Dáp án tổng ôn số phức 2

HÌNH HỌC 12: TỔNG ƠN OXYZ (182)
Câu 1.

Chọn B
Ta có một véc tơ chỉ phương của đường thẳng 𝑑 là 𝑢 ⃗ = (2; −3; 4).
Một véc tơ chỉ phương của đường thẳng 𝑑 là 𝑢 ⃗ = (1; 2; −1).
Gọi 𝑛⃗ là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (𝑃). Do (𝑃) song song với hai đường thẳng 𝑑 và

𝑛⃗ ⊥ 𝑢 ⃗
⇒ 𝑛⃗ = [𝑢 ⃗, 𝑢 ⃗] = (−5; 6; 7).
𝑛⃗ ⊥ 𝑢 ⃗

𝑑 nên
Câu 2.

Chọn D

Câu 3.

(𝑃): 2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 0 có VTPT 𝑛 ⃗ = (2; −1; 1); (𝑄 ): 𝑥 − 𝑧 = 0 có VTPT 𝑛 ⃗ = (1; 0; −1).
Giao tuyến của hai mặt phẳng (𝑃)và (𝑄) có một vecto chỉ phương là 𝑢⃗ = [𝑛 ⃗, 𝑛 ⃗] = (1; 3; 1).
Chọn A
Các mặt phẳng (𝑃 ), (𝑄 ), (𝑅) có vectơ pháp tuyến lần lượt là 𝑛 ⃗ = (1; 3𝑚; −1), 𝑛 ⃗ =
(𝑚; −1; 1), 𝑛 ⃗ = (1; −1; −2),.
khi đó giao tuyến của hai mặt phẳng (𝑃) và (𝑄) có vectơ chỉ phương là 𝑢⃗ = 𝑛 ⃗, 𝑛 ⃗ =
(3𝑚 − 1; − 𝑚 − 1; −1 − 3 𝑚
).
Để giao tuyến hai mặt phẳng (𝑃) và (𝑄 ) vng góc với mặt phẳng (𝑅) thì 𝑢⃗, 𝑛 ⃗ cùng phương,
suy ra :

Câu 4.

=

=

⇔ 𝑚 = 1.

Chọn B
Hai mặt phẳng (𝑃), (𝑄) lần lượt có VTPT là:
𝑛 ⃗ = (2; −𝑚;  3), 𝑛 ⃗ = (𝑚 + 3; −2;  5𝑚 + 1). (𝑃) ⊥ (𝑄) ⇔ 𝑛⃗ . 𝑛⃗ = 0 ⇔ 19𝑚 = −9 ⇔
𝑚=

.

Câu 5. Chọn A
Trung điểm của đoạn 𝐴𝐵 là 𝐼(2; 1; −1). Mặt phẳng trung trực đoạn 𝐴𝐵 chứa 𝐼 và có
vectơ pháp tuyến là 𝐴𝐵⃗ = (2; 2; 4) có phương trình
2(𝑥 − 2) + 2(𝑦 − 1) + 4(𝑧 + 1) = 0 ⇔ 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0

Câu 6. Chọn B
Gọi (𝛼) là mp cần tìm.
Do (𝛼) ⊥ 𝛥 nên 𝑛 ⃗ = 𝑢 ⃗ = (3; −2; 1) và (𝛼) qua 𝑀(3; −1; 1)nên pt mp (𝛼) là:

(𝛼): 3(𝑥 − 3) − 2(𝑦 + 1) + 1(𝑧 − 1) = 0 ⇔ 3𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 12 = 0.
Câu 7.

Chọn C

Từ phương trình (𝑃): 2𝑥 + 3𝑦 − 4𝑧 + 5 = 0 ta có VTPT là 𝑛⃗ = (2; 3; −4)
TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

1


Câu 8.

Chọn A
→

𝑑 có VTCP là 𝑢 (2; −1; −3).
→

(𝑃) đi qua 𝐵( − 1; 0; 2) và vng góc đường thẳng (𝑑) nên có VTPT là 𝑢 (2; −1; −3).
Vậy phương trình (𝑃) là: 2(𝑥 + 1) − 1(𝑦 − 0) − 3(𝑧 − 2) = 0 ⇔ 2𝑥 − 𝑦 − 3𝑧 + 8 = 0.
Câu 9.

Chọn D
x 1 y z 1
Cách 1: Vì phương trình mặt phẳng  P  vng góc với đường thẳng d :
nên
 
2
1
1

véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng  P  là: n  2; 1; 1

Phương trình mặt phẳng ( P ) : 2( x  1)  ( y  2)  ( z  0)  0  2x  y  z  4  0
Cách 2: Quan sát nhanh các phương án ta loại trừ được phương án A vì khơng đúng véctơ pháp
tuyến, ba phương án cịn lại chỉ có mặt phẳng ở đáp án D là đi qua điểm A 1; 2; 0  .

Câu 10. Chọn C
Mặt phẳng (𝑃) đi qua điểm 𝐴(1; 1; 1) và có véc tơ pháp tuyến 𝑂𝐴⃗ = (1; 1; 1)
Nên: (𝑃): 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0.

Câu 11. Chọn B
Trục 𝑂𝑧 có vectơ chỉ phương 𝑘⃗ = (0; 0; 1) và 𝑂𝑀⃗ = (1; 2; 1).
Vì mặt phẳng (𝑃) chứa trục 𝑂𝑧 và điểm 𝑀(1; 2; 1) nên mặt phẳng (𝑃 ) có vectơ pháp
tuyến 𝑛⃗ = 𝑘⃗ ; 𝑂𝑀⃗ = (−2; 1; 0).
Vậy phương trình mặt phẳng (𝑃 ) đi qua qua 𝑂(0; 0; 0) có dạng: −2𝑥 + 𝑦 = 0 ⇔ 2𝑥 −
𝑦.

Câu 12. Chọn D
(𝑃) vng góc với 𝑑 nên (𝑃 ) nhận 𝑢⃗ = (1; −1; 2) là vtpt.
Vậy (𝑃 ): 1(𝑥 − 2) − 𝑦 + 2(𝑧 + 1) = 0 ⇔ 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 0.

Câu 13. Chọn D
Mặt phẳng (𝛼) vng góc 𝑑 nên Vtpt của 𝑚𝑝(𝛼) là: 𝑛 ⃗ = (2; −1; 3).
Vậy phương trình 𝑚𝑝(𝛼):2𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 + 8 = 0.
Câu 14. Chọn A
Véctơ chỉ phương của đường thẳng d là: 𝑛⃗ = (2; 1; 2).
Vì mặt phẳng (𝑃) vng góc với đường thẳng d nên mặt phẳng (𝑃) có véctơ pháp tuyến là:
𝑛⃗ = (2; 1; 2).

