Bộ đề thi môn toán tuyển sinh vào THPT chuyên Vĩnh Phúc từ 1996 đến 2012

LỜI NÓI ĐẦU
Các em học sinh khá giỏi ở trường THCS không chỉ muốn dừng lại ở kết
quả thi đỗ vào trường một THPT, dường như tất cả đều mong muốn bước vào
trường chuyên THPT, nơi mà năng khiếu của các em được phát triển tốt hơn.
Tuyển tập “Những đề thi vào trường THPT chuyên Vĩnh Phúc” nhằm mục
đích góp thêm một tư liệu cho các em học sinh khá giỏi lớp 9 trên con đường tự
rèn luyện bộ môn toán. Đặc biệt, giúp các em có một cái nhìn tổng quan về các
vấn đề thường gặp trong đề thi vào lớp 10 của trường chuyên Vĩnh Phúc.
Ngoài ra, trong tài liệu này, thầy giới thiệu thêm với các em quy trình để
giải một bài toán (của George Polya, nhà toán học và nhà sư phạm Mỹ gốc
Hungary nổi tiếng). Quy trình này rất thiết thực cho những ai muốn giỏi toán.
Thầy mong rằng tài liệu này góp phần giúp các em thi vào lớp 10 với kết
quả cao nhất.
Vì sự thành công của các em!
Xuân Hòa, ngày 28 tháng 2 năm 2012
NGUYỄN ĐÌNH PHÚ
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
1
POLYA: GIẢI BÀI TOÁN NHƯ THẾ NÀO?
GEORGE POLYA sinh năm 1887 ở Hungary. Ông tốt nghiệp đại học và bảo vệ luận án tiến sĩ
tại Đại học tổng hợp Budapest. Năm 1940 ông sang Mỹ, từ 1942 ông là giáo sư Đại học tổng
hợp Stanford. Ông mất năm 1985 tại California.
Ngoài những công trình về lí thuyết số, giải tích hàm, toán thống kê và giải tích tổ hợp, G.
Polya rất nổi tiếng với những nghiên cứu về quá trình giải toán và quá trình sáng tạo toán
học, được đúc kết trong bộ ba quyển sách (đã được dịch ra rất nhiều thứ tiếng trên thế giới,
trong đó có tiếng Việt): How to Solve it? (Giải một bài toán như thế nào?), Mathematical
Discovery (Sáng tạo toán học) và Mathematics and Plausible Reasoning (Toán học và những
suy luận có lí).
Mặc dù được viết cách đây đã gần một thế kỉ, các quyển sách của G. Polya đến nay vẫn
giữ nguyên giá trị to lớn đối với thầy cô giáo các cấp, đối với sinh viên và học sinh muốn dạy
và học toán học (và cả những nhà khoa học khác) một cách thông minh và sáng tạo.

Đây là bài viết tóm lược những ý chính trong quyển sách “Giải bài toán
như thế nào?” – cũng cần nói thêm ở đây rằng từ “Giải bài toán” theo G. Polya
không đơn thuần chỉ dừng lại ở việc tìm ra đáp số, như nhiều học sinh thậm chí
cả sinh viên vẫn thường hay hiểu, “Giải bài toán” ở đây bao quát toàn bộ quá
trình suy ngẫm, tìm tòi lời giải cũng như lý giải nguyên nhân phát sinh bài
toán, và cuối cùng là phát triển bài toán vừa làm được, hoặc ít ra nêu ra
những hướng đi mới trên cơ sở đã hiểu nguồn gốc từ đâu bài toán phát sinh.
I. Tìm hiểu bài toán:
- Đâu là ẩn? đâu là dữ kiện? đâu là điều kiện? có thể thỏa mãn điều kiện bài toán?
điều kiện có đủ để xác định ẩn? Hay là thừa, hay còn thiếu? Hay có mâu thuẫn?
- Vẽ hình.
- Sử dụng các kí hiệu thích hợp, có thể biểu diễn các điều kiện, dữ kiện thành
công thức được không? Phân biệt rõ các phần của điều kiện.
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
2
II. Tìm tòi lời giải bài toán:
- Bạn đã gặp bài toán nào tương tự thế này chưa? Hay ở một dạng hơi khác?
- Bạn có biết một định lý, một bài toán liên quan đến bài toán này không?
- Hãy xét kỹ cái chưa biết, và thử nhớ xem có bài toán nào có cùng cái chưa biết
không?
- Đây là bài toán mà bạn đã có lần giải nó rồi, bạn có thể áp dụng được gì ở nó?
Phương pháp? Kết quả? Hay phải đưa thêm yếu tố phụ vào mới áp dụng được?
- Hãy xét kỹ các khái niệm có trong bài toán và nếu cần hãy quay về các định
nghĩa.
- Nếu bạn chưa giải được bài toán này, hãy thử giải một bài toán phụ dễ hơn có
liên quan, một trường hợp riêng, tương tự, tổng quát hơn? Hãy giữ lại một phần
giả thiết khi đó ẩn được xác định đến chừng mực nào? Từ các điều đó bạn có thể
rút ra được điều gì có ích cho việc giải bài toán? Với giả thiết nào thì bạn có thể
giải được bài toán này?
- Bạn đã tận dụng hết giả thiết của bài toán chưa?

