Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 1

Lời nói đầu

Sự phát triển nhanh chóng của công nghệ thông tin, đặc biệt là sự xuất hiện của các hệ
thống siêu máy tính có tốc độ tính toán nhanh đã mở ra một phƣơng pháp mới trong
nghiên cứu khoa học. Các kỹ thuật sử dụng máy vi tính nhằm giải quyết các vấn đề vật lý
thay cho các phƣơng pháp cũ đã rất phát triển. Trong lĩnh vực nghiên cứu điện từ trƣờng,
sử dụng phƣơng pháp đa cực nhanh (FMM) trên máy tính nhằm giải quyết nhanh các bài
toán dữ liệu đầu vào khổng lồ đã đóng một vai trò vƣợt trội hơn so với các phƣơng pháp
khác.
Phƣơng pháp đa cực nhanh là một kỹ thuật toán học đƣợc phát triển để tăng tốc độ tính
toán trong vấn đề N-body. Thuật toán thực hiện bằng cách mở rộng hàm Green sử dụng
sự mở rộng đa cực, trong đó cho phép một nhóm các nguồn nằm gần nhau và đối xử với
họ nhƣ thể họ là một nguồn duy nhất.
FMM cũng đã đƣợc áp dụng trong việc tăng tốc độ tính toán của phƣơng pháp Moment
(MOM) cũng nhƣ áp dụng cho vấn đề tính toán trƣờng điện từ. Năm 1985, FMM lần đầu
tiên đƣợc giới thiệu bởi Greengard và Rokhlin, dựa trên việc mở rộng đa cực của các
phƣơng trình Helmholtz dạng vector. Nếu FMM đƣợc áp dụng một cách có thứ bậc, nó có
thể cải thiện sự phức tạp của tích vector ma trận từ O(N
2
) xuống O(N). FMM cũng đã
đƣợc áp dụng một cách hiệu quả trong các bài toán tƣơng tác Coulomb hay động lực học
phân tử. FMM đƣợc coi là một trong những thuật toán hàng đầu của thế kỷ 20
Mục đích chính của đồ án này là nghiên cứu các bƣớc thực hiện phƣơng pháp đa cực
nhanh, từ đó sử dụng phần mềm Matlab tính toán các thông số về thời gian, tốc độ tính
toán trong bài toán tƣơng tác trƣờng điện từ.
Em xin cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Điện tử - Viễn thông, cũng nhƣ các thầy cô
giáo tại trƣờng Đại học Bách Khoa Hà Nội đã truyền đạt những kiến thức quý báu, cần

thiết của một kỹ sƣ tƣơng lai, giúp em chuẩn bị bƣớc vào môi trƣờng nghiên cứu hay làm
việc sau này. Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới TS. Phạm Thành Công, thầy
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 2

giáo trực tiếp hƣớng dẫn em làm đồ án tốt nghiệp, đã góp ý và cho em những lời khuyên
quí báu. Bên cạnh đó, em cũng chân thành cảm ơn PGS. Đào Ngọc Chiến đã định hƣớng
nghiên cứu cho em về đề tài này và nhiệt tình giúp đỡ em về mọi mặt, tạo điều kiện cho
em đƣợc học tập, nghiên cứu và làm đồ án tại phòng Nghiên cứu và Phát triển Truyền
thông CRD – phòng 607, 608 thƣ viện Tạ Quang Bửu. Cuối cùng, em xin cảm ơn tới gia
đình và bạn bè đã tạo nguồn khích lệ lớn giúp em hoàn thành đồ án.
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 3

Tóm tắt đồ án

Mục đích của đồ án là nghiên cứu về phƣơng pháp đa cực nhanh trong tính toán trƣờng
điện từ. Từ đó đƣa ra chƣơng trình tính toán các thông số về thời gian thực thi, tốc độ tính
toán…bằng chƣơng trình Matlab đối với phƣơng pháp đa cực nhanh và đối với cách tính
cổ điển. Cụ thể, đồ án sẽ đƣa ra lý thuyết cơ bản về trƣờng điện từ (Hệ phƣơng trình
Maxwell, định lý Green,…), các bƣớc thực hiện tính toán trƣờng điện từ bằng phƣơng
pháp đa cực nhanh. Cuối cùng, đồ án sẽ đƣa ra các chƣơng trình tính toán: điện thế, vi
phân điện thế, thời gian thực thi, tốc độ tính toán, dung lƣợng bộ nhớ sử dụng… bằng
Matlab, và so sánh các kết quả theo cách tính bằng FMM và cách tính cổ điển.
Đồ án đƣợc trình bày trong 3 chƣơng:
Chƣơng 1: Lý thuyết cơ bản về trƣờng điện từ
Chƣơng 2: Lý thuyết về phƣơng pháp đa cực nhanh
Chƣơng 3: Tính toán và mô phỏng bằng Matlab

Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 4

Abstract

The purpose of my thesis is research about Fast Multipole Method (FMM) in calculating
electromagnetics field. It present programmes to compute parameters about the execution
time, calculating speed…with Matlab. Namely, this thesis introduces a brief review of
electromagnetics (Maxwell equations, Green’s function…), the steps for calculating
electromagnetics by FMM. At the end, it presents programmes to compute and model: the
potential, the gradient of the potential, the execution time, calculating speed …with
Matlab and analyses the results by using different methods: FMM and classic method.
My thesis includes 3 chapters, in which:
Chapter 1: Basical theory about Electromagnetics
Chapter 2: Theory about Fast Multipole Method
Chapter 3: Computing and modeling with Matlab

Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 5



Mục lục
Danh mục các hình vẽ 6
Danh mục các bảng 7
Danh sách các từ viết tắt 8
Chƣơng 1: LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ TRƢỜNG ĐIỆN TỪ 9
1.1 Hệ phƣơng trình Maxwell 9
1.2 Phƣơng trình thế 11
1.3 Điều kiện biên của bề mặt 15
1.4 Định lý Green, hàm Green, và nghiệm cơ bản 17
1.4.1 Định lý Green 17
1.4.2 Sự tƣơng đƣơng vector định lý Green 20
1.4.3 Hàm Green 21
1.4.4 Nghiệm cơ bản 24
1.4.5 Biểu diễn phƣơng trình tích phân với điểm quan sát nằm trên biên 26
Chƣơng 2. THUẬT TOÁN KHAI TRIỂN ĐA CỰC NHANH 31
2.1 Thuật toán khai triển đa cực nhanh (FMM) 31
2.1.1 Giới thiệu phƣơng pháp FMM 31
2.1.2 Phƣơng pháp FMM trong bài toán tính cƣờng độ điện 32
2.1.3 Các bƣớc thực hiện phƣơng pháp FMM 39
CHƢƠNG 3 51
TÍNH TOÁN VÀ MÔ PHỎNG BẰNG MATLAB 51
3.1 Kí hiệu các thông số. 51
3.1.1 Các thông số đầu vào. 51

3.1.2: Các thông số đầu ra 51
3.2 Xây dựng và tính toán cho mô hình điểm nguồn và đích nằm trong hình tròn 51
3.2.1 Giá trị các tham số đầu vào. 51
3.2.1Giá trị các tham số đầu ra 53
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 6

3.3 Xây dựng và tính toán cho mô hình điểm nguồn và đích nằm trong hình vuông. 60
3.3.1Giá trị các tham số đầu vào. 60
3.3.2Giá trị các tham số đầu ra. 60
Kết luận 67
Tài liệu tham khảo: 68

Danh mục các hình vẽ
Chƣơng 1
Hình 1.1 Điều kiện biên. 16
Hình 1.2 Miền khối bao quanh bởi mặt kín. 19
Hình 1.3 Hai loại hàm giới hạn. 26
Hình 1.4 Trục toạ độ của hàm giới hạn cho không gian 2 chiều. 29

Chƣơng 2
Hình 2. 1 Hai tập hợp hạt đủ xa trên mặt phẳng 35
Hình 2. 2 Dịch chuyển tâm của khai triển đa cực. 38
Hình 2. 3 Ý tƣởng tính lực xấp xỉ trong FMM 40
Hình 2. 4 Phân mảnh không gian và chỉ số thứ tự Morton, L=2 41
Hình 2. 5 Ví dụ về phân mảnh không gian và đánh số hộp, L=3 41
Hình 2. 6 Một vài mức phân chia trong FMM 42
Hình 2. 7 Các miền xếp theo thứ bậc không gian 44
Hình 2. 8 Pha M2M trong thuật toán FMM. 45

Hình 2. 9 Danh sách hàng xóm và danh sách tƣơng tác. 45
Hình 2. 10 Pha M2L trong thuật toán FMM. 46
Hình 2. 11 Pha L2L trong thuật toán FMM. 47
Chƣơng 3
Hình 3. 1 Vị trí điểm nguồn, điểm đích trong mô hình 1 53
Hình 3. 2 Cƣờng độ điện thế tại 1 số điểm nguồn trong mô hình 1 55
Hình 3. 3 Giá trị điện thế tại 1 số điểm đích trong mô hình 1 57
Hình 3. 4 Thời gian tính toán theo 2 cách 58
Hình 3. 5 Số phép tính/s theo 2 cách tính. 59
Hình 3. 6 Vị trí các điểm nguồn, điểm đích trong mô hình 2 60
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 7

Hình 3. 7 Điện thế tại 1 số điểm nguồn trong mô hình 2 62
Hình 3. 8 Điện thế tại 1 số điểm đích trong mô hình 2 64
Hình 3. 9 Thời gian tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 2 65
Hình 3. 10 Tốc độ tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 2 66

Danh mục các bảng
Bảng 1. 1 Nghiệm cơ bản của các phƣơng trình vi phân trong trƣờng điện từ. 25