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

2


Câu 15. Chọn A
Mặt phẳng (𝛼): 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0 có vec tơ pháp tuyến 𝑛⃗ = (1; −1; 2)

Trên trục 𝑂𝑧có vec tơ đơn vị 𝑘⃗ = (0; 0; 1)
Mặt phẳng chứa trục 𝑂𝑧 và vng góc với mặt phẳng (𝛼)là mặt phẳng qua 𝑂 và nhận
𝑛⃗ ; 𝑘⃗ = (−1; −1; 0) làm vec tơ pháp tuyến. Do đó có phương trình −𝑥 − 𝑦 = 0 ⇔
𝑥 + 𝑦 = 0.
Câu 16. Chọn A
Ta có

𝐴 là hình chiếu của 𝑀(2; 3; −5) trên trục 𝑂𝑥 nên 𝐴(2; 0; 0).
𝐵 là hình chiếu của 𝑀(2; 3; −5) trên trục 𝑂𝑦 nên 𝐵(0; 3; 0).
𝐶 là hình chiếu của 𝑀(2; 3; −5) trên trục 𝑂𝑧 nên 𝐶(0; 0; −5).
Phương trình mặt phẳng (𝛼) đi qua ba điểm 𝐴, 𝐵 , 𝐶 là
+ + = 1 ⇔ 15𝑥 − 10𝑦 − 6𝑧 + 30 = 0.
Câu 17. Chọn D
𝑢 ⃗ = (1; 4; −2)
Ta có
⇒ [𝑢 ⃗; 𝑢 ⃗]
′ = (2; −3; −5).
𝑢 ⃗′ = (1; −1; 1)
Mặt phẳng (𝑃) đi qua 𝐴(1; −1; 3) và nhận [𝑢 ⃗; 𝑢 ⃗]
′ = (2; −3; −5) là một VTPT
⇒ (𝑃): 2(𝑥 − 1) − 3(𝑦 + 1) − 5(𝑧 − 3) = 0 ⇔ 2𝑥 − 3𝑦 − 5𝑧 + 10 = 0.
Câu 18. Chọn A.
Đường thẳng 𝑑 đi qua 𝐴(2; 6; −2) và có một véc tơ chỉ phương 𝑢 ⃗ = (2; −2; 1).
Đường thẳng 𝑑 có một véc tơ chỉ phương 𝑢 ⃗ = (1; 3; −2).
Gọi 𝑛⃗ là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (𝑃 ). Do mặt phẳng (𝑃) chứa 𝑑 và (𝑃)song song
với đường thẳng 𝑑 nên 𝑛⃗ = [𝑢 ⃗, 𝑢 ⃗] = (1; 5; 8).
Vậy phương trình mặt phẳng (𝑃) đi qua 𝐴(2; 6; −2) và có một véc tơ pháp tuyến 𝑛⃗ = (1; 5; 8) là
𝑥 + 5𝑦 + 8𝑧 − 16 = 0.

Câu 19. Chọn A

(𝑃) có vectơ pháp tuyến 𝑛 ⃗ = (1; 1; 1), (𝑄) có vectơ pháp tuyến 𝑛 ⃗ = (1; −2; 1).
Đặt 𝑢⃗ = [𝑛 ⃗, 𝑛 ⃗] = (3; 0; −3). (𝛼) đi qua điểm 𝑀(1; 2; 3) nhận 𝑢⃗ = (3; 0; −3) là vectơ
pháp tuyến ⇒ (𝛼):3𝑥 − 3𝑧 + 6 = 0 ⇔ 𝑥 − 𝑧 + 2 = 0.
Câu 20. Chọn A
2 1 1 3
3 2
;
;
= (2; −6; 6).
0 1 1 −3 −3 0
[ ⃗, ⃗]
Mặt phẳng (𝛼) nhận
= (1; −3; 3) làm VTPT. Kết hợp giả thuyết chứa điểm 𝑀(0; −1; 4),
Ta có [𝑢⃗, 𝑣⃗] =

suy ra mặt phẳng (𝛼) có phương trình tổng quát là:
1(𝑥 − 0) − 3(𝑦 + 1) + 3(𝑧 − 4) = 0 ⇔ 𝑥 − 3𝑦 + 3𝑧 − 15 = 0.
Câu 21. Chọn B
Mặt phẳng (𝑄)có vtpt 𝑛⃗ = (1; 1; −4).

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

3


Đường thẳng 𝑑có vtcp 𝑢⃗ = (0; 1; −1).
Vì mặt phẳng (𝑃) song song với 𝑑 và vng góc với (𝑄 ) nên có vtpt 𝑎⃗ = [𝑛⃗, 𝑢⃗] = (3; 1; 1).
Vậy phương trình mặt phẳng (𝑃) là: 3𝑥 + 𝑦 − 1 + 𝑧 = 0 ⇔ 3𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0.
Câu 22. Chọn A
Ta có 𝑂𝑥 nhận 𝚤⃗(1; 0; 0) làm vectơ chỉ phương.

Gọi 𝑛⃗(0; 2; 1) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (𝛼): 2𝑦 + 𝑧 = 0.

𝑛⃗. 𝚤⃗ = 0
suy ra mặt phẳng (𝛼 ) chứa 𝑂𝑥 .
𝑂 ∈ (𝛼)
Câu 23.
Lời giải
Chọn A
Mặt phẳng (𝑃) chứa 𝑂𝑥 thì phương trình mặt phẳng (𝑃)có dạng 𝐵𝑦 + 𝐶𝑧 = 0, mặt phẳng(𝑃)
chứa tâm 𝐼 (2; −2; 2) của mặt cầu khi −2𝐵 + 2𝐶 = 0 , chọn 𝐵 = 1 ⇒ 𝐶 = 1
Phương trình mặt phẳng (𝑃 ) 𝑦 + 𝑧 = 0.
Câu 24. Chọn B
Ta có 𝑂𝑀⃗ = (3; −4; 7), vecto chỉ phương của trục 𝑂𝑧 là 𝑘⃗ = (0; 0; 1)
Mặt phẳng (𝑃 ) qua 𝑀(3; −4; 7) có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ = 𝑘⃗ , 𝑂𝑀⃗ = (4; 3; 0)
Phương trình mặt phẳng (𝑃 ): 4𝑥 + 3𝑦 = 0
Câu 25. Chọn B
Đường thẳng (𝑑)đi qua điểm 𝑀(−1; 2; 0) và có véctơ chỉ phương 𝑢⃗(1; −1; 1). Ta có:

𝐴𝑀⃗ = (0; 1; 0).
Vì mp(𝑃 ) chứa (𝑑 ) và điểm 𝐴 nên véctơ pháp tuyến của mp(𝑃 )là 𝑛⃗ = 𝑢⃗, 𝐴𝑀⃗ =

(−1; 0; 1). Suy ra phương trình tổng quát của mp(𝑃) là.
−(𝑥 + 1) + 0(𝑦 − 1) + 𝑧 = 0 ⇔ −𝑥 + 𝑧 − 1 = 0 ⇔ 𝑥 − 𝑧 + 1 = 0.
Câu 26. Chọn C

𝑢 ⃗ = (1; 2; −1). Gọi 𝑀(1; −1; 1) ∈ 𝑑 ⇒ 𝐴𝑀⃗ = (1; −3; −1)..
Vì

𝑑 ⊂ (𝑃)
nên 𝑛( ⃗) = 𝑢 ⃗; 𝐴𝑀⃗ = (−5; 0; −5)..

