1167 một số lớp phương trình trong không gian banach có thứ tự luận văn tốt nghiệp

BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO
TRƯỜNGĐẠI HỌCSƯPHẠMTHÀNHPHỐHỒCHÍ MINH
------------------------------

VÕVIẾTTRÍ

MỘTSỐLỚP PHƯƠNGTRÌNH
TRONG KHƠNG GIAN BANACH
CĨTHỨTỰ

LUẬNÁNTIẾNSĨTỐNHỌC

THÀNHPHỐHỒCHÍ MINH-2016


TRƯỜNGĐẠIHỌCSƯPHẠMTHÀNHPHỐHỒCHÍMINH
------------------------------

VÕVIẾTTRÍ

MỘTSỐLỚP PHƯƠNGTRÌNH
TRONG KHƠNG GIAN BANACH
CĨTHỨTỰ
Chun ngành:Tốn Giải Tích
Mãsố:

624601 02
LUẬNÁNTIẾNSĨTỐNHỌC
NGƯỜIHƯỚNGDẪNKHOAHỌC
PGS.TSNGUYỄNBÍCHHUY

THÀNHPHỐHỒCHÍ MINH-2016


Mncl n c
1 PHƯƠNGT R Ì N H T RONGK H Ơ N GG I A N V ỴIK - C H U AN

10

1.1

Khụnggianvithỏtsinhbinún,khụnggianviK-chun............................11

1.2

nhlýiembat đngkieuK rasnos elskiitrong khụnggianvi K-chun
nhêngiỏ tr trong khụng gianBanach...........................................................13

1.3

nhlýiembat đngkieuK rasnos elskiitrong khụnggianvi K-chun
nhêngiỏtrtrongkhụnggianloiaphng.................................................18
1.3.1

Trnghpkhụnggianloiaphngxỏcnhbihonachun.1 8

1.3.2

Trnghpkhụnggianloiaphngxỏcnhbicslõncên
goc.............................................................................................................24

1.4

ngdngvobitoỏnCauchytrongthangkhụnggianBanach...................31
1.4.1

Trnghpbitoỏnkhụngnhieu........................................................32

1.4.2

Trnghpbitoỏncúnhieu...............................................................35

2 NHXCễ CC THEOậOPHICOMPACTVẻIGITRTRON
GNểN
2.1

2.2

44

đ o p h i c o m p a c t , á n h x ạ c ô đ ° c v à đ ị n h l ý đ i e m b a t đ đ n g ........................44
2.1.1

đophicompactnhêngiỏtrtrongnún..........................................44

2.1.2

nhxcụctheomđtđovnhlýiembatđng.............................47

ngdngvophngtrỡnhviphõncúchêmtrongkhụnggianBanach.

3 PHNGTRèNHVẻINHXATRCHATHAMSOTRONG

1

49


2
KHƠNGGIANCĨTHỨTỰ
3.1

53

Bªctơpơtươngđoicủa lớpánhxạđatrịcơđ°c..............................................54
3.1.1

Tínhnảa li ê n tụcvàc om pactc ủa á nh xạđa trị.................................54

3.1.2

Bªct ơ p ơ t ư ơ n g o i . ..........................................................................57

3.1.3

Tớnhbêctụpụtngoichomđtsolpỏnhxvỏngdngvo
bitoỏniembatđng........................................................................59

3.2

3.3

Phngtrỡnhviỏnhxatrchỏathamsocúchndiniằu.................67
3.2.1

Tớnhliờntccatêpnghiằmdngcaphngtrỡnh.......................67

3.2.2

Khonggiỏtrthamsoephngtrỡnhcúnghiằm..............................71

3.2.3

ngdngvomđtdngbitoỏnieukhien..........................................73

Bitoỏngiỏtrriờng,vộctriờngdng.........................................................79
3.3.1

Stontivộctriờngvgiỏtrriờngdng..........................................81

3.3.2

MđtsotớnhchatKrein-Rutmancagiỏtr riờng dng, vộc triờng...88


MÐĐ AU
Líthuyet ve cáckhơnggia nB anachvớ it hátựsinhbở inónvàc ác ph ươ ngtrình
trongchúngđượchìnhthànhtànhǎngnăm1940vàđượctőngketbướcđautrongbàibáo[ 35]
c ủ a M . G . K r e i n v à M . A . R u t m a n . N ó đ ư ợ c p h á t t r i e n m ạ n h m ě v t c nhng
ketqusõusaccvemt lớthuyetlanmtỏngdngtronggiaion1950
1980trongcỏccụngtrỡnhcaM.A.Krasnoselskiivcỏchoctrũcaụng[30,31],caE.N.Dan

cer,P.Rabinowitz,R.Nussbaum,W.V.Petryshyn,...
[1,12,13,44].Lýthuyetnytieptchonthiằnchoentênhụmnayvinhngỏngdngrđngróitr
ongcỏclnhvct r u y e n t h o n g ( L í t h u y e t p h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n , t í c h p h â n ; c á c p h ư
ơ n g t r ì n h x u a t phỏttVêtlớ,Hoỏhoc,Sinhhoc)vcỏclnhvcmi(Lớthuyetieuk
hien,Toiuhoỏ,Yhoc,Kinhtehoc,Ngụnnghoc,...)
[2,3,9,10,18,22,23,24,25,47,48,49,50].HngnghiờncỏutieptheocaLớthuyetphngtrỡn
htrongkhụnggiancúthỏtcnggiongcỏclnhvcToỏnhockhỏc,cúlsitheohaih
ng.Mđtmttieptcphỏtt ri e n l ớ th uy et c h o c á c l ớ p p h ư ơ n g t r ì n h mớ i t r o n g k h ô ng g
i a n t h á t ự, m ° t k h á c ángdụngl ít h uye t và o gi ả i q uy etc á c bà i t oá nc ủa c á c lĩ nh v ựck
h ác m à ba nđ a u c ó
thekhơngliênquanđencácphươngtrìnhtrongkhơnggianthátự.
Trong luªn án này, chúng tơi sě trình bày các ket quả nghiên cáu của mình theo
haihướng nêu trên, đó là nghiên cáu m®t so lớp phương trình với ánh xạ đa trị tőng
quátcháat ha m so tr on gk h ô n g gi a n c ó t há t ự và sả dụ ng c h u ȁ n nó n, đ ® đo ph i c o m p
a c t vớigiátrịtrongnónđenghiêncáuphươngtrìnhtrongkhơnggiancóthekhơngcóthátự. Dưới đây chúng tơi sě nêu
các

