Chương I : lý thuyết tín hiệu

Chương 1: Một số khái niệm căn bản
1. Tín hiệu – Tin tức – Hệ thống
2. Phân lọai tín hiệu
3. Biểu diễn giải tích tín hiệu
29/11/2012
402013-chương 1 1
1. Tín hiệu- Tin tức- Hệ thống

Tín hiệu là biểu hiện vật lý của tin tức mà nó mang từ
nguồn tin đến nơi nhận tin.
Mô hình lý thuyết: hàm theo thời gian x(t)

Tin tức là những nội dung cần truyền đi qua hình ảnh,
tiếng nói, số liệu đo lường…

Hệ thống là những thiết bị hay thuật tóan, để thực
hiện những tác động theo một qui tắc nào đó lên tín
hiệu để tạo ra một tín hiệu khác
29/11/2012
402013-chương 1 2
HT
[K]
Tín hiệu
ngõ vào
Tín hiệu
ngõ ra
[K] biểu thị cho thuật tóan xử lý
2. Phân loại
2.1. Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu nhiên
2.2. Tín hiệu liên tục và rời rạc
2.3. Tín hiệu năng lượng – Tín hiệu công suất

2.4. Các phân loại khác
29/11/2012
402013-chương 1 3
2.1.Tín hiệu xác định và tín hiệu ngẫu
nhiên

Tín hiệu xác định là tín hiệu mà quá trình thời gian của tín
hiệu được biểu diễn bằng một hàm thực hay phức.
Ví dụ:
( ) 220 2 cos(2 .50 )( )u t t V
π
=
29/11/2012
402013-chương 1 4
x(t)
t

Tín hiệu ngẫu nhiên(THNN): là tín hiệu mà quá trình thời
gian của nó không đóan trước được. Ví dụ: tiếng nói, hình
ảnh, âm nhạc… đều không có biểu diễn tóan học. Để nghiên
cứu THNN ta phải tiến hành quan sát thống kê để tìm ra qui
luật phân bố của nó.
2.2. Tín hiệu liên tục và rời rạc
29/11/2012
402013-chương 1 5
Tín hiệu tương tự (biên độ,
thời gian liên tục)
Tín hiệu lượng tử (biên độ rời
rạc, thời gian liên tục)
Tín hiệu rời rạc (biên độ liên

tục, thời gian rời rạc)
Tín hiệu số (biên độ, thời gian
rời rạc)
2.3. Tín hiệu năng lượng – TH công suất

Tín hiệu năng lượng hữu hạn gồm các tín hiệu có thời hạn
hữu hạn, các tín hiệu quá độ xác định và ngẫu nhiên.

Tín hiệu công suất trung bình hữu hạn gồm các tín hiệu
tuần hòan, tín hiệu có thời hạn vô hạn có giá trị tiến đến
hằng số khác không khi t dần ra vô cùng
29/11/2012
402013-chương 1 6
2.4. Các phân lọai khác

Dựa vào bề rộng phổ của tín hiệu có thể phân lọai tín
hiệu như sau: tín hiệu (TH) tần số thấp, TH tần số cao,
TH dải rộng, TH dải hẹp.

Dựa vào biên độ của TH có thể phân lọai thành TH có
biên độ hữu hạn, TH có biên độ vô hạn.

Dựa vào biến thời gian của TH có thể phân lọai thành
TH có thời hạn hữu hạn, TH có thời hạn vô hạn.

Tín hiệu nhân quả: là tín hiệu có giá trị bằng không khi
t<0.
29/11/2012
402013-chương 1 7
3. Biểu diễn giải tích tín hiệu

3.1. Biểu diễn rời rạc
3.1.1 Tín hiệu trực giao
3.1.2 Biểu diễn tín hiệu bằng chuỗi hàm trực
giao
3.1.3 Một số ví dụ về biểu diễn rời rạc
3.2. Biểu diễn liên tục
3.2.1 Dạng tổng quát
3.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi liên tục
29/11/2012
402013-chương 1 8
3.1. Biểu diễn rời rạc
3.1.1 Tín hiệu trực giao



=
≠
=
21
21
21
1
0
),(
xx
xx
xx
29/11/2012
402013-chương 1 9
1 2 1 2

.
*
,x t x t x t x t dt
∞
 
       
 ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
 ÷
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
 
