Dáng đi u nghi m cua các bất đẳng thức vi biến phân

BđGIODCVOTO
TRNGIHOCSPHMHNI
------ ------

NGUYENTHVNANH

DNGIUNGHIMCUACCBAT
ANGTHCVIBIENPHN

LUắNNTIENSTONHOC

HNi-2019


NGUYENTH±VÂNANH

DÁNGĐIUNGHIMCUACÁCBAT
ĐANGTHỨCVIBIENPHÂN

Chuyênn g à n h :
Phươngt r ì n h v i p h â n v à tí c h p h â n Mãs o :
9.46.01.03

LU¾NÁNTIENSĨTỐNHOC

NGƯIHƯNGDANKHOAHOC
PGS.TS.TRANĐìnHKE

HàNi-2019

MỤCLỤC

LICAMĐOAN

5

LICÁMƠN

6

DANHSÁCHKÝHIU

7

MĐAU

8

Chương1

KIENT H Ứ C C H U Ȁ N B ±

20

1.1 NỦAN H Ĩ M M ® T T H A M S O .. . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.1. 1 Nảa nhómtuyentính ....................

20

1.1.2 Nảanhómphituyen....................

23

1.2 Đ®ĐOKHƠNGCOMPACT(MNC)VÀCÁCƯCLƯNG.

27

1.3 GIẢITÍCHĐATR±,ÁNHXẠNÉNVÀCÁCбNHLÝĐIEM
BATЮNG. ............................

33

1.3.1

M®tsovanđevegiảitíchđatrị . .............

33

1.3.2

Ánhxạnénvàm®tsođịnhlýđiembatđ®ng.. . . .

..

35

1.4 TP HÚTT Ồ N C Ụ C C Ủ A NỦ A D ÒN G Đ A T R ± .......

36

1.5 M®TS O K E T Q U Ả B Ő T R

37

.. . . . . . . . . . . . . . . . .

1.5.1 M®tsobatđȁngthácthườngdùng.

.

..

.

..

..

.

. . 37

1.5.2 M®tsobőđevàđịnhlý

..................

38

1.5.3 M®tsokhơnggianhàm

..................

39

Chương2
BATĐANGTHỨCVIBIENPHÂNTRONGKHƠNGGIANHữUH Ạ N C H I
EU

41

2.1 ĐT BÀITOÁN. .........................

41

2.2 SỤT O N T Ạ I N G H I N M .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3


4
2.3 SỤTONTẠINGHINMPHÂNRÃ.. . . . . . . . . . . . . . .

48

2.4 TPHÚTTỒNCỤCCHONỦADỊNGĐATR±SINHBI

DVI
Chương3

.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

BATĐANGTHỨCVIBIENPHÂNDẠNGPARABOLIC-

ELLIPTICT R O N G K H Ô N G G I A N V Ô H Ạ N C H I E U

57

3.1 ĐT BÀITOÁN. .........................

57

3.2 SỤT O N T Ạ I N G H I N M .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

3.3 SỤTONTẠITP HÚTTOÀNCỤC

69

.. . . . . . . . . . . . .

3.4 ÁPDỤ NG ..............................
Chương4

74

BATĐANGTHỨCVIBIENPHÂNDẠNGPARABOLIC-

PARABOLICT R O N G K H Ô N G G I A N V Ô H Ạ N C H I E U

78

4.1 ĐT BÀITOÁN. .........................

79

4.2 SỤT O N T Ạ I N G H I N M .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

4.3 SỤTONTẠITP HÚTTỒNCỤC

94

4.4 ÁPDỤ NG ..............................
KETLU¾NVÀKIENNGH±

.. . . . . . . . . . . . .

99
103

1 Nhǎngk e t q u ả đ ã đ ạ t đ ư ợ c .....................................................................103
2 Đex u a t m ® t s o h ư ớ n g n g h i ê n c á u ti e p t h e o .......................................103

TÀIL I U T H A M K H Á O

106


LICAMĐOAN
Tôix i n c a m đ o a n c á c k e t q u ả n g h i ê n c á u t r o n g l u ná n D á n g đ i un g h i
mcủa các bat đȁng thúc vi bien phânlà cơng trình nghiên cáu của riêng tơi,
hồnthànhd ư ớ i s ự h ư ớ n g d a n c ủ a P G S . T S . T r a n Đ ì n h K e . C á c k e t q u ả t r
o n g l u nán là hoàn toàn trung thực và chưa tàng được cơng bo trong bat kỳ m®t
cơngtrìnhnghiêncáunàokhácmàtơibiet.
HàN®i,ngày...tháng...năm2019
Nghiêncáusinh