ket

quả

chính

của

luªn

án,

moi

liên

quan

của

chúngvớicácketquảcủacáctácgiảkhác.
I. Sfid n n g c h u a n n ó n v à đ ë đ o p h i c o m p a c t v ỵ i g i á t r ị t r o n g n ó
nđe
nghiêncfíucácphươngtrình.
Quanh»thátựđượcsảdụngm®tcáchtựnhiêntrongnghiêncáuphươngtrìnhviphân,t
íchphân(nhờNgunlíMaximum,bőđeGronwal,...), trongLíthuyetđiemb
atđ®ng(sảdụngtínhđơnđi»ucủấnhxạđegiảmnheho°cbỏđieuki»nliêntục,


compact ho°c xây dựng dãy l°p đơn đi»u h®i tụ ve nghi»m,...). Ngay cả trong các
vanđe tưởng chàng không liên quan đen thá tự thì vi»c đưa vào m®t thá tự thích hợp
sělàm cho vi»c giải quyet bài tốn đó được sáng rõ hơn, ngan gon hơn. Ta có the
thayđieu này qua cháng minh định lý Hahn-Banach, định lý Tychonoff ve tích các
khơnggian compact (sả dụng Bő đe Zorn), định lý điem bat đ®ng của Caristi, Ngun
lí bienphânEkeland(vớivi»cxâydựngthátựthíchhợp).
Khơng gian với metric nón ho°c chuȁn nón (cũng cịn goi là khơng gian Kmetric,khơng gian K-chuȁn) là m®t mở r®ng tự nhiên của các không gian metric,
định chuȁnthông thường khi metric ho°c chun nhên giỏ tr trong nún dng ca mđt
khụng giancú thá tự. Chúng được đưa vào nghiên cáu tà nhǎng năm 1950 và được áng
dụng
trongGiảit í c h s o , P h ư ơ n g t r ì n h v i p h â n , L í t h u y e t đ i e m b a t đ ® n g , . . . t r o n g c á c c ơ
n g t r ì n h của Kantorovich [32,33,34], Collatz [11], P.Zabreiko và các hoc trò với các ket
quảđượctőngkettrong[55].
Tac ó t h e t ha y s ựh ǎ u í c hc ủa v i » c sả d ụ ng kh ôn g g i a n v ớ i c h uȁ nn ón q u a v í d ụ sa

u. Giả sả ta có khơng gian định chuȁn thơng thường(X, q)và ta muon tìm điem batđ®ng của ánh
xạT:X→X. Trong m®t so trường hợp ta có the tìm được khơng gianBanach(E,ǁ.ǁ)với
thá

tự

sinh

bởi

nónchuȁnKcE,ánh

xạ

tuyen

tính

dương

liêntụcQ:E→Evàchuȁnnónp:X→Ksa o choq(x)=ǁp(x)ǁvà
p(T(x)—T(y))≤Q[p(x—y)],x , y∈X.

(1)

Tà(1)tacóNhư
ǁp(T(x)—T(y))ǁ≤N.ǁQǁ.ǁp(x—y)ǁ.
vªy,Ih>0đe
q(T(x)—T(y))≤hq(x—y),x , y∈X

(2)

Neu chỉ làmvi»c trong(X, q)với tính chat (2) thì ta có được ít thơng tin hơn
khilàmvi»cvới(1)vìtà(1)tacóthesảdụngcáctínhchatcủấnhxạtuyentínhdươngđãđ
ượctìmratrongLíthuyetphươngtrìnhtrongkhơnggiancóthátự.
Ganđ â y , c á c n g h i ê n c á u v e đ i e m b a t đ ® n g t r o n g k h ô n g g i a n v ớ i n ó n m e t r i c s ô i


đ®ngtrởlạisaubàibáo[20](tacóthethamkhảobàibáotőngquan[27]vecácnghiêncáuganđâyvớili»t
kêhơn100bàibáo,tuychưađayđủ).Tuynhiên,cáctácgiảcủabài báo [20] và phan lớn của các bài tiep theo
đã không biet các nghiên cáu ve đe tàinày trong giai đoạn trước; các ket quả của ho
cũng

khơng

tőng

qt

hơn

và

cũng

chỉmangt í n h l í t h u y e t . C á c n g h i ê n c á u v e đ i e m b a t đ ® n g t r o n g k h ô n g g i a n v ớ i
m e t r i c nón ở giai đoạn trước và gan đây cũng chỉtªptrung vào Ngun lí CacciopoliBanachvcỏcmrđngcanú.Choenthiiemchỳngtụigingbibỏo[TG1]chỳngtụichat
hayketqunovemrđngnhlýKrasnoslskiiveiembatđngcatngỏnhxcovỏnhxco
mpactchokhụnggianvichunnún.
Trong chng 1 ca luên ỏn, chỳng tụi trỡnh by các ket quả ve định lý điem

