gồm
500 người để hỏi ý kiến và thấy 75 người trả lời ưa thích bộ phim đó. Tính xác suất để
trong một mẫu ngẫu nhiên gồm 500 người, số người ưa thích bộ phim ít nhất là 75 nếu
giả thuyết p = 12% là đúng.
Bài 14. Cho X và Y là hai đại lượng ngẫu nhiên độc lập.
a) Giả sử
(
)
1

5
X B 1;
∼
;
(
)
1
5
Y B 2;
∼
. Lập bảng phân phối xác suất của X + Y và
kiểm tra rằng
(
)
(
)
1
5
X Y B 3;
+
∼
.
b) Giả sử
(
)
1
2
X B 1;
∼
;

(
)
1
5
Y B 2;
∼
. Tìm phân bố xác suất của X + Y. Chứng minh
rằng X + Y không có phân bố nhị thức.
Bài 15. Xác suất để một con gà đẻ trong ngày là 0,6. Nuôi 5 con.
1) Tính xác suất để trong một ngày :
a) không con nào đẻ,
b) cả 5 con đẻ,
c) có ít nhất 1 con đẻ,
d) có ít nhất 2 con đẻ.
2) Nếu muốn mỗi ngày có trung bình 100 trứng thì phải nuôi bao nhiêu con gà.

3

Bài 16. Sản phẩm sau khi hoàn tất được đóng thành kiện, mỗi kiện gồm 10 sản phẩm với
tỷ lệ thứ phẩm là 20%. Trước khi mua hàng, khách hàng muốn kiểm tra bằng cách từ mỗi
kiện chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm.
a) Tìm luật phân phối xác suất của số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra.
b) Nếu cả 3 sản phẩm được lấy ra đều là sản phẩm tốt thì khách hàng sẽ đồng ý
mua kiện hàng đó. Tính xác suất để khi kiểm tra 100 kiện có ít nhất 60 kiện được mua.
Bài 17. Xác suất trúng số là 1%. Mỗi tuần mua một vé số. Hỏi phải mua vé số liên tiếp
trong tối thiểu bao nhiêu tuần để có không ít hơn 95% hy vọng trúng số ít nhất 1 lần.
(
)
cho lg 99 1, 9956; lg 5 0, 6990
= =

Bài 18. Bưu điện dùng một máy tự động đọc địa chỉ trên bì thư để phân loại từng khu vực
gởi đi, máy có khả năng đọc được 5000 bì thư trong 1 phút. Khả năng đọc sai 1 địa chỉ
trên bì thư là 0,04% (xem như việc đọc 5000 bì thư này là 5000 phép thử độc lập).
a) Tính số bì thư trung bình mỗi phút máy đọc sai.
b) Tính số bì thư tin chắc nhất trong mỗi phút máy đọc sai.
c) Tính xác suất để trong một phút máy đọc sai ít nhất 3 bì thư.
Bài 19. Xác suất để một máy sản xuất ra một phế phẩm là 0.001. Tính xác suất để trong
4000 sản phẩm do máy này sản xuất ra có không quá 5 phế phẩm.
Bài 20. Tại một điểm bán vé máy bay, trung bình trong 10 phút có 4 người đến mua vé.
Tính xác suất để:
a) Trong 10 phút có 7 người đến mua vé.
b) Trong 10 phút có không quá 3 người đến mua vé.
Bài 21. Lãi suất (%) đầu tư vào một dự án năm 2000 được coi như 1 đại lượng ngẫu
nhiên phân phối theo quy luật chuẩn. Theo đánh giá của uỷ ban đầu tư thì lãi suất cao hơn
20% có xác suất 0,1587, và lãi suất cao hơn 25% có xác suất là 0,0228. Vậy khả năng đầu
tư mà không bị thua lỗ là bao nhiêu?.
Bài 22. Độ dài của một chi tiết máy được tiện ra có phân phối chuẩn
2
N( cm ; (0, 2cm) )
µ
.
Sản phẩm coi là đạt nếu độ dài sai lệch so với độ dài trung bình không quá 0,3cm.
a) Tính xác suất chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm thì được sản phẩm yêu cầu.
b) Chọn ngẫu nhiên 3 sản phẩm. Tính xác suất có ít nhất 2 sản phẩm đạt yêu cầu .
Bài 23. Trọng lượng của 1 loại trái cây có quy luật phân phối chuẩn với trọng lượng
trung bình là 250g, độ lệch chuẩn về trọng lượng là 5g. Một người lấy 1 trái từ trong sọt
trái cây ra.
a) Tính xác suất người này lấy được trái loại 1 (trái loại 1 là trái có trọng lượng >
260g).

b) Nếu lấy được trái loại 1 thì người này sẽ mua sọt đó. Người này kiểm tra 100 sọt,
tính xác suất mua được 6 sọt.

