Slide chương 5 Dạng song tuyến tính Dạng toàn phương ( Chương trình đào tạo đại học vinh )

Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

bài giảng đại số tuyến tính
Nhóm ngành KT và CN
TS. Nguyễn Quốc Thơ

Đơn vị công tác
Khoa Toán - Trường ĐHSP - ĐH Vinh

TS. Nguyễn Quèc Th¬

Ch­¬ng 5.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Nội dung

1

Giới thiệu môn học

2

Tài liệu tham khảo

3

Chương 5. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương

TS. Nguyễn Quốc Thơ

Chương 5.


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 5.

Giới thiệu môn học

ã Kiến thức:

Trang bị cho người học các kiến thức về: Ma trận,

định thức, hệ phương trình tuyến tính, không gian vectơ, ánh xạ
tuyến tính, dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian
vetơ Euclid và bài toán phân loại các đường, mặt bậc hai.

ã Kỹ năng: 1. Thực hiện thành thạo các phép toán trên ma trận,
tính định thức, tìm ma trận nghịch đảo, tìm hạng của một ma
trận.
2. Giải và biện luận hệ phương trình tuyến tính.
3. Giải các bài toán liên quan đến không gian vectơ, như:
+) Chứng minh hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến

tính, hệ sinh.
+) Kiểm tra một không gian vectơ con, tìm cơ sở, số chiều của
không gian vectơ con.
TS. Nguyễn Quèc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 5.

Giới thiệu môn học

+) Tìm tọa độ vectơ, đổi cơ sở.
4. Kiểm tra một ánh xạ tuyến tính, xét tính đơn cấu, toàn cấu và
đẳng cấu của một ánh xạ tuyến tính. Xác đinh ma trận và biểu
thức tọa độ của ánh xạ tuyến tính.Tìm giá trị riêng, vectơ riêng.
5. Biến đổi dạng toàn phương về dạng chính tắc, kiểm tra dạng
toàn phương xác định dương, âm hay không xác định.

ã

Thái độ: Bồi dưỡng năng lực tư duy khoa học, tư duy lôgíc,

cung cÊp cho ng­êi häc cung cơ cđa to¸n häc cao cấp để có
thể vận dụng vào giải các bài toán thực tế xà hội đặt ra. Người
học thấy được môn häc cung cÊp cho hä c¸c kiÕn thøc to¸n häc
cao cấp cơ bản để tiếp tục học các môn toán khác hay các môn
chuyên ngành khác.

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 5.

Tài liệu tham khảo

[1]. Nguyễn Thành Quang, Lê Quốc Hán, Đại số tuyến tính,
NXB Hà nội 2013.
[2]. Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán
cao cấp - Tập 1 - Đại số tuyến tính và Hình học giải tích, NXB

Giáo dục, Hà Nội 2004.
[3]. Phạm Huy Điển, Tính toán, lập trình và giảng dạy toán học
trên MAPLE, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội 2002.

[4]. Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính qua các ví dụ và bài tập,
NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 2006.
[5]. Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học
Quốc gia Hà Néi 2001.

TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 5.

Chương 5. Dạng song tuyến tính - Dạng toàn phương

Nội dung trong chương này là trình bày các khái niệm:
1. Dạng song tuyến tính: Định nghĩa, biểu thức tọa độ, ma trận
và hạng của một dạng song tuyến tính.

2. Dạng toàn phương: Định nghĩa, biểu thức tọa độ, ma trận
và hạng của một dạng song tuyến tính đối xứng và dạng toàn
phương.

3. Dạng chính tắc của dạng toàn phương: Định nghĩa dạng
chính tắc của dạng toàn phương và phương pháp Lagrange đưa
một dạng toàn phương về dạng chính tắc. Dạng toàn phương
xác định.

TS. Ngun Qc Th¬


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 5.

