Phương pháp lặp tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng cho hàm ba biến và tập điểm bất động của ánh xạ tựa không giãn tiệm cận trong không gian banach

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Hồ Lê Quỳnh Như

PHƯƠNG PHÁP LẶP
TÌM ĐIỂM CHUNG CỦA TẬP NGHIỆM
BÀI TOÁN CÂN BẰNG CHO HÀM BA BIẾN
VÀ TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ
TỰA φ-KHÔNG GIÃN TIỆM CẬN
TRONG KHƠNG GIAN BANACH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2021


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Hồ Lê Quỳnh Như

PHƯƠNG PHÁP LẶP
TÌM ĐIỂM CHUNG CỦA TẬP NGHIỆM
BÀI TOÁN CÂN BẰNG CHO HÀM BA BIẾN
VÀ TẬP ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ
TỰA φ-KHÔNG GIÃN TIỆM CẬN
TRONG KHƠNG GIAN BANACH

Chun ngành: Tốn Giải tích
Mã số: 8460102

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2021


LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một cơng trình nghiên cứu của tơi dưới
sự hướng dẫn của PGS.TS. Nguyễn Bích Huy và sự hỗ trợ của NCS. Nguyễn
Trung Hiếu. Những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực.
Học viên cao học
Hồ Lê Quỳnh Như

i


LỜI CẢM ƠN

Sau gần một năm nghiên cứu, luận văn của tơi với đề tài “Phương pháp
lặp tìm điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng cho hàm ba
biến và tập điểm bất động của ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận
trong khơng gian Banach” đã được hồn thành. Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn
chân thành và sâu sắc đến PGS.TS. Nguyễn Bích Huy và NCS. Nguyễn Trung
Hiếu đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và hỗ trợ tơi trong suốt q trình thực
hiện luận văn này.
Tơi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu và lãnh đạo

Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
đã tạo điều kiện để tơi có được một mơi trường thuận lợi trong học tập và
rèn luyện.
Tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến q Thầy Cơ trong Khoa Tốn - Tin học
đã tận tâm, hết lòng giảng dạy và truyền đạt những kiến thức quý báu cho
chúng tôi - những thành viên của lớp Tốn Giải tích Khố 30.2.
Cuối cùng, tơi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân và bạn bè đã
luôn động viên, quan tâm và giúp đỡ tơi trong suốt q trình nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn!
Học viên cao học
Hồ Lê Quỳnh Như

ii


MỤC LỤC

Lời cam đoan

i

Lời cảm ơn

ii

Mục lục

iv

MỞ ĐẦU

1

1

Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

2

Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

3

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu . . . . .

5

5

Cấu trúc luận văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1 Kiến thức chuẩn bị

6

1.1

Không gian Banach lồi đều và trơn đều . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

Phép chiếu suy rộng trong không gian Banach . . . . . . . . .

11

1.3

Kết luận Chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

2 Ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận và nghiệm của bài toán
cân bằng cho hàm ba biến
16
2.1

Ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.2

Nghiệm của bài toán cân bằng cho hàm ba biến . . . . . . . .

23

iii


iv

2.3

Kết luận Chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3 Phương pháp lặp cho bài toán cân bằng của hàm ba biến
và ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận
39
3.1

Phương pháp lặp lai ghép cho bài toán cân bằng cho hàm ba
biến và ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận . . . . . . . . . . .

3.2

39

Phương pháp lặp lai ghép song song cho bài toán cân bằng
của hàm ba biến và ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận . . . .

57

3.3

Ví dụ số minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

76

3.4

Kết luận Chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

86

1

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

2

Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

TÀI LIỆU THAM KHẢO

88


1

MỞ ĐẦU
1

Tính cấp thiết của đề tài
Nhiều vấn đề trong toán học và những ngành khoa học kĩ thuật dẫn đến

việc giải bài tốn cân bằng (EP )1 sau: Tìm điểm x ∈ K sao cho
ψ(x, y) ≥ 0 với mọi y ∈ K,
trong đó K là tập khác rỗng, lồi, đóng trong khơng gian Banach E và
ψ : K × K −→ R là hàm hai biến.
Bài toán cân bằng (EP ) được Muu và Oettli [1] giới thiệu vào năm 1992.
Sau đó, một số kết quả về điều kiện đủ cho sự tồn tại nghiệm của bài toán
cân bằng đã được thiết lập bởi Blum và Oettli [2], Noor và Oettli [3]. Vì bài
tốn (EP ) là bài tốn tổng qt của nhiều mơ hình tốn học khác như bài
toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán điểm bất động nên
bài toán (EP ) được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu theo nhiều hướng
khác nhau, trong đó có hướng nghiên cứu sự tồn tại nghiệm, tính chất của