−∞
=
∫
Tích vô hướng giữa hai tín hiệu được định nghĩa
Nếu tích vô hướng này bằng không thì ta nói hai tín
hiệu trực giao
Tín hiệu trực chuẩn
)()(
2
)(
1
txtxtx ==
1))(),(( =txtx
Nếu
và
Tín hiệu chuẩn hóa
3.1.2 Biểu diễn tín hiệu bằng chuỗi hàm trực giao
∑

=
=
N
n
nn
ttx
1
)()(
ψα
( )



=
≠
=
ni
ni
ni
1
0
,
ψψ
29/11/2012
402013-chương 1 10
Tập hàm được chọn, thường là tập hàm trực chuẩn, tức là:
{ }
)(t
ψ
n

α
Hệ số khai triển chuỗi được xác định theo phương trình
, 1
( ( ), ( )) ( , )
N
n i n n
i n
x t t
ψ ψ ψ α
=
=
∑
),(
ii
x
ψα
=
Khi đó
3.1.3 Một số ví dụ về biểu diễn rời rạc
a. Chuỗi Fourier lượng giác
b. Chuỗi Fourier phức
29/11/2012
402013-chương 1 11
a. Chuỗi Fourier lượng giác
29/11/2012
402013-chương 1 12











== 2,1);
2
sin(
2
);
2
cos(
2
;
1
)( nt
T
n
T
t
T
n
T
T
t
n
ππ
ψ
Chuỗi Fourier lượng giác được tạo bởi tập hàm trực chuẩn là tập hàm điều hòa sau:

T: chu kỳ tín hiệu
∑
∞
=








++=
1
0
)
2
sin(
2
)
2
cos(
21
)(
n
nn
t
T
n
T

t
T
n
T
T
tx
π
β
π
αα
Tín hiệu x(t) có thể biểu diễn bằng chuỗi Fourier
nn
βαα
,,
0
( )
∫
=








==
T
dttx
TT

xx
0
00
)(
11
,,
ψα
dtt
T
ntx
T
t
T
n
T
x
T
n
)
2
cos()(
2
)
2
cos(
2
,
0
ππ
α

∫
=








=
dtt
T
ntx
T
t
T
n
T
x
T
n
)
2
sin()(
2
)
2
sin(
2

,
0
ππ
β
∫
=








=
Trong đó các hệ số khai triển được xác định như sau:
a. Chuỗi Fourier lượng giác
29/11/2012
402013-chương 1 13
n
n
n
a
b
arctg
−=
θ
tdtx
T
a

T
∫
=
0
0
)(
1
tdtntx
T
a
T
n
∫
=
0
0
)(cos)(
2
ω
dttntx
T
b
T
n
∫
=
0
0
)(sin)(
2

ω
22
nnn
bac
+=
T
π
ω
2
0
=
a
0
, a
n
, b
n
, c
n
: hệ số khai triển chuỗi
Fourier.
tần số cơ bản của tín hiệu
T: chu kỳ của tín hiệu
0
)
( ) ( cos sin
0 0
1
x t a a n t b n t
n n

n
ω ω
+
∞
= +
∑
=
(1)
∑
∞
=
+⋅+=






1
0
cos
0
)(
n
n
tn
n
catx
θω
(2)

a. Chuỗi Fourier lượng giác- Ví dụ
0
2
X
a =
2
, 1,5,9
2
sin
2 2
, 3,7,11
n
X
n
X n
n
a
n X
n
n
π
π
π
π

=


= =



− =


0
n
b =
( )
1
2
0
1
2
( ) 1 cos
2
n
n
n odd
X X
x t n t
n
ω
π
∞
−
=
 
= + −
 ÷
 

∑
( )
1
2
2
1 ,
n
n
X
a n odd
n
π
−
 
= −
 ÷
 
2T
τ
=
29/11/2012
402013-chương 1 14
a. Chuỗi Fourier lượng giác- Ví dụ
29/11/2012
402013-chương 1 15