5.1. Dạng song tuyến tính

5.1.1. Định nghĩa. Cho V là

R

kgvt n chiều. Một dạng song

tuyến tính trên V là ánh xạ

: V × V −→ R, (x, y) 7→ ϕ(x, y)
tháa m·n các điều kiện sau:
0

0

(x + x , y) = (x, y) + ϕ(x , y)
2). ϕ(λx, y) = λϕ(x, y)
0
0
3). ϕ(x, y + y ) = ϕ(x, y) + ϕ(x, y )
4). ϕ(x, β y) = βϕ(x, y)
0
0
víi ∀α, β ∈ R vµ ∀x, x , y, y ∈ V.
Chó ý 1. ã Một dạng song truyến tính trên V là một hàm hai biến
1).

trên V nhận giá trị thực và khi cố định một biến thì nó tuyến tính
theo biến còn lại. Cụ thể:
TS. Nguyễn Quốc Thơ

Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 5.

5.1. Dạng song tuyến tính

V là phần tử cố định thì ánh xạ x : V R xác
định bởi: x (y) = (x, y), y V là ánh xạ tuyến tính.
+) Nếu y V là phần tử cố định thì ánh xạ y : V R xác
định bởi: y (x) = (x, y), x V là ánh xạ tuyến tính.
ã Có thể ghép điều kiện 2) và 4) ở Định nghĩa 5.1.5 thành điều
kiện
(x, y) = (x, λy) = λϕ(x, y) ∀λ ∈ R, ∀x, y, ∈ V.
2
2
Ví dụ 1. Cho ánh xạ : R ì R R, xác định bởi
(x, y) = x1 y1 + x2 y2 , ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 .
2
Khi ®ã là một dạng song tuyến tính trên R .
+) Nếu x

Lời giải. Dễ dàng ta kiểm tra được 4 điều kiện của Định nghĩa

5.1.5 thỏa mÃn.

TS. Nguyễn Quốc Thơ

Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 5.

5.1. Dạng song tuyến tính
5.1.2. Ma trận và biểu thức tọa độ của dạng song tuyến tính.
Giả sử

: V ì V R là dạng song tuyến tính trên không gian
= {e1 , e2 , . . . , en } lµ một cơ sở của V.

vectơ n chiều V và E

ã §Ỉt
ϕ(ei , ej ) = aij ,

, = 1, 2, . . . , n.

i j

= [aij ]n lµ ma trận vuông cấp n và được gọi là ma trận
đối với cơ sở E.
ã Cho hai vectơ x, y ∈ V. Gi¶ sư (x1 , x2 , . . . , xn ) vµ (y1 , y2 , . . . , yn )
tương ứng là tọa độ của x, y đối với cơ sở E. Nghĩa là:
Ký hiệu A
cđa

x

=

n
X
i=1

TS. Ngun Qc Th¬

i i,

xe

y

=

n
X
j= 1

j j

ye


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 5.

5.1. Dạng song tuyÕn tÝnh

Khi ®ã, ta cã

n
P
aij xi yj
yj ej
=
xi ei ,
ϕ(x, y) = ϕ
i ,j = 1
j=1
i=1
 
 
x1

Ký hiÖu

n
P

n
P

x2 

 
[x] =  .  ,
 .. 
n

x

!

(1)

y1

y2 
 
[y] = .
..
n

y

tương ứng là các ma trận cột

T=

tọa độ của x, y đối với cơ sở E và [x]



x1

x2

...

n

x



là ma

trận chuyển vị của [x].

(1) được viết dưới dạng ma trận là:
(x, y) = [x]T A[y]
(2)
(1) hoặc (2) gọi là biểu thức tọa độ của

Khi đó biểu thức
Biểu thức
sở E.

TS. Nguyễn Quốc Thơ

đối với cơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 5.