III. Giải bài toán:
Thực hiện lời giải mà bạn đã đề ra. Bạn có nghĩ rằng các bước là đúng? Bạn
có thể chứng minh nó đúng?
IV. Khai thác bài toán:
- Bạn có nghĩ ra một hướng khác để giải bài toán? Lời giải có ngắn hơn, đặc sắc
hơn.
- Bạn đã áp dụng cách giải đó cho bài toán nào chưa?
- Bạn có thể áp dụng bài toán này để giải các bài toán khác đã biết?
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
3
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1997 - 1998
Ngày thi 10 – 7 - 1997
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Câu 1. Cho biểu thức
( )
( )
2
2 2
2
2
2 8
1 2 3
x x
P x x
x
− +
= + − − +
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên.

Câu 2. Giải phương trình:
2 2
2 8 3 4 5 12x x x x− − − − =
.
Câu 3.
Cho Parabol (P) có phương trình y = x
2
và điểm A có hoành độ bằng 2 thuộc (P).
a) Viêt phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) tại A.
b) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) với các trục tọa độ Ox, Oy.
c) Tính diện tích của hình tam giác giới hạn bởi đường thẳng (d), trục Ox
và trục Oy.
Câu 4.
Tìm tất cả các giá trị của tham số a để tất cả các nghiệm x
1
, x
2
của phương trình:
x
2
+ ax + 1 = 0 thỏa mãn bất đẳng thức:
2 2
1 2
2 1
7
x x
x x
   
+ >
   

   
Câu 5.
Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O). M là điểm trên cung nhỏ BC.
Nối M với A, trên MA lấy điểm D sao cho MD = MB. Chứng minh:
a) Tam giác BMD đều
b) MA = MB + MC.
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
4
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1997 - 1998
Ngày thi 11 – 7 - 1997
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Câu 1. Cho các số nguyên không âm a, b, c, d thỏa mãn điều kiện:
2 2 2 2
2 2 2
2 3 4 36 (1)
2 2 6 (2)
a b c d
a b d

+ + + =

+ − =

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a
2
+ b
2
+ c
2

+ d
2
.
Câu 2.
a) Giải phương trình:
1 1
2
2 4
x x x+ + + + =
b) Giải phương trình:
4 4
97 5x x+ − =
Câu 3.
Chứng minh:
4 1 4 1 4 1 5x y z+ + + + + ≤
,
với x, y, z là các số thực và x + y + z = 1 và
1 1 1
; ;
4 4 4
x y z≥ − ≥ − ≥ −
Câu 4.
Cho hình thang vuông ABCD có AB là đáy nhỏ, CD là đáy lớn, M là giao điểm
của hai đường chéo AC và BD. Biết hình thang ngoại tiếp đường tròn bán kính R.
Tính diện tích của tam giác ADM.
Câu 5.
Cho tam giác ABC, các đường phân giác của các góc A, B, C kéo dài cắt đường
tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại các điểm A
1
, b

1
, C
1
. Chứng minh rằng:
AA
1
+ BB
1
+ CC
1
> AB + BC + AC.
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
5
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1998 - 1999
Ngày thi 20 – 7 - 1998
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Câu 1 (2 điểm): Giải các phương trình sau:
a)
1 1x x+ = −
b)
( )
2
3 2 2 2 1 2 2 0x x+ + + − =
Câu 2. (2 điểm). Cho hàm số
2
1
2
y x= −
a) Vẽ đồ thị hàm số trên.

b) Lập phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A(-2; 2) và tiếp xúc với đồ thị
của hàm số trên.
Câu 3 (2 điểm):
Tìm các giá trị của p và q để hai hệ phương trình sau tương đương:
2 1
4 5 17
x y
x y
− =


+ =

và
6
3 2 10
px qy
px qy
+ =


+ =

Câu 4 (1,5 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4).
Câu 5. (2,5 điểm)
Cho tam giác ABC, về phía ngoài của tam giác ta dựng các tam giác vuông ABE
và ACF đỉnh A. Chứng minh rằng trung tuyến AI của tam giác ABC vuông góc
với EF và
1

AI = EF
2
.
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
6
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1998 - 1999
Ngày thi 21 – 7 - 1998
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Câu 1 (2 điểm)
Giải và biện luận hệ phương trình:
3 1 (1)
3 2 1 (2)
x ay
ax ay a
+ =


− = +

Câu 2 (1,5 điểm):
Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, chứng minh rằng phương trình:
a
2
x
2
+ (a
2
+ b
2

– c
2
)x + b
2
= 0 vô nghiệm.
Câu 3 (2 điểm):
Cho ba số dương phân biệt p
0
, p
1
, p
2
, có tổng bằng 1.
Chứng minh rằng nếu phương trình: p
2
x
2
+ p
1
x + p
0
= x có nghiệm x
0
thỏa mãn
điều kiện: 0 < x
0
< 1 thì p
1
+ 2p
2