𝐴 ∈ (𝑃)

(𝑃):

𝑛( ⃗) = (−5; 0; −5)
⇒ (𝑃): −5(𝑥 − 0) − 5(𝑧 − 2) = 0 ⇒ 𝑥 + 𝑧 − 2 = 0..
𝐴(0; 2; 2) ∈ (𝑃)

Câu 27. Chọn C

Ta có 𝑑 đi qua 𝑀(3; 1; −1) và có vtcp 𝑢⃗ = (2; 3; −1).
TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

4


𝑀𝐴⃗ = (−2; 2; 0).
(𝑃) có vtpt 𝑛⃗ =

𝑢⃗, 𝑀𝐴⃗ = (1; 1; 5).

Phương trình (𝑃): 𝑥 + 𝑦 + 5𝑧 + 1 = 0.
Câu 28. Chọn B
Trục tung có véctơ chỉ phương là 𝚥⃗ = (01; 0).

Phương trình mặt phẳng chứa trục tung và đi qua điểm 𝐴 có véctơ pháp tuyến là.
𝚥⃗, 𝑂𝐴⃗ = (−3; 0; −1) = −(3; 0; 1).
Vậy phương mặt phẳng đó là 3(𝑥 − 1) + (𝑧 + 3) = 0 ⇔ 3𝑥 + 𝑧 = 0.
Câu 29. Chọn D
Đường thẳng d qua điểm I  0;1; 3  . Vec tơ pháp tuyến của  P  là


 
n  ud ; IA   23; 17; 1 . Phương trình của  P  là 23 x  17 y  z  14  0. .
Câu 30. Chọn B
Cách 1:
Lấy điểm 𝑁(−2; 1; −4) ∈ 𝑑 ⇒ 𝑀𝑁⃗ = (−3; −1; −1).
𝑑 có vectơ chỉ phương 𝑢⃗ = (1; 3; 4).
(𝑃) có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ = 𝑀𝑁⃗, 𝑢⃗ = (−1; 11; −8) = −(1; −11; 8)..
Khi đó, (𝑃): 1(𝑥 − 1) − 11(𝑦 − 2) + 8(𝑧 + 3) = 0 ⇔ 𝑥 − 11𝑦 + 8𝑧 + 45 = 0.
Cách 2:
VTCP của 𝑑 vng góc với VTPT của (𝑃) ⇒ loại C, D.
𝑀 ∈ (𝑃) ⇒ Chọn A
Câu 31. Chọn D
Gọi 𝑑 là giao tuyến của 2 mặt phẳng. Ta có: 𝑀(0; 0; −4) ∈ 𝑑 , 𝑢 ⃗ = [𝑛 ⃗; 𝑛 ⃗] =
(1; −1; −2).
Gọi (𝑃 ) là mặt phẳng cần tìm.
Ta có: 𝑀𝐴⃗ = (2; 3; 5), 𝑛 ⃗ = 𝑢 ⃗; 𝑀𝐴⃗ = (1; −9; 5) ⇒ (𝑃): 𝑥 − 9𝑦 + 5𝑧 + 20 = 0.

Câu 32. Chọn D
Mặt phẳng (𝑀𝑁𝑃) có phương trình là +

+ = 1.

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

5


Câu 33. Chọn A
𝐴𝐵⃗ = (−3; −3; 2), 𝑛⃗ = (1; −3; 2)

𝐴𝐵⃗, 𝑛⃗ = (0; 8; 12)
Khi đó (𝛼) có 1 VTPT là: 𝑛⃗ = (0; 2; 3) và qua 𝐴(2; 4; 1)
Phương trình (𝛼) là: 2(𝑦 − 4) + 3(𝑧 − 1) = 0 ⇔ 2𝑦 + 3𝑧 − 11 = 0.
Câu 34. Chọn A
(𝑃) // 𝑂𝑧 ⇒ (𝑃): 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑑 = 0.

𝑎 + 2𝑏 + 𝑑 = 0
𝑎 + 2𝑏 + 𝑑 = 0
⇔
.
2𝑎 + 3𝑏 + 𝑑 = 0
𝑎+𝑏=0
Chọn 𝑏 = −1 ta suy ra 𝑎 = 1, 𝑑 = 1.
Vậy (𝑃 ): 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0.

𝐴, 𝐵 ∈ (𝑃 ) ⇔

Cách 2
Thay tọa độ các điểm 𝐴, 𝐵 vào các phương án đã cho. Chỉ có phương án A thỏa mãn.
Câu 35. Chọn B
* Ta có 𝐴𝐵⃗ = (−3; −3; 2); vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (𝑃) là 𝑛 ⃗ = (1; −3; 2).
* Mặt phẳng (𝑄) có một vec tơ pháp tuyến là 𝑛 ⃗ = 𝑛 ⃗, 𝐴𝐵⃗ = (0; −8; −12) =

−4(0; 2; 3).
* Vậy phương trình mặt phẳng (𝑄) đi qua điểm 𝐴 : 0(𝑥 − 2) + 2(𝑦 − 4) + 3(𝑧 − 1) =

0 hay 2𝑦 + 3𝑧 − 11 = 0.
Câu 36. Chọn B
Ta có 𝐴𝐵⃗ = (1; −1; −2), 𝑂𝐶⃗ = (2; 0; 3).
⇒ 𝑛( ⃗) = 𝐴𝐵⃗ , 𝑂𝐶⃗ = (−3; −7; 2) ⇒ (𝑃 ): −3(𝑥 − 2) − 7(𝑦 − 1) + 2(𝑧 − 1) = 0.

Hay (𝑃 ): 3𝑥 + 7𝑦 − 2𝑧 − 11 = 0.
Câu 37. Chọn D
Ta có: 𝐴𝐵⃗ = (−2; 2; 1).
Mặt phẳng (𝑃) cần tìm có vectơ pháp tuyến là: 𝑛 ⃗ = 𝐴𝐵⃗, 𝚤⃗ = (0; 1; −2).
Suy ra: (𝑃 ): (𝑦 − 0) − 2(𝑧 − 1) = 0 ⇔ 𝑦 − 2𝑧 + 2 = 0.
Câu 38. Chọn A
  
Mặt phẳng   có một vectơ pháp tuyến là: n   AB, n   11; 7; 2  .