NguyenThịVânAnh

5


LICÁMƠN
Lu n án được hoàn thành dưới sự hướng dan nghiêm khac, t n tình, chu
đáocủa PGS.TS. Tran Đình Ke. Tác giả xin bày tỏ lịng kính trong và biet ơn
sâusactớiThayvìsựtntâmhướngdanmàThaydànhchotácgiảtrongsuotqtrình hoc t p.
Thayđãlnsȁnsàngđónnhnnhǎngýkien,lnsátsaogiảithíchvàchỉdanchotácgiả.TácgiảxincảmơnThaymoi
chieuthátưhàngtuan đã dành thời gian của mình, khơng ngan ngại chỉ bảo, chia
sẻ,

trao

đőicácvanđemới,cácphươngpháp,đườnghướngchotácgiảvàchonhómnghiêncáu.Ng

ồinhǎnghànhtrangqbáuvemtkhoahoc,sựđ®ngviêncủaThaydànhchotácgiảlàn
guonđ®nglựclớngiúptácgiảsaymêtrongnghiêncáu.
Tác giả xin trân trong gải lời cảm ơn đen Ban Giám hi u, Phòng Sau
Đạihoc, Ban Chủ nhi m Khoa Toán-Tin và các thay cơ B® mơn Giải tích,
khoaTốn-Tin, Trường Đại hoc Sư phạm Hà N®i, nơi tác giả hoc t p và cơng
tác,đã ln giúp đơ, đ®ng viên, tạo mơi trường thu n lợi cho tác giả. Tác
giả
xinđcbitcảmơnTS.TranThịLoan,PGS.TS.CungTheAnh,TS.NguyenNhưThang,TS.
DươngAnhTuanvì sự khíchlv à s ự t n tình góp ýlun án.
Tác giả xin gải lời cảm ơn sâu sac đen các thay cô trong các H®i đong,
đãdành nhieu thời gian, cơng sác và tâm huyet đe đóng góp nhǎng ý kien q
báugiúpcholunáncủatácgiảđượchồnthànhtotnhat.
Tácg i ả x i n g ả i l ờ i c ả m ơ n c h â n t h à n h đ e n c á c b ạ n b è , n h ǎ n g n g ư
ờ i c ù n g chungc h í h ư ớ n g , l u ô n g i ú p đ ơ t á c g i ả t r o n g s u o t q u á t r ì n h n g h i ê n c á
u.
Sau cùng, tác giả xin gải lời cảm ơn tà t n đáy lòng đen gia đình, nơi
lndànhchotácgiảtìnhuthươngvơhạn.Neukhơngcósựgánhvácvàsansẻt
àgiađình,tácgiảkhơngthecóđượcnhǎngketquảnày.
NguyenThịVânAnh


LICÁMƠN
6


DANHSÁCHKÝHIU
R

tphợpcácsothực

R+

tphợpcácsothựckhôngâm

J

=[0,T]v ớ i T > 0

(E,ǁ·ǁ E)

khônggianBanachvớichuȁnǁ·ǁE

2E

hocáctpconcủaE

P(E)

={A∈2E:A/=∅}}

Pb(E)

={A∈P(E):Alàt pb ị c h n}Pc(E)
={A∈ P(E) :Alàt pđóng}K(E)
={A∈P(E):Al à compact}

Kv(E)

={A∈P(E):Alàtploivàcompact}

L(E)

khơng gian các tốn tả tuyen tính, bị ch n
trênkhơnggianBanachE

C(X;Y)

khơnggiancáchàmliêntụctàXvàoYCτ
=C([−τ,0];E)

BE[a,r]

={x∈E:ǁx−aǁ≤r}I
ánhxạđong nhat

→

h®itụmạnh

~

h®itụyeu

h.k.n.

haukhapnơi

DI

baohàmthácviphân

DVI

batđȁngthácvibienphân

VI

batđȁngthácbienphân

DVI-PE

batđȁngthácvibienphândạngparabolicelliptic

DVI-PP

batđȁngthácvibienphândạngparabolicparabolic
7


MĐ A U
1 Lýdochon đe tài
Lýthuyet định tính của phương trình vi phân(ODE)trải qua hơn
m®tthek p h á t t r i e n , đ ã c h á n g t ỏ v a i t r ò q u a n t r o n g c ủ a n ó t r o n g v i cmơh
ì n h hóav à g i ả i q u y e t n h i e u b à i t o á n c ủ a t ự n h i ê n v à k ĩ t h u t.Trongn h ǎ n g t
h pkỉ cuoi the kỉXX,phương trình vi phân đại so được quan tâm nghiên cáu
vànhieuketquảquantrongđãđượcthietlp(xem[12,47]).Theođó,cácphươngtrìnhviphân
đạiso(DAE)đã được sả dụng trong nghiên cáu bài tốn vehthong mạng đi n,hcơ
hoc có ràng bu®c, các phản áng hóa hoc,... ở đóvi csảdụng phương trình vi
phân

thường

khơng

the

mơ

tả

được

het

các

yeu

to

ràngbu®c.Tuynhiên,khinghiêncáuhđ ® n g lựctiepxúccómasátcủa vttheđadi
nhaycáchlai ghép cơ hoc, cácODEvàDAElại trở nên hạn che, do phátsinh đieuki
nràng bu®c nam ở dạng bat đȁng thác (ràng bu®c m®t phía), vàđieuki nve ngat
qng trong cơ hoc tiep xúc ho c trong các bài tốn kĩ thutchuyen mạch (xem
[4,22]). Chính vì v y, đe nghiên cáu cáchvi phân với ràngbu®c thỏa mãn yêu cau
tà thực tien như trên địi hỏi các nhà tốn hoc phảikhảo sát lớp bài tốn r®ng
hơn,