batđ®ng kieu Krasnoselskii cho ánh xạT+Strong khơng gian với chuȁn nón cho
haitrườnghợp.TrongtrườnghợpchuȁnnhªngiátrịtrongkhơnggianBanachchúng
tơiđ°tđ i e u k i » n ( 1)l ê n á n h x ạ T .T r ư ờ n g h ợ p c h u ȁ n n h ª n g i á t r ị t r o n g k h ô n g g i a n
l o i địaphươngEthìánhxạTt h o ả mãnđieuki»ndạng
x

n
p(Tn(x)—T
(y))≤Q np(xy),6 x,y,xX, nặ ì
x

viQ n:EEl d ó y ỏnh xạ d ư ơ n g , l i ê n t ụ c v à T x(x)=T(x)+x.
CácketquảtràutượngđượcchúngtơiápdụngvàokhảosátbàitốnCauchy
xJ(t)=ƒ[t,x(t)]+g[t,x(t)]
(3)trongthangcác khơnggianBanach(5s,ǁ.ǁs),s∈(0,1].
Sựtontạinghi»mcủa(3)(cũngcịngoilàđịnhlýCauchy-Kovalevkayatràutượng)
vớiƒ t h o ả đ i e u k i » n L i p s c h i t z d ạ n g O v c j a n n i k o v :ǁƒ(t,u)—
ƒ(t,v)ǁs

≤

Cku—vkr
(r—s) ,0 <

s < r≤1vàg(t, u) = 0, đã được nghiên cáu bởi F.Treves, L.Ovcjannikov,
L.Nirenber,T.Nishida,... [38,39,40,45], cịn trong trường hợpglà ánh xạ compact, bài
tốn đượcH.Begehr [7], M.Ghisi [16], nghiên cáu. Các tác giả đã xây dựng dãy l°p và
chángminh sự ton tại nghi»m địa phương. M.Safonov [45] chỉ ra rang khig= 0sự ton
tạinghi»m có the cháng minh bang định lý ánh xạ co với vi»c xây dựng chuȁn thích
hợp,P.Zabreiko[55]chothay,nócịncótheđượcnghiêncáunhờđịnhlýánhxạcotrong

khơnggianvớichuȁnnón.
Trong trường hợpg= 0chúng tơi xây dựng khơng gian(E,ǁ.ǁ)mà trong đó chuȁnnón
nhªn giá trị, có chuȁnǁ.ǁđược định nghĩa tương tự chuȁn được sả dụngc định nghĩa tương tự chuȁn được sả dụngnh nghĩa tương tự chuȁn được sả dụngng tự chuȁn được sả dụng chu ȁn được sả dụngn được định nghĩa tương tự chuȁn được sả dụngc sả dụng dụngng
bởiiSafonovv à t ha y đ ői c á c h đ ị n h n gh ĩ a c ủ a Z a b r e i k o v e á n h x ạ Q t r o n g đ i e u k i» n
( 1).TàđóchúngtơicũngnhªnlạiđượcđịnhlýNishidatheophươngphápsảdụngkhơnggian với chuȁn nón. Ngồi ra,
chúng

tơi

cũng

cháng

minh

được

tính

liên

tục

của

ánh

xạ(I—T)—

1

,trongđ ó T l à á n h x ạ t í c h p h â n t ư ơ n g á n g c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h . T r o n g t r ư ờ n g hợp ánh

xạglà compact vàƒthoả đieu ki»n ng°t hơn đieu ki»n Ovcjannikov và códạngǁƒ(t, u)—
ƒ(t, v)ǁs≤hsǁu—vǁs,chúng tôi sả dụng định lý kieu Krasnoselskiicho không gian với
chuȁn nón nhªn giá trị trong khơng gian loi địa phương đe chángminh sự ton tại
nghi»m của bài toán Cauchy trên[0,∞). Chúng tôi chưa biet ket quảnào ve ton tại
nghi»m trên[0,∞)của bài tốn Cauchy trên thang các khơng gianBanach.
Đ® đo phi compact với giá trị trong nón được định nghĩa và có các tính chat
tươngtự như đ® đo phi compact với giá trị trongR[6]. Đ® đo này cịn ít được sả dụng
trongchángminhsựtontạinghi»mcủacácphươngtrình.Trong[6]đãgiớithi»um®táng
dụngc ủađ®đoph i c ompa ct với gi á trịt ro ng n ón đech ángm inh sự to nt ại n gh i» m c
ủabàitốnCauchycóchªm
xJ(t)=ƒ[t,x(k(t))]v ớ i 0 ≤k(t)≤t 1/p.

(4)

Trong chương 2 của luªn án chúng tơi cháng minh m®t định lý ve đieu ki»n đe
cóm®tánhxạƒtácđ®ngtrongkhơnggianBanachXlàcơđ°cđoivớiđ®đophicompactęvới giá tr
trong

nún

dngKca

khụng

l[(Y)]A[(Y)],YcXtrong

gian

thỏ

úA:KKl

tE.

ieu

kiằn

ca

chỳng

tụi

mđt

ỏnh

x

tng.

Khi

ú

neutêpYc Xthomónieukiằn[(Y)](Y)thỡtacú(Y)A[(Y)].Nhvêyphant (
Y) K l m đ t n g h i » m d ư ớ i c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h u = A (u)v à t a c ó t h e s ả dụngc á c k
e t q u ả v e đ i e m b a t đ ® n g c ủ a á n h x ạ t ă n g A đ e c h á n g m i n h (Y)=0.L ớ luêntrờncho
tathayliớchcaviằcsdngđophicompactvigiỏtrtrongnún.