Vậy   :11x  7 y  2 z  21  0 .
Câu 39. Chọn B

𝐴𝐵⃗ = (−3; 3; −4), đường thẳng 𝑑 có véctơ chỉ phương 𝑎⃗ = (4; 5; 3).

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

6


Mặt phẳng (𝑃 ) qua 𝐴(4; 0; 2) và có véctơ pháp tuyến 𝑛⃗ = 𝐴𝐵⃗, 𝑎⃗ = (29; −7; −27).

⇒ (𝑃 ): 29(𝑥 − 4) − 7(𝑦 − 0) − 27(𝑧 − 2) = 0 ⇔ 29𝑥 − 7𝑦 − 27𝑧 − 62 = 0.
Câu 40. Chọn B
Đường thẳng 𝑑 có vecto chỉ phương 𝑢⃗ = (1; 2; −2).
Mặt phẳng (𝑃 ) đi qua hai điểm 𝐴(2; 1; 3), 𝐵 (1; −2; 1), song song với đường thẳng

𝑥 = −1 + 𝑡
𝑑: 𝑦 = 2𝑡
nên (𝑃 )có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗ = [𝐴𝐵; 𝑢⃗ ] = (10; −4; 1).
𝑧 = −3 − 2𝑡

(𝑃): 10𝑥 − 4𝑦 + 𝑧 − 19 = 0.
Câu 41. Chọn D

𝐴𝐵⃗ = (2; 1; −2)
⇒ 𝑛 ⃗ = 𝐴𝐵⃗ ; 𝑛 ⃗ = (8; −6; 5) ⇒ (𝑄): 8(𝑥 − 1) − 6𝑦 + 5(𝑧 − 2) =
𝑛 ⃗ = (3; 4; 0)
0.

Câu 42. Chọn A
𝐴𝐵⃗ (−5; −12; 0) ⇒ 𝐴𝐵⃗ = 13 = 15 − 2.
⇒ Mặt phẳng (𝑃) cần tìm vng góc với đường thẳng 𝐴𝐵 cách 𝐴 một khoảng bằng 15,
cách 𝐵 một khoảng bằng 2. Vậy có một mặt phẳng (𝑃 ) thỏa mãn đề bài.

Câu 43. Chọn B
Ta có : 𝐴𝐵⃗ = (1; 2; 1).
Mặt phẳng (𝑃 ) đi qua 𝐴 và vng góc với đường thẳng 𝐴𝐵 nên nhận vectơ 𝐴𝐵⃗ =
(1; 2; 1) làm vectơ pháp tuyến.
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (𝑃 ) là :
(𝑥 − 0) + 2(𝑦 − 1) + (𝑧 − 1) = 0 ⇔ 𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 3 = 0.

Câu 44. Chọn C
Ta có

𝑛( ⃗) ⊥ 𝑢 ⃗
và 𝑛( ⃗,
) 𝑢 ⃗ = (4; −8; 0), nên chọn 𝑛( ⃗) = (1; −2; 0).
𝑛( ⃗) ⊥ 𝑛( ⃗)

Vì mặt phẳng (𝑃) đi qua điểm 𝑀(1; 0; −1) nên phương trình mặt phẳng (𝑃) là 𝑥 −
2𝑦 − 1 = 0.

→ chọn 𝐶.

Câu 45. Chọn C
TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

7


Đường thẳng 𝑑 :

=

đi qua điểm 𝑀(1; −2; 4), có một VTCP là 𝑢 ⃗ =

=

(−2; 1; 3).
Đường thẳng 𝑑 :

=

=

có một VTCP là 𝑢 ⃗ = (1; −1; 3).

Mặt phẳng (𝑃) chứa hai đường thẳng cắt nhau 𝑑 , 𝑑  (𝑃) qua điểm 𝑀(1; −2; 4), có
một VTPT là 𝑛⃗ = [𝑢 ⃗, 𝑢 ⃗] = (6; 9; 1). Phương trình mặt phẳng (𝑃 ) là :
(𝑃): 6(𝑥 − 1) + 9(𝑦 + 2) + (𝑧 − 4) = 0 ⇔ 6𝑥 + 9𝑦 + 𝑧 + 8 = 0.
Câu 46. Chọn B

𝑞𝑢𝑎𝑀(−1; 1; 0)
𝑞𝑢𝑎𝑁(1; −2; 1)
,𝑑 :
.
𝑉𝑇𝐶𝑃𝑢⃗ = (1; 1; 2)
𝑉𝑇𝐶𝑃𝑢⃗ = (1; 1; 2)
Ta có 𝑑 //𝑑 .
𝑀𝑁⃗ = (2; −3; 1).
Ta có 𝑑 :

Ta có 𝑛 ⃗ = 𝑢⃗, 𝑀𝑁⃗ = (7; 3; −5).

⇒ (𝑃 ): 7𝑥 + 3𝑦 − 5𝑧 + 𝑑 = 0.
Qua 𝑀(−1; 1; 0) ⇒ 𝑑 = 4.
Câu 47. Chọn C
Đường thẳng 𝑑 đi qua điểm 𝑀 (1; −2; 4) và có vectơ chỉ phương 𝑢 ⃗ = (−2; 1; 3).
Đường thẳng 𝑑 đi qua điểm 𝑀 (−1; 0; −2) và có vectơ chỉ phương 𝑢 ⃗ = (1; −1; 3).
Nên [𝑢 ⃗, 𝑢 ⃗] = (6; 9; 1) ≠ 0⃗ và 𝑀 𝑀⃗ = (−2; 2; −6) ⇒ [𝑢 ⃗, 𝑢 ⃗]. 𝑀 𝑀⃗ = 0 nên 𝑑 , 𝑑
cắt nhau và phương trình mặt phẳng chứa 𝑑 , 𝑑 là 6𝑥 + 9𝑦 + 𝑧 + 8 = 0.
Câu 48. Chọn D
Ta có

𝐴𝐵⃗ = (−4; 5; −1)
⇒ 𝐴𝐵⃗; 𝐶𝐷⃗ = (10; 9; 5).
𝐶𝐷⃗ = (−1; 0; 2)

Mặt phẳng (𝑃 ) cần tìm qua 𝐴(5; 1; 3) và nhận 𝐴𝐵⃗; 𝐶𝐷⃗ = (10; 9; 5) là một VTPT.

⇒ (𝑃 ): 10(𝑥 − 5) + 9(𝑦 − 1) + 5(𝑧 − 3) = 0 ⇔ 10𝑥 + 9𝑦 + 5𝑧 − 74 = 0.
Câu 49. Chọn C

𝐴𝐵⃗ = (−1; 1; 1), 𝐶𝐷⃗ = (0; 1; −1) ⇒ 𝐴𝐵⃗ , 𝐶𝐷⃗ = (−2; −1; −1).
Suy ra mặt phẳng cần tìm có vec tơ pháp tuyến là 𝑛⃗ = (2; 1; 1).
Vậy phương trình mặt phẳng: 2𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 3 = 0..

