Luận văn thạc sĩ sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2

TRỊNH THỊ HÒNG NHUNG

sự TÒN TẠI VÀ TÍNH ỐN ĐỊNH CỦA NGHIỆM ĐỐI
VỚI BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG
KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIÊU

Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC sĩ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa
học: TS. Nguyễn Thành Anh

HÀ NỘI, 2015



LỜI CẢM ƠN

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Anh.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Nguyễn Thành Anh, ngưòi đã
định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, các thầy cô giáo
dạy cao học chuyên ngành Toán Giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp
đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn tốt nghiệp.
Tác giả xin được gửi lòi cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, ngưòi thân đã
luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập
và hoàn thành luận văn.

Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Tác giả

Trịnh Thị Hồng Nhung

LỜI CAM ĐOAN


Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Anh, luận văn Thạc
sỹ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối
với bất đẳng thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều” do tôi tự làm. Các kết
quả và tài liệu trích dẫn được chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm 2015
Tác giả

Mue lue

Trịnh Thị Hồng Nhung


Mỏ dầu
1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Giải tích đa trị ..................................................................................................
1.1.1

Tính nửa liên tục (trên, dưới ) của ánh xạ đa trị . .

1.1.2

Hàm đa trị đo được và tích phân của ánh xạ đa trị .

1.1.3

Bậc tỗpỗ cho hàm đa trị ...........................................................

5
5

1.2 Bất đẳng thức biến phân..............................................................................
1.3 Một số bất đẳng thức...................................................................................
1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz....................................................
2 Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng
thức vi biến phân trong không gian hữu hạn chiều 2.1 Phát biểu bài toán

5
12

16
20
22
22

1.3.2 Bất đẳng thức Holder
1.3.3 Bất đẳng thức Minkowshi
1.3.4 Bất đẳng thức Ky Fan
1.3.5 Bất đẳng thức Gronwall

22

22
22

23

2.2 Sự tồn tại nghiệm của bài toán
2.3 Sự ổn định của nghiệm

24
24
28
35


Kết luận

48


Tài liệu tham khảo

49


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Bất đẳng thức vi biến phân là mô hình tổng quát của nhiều bài toán trong các lĩnh vực tài chính, kinh tế, giao thông, tối ưu
hoá và khoa học kĩ thuật. Đến nay bất đẳng thức vi biến phân được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và nhận được
nhiều kết quả phong phú, bao gồm các kết quả về sự tồn tại nghiệm, tính duy nhất nghiệm, cấu trúc và dáng điệu của tập
nghiệm và vấn đề giải số.

Gần đây bất đẳng vi biến phân vectơ cũng được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu và tìm được nhiều ứng dụng trong
các lĩnh vực khác nhau. Nó có thể được xét như là một sự mở rộng của bất đẳng vi biến phân. Trong luận văn này chúng tôi
muốn giới thiệu và nghiên cứu một lớp bất đẳng vi biến phân vectơ trong không gian Euclid hữu hạn chiều. Bởi vậy dưới sự
hướng dẫn của TS. Nguyễn Thành Anh tôi đã chọn đề tài “ Sự tồn tại và tính ổn định của nghiệm đối với bất đẳng vi biến phân
trong không gian hữu hạn chiều”. Luận văn sẽ được hoàn thành dựa trên kết quả được công bố công trình “ Differential Vector

Variational Inequalities in Finite-Dimensional Spaces”, J Optim Theory Appl (2013) 158:109-129, của các tác giả Xing Wang
và Nan-Jing Huang. Chúng tôi dự nhận được sự tồn tại của một nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến phân
vectơ trong không gian hữu hạn chiều Euclid. Ngoài ra, chúng tôi còn nghiên cứu tính đóng, nửa liên tục trên và nửa liên tục
dưới của ánh xạ
nghiệm yếu Carathéodory đối với bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều Euclid khi cả ánh xạ và
tập ràng buộc bị nhiễu loạn bởi tham số.

2. Mục đích nghiên cứu
Nhận được kết quả về tính giải được và tính ổn định bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong không gian hữu hạn chiều.