Ket quả tràu tượng trên được chúng tôi sả dụng đe cháng minh sự ton tại nghi»m
chom®tmởr®ngcủa(4)dạng
xJ(t)=ƒ[t,x(t),x(k(t))].
II. Phươngtrìnhđatrị chfí a tham s otrongkh ơn ggia n cóthfítfi.
Nghiêncáuvephươngtrìnhvớiánhxạđơntrịcháathamsodạng
x=A(λ,x)

(5)

trong khơng gian có thá tự đã thu được các ket quả sâu sac, bat đau tà định lý KreinRutman ve giá trị riêng và vectơ riêng dương của ánh xạ tuyen tính dương mạnh,
tieptheol à c á c n g h i ê n c á u v e c a u t r ú c t o à n c ụ c t ª p n g h i » m c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h t r
o n g c á c bàib á oc ủa Kr a s n o se ls ki i, Da n ce r ,Ra bi no wi tz , Nu ss b a u m , Am an n, .. .
[ 1,1 2 ,13 ,21 ,
30,31,44].
Nghi»m của (5) thường không ton tại đơn lẻ và ta muon tỡm hieu xem cỏc
têpnghiằm
S1 =( x|I :x=A(,x)},
S2 =((,x):x/=,x=A(,x)}
cúdyctheomđtnghanoúkhụng?Krasnoselskiisdngbêctụpụ,kethpvi gi thiet ve ch°n
dưới đơn đi»u đã cháng minh rang tªp nghi»mS1của (5) là liêntục theo nghĩa trên biên
của moi tªp mở, bị ch°n cháaθđeu có điem củaS1. Dancer,Rabinowitz, Nussbaum,
Amann đã s dng bêc tụpụ ket hp vi mđt nh lý ve táchcác tªp compact liên thơng
đe cháng minh sự ton tại thành phan liên thơng khơng bịch°ntrongtªpS 2.

Dạngđ a t r ị c ủ a ( 5)l à x ∈A (λ,x)vàt a c ũ n g m u o n t h i e t l ª p c á c k e t q u ả v e c a u trỳctê
pnghiằmcabaohmthỏcny.Bêctụpụchoỏnhxatrdng,compactócxõydngtrongc
ỏcbibỏocaW.PetryshynvM.Fitzpatrick[15]vócsdngemrđngsangtrnghp
atrcỏcnhlýKrasnoselskiiveiembatđngca ỏnh x nộn-gión nún v nh lý Leggett-Williams (Xem
[26,41,42]

và

các

li»uthamkhảotrongđó).Tuynhiên,theohieubietcủachúngtơithìchođennaychưacó

tài


mở r®ng của định lý Krasnoselskii ve tính liên tục của tªp nghi»m sang trường hợp
đatrị.Khókhăng°pphảicólěliênquanđenvi»cchonđịnhnghĩakháini»mánhxạđatrịt
ăngthíchhợp.
Trong phan đau chương 3 ca luên ỏn chỳng tụi trỡnh by cỏc m rđng sang
trườnghợpđatrịchođịnhlýKrasnoselskiivetínhliêntụccủatªpnghi»mvàđịnhlýKras-noselskii ve khoảng giá trị
của

tham

so

đe

cho

phương

trình

có

nghi»m.

Các

ket

quảnàyđượcchúngtơiápdụngđenghiêncáubàitốnbiênvớihàmđieukhiendạng
xJJ(t)+λ(t)ƒ(x(t))=0,x (0)=x(1)=0,
λ(t)∈5(t,x(t)).

(6)

Bàitốn(6)đượcđưavebàitốndạng
x∈A(x)

(7)

trongđóx∈[0,1],Alàtốntảtíchphânđatrị.Đenghiêncáubàitốn(7)chúngtơi xét bài tốn cháa tham
sox∈λA(x). Với m®t so giả thiet đ°t lên các hàmƒ,5chúng tơi cháng minh được
tính

liên

tục

của

tªp

nghi»m

của

bài

tốn

cháa

tham

so

vàchỉrakh oả ng cụth ecácgiá trịtham sođebàitốn có nghi»m.Các cªnc ủa khoản
gnày được tính qua dǎ ki»n ve hàmƒ,5. Đ°t đieu ki»n đe khoảng này cháa 1 ta
thuđượcsựtontạinghi»mcủa(7),
(6).Phươngphápnghiêncáubàitốn(6)củachúngtơikhácvớicácnghiêncáuvecácphươ
ngtrìnhtươngtựcủa[26,41,42],ởđósảdụngcác địnhlýKrasnoselskii venén-giãn nónho°c địnhlý Leggett-William
chốnhxạđatrị.
Tiep theo chúng tơi áp dụng định lý ve tính liên tục củatªpnghi»m của
phươngtrìnhc ó c h ° n d ư ớ i đ ơ n đ i » u v à o b à i t o á n g i á t r ị r i ê n g c ủ a á n h x ạ đ a t r ị t ă n
g , t h u a n nhat dương bªc 1. Trong bài báo [35], Krein và Rutman đã cháng minh ket quả
quantrongsau.
ĐịnhljKrein-Rutman

ChoElà khơnggian Banach có thú tự sinh bới nónKvàT:E→Elà m®t
tốntủt u y e n t í n h d ư ơ n g v à c o m p a c t v ớ i b á n k í n h p h ő r (T)>0.K h i đ ó r (T)là m ® t g
i á tràriêngcủaTúngvớivectơriêngd ư ơngxO .GiảsủthêmintK/=øva`Tlàdương