đó

là

cácbat

đȁng

thúc

vi

bien

phân,

trong

đóbaogomm®tlớpbàitốnquantronglàcáchbùviphân.
Thu t ngǎbat đȁng thúc vi bien phân (Differential variational inequality DVI)được sả dụng lan đau tiên bởi Aubin và Cellina [5] năm 1984 trong
cuonsáchchunkhảovebaohàmthácviphân.Trongđócáctácgiảxétbàitốn




∀t≥0,x(t)∈K,



supy∈K⟨xJ(t)−f(x(t)),x(t)





−y⟩= 0 ,x(0)=x0,

vớiKlàm®ttploi,compactkhácrongtrongRn.Bangvicsảdụnghàmnón8

(1)


9
pháptuyencủatpK,bàitốntrênđượcđưavebaohàmthácviphân
 
 fJ(t)∈F(x(t)),x(0)
=x0.
Tà đó, các tác giả đã sả dụng cơng cụ của giải tích đa trị đe nghiên cáu
tínhgiải được của bài toán (1). Đen năm 1997, bài toán bat đȁng thác vi bien
phânđược mở r®ng bởi Avgerinous và Papageorgiou trong bài báo [6]. Hai nhà
tốnhocđãnghiêncáuvenghi
mtuanhồncholớpDVIkhitploi,đóng,compactKbien thiêntheothờigiant


−xJ(t)∈N K(t)(x(t))+F(t,x(t)),h.k.nt ∈[0,b],

x(0)= x(b).
ởđóNK(t)(x(t))lànónpháptuyencủatploiK(t)tạiđiemx(t).
M®t trong nhǎng cơng trình có ý nghĩa tiên phong trong nghiên cáu
cácDVIm®t cách cóhthong là của nhóm tác giả J.S. Pang và D.E. Stewart năm
2008(xem [49]). Bang vi c xem xét bat đȁng thác vi bien phân là mô hình ket
hợpgiǎaphươngtrìnhviphâncóràngbu®cthỏamãnm®tbatđȁngthácbienphân,cácDV
Iđã cho phép mơ tả các q trình có sự ket hợp của hai yeu to: yeu to đ®ng lực

và yeu to ràng bu®c dạng bien phân. Bài tốnDVI[49] đã được
phátbieutőngqtvớimơhìnhcụthenhưsau:Tìmcphàm(x,u),t r on gđ ó x làhàmliên
tụctuytđoivàulàhàmkhảtíchthỏa mãnh:
xJ(t)=f(t,x(t),u(t)),

(2)

⟨v−u(t),F(t,x(t),u(t)⟩≥0,h.k.nt ∈[0,T];∀v∈K.

(3)

ĐtS O L ( K,φ)l à t pn g h i mc ủ a b à i t o á n b i e n p h â n ⟨ v−u,φ(u)⟩ ≥0,
∀v∈K.Khiđótachuyen(2)-(3)vedạng
xJ(t)=f(t,x(t),u(t)),
u(t)∈SOL(K,F(t,x(t),·)).


Tàđódanđenhviphânđoivớix(·)liênketvớibatđȁngthácvibienphân(2)-(3)
xJ(t)∈f(t,x(t),SOL(K,F(t,x(t),·)).
Đieukinchobởiphươngtrìnhđạiso
Γ(x(0),x(T))=0,

(4)

chophépchúngtaxácđịnhđượcđieukinbanđauhocđieukinbiên.
M®tt r on gn hǎ n glớ p bà it oá nđ cb itc ủ a c ác ba t đȁ n g th á cvib ien p hâ n là
bài tốn bù vi phân, khiK=Clà

m®t

nón.

Trong

trường

hợp

này,

bat

đȁngthácvibienphân(2)-(3)đượcvietdướidạng
xJ(t)=f(t,x(t),u(t)),
Cs u(t)⊥F(t,x(t),u(t))∈ C ∗,
vớiC ∗l à nónđoingaucủa C.
Cơng trình [49] của J.S. Pang và D.E. Stewart đã chỉ rõ được tam quan
trongcủa các DVI trong rat nhieu lĩnh vực: đ®ng lực hoc tiep xúc (Contact
Dynamics),mạngđ i n( E l e c t r i c C i r c u i t ) , đ ® n g l ự c h o c k i n h t e ( E c o n o
m i c D y n a m i c s ) , b à i tốnt r ị c h ơ i v i p h â n N a s h . . . B a n g v i cđ e x u a t m ô h
ì n h ( 2)-(3),J . S . P a n g v à
D.E. Stewart đã đưa DVI trở thành mơ hình tőng qt của nhieu bài tốn
quantrongđượcnghiêncáutrướcđónhưphươngtrìnhviphânđạiso,bàitốnb
ùviphân,batđȁngthácbienphântien hóa,...
Sauc ơ n g t r ì n h c ủ a J . S . P a n g v à D . E . S t e w a r t , đ ã c ó k h á n h i e u n g h i ê n c
á u sâu sac ve DVI. Các DVI cùng với nhǎng áng dụng của chúng trở thành m®t
vanđemởthuhútsựquantâmcủanhieunhàtốnhoc.CơngtrìnhcủaZ.Liuvà
cácc®ngsựnăm2013đãnghiêncáuvebàitốntontạivàtínhrěnhánhtồncục của nghi m tuan hồn cho
m®t