Bảng 3. 1: Các thông số đầu vào 51
Bảng 3. 2: Các thông số đầu ra 51
Bảng 3. 3: Giá trị các tham số đầu vào trong mô hình 1. 53
Bảng 3. 4: Giá trị 1 điện thế 1 số điểm nguồn trong mô hình 1 54
Bảng 3. 5: Giá trị điện thế tại 1 số điểm đích trong mô hình 1. 56
Bảng 3. 6: Thời gian tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 1 58
Bảng 3. 7: Tốc độ tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 1 59
Bảng 3. 8: Giá trị các tham số đầu vào trong mô hình 2. 60

Bảng 3. 9: Giá trị điện thế tại 1 số điểm nguồn trong mô hình 2 61
Bảng 3. 10: Giá trị điện thế tại 1 số điểm đích trong mô hình 2 63
Bảng 3. 11: Thời gian tính toán khi thay đổi số điểm nguồn trong mô hình 2 64
Bảng 3. 12: Tốc độ tính toán khi thay đồi số điểm nguồn trong mô hình 2 65
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 8

Danh sách các từ viết tắt

FMM
Fast multipole method
Phƣơng pháp đa cực nhanh
SP
Space partition
Phân mảnh không gian
UP
Upward pass
Pha lên
DP
Downward pass
Pha xuống
M2L
Multipole to local
Chuyển đồi đa cực- địa phƣơng
M2M
Multipole to multipole
Chuyển đồi đa cực- đa cực
L2L
Local to local

Chuyển đồi địa phƣơng- địa phƣơng
MoM
Method of Moment
Phƣơng pháp moment
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 9

Chƣơng 1: LÝ THUYẾT CƠ BẢN VỀ
TRƢỜNG ĐIỆN TỪ
1.1 Hệ phương trình Maxwell

Trong không gian tự do hệ phƣơng trình Maxwell và các phƣơng trình liên quan đƣợc
biểu diễn nhƣ sau:
J
D
Η 



t

(1.1)
t


B
E

(1.2)

0 B

(1.3)
ρ D

(1.4)
HB
0



(1.5)
ED
0



(1.6)
Đối với các vật liệu dẫn điện, định luật bảo toàn điện tích đƣợc biểu diễn bởi quan hệ:

(1.7)
Mật độ dòng
J
và cƣờng độ điện trƣờng
E
liên hệ với nhau bởi định luật Ôm :
EJ



(1.8)
0



t

J
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 10

Nếu vật dẫn chuyển động trong từ trƣờng thì điện trƣờng tổng cộng phải bao gồm thêm
thành phần
v
E
đƣợc sinh ra do hiệu ứng chuyển động:
BE  v
v

(1.9)
Trong các phƣơng trình này
E
,
H
tƣơng ứng là các véc tơ từ trƣờng và điện trƣờng.
B
,
D
là các véc tơ mật độ thông lƣợng từ và mật độ thông lƣợng điện.

J
là mật độ dòng
điện dẫn, ρ là mật độ điện tích. Cuối cùng, ε
0
, μ
0
là hệ số điện môi và hệ số từ thẩm trong
không gian tự do,γ là hệ số phụ thuộc tính dẫn điện của môi trƣờng.


Đối với vật liệu điện môi và vật liệu từ thì véc tơ
phân cực
P
và véc tơ từ hoá
M
đƣợc định nghĩa:
HBM
EDP
0


0
1



(1.10)
Các phƣơng trình Maxwell đƣợc biểu diễn lại nhƣ sau:
t



B
E

(1.11)

(1.12)
0 B

(1.13)
 
PE 


0
1



(1.14)

 
12
0
8,854.10 F/m



7
0

4 .10 [H/m]

















 M
P
J
E
B
tt
000

Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 11

1.2 Phương trình thế

Trường phụ thuộc thời gian biến đổi nhanh
Khi trƣờng phụ thuộc vào thời gian biến đổi nhanh thì điện trƣờng và từ trƣờng ảnh
hƣởng tƣơng hỗ lẫn nhau. Trƣờng phân bố phụ thuộc cả vảo thời gian và vị trí,
H
(r,t),
B
(r,t). Từ trƣờng thay đổi theo thời gian sinh ra điện trƣờng xoáy và điện trƣờng thay đổi
theo thời gian sinh ra từ trƣờng xoáy. Nhƣ vậy điện trƣờng và từ trƣờng sinh ra là đại
lƣợng động.
Trong môi trƣờng không suy hao và miền nguồn không gian tự do rất dễ dàng nhận thấy
rằng
E
và
H
thoả mãn phƣơng trình sóng. Đối với
E
, từ phƣơng trình (1.2) ta có:
0
2
2
2




t
E
E



(1.15)
Đây là phƣơng trình sóng của
E
. Tƣơng tự, ta thu đƣợc phƣơng trình sóng của
H
từ
phƣơng trình (1.1):
0
2
2
2




t
H
H


(1.16)
Khi giải phƣơng trình Maxwell để thuận tiện ta định nghĩa hàm vô hƣớng φ và hàm vector
thế
A
thoả mãn :






t
A
E

(1.17)
AB 

(1.18)
Thay (1.17) và (1.18) vào (1.1) và (1.2) ta đƣợc:







2
2
2
t

(1.20)
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 12

J
A

A





2
2
2
t

(1.21)
Do
E
và φ là các hàm tuỳ ý nên ta có thể chọn chúng sao cho :
t




A

(1.22)
Trong môi trƣờng suy hao thì phƣơng trình sóng sử dụng dạng sau :








t
A

(1.23)
Cuối cùng phƣơng trình sóng thu đƣợc có dạng :












t
t
2
2
2

(1.24)
A
AA
A









t
t
2
2
2



(1.25)
Phƣơng trình (1.23) và (1.24) đƣợc dùng để tính toán sóng bức xạ của anten, trƣờng tán
xạ của vật liệu và sự truyền sóng trong ống dẫn sóng hay các thiết bị điện tử khác.
Trường cân bằng:
Khi bài toán đƣợc xét trong điều kiện trƣờng biến đổi theo thời gian rất chậm thì trạng
thái cân bằng xấp xỉ đƣợc sử dụng. Tiêu chuẩn đƣợc gọi là chậm nếu nó thoả mãn điều
kiện sau:




ω là tần số của tín hiệu hình sin.
Tiêu chuẩn này có nghĩa rằng dòng dẫn chiếm ƣu thế và dòng dịch có thể đƣợc bỏ qua.
Do đó, từ trƣờng xoáy sinh ra bởi điện trƣờng không tồn tại. Không có mối liên hệ giữa
sự thay đổi vị trí và biến đổi theo thời gian của trƣờng. Vì vậy không có sự truyền sóng.
Thông thƣờng, trong các bài toán trƣờng cân bằng đại lƣợng

),( trE
,
),( trH
,
),( trJ
và
),( tr

là hàm điều hoà của thời gian. Do đó trƣờng phân bố chỉ phụ thuộc vào vị trí và sự
trễ pha tại từng vị trí trong không gian.
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 13

Trong trƣờng hợp này các phƣơng trình Maxwell đƣợc rút gọn thành :
JΗ 

(1.26)
BE

j

(1.27)
0 B

(1.28)
0 D

(1.29)
Khi μ, γ là hằng số thì

E
và
H
tuân theo phƣơng trình truyền parabol:
EE
HH


j
j


2
2

(1.30)
Trong trƣờng hợp nhƣ vậy để thuận tiện ta giả thiết sự tồn tại của véc tơ từ thế
A
và véc
tơ điện thế
T
. Việc xác định
A
và
T
xuất phát trực tiếp từ hệ phƣơng trình Maxwell
0 B
và
0 J
:






TJ
AB

(1.31)
Theo định luật Ampe thì mối quan hệ giữa cƣờng độ từ trƣờng
H
và véc tơ điện thế
T
là :
 TH

(1.32)
Trong đó Ω là thế từ vô hƣớng. Phƣơng trình (1.32) đƣợc suy ra từ phƣơng trình (1.26),
(1.31) và phƣơng trình
0
.
Phƣơng trình vi phân của 2 véc tơ thế có thể thu đƣợc bằng cách thay phƣơng trình (1.17),
(1.18) và (1.32) vào hệ phƣơng trình Maxwell, sau vài biến đổi đơn giản ta có hai phƣơng
trình sau:
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 14

s
j JAA 












1

(1.33)
0
1












jj TT

(1.34)
trong đó
s
J
là mật độ dòng mặt.
Ứng dụng quan trọng nhất của trạng thái xấp xỉ cân bằng là để xác định sự phân bố của
dòng xoáy trong vùng dẫn và trong lõi kim loại. Tuỳ thuộc vào hằng số vật liệu, sự xấp xỉ
có thể có giá trị đến khoảng tần số của tia X.
Trường tĩnh và gần tĩnh:
Các đại lƣợng trƣờng tĩnh ρ,
J
,
E
,
H
là độc lập với thời gian, ví dụ
0/  t
và trƣờng
phân bố chỉ là hàm của vị trí. Nếu tần số đủ nhỏ thì điện trƣờng xoáy sinh ra bởi từ trƣờng
của dòng dịch là rất nhỏ. Trƣờng phân bố trong trƣờng hợp này thực tế gọi là phân bố tĩnh
hay gần nhƣ là tĩnh. Tiêu chuẩn của gần tĩnh là L>> λ trong đó λ là bƣớc sóng, L là kích
thƣớc vùng trƣờng.
Trong trƣờng hợp trƣờng tĩnh và gần tĩnh hệ phƣơng trình Maxwell đƣợc rút gọn thành :
t




J D 0E
(1.35)