mạnh,khiđó
1. xO∈intK .
2. r(T)là b ® i đ ơ n .
3. Neuλ /=r(T)là m ® tg i á t r à r i ê n g củ a T t h ì |λ|Ket quả trên đã được mở r®ng cho m®t so lớp ánh xạ khơng dương mạnh như
ánhxạuO-dương, ánh xạ khơng phân tích được,.... trong các cơng trình của
Krasnoselskiivà các hoc trò [30,31]. Gan đây, trong các bài báo của Nussbaum [47],
K.Chang [8],Mahadevan [37], định lý Krein đã được mở r®ng m®t phan cho lớp ánh
xạ tăng, thuannhat dương bªc 1 bang cách sả dụng định lý Rabinowitz ve phân nhánh tồn cục. Theohieu biet của
chúng tơi, các ket quả ve sự ton tại và tính chat của giá trị riêng,
vectơriêngdươngchocácánhxạđatrịtrongkhơnggiancóthátựcịnhạnche,chúngtơichỉthamkh
ảođượccácketquảtrong[2,3]chotrườnghợphǎuhạnchieuvàtrong[34,46]chốnhxạliênhợ p
củac ác q trìnhloi.Phươngphá pcháng m in hl sdngnhlýtỏchcỏctêploiho
cnhlýveiemcõnbang.ViằcmrđngnhlýRabinowitzvephõnnhỏnhtoncc
sangtrnghpatrroiỏpdngvobitoỏngiỏtrriờnglkhú.Phngphỏpca chỳngtụils
dngnhlývetớnhliờntccatêpnghiằmcaphngtrỡnhcúchndiniằu.
Trong phan cuoi ca luên ỏn chỳng tụi trình bày các mở r®ng các tính chat KreinRutman ve giá trị riêng, vectơ riêng sang trường hợp đa trị. Với vi»c mở r®ng cho
ánhxạđatrị cáckh ái ni»m u O -dương,u O đơnđi»u,nảa dư ơng mạ nh vàm®tsođạ il ượngthaythechobánkínhphő,chúngtơiđãchángm
inhđượcm®tphancáctínhchatKrein-Rutmanchocácánhxạtăng,thuannhatdương.
M®t phan ket quả của luªn án đã được cơng bo ho°c gởi đăng trong các bài
báo[TG1-TG4] và được báo cáo tại đại h®i Tốn hoc Vi»t nam lan thá 8, tháng
8/2013
TintrườngĐạihocSưphạmTpHCM.

tạiNhatrangvàtạih®inghịkhoahockhoaTốn-

Chương1
PHƯƠNGTRÌNHTRONGKH
ƠNGGIANVỴIK-CHUAN
Trong phan đau của chương này chúng tơi trình bày các khái ni»m cơ bản ve
khônggian với thá tự sinh bởi nón, khơng gian với K-chuȁn, các tơpơ được sả dụng và
kháini»m đay đủ trên không gian này. Ket quả chính của chúng tơi trong chương này
làcháng minh các định lý ve điem bat đ®ng của tőng ánh xạ co và ánh xạ compact
trênkhơnggianvớiK-chuȁn.Chúngtơixéttronghaitrườnghợp:trườnghợpK-chuȁnnhªngiá trị
trongkhơnggianBanach(Địnhlý1.1),trườnghợpK-chuȁnnhªngiátrịtrongkhơng gian loi địa phương xác định
bởi ho nảa chuȁn (Định lý 1.3) ho°c xác định bởicơsởlâncªncủagoc(Địnhlý1.5).
Tiep theo, chúng tơi trình bày áng dụng ket quả trên đe cháng minh sự ton
tạinghi»m cho hai lớp bài tốn Cauchy trong thang các khơng gian Banach: bài
tốnkhơngnhieu(Địnhlý1.6)vàbàitốnnhieu(Địnhlý1.7).
Ketq u ả ở m ụ c 1 . 2 đ ã đ ư ợ c c ô n g b o t r o n g [ T G 1 ] , m ụ c 1 . 3 l à s ự m ở r ® n g c á c
k e t quảđãcôngbotrong[TG2].

10


11

1.1

Khụnggianvợithfớtfisinhbinún,khụnggianvợi
K-chuan.

Diõy,chỳngtụiluụnxộthỡnhnúncúcỏctớnhchatnờutrongnhnghasauõy.
nhngha1.1

Cho(E,r)lkhụnggiantụpụtuyentớnhthc,nhvêyElkhụnggiantuyentớnhtrờntrn
gsothcvrltụpụtngthớchvicautrỳcisotrờnE.
TêpKcEgoilnúntrờnEneu:
(i) Kltêploi,úng,khỏcrong
(ii) KcKchotatc0
(iii) K(K)=(}.
TrongEvinúnKtanh nghaquan hằthỏ tnhsau:
xye yxK.
Khi ú t a g o i b ® b a ( E,K,r)l àk h ô n g g i a n c ó t h á t ự s i n h b ở i n ó n K ( g o n h ơ n l à khơn
ggiancóthátự).
Trongtrườnghợp(E,ǁ.ǁ)làkhơnggianBanachvớithátựsinhbởinónKt a goib®ba(E,K,
ǁ.ǁ)làkhơnggianBanachthátự.
Địnhnghĩa1.2
Cho( E,K,ǁ.ǁ)làk h ô n g g i a n B a n a c h t h á t ự . N ó n K đ ư ợ c g o i l à n ó n c h u ȁ n n e u n
hưtontạisoN>0saocho
θ≤u≤vt h ì ǁuǁ≤Nǁvǁ.
Cáctínhchatsaucủathátựđãnêuthườngxunđượcsảdụng.
M»nhđ e 1 . 1
Cho( E,K,r)là k h ô n g g i a n t h ú t ự , k h i đ ó :
1) Vớix , y∈Ev à x ≤ythì
(i) x+x≤y+x

(6x∈E),

(1.1)


(ii) λx≤λy

(6λ≥0).