3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu:
• Sự tồn tại của nghiệm yếu Carathéodory.
• Tính ổn định của nghiệm

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Bất đẳng thức vi biến phân vectơ trong phạm vi không gian hữu hạn chiều

5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: hệ thống lại các kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp những định
nghĩa, tính chất của giải tích đa trị, bất đẳng thức biến phân và một số bất đẳng thức .

6. Dự kiến đóng góp

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1 Giải tích đa trị
1.1.1 Tính nửa liên tục (trên, dưới ) của ánh xạ đa trị

Cho X , Y là các tập bất kì và P ( Y ) là tập tất cả các tập con khác rỗng nằm trong Y . B x { 0 , r ) là hình cầu tâm 0 bán kính r
trong X , d B x { 0 , r ) là một mặt cầu.
Định nghĩa 1.1.1. Ánh xạ đa trị T : X — > Y là một tương ứng mà mỗi X G X cho ta một tập khác rỗng p { x ) c Y , p { x ) được
gọi là giá trị của X . Vì vậy ánh xạ đa trị T có thể viết như sau
P:X^ P{Y).
Nếu A c X thì


HA) =
xeA

u

H*)

và được gọi là ảnh của A qua T .
Tập ry c X X Y được định nghĩa
IV = {{x,y) :{x,y)eX xY,xeX,ye p{x)}
là đồ thị của ánh xạ đa trị T .
Cho V c Y , F + l { y ) được định nghĩa
PỊl(V) = {x e X : P{x) c V}
và p _ l ị y ) được định nghĩa
PZ l {V) = {x G X : P{x)

nV

A

Ỷ

0}- Cho X, Y là không gian tôpô.

Định nghĩa 1.1.2. Một ánh xạ đa trị T : X —>■ P ( Y ) là nửa liên tục trên tại một điểm X G X nếu với mỗi tập mở V c Y sao
cho p { x ) c V thì tồn tại một lân cận ư ( x ) của X sao cho F { ư { x ) ) c V .
Một ánh xạ đa trị T được gọi là nửa liên tục trên nếu nó là nửa liên tục trên tại mọi điểm X G X .
Định lý 1.1.1. Các điều kiện sau là tương đương :
(i) ánh xạ đa trị T : X —>■ P(Y) là nứa liên tục trên;
(ii)

tập FỊ. l {V) là mở với mỗi tập mở V c Y ;

(iii)

tập J 7 Z 1 (Q) là đóng với mỗi tập đóng Q c Y.

Định nghĩa 1.1.3. Ánh xạ đa trị X : X —>■ P ( Y ) được gọi là nửa liên tục dưới tại một điểm X G X nếu với mỗi tập mở V ç Y
sao cho P { x ) P \ V Ỷ 0 thì tồn tại một lân cận Ư (æ) của X sao cho F { x ' ) C \ V Ỷ 0 v<3i mMột ánh xạ đa trị T được gọi là nửa liên tục dưới nếu nó là nửa liên tục dưới tại mọi điểm X G X .
Định lý 1.1.2. Các điều kiện sau là tương đương :
(i) ánh xạ đa trị T : X —> P(Y) là nứa liên tục dưới;
(ii)

tập Pz l {v) là mở với mỗi tập mở V c Y ;

(iii)

tập pỊ l (Q) là đóng với mỗi tập đóng Q c Y.

Định nghĩa 1.1.5.

(i) Một ánh xạ đa trị F : M" — > M" được gọi là đơn

điệu trên một tập lồi K c M" khi và chỉ khi với mỗi cặp các điểm x , y G K và với mọi X * G F ( X ), y * G F ( y ) , ( x * —
y * , x — y ) > 0.
(ii) Một ánh xạ đa trị F : R n — > R n được gọi là giả đơn điệu trên một tập lồi K

c M" khi và chỉ khi với mỗi cặp các điểm

x , y G K và với mọi X * G F { x ) , y * G F { y ) , ( x * , y - x ) > 0 hay ( y * , y - x ) > 0
(iii) Một ánh xạ F := { F \ , F 2, ■ ■ ■ , F P ) được gọi là giả đơn điệu trên một tập lồi K

c M" khi và chỉ khi với mỗi £ = {£I,£2,

■■■)£?} € R+\{0} v ầ x , y G K v ó i X * G F ị { x ) , y * G F ị { y ) { i = 1,2,
(^2& x ĩ,y -