0J 0B JH 
(1.36)
Dựa vào phƣơng trình
00  B ,E
cả điện thế, từ thế vô hƣớng φ, φ
m
và véc tơ từ
thế
T
đƣợc biểu diễn dƣới dạng :
m





H
AB
E
(1.37)
Từ phƣơng trình (1.35), (1.36), và (1.37) Ta thu đƣợc hệ phƣơng trình Poisson và Laplace
:
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 15

0
2
2
2




m





JA
(1.38)
Thông thƣờng trong trƣờng tĩnh và gần tĩnh thì tiêu chuẩn Coulomb đƣợc thoả mãn nhƣ
sau:
0 A


1.3 Điều kiện biên của bề mặt

Tại bề mặt của các vật liệu khác nhau dạng tích phân của hệ phƣơng trình Maxwell đƣợc
rút gọn lại thành:
 
 
 
 
 
t
n
n
n
n

n









21
21
21
21
21
0
0
JJ .
KHH .
EE
DD .
BB .
(1.39)
Trong đó
n
là véc tơ chuẩn đơn vị của bề mặt trong hình 1.1,
,
1
E
,

1
D
,
1
B
,
1
H
1
J
và
,
2
E
,
2
D
,
2
B
,
2
H
,
2
J
là của trƣờng ở 2 phía của bề mặt, đồng thời
,E
và σ là mật độ của dòng
mặt và thế mặt.

1 1 1
,,
  

2 2 2
,,
  

+
-


n
K
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 16

Hình 1.1 Điều kiện biên.

Nếu véc tơ thế điện vô hƣớng đƣợc coi nhƣ là một biến thì điều kiện biên giữa 2 mặt là :



















nn
2
2
1
1
21
(1.40)
Do sự dịch chuyển đối xứng đối với từ trƣờng, điều kiện biên bề mặt là :
(1.41)
Nếu các bài toán từ trƣờng đƣợc xét đến trong không gian 3 chiều thì véc tơ từ thế
A
đƣợc phân tích làm 3 thành phần :

sAtAAA
stn
n 

Trong đó
stn
AAA ,,

là 3 thành phần của
A
,
t
và
s
là 2 véc tơ đơn vị trực giao với véc
tơ chuẩn hƣớng
n
. Với tiêu chuẩn Coulomb thành phần chuẩn
n
A
thoả mãn:
nn 21
AA 

Tính liên tục của thành phần tiếp tuyến của cƣờng độ từ trƣờng
H
đƣợc biểu diễn bằng
biểu thức sau:




















2
2
1
1
11
AA

nn
(1.42)
Phƣơng trình trên có thể đƣợc phân tích thành 2 phƣơng trình :
tnn
ntt
































 AAA
1
2
1
2
2
1
1





(1.43)
snn
nss
































 AAA
1
2
1
2
2
1
1




(1.44)












nn
2
2
1
1
21
11 AA
AA

Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 17

Phƣơng trình (1.43) và (1.44) chỉ ra rằng các điều kiện biên cho từ trƣờng 3 chiều là phức tạp hơn so với
trƣờng vô hƣớng. Do đó sự lựa chọn mô hình toán học xấp xỉ đối với biến chƣa biết và tiêu chuẩn biên là
phƣơng pháp chính để giải bài toán trƣờng điện từ trong không gian 3 chiều.
1.4 Định lý Green, hàm Green, và nghiệm cơ bản

Phƣơng pháp phƣơng trình tích phân biên phù hợp cho việc phân tích số học của bài toán
trƣờng điện từ, do chúng chỉ phụ thuộc duy nhất vào sự mô hình hoá của biên và các bề
mặt tiếp giáp. Hàm Green và các nghiệm chung là những hàm cơ bản sử dụng trong
phƣơng pháp phƣơng trình tích phân. Những phƣơng trình tích phân của bài toán đƣợc
sinh ra từ những phƣơng trình vi phân sử dụng định lý Green.
1.4.1 Định lý Green

Định lý Green là một trong những định lý hữu dụng nhất để giải bài toán trƣờng điện từ.
Nhiều phƣơng pháp đƣợc đƣa ra trong đó bao gồm cả những phƣơng pháp cổ điển cũng
nhƣ các phƣơng pháp số học đều dựa trên định lý Green. Nó có thể thu đƣợc một cách

trực tiếp từ lý thuyết phân rã.