tập nghiệm và phương pháp giải. Năm 2005, Combettes và Hirstoaga [4] đã
chứng minh rằng tập nghiệm của bài toán cân bằng (EP ) là tập điểm bất
động của ánh xạ giải thức Tr : H −→ 2K được xác định bởi
n
o
1
Tr (u) = w ∈ K : ψ(w, y)+ϕ(y)−ϕ(w)+ hy−w, w−ui ≥ 0 với mọi y ∈ K
r
với K là tập con khác rỗng, lồi, đóng trong khơng gian Hilbert H. Đồng thời,
một số tính chất của tập nghiệm bài toán cân bằng (EP ) cũng được thiết
lập thông qua tập điểm bất động của ánh xạ Tr . Từ đó, việc nghiên cứu
phương pháp giải bài toán cân bằng (EP ) tương đương với việc nghiên cứu
kĩ thuật tìm điểm bất động của ánh xạ giải thức Tr . Tương tự với kĩ thuật
nghiên cứu điểm bất động bằng những dãy lặp khác nhau, một số tác giả
1

Equilibrium problem.


2

đã xây dựng dãy lặp và khảo sát sự hội tụ của dãy lặp này đến nghiệm của
bài toán cân bằng hoặc đến hình chiếu của điểm xuất phát lên tập nghiệm
của bài tốn cân bằng. Bên cạnh đó, một số tác giả đã xây dựng dãy lặp và
thiết lập sự hội tụ của nó đến điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng
và tập điểm bất động của ánh xạ không giãn cũng như những ánh xạ không
giãn suy rộng. Hướng nghiên cứu này đã đạt được nhiều kết quả trong không
gian Hilbert [5, 6]. Trong những năm gần đây, một số tác giả quan tâm mở
rộng kết quả hội tụ của bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ
không giãn từ không gian Hilbert sang không gian Banach. Một trong những

cách tiếp cận là sử dụng ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc, phiếm hàm Lyapunov và
phép chiếu suy rộng trong không gian Banach trơn. Hướng nghiên cứu này
đã đạt được nhiều kết quả nhất định, có thể kể đến là [7, 8, 9, 10], trong đó
kết quả của [8, 9] là sự hội tụ của dãy lặp lai ghép đến điểm chung của tập
nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của ánh xạ tựa φ-không giãn
tiệm cận trong không gian Banach. Lưu ý rằng lớp ánh xạ tựa φ-không giãn
tiệm cận là một mở rộng của ánh xạ không giãn và ánh xạ không giãn tiệm
cận trong không gian Banach trơn.
Gần đây, bài toán (EP ) cũng được mở rộng theo nhiều cách tiếp cận khác
nhau. Năm 2019, Mahato và cộng sự [11] đã mở rộng bài toán (EP ) cho hàm
ψ từ hai biến sang hàm ψ ba biến như sau: Tìm điểm x ∈ K thỏa mãn
ψ(y, x, x) ≥ 0 với mọi y ∈ K,

(0.1)

trong đó K là tập khác rỗng, lồi, đóng trong khơng gian Banach E và ψ :
K ×K ×K −→ R là hàm ba biến. Đồng thời, các tác giả đã nghiên cứu sự tồn
tại nghiệm của bài toán cân bằng cho hàm ba biến và giới thiệu phương pháp
lặp để tìm điểm chung của tập điểm bất động của họ đếm được những ánh
xạ tựa φ-không giãn và tập nghiệm của họ hữu hạn những bài toán cân bằng
ba biến này. Phương pháp lặp được trình bày trong bài báo [11] có dạng


3

như sau.