> 0 => (^2&yĩ,y - x ^j >

0

(iv) Một ánh xạ F := { F \ , F 2, ■ ■ ■ , F p ) được gọi là đơn điệu trên một tập lồi K c M" khi và chỉ khi với mỗi £ = {£I,£2, ...,
£p} G R+\{0} và x , y e K v ó i X * G F i { x ) , y * G F i { y ) { i = 1,2,

/p
p
\
( Ỉ2&Vi - & x hy- x ) > °' i=l

i =1

'

Định nghĩa 1.1.6. Cho X là một không gian tôpô, L là một tập con khác rỗng, đóng, lồi của X và cho
barr(L) = { x * G X * : sup ( x * , x ) < oo}
l£i
là kí hiệu hình nón bị chặn của L . Nón lõm của L là nón đóng và lồi được định nghĩa bởi:
L ° ° := { d G X : 3 t n —> 0, 3 x n G L, t n x n —“■ d }.
ở đây " — v i ế t tắt của sự hội tụ yếu. Nó được biết rằng, đối với mỗi X Q E L,

L ° ° • = { d e X : x 0 + \ d e L VA > 0}.
Đối với một tập khác rỗng D trong X ,
D~ := {æ* e X* : (x*,x) <0 Væ e D}.
Định nghĩa 1.1.7. Một hàm / : Í7 — > Rm, tương ứng, B : Í7 — > Rmxn, được gọi là một hàm liên tục Lipschitz nếu tồn tại một


hằng số L f > 0, tương ứng, L B > 0, sao cho, với bất kì ( t I , x ) , (¿25 y) £ íì,
- f{t 2 ,y)\\ < Lfdti - t 21 + ||x - y\\),
tương ứng,
\\B(t u x) - B(t 2 ,y)\\ < L B (\t x - t 2 \ + \\x - y\\).
Ta xét một lớp các ánh xạ đa trị quan trọng hơn.
Định nghĩa 1.1.8. Một ánh xạ đa trị T được gọi là đóng nếu đồ thị của nó /y = {(x , y ) :

X

e x , y e X { x ) { là một tập con đóng

của không gian X x Y .
Định lý 1.1.3. Các điều kiện sau là tương đương :
(i) ánh xạ đa trị T là đóng;
(ii)

vối mỗi dãy suy rộng {xQ} c X, {y a } c Y, sao cho y a e J(xtt) nếu x a —> X và y a —> y thì y e F{x).

Điều kiện sau cùng có thể sử dụng dãy thông thường với điều kiện X và Y là các không gian metric.
Ta có một vài khái niệm sau
C { Y ) = { D e P { Y ) : D là đóng};
K { Y ) = { D e P { Y ) : D là compact};
Pv{Y) = {D e P{Y) : D là lồi};
Cv{Y) = Pv(Y)

n C{Y)

= {D e P{Y) : D là đóng và lồi};

Kv{Y) = Pv(Y)

n K{Y)

= {D e P{Y) : D là compact và lồi}.

Khi ánh xạ đa trị T nhận giá trị trong các tập C ( Y ) , K ( Y ) hoặc P v ( Y ) thì ta nói T tương ứng có giá trị đóng, compact
hoặc lồi.
Từ định nghĩa ta thấy rằng một ánh xạ đa trị đóng có giá trị đóng. Cho Y là không gian metric. Hàm số h : K { Ỵ ) X K ( Y )

— > K+ xác định như sau
h{A, B) = inf{e > 0 : A c V e (B), B c V C {A)},
ở đây

ve là một e — lân cận của một tập, được gọi là m e t r i c H a u s d o r f f trên K ( Y ) .