> 1.
Câu 4. (2 điểm)
Cho ba số thực x, y, z thỏa mãn:
5
8
x y z
xy yz zx
+ + =


+ + =

Chứng minh rằng:
7
1 , ,
3
x y z≤ ≤
.
Câu 5 (2,5 điểm):
Cho góc nhọn xOy và điểm M thuộc miền trong của góc đó. Dựng qua M một
đường thẳng cắt Ox tại P và Oy tại Q sao cho:
a) OP + OQ bé nhất.
b)
1 1
+
MP MQ
lớn nhất.
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
7
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1999-2000

Ngày thi 15 – 7 - 1999
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Câu 1. Cho biểu thức
2 2 2 2
( )(1 ) ( )(1 ) (1 )(1 )
x y x y
A
x y y x y x x y
= − −
+ − + + + −
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Giải và biện luận phương trình nghiệm nguyên A = -3.
Câu 2.
Giải và biện luận phương trình:
3 5 2x x a− + − =
.
Câu 3. Cho x
2
+ y
2
+ z
2
= 1, chứng minh rằng:
xyz + 2(1 + x + y + z + xy + yz + zx) ≥ 0.
Câu 4.
Cho ΔABC có ba góc nhọn, trực tâm H. Người ta dựng hình bình hành BHCD và
gọi I là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành BHCD.
a) Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp một đường tròn.
b) So sánh

,BAH OAC
(trong đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC).
c) Gọi G là giao điểm của AI và OH. Chứng minh G là trọng tâm của ΔABC.
Câu 5.
Cho hàm số y = f(x) với f(x) là một biểu thức đại số lấy giá trị thực với mọi x là
số thực khác 0. Biết rằng:
( )
2
1
3f x f x
x
 
+ =
 
 
với mọi số thực x khác 0.
Tìm giá trị của f(2).
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
8
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 1999-2000
Ngày thi 16 – 7 - 1999
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Câu 1.
Cho phương trình: 2x
2
+ (2m – 1)x + m – 1 = 0.
a) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x
1
, x

2
thỏa mãn 3x
1
– 4x
2
= 11.
b) Tìm một hệ thức liện hệ giữa hai nghiệm của phương trình mà không phụ
thuộc vào m.
Câu 2.
Tìm a để hệ sau đây có nghiệm:
1 1
2 1
x y a
x y a

+ + − =


+ = +


Câu 3. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng minh:
a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2.
Câu 4.

Cho hình vuông ABCD tâm O, gọi K, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
BC và F là trung điểm của NC. Từ A kẻ đường thẳng song song với KF cắt CD
tại G.
Chứng minh FG là tiếp tuyến của đường tròn tâm O nội tiếp trong hình vuông.
Câu 5.
Chứng minh rằng nếu phương trình bậc ba: ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 có hai nghiệm
thực thì tích của 2 nghiệm đó không nhỏ hơn
2
2
4
4
ac b
a
−
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
9
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2000-2001
Dành cho các thí sinh vào lớp chuyên Toán, Tin, Lí, Hóa, Sinh
Ngày 29 – 7 - 2000
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Câu 1.
a) Giải phương trình: (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) = 24
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để số: n
4
+ 6n

3
+ 11n
2
+ 6n bằng bình phương của
một số nguyên.
Câu 2.
a) Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có:
2
2
1 1
3
3 1
x x
x x
+ +
≤ ≤
− +
b) Tìm cá số nguyên x và y để giá trị của phân thức sau là một số nguyên:
2 2
2 2
x xy y
x xy y
+ +
− +
Câu 3.
Giải hệ phương trình 3 ẩn x, y, z:
3
3
3
3 4

2 6 6
3 9 8
x y x
y z y
z x z

+ = +

+ = +


+ = +

Câu 4.
a) Cho tam giác ABC. Gọi O là tâm đường tròn bàng tiếp cạnh BC của ΔABC, D
là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABO.
Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn.
b) Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
( )( )( )a b b c c a
P
abc
+ + +
=
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
10
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2001-2002
Dành cho các thí sinh vào lớp chuyên Toán, Tin, Lí, Hóa, Sinh
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————

Câu 1 (2 điểm)
Cho biểu thức
2 3 6
2 3 6 2 3 6
a b ab
P
ab a b ab a b
+ −
= −
+ − − + − −
a) Rút gọn P.
b) Tìm a và b biết
81
81
18 7 2001 24
b
P
b
a b
+