+
++−




+−
tn
n
tt
ttt
A
0
00
000
cos
1
9cos
9
1
7cos
7
1
5cos
5
1
3cos
3
1
cos
4
ω
ωω

ωωω
π

A

T

t

T
π
ω
2
0
=
Sóng vuông
n=1
n=3
n=1

n=5
n=41
t
b. Chuỗi Fourier phức
29/11/2012
402013-chương 1 16











±±== 2,1,0;
1
)(
2
ne
T
t
t
T
jn
n
π
ψ
Tập hàm điều hòa phức trực chuẩn được chọn:
T: chu kỳ tín hiệu
∑
∞
−∞=
=
n
t
T
jn
n

e
T
tx
π
α
2
1
)(
2 2
0
1 1
, ( )
T
jn t jn t
T T
n
x e x t e dt
T T
π π
α
−
 
= =
 ÷
 
∫
Chuỗi Fourier phức tương ứng
∑
∞
−∞=

=
n
tjn
n
eXtx
0
)(
ω
T
π
ω
2
0
=
Hay:
∫
−
=
T
tjn
n
dtetx
T
X
0
0
)(
1
ω
(3)

nn
XC 2=
00
X=
α
2
nn
n
jba
X
−
=
Chuỗi (1), (2), (3) có quan hệ với nhau như sau:
a. Chuỗi Fourier phức - Ví dụ
0
2
2
1
sin
2
jn t
n
X n
X Xe dt
T n
τ
ω
τ
π
π

−
−
= =
∫
0
( ) sin cos
2
n
X n
x t n t
n
π
ω
π
∞
=−∞
=
∑
29/11/2012
402013-chương 1 17
3.2. Biểu diễn liên tục TH
3.2.1 Dạng tổng quát
∫
=
τ
ϕ
dtsttxsX ),()()(
∫
Ω
= dstssXtx ),()()(

ψ
)()( sXtx ↔
),( st
ϕ
29/11/2012
402013-chương 1 18
),( ts
ψ
Biến đổi thuận
Biến đổi ngược
được gọi là nhân biến đổi
được gọi là nhân liên hợp
3.2.2 Một số ví dụ về phép biến đổi liên
tục
29/11/2012
402013-chương 1 19
Biến đổi Fourier
[ ]
ω
ω
∞
−
−∞
= =
∫
( ) ( ) ( )
j t
X F x t x t e dt
( ) ( )x t X
ω

↔
( )
ω
ω ω ω
π
∞
−
−∞
 
= =
 
∫
1
1
( ) ( )
2
j t
x t F X X e d
Biến đổi Laplace
[ ]
0
( ) ( ) ( )
st
X s L x t x t e dt
∞
−
= =
∫
[ ]
1

1
( ) t 0
2
( ) ( )
0 t<0
c j
st
c j
X s e ds
j
x t L X s
α
α
π
+
−
−

≥

= =



∫
)()( sXtx
↔
ωσ
js +=
Biến đổi Hilbert

)(
ˆ
)( txtx
↔
[ ]
τ
τ
τ
π
d
t
x
txHtx
∫
∞
∞−
−
==
)(1
)()(
ˆ
[ ]
τ
τ
τ
π
d
t
x
txHtx

∫
∞
∞−
−
−
==
)(
ˆ
1
)(
ˆ
)(
1
•
Biến đổi Fourier-Ví dụ
29/11/2012
402013-chương 1 20

A
( )
( )
f
fA
fX
τπ
π
sin
⋅=
f
X(f)

1
τ
2
τ
3
τ
4
τ
6
τ
5
τ
7
τ
-1
τ
-2
τ
-3
τ
-4
τ
-6
τ
-5
τ
-7
τ
t
A

τ
2
τ
x(t)
τ
2
Bài tập
1. Tìm chuỗi Fourier lượng giác và chuỗi Fourier phức các tín hiệu sau
29/11/2012
402013-chương 1 21
Bài tập
2. Tìm X(ω) của các tín hiệu sau:
2
. ( )
t
a x t e
−
=
1 1 0
. ( ) 1 0 1
0 1
t t
b x t t t
t

+ − < <

= − + < <



>

1 1 0
. ( ) 1 0 1
0 1
t
c x t t
t

− < <

= − < <


>

3. Tìm x(t) biết các X(ω) như sau:
. ( )a X e
ω
ω
−
=
2
. ( )
2
0 2
b X
π
ω
ω

ω

≤

=


>

29/11/2012
402013-chương 1 22