x0 = x ∈ K, K0 = K, Q0 = K





∞



P

−1

z
=
J
α
Jx
+
αni JTi xn ,

n
n0
n


i=1






yn = J −1 (δn Jxn + (1 − δn ) Jzn ) ,






m−1
2
1
 un = T ψm Trψm−1,n
. . . Trψ2,n
Trψ1,n
yn
rm,n
1

ψj

hy − z, Jz − Jyn i ≥ 0, ∀y ∈ K},
với
T
y
=
{z
∈
K
:
ψ
(y,

z,
z)
+

r
n
j
j,n


r
j,n












K
=
ω
∈
K
:
G
ω,
Ju

≤
G
ω,
Jy
≤
G
ω,
Jx
, n ≥ 1,

n
n−1
n
n
n







Q
=
ω ∈ Qn−1 : hxn − ω, Jx − Jxn i + ρf (ω) − ρf (xn ) ≥ 0}, n ≥ 1,

n






 xn+1 = π f
Kn ∩Qn x.
(0.2)
Đối với dãy lặp (0.2), chúng ta phải tìm hai tập Kn và Qn ở mỗi bước lặp.
Điều này đòi hỏi chúng ta phải thực hiện nhiều phép toán trong mỗi bước lặp
và mất nhiều thời gian tính tốn. Hơn nữa, các kết quả này được trình bày
trong bài báo [11] rất cơ đọng và chưa có ví dụ minh họa cụ thể. Chính vì
vậy, chúng tơi đặt ra vấn đề nghiên cứu sau.
(1) Chi tiết hóa phép chứng minh của kết quả về điều kiện tồn tại nghiệm
cho bài toán cân bằng ba biến trong bài báo [11].
(2) Cải tiến dãy lặp (0.2) bằng cách thay hai tập Kn và Qn bởi tập Kn+1
trong mỗi bước lặp và mở rộng từ họ đếm được những ánh xạ tựa φkhông giãn sang họ đếm được những ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận;
từ đó xây dựng một dãy lặp lai ghép cho họ hữu hạn bài toán cân bằng
ba biến và họ đếm được những ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận. Sau đó,
chúng tơi chứng minh sự hội tụ của dãy lặp này trong không gian Banach
trơn đều và lồi đều.
(3) Sử dụng phương pháp lặp song song được giới thiệu bởi Anh và Chung


4

trong bài báo [12] và phương pháp chiếu thu hẹp trong không gian Banach
để xây dựng dãy lặp lai ghép song song cho họ hữu hạn bài toán cân bằng
ba biến và họ hữu hạn những ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận. Từ đó,
chúng tơi chứng minh sự hội tụ của dãy lặp này trong không gian Banach
trơn đều và lồi đều.
(4) Xây dựng ví dụ số minh họa cho kết quả hội tụ của phương pháp lặp.
Việc nghiên cứu những nội dung trên góp phần bổ sung thêm những

kết quả về sử dụng phương pháp lặp để tìm điểm chung của tập nghiệm
bài toán cân bằng ba biến và tập điểm bất động của những ánh xạ tựa
φ-không giãn tiệm cận trong khơng gian Banach.

2

Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống hóa và chi tiết hóa một số kết quả liên quan đến điểm bất động

của ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận, sự tồn tại nghiệm của bài tốn cân
bằng cho hàm ba biến trong khơng gian Banach.
- Xây dựng một số dãy lặp và chứng minh sự hội tụ của những dãy lặp này
đến điểm chung của tập nghiệm của bài toán cân bằng của hàm ba biến và
tập điểm bất động của ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận trong khơng gian
Banach; đưa ra ví dụ minh họa cho kết quả hội tụ của dãy lặp.

3

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu một số loại dãy lặp, ánh xạ tựa

φ-khơng giãn tiệm cận, bài tốn cân bằng của hàm ba biến.
- Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán cân
bằng của hàm ba biến, xây dựng dãy lặp lai ghép hội tụ về điểm chung của


5

tập nghiệm của bài toán cân bằng của hàm ba biến và tập điểm bất động
của ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận trong không gian Banach.

4

Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài nghiên cứu
- Ý nghĩa khoa học: Các kết quả của luận văn có ý nghĩa khoa học, có tính

thời sự trong lĩnh vực Lý thuyết điểm bất động và áp dụng. Các kết quả đạt
được của luận văn góp phần bổ sung thêm những phương pháp nghiên cứu
điểm chung của tập nghiệm bài toán cân bằng và tập điểm bất động của
ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận trong không gian Banach phản xạ.
- Ý nghĩa thực tiễn: Các kết quả của luận văn là tài liệu tham khảo cho
sinh viên và học viên trong học tập và nghiên cứu những học phần thuộc
kiến thức Giải tích. Việc nghiên cứu luận văn góp phần nâng cao năng lực
nghiên cứu khoa học của học viên cao học và khả năng vận dụng những
kiến thức, kĩ năng, phương pháp chuyên ngành vào đề tài cụ thể.