Mệnh đề 1.1.1. Cho X là không gian tôpô, Y là không gian metric. Ánh xạ đa trị T : X —>■ K(Y) là liên tục khi


và chỉ khi nó liên tục như là một ánh xạ đơn trị từ X vào không gian metric (/^(y), h).
Mệnh đề 1.1.2. Cho X là không gian tôpô, Y là không gian metric và T : X —> C(Y) là một ánh xạ đa trị nứa
liên tục trên. Khi đó T là đóng.
Để xây dựng điều kiện đủ cho ánh xạ đa trị đóng trở thành nửa liên tục trên, ta cần các định nghĩa sau.
Định nghĩa 1.1.9. Một ánh xạ đa trị T : X —> P ( Y ) được gọi là:
(i) compact nếu miền giá trị P ( X ) là compact tương đối trong Y , tức là P { X ) là compact trong Y

HX) =
xeX

u

r(x)-,


(ii) compact địa phương nếu với mọi điểm X G X có lân cận ư ( x ) sao cho hạn chế
của F trên ư ( x ) là compact;
(iii)

tựa compact nếu hạn chế của nó trên mọi tập compact Ả

c X là

compact.
Rõ ràng (z) => ( i i ) => (U i ).
Mệnh đề 1.1.3. Cho F : X —> K(Y) là ánh xạ đa trị đóng và compact địa
phương. Khi đó F là nửa liên tục trên.
Định nghĩa 1.1.10. Cho X là không gian metric. Một ánh xạ đa trị nửa liên tục trên F :
X — > K ( Y ) , compact trên mỗi tập con bị chặn của X được gọi là nửa liên tục trên
hoàn toàn.
Sau đây chúng ta sẽ đề cập đến tính chất quan trọng của ánh xạ đa trị nửa liên tục
trên.
Mệnh đề 1.1.4. Cho F : X —> K(Y) là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên. Nếu A

c

X là một tập compact thì ảnh của nó F{A) là tập compact nằm trong

Y.
Tiếp theo là những khẳng định về tính liên tục tuyệt đối của các phép toán trên ánh
xạ đa trị.
Cho X , Y và z là các không gian tôpô.
Mệnh đề 1.1.5. Nếu các ánh xạ đa trị F Q : X —> p(y) và F\ : Y —> p ( z ) là
nứa liên tục trên (nứa liên tục dưới) thì tích hợp thành F\ o F Q : X —>

p ( z ) được xác định như sau
(F 1 o Fo)(x) = P^ix))
Mệnh đề 1.1.6. Nếu các ánh xạ đa trị Xo : X

—,►

K(Y) và X\ : Y —> K(z) là

nứa liên tục trên (nửa liên tục dưới) thì tích Đề-các Xo X X\ : X —> K(Y
X

Z) được xác định như sau

là nứa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
1
4


{Xo X Xi){x) = Xo{x) X Xi{x)
tò nứa /zển tục trên (tương ứng nứa liên tục dưới).
Mệnh đề 1.1.7. Cho ánh xạ đa trị Xo : X —,► C{Ỵ), ánh xạ đa trị X\ : X —>
K(Y) là nửa liên tục trên và F Q { X ) n F\{x) 7^ 0, Væ G X. Khi đó X Q n T\ : X
—> K{Y), ự ữ n F\){x) = Fữ{x) n F\{x) là nửa liên tục trên.
Cho X là không gian tôpô, Y là không gian véctơ tôpô.
Mệnh đề 1.1.8. Nếu các ánh xạ đa trị F Q , T\ : X —> K(Y) là nửa liên tục
trên (nửa liên tục dưới) thì tổng của chúng Xo + T\ : X —ì► K(Y),
{Xo + Xi){x) = Xo{x) + Xi{x)
là nứa liên tục trên (tương ứng nứa liên tục dưới).
Mệnh đề 1.1.9. Nếu ánh xạ đa trị X : X —»■ K{Y) là nửa liên tục trên (nứa
liên tục dưới) và hàm số f : X —> R là liên tục, thì tích của chúng f ■
X : X —> K{Y),
(/ • F)i x ) = fi x) • F{ x )
là nứa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
Mệnh đề 1.1.10. Cho Y là không gian Banach. Nếu ánh xạ đa trị X : X —>
K{Y) là nứa liên tục trên (nứa liên tục dưới) thì bao lồi của nó cõX:X ^
Kv(Y),

(cõX)(x) = cõ(X(x))

là nứa liên tục trên (tương ứng nửa liên tục dưới).
1
5


1.1.2 Hàm đa trị đo được và tích phân của ánh xạ đa trị
Cho I

c R là đoạn compact, ¡1 là độ đo Lebesgue trên I và E là không gian Banach.

Định nghĩa 1.1.11. Một hàm đa trị F : I — > K ( E ) được gọi là đo được nếu với mỗi
tập mở V

c E thì nghịch ảnh nhỏ F ^ C V ) là đo được.