lớp

các

bat

đȁng

thác

vi

bien

phân

trongkhơnggia n Eu clid h ǎ u h ạ n c h i eu b a n g p h ư ơn g p há p b ct ơp ơ c h ố n h xạ đ a trị(xem[37]). M®t so ket quả ve tính giải được và đieu ki n rě
nhánh cho cácDVI có the được tham khảo trong các cơng trình [26,35,37,41].
Cùng

với

đó,Gwinnerthuđượccácketquảvetính őnđịnhchom®tlớpmớicácDVI(xem


[27]).T ín h őn đ ị n h c a u t r ú c củ a m ® t s o l ớ p DV I c ũ n g đ ư ợ c n g h i ê n cá u t r on
g [25,50]vàcáctàiliuthamkhảotrongđó.
Các áng dụng cụ the của mơ hình DVI cũng được các nhà tốn hoc
quantâm.CơngtrìnhcủaChenvàWangnăm2014sảdụngmơhìnhDVItőngqtđe khảo
sátbàitốncânbangNashđ®ngvớiràngbu®cchiasẻ(xem[19]). Liênquan đen áng dụng này là mơ

hình

trị

chơi

vi

phân

Nash,mơ

hình

được

mởr®ngtàbàitốncânbangNash(xem[10,19,52]).Chúýrang,đoivớitrườnghợp bài
tốncânbangNash,ngườitaphảigiảiquyetbàitốnđieukhientoiưuđượcthietlpbởihàmquansátriênglẻ(tươngángcho
m®tđoitượngđưaraquyet định). Tuy nhiên trên thực te, có nhǎng tình huong địi hỏi
phải có nhieuhơn m®t đoi tượng tham gia quyet định, theo đó moi phương án
quan sát đeuco gang đạt được trạng thái toi ưu thỏa mãn ràng bu®c ởdạng
phương

trình

viphân.Tàđó,lýthuyettrịchơiviphânđượcrađờimàmơhìnhhóatốnhoccủanóc
hínhlàcácDVI(cóthexemchitiettrong[52]).Ngồiracóthekeđencác ángdụngcủaDVImơ
tả

các

hlai

ghép

trong

ky

thu

t

với

cau

trúc

bienthiên(xem[17,20,30]),đ®nglựchocchatranvớitiepxúcmasát(xem[4,49]),mạch
đincódiode,...
Bên cạnh nhǎng áng dụng phong phú vàa được ke đen của các DVI
hǎuhạnchieu,vicxétbàitốnDVItrênkhơnggianvơhạnchieucũnggiǎm®tvaitrịquan
trong.Đieunàyhồntồntựnhiêndocácbàitốnnảysinhtrongkĩthut,trongnghiêncáugiải
phau,hđ®ng lực kinh te, cơ hoc tiep xúc,... đượcmơ tả bởi các hphương trình
đạo hàm riêng. Có hai mơ hình DVI vơ hạn chieuđược quan tâm nghiên cáu
gan

đây.

Mơ

hình

thá

nhat

là

DVI

với

ràng

bu®cdạngelliptic ,đượcmơtảbởih
xJ(t)−Ax(t)=f(t,x(t),u(t)),
Bu(t)+∂φφ(u(t))sg(x(t),u(t)),

(5)
(6)

trong đóAvàBlà các tốn tả trên các khơng gian vô hạn chieu,∂φφlà ký hi udưới
vi phân của phiem hàmφ. Chú ý rang (6) có the viet dưới dạng bat
đȁngthácbienphânsuyr®ng
⟨Bu(t)−g(x(t),u(t)),v−u(t)⟩+φ(v)−φ(u(t))≥0,vớ im o i v ∈ D(φ).