5

Cấu trúc luận văn
Ngoài Phần mở đầu, Phần kết luận và kiến nghị, nội dung chính của

luận văn gồm 3 chương sau.
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Chương 2. Ánh xạ tựa φ-khơng giãn tiệm cận và nghiệm của bài tốn
cân bằng cho hàm ba biến
Chương 3. Phương pháp lặp cho bài toán cân bằng của hàm ba biến và
ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận


6

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1

Không gian Banach lồi đều và trơn đều

Trong mục này, chúng tơi trình bày về một số khái niệm, tính chất liên quan
đến khơng gian Banach lồi đều và trơn đều được sử dụng trong luận văn.
Định nghĩa 1.1.1 ([13], Definition 1.2). Cho E là một không gian vectơ trên
trường số K với K = R hoặc K = C và ánh xạ k.k : E −→ R. Khi đó, k.k
được gọi là chuẩn trên E nếu nó thoả mãn các điều kiện sau:
(1) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ E; kxk = 0 ⇔ x = θ ∈ E.
(2) kλxk = |λ| kxk với mọi x ∈ E và λ ∈ K.
(3) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ E.
Khơng gian vectơ E cùng với chuẩn k.k trong nó được gọi là khơng gian
định chuẩn, kí hiệu là (E, k.k). Để ngắn gọn, ta kí hiệu E thay cho (E, k.k).
Định nghĩa 1.1.2 ([13], Definition 1.5). Cho không gian định chuẩn (E, k.k),
{xn } là một dãy trong E. Khi đó
(1) {xn } được gọi là hội tụ về a ∈ E nếu lim kxn − ak = 0. Khi đó, ta gọi a
n→∞

điểm giới hạn của dãy {xn } và kí hiệu là lim xn = a.
n→∞


7

(2) {xn } được gọi là dãy Cauchy trong E nếu lim kxn − xm k = 0.

n,m→∞

(3) E được gọi là không gian Banach nếu mỗi dãy Cauchy của nó là một dãy
hội tụ.
Định nghĩa 1.1.3 ([13], Definition 1.8 and Definition 1.9). Cho (E, k.k) là
một không gian định chuẩn, A ⊂ E, a ∈ E và r > 0. Khi đó
(1) Tập hợp B(a, r) = {x ∈ E : kx − ak < r} được gọi là hình cầu mở tâm a,
bán kính r.
(2) Tập hợp B[a, r] = {x ∈ E : kx − ak ≤ r} được gọi là hình cầu đóng
tâm a, bán kính r.
(3) Tập hợp S(a, r) = {x ∈ E : kx − ak = r} được gọi là mặt cầu tâm a,
bán kính r.
(4) A được gọi là tập mở trong E nếu có một họ hình cầu mở {B(ai , ri )}i∈I
S
trong E sao cho A =
B(ai , ri ).
i∈I

(5) A được gọi là tập mở trong E nếu E\A là một tập đóng trong E.
(6) A được gọi là tập compact trong E nếu với mọi dãy {xn } ⊂ A đều có một
dãy con {xk(n) } hội tụ về x ∈ A.
Định nghĩa 1.1.4. Cho không gian vectơ E trên trường số K với K = R
hoặc K = C. Khi đó
(1) ([14], p.70) Một ánh xạ từ E × E vào K biến (x, y) 7→ hx, yi được gọi là
tích vơ hướng trên E nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau.
(a) hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ E; hx, xi ≥ 0 ⇔ x = θ.


8

(b) hy, xi = hx, yi với mọi x, y ∈ E.
(c) hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi với mọi x, x0 , y ∈ E.
(d) hλx, yi = λhx, yi với mọi x, y ∈ E và λ ∈ K.
(2) ([14], p.71) Nếu h., .i là một tích vơ hướng trên E thì ánh xạ x 7→

p

hx, xi

là một chuẩn trên E. Chuẩn này được gọi là chuẩn sinh bởi tích vơ hướng.
(3) ([14], p.70-71) Nếu h., .i là tích vơ hướng trên E thì cặp (E, h., .i) được
gọi là khơng gian tiền Hilbert. Ta cũng viết là không gian tiền Hilbert E.
Nếu không gian tiền Hilbert E với chuẩn sinh bởi tích vơ hướng có tính
đầy đủ thì E được gọi là không gian Hilbert.
Bổ đề 1.1.5 ([14], p.71). Cho h., .i là tích vơ hướng trên E. Khi đó, với mọi
x, y ∈ E ta có |hx, yi| ≤ kxk . kyk .
Định nghĩa 1.1.6. Cho E là không gian lồi địa phương, K là tập con của
E và hàm f : K −→ R ∪ {±∞} . Khi đó
(1) ([15], Definition 2.1) Tập hợp epif = {(x, r) ∈ K ×R : f (x) ≤ r} được gọi
là trên đồ thị của hàm f .
(2) ([15], Definition 2.2) Tập hợp domf = {x ∈ K : f (x) < +∞} được gọi là
miền hữu hiệu của hàm f .
(3) ([15], Definition 2.3) Hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= ∅ và
f (x) > −∞ với mọi x ∈ K.
(4) ([15], Definition 2.4) Hàm f được gọi là lồi trên K nếu epif là tập lồi
trong K × R.