=

−


− − =

Câu 2 (2 điểm)
Cho phương trình bậc hai ẩn x: x

2
– mx + 1 = 0 (1)
a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có các nghiệm đều dương.
b) Gọi a và b là hai nghiệm dương của phương trình (1), tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
1
Q a b
a b
= + +
+
Câu 3 (3 điểm)
Cho tam giác ABC có cả ba góc đều nhọn; các đường cao kẻ từ A, B, C lần lượt
cắt các cạnh đối diện tại D, E, F và đồng quy tại H. Gọi M là trung điểm của BC,
N là trung điểm của AH, O là tâm đường tròn ngọa tiếp tam giác. Chứng minh:
a) MN ⊥ EF
b) Tứ giác ANMO là hình bình hành.
c) Nếu MN cắt các đường phân giác trong và ngoài của góc A lần lượt tại
K và L thì FK = AH.
Câu 4. (2 điểm)
a) Cho m > 0, a ≠ 0 và ma + (m + 1)b = 0. Chứng minh rằng đường thẳng có
phương trình: y = ax + b luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ thuộc khoảng
(0; 1).
b) Đặt T
n
= 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + … + n.(n + 1).(n + 2) với n là số nguyên
dương. Chứng minh rằng 4T
n
+ 1 là bình phương của một số nguyên.
Câu 5. (1 điểm)
Cho các số dương x, y, a, b thỏa mãn:

2 2
2 2
2x y a b
a b x y
a b x y
+ + + ≤


+ = +


+ = +

Hãy tính x, y theo a và b.
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
11
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2002-2003
Dành cho tất cả các thí sinh
Ngày thi 30 – 7 - 2002
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Bài 1. Cho biểu thức:
2
3 2
2 1 2
: 1
1 1 1
x x x
P
x x x x

 
+ +
 
= − −
 
 
− − + +
 
 
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị
P
khi
2
5 2 3x = +
Bài 2. Cho hệ phương trình:
( )
2
1 5
4
a x ay
x ay a a
 + − =

+ = +

a) Giải hệ với a = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a để hệ có nghiệm (x; y) với x, y nguyên.
Bài 3. Cho phương trình
2x

2
+ 2(m – 1)x + m(m – 1) = 0 ( ẩn là x, tham số m có giá trị thực)
a) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm. Tính giá trị hai
nghiệm đó theo m.
b) Gọi x
2
là nghiệm lớn của phương trình trên. Hãy tìm giá trị lớn nhất, giá trị
nhỏ nhất của x
2
theo m.
Bài 4.
Cho đường tròn tâm O bán kính R, BC là một dây cung của đường tròn
(BC ≠ 2R). Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho O luôn nằm trong tam giác
ABC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC đồng quy tại H. Gọi A’ là
trung điểm của BC.
a) Chứng minh AH = 2.A’O
b) Gọi A
1
là trung điểm của EF, chứng minh rằng:
1
'
'
R AA
OA AA
=
c) Xác định vị trí của điểm A để tổng EF + FD + DE đạt giá trị lớn nhất.
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
12
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2002-2003
Dành cho các thí sinh vào lớp chuyên Toán, Tin

Ngày thi 31 – 7 - 2002
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Bài 1. Giải hệ phương trình sau:
2 2 2
3 3 3
7
37
1
x y z
x y z
x y z
+ = +


+ = +


+ = +

Bài 2.
1. Chứng minh rằng biểu thức F(x) = x
2
+ mx + 1 có giá trị nhỏ nhất bằng - 1 khi
và chỉ khi phương trình ẩn x sau đây: x
2
+ mx + 2 = 0 có nghiệm kép.
2. Tìm tất cả các giá trị của các số thực a, b sao cho biểu thức:
2
( )

2
ax b
P x
x x
+
=
+ +
Có giá trị lớn nhất là 3 và giá trị nhỏ nhất là – 1.
Bài 3.
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O; R). Gọi AD, AE tương ứng là
đường phân giác trong, phân giác ngoài của góc BAC (D, E thuộc đường thẳng
BC), AD = AE.
1. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại A của (O) vuông góc với BC.
2. Giả sử ABC có diện tích lớn nhất có thể được, hãy tính độ dài AD.
Bài 4.
Trong một hình vuông có diện tích 5m
2
có chứa 9 hình vuông con, diện tích mỗi
hình vuông con là 1m
2
. Chứng minh: tồng tại ít nhất hai hình vuông con có diện
tích phần chung không nhỏ hơn
2
1
9
m
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
13
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2003-2004
Dành cho tất cả các thí sinh

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Bài 1. Cho biểu thức:
2
2 2 2 2 2 2
1
:
x x y x y
P
x y x y xy y x xy x y
 
 
= − +
 
 
− + + + −
 
 
a) Tìm tất cả các giá trị của x, y để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x, y để
2
3
P =
Bài 2. Cho phương trình x
2
+ qx + 1 = 0
a) Giải phương trình với
7
2

q =
b) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phương trình và thỏa mãn điều kiện:
( ) ( )
1 1 2 2
1 1
2 2 1 10
2 2
x x x x q
   
− − + + = +
   
   
Hãy tính giá trị của x
1
, x
2
.
Bài 3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta có:
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
1 3 5 2 1 2 4 2n n n n
   
+ + + + ≥ + + + +
   
+ −
   

Bài 4.
Cho góc vuông xOy, lấy điểm A ↑Ox, B ↑Oy sao cho OA = OB. Một đường
thẳng di động đi qua A cắt OB tại M sao cho M thuộc đoạn thẳng OB, M không
trùng với A và B. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống AM; I là giao
điểm của BH và AO. Gọi K là chân đường vuông góc hạ từ O xuống BI.
a) Chứng minh OK = KH.
b) Tìm quỹ tích cácđiểm K khi M di động.
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
14
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2003-2004
Dành cho các thí sinh vào lớp chuyên Toán, Tin
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Bài 1. Giải phương trình sau:
2
2
2 5
2 5
4 4
x
x x
x x
−
− − =
− +
Bài 2.
Cho hàm số f(x) = 4x
3
+ mx với m là tham số có giá trị thực. Hãy tìm tất cả các
giá trị của m sao cho |f(x)| ≤ 1 với mọi x thỏa mãn |x| ≤ 1.