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

8


Thử lại thay tọa độ điểm 𝐶 vào phương trình mặt phẳng thấy không thỏa mãn.

Câu 50. Chọn D
Đường thẳng 𝑑 đi qua điểm 𝑀(−3; 2; 1) có VTCP 𝑢 ⃗ = (1; −1; 2)
Đường thẳng 𝑑 có VTCP 𝑢 ⃗′ = (1; 3; 2).
Vì mp(𝑃) chứa 𝑑 và song song với 𝑑 nên VTPT của (𝑃 ) là [𝑢 ⃗, 𝑢 ⃗′ ] = 4(2; 0; −1).
Khi đó mặt phẳng (𝑃 ) đi qua điểm 𝑀(−3; 2; 1) ∈ 𝑑 nhận 𝑛⃗ = (2; 0; −1) là VTPT nên
có phương trình 2𝑥 − 𝑧 + 7 = 0.

Câu 51. Chọn C
Ta có

𝑛⃗(
𝑛⃗(

)
)

⊥ 𝑢⃗
và 𝑛⃗( ) ; 𝑢⃗

⊥ 𝑛⃗( )

= (4; −8; 0). Nên chọn 𝑛⃗(

)

= (1; −2; 0)

Vì mặt phẳng (𝑃) đi qua điểm 𝑀(1; 0; −1) nên phương trình mặt phẳng (𝑃 ) là 𝑥 −
2𝑦 − 1 = 0.
Câu 52. Chọn A
Lấy 𝑀(1; 0; −1) ∈ 𝑑 ⇒ 𝑀 ∈ (𝑃).
VTCP của đường thẳng 𝑑 là 𝑢⃗ = (2; 1; 3); VTPT của mặt phẳng (𝑄) là 𝑛⃗ = (2; 1; −1).
VTPT của mặt phẳng (𝑃 ) là [𝑢⃗, 𝑛⃗] = (−4; 8; 0) = −4(1; −2; 0).
Phương trình mặt phẳng (𝑃 ): 𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0.
Câu 53. Chọn C
Ta có

𝑛⃗(
𝑛⃗(

)
)

⊥ 𝑢⃗
và 𝑛⃗( ) ; 𝑢⃗
⊥ 𝑛⃗( )

= (4; −8; 0). Nên chọn 𝑛⃗(

)

= (1; −2; 0).

Vì mặt phẳng (𝑃 ) đi qua điểm 𝑀(1; 0; −1) nên phương trình mặt phẳng (𝑃 ) là 𝑥 − 2𝑦 − 1 =

0
Câu 54. Chọn D



d có vtcp ud   2;1;3 ,  Q  có vtpt n Q    2;1; 1 .

P

 

có vtpt n  ud , n Q     4;8;0  .



P

đi qua M 1; 0; 1 .

PTTQ của  P  : 4  x  1  8  y  0   0  4 x  8 y  4  0  x  2 y  1  0 .

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

9

Câu 55. Chọn A

.
Đường thẳng 𝑑 đi qua điểm 𝑀(0; −1; 2) và có vectơ chỉ phương 𝑢⃗ = (−1; 2; −1).
Mặt phẳng (𝛼) có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗(

)

= (2; −3; 1).

Mặt phẳng (𝑃) cần tìm đi qua điểm 𝑀(0; −1; 2) và có vectơ pháp tuyến 𝑛⃗(

)

= 𝑢⃗, 𝑛⃗(

)

=

(−1; −1; −1) = −(1; 1; 1) có phương trình là 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 1 = 0.

Câu 56. Chọn D
Đường thẳng 𝑑 có 𝑢 ⃗(2; 1; 3)và qua 𝑀(1; 0; 1), mặt phẳng (𝑃) có 𝑛⃗(
Ta có

𝑑 ⊂ (𝑄) ⇒ 𝑛⃗( ) ⊥ 𝑢⃗
(𝑃 ) ⊥ (𝑄) ⇒ 𝑛⃗( ) ⊥ 𝑛⃗(

Vậy (𝑄) có

)

⇒ 𝑛⃗(

)

= 𝑢⃗ , 𝑛⃗(

)

)

= (3; −4; −1).

= (11; 11; −11) = 11(1; 1; −1).

𝑛⃗ = (1; 1; −1)
⇒ (𝑄): (𝑥 − 1) + (𝑦 − 0) − (𝑧 − 1) = 0 ⇔ 𝑥 + 𝑦 − 𝑧 =
𝑀(1; 0; 1)

0.

Câu 57. Chọn C
Ta có 𝑢⃗ = (2; −3; 2) và 𝑛⃗ = (1; −2; 2) và 𝑀 (1; 3; 0) ∈ (𝑑). Khi đó 𝑢 ⃗, 𝑛 ⃗ =
(−2; −2; −1).
Vậy, phương trình cần tìm 2𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 − 8 = 0.

Câu 58. Chọn B
(𝑆) có tâm 𝐼( 1; −2; −1),𝑅 = √1 + 2 + 1 + 3 = 3.
(𝑄)//(𝑃 ) ⇒ (𝑄 ): 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝑚 = 0, 𝑚 ≠ −14.
(𝑄) tiếp xúc với mặt cầu (𝑆) nên:
𝑑 𝐼, (𝑄) = √

|

|

= 3 ⇔ |5 + 𝑚| = 9 ⇔

𝑚=4
. Vậy (𝑄): 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 +
𝑚 = −14

4 = 0.
Câu 59. Chọn C
Mặt phẳng (𝑃)vng góc với 𝛥 nên (𝑃) có VTPT 𝑛⃗ = (2; −2; 1).
⇒ (𝑃 ): 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 𝐷 = 0.

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

10


(𝑆) có tâm 𝐼(1; −2; 1), bán kính 𝑅 = 3.
(𝑃) tiếp xúc (𝑆) ⇔ 𝑑 𝐼; (𝑃 ) = 𝑅 ⇔

| .

.(

)

(

)

|

= 3.

7+𝐷 =9
𝐷=2
⇔
.
7 + 𝐷 = −9
𝐷 = −16
Vậy phương trình (𝑃)là 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 + 2 = 0 và 2𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 − 16 = 0.

⇔ |7 + 𝐷| = 9 ⇔

Câu 60. Chọn D
Mặt cầu (𝑆) có tâm 𝐼(1; −2; −1) và bán kính 𝑅 = 3.
Mặt phẳng (𝛼) cắt (𝑆) theo một đường trịn có bán kính bằng 3 thì (𝛼 ) đi qua tâm I của mặt
cầu. Mặt khác mặt phẳng (𝛼) chứa trục 𝑂𝑥 nên vectơ pháp tuyến của (𝛼) là.