2) Vớicáclưới(x},(y}trongEthoảx≤y(6∈h),x—→xvày—→y

r

r

thìx ≤y.
r

3) Neu( xn}cEl à dãy tăngvàx n—→xthìxn≤x(6n∈Ỉ).
M»nhđ e 1 . 2
Cho( E,K,ǁ.ǁ)là k h ô n g g i a n B a n a c h t h ú t ự v à Kl à n ó n c h u ȁ n . K h i đ ó :
1)Vớicácdãy( xn},(yn},
(xn}trong E thoả x n≤y n≤x n(6n∈Ỉ)và l i m xn=limxn=xthì l i m yn=x.
3)N e u d ã y đ ơ n đ i » u ( xn}t r o n g E c ó c h ú a d ã y c o n h ® i t ự v e x thì l i m xn=x.
Địnhnghĩa1.3
Cho(E,K,r)làkhơnggianthátự,McE.M®tánhxạA:M— → Egoilàdươngneu
A(x)≥θvớimoix∈Mm à x≥θ,
đượcgoilàtăngneu
x,y∈Mv à x≤yt hì A(x)≤A(y).
Rõràngrang,neuA:E—→Elàánhxạtuyentínhvàdươngthìnólàtăng.
Với( E,K,ǁ.ǁ)làk h ơ n g g i a n B a n a c h t h á t ự , k ý h i » u E ×l à k h ô n g g i a n l i ờ n h p .
Têphp
Kì=( E ì:(x)0chom o i x ∈K}
đượcgoilànónliênhợpcủaK.Cáctínhchatđượcnhaclạidướiđâycủanónliênhợpđượcsảdụ
ngmàkhơngchángminh.
M»nhđe1.3([13],Proposition19.3,p.222)
1)x∈Keƒ(x)≥06ƒ∈K ×.
2) x∈K\(θ}t h ì t on t ạ iƒ∈ K ×t h o ả ƒ(x)>0.

3) Neux∈int(K)vàƒ∈ K ×\(0}t h ì ƒ(x)>0.
4) Neux∈6Kt h ì tontạiƒ∈K ×\(0}đe choƒ(x)=0.


M»nhđesauchophépchúngtachonN=1trong(1.1).
M»nhđe1.4([30])
Chok h ô n g g i a n B a n a c h (E,ǁ.ǁ)v ớ i t h ú t ự s i n h b ớ i n ó n Kv à ǁ.ǁ×l à p h i e m h à m
Minkowskiic ủ a t ¾ p h p [ B(,1)K][B(,1)+K].K h i ú
1) .ìlmđtchuntrongE thoảǁ uǁ×≤ǁuǁ6u∈Evàǁ uǁ×≤ǁvǁ×neunhư
θ≤u≤v,
2) ǁ.ǁ×~ǁ.ǁn e u n hư K l à nó nc hu ȁn .
Địnhnghĩa1.4([55])
Cho( E,K,r)làk h ơ n g g i a n v ớ i t h á t ự s i n h b ở i n ó n K v à X l à k h ô n g g i a n t u y e n tínhthự
c.M®tánhxạp:X—→EđượcgoilàK-chuȁnhaychuȁnnóntrênXneu
(i) p(x)≥θ E6 x∈X v à p (x)=θEn e u v à c h ỉ n e u x =θ E ,ở đ â y θ E,θ El a n l ư ợ t làphant
ảkhôngcủaEvàX,
(ii) p(λx)=|λ|p(x)6 λ∈R ,6 xX ,
(iii) p(x+y)p (x)+p(y)6x,yX.
NeuplK-chuntrờnXthỡcp(X,p)sgoilkhụnggianKchun.Khụnggiannyneucxộtvitụpụt h ỡ ckýhiằubi(X,p,).

1.2

nhljiembatởngkieuKrasnoselskiitrongkhụng
gianvợiK-chuannhêngiỏtrtrongkhụnggianBa nach.

Trongm c nà y,cho (E,K,ǁ.ǁ)làkhônggi anBa nac ht há tựvà (X,p)làk hôn g gi an
K-chuȁn.Chúngtasěsảdụnghaitôpôđượcđịnhnghĩadướiđây.
Địnhnghĩa1.5
1) Tađ ị n h n g h ĩ a l i m xn=xn e u v à c h ỉ n e u l i m p(xn—x) =θt r o n g E v à c h ỳ n g
n

n

tagoimđttêpconAcaXl têpúngneu A=ứhocAcútớnhchat:Vidóybat k( x
n

}c A m à l i m xn=xt h ì x ∈ A .T a k ý k i » u 1 l à t ô p ô t r ê n X x á c đ ị n h b ở i
n→∞


1

=

GcX:X\Gúng.

}

2) Tagoi 2ltụpụtrờnXcxỏcnhbihocỏcnachun(p:Kì}.Khiú(X,2
)lmđtkhụnggianvecttụpụloiaphngvhocỏctêp
xX: m a x ip(x)<o,iK ì,nặ ì,o>0
1i
n

(x }c
Xhđitenxth eo 2neuvchneu
lim(p(x x))=0vim o i K ì.

lêpthnhmđtcsl õncê ncủagocvàm®tlưới

Địnhnghĩa1.6([55])
Cho(E,K,ǁ.ǁ)làm®tkhơnggianBanachthátựvà(X,p)làkhơnggianK-chuȁn.
Giảsảl à m®ttơpơtrênX
1) Tanóirang(X,p,) làđayđủtheoWeierstrassneuvớimoidãybatkỳ(xn}cX
n=1

Σ
màchuoi ∞p(xn+1—xn )h®itụtrongEthìdãy(xn }h®itụtrong(X,p,) .
2) Tanóirang(X,p,)làđayđủtheoKantorovichn e u m®tdãybatkỳ(xn}thoả dụng
p(xk—xl)≤a nvớimoih,l≥n,( an}cK,liman=θE

n→∞

(1.2)thì(xn}h ® i tụtrong(X,p,) .Chúýrangdãy(an}t r o n g (1.2)phụthu®cvào(xn}.
Haibőđedướiđâysěchothaymoiquanh»giǎacáckháini»mđayđủvàanêu.
Bođe1.1
ChokhơnggianBanach(E,
1 trong( 1.1)v à ( X,