Bài 3.
a) Cho a, b, c là ba số có giá trị đôi một khác nhau. Chứng minh rằng trong các
bất đẳng thức sau có ít nhất một bất đẳng thức sai:
(a + b + c)
2
≤ 9ab
(a + b + c)
2
≤ 9bc
(a + b + c)
2
≤ 9ca
b) Tìm tất cả các số nguyên tố p sao cho (p – 1)! + 1 là lũy thừa với số mũ
nguyên dương của p, trong đó (p – 1)! = 1.2.3…(p – 1).
Bài 4.
Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB = 2R. Điểm M di động trên nửa
đường tròn đó, M kông trùng A và B. Tiếp tuyến tại M cắt hai tiếp tuyến tại A, B
của nửa đường tròn tương ứng tại C, D. Gọi E là giao điểm của OC và AM, F là
giao điểm của OD và BM, H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, J là
chân đường vuông góc hạ từ O xuống CD.
a) Chứng minh rằng:
2
2
. .
1
. .
OC OD MH
AM MBOJ
=
và tứ giác CEFD nội tiếp trong một

đường tròn tâm K.
b) Xác định vị trí của M sao cho độ dài đoạn KE là ngắn nhất.
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
15
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2005-2006
Dành cho tất cả các thí sinh – Hệ số 1
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Câu 1. Cho biểu thức
1 2 2
: 1
1
1 1
x x
x
x x x x x
   
− −
   
   
+
− + − −
   
a) Tìm tất cả các giá trị của x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho P < 0.
Câu 2. Cho phương trình bậc hai ẩn x, tham số m.
2x
2
+ 2(m + 2)x + m

2
+ 4m + 3 = 0
a) Tìm m để phương trình có nghiệm.
b) Khi phương trình có nghiệm x
1
, x
2
hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
mà
không phụ thuộc vào m.
Câu 3. Cho phương trình
2
2 6 4 1x x m x− + + = −
(m là tham số)
a) Giải hệ phương trình khi m = 4.
b) Xác định m để phương trình có nghiệm.
Câu 4.
Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R, I là trung điểm của OA.
Đường thẳng (d) qua I vuông góc với AB và cắt nửa đường tròn tại K. Điểm C
thuộc đoạn thẳng IK (C không trùng với I và K), đường thẳng AC cắt nửa đường
tròn tại M. Tiếp tuyến với nửa đường tròn tại M cắt (d) tại điểm N, đường thẳng
BM cắt cắt (d) tại D.
a) Chứng minh ΔCMN cân.
b) Tính độ dài CD theo R trong trường hợp C là trung điểm của đoạn IK.
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp ΔACD luôn nằm trên một đường
thẳng cố định khi điểm C di động trên đoạn IK (C không trùng với I, K).
Câu 5. Cho a, b, c là ba số dương; x, y, z là ba số có giá trị thuộc đoạn

1
0;
2
 
 
 
.
Biết rằng a + b + c = x + y + z = 1.
Chứng minh rằng ax + by + cz ≥ 8abc.
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
16
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2005-2006
Dành cho lớp chuyên tin
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Câu 1. Cho phương trình x
2
– (m – 1)x = m
2
+ m – 2 = 0 (m là tham số).
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 2.
b) Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình đã cho, với giá trị nào của m thì
biểu thức P = x
1
2
+ x

2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2. Cho hệ phương trình
2
2 1
x my
mx y
+ =


− =

(m là tham số)
a) Giải hệ phương trình theo tham số m.
b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.
Câu 3.
a) Chứng minh rằng với x > -2 ta luôn có
3
2
2
x
x
+
≥
+
.
b) Cho a > -2, b > -2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
( 3) ( 3)

2 2
a b
E
b a
+ +
= +
+ +
Câu 4. Cho góc xAy. Một đường tròn (O) cắt các tia Ax, Ay tại các điểm M, N,
P, Q sao cho N nằm trên tia Mx và Q nằm trên tia Py, kẻ dây cung MR song song
với PQ.
a) Chứng minh rằng góc PMR bằng góc MNQ.
b) Chứng minh rằng ΔANQ đồng dạng với ΔPNR.
c) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp ΔANP luôn tiếp xúc với đường
thẳng PR.
Câu 5. Cho 3 số thực x, y, z thỏa mãn
1 ; ; 2
3
x y z
x y z
− ≤ ≤