 S
Sdd AA
(1.45)
Trong đó Ω là miền bao quanh bởi mặt kín S.
A
là hàm véc tơ của vị trí. Giả thiết u và v
là 2 hàm vô hƣớng bất kỳ của vị trí. Nếu u, v cùng vi phân bậc nhất, bậc hai của chúng
liên tục trong không gian Ω và trên bề mặt S thì ta có đƣợc biến đổi sau theo định lý
Divergence:


 S
nSdvudvu )()(
(1.46)
n
là chuẩn véc tơ đơn vị ngoài của bề mặt S. Với S = Sn, Sử dụng phƣơng trình véc tơ:

vuvuvu 
2
)(
(1.47)
và chú ý rằng:
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 18

n

v
unvu



(1.48)
định lý Divergence đƣợc chuyển thành dạng :




 S
dS
n
v
udvuvu )(
2
(1.49)
(Đây là dạng thứ nhất của định lý Green.)
Nếu vai trò của u và v trong phƣơng trình (1.49) đƣợc hoán đổi thì kết quả là:




 S
dS
n
u
vdvuuv )(
2

(1.50)
Phƣơng trình này là dạng đối xứng của (1.49) Nếu trừ vế với vế của (1.49) và (1.50) ta
đƣợc phƣơng trình sau :













 S
dS
n
u
v
n
v
uduvvu )(
22
(1.51)
(Đây là định lý Green dạng thứ 2 thƣờng đƣợc biết đến nhƣ định lý Green).
Nó là định lý tích phân bao gồm Gradient của hàm bị tích. Ý nghĩa của định lý
Divergence là chuyển từ tích phân khối thành tích phân mặt.
Trong trƣờng hợp đặc biệt nếu để u = v và u là nghiệm của phƣơng trình Laplace thì

phƣơng trình (1.49) trở thành:




 S
dS
n
u
udu
2
)(
(1.52)
Ý nghĩa của định lý Green là thế tại một điểm cố định P(r) trong khối Ω có thể đƣợc biểu
diễn dƣới dạng tích phân khối cộng với tích phân trên bề mặt S nhƣ sau :




















 S
dS
RnnR
d
R
r
r
11
4
1)(
4
1
)(
,






(1.53)
Đây là phƣơng trình tích phân của thế φ(r) nó không đƣa ra nghiệm của thế. Trong
phƣơng trình này ρ(r’) là mật độ điện tích khối, R = |r– r’|, Ω là khối đƣợc bao quanh bởi
mặt kín S chỉ ra trong hình 1.2.
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 19



Hình 1.2 Miền khối bao quanh bởi mặt kín.

Phƣơng trình (1.53) biểu diễn thế ρ(r) trong khối Ω đƣợc quyết định bởi mật độ khối của
nguồn ρ(r’) trong mặt S và thế φ cùng vi phân chuẩn thứ nhất ∂φ/∂n cuả nó trên bề mặt S.
Nếu không có điện tích trong khối Ω thì thế trong khối đƣợc quyết định bởi thế φ cùng vi
phân chuẩn trên bề mặt S.



















S

dS
RnnR
r
11
4
1
)(




(1.54)
Nhƣ vậy tích phân bề mặt trong phƣơng trình (1.53) biểu diễn sự phân bố của nguồn
ngoài mặt S. Hay nói cách khác điều kiện biên biểu diễn sự phân bố của nguồn ngoài mặt
S. Kết luận này ngụ ý rằng điều kiện biên có thể được biểu diễn bởi một nguồn ngoài
tương đương. Nếu không có nguồn ngoài thì tích phân mặt sẽ biến mất. Kiểm tra lại
phƣơng trình (1.51) chỉ ra rằng nếu hàm u là một hàm điều hoà (ví dụ là nghiệm của
phƣơng trình Laplace ) và v = 1 thì dạng 2 của định lý Green sẽ rút gọn thành :

0



S
dS
n
u
(1.55)
z
x

y

(x.y,z)

(x’,y’,z’)
r
r’


S
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 20

Điều này có ý nghĩa là nếu u là thế của điện trƣờng và với giả thiết điều kiện biên
Neumann
g
n
u
S



thì hàm g phải thoả mãn điều kiện sau:

0

S
gdS

1.4.2 Sự tương đương vector định lý Green

Trong mục này ta đƣa ra phƣơng trình tích phân trong đó véc tơ thế
A
đƣợc coi nhƣ chƣa
biết. Giả thiết
P
và
Q
là hàm véc tơ liên tục của vị trí trong khối kín Ω bao quanh bởi
mặt S cả
P
,
Q
và vi phân từng phần bậc nhất, bậc hai của nó đều tồn tại trên mặt S và
khối Ω. Sử dụng định lý Divergence ta có:
   


 S
dSd QPQP
(1.57)
Phân tích tích phân khối sử dụng biến đổi sau:
 
BAABBA 
(1.58)
Ta thu đƣợc:
   



 S
ndSd QPQPQP
(1.59)
Đây là véc tơ tƣơng tự dạng vô hƣớng của định lý Green dạng thứ nhất.
Bằng cách biến đổi tƣơng tự ta cũng thu đƣợc véc tơ tƣơng tự vô hƣớng của định lý Green
dạng thứ hai.
   