(7)

KhiB l à t o á n t ả đ ạ o h à m r i ê n g l o ạ i e l l i p ti c , b a t đ ȁ n g t h á c b i e n p h â n (
7)đ ã được nghiên cáu trong [9]. Trong trường hợpAvàBlà các toán tả đạo hàmriêng
elliptic vàφlà hàm trơn, (5)-(6) là m®t h phương trình đạo hàm riêngkieu
parabolic-elliptic, được sả dụng trong mơ hình hóa các bài tốn sinhhóa[31],bàitốnkhơiphụchìnhảnh[32],...
KhácvớimơhìnhDVIthánhat,mơhìnhDVItháhaicháaràngbu®cđ®nglự
cdạngparabolic ,đượcxácđịnhnhưsau
xJ(t)−Ax(t)=f(t,x(t),u(t)),
uJ(t)+Bu(t)+∂φφ(u(t))sg(x(t),u(t)),

(8)
(9)

vớiA , Bv à φ đ ư ợ c g i ả t h i e t n h ư t r o n g m ơ h ì n h t h á n h a t . T r o n g m ơ h ì n h n
ày,
(9) chínhlàm®tbatđȁngthácbienphântienhóamàtrườnghợptiêubieukhiB=−∆,
g=g(t)vàđãđượcnghiêncáutrong[8,9].Cũngn h ư đ o i v ớ i m ô hìnhp a r a b o l i c e l l i p ti c , k h i φ l à h à m t r ơ n v à A , Blàc á c t o á n t ả đ ạ o h à m r i ê n g elliptic,
(8)-(9)làm®thp h ư ơ n g trìnhđạohàmriêngdạngparabolic-parabolic.Ganđây,m®t
soketquảvetínhgiảiđượccủacácDVIvơ hạn chieu đã
đượcthietlptrongcáccơngtrình[42,40,38,39,44,55].Nhìnchung,nhǎngketquả
nghiêncáuđịnhtínhchocácDVIvơhạnchieuchưađượcbietđennhieu.
M®ttrongnhǎngvanđequantrongliênquanđenhđ®nglựcliênketvớicác DVI, đó
lànghiêncáudángđiucủacáchàmtrạngtháicủahkhi bienthời gian đủ lớn. Theo hieu biet của
chúng tôi, các ket quả theo hướng này chocác DVI còn khá hạn che. Ket quả
gan đây ve dáng đi u nghi m cho các DVItrong không gian hǎu hạn chieu đã
được công bo trong công trình [34]. Cịn ratnhieucâuhỏimởđượcđtratrongnhǎngnghiên
cáuđịnhtínhvớicácDVI,bao gom: tính őn định nghi m theo nghĩa Lyapunov, sự ton tại
t p hút toàn cụccho hđ®ng lực liên ket với DVI, sự ton tại các lớp nghi m đ c
bi t của DVInhư nghi m dao đ®ng, nghi m phân rã,... Đ c bi t, bài tốn DVI
trong khơnggian vơ hạn chieu hi n đang là van đe mới, có tính thời sự. Khó

khăn
chínhtrongnghiêncáucácDVIvơhạnchieunamởvicxácđịnhtínhgiảiđượccủabatđȁ
ngthácbienphân(VI)đikèm,sauđólàvicxácđịnhtínhchatcủấnhxạnghimcủanó.N
enhxạnghimnàykhơngcótínhchínhquy,vicnghiên


cáudángđiunghimchohDVIsěkhơngkhảthi.
Tà nhǎng phân tích trên, chúng tơi chon đe tài nghiờn cỏu dỏng i u nghi
mchocỏcbatngthỏcvibienphõn,baogommđtsolptiờubieutrongckhụnggianhuh
nvvụhnchieu.
Trongnđidunglun ỏnny,chỳngtụixộtbalpbitoỏnDVI:
ã Batngthỏcvibienphõntrongkhụnggianhuhnchieu,
ã Bat n g t h á c v i b i e n p h â n d ạ n g p a r a b o l i c e l l i p ti c t r o n g k h ô n g g i a n v ơ hạnchieu,và
• Bat đȁng thác vi bien phân dạng parabolic-parabolic trong khơng gian
vơhạnchieu.
Mụcti ê u c h í n h c ủ a c h ú n g t ô i l à n g h i ê n c á u d á n g đ i un g h i mc ủ a c á c l ớ
p bài tốn nói trên thơng qua sự ton tại t p hút tồn cục của nảa dịng đa trị
sinhbởih đ ® n g l ự c l i ê n k e t v ớ i c á c DV I. N g o à i r a c h ú n g t ô i c ũ n g c h ỉ r a đ i eu k
i nchostontinghimphõnrócah đ n g lcsinhbimđtlpcỏcDVI.

2 Mncớch,oitngvphmvinghiờncfớu
ã Mc ớch lunỏ n : Nghiên cá uc á c va n đe địn h tí nh c ủ a m®t solớ p DVI ,
bao gom tính őn định nghi m theo nghĩa Lyapunov, dáng đi u nghi mthơngqualýthuyett
phúttồncục và các lớp nghi m đ c bi t nhưnghimphânrã.
• Đoi tượng nghiên cáu: Bài toán bat đȁng thác vi bien phân trong
trườnghợp được đưa ve bao hàm thác vi phân. Chúng tơi nghiên cáu
m®t so lớpDVI hǎu hạn chieu và hai lớp DVI vô hạn chieu dạng parabolicelliptic,dạngparabolic-parabolic.
• Phạmvinghiêncáu:
٨ Ni dung 1: Batđang thfíc vi bienphân trongkhông gianhfiuhạn chieu.