4

Bài 24. Một công ty kinh doanh mặt hàng A dự định sẽ áp dụng một trong 2 phương án
kinh doanh. Ký hiệu
1
X
là lợi nhuận thu được khi áp dụng phương án thứ 1,
2
X
là lợi
nhuận thu được khi áp dụng phương án thứ 2.
1
X
,
2
X
đều được tính theo đơn vị triệu
đồng/ tháng) và
(
)
1
X N 140, 2500
∼
,
(
)
2

X N 200, 3600
∼
. Nếu biết rằng, để công ty tồn
tại và phát triển thì lợi nhuận thu được từ mặt hàng kinh doanh A phải đạt ít nhất 80 triệu
đồng/tháng. Hãy cho biết công ty nên áp dụng phương án nào để kinh doanh mặt hàng A?
Vì sao?.
Bài 25. Có hai thị trường A và B, lãi suất của cổ phiếu trên hai thị trường này là các biến ngẫu
nhiên phân phối chuẩn, độc lập với nhau, có kỳ vọng và phương sai được cho trong bảng dưới
đây:
Trung bình Phương sai
Thị trường A 19% 36
Thị trường B 22% 100

Nếu mục đích là đạt lãi suất tối thiểu bằng 10% thì nên đầu tư vào loại cổ phiếu
nào?
Bài 26. Nghiên cứu chiều cao của những người trưởng thành, người ta nhận thấy rằng
chiều cao đó tuân theo quy luật phân bố chuẩn với trung bình là 175cm và độ lệch tiêu
chuẩn 4cm. Hãy xác định :
a) tỷ lệ người trưởng thành có tầm vóc trên 180cm,
b) tỷ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166cm đến 177cm,
c) Tìm
0
h
, nếu biết rằng 33% người trưởng thành có tầm vóc dưới mức
0
h
,
d) giới hạn biến động chiều cao của 90% người trưởng thành xung quanh giá trị
trung bình của nó.
Bài 27. Chiều dài của chi tiết được gia công trên máy tự động là biến ngẫu nhiên tuân

theo quy luật phân phối chuẩn với độ lệch tiêu chuẩn là 0.01mm. Chi tiết được coi là đạt
tiêu chuẩn nếu kích thước thực tế của nó sai lệch so với kích thước trung bình không vượt
quá 0.02mm.
a) Tìm tỷ lệ chi tiết không đạt tiêu chuẩn.
b) Xác định độ đồng đều (phương sai) cần thiết của sản phẩm để tỷ lệ chi tiết không
đạt tiêu chuẩn chỉ còn 1%.
Bài 28. Trọng lượng X của một loại trái cây ở nông trường được biết có kỳ vọng 250gr
và phương sai 81
( )
2
gr
. Trái cây được đóng thành sọt, mỗi sọt 100 trái. Mỗi sọt được gọi
là loại A nếu trọng lượng không dưới 25kg. Kiểm tra ngẫu nhiên 100 sọt. Tính xác suất :
a) có nhiều nhất 30 sọt loại A,





5

Đáp án
Bài 1.
0.282
.
Bài 2.
a)
0.6247
.
b)

0.8664
.
Bài 3.
a)
0.18
.
b)
0.595
.
Bài 4.
a)
0.857
.
b)
0.1429
.
c)
0.0527
.
d)
2
.
e)
5
.
Bài 5.
a)
0.1563
.
b)

0.3679
.
c)
0.284
.
Bài 6.
a)
µ =
X
12
,
σ =
X
2.191
,
[
]
=
M od X 12
.
b)
0.245
.
c)
0.416
.
d)
0.16
.
Bài 7.

a)
0.98
.
b) Số phế phẩm trung bình = 5, số phế phẩm tin chắc nhất = 5.
Bài 8.
0.6103
.
Bài 9.
0.0936
.
Bài 10.
0.0062
.
Bài 11.
a)
0.033
.
b)
0.5
.
c)
0.83
.
d)
0.967
.
Bài 12.
a)
0.9564
.

b)
0.9525
.
Bài 13.
a)
0.0233
.
b)
0.9525
.
Bài 14.

6

a)
X+Y 0 1 2 3
P

64
125

48
125

12
125

1
125

b)
Z 0 1 2 3
P

16
50

24
50

9
50

1
50


Bài 15.
1) a)
0.01024
, b)
0.07776
, c)
0.98976
, d)
0.91296
.
2) 167 con.
Bài 16.
a) Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm lấy ra,

(
)
∼
X H 10;8; 3
,
X 0 1 2 3
P

0 0.066 0.467 0.467
b)
0.0038
.
Bài 17.
296
tuần.
Bài 18.
a) 2.
b) 2.
c)
0.3233
.
Bài 19.
0.7851
.
Bài 20.
a)
0.0596
.
b)
0.4335

.
Bài 21.
0.5
.
Bài 22.
a)
0.8664
.
b)
0.9512
.
Bài 23.
a)
0.1587
.
b)
0.0029
.
Bài 24.
(
)
≥ =
1
P X 80 0.8849
,
(
)
≥ =
2
P X 80 0.9772

, nên ta chọn phương án thứ 2.
Bài 25.
Nên đầu tư vào loại cổ phiếu trên thị trường A.
Bài 26.
a)
0.1056
.
b)
0.6793
.
c)
173.24
.
d)
6.6
.