+ + ≤

Chứng minh rằng x
2
+ y
2
+ z
2

≤ 9. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
17
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2005-2006
Dành cho lớp chuyên toán
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Câu 1. Cho phương trình x
2
– (m – 1)x = m
2
+ m – 2 = 0 (m là tham số).
a) Tìm m để phương trình có một nghiệm bằng 2.
b) Gọi x
1
, x
2
là các nghiệm của phương trình đã cho, với giá trị nào của m thì
biểu thức P = x
1
2
+ x
2
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 2. Cho hệ phương trình
2
2 1
x my
mx y

+ =


− =

(m là tham số)
a) Giải hệ phương trình theo tham số m.
b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên.
Câu 3.
c) Chứng minh rằng với x > -2 ta luôn có
3
2
2
x
x
+
≥
+
.
d) Cho a > -2, b > -2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2
( 3) ( 3)
2 2
a b
E
b a
+ +
= +
+ +
Câu 4. Cho góc xAy. Một đường tròn (O) cắt các tia Ax, Ay tại các điểm M, N,

P, Q sao cho N nằm trên tia Mx và Q nằm trên tia Py, kẻ dây cung MR song song
với PQ.
a) Chứng minh rằng góc PMR bằng góc MNQ.
b) Chứng minh rằng ΔANQ đồng dạng với ΔPNR.
c) Cho MR = PQ và gọi I là giao điểm của MR với NQ. Chứng minh rằng đường
tròn ngoại tiếp ΔANP tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp ΔINR.
Câu 5. Cho n là một số nguyên dương. Biết rằng 2n + 1 và 3n + 1 là các số chính
phương. Chứng minh rằng n chia hết cho 40.
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
18
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2006-2007
Dành cho tất cả các thí sinh
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Câu 1. Viết vào bài làm chữ cái đứng trước phương án đúng:
a) Tính
4 2 3 4 2 3+ − −
ta được kết quả là:
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
b) Đồ thị hàm số y = 2x – 1 là đường thẳng:
A. Đi qua gốc tọa độ. B. Đi qua hai điểm (0; 1) và
1
;0
2
 
−
 
 
C. Đi qua hai điểm (0; -1) và
1

;0
2
 
 
 
D. Đi qua hai điểm (0; 2) và
1
;0
2
 
 
 
c) Đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp tam giác đều MNP có bán kính tương ứng là
r và R. Khi đó ta có:
A. R = r B. R = 2r C.
2
R = r
3
D. R = 3r
d) Diện tích xung quanh của một hình trụ là 50

cm
2
. Chiều cao của hình trụ là
5cm. Khi đó bán kính đáy của hình trụ là:
A. 5 B. 6 C. 4 D. 3
Câu 2.
a) Tìm m để phương trình x
2
– 2(m – 1)x + m – 1 = 0 có nghiệm kép.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, ít nhất một trong hai phương trình sau
có nghiệm:
x
2
– (2m + 1)x + m
2
+ 2 = 0 (1)
- x
2
+ mx + 7 – 4m = 0 (2)
Câu 3.
a) Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm:
3
4 1
mx y
x my
+ =


+ = −

b) Tính giá trị của tổng
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 2 2 3 2005 2006
A = + + + + + + + + +
Câu 4. Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi K là trung điểm của cung
AB, M là điểm di động trên cung nhỏ AK (M khác A và K), hai đường thảng AM
và OK cắt nhau tại D. Lấy N trên đoạn BM sao cho BN = AM.

a) Chứng minh MK là đường phân giác của góc DMN.
b) Chứng minh:
AMK BNK=
.
c) Chứng minh đường thẳng (d) vuông góc với BM tại N luôn đi qua một điểm cố
định.
Câu 5. Cho x, y, z là 3 số dương thỏa mãn x + y + z = 3.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2
2 1
P
xy yz zx x y z
= +
+ + + +
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
19
TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC NĂM HỌC 2006-2007
Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Tin
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1.
1. Giải hệ phương trình:
3 3
3
9
x y
x y
− =


− =


2. Cho hai phương trình:
x
2
– (2m + n)x – 3m = 0 (1)
x
2
– (m + 3n)x – 6 = 0 (2)
Tìm m và n để hai phương trình tương đương.
Câu 2.
1. Giải phương trình
3 3
2 5 1x x+ + − =
.
2. Tìm hệ số a > 0 sao cho các đường thẳng: y =ax – 1, y = 1, y = 5 và trục tung
tạo thành một hình thang có diện tích bằng 8.
Câu 3.
Cho đường tròn (O). Từ một điểm M ở ngoài (O), kẻ các tiếp tuyến MA, MB với
đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua M và không đi qua
tâm của đường tròn (O) cắt đường tròn (O) tại hai điểm C, D (C ở giữa D và M).
Gọi I là trung điểm của đoạn CD.
1. Chứng minh 5 điểm A, B, I, O, M nằm trên một đường tròn.
2. Chứng minh IC là phân giác của góc AIB.
3. Chứng minh ΔIAC đồng dạng với ΔICB.
Câu 4.
1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
3 2x y y x
P
xy
− + −