Rõ ràng định nghĩa là tương đương về tính đo được của nghịch ảnh hoàn toàn
F Z 1 ( Q ) với tập con đóng Q

c E . Khẳng định sau cho ta hai định nghĩa tương đương

về tính đo được của hàm đa trị.
Mệnh đề 1.1.11. Một hàm đa trị F : I —>■ K(E) là đo được khi và chỉ khi:
(i) với mỗi tập đóng Q
(ii)

cE

với mỗi tập mở V

thì nghịch ảnh nhỏ FỊ 1 (Q) là đo được;

cE

thì nghịch ảnh hoàn toàn Fz 1 ^) là đo

được.
Ta có mọi hàm đa trị nửa liên tục trên hoặc nửa liên tục dưới là đo được.
Để mô tả thêm tính chất của hàm đa trị đo được ta cần các khái niệm sau đây.
Định nghĩa 1.1.12. Hàm f \ I — > E được gọi là lựa chọn đo được của một hàm đa
trị F : I — > K ( E ) với điều kiện / là đo được và
f ( t ) G F ( t ) đối với ¡ J L — hầu khắp t G I .
Tập tất cả các lựa chọn đo được của F kí hiệu là S ( F ) .
Định nghĩa 1.1.13. Một họ đếm được {/n}“=i c S ( F ) được gọi là biểu diễn Castaing
của F nếu
00

u /(í) =

m

n= 1

đối với ụ . — hầu khắp t G I .
Hàm đa trị F : / — > K ( E ) là một hàm đa trị bậc thang nếu tồn tại một phân hoạch
của / trong một họ hữu hạn các tập con đo được ròi nhau uj l j = I sao cho F là không
đổi trên mỗi I j .
Định nghĩa 1.1.14. Một hàm đa trị F : I — > K ( E ) được gọi là đo được mạnh nếu

1
6


tồn tại một dãy { F n } ^ = 1 hàm đa trị bậc thang sao cho
h{F n {t),F{t))^ 0
khi n — > 00 đối với ¡1 - hầu khắp t G I , ở đây h là metric Hausdorff trên

K(E).
Bằng cách giống như vậy ta có thể định nghĩa một hàm đo được mạnh, hơn thế nữa
là lựa chọn đo được mạnh. Một hàm đa trị đo được không phải là đo được mạnh.
Nhưng hàm đa trị nhận giá trị compact trong một không gian Banach tách được thì các
khái niệm này là trùng nhau. Điều đó được thể hiện trong khẳng định sau.
Mệnh đề 1.1.12. Cho E là không gian Banach tách được. Khi đó đối với ánh
xạ đa trị F : / —» K(E) thì các điều kiện sau là tương đương:
(a) F là đo được;
(b) với mỗi tập con đếm được trù mật {xn}“=1 của E thì hàm
ip n (t) = dist(x n, F(t))
là đo được;
(c) F có biểu diễn Castaing;
(d) F là đo được mạnh;
(e) F là đo được như một ánh xạ đơn trị từ I vào không gian metric
(K(E), h);
(Ị) F có tính chất Lusin: với mỗi ỗ > 0 tồn tại một tập con đóng ỈỊ

c/

sao cho n(I\Is ) < ỗ và hạn chế của F trên ỈỊ là liên tục.
Mệnh đề 1.1.13. Cho E là không gian Banach, F : I K(E) là hàm đa trị đo
được mạnh. Khi đó F là đo được và có biểu diễn Castaing bao gồm các

hàm đo được mạnh.

1
7


Cho E là không gian Banach, F : I P ( E ) là hàm đa trị. Kí hiệu S 1 ( F ) là tập tất
cả các lựa chọn khả tích Bochner, tức là
S 1 ( F ) = {/ G L l ự ) E ) : /(í) G F ( t ) đối với Ị 1 — với mỗi t G /}.
Nếu S 1 ( F ) Ỷ 0) thì hàm đa trị F được gọi là khả tích và tích phân của nó được
định nghĩa như sau