 S
dSnd PQQPQPPQ
(1.60)
Áp dụng dạng véc tơ của định lý Green phƣơng trình tích phân cho véc tơ thế
A
là :
   
dS
R
n
R
n
R
n
d
R
r
r
S

























11
4
1)'(
4
)(
0
AA
AJ

A


(1.61)
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 21

1.4.3 Hàm Green

Trong môi trƣờng tuyến tính đồng nhất và đẳng hƣớng hàm Green là hàm đáp ứng chỉ ra
mối liên quan giữa trƣờng tại một điểm (r) với nguồn điểm tại (r’). Do đó hàm Green là
một hàm rất quan trọng trong phân tích trƣờng.
a. Hàm Dirac-Delta
Nhắc lại định nghĩa hàm Dirac-Delta:










'1)'(
'0)'(
rrdrrr
rrrr



(1.62)
Do đó:


 drrrfrf )',()()'(

(1.63)
trong đó
)'()'()'()',( zzyyxxrr 


Với phƣơng trình toán tử bất kỳ
(1.64)
Hàm u có thể đƣợc biểu diễn nhƣ sau:


 drrrfru )',()'()(

-1
L
(1.65)
Trong đó L biểu diễn một toán tử bất kỳ (ví dụ với phƣơng trình Poisson
2
L
) và L
-1
là

toán tử ngƣợc của toán tử L. Thứ tự của phép tích phân ∫ và L có thể đổi chỗ cho nhau do
toán tử L
-1
không phụ thuộc vào biến r’.Phƣơng trình (1.65) chỉ ra rằng nếu L
-1
δ(r,r’) đã
biết thì hàm u(r) có thể tìm đƣợc.
b. Hàm Green
Nếu cho rằng hàm Green là hàmG(r,r’) thoả mãn phƣơng trình sau:

, 1 ,
( , ) ( , )G r r r r


L
(1.66)
 furfru ,)()( L
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 22

điềuđó có nghĩa là hàm Green là nghiệm của phƣơng trình toán tử cho một nguồn xung.
Nhân cả hai vế của phƣơng trình (1.66) với toán tử
L
từ bên trái ta đƣợc phƣơng trình sau
:

,,
( , ) ( , )G r r r r


L
(1.67)
Nếu
L
thì

2 , ,
( , ) ( , )G r r r r

  
(1.68)
Lấy tích phân cả hai vế của phƣơng trình (1.66) thì đƣợc một phƣơng trình biểu diễn toán
tử ngƣợc L
-1
nhƣ sau :

1 1 , ,
( , ) ( , )r r d G r r d



    

LL
(1.69)
Nhƣ vậy toán tử ngƣợc của toán tử vi phân là một toán tử tích phân trong đó hàm Green
là trung tâm. Tuy nhiên hàm Green không đƣợcđịnh nghĩa phù hợp với phƣơng trình
(1.67). Nếu có một hàmg(r) bất kỳ nào thoả mãn Lg = 0 cộng vớiG(r,r’)
~
,,

( , ) ( , ) ( )G r r G r r g r  
thì phƣơng trình (1.67) vẫnđƣợc thoả mãn. Do đóđiều kiện
biên là cần thiếtđể xácđịnh duy nhất một hàm Green.
Hơn nữa nếu nghiệm của phƣơng trình
,,
( , ) ( , )G r r r r

L
dƣớiđiều kiện biên đồng
nhấtđã biết ví dụ làG(r,r’) thì nghiệm của phƣơng trình
ufL
dƣớiđiều kiện biên không
đồng nhất có thể tìmđƣợc. Nguyên nhân là trong định lý Green:

 
S
vu
u v v u d u v dS
nn



   




L
(1.68)
nếuv=G thì phƣơng trình trên trở thành

,
, , , ,
( , ) ( )
( ) ( , ) ( , ) ( ) ( ) ( , )
S
G r r u r
u r r r G r r f r d u r G r r dS
nn





     





(1.69)
Kết hợp (1.63) với (1.69) ta đƣợc phƣơng trình sau:
,
, , ,
( , ) ( )
( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )
S
G r r u r
u r G r r f r d u r G r r dS
nn




    




(1.70)
Do tínhđối xứng của hàm Green G(r,r’)=G(r’,r) phƣơng trình (1.70) trở thành:
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 23

,
, , ,
( , )
( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )
S
G r r u
u r G r r f r d u r G r r dS
nn



    




(1.71)

Phƣơng trình này làđịnh lý Green dạng thứ ba. Trong phƣơng trình (1.71)bao gồm cả giá
trị biên củau và
/un
trên bề mặtS.
Với điều kiện Dirichlet cho
,
( , ) | 0
S
G r r 
thì phƣơng trình (1.71) rút gọn còn:
, , ,
( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )
S
u r G r r f r d u r G r r dS
n


  


(1.72)
Với điều kiện Neumann,
,
( , )/ | 0
S
G r r n  
phƣơng trình rút gọn là:

, , ,
( ) ( , ) ( ) ( , )

S
u
u r G r r f r d G r r dS
n


  


(1.73)
Vớiđiều kiện biên Robin là:

1 2 3
()
( ) ( ) ( ) ( )
S
ur
f r f r u r f r
n






(1.74)
Cho G(r,r’) thoả mãnđiều kiện:

,
,

12
( , )
( ) ( ) ( , ) 0
S
G r r
f r f r G r r
n







Thế phƣơng trình (1.74) vào phƣơng trình (1.72):
, , ,
3
1
1
( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )
S
u r G r r f r d f r G r r dS
f

  

(1.75)
hay
,
,,

3
2
1 ( , )
( ) ( , ) ( ) ( )
S
G r r
u r G r r f r d f r dS
fn


  


(1.76)
Kết luận:
Nếu hàm Green của bất kỳ toán tử nào vớiđiều kiện biên đồng nhấtđã biết thì trƣờng phân
bố sinh ra bởi bất kỳ nguồn phân bố liên tục cóđiều kiện biên không đồng nhất sẽđƣợc
tính toán bởi phƣơng trình tích phân trên. Ví dụ cho phƣơng trình Poisson vàđiều kiện
biên đồng nhất phƣơng trình (1.53) rút gọn thành:
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 24


,
,
0
()
( ) ( , )
r

r G r r d






(1.77)
Phƣơng trình này cho thấy nếu hàm Green của toán tửđƣa ra làđã biết thì nghiệm của bất
kỳ nguồn phân bố nào cũng có thểđƣợc tính toán từ phƣơng trình (1.77). Do đó hàm
Green là công cụ cơ bảnđể phân tích các vấnđề toán lý khác nhau.
Hàm Green của phƣơng trình Poisson trong không gian 3 chiều xét với không gian tự do
là

,
,
0
1
( , )
4
G r r
rr



(1.78)
Đây là nghiệm của phƣơng trình Poisson với nguồn xung đơn vị nếu xétđếnảnh hƣởng
của mặtđất thì

,

1
1 1 1
( , )
4
G r r
RR





(1.79)
trong đó
'R r r
và R
1
là khoảng cách từ nguồn ảnh đến điểm quan sát.
1.4.4 Nghiệm cơ bản

Nếu không chúý tớiđiều kiện biên, nghiệm của phƣơng trình toán tử sinh ra bởi nguồnđơn
vị trong không gian vô hạnđƣợc gọi là nghiệm cơ bản và nó xácđịnh bởi phƣơng trình
sau:

,,
( , ) ( )F r r r r

  L
(1.80)
Trong đó
L

là toán tử bất kỳ. Chúý rằng sự khác nhau giữa hàm Green và nghiệm cơ
bảnđó là hàm Green thì liên quan đếnđiều kiện biên nhƣng nghiệm cơ bản thìđƣợc
xácđinh trong không gian không tự do không có biên. Có thể thay thế hàm Green trong
không gian tự do là nghiệm cơ bản của cùng một toán tử. Nghiệm cơ bản của phƣơng
trìnhLaplace trong không gian 2 chiều và 3 chiều có thểđƣợc giải nhƣ sau:
Trong hệ toạđộ cực 2 chiều phƣơng trìnhLaplaceđƣợc khai triển thành:

1
0
d du
r
r dr dr




(1.81)
Phương pháp đa cực nhanh trong tính toán trường điện từ

Sinh viên: Nguyễn Trung Thành – Lớp KSTN – ĐTVT – K52 25

thì nghiệm là

12
lnu C r C
(1.82)
Trong không gian 3 chiều nghiệm của
2
0
d du

r
dr dr




là

1
2
C
uC
r

(1.83)
Với
1 2 1 2
1, 0; 1, 0C C C C    
trong các phƣơng trình (1.82) và (1.83) thì nghiệm cơ
bản của phƣơng trìnhLaplace 2-D và 3-D lần lƣợt là:

,
,
1
( , ) ln
1
( , )
F r r
R
F r r

R


(1.84)
Phƣong trình cơ bản
Nghiệm cơ bản
2-D
3-D
Phƣơng trình Laplace
2
0F

  

,
11
ln
2
F
rr




,
11
4
F
rr





Phƣơng trình Helmohltz
 
 
22
22
0kF
kj

  
   


(2) ,
0
1
()
4
F H k r r
j


(2)
H
-hàm Hankel
 
,
,

1
exp -
4
F jk r r
rr




Phƣơng trình khuyếch tán
2
1
( ) ( ) 0
1
F
F r t
kt
k



   



2
,
1
exp
44

rr
F
kt kt









2
,
3/ 2
1
exp
4
(4 )
rr
F
kt
kt










Phƣơng trình sóng
2
22
2
2
( ) ( ) 0
1
F
v F r t
t
v



   





,
2
3/ 2 ,
(
2
H vt r r
F
v v r r


  



,
,
4
rr
t
v
F
rr











Bảng 1. 1 Nghiệm cơ bản của các phƣơng trình vi phân trong trƣờng điện từ.