9

Định nghĩa 1.1.7 ([16], p.4). Cho E là không gian metric và f : E −→ R.
Khi đó
(1) f được gọi là nửa liên tục trên tại x ∈ E nếu với mọi dãy {xn } hội tụ
đến x ta ln có f (x) ≥ lim sup f (xn ) .
n→∞

(2) f được gọi là nửa liên tục dưới tại x ∈ E nếu với mọi dãy {xn } hội tụ
đến x ta ln có f (x) ≤ lim inf f (xn ) .
n→∞

Bổ đề 1.1.8 ([17], Proposition 23.1). Cho E là một không gian Banach và
f : E −→ R ∪ {∞} là một hàm lồi, nửa liên tục dưới. Khi đó, tồn tại x∗ ∈ E ∗
và α ∈ R sao cho f (x) ≥ hx, x∗ i + α.
Định nghĩa 1.1.9 ([18], p.9-10). Cho A và B là hai tập hợp bất kì. Khi đó
(1) Ánh xạ F từ A vào tập hợp toàn bộ các tập con của B (được kí hiệu là
2B ) được gọi là ánh xạ đa trị từ A vào B. Ta kí hiệu F : A −→ 2B .
(2) Ánh xạ F từ A vào B được gọi là ánh xạ đơn trị nếu với mỗi a ∈ A ta có
tập F (a) chỉ gồm đúng một phần tử của B.
(3) Ánh xạ ngược F −1 từ B vào A của ánh xạ đa trị F từ A vào B được xác
định bởi công thức
F −1 (b) = {a ∈ A : b ∈ F (a)}.
Định nghĩa 1.1.10 ([10], p.46). Cho E là một không gian Banach và
S(0, 1) = {x ∈ E : kxk = 1}
là mặt cầu đơn vị trong E. Khi đó


10

(1) E được gọi là lồi ngặt nếu với mọi x, y ∈ S(0, 1) ta có nếu x 6= y thì
kx + yk < 2.

(2) E được gọi là lồi đều nếu với mỗi ε ∈ (0, 2] , tồn tại δ > 0 sao cho với mọi
x, y ∈ S(0, 1) thỏa mãn kx − yk ≥ ε thì kx + yk ≤ 2 (1 − δ) .
kx + tyk − kxk
tồn tại với mọi x, y ∈
t→0
t

(3) E được gọi là trơn nếu giới hạn lim
S(0, 1).

kx + tyk − kxk
đạt được đều với
t→0
t

(4) E được gọi là trơn đều nếu giới hạn lim
mọi x, y ∈ S(0, 1).

(5) E được gọi là có tính chất Kadec-Klee nếu với mọi dãy {xn } ⊂ E và x ∈ E
thoả mãn {xn } hội tụ yếu về x và lim kxn k = kxk thì lim kxn − xk = 0.
n→∞

n→∞

Nhận xét 1.1.11 ([19], p.196 and [20], p.750). Mỗi không gian Banach lồi
đều là lồi ngặt, phản xạ và có tính chất Kadec-Klee.
Cho E là khơng gian Banach và E ∗ là không gian liên hợp của E. Ánh xạ
đối ngẫu chuẩn tắc

2

∗

J : E −→ 2E được xác định bởi
2

2

Jx = {x∗ ∈ E ∗ : hx∗ , xi = kxk = kx∗ k } với mọi x ∈ E.
Sau đây, chúng tơi sẽ trình bày một số tính chất của ánh xạ đối ngẫu
chuẩn tắc.
Mệnh đề 1.1.12. Cho E là không gian Banach, E ∗ là không gian đối ngẫu
∗

của E và J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc từ E tới 2E . Khi đó
(1) ([21], p.27 and [22], Remark 7.3) Nếu E là trơn thì J là đơn trị. Đặc biệt,
nếu E là khơng gian Hilbert thì J = I cũng là đơn trị.
2

Normalized duality mapping.