𝑛 ⃗ = 𝑂𝐼⃗ , 𝚤⃗ = (0; −1; 2).
Phương trình mặt phẳng (𝛼) là −(𝑦 + 2) + 2(𝑧 + 1) = 0 ⇔ −𝑦 + 2𝑧 = 0 ⇔ 𝑦 − 2𝑧 =

0.
Câu 61. Chọn D

(𝑆) có tâm 𝐼(1; 2; 3), bán kính 𝑅 = 4. Đường trịn thiết diện có bán kính 𝑟 = 4.
⇒ mặt phẳng (𝛼) qua tâm 𝐼.
(𝛼) chứa 𝑂𝑦 ⇒ (𝛼): 𝑎𝑥 + 𝑐𝑧 = 0.
𝐼 ∈ (𝛼) ⇒ 𝑎 + 3𝑐 = 0 ⇒ 𝑎 = −3𝑐 .
Chọn 𝑐 = −1 ⇒ 𝑎 = 3 ⇒ (𝛼 ): 3𝑥 − 𝑧 = 0.
Câu 62. Chọn C
Đường thẳng 𝑑 đi 𝑀(1; −3; 0). Tọa độ điểm 𝑀 chỉ thỏa mãn phương trình mặt phẳng trong
phương án C.

Câu 63. Chọn D
Mặt cầu (𝑆) có tâm 𝐼(1; −3; 2) và bán kính 𝑅 = 4.
Vì mặt phẳng (P) song song với giá của vectơ 𝑣⃗ = (1; 6; 2), vng góc với (𝛼)nên có
vec tơ pháp tuyến 𝑛⃗ = 𝑛( ⃗,
⃗ = (2; −1; 2).
) 𝑣
Mặt phẳng (𝑃 ): 2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝐷 = 0.
Vì (𝑃 ) tiếp xúc với mặt cầu (𝑆) nên ta có:
𝑑 𝐼; (𝑃 ) = 𝑅 ⇔

| .

.
(

)

|

= 4 ⇔ |𝐷 + 9| = 12 ⇔

Vậy phương trình mặt phẳng (𝛼) là:

𝐷 = −21
.
𝐷=3

2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 3 = 0
2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 − 21 = 0

Câu 64. Chọn B
TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

11


Mặt cầu (𝑆) có tâm 𝐼(1; −2; 3), bán kính 𝑅 = 5; bán kính đường trịn giao tuyến là 𝑟 =
3.
Mặt phẳng (𝑄 ) song song với mặt phẳng (𝑃 ): 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 − 7 = 0 có phương trình là
2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 𝑚 = 0(𝑚 ≠ −7).
|
|
𝑚 = 17
Ta có 𝑑 𝐼; (𝑄) = √𝑅 − 𝑟 ⇔
= √25 − 9 ⇔ |𝑚 − 5| = 12 ⇔
.
𝑚 = −7
Do 𝑚 ≠ −7 nên 𝑚 = 17. Vậy phương trình mặt phẳng (𝑄): 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 17 = 0.

Câu 65. Chọn C
(𝑆) có tâm 𝐼(1; 2; 3) và bán kính 𝑅 = 3.
(𝑄) song song với (𝑃) nên (𝑄): 𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 + 𝑚 = 0, 𝑚 ≠ −6.
(𝑄) tiếp xúc (𝑆) khi và chỉ khi 𝑑 𝐼, (𝑄) = 𝑅 ⇔ 𝑚 = 6 .
𝑚 = −12

Câu 66. Chọn C
(𝑅): 𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 + 𝑑 = 0.
𝑑 [𝑀, (𝑅 )] =

√

⇔

|

|
√

=

√

⇔

𝑑 = −3
.
𝑑 = −7

Câu 67. Chọn B.
mặt cầu (𝑆) có tâm 𝐼(1; 2; 3) có bán kính 𝑅 = 5.
Mặt phẳng (𝑄)song song với mặt phẳng (𝑃) nên (𝑄)có phương trình là(𝑄): 2𝑥 + 2𝑦 −
𝑧 + 𝐷 = 0; 𝐷 ≠ −18.
Mặt phẳng (𝑄 ) tiếp xúc với mặt cầu (𝑆)nên 𝑑(𝐼, (𝑄)) = 𝑅.
⇔

| .

.

|

.
(

)

= 5 ⇔ |3 + 𝐷| = 15 ⇔

𝐷 = −18
.
𝐷 = 12

Kết hợp với điều kiện ta có phương trình của mặt phẳng (𝑄) là (𝑄): 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 +
12 = 0.
Câu 68. Chọn C
Mặt cầu (𝑆) có tâm 𝐼 (1; −2; 3) bán kính 𝑅 = 5.
Mặt phẳng (𝑄) có dạng (𝑄): 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 + 𝑑 = 0.
Do (𝑄) tiếp xúc với (𝑆) nên 𝑑 𝐼, (𝑄) = 𝑅 .

⇔

| .

(

)

|

𝑑 = 20
= 5 ⇔ |𝑑 − 5| = 15 ⇔
.
𝑑 = −10

Câu 69. Chọn B
Gọi (𝛽) là mặt phẳng cần tìm.

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

12


(𝑆): 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 = 0 ⇒ 𝐼(1; 1; 1); 𝑅 = √3.
(𝛽) ∥ (𝛼): 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 ⇒ (𝛽): 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝑐 = 0(𝑐 ≠ 0).
(𝛽)tiếp xúc với (𝑆) ⇔

|

|
√

= √3 ⇔ |3 + 𝑐| = 3 ⇔

𝑐 = 0(𝑁ℎ)
.
𝑐 = −6(𝐿)

⇒ (𝛽): 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 6 = 0vậy có 1 mặt phẳng (𝛽).
Chú ý: Ta có thể làm trắc nghiệm như sau:
Ta có: 𝑑 [𝐼; (𝛼)] = √3 = 𝑅 nên (𝛼) tiếp xúc với (𝑆). Do đó chỉ cịn có 1 mặt phẳng song
song với (𝛼) và tiếp xúc với (𝑆).

Câu 70. Chọn D
𝑀 ∈ (𝑃)
𝑀𝐴 = 𝑀𝐵
𝑀𝐴 = 𝑀𝐶
14 + 0 = 5.

𝑥 = −9
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 5 = 0
4𝑥
+
2𝑦
+
10𝑧
+
8
=

0
⇔
⇔ 𝑦 = 14 ⇒ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = −9 +
𝑧 =0
4𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 8 = 0

Câu 71. Chọn D
Vì 𝐺 ∈ 𝑑 ⇒ 𝐺(2 + 𝑡; 2 + 2𝑡; −2 − 𝑡).
Giả sử 𝐵 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 ), 𝐶 (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧 ).

Vì 𝐺 là trọng tâm 𝐴𝐵𝐶 nên ta có:

= 2+𝑡

⎧
⎪

𝑥 + 𝑥 = 3𝑡 + 7
= 2 + 2𝑡 ⇔ 𝑦 + 𝑦 = 6𝑡 + 4 .
𝑧 + 𝑧 = −3𝑡 − 7
= −2 − 𝑡

⎨
⎪
⎩

Vậy trung điểm của đoạn 𝐵𝐶 là 𝑀

;

;

.

Do 𝐵 , 𝐶 nằm trên (𝛼) nên 𝑀 ∈ (𝛼) ⇒ 𝑡 = −1 ⇒ 𝑀 (2; −1; −2).

Câu 72. Chọn C
Ta có: 𝑀(𝑥; 𝑦; 3 − 2𝑥 − 2𝑦) ∈ (𝑃 ).
𝑀𝐴 = 𝑀𝐵 ⇔ 𝑥 + (𝑦 − 1) + (𝑧 − 2) = (𝑥 − 2) + (𝑦 + 2) + (𝑧 − 1)
(𝑥 − 2) + (𝑦 + 2) + (𝑧 − 1) = (𝑥 + 2) + 𝑦 + (𝑧 − 1)
𝑀𝐵 = 𝑀𝐶
4𝑥 − 6𝑦 − 2𝑧 = 4
8𝑥 − 2𝑦 = 10
𝑥=2
⇔
⇔
⇒ 𝑀 (2; 3; −7). Vậy 𝑎 + 𝑏 +
𝑦=3
−8𝑥 + 4𝑦 = −4
−8𝑥 + 4𝑦 = −4
𝑐 = 62.
⇔

Câu 73. Chọn B

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

13

(𝛼) chứa trục 𝑂𝑥 nên (𝛼) có dạng 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 = 0.
(𝛼) qua 𝑀(1; −1; 2) ⇒ −𝑏 + 2𝑐 = 0 ⇔ 𝑏 = 2𝑐 ⇒ (𝛼): 2𝑐𝑦 + 𝑐𝑧 = 0 ⇔ 2𝑦 + 𝑧 = 0.
⇒ (𝛼) qua 𝑁(2; 2; −4).
Câu 74. Chọn C
Do 𝑑 ⊥ (𝑃 ) nên vec-tơ chỉ phương của đường thẳng 𝑑 là vec-tơ pháp tuyến của (𝑃 ).
Suy ra một một vec-tơ chỉ phương của đường thẳng 𝑑 là 𝑢⃗ = 𝑛( ⃗) = (4;  0; −1).

Câu 75. Chọn D
Ta có

=

= = 1 nên đường thẳng 𝑑 đi qua điểm 𝐷.

Câu 76. Chọn A
Đường thẳng 𝑑 có vectơ chỉ phương 𝑎 ⃗ = (2; 4; 6).
Đường thẳng 𝑑 có vectơ chỉ phương 𝑎 ⃗ = (1; 2; 3), lấy điểm 𝑀(1; 0; 3) ∈ 𝑑 .
Vì 𝑎 ⃗ = 2𝑎 ⃗ và điểm 𝑀 ∉ 𝑑 nên hai đường thẳng 𝑑 và 𝑑 song song.

Câu 77. Chọn C
Chọn 𝑀(1; 2; 3), 𝑁(0; 0; 5) là hai điểm lần lượt thuộc đường thẳng 𝑑 và 𝑑
Ta có 𝑢⃗

= (2; 3; 4) và 𝑢⃗

Mặt khác, ta có 𝑢⃗ ; 𝑢⃗
vừa cắt nhau.

= (1; 2; −2) nên 𝑢⃗ . 𝑢⃗

= 0 nên 𝑑 ⊥ 𝑑

𝑀𝑁⃗ = 0 nên 𝑑 cắt 𝑑 . Vậy hai đường thẳng vừa vng góc,

Câu 78. Chọn D
Vì 𝐺 là trọng tâm tam giác 𝐴𝐵𝐶 nên 𝑂𝐺⃗ (2; 2; −2).

Câu 79. Chọn A.
Gọi (𝛽) là mặt phẳng chứa đường thẳng 𝛥 và vng góc mặt phẳng (𝛼) nên có vectơ
pháp tuyến là 𝑢 ⃗ ∧ 𝑛( ⃗.
) Đường thẳng 𝛥 chính là giao tuyến của (𝛼) và (𝛽) nên có vectơ
chỉ phương là 𝑢 ⃗ ∧ 𝑛( ⃗) ∧ 𝑛( ⃗.
)
Câu 80. Chọn D
Trung điểm 𝐵𝐶 có tọa độ 𝐼 (0; 2; 1) nên trung tuyến từ 𝐴 có một vectơ chỉ phương là 𝐴𝐼⃗ =
(−1; 1; 0).
Câu 81. Chọn A
Có 𝑛 ⃗ = (2; 1; −1) và 𝑛 ⃗ = (1; −2; 1).
Khi đó, vectơ chỉ phương của giao tuyến của (𝑃) và (𝑄 ) là:
𝑢⃗ = 𝑛 ⃗; 𝑛 ⃗ = (1; 3; 5).

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

14


Câu 82. Chọn A
Ta có: 𝑛 ⃗ = (3; 0; −1), 𝑛 ⃗ = (3; 4; 2) ⇒ 𝑢 ⃗ = 𝑛⃗ ∧ 𝑛⃗ = (4; −9; 12).
Câu 83. Chọn A
Gọi (𝑄 ) là mặt phẳng chứa đường thẳng 𝛥 và vng góc với mặt phẳng (𝑃 ).

(𝑄)có một vectơ chỉ phương là 𝑛 ⃗ = [𝑛 ⃗; 𝑢 ⃗] = (1; −1; 0).
𝛥 là hình chiếu của đường thẳng 𝛥 lên mặt phẳng (𝑃) nên 𝛥 là giao tuyến của hai mặt phẳng
(𝑃)và (𝑄). Do đó 𝛥 có một vectơ chỉ phương là 𝑢 ⃗′ = 𝑛 ⃗; 𝑛 ⃗ = (1; 1; −2).