Đoi với van đe nghiên cáu dáng đi u nghi m của các bat đȁng thác vi
bienphânhǎuhạnchieu,chúngtơixétbàitốncụthenhưsau:
xJ(t)=Ax(t)+h(x(t))+B(x(t),xt)u(t),t∈[0,T],

(10)

⟨v−u(t),F(x(t))+G(u(t))⟩≥0,∀v∈K,v ớ i haukhapt∈J,

(11)

x(s)=ϕ(s),s∈[−τ,0],

(12)

ở đâyxlà hàm nh n giá trị trong không gianRn, ràng bu®c bien
phânu(t)∈KvớiK l à m ® t t pconđ ó n g l o i t r o n g R m,x tk íh i ul à h à m q u á k h á c ủ
a t r ạ n g tháití n h đ e n t h ờ i đ i e m t .T r o n g b à i t o á n n à y , A : R n→ R nl m đ tt o
hmB:RnìCRnìm,F:RnRm,

ỏ n t tuyentớnh.Cỏc

G:KRml

cỏchmliờntcvigithietFb chnđeuvàGlàhàmđơnđiutrênK.

Trong lý thuyet phương trình vi phân, h

(10)-(12) được goi là m®t h

viphân với ràng bu®c m®t phía (unilateral constrain). Bat đȁng thác vi bien
phân(10)-(12) được mở r®ng khi xét thêm đieu ki n tre lên hàm trạng tháix(·).
Trongtrườnghợpbàitốnkhơngcótre,J.S.Pangvàcácc®ngsựđãgiảiquyetnhieulớp bài tốn liên quan
đen van đe ton tại nghi m, tính duy nhat của nghi m vàsự phụ thu®c nghi m
vào

các

dǎ

ki

n

ban

đau

(xem

[49,18]).

Nhǎng

ket

quả

vetínhchínhquyvàőnđịnhcholớpbàitốnbùviphâncũngđượcnghiêncáubởi
m

J.S.Pang và các c®ng sự, tương áng với trường hợp đ c bi tK=R
, được
+

ángdụng r®ng rãi trong kĩ thutmạch đi n (xem [15,16,20,22,30]). Trong
nhǎngcơng trình này, cơng cụ chính được sả dụng là giải tích bien phân,
phương
pháplpEuler,p h ư ơ n g p h á p l pNewton,n h a m r ờ i r ạ c h ó a b à i t o á n đ e v ư ợ t
q u a cácđieukinkhimàtínhchínhquycủấnhxạnghimcủabatđȁngthácbienphânbịphávơ.
Trong bài tốn (10) - (12), chúng tôi cháng minh được sự ton tại nghi m,
sựtont ạ i n g h i mp h â n r ã t o c đ ® m ũ , v à s ự t o n t ạ i t ph ú t c ủ a n ả a d ò n g đ a t r
ị chohđ ® n g lựcsinhbởi(10)-(12).
٨ N idung2:Bàitốnbatđangthfícvibienphântrongkhơnggianvơhạnchie
udạngparabolic-elliptic .
ChoXlàm®tkhơnggianBanachvàUlàm®tkhơnggianBanachphảnxạ.


Chúngtơixétbàitốnsau:
xJ(t)−Ax(t)∈F(x(t),u(t)),t>0,

(13)

Bu(t)+∂φφ(u(t))sg(x(t),u(t)),t≥0,

(14)

x(0)=ξ,

(15)

ở đó (x(·), u(·)) nh n giá trị trongX×U; hàmφ:U→Rlà hm chớnh thng,loi v
na

liờn

tc

di

trờnU;F:XìUP(X)l

mđt

ỏnh

x

a

tr;Altoỏnttuyentớnh úngsinhraC 0nanhúmtrờnX;B:U U lmđttoỏn ttuyentớnhliờntccxỏcnhthụngquaphiemhmsong
tuyentớnh,trongúU lkhụnggianoingaucaU.
Trongt r ư ờ n g h ợ p K l à m ® t t pl o i đ ó n g t r o n g U ,φ = I Klàh à m c h ỉ t r ê n t
pK,cáckhơnggianX=Rn,U= Rmv à Fl à hàmđơntrịthìbàitốn(13)(15)c ó d ạ n g b a t đ ȁ n g t h á c v i b i e n p h â n đ ư ợ c n g h i ê n c á u t r o n g [ 49].G a n
đ â y , bàit o á n t r ê n k h ô n g g i a n v ô h ạ n c h i e u v ớ i m ô h ì n h t ư ơ n g t ự c ũ
n g đ ư ợ c x e m xét bởi Liu, Zeng, và Motreanu trong [39]. Các tác giả đã nghiên cáu m®t
lớpphươngt rì nh tie n h ó a v ớ i r àn g b u ® c ởd ạ n g b at đ ȁ ng t h á c b i e n p h â n t ő n g
q uá t
xJ(t)=Ax(t)+f(t,x(t),u(t)),
⟨g(t, x(t), u(t)), v−u(t)⟩+φ(v)−φ(u(t))≥0,∀v∈K, t∈[0,
T],x(0)=x0,