11

(2) ([21], p.46) Nếu E là lồi ngặt thì J là đơn điệu ngặt.
(3) ([23], p.308) Nếu E là trơn đều thì J là liên tục đều trên mỗi tập con bị
chặn của E.
(4) ([24], p.3) Nếu E là trơn, lồi ngặt, phản xạ thì kJxk = kxk với mọi x ∈ E
và J liên tục yếu, nghĩa là {Jxn } hội tụ yếu về Jx với mọi dãy {xn } hội
tụ về x. Nếu E là lồi ngặt và phản xạ thì J −1 là liên tục yếu. Nếu E

là trơn, lồi ngặt, phản xạ thì J là song ánh và
J −1 x
= kxk với mọi
x ∈ E ∗.
(5) ([8], Remark 2.1) Nếu E là trơn đều thì E là trơn và phản xạ.
(6) ([21], p.53) E là trơn đều nếu và chỉ nếu E ∗ là lồi đều.
Bổ đề 1.1.13 ([25]). Cho E là một không gian Banach lồi đều, r > 0 và
B[0, r] là hình cầu đóng của E. Khi đó, với mọi dãy {xn } ⊂ B[0, r] và dãy
∞
P
{λn } các số dương thoả mãn
λn = 1, tồn tại hàm g : [0, 2r) −→ [0, ∞)
n=1

lồi, liên tục và tăng ngặt với g(0) = 0 sao cho với mọi i, j ∈ N, i < j ta có
∞
∞
2 X
X


2
λn xn
≤
λn kxn k − λi λj g (kxi − xj k) .

n=1

1.2

n=1

Phép chiếu suy rộng trong không gian Banach

Trong mục này, chúng tơi trình bày về một số khái niệm và tính chất
liên quan đến một số kiểu phép chiếu suy rộng trong không gian Banach.
Trước hết, chúng tôi nhắc lại khái niệm phép chiếu metric trong không gian
Hilbert.


12

Định nghĩa 1.2.1 ([22], Definition 2.3). Cho K là một tập con khác rỗng,
lồi, đóng của khơng gian Hilbert H. Khi đó, ánh xạ PK : H −→ K được gọi
là phép chiếu metric nếu PK biến điểm x ∈ H thành điểm PK (x) = x ∈ K
sao cho
kx − xk = inf kx − yk .
y∈K

Năm 1996, Alber [22] đã giới thiệu phép chiếu suy rộng3 ΠK trong không
gian Banach E. Phép chiếu suy rộng ΠK là một sự tương tự và mở rộng của
phép chiếu metric PK trong không gian Hilbert. Xét phiếm hàm Lyapunov
φ : E × E −→ R được xác định bởi
2

2

φ (x, y) = kxk − 2 hx, Jyi + kyk với mọi x, y ∈ E.

(1.1)

Sau đây, chúng tơi sẽ trình bày một số tính chất của phiếm hàm Lyapunov.
Nhận xét 1.2.2. (1) Với mọi x, y, z ∈ E, từ công thức (1.1), ta được
2

2

(kxk − kyk) ≤ φ (x, y) ≤ (kxk + kyk)

(1.2)

φ(x, y) = φ(x, z) + φ(z, y) + 2 hx − z, Jz − Jyi .

(1.3)

và

(2) Nếu E là không gian Banach trơn, lồi ngặt và phản xạ thì với mọi x, y ∈ E
ta có φ (x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y. Thật vậy, nếu x = y thì
2

2

φ (x, y) = 2kxk − 2 hx, Jxi = 2kxk − 2 hx, x∗ i = 0.
Ngược lại, nếu φ (x, y) = 0 thì từ (1.2) ta có kxk = kyk. Điều này dẫn
2

2

đến hx, Jyi = kxk = kyk . Từ định nghĩa của J, ta có Jx = Jy. Do đó,
x = y.
3

Generalized projection.


13

Bổ đề 1.2.3 ([26], p.940). Cho E là không gian Banach trơn và lồi đều, {xn },
{yn } là hai dãy trong E thỏa mãn {xn } hoặc {yn } bị chặn và lim φ (xn , yn ) = 0.
n→∞

Khi đó lim kxn − yn k = 0.
n→∞

Phép chiếu suy rộng ΠK trong không gian Banach trơn E được trình bày
trong [22] như sau.
Định nghĩa 1.2.4 ([22], Definition 7.2). Cho K là một tập con khác rỗng, lồi,
đóng của khơng gian Banach trơn E. Khi đó, ánh xạ ΠK : E −→ K được gọi là
phép chiếu suy rộng nếu ΠK biến điểm x ∈ E thành điểm ΠK (x) = x ∈ K
sao cho
φ(x, x) = inf φ(y, x).
y∈K