7

Bài 27.
a)
0.9544
.
b)
2
0.03
.
Bài 28.
a)
0.8413

.
b)
0.9987
.
Bài tập PHÂN PHỐI XÁC SUẤT và CHỌN MẪU
Bài 1
Dây chuyền sản xuất của một nhà máy chuyên sản xuất một loại linh kiện dùng cho
máy tính cá nhân hoạt động theo tiêu chuẩn kỹ thuật với quy định đường kính của các
linh kiện được sản xuất có phân phối bình thường với trung bình bằng 1,5 inches và
độ lệch tiêu chuẩn là 0,05 inches.
Trước khi xuất xưởng một lô linh kiện vừa được sản xuất ngay sau khi tiến hành sửa
chữa một số lỗi kỹ thuật của dây chuyền, bộ phận kiểm sóat chất lượng của nhà máy
đã chọn ngẫu nhiên một mẫu gồm 8 linh kiện và đo đường kính của chúng. Dữ liệu
như sau : 1,57 ; 1,59 ; 1,48 ; 1,60 ; 1,59 ; 1,62 ; 1,55 ; 1,52
Bạn hãy thay bộ phận kiểm soát chất lượng của nhà máy sử dụng kết quả đo lường
này để phân tích xem dây chuyền sản xuất có vấn đề gì bất thường không?
Bài 2
H là một công ty chuyên sản xuất các món đồ trang trí giáng sinh, sản phẩm của họ
được cung cấp cho các nhà bán lẻ trên toàn quốc. Qua quan sát, ban giám đốc của H
đã tổng kết được là khoảng 15% các sản phẩm (ngay cả khi được đóng gói rất kỹ) bị
hỏng trong quá trình chuyên chở trước khi đến được tay người bán lẻ; và không có
một dạng cụ thể nào của các kiểu hư hỏng, mỗi món đồ hư hỏng theo một kiểu hoàn
toàn độc lập với nhau.
Có một nhà bán lẻ phản ánh với công ty rằng trong số 500 món đồ trang trí người đó
đặt mua trong chuyến hàng vừa rồi có đến 90 món bị hư hỏng. Giả sử rằng tỷ lệ hư
hỏng của tổng thể các món đồ được vận chuyển được xác định chung là 15%, vậy ban
giám đốc làm sao để xác định được khả năng một mẫu gồm 500 đơn vị có bị hỏng
trên 18% số đơn vị?
ĐS 0,0301
Bài 3

Giả sử biến X tuân theo luật phân phối chuẩn có giá trị trung bình là 5 và độ lệch
chuẩn là 2, tìm giá trị k trong các phát biểu sau
a. P(X ≤ k) = 0,6443
b. P(X ≤ -k và X ≥ k) = 0,61
c. P(k ≤ X ≤ 6,5) = 0,6524
d. P(-2,11 ≤ X ≤ k) = 0,1526
a. k = 5.074
b. k = 1,02
c. k = 2,66
d. k = 2,95
Bài 4
Đại lượng ngẫu nhiên X tuân theo luật phân phối tam giác cân như sau (giả sử AB =
BC)


a. Xác định giá trị của h và giá trị của điểm M
b. Tìm P(38 ≤ X ≤ 62)
c. Tìm P(26 < X < 58)
d. Tìm a để P(X ≥ a) = 0,85
a. h = 0,4167
M = 50
b. = 0,75
c. = 0,7778
d. = 39,14534
Bài 5
Giả sử tuổi của học viên lớp Fulbright năm nay tuân theo luật phân phối chuẩn với độ
tuổi trung bình là 29 tuổi và độ lệch chuẩn là 2,5 tuổi.
a. Chọn ngẫu nhiên một người từ lớp học và hỏi tuổi. Tìm xác suất để người được
chọn có số tuổi lớn hơn 32
b. Chọn ngẫu nhiên 16 người để hỏi tuổi. Tìm xác suất để trung bình độ tuổi của mẫu

này đạt trên 28 tuổi
c. Với cỡ mẫu bằng bao nhiêu thì xác suất để cho giá trị trung bình của mẫu chọn
được
có giá trị lớn hơn 30 là 2,5%
d. Với cỡ mẫu là 4, tìm giá trị k để P(26 < X < X +2k) = 25%
Bài 6
Sở Du lịch Thành phố muốn đánh giá mức chi tiêu bình quân trong ngày của khách du