trongđóx(t)∈Evàu(t)∈K⊂E1vớiE, E1là các khơng gian Banach,Klàm®t t p loi
khác rong. Trong cơng trình này, các ket quả ve tính giải được vàtính chat
của

t

p

nghi

m

với

giả

thiet

t

pKlà

compact

được

cháng

minh.đây,đieukinvetínhcompactcủatpKđảmbảorangánhxạnghimcủabatđȁngt
hácbienphâncótínhnảaliêntụctrên.Chúngtabietrangkhisảdụngnhǎngphươngphápgiải

tích

nham

đưa

DVI

ve

m®t

phương

trình

vi

phân

ho

cbaoh à m t h á c v i p h â n , tí n h c h í n h q u y c ủ a á n h x ạ n g h i mn h ư tí n h đ o đ ư
ợ c , tínhnén,tính liêntụclàcácđieukincanthiet.
Liên quan đen bài tốncủa chúng tơi,có the chỉ ra nhieu mơ hình
đượcs i n h bởic ác phương trình đ ạo hàm ri ê ng khi Xv à Ul à các khô ng gian v
ô hạn c hi e u.


ChoX = U= L 2(Ω))vớiΩ) l à m ® t m i e n t r o n g R n.X é t h p h ư ơ n g

trình kieu

parabolic-elliptic:
Zt=∆Z+F(Z,u),t r ê n Ω)×(0,∞),

(16)

—∆u+h(u)=g(Z,u),t r ê n Ω)×(0,∞),

(17)

Z(x,0)=Z0,x∈Ω,

(18)

ở đóZ=Z(x, t) vàu=u(x, t) là các hàm được xác định trên Ω)×R + thỏa mãnđieu ki
n biên Dirichlet thuan nhat ho c đieu ki n biên Neumann thuan
nhat.Bàitốnnàyxuathintrongnghiêncáuvesựdichuyencủavikhuȁndướitácđ®n
gcủahóachat(xem[31]),hoctrongxảlýkhơiphụchìnhảnhkythutso(xem [32]). Dưới
nhǎng đieu ki n thích hợp, hàmhtrong (17) được viet ở dạngh(u)=∂φj(u)
j(u)=

∫
Ω)



H(u(x))dx,neuH (u)∈L 1(Ω)),

+∞,t r o n g cáctrườnghợpcịnlại

u ∫
ở đóH(u)= h(s)ds.
Có the thay rang (16)- (18) là m®t trường hợp riêng
0

củabàitốn(13)-(15).
Ket quả thu được đoi với bài toán (13)-(15) bao gom sự ton tại nghi m,
cáctính chat của t p nghi m và sự ton tại m®t t p hút tồn cục cho hđ®ng
lựcsinhbởibàitốnnày.
٨ N idung3:Bàitốnbatđangthfícvibienphântrongkhơnggianvơhạnchi
eudạngparabolic-parabolic.
Trongphannàychúngtơinghiêncá um®tlớpbatđȁngthá cvibienphân
khiràngbu®cdạngbienphâncótínhchatcủam®thđ®nglựcdạngparabolic.
BàitốnDVIdạngparabolic-parabolicđượcmơtảnhưsau
xJ(t)−Ax(t)∈F(x(t),u(t)),

(19)

uJ(t)+Bu(t)+∂φφ(u(t))sh(x(t)),

(20)

x(0)=x0

(21)

và u(0)=u0,

trong đóx(t)∈XvớiXlà m®t khơng gian Banach vàu(t) được xét trên
cáckhơngg i a n H i l b e r t c ủ a b ® b a ti e n h ó a U ⊂H =H J ⊂ U J.D o s ự x u a t h
i ncủa dưới vi phân∂φφ, bao hàm thác (20) được hieu như m®t bat đȁng thác
bienphântienhóa.Bàitốn(19)-(21)đượcvietlạinhưsau
xJ(t)−Ax(t)∈F(x(t),u(t)),
⟨uJ(t)+Bu(t)−h(x(t)),v−u(t)⟩+φ(v)−φ(u(t))≥0,∀v∈ H,x(0)=x 0và
u(0)=u0.
M®t trong nhǎng áng dụng của bài tốn parabolic-parabolic là mơ hình hóa
cáchi n tượng trong sinh hoc (xem [51]). Ta xét h dien tả quá trình phân cực
tebàonhưsau:
yt−σ1 ∆y=−f(y)+u,

(22)

ut−σ2∆u+u=f(y).