J

F(s)ds =

y

f ( s ) d s : f e S 1(F)j

với tập con đo được bất kì r c /.
Dễ thấy, nếu một hàm đa trị F : I — > K ( E ) là đo được mạnh và bị chặn khả
tích, tức là tồn tại một hàm khả tổng V G L l + { I ) sao cho
||F(i)|| := max{||y|| : y G -F(£)} < v{t) đối vói/Ấ — với mỗi t G I
thì F là khả tích.
Nhận xét 1.1.1. Nếu hàm đa trị F là không đổi, F(t) = A G Kv(E), thì J I F(s)ds
= A Ị I (I).
Cho E là không gian Banach, E Q là không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.1.15. Ánh xạ đa trị F : I X E Q —> K ( E ) được gọi là ánh xạ đa trị
Carathéodory trên nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(Fl) với mỗi X G E Q , hàm đa trị
F(-,x) : I K(E)
chứa một lựa chọn đo được mạnh;
(F2) với hầu khắp t G I ánh xạ đa trị F : E Q —,► K ( E ) là nửa liên tục trên.
Nhận xét 1.1.2. Khi không gian E là tách được, "đo được mạnh" trong
điều kiện (F1) có thể thay thế bởi "đo được". Điều kiện (Fl) là đủ để
cho rằng F(-,

X ) là

đo được mạnh với mỗi

X

G EQ.

Tính chất chính của ánh xạ đa trị Carathéodory trên được trình bày trong khẳng

1
8


định sau đây.
Mệnh đề 1.1.14. Nếu F : I X E Q —»■ K(E) là ánh xạ đa trị Carathéodory
trên, khi đó với mỗi hàm đo được mạnh q : / —> E Q tồn tại một lựa chọn
đa trị f : I —>■ E của hàm đa trị

K(E),

m = F{t,q{t)).
Định nghĩa 1.1.16. Cho số nguyên p > 0, một ánh xạ đa trị Carathéodory trên F : I
X E 0 —»■ K ( E ) được gọi là Ư — Carathéodory trên nếu nó thỏa mãn điều kiện bổ

sung sau của tính bị chặn khả tích địa phương:
(F3) với mỗi r > 0 tồn tại hàm u r G L p + Ự ) sao cho
\\F{t, z)|| := supinan : y G F(t,x)} < v r (t)
đối với ¡1 - hầu khắp t G I , với mỗi X G E Q , ||a:|| < r .
Mỗi ánh xạ đa trị L p — Carathéodory trên F : I X E 0 —> K ( E ) tạo ra sự chồng
chất toán tử đa trị V F ■ c ự ] E Q ) —> P ( L P Ự , E ) ) ,
V F { X ) = {/ G L p Ự , E ) : f ( t ) G F ( t , x ( t ) ) v ó Ì Ị 1 — hầu khắp, t G /}.
Giả sử ánh xạ đa trị F có giá trị lồi, ta có tính chất chính xác sau đây của sự chồng
chất toán tử đa trị.
Mệnh đề 1.1.15. Cho F : I X EQ —i► Kv(E) tò một ánh xạ đa trị L p —
Carathéodory trên, E\ là không gian định chuẩn và Ả : L P Ự,E) —> E\ là
toán tứ tuyến tính bị chặn. Khi đó tích hợp thành
A O V f : Cự; E O ) Cv{E l )
là một ánh xạ đa trị đóng.
Trong thực hành chúng ta thường sử dụng tiêu chuẩn (F3’) sau đây về cấp tăng
tuyến tính dưới.

1
9


(F3’) tồn tại một hàm a G L P + ( I ) sao cho
||F(í,a;)|| < CK(Í)(1 + ||a;||) với mỗi t G I,
với mọi X G E o .
Định nghĩa 1.1.17. Với số nguyên p > 1, một ánh xạ đa trị F : / X E o —i► K { E )
thỏa mãn điều kiện (FI) -(F2) và (F3’) được gọi là ánh xạ đa trị L p — Carathéodory
trên với cấp tăng a — tuyến tính dưới.
Định nghĩa 1.1.18. Một ánh xạ đa trị F ' . K X E o —ì► K ( E ) được gọi là T — tuần
hoàn nếu nó thỏa mãn điều kiện tuần hoàn sau:

(F T ) F(t, X) = F(t + T, X ) với t G R và X G E ữ .
1.1.3 Bậc tôpô cho hàm đa trị
Cho X c Y là các tập đã biết, T : X —> p(y) là một ánh xạ đa trị. Một điểm