=
với x ≥ 2; y ≥ 3.
2. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn: a
2
+ b
2
+ c
2
= 3.
Chứng minh rằng:
1 1 1 2
( ) 5
3
a b c
a b c
+ + + + + ≥
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
20
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2007-2008
Dành cho tất cả các thí sinh
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Câu 1: Cho phương trình: x
2
- 2(m-1)x + 2m - 3 = 0 (m là tham số)
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu.
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình phương
nghiệm kia.
Câu 2:
a) Rút gọn biểu thức:
2008 2007 2008 2007

2008 2007 2008 2007
M
+ −
= +
− +
b) Cho biểu thức:
2 1 1
1 1 1
x x
N
x x x x x
+ +
= + −
− + + −
Tìm x để biểu thức N có nghĩa, khi đó chứng minh rằng
1
3
N <
Câu 3:
a) Hai ôtô cùng xuất phát từ hai địa điểm A và B đi ngược chiều nhau trên một
quãng đường. Ô tô xuất phát từ A sau khi đi được một phần ba quãng đường thì
tăng vận tốc lên gấp đôi nên hai ô tô gặp nhau ở chính giữa quãng đường. Tính
vận tốc ban đầu của ô tô xuất phát từ A và vận tốc của ô tô xuất phát từ B, biết
rằng vận tốc của ô tô xuất phát từ B lớn hơn vận tốc ban đầu của ô tô xuất phát từ
A là 10 km/h.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 1
1
A
x x

= +
−
với 0 < x < 1.
Câu 4: Từ một điểm M nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ các tiếp tuyến MC và
MD với đường tròn (C và D là tiếp điểm); một cát tuyến đi qua M cắt đường tròn
tâm O tại hai điểm A và B (B nằm giữa A và M). Phân giác của góc ACB cắt AB
ở E. Gọi I là trung điểm đoạn AB.
a) Chứng minh MC = ME.
b) Chứng minh DE là phân giác của góc ADB.
c) Chứng minh
CMI = CDI
.
Câu 5: Cho x, y > 0 thoả mãn điều kiện x
2
+ y
3
≥ x
3
+ y
4
Chứng minh rằng: x
3
+ y
3
≤ 2.
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
21
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2007-2008
Dành cho học sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề.

——————————————
Câu 1: Cho phương trình: x
2
– mx + m – 1 = 0 (m là tham số)
1) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
và tính giá trị của biểu thức
1 2
2 2
1 2 1 2
2 3
2(1 )
x x
P
x x x x
+
=
+ + +
theo tham số m.
2) Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P.
Câu 2: Cho hệ phương trình:
2 2
4 1
ax y b
x y
+ =



− =

(a, b là tham số)
1) Giải hệ phương trình khi a = - 1, b = 2.
2) Tìm a để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x, y) với mọi b
Câu 3:
1) Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
x x 1 x x 2 x x 3+ + + = −
2) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x, y) thoả mãn:
x
2
– (2007 + y)x + 3 + y = 0
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A và AC > AB. Đường tròn tâm I nội tiếp
tam giác ABC tiếp xúc với AB, BC tương ứng tại P, Q. Gọi F là trung điểm AC;
đường thẳng FI cắt cạnh AB tại E; đường thẳng PQ cắt đường cao AH của tam
giác ABC tại M; đường thẳng AI cắt đường trung trực cạnh AC tại N.
1) Chứng minh tứ giác QICN nội tiếp.
2) Chứng minh ba điểm P, Q, N thẳng hàng.
3) Chứng minh AE = AM.
Câu 5:
1) Cho a, b, c là ba số dương. Chứng minh rằng
3 3 3
a b c
ab bc ca
b c a
+ + ≥ + +
.
2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn. Gọi M là điểm di động trên cung BC

không chứa điểm A. Xác định vị trí của điểm M sao cho 2006.MB + 2007.MC
đạt giá trị lớn nhất.
thi vo lp 10 THPT chuyờn Vnh Phỳc Nguyn ỡnh Phỳ su tm
22
TUYN SINH VO LP 10 THPT CHUYấN VNH PHC 2008-2009
Dnh cho tt c cỏc thớ sinh
Thi gian lm bi 150 phỳt, khụng k thi gian giao .

Cõu 1. Cho h phng trỡnh:
2
3 5
mx y
x my
=


+ =

(
m
l tham s).
a) Gii h phng trỡnh khi
1m =
.
b) Tỡm cỏc giỏ tr ca
m
h cú nghim tho món:
2
2
1