Sự tồn tại duy nhất của toán tử ΠK được suy ra từ các tính chất của hàm
φ (y, x) và tính đơn điệu ngặt của ánh xạ J. Nếu E là khơng gian Hilbert thì
2

φ (y, x) = ky − xk với mọi x, y ∈ E và ΠK chính là phép chiếu metric PK
của E lên K.
Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm f -phép chiếu suy rộng4 . Xét
ánh xạ G : K × E ∗ −→ R ∪ {∞} xác định bởi
2

2

G (ξ, ϕ) = kξk − 2 hξ, ϕi + kϕk + 2ρf (ξ) ,

(1.4)

với ξ ∈ K, ϕ ∈ E ∗ , ρ là số dương và f : K −→ R ∪ {∞} là chính thường,
lồi và nửa liên tục dưới. Từ định nghĩa của G và và tính chất của hàm f,
chúng ta nhận được tính chất của G (ξ, ϕ) như sau.
(1) G (ξ, ϕ) là lồi và liên tục đối với ϕ khi ξ cố định.
(2) G (ξ, ϕ) là lồi và nửa liên tục dưới đối với ξ khi ϕ cố định.
4

Generalized f -projection operator.


14

Định nghĩa 1.2.5 ([23], p.309). Cho E là một không gian Banach với
f
đối ngẫu E ∗ , K là tập con khác rỗng, lồi, đóng của E. Khi đó, πK
: E ∗ −→ 2K

được gọi là f -phép chiếu suy rộng nếu

ΠfK ϕ = {u ∈ K : G (u, ϕ) = inf G (ξ, ϕ)} với mọi ϕ ∈ E ∗ .
ξ∈K

(1.5)

Một số tính chất của f -phép chiếu suy rộng đã được Wu và Huang [23]
đưa ra như sau.
Bổ đề 1.2.6 ([23], p.309 – 310). Cho E là một không gian Banach trơn, phản
xạ và K là tập con khác rỗng, lồi, đóng của E. Khi đó
(1) ΠfK ϕ là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của K với mọi ϕ ∈ E ∗ .
(2) Nếu E là lồi ngặt và f : K −→ R ∪ {∞} là thuần nhất dương5 thì ΠfK là
ánh xạ đơn trị.
Gần đây, Fan và các cộng sự [27] đã chứng tỏ điều kiện f thuần nhất
dương xuất hiện trong bổ đề trên có thể bỏ đi.
Bổ đề 1.2.7 ([27], p.3999). Cho E là một không gian Banach phản xạ, lồi
ngặt với đối ngẫu E ∗ và K là tập con khác rỗng, lồi, đóng của E. Khi đó,
ΠfK là ánh xạ đơn trị.
Khi E là không gian Banach trơn ta có J là ánh xạ đơn trị. Khi đó, tồn
tại duy nhất phần tử ϕ ∈ E ∗ sao cho ϕ = Jx với x ∈ E. Do đó, từ (1.4)
ta được
2

2

G (ξ, Jx) = kξk − 2 hξ, Jxi + kJxk + 2ρf (ξ) .

(1.6)

Tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm f -phép chiếu suy rộng trong
không gian Banach trơn.

5

Nghĩa là với mọi x ∈ K và t > 0 thoả mãn tx ∈ K ta có f (tx) = tf (x).


15

Nhận xét 1.2.8. ([28], p.1324) Cho E là không gian Banach trơn, từ (1.5)
và (1.6), f -phép chiếu suy rộng được kí hiệu và xác định bởi
f
πK
x = {u ∈ K : G (u, Jx) = inf G (ξ, Jx)} với mọi x ∈ E.
ξ∈K

f
Nhận xét 1.2.9. Từ định nghĩa của f -phép chiếu suy rộng πK
x, ta thấy
f
u = πK
x nếu và chỉ nếu G(u, Jx) ≤ G(ξ, Jx) với mọi ξ ∈ K.

Bổ đề 1.2.10 ([28], p.1325). Cho E là không gian Banach trơn, phản xạ và
K là tập con khác rỗng, lồi, đóng của E. Khi đó
f
(1) πK
x là tập con khác rỗng, lồi, đóng của K với mọi x ∈ E.
f
(2) Nếu E là lồi ngặt thì πK
là ánh xạ đơn trị.