(23)

H( 22)-(23)được MoritavàOgawa nghiêncáu trong[45].Bang cáchđt X=
1ǁ 2
H=L 2(Ω)),A= σ
2 ∆,φ(u)=
uǁ
và
∆,F(y,u)=−f(y)+u,B=−σ
1
H
2
h(y)=f(y)t a t h a y h ( 22)-(23)l à m ® tt r ư ờ n g h ợ p đ cb i tc ủ a b à i t o á n ( 19)(20).T r ư ờ n g h ợ p r i ê n g n à y t ư ơ n g á n g v ớ i φ l à h à m t r ơ n v à A , Bl à c á c t o á n t

ả đạohàmriêngelliptic.
Ket quả gan đây ve tính giải được của bài tốn (19)-(21) được trình
bàytrong cơng trình [44]. Ngồi ra, theo khảo sát của chúng tơi, chưa có ket
quảnàođecpđentínhchatđịnh tính củanghimđoivớih( 19)(21).Tronglunánnày,chúngtơisětrìnhbàycácketquảvetínhgiảiđượcvàsựtontạim®
ttphúttồncụccủam®tnảadịngđatrịsinhbởihđ®nglựcliênketvới(19)-(21).

3 Phươngphápnghiêncfíu
Lu n án sả dụng các cơng cụ của giải tích đa trị, lý thuyet nảa nhóm
(xem[46]), lý thuyet điem bat đ®ng, lý thuyet őn định đe thực hi n các n®i
dungnghiêncá u n êu tr ên. N go à ir a đoiv ớ ic á c n ®i d u n g c ụ t h ec h ú n g t ơis ả
d ụ n g m®tsokythuttươngáng:


• Nghiên cáu tính giải được của các bài tốn phi tuyen: Phương pháp
ướclượngt heođ ® đ o khơngc om pact [ 3]vcỏc nh lý ie mbat đ ng.
ã Nghiên cáu dáng đi u nghi m của bat đȁng thác vi bien phân thông
quanghiên cáu sự ton tại nghi m phõn ró, s dng cỏc nh lý iem bat
đngchoỏnhxnộn.
ã Nghiên cáu sự ton tạitp hút toàn cục theo lược đo của Melnik và
Valero[43].

4 Cautrúcvàcácketquacualunán
Ngoài phan mở đau, ket lu n, danh mục các cơng trình được cơng bo
vàdanhmụctàiliuthamkhảo,lunángom4chương:
• Chương 1:Kien thúc chuȁn b. Trong chương này, chúng tôi nhac lại cácket
quả ve lý thuyet nảa nhóm, lý thuyet đ® đo không compact, ánh xạnén
và các định lý điem bat đ®ng, m®t so kien thác ve giải tích đa trị,
lýthuyetőnđịnhcủacáchv i phân.
• Chương 2:Bat đȁng thúc vi bien phân trong khơng gian hũu hạn
chieu.Trongchươngnày,chúngtơichángminhtínhőnđịnhcủanghimchom®tlớpc

ácba tđȁngthácvibienphânvới tre hǎuhạn.Chúngt ơi chỉrasựtont ạ i
m ® tt ph ú t t o à n c ụ c c h o n ả a d ò n g đ a t r ị l i ê n k e t v ớ i b a t đ ȁ n g thácvib
ienphânvàsựtontạinghimphânrã.
• Chương3:Bat đȁng thúc vi bien phân dạng parabolic-elliptic trong
khônggian vô hạn chieu. Trong chương này, chúng tôi đưa ra lớp bat đȁng
thácvi bien phân dạng parabolic-elliptic và cháng minh ket quả ve sự ton
tạinghi
m,s ự t o n t ạ i m ® t t ph ú tt o à n c ụ c c h o n ả a d ò n g đ a t r ị s i n h b ở i n
ghimcủalớpbàitốnnày.
• Chương 4:Bat đȁng thúc vi bien phân dạng parabolic-parabolic trong
khơnggian

vơ

hạn

chieu.Trongchươngnày,chúngtơixétm®tlớpbatđȁngthácvibienphândạngpa
rabolic-parabolicvàchángminhketquảvetínhgiải


được,sựtontạim®ttphúttồncụcchonảadịngđatrịsinhbởinghimcủalớph
này.

5 Ýnghĩacuacácketquatronglunán
Cácke t q u ả c ủ a l u ná n là m ớ i , c óý n g h ĩa k h oa h oc , và g ó p p h a n và o vi
ch o à n t h i nl ý t h u y e t v e d á n g đ i un g h i mc h o c á c b a t đ ȁ n g t h á c v i b i e
n phân,trongcảtrườnghợphǎuhạnchieuvàvôhạnchieu.
Các ket quả chính đạt được đã được cơng bo trong 02 bài báo trên các
tạpchík h o a h o c q u o c t e u y tí n ( t r o n g d a n h m ụ c I S I ) , 1 b à i b á o ở d ạ n g ti
e n a n phmvócbỏocỏoti:

ã Xờmina ca Bđ mụn Gii tớch, Khoa Toỏn-Tin, Trng i hoc S
phmHNđi;
ã HđithochoNghiờncỏusinh,KhoaToỏnT in,TrngihocSphmHNđi,nm2017;
ã HđinghkhoahockhoaToỏnTin,TrngihocSphmHNđi,nm2019.
ã Mini-workshop"PDE2019AnalysisandNumerics",VIASM,Hanoi09/2019.