X

GX

được gọi là điểm bất động của ánh xạ đa trị T nếu X G F ( x ) . Tập tất cả các điểm bất
động của T kí hiệu là F i x T .
Cho X và Y là không gian metric.
Định nghĩa 1.1.19. Ánh xạ đa trị T : X —> K { Ỵ ) thuộc về lớp c J ( x , Y ) (hay một
C J — ánh xạ đa trị) nếu tồn tại một không gian metric z , một

J — ánh xạ đa trị F : X —>■ K ( z ) , và một ánh xạ liên tục t p : z —>■ Y
sao cho

F =ip oF.
Ánh xạ F và là dạng phân tích của F và viết là F = { i p o F ) .
Trong toàn bộ mục này E là không gian Banach thực.

ç E ] mỗi ánh xạ đa trị F : X —>■ P ( E )
: X —>■ P { E ) ,
Cho X

gọi là miền vectơ đa trị hay miền đa trị tương ứng với T .

2
0

định nghĩa ánh xạ đa t r ị


Kí hiệu i : X — > E là ánh xạ bao hàm thức, ta viết

<Ị> = i-F.
Nếu A là một không gian của tham số, và Q : X X A — > P ( E ) là một họ
ánh xạ đa trị, khi đó ị p : X X A — > P ( E ) ,
&(X, A) = X — Ç(x, A)
được gọi là họ các miền đa trị.
Một điểm X G < p ( x ) sao cho
0 G $(x)
được gọi là điểm kì dị của miền đa trị 0 . Dễ thấy rằng điểm X là điểm kì dị của miền
đa trị 0 = i — T khi và chỉ khi nó là điểm cố định của ánh xạ đa trị F .
Cho u
Cho F

cE

là một tập mở bị chặn, bao đóng của nó kí hiệu là u và biên là d ư .

: u — > K ( E ) là một C J

— ánh xạ đa trị compact sao cho

FixFndU = 0.
Sau đây là những tính chất chính của bậc tôpô của miền đa trị 0 = i — F .
Bổ đề 1.1.1. Nếu <ỉ> = % — F là miền đa trị tương ứng với ánh xạ đa trị F
thì tập

Tập < p ( d ư ) không chứa 0, giá trị ổo = d i s t ( 0 , < p ( d ư ) ) là dương. Lấy tập
compact K = F ( ư ) và chọn 0 < ô < ổo, một không gian con hữu hạn chiều E '

cE

và ánh xạ liên tục 7T : K ^ E ' sao cho
||æ — 7î(æ)|| < ổ.
Định nghĩa C J — ánh xạ đa trị hữa hạn chiều F ' : ư — > K ( E ) bởi tích hợp
thành
r = (TT^ O

Ĩ)

được gọi là một xấp xỉ hữu hạn chiều của T = [}P o F).

Định nghĩa 1.1.20. Bậc tôpô

2
1


deg(i — F, ư )
của miền giá trị tương ứng với ánh xạ đa trị T là bậc tôpô của xấp xỉ hữu hạn chiều
của nó
deg{i-F',ữ).
Kí hiệu C J ỹ Ị j ( U , E ) là tập tất cả các

cJ

— ánh xạ đa trị compact T : u —>

K { E ) thỏa mãn điều kiện F i x T n d ư = 0.
Định nghĩa 1.1.21. Các ánh xạ đa trị F Q , T\

G

c J QU (U, E);

F Q = {ự>0 o Ẽ 0 ), Fl = (và miền đa trị tương ứng
$0 = i - F ữ ) <t>ị = i - Fi
được gọi là đồng luân
00-01,
nếu tồn tại một ánh xạ đa trị H G J(ư X [0,1], z) và một ánh xạ liên tục k : Z X
[0,1] —> E thỏa mãn các điều kiện sau đây:
(i) H(-,0) = Ẽ 0 ,H(-,1) = ẼŨ
(ii) fc(.,0) =
(iii)

(Po,

k { - , 1) =

ánh xạ đa trị k O H : ư X [0,1] —> K(E), được xác định

{k O H){x, A) = k{H{x, A), A) vai mọi (x, A) G ữ X [0,1], là
compact và điểm cố định trên dư X [0,1]:

x ệ H { x , A), V(æ, A) G d ư X

[o, 1].