3
m
x y
m
+ =
+
Câu 2.
Cho phng trỡnh bc hai:
2
0x px q+ + =
(trong ú
,p q
l cỏc tham s) (1)
a) Gii phng trỡnh (1) vi
1, 2p q= =
.
b) Tỡm
,p q
v cỏc nghim ca (1), bit rng khi thờm 1 vo mi nghim ca (1)
thỡ chỳng tr thnh cỏc nghim ca phng trỡnh
2 2
0x p x pq + =
.
Câu 3. Tìm tất cả các giá trị của
x
thoả mãn:
2 2
2 7
1.
3 2 3 5 2

x x
x x x x
=
+ +
Câu 4 . Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm D trên cạnh AC (sao cho AC >
2DC) làm tâm vẽ đờng tròn tiếp xúc với BC tại E. Từ B kẻ tiếp tuyến thứ hai BF,
cắt D tại I và cắt AE tại K. Trung tuyến AM của tam giác ABC cắt BF tại N.
a) Chứng minh rằng A, B, E, D, F cùng nằm trên một đờng tròn.
b) Chứng minh
IF BF
IK BK
=
c) Cho
0
130AEC =
, tính
ANB
.
Câu 5 .
a) Cho
, ,x y z
l cỏc s thc dng. Chng minh rng:
4( ) ( )( )( ) .xy yz zx x y y z z x x y y z z x

+ + + + + + + + + +

b) Cho
4 3 2
( )P x x ax bx cx d= + + + +
thoả mãn

(1) 3, (3) 11, (5) 27.P P P= = =
Tính
( 2) 7 (6).S P P= +
Ht
thi vo lp 10 THPT chuyờn Vnh Phỳc Nguyn ỡnh Phỳ su tm
23
TUYN SINH LP 10 THPT CHUYấN VNH PHC 2008-2009
Dnh cho cỏc thớ sinh thi vo lp chuyờn Toỏn
Thi gian lm bi: 150 phỳt, khụng k thi gian giao .

Câu 1. Cho phơng trình bậc hai ẩn
x
:
2 2
( 1) 1 0ax b a x m + =
(1)
a) Cho
1, 2a b= =
. Tìm m để tổng bình phơng hai nghiệm của phơng trình
(1) đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Chứng minh rằng nếu
2 2
2 2 6 2 5 0a b ab a b+ + + =
thì phơng trình (1)
có hai nghiệm đối nhau.
Câu 2.
a) Có thể viết thêm bao nhiêu chữ số 0 xen giữa chữ số 6 và 8 của số 1681
để số mới tạo thành là một số chính phơng?
b) Giải hệ phơng trình
2

2
4 8
2 .
xy y
xy x

=


= +


Câu 3. Cho
, , 0x y z >
và thoả mãn
27
3( ) 4
4
x y z xyz+ + +
. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
.P x y z= + +
Câu 4. Cho t giỏc li ABCD. Gi M v N tng ng l trung im cỏc on
thng AD v BC. ng thng CM v DN ct nhau ti E, ng thng BM v AN
ct nhau ti F. Gi din tớch t giỏc MENF l
1
S
, din tớch tam giỏc DEC l
2
S

,
din tớch tam giỏc FAB l
3
S
. Chng minh rng:
a)
1 2 3
S S S= +
.
b)
4.
AF BF CE DE
FN FM EM EN
+ + +
Câu 5. Cho dóy s
( )
n
a
xỏc nh nh sau:
1 2
2 1
1, 3
3 2 ( ).
n n n
a a
a a a n
+
+ +
= =

=

Chng minh rng
2
1 1
2
1
7 8
1
n n n
n
n n
a a a
a
a a
+ +
+
+


=

+ +

.
(Kớ hiu
[ ]
x
l s nguyờn ln nht khụng vt quỏ s

x
).
Ht
Đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Vĩnh Phúc – Nguyễn Đình Phú sưu tầm
24
TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC 2010-2011
Dành cho học sinh tất cả các thí sinh
Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề.
——————————————
Câu 1 (3,0 điểm). Cho hàm số y = (m – 1)x + 5 ( x là biến, m là tham số). Tìm
tất cả các giá trị của m để :
1) Hàm số đồng biến
2) Điểm A(3; 2) thuộc đồ thị hàm số đã cho.
Câu 2 (3,0 điểm).
Cho phương trình bậc hai : 2x
2
– (4m + 3)x + 2m2 – 1 = 0 (x là ẩn, m là tham số)
1) Giải phương trình đã cho với m = 1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
trong đó có một nghiệm bằng 1.
Câu 3 (3,0 điểm).
Cho ΔABC có ba góc nhọn, D là chân đường vuông góc kẻ từ A xuống BC.
Điểm O nằm trên đoạn AD, dựng đường tròn tâm O sao cho đường tròn này cắt
đoạn thẳng AB tại hai điểm phân biệt K, L và cắt đường thẳng AC tại hai điểm
phân biệt M, N. Gọi P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng MN, KL.
1) Chứng minh rằng tứ giác BCPQ nội tiếp .
2) Chứng minh rằng
AK AL AM AN
AC AB
+ +

=
3) Gọi F là chân đường cao kẻ từ B xuống CA ; BF cắt AD tại H. Đường thẳng
qua H song song với BC cắt đoạn AC tại điểm G và cắt đường tròn ngoại tiếp
ΔHDF tại điểm E. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp ΔFBD tiếp xúc với đường
tròn ngoại tiếp ΔFGE.
Câu 4 (1,0 điểm).
Cho ba số thực dương a, b, c thoả mãn điều kiện ab + bc + ca ≥ 1. Chứng
minh rằng:
2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
( )a b c
a ab b b bc c c ca a
+ + ≥
+ +
+ + + + + +