K,ǁ.ǁ)vớithútựsinhbớin ó n c h u ȁ n K v ớ i N =

p)l à m ® t k h ơ n g g i a n K -chuȁn.K h i đ ó á n h x ạ q : X —

→ R,q(x)=ǁp(x)ǁl à m ®tchuȁn tr ên X ,và ta có:
1) Tơpơ1 trùng v ới tơ pơ của k hơ ng gi an đà nh ch uȁ n ( X,q).
2) Neu( X,p,1 )là đ a y đ ủ t h e o W e i e r s t r a s s t h ì ( X,q)là đ a y .
Chỏngm in h.
Rừrngrang,ql mđtchuntrờnXvlimxn=xtrong(X,p,1 )khivchkhi
n

n

limxn=xtrong(X,q).Doú,têpA
c

Xlúngtrong(X,p,1)neuvchneuA

l ú n g t r o n g ( X,q)vàk h ȁ n g đ ị n h t h á n h a t đ ư ợ c c h á n g m i n h . Đ e t h a y t í n h đ a y đ ủ
của(X,q)chúngtaxétdãy(xn}cXthoả

Σ
∞
q(xn)<

n=1

∞

vàtaphảichángminhrang


chuoi



x nhđittrong(X,q).Thêtvêy,tat s n=x1+x2+...+xn,n

ặìthỡta

n=1

cú







p(sn sn1 )= q(x

n=
1

ieunydanenchuoi



n )<,

n=1

p(snsn1 )hđittrong( E,.).Tgithiet( X,p,1 )
n=1

đayđ ủ t h e o W e i e r s t r a s s , c h ú n g t a c ó đ ư ợ c d ã y ( sn}h ® i t ụ t r o n g ( X,p,1 )v à d o đ
ó
cũngh® i tụtrong ( X,q).
Bođe1.2
Cho( E,K,ǁ.ǁ)l à m ® t k h ô n g g i a n B a n a c h t h ú t ự v à ( X,p)l à m ® t k h ơ n g g i

an
K-chuȁn,l à m®ttơpơtrênX .
1) Neu( X,p,) là đ a y đ ủ t h e o K a n t o r o v i c h t h ì n ó l à đ a y đ ủ t h e o W e i e r s t r a s s .
2) NeuKl à n ó n c h u ȁ n v à ( X,p,1 )l à đ a y đ ủ t h e o W e i e r s t r a s s t h ì ( X,p,1 )l à đ
ayđủtheoKantorovich.
Chángm in h.
1. Giảsả(xn}cXvàchuoi

Σ
∞
p(xn+1

n=1

xn)h®itụtrongE.Tagois,s nlanlượtlà

—
tőngvàtőngriêngtháncủachuoinày.Vớimoisol,sohthoảl>h≥nchúngtacóp(x
l—
xk)≤sk—1—sl—1≤s—snvớil i m

n

( ssn)

=trongE .V ỡ v ê y ,

(xn}h đ i t ụ nhờtínhđayđủtheoKantorovichcủa(X,p,) .Vªy(X,p,) đayđủtheoWeierstras
s.
2. Xét dãy(xn}thoả dụng (1.2). DoKlà nón chuȁn ta cóǁp(xl—xk)ǁ≤Nǁanǁ, vì the(xn}là dãy

Cauchy trong(X,q)và do đó nóh®itụ trong(X,q)và trong(X,p,1 )theoBőđe1.1.
Địnhlj1.1
Cho( E,K,ǁ.ǁ)là k h ơ n g g i a n B a n a c h t h ú t ự , ( X,p,) là k h ô n g g i a n K chuȁnđ a y đủ theo Weierstrass với=1 ho¾c=2 . Giả sủ rangC l mđt tắp loi, úng
trong(X,p,) v S ,T: CXl à cáctoán tủ thoảm ãn các đieuki»n sau
(i) T(x)+S(y)∈C 6 x,y∈ C ;
(ii) Sl à liêntựcvàS (C)làt¾pcompactđoivớitơpơ;


(iii) tont ạ i t o á n t ủ t u y e n t í n h d ư ơ n g , l i ê n t ự c Q: E —
→ Evớibánkínhphő
r(Q)<1sao c h o :
p(T( x)—T( y))≤Q [p(x—y)]

vớim o i x , y∈C.

KhiđótốntủT+Scóđiembatđ®ngtrongcáctrườnghợpsau:
(C1)= 1 ,Kl à nónchuȁn.
(C2)=

2

.

Chángm in h.
Trướch e t , t à g i ả t h i e t ( i ) v à t í n h c h a t đ ó n g c ủ a C t h ì T (x)
+y∈C 6 x∈C , 6y∈S(C).C o đ ị n h y ∈ S (C),t a đ ị n h n g h ĩ a t o á n t ả T y:C—
→ C x á c đ ị n h b ở i T y(x)=T(x)+y.
Bâyg i ờ , b a t đ a u t à m ® t p h a n t ả b a t k ỳ x O∈ C , c h ú n g t a x â y d ự n g d ã y x n=
Ty(xn—1),v ới n = 1,2,...........Đ°tu =p(x1—x O)thìb a n g c á c h q u y n ạ p t h e o n tac ó
p(xn+1—xn)≤Q n(u)c h o moin∈Ỉ.

Chúngt a đ ã b i e tr a n g
Σn
∞
Q (u)=(I—Q)—1(u).
n=O

Suyra

Σ
∞p(x

n+1

—xn )≤(I—Q)—1(u)

n=O

Do(X,p,) làđayđủtheoWeierstrasstacóthetìmđượcphantảx= l i m xn.Tacó
×

n→∞

p[Ty(x×)—x ×]≤p [Ty(x×)—T y(xn)]+p(xn+1—x ×)
≤Q[p(x×—x n)]+p(xn+1—x ×)

(1.3)

vàvớimoiƒ∈K×tacó
ƒ(p[Ty(x×)—x ×])≤ƒ◦Q[p(x×—x n)]+ƒ◦ p(xn+1—x ×).