Bổ đề 1.2.11 ([28], p.1325). Cho E là không gian Banach trơn, phản xạ và
f
K là tập con khác rỗng, lồi, đóng của E, x ∈ E và xˆ ∈ πK
x. Khi đó

φ (y, xˆ) + G (ˆ
x, Jx) ≤ G (y, Jx) với mọi y ∈ K.

1.3

Kết luận Chương 1

Trong Chương 1, tổng hợp từ một số tài liệu tham khảo, luận văn đã giới
thiệu về không gian Banach lồi đều và trơn đều và phép chiếu suy rộng trong
không gian Banach bao gồm:
- Một số khái niệm, tính chất liên quan đến khơng gian Banach lồi đều và
trơn đều.
- Một số khái niệm cơ bản, cần thiết như: phép chiếu metric, phiếm hàm
Lyapunov, phép chiếu suy rộng và f -phép chiếu suy rộng.


16

CHƯƠNG 2
ÁNH XẠ TỰA φ-KHÔNG GIÃN TIỆM CẬN VÀ
NGHIỆM CỦA BÀI TỐN CÂN BẰNG
CHO HÀM BA BIẾN

2.1

Ánh xạ tựa φ-khơng giãn tiệm cận

Trong mục này, chúng tơi trình bày định nghĩa và tính chất của tập điểm
bất động của ánh xạ tựa φ-không giãn và ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận.
Trước hết, ta kí hiệu F (S) là tập các điểm bất động của ánh xạ S từ K
vào chính nó, nghĩa là F (S) = {x ∈ K : Sx = x} .
Định nghĩa 2.1.1. Cho E là không gian Banach trơn, K là tập con khác rỗng
của E và ánh xạ S : K −→ K. Khi đó
(1) ([29], p.1052) S được gọi là tựa φ-khơng giãn nếu F (S) 6= ∅ và với mọi
p ∈ F (S) và x ∈ K ta có φ (p, Sx) ≤ φ (p, x) .
(2) ([30], p.3876) S được gọi là tựa φ-không giãn tiệm cận nếu tồn tại một
dãy số thực {tn } thoả mãn tn ≥ 1, lim tn = 1 và F (S) 6= ∅ sao cho
n→∞

n

φ (p, S x) ≤ tn φ (p, x) với mọi n ≥ 1, x ∈ K và p ∈ F (S).
(3) ([24], Definition 2) S được gọi là đóng nếu với mọi dãy {un } ⊂ K


17

thoả mãn lim un = a và lim Sun = b thì Sa = b.
n→∞

n→∞

(4) ([9], Definition 2.2) S được gọi là chính quy tiệm cận đều trên K nếu với

mọi tập con bị chặn A ⊂ K ta có lim sup
S n+1 a − S n a
= 0.
n→∞ a∈A

Sau đây, chúng tơi sẽ trình bày một số ví dụ về ánh xạ tựa φ-khơng giãn
tiệm cận.
Ví dụ 2.1.2 ([8]). Cho E = R là không gian Banach với chuẩn kxk = |x| với
mọi x ∈ E. Khi đó, φ(x, y) = (x − y)2 với mọi x, y ∈ E. Xét K = [−1; 1] và
x
S : K −→ K được xác định bởi Sx = với mọi x ∈ K. Khi đó
2
(1) S là ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận với dãy {tn } thoả mãn tn = 1 với
mọi n ≥ 1.
(2) S là ánh xạ đóng.
(3) S là ánh xạ chính quy tiệm cận đều.
Chứng minh. (1) Ta sẽ chứng minh S là ánh xạ tựa φ-khơng giãn tiệm cận.
Thật vậy, ta có
o
n
y
F (S) = {y ∈ K : Sy = y} = y ∈ K : = y = {0}.
2
Do đó, F (S) 6= ∅. Với p = 0 ∈ F (S) và x ∈ K ta có
 x  x2
φ(p, S x) = φ 0, n = n
2
4
n

với mọi n ≥ 1 và φ(p, x) = φ(0, x) = x2 . Điều này dẫn đến
φ(p, S n x) ≤ φ(p, x) với mọi n ≥ 1.


18

Do đó, φ(p, S n x) ≤ tn φ(p, x) với tn = 1 với mọi n ≥ 1, x ∈ K và p ∈ F (S).
Vậy S là ánh xạ tựa φ-không giãn tiệm cận.
(2) Ta sẽ chứng minh S là ánh xạ đóng. Thật vậy, xét dãy {un } ⊂ K thoả
mãn lim un = a và lim Sun = b. Khi đó, vì lim Sun = b nên
n→∞
n→∞
n→∞