Câu 84. Chọn A
𝑑 có vtcp 𝐴𝐵⃗ = (−1; −1; 5) nên phương trình đường thẳng trong phương án A không phải
của 𝑑 .
Câu 85. Chọn C
𝑑 qua điểm 𝑀(5; −3; 2) và vng góc (𝑃) nhận 𝑢⃗ = (1; −2; 1) là vtcp có dạng
𝑥 =5+𝑡
𝑦 = −3 − 2𝑡.
𝑧 = 2+𝑡
=
=
Cho 𝑡 = 1 ⇒ 𝑁(6; −5; 3) ∈ 𝑑 ⇒ 𝑑:
.
Câu 86. Chọn D
Đường thẳng qua 𝐴(−1; −3; 2) vng góc với mặt phẳng (𝑃): 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 − 4 = 0 nên
có một vectơ chỉ phương 𝑢⃗ = (1; −2; −3), có phương trình:

=

=

Câu 87. Chọn A
Gọi 𝑑 là đường thẳng song song với 𝑑 , cắt 𝑑 và 𝑑 lần lượt tại các điểm 𝐴, 𝐵.
Gọi 𝐴(1 + 2𝑎; 3𝑎; −1 − 𝑎) và 𝐵 (−2 + 𝑏; 1 − 2𝑏; 2𝑏) ⇒ 𝐴𝐵⃗ = (𝑏 − 2𝑎 − 3; −2𝑏 −
3𝑎 + 1; 2𝑏 + 𝑎 + 1).
Đường thẳng 𝑑 có véc-tơ chỉ phương 𝑢⃗ = (−3; −4; 8).

Đường thẳng 𝑑 song song với 𝑑 nên
𝑎=0
𝑏 − 2𝑎 − 3 = −3𝑘
𝐴𝐵⃗ = 𝑘𝑢⃗ ⇔ −2𝑏 − 3𝑎 + 1 = −4𝑘 ⇔ 𝑏 = .
2𝑏 + 𝑎 + 1 = 8𝑘
𝑘=
Như vậy 𝐴(1; 0; −1) và 𝐵 = − ; −2; 3 .
Phương trình đường thẳng 𝑑 là:

=

=

.

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

15


Câu 88. Chọn D
Mặt phẳng (𝑃 ) có vectơ pháp tuyến là 𝑛⃗ = (1;  3;  0).
Đường thẳng đi qua 𝐴(0; −1;  3) và vng góc với mặt phẳng (𝑃 ) có vectơ chỉ
phương là 𝑛⃗ = (1;  3;  0).
𝑥=𝑡
Phương trình đường thẳng là: 𝑦 = −1 + 3𝑡 .
𝑧=3
Câu 89. Chọn B
Ta có

3, 𝐴𝐶 = 3 + (−4) + 6 = 61, 𝐴𝐶⃗ . 𝐴𝐵⃗ = 1.3 + (−2)(−4) + 2.6 = 23.
𝐵𝐶⃗ = 𝐴𝐶⃗ − 𝐴𝐵⃗

= 𝐴𝐶⃗ + 𝐴𝐵⃗ − 2. 𝐴𝐶⃗ . 𝐴𝐵⃗ = 61 + 9 − 2.23 = 24.

Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:

𝐴𝑀 =

−

=

−

= 29.

Vậy 𝐴𝑀 = √29 .

Câu 90. Chọn C
Đường thẳng 𝑑 vng góc với mặt phẳng (𝑃) nên có vectơ chỉ phương 𝑢⃗ = (1; −1; 2).
Đường thẳng 𝑑 đi qua 𝐴(1; 2; −1) nên phương trình chính tắc có dạng:
⇔

=

=

=

=

.

Câu 91. Chọn B
Đường thẳng đi qua hai điểm 𝐴(1; 2; −3) và 𝐵(2; −3; 1) là đường thẳng đi qua
𝐴(1; 2; −3) và nhận 𝐴𝐵⃗ = (1; −5; 4) làm vectơ chỉ phương nên có phương trình tham
𝑥 = 1+𝑡
số 𝑦 = 2 − 5𝑡 (𝑡 ∈ ℝ)
𝑧 = −3 + 4𝑡
Ta thấy điểm 𝑀 (3; −8; 5) là điểm thuộc đường thẳng nên đường thẳng có phương trình
𝑥 =3−𝑡
tham số 𝑦 = −8 + 5𝑡 (𝑡 ∈ ℝ).
𝑧 = 5 − 4𝑡
Câu 92. Chọn A
Đường thẳng 𝛥 đi qua𝐴(2; −1; 2) và nhận 𝑢⃗(−1; 2; −1) làm vecto chỉ phương có phương
trình chính tắc là : 𝛥:

=

=

.

Câu 93. Chọn D

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

16

Vì 𝑑 đi qua điểm 𝐴(3; −2; 1) nên loại B, C.
𝑑 ⊥ (𝑃) ⇒ 𝑛( ⃗.
) 𝑢 ⃗ = 0 nên loại A vì 𝑛( ⃗) = 𝑢 ⃗.

Câu 94.
Lời giải
Chọn C
(𝑃) có VTPT 𝑛⃗ = (2; 3; 2), (𝑄)có VTPT 𝑛⃗′(

; )

;

.

Do đường thẳng đi qua gốc tọa độ 𝑂 và song song với hai mặt phẳng (𝑃 ), (𝑄) nên đường
⃗

thẳng có VTCP 𝑢⃗ = 𝑛⃗, 𝑛 ′ [](12; −2; −9) .
Vậy phương trình đường thẳng là

=

.

=

Câu 95. Chọn C
Gọi 𝑢⃗ là vectơ chỉ phương của 𝑑.

Ta có 𝑢⃗ ⊥ 𝑛⃗(
(6; 1; 2).

)

= (1; 0; −3) và 𝑢⃗ ⊥ 𝑛⃗(

Phương trình đường thẳng 𝑑:

=

)

= (0; 2; −1). Chọn 𝑢⃗ = 𝑛⃗( ) , 𝑛⃗(

)

=

.

=

Câu 96. Chọn D
Mặt phẳng (𝑃 ): 𝑥 − 2𝑦 + 3 = 0 có VTPT 𝑛⃗(

)

= (1; −2; 0).

Đường thẳng qua 𝐴(1; 2; −2) và vng góc với (𝑃) có VTCP 𝑢⃗ = 𝑛⃗(

)

= (1; −2; 0). Vậy

𝑥 =1+𝑡
đường thẳng này có phương trình tham số là 𝑦 = 2 − 2𝑡 (𝑡 ∈ ℝ).

𝑧 = −2
Câu 97. Chọn D
Gọi 𝛥 là đường thẳng cần tìm. 𝛥 có vecto chỉ phương 𝑢 ⃗ = 𝑛 ⃗; 𝑛 ⃗ = (1; −3; 1)

𝑥 = 1+𝑡
Suy ra phương trình tham số của 𝛥 là 𝑦 = 2 − 3𝑡 .
𝑧 =3+𝑡

Câu 98. Chọn C
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (𝑃) là 𝑛 ⃗ = (1; −1; 1).
Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (𝑄) là 𝑛 ⃗ = (2; 1; 1).
⇒ ≠

≠ ⇒ 𝑛 ⃗ và 𝑛 ⃗ không cùng phương.

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

17


⇒ (𝑃) và (𝑄) cắt nhau.

Mặt khác: 𝐴 ∉ (𝑃 ), 