(1.4)

Bang cách chon→ ∞với chú ý định nghĩa tơpơ tương áng, sả dụng (1.3) trong
trườnghợp(C1)chúng ta có đượcTy(x×) =x×. Đoi với trường hợp(C2)chúng ta sả dụng
(1.4)với chú ý rangƒ◦Q∈K×thì chỳngtacng cú ket qu tng t. Bõy gitachỏng
tiembatđngxìcaTyslduynhat.Thêtvêy,neucúphantathoT y(a)=a


thìp (a—x×)

=p[Ty(a)—Ty(x×)]≤Q [p(a—x×)].S u y r a ( I—Q)◦p(a—x×)≤θ .Tà(I—Q)—

1

làtuyentính,dươngnênchúngtacóp(a—x) =v doúa=x.
ì

E
ì

Nhv ê y , v i m o i y ∈ S (C)thìt o n t ạ i d u y n h a t x ∈C đ e c h o T (x)+y= x.N ó i khác
đi là ton tại toán tả(I—T)—1:S(C)—→C. Chúngta sě cháng tỏ toỏn t nyliờn tc. Thêt
vêy, gi s li(y} cS(C)l hđi tụ đeny∈S(C)đoi với tơpơ

.Đ°tx= ( I—T)—1(y),x=

(I—T)—1(y),khi đó ta cóTy( x) =xvàTy(x) =xvàdođóx— x=T(x)
+y— T(x)—y.Suyra
a
p(x— x)≤p [T(x) —T(x)]+p(y— y)

≤Q [p(x— x)]+p(y— y),
vàtàđó
(I—Q)[p(x— x)]≤p (y— y).
Dotínhđơnđi»uvàdươngcủatốntả(I—Q)—1tacó
p(x— x)≤( I—Q)—1[p(y— y)]
và

(1.5)

ƒ◦p(x— x)≤ƒ◦ (I—Q)—1[p(y— y)]v i m o i K ì.

Trong

trng

hp(C1)chỳng

ta

dựng

(1.5)

v

tớnh

(1.6)
chun

ca

núnKthỡ

li(x}hđit e n x theo t ô p ô 1 .Đ o i v ớ i t r ư ờ n g h ợ p ( C2),c h ú n g t a d ù n g ( 1.6)v à c h
ú ý r a n g ƒ◦(I—Q)—1∈K ×t h ì lưới(x} h đ i tenxtheotụpụ2 .Vêy ( I T)1liờntc.
Toỏn t(IT)1S:C C l à l i ê n t ụ c , t ª p (I—T)—1◦S(C)là compact vìcháa
trongtªpcompact(I—T)—1S(C).Theo Định lý Tychonoff thì ton tạix∈Cthoảx=(I—T)—
1

◦S(x)hayx =T(x)+S(x).


1.3

nhljiembatởngkieuKrasnoselskiitrongkhụng
gian

vợi

K-chuan

nhên

giỏ

tr

trong

khụnggianloiaphng.
1.3.1

Trớng hủp khụng gian loi a phng xỏc nh bi
honfiac h u a n .

Cho( E,K,r)l à k h ô n g g i a n l o i đ ị a p h ư ơ n g H a u s d o r f f v ớ i t ô p ô r x á c đ ị n h b ở i h
o c á c nảachuȁnFvàthátựsinhbởinónK.TrongmụcnàytalngiảsảhonảachuȁnF
cótínhchat
θ≤x≤y⇒ę(x)≤ę(y)6 ę∈F.

(1.7)Cho(X,p)làk hơn gg i an vớ i K-chuȁnpnhªngi át rị t ron g E.Tr ên Xt a x ét t ơp ơ
sinhbởisựh®itụcủalướitheođịnhnghĩasauđây:Lưới(x} h®itụvextrongX
r

khivàchỉkhi p (x— x)—→θ E.K hiđó( X,p,) làkhơnggianloi địa

đoivớitôpô

phươngx á c đ ị n h b ở i h o n ả a c h u ȁ n ( ę◦p:ę∈F},v à t a c ó , x

z
x khiv à c hỉ kh i
→

ęp(x—
x)→0 chom o i ę ∈F .C h ú n g t ô i n h a c l ạ i k h á i n i » m l i ê n t ụ c đ e u t r ê n k h ô n g gianloi đ ị a p
hư ơng v à các k et quả đ ư ợ c s ả dụng m àk hô ng ch án gm i nh .
Bođe1.3
Chok h ô n g g i a n l o i đ à a p h ư ơ n g ( E,K,r)với t ô p ô r x á c đ à n h b ớ i h o n ủ a c h u ȁ n F

cótínhchat(1.7).Khiđó
1) Neucá c l ư ớ i ( a} 2 Ω ,(b} 2 Ω t h o ả θ E≤a≤ bvớim o i ∈ Λv à b — → θ E

r

r

thìtacóa— → E
2) Gis( E,K,r)aytheodóyv(an }n2ặ,(bn }n2ặthoEanb nvi


moinặ.Khiú

anhđitneu bnhđit.
n=O
nhngha1.7 n=O
Cho( X,p,) làk h ô n g g i a n n ó n c h u ȁ n v à C c X.Á n h x ạ A :C→ X đ ư ợ c g o i l à
liênt ự c đ e u t r ê n C n e u v ớ i m o i c ° p ( ę,o)∈F×(0,∞),t o n t ạ i s o 6 >0saoc h o