Ánh xạ đa trị k o H được gọi là đồng luân trong lóp c J Q U { Ư , E ) liên thông
ánh xạ đa trị E o và J - \ (và liên thông miền đa trị $0 và ).
Sau đây là các tính chất quan trọng của bậc tôpô cho hàm đa trị.

2
2


(1) Tính bất biến của phép đồng luân.
Cho E o , T \ G C J Q U { Ư , E ) và miền đa trị tương ứng $0 = i — E ũ và = %
— T \ là đồng luân. Khi đó
deg(#o, U ) = deg(#i, u ).
Bổ đề 1.1.2. Cho Eo G CJỹu{ư,E) và F : u —> K{Ỵ) là một CJ — ánh xạ đa
trị thỏa mãn điều kiện biên

T(x)
ở đẫy G CJ 9 u (U, E) và
= ỉ — E\ ~ ^0
nghĩa là deg(

Bổ đề 1.1.3. Cho các ánh xạ đa trị E Q ,E I G cJ QU ( Ư , E) thỏa mãn điều kiện
biên
Z\

Zữ

với mọi Z Q

G

@ O ( X ),

Z\ G

@ I ( X ),

INI r INI
X

G dư, ở đây $k = i — Ek, k = 0,1.

Khi đó 00 ~ $1 và hơn nữa
deg($0, U) = deg($ 1, U).
(2) Sự phụ thuộc cộng tính trên miền xác định.
Cho { ư j } ™ = 1 là một họ các tập con mở ròi nhau của ư và C J — ánh xạ đa trị
compact J - : ư — > K ( Ỵ ) không có điểm cố định trên tập ữ \ U " = 1 ư ý Khi đó
deg(z - J 7 , ư) = ^2 des(^ _ F ì ưj)j=i
(3) Nguyên lý ánh xạ thu hẹp.
Cho E l c E là một không gian con đóng và F G c J ỹ u { ư , E ) sao cho E ( ư ) c
E \ . Khi đó

2
3


deg(z - E,ư) = degE i (i - J 7 , ưi),
ở đó U \ = ư n E l và d e g E 1 là bậc đánh giá trong không gian E \ .
(4) Nguyên lý điểm bất động.

Cho T G c J Q U (U, E) và
ảeg(ĩ-E,Ũ)^0.
Khi đó 0 Ỷ FixT c u.

1.2

Bất đẳng thức biến phân

Cho K là một tập lồi đóng trong Rn và F : K —> Rn là liên tục. Xét bài
toán

2
4


Tìm u G K thỏa mãn bất đẳng thức biến phân sau
(1.2.1)

(v — u, F(u)) >0, Vv G K.
ở đây
n

(v, w) = ^ VịWị với VỊ w G M".
i=
1

Ta có một số kết quả sau đây.

c M" là

Định lý 1.2.1. [5] Cho K

compact và lồi, F : K —>

M" là

liên

tục. Khi đó tồn tại u G K sao cho
(F(u),v — u) > 0, Vv G K.
Định lý 1.2.2. [5] Cho K

c

M" là đóng và lồi, F : K —> M" là liên tục.

Điều kiện cần và đủ để tồn tại một nghiệm cho bài toán (1.2.1) là tồn
tại R> 0 sao cho một nghiệm

UR

G K R của (1.2.1) thỏa mãn
(1.2.2)

với K R = B(0,R)

n K.

C h ứ n g m i n h . Dễ thấy rằng nếu tồn tại một nghiệm cho bài toán (1.2.1), thì
một nghiệm của (1.2.1) đối với miền K R ,

ở

u

là

đây |ti| < R .

Giả sử rằng U R G K R thỏa mãn (1.2.2). Khi đó U R cũng là một nghiệm của bài toán
(1.2.1). Thật vậy, \ u R \ < R , cho V G K ,
w

Suy ra U R G K R

= U + e(v
R

— UR)

G K R với € > 0 đủ nhỏ.

c K:

0 < (F(UR),W -

UR)

= e(F(uR),

V

-

UR)

với V G K,

tức là U R là nghiệm của bài toán (1.2.1). Định lí
được chứng minh.

□