5.1. Dạng song tuyến tính

: R2 ì R2 R xác định
2
bởi: ϕ(x, y) = x1 y1 − x1 y2 + x2 y2 , ∀x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) R .
HÃy xác định ma trận của đối với cơ sở
E = {e1 = (1, 1), e2 = (1, 0)}.
Lêi gi¶i. Gi¶ sư A = [aij ]2 là ma trận của đối với cơ sở E của
R2 , khi đó aij = (ei , ej ), ∀i, j = 1, 2. Ta cã
+) a11 = ϕ(e1 , e1 ) = ϕ((1, 1), (1, 1)) = 1
+) a12 = ϕ(e1 , e2 ) = ϕ((1, 1), (1, 0)) = 1
+) a21 = ϕ(e2 , e1 ) = ϕ((1, 0), (1, 1)) = 0
+) a22 = ϕ(e2 , e2 ) = ϕ((1, 0), (1, 0)) = 1



VÝ dơ 2. Cho d¹ng song tun tÝnh

VËy ma trận của

TS. Nguyễn Quốc Thơ

đối với E là: A =

1

1

0

1


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 5.

5.1. Dạng song tuyến tính


Ví dụ 3. Giả sử A

=

2
1


1
3

: R2 ì R2 −→ R ®èi
biĨu thøc täa ®é cđa ϕ.

tÝnh

, ∈

Lêi giải. Giả sử x y

là ma trận của dạng song tuyến

với cơ sở chính tắc của

R2 . Ký hiệu

R2 . Xác

 
[x] =

x1
x2

định

 
,

[y] =

y1
y2

tương

ứng là các ma trận cột tọa độ của x, y đối với cơ sở chính tắc của

R2 .

Khi đó theo công thức xác định biểu thức tọa độ của dạng

T
song tuyến tính ta có: (x, y) = [x] A[y] =

=



2x1

VËy

+ x2 −x1 − 3x2





x1



2
1

 
−1 y1
−3 y2

 
y1
y2

= 2x1 y1 − x1 y2 + x2 y1 − 3x2 y2 .

ϕ(x, y) = 2x1 y1 − x1 y2 + x2 y1 − 3x2 y2 .

TS. NguyÔn Quèc Th¬

x2




Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 5.

5.1. Dạng song tuyến tính
5.1.3. Chuyển cơ sở. Giả sử E, U là hai cơ sở của V. Đặt A, B

tương ứng là ma trận của



đối với cơ sở E, U và C là ma trận

chuyển từ cơ sở E qua cơ sở U. Khi đó ta có

T

trong đó C

B

= CT AC

là ma trận chuyển vị của C.

Vì C là ma trận không suy biÕn, nªn tõ hƯ thøc B
ra rank(A)

= CT AC suy

= rank(B). Nh­ vËy h¹ng cđa ma trËn cđa mét dạng

song tuyến tính không phụ thuộc vào việc chọn cơ sở của V.
5.1.4.

Định nghĩa.

Hạng của một dạng song tuyến tính

là hạng của ma trận của



theo một cơ sở tùy ý của không

gian vectơ V. Dạng song tuyến tính

được gọi là không suy biến
nếu hạng của bằng số chiều cđa V.
Nh­ vËy: ϕ kh«ng suy biÕn ⇔ Ma trËn của không suy biến.

TS. Nguyễn Quốc Thơ


Giới thiệu môn học

Tài liệu tham khảo

Chương 5.

5.1. Dạng song tuyÕn tÝnh

VÝ dô 4. Cho A



−1

= 3
2

ϕ : R3 −→ R3
hạng của .

tuyến tính

Lời giải.

0
1

1

2



1

là ma trận của dạng song

0

đối với cở sở chính tắc của

R3 .

Tìm

Theo Định nghĩa 5.1.4 thì hạng của một dạng song

tuyến tính chính là hạng của ma trận của nó. Do đó để tìm hạng

ta đi tìm
h¹ng cđa ma
trËn A.

−1 0
2







3
1
−
1
= −9 6= 0. Do ®ã rank(A) = 3.
Ta thÊy |A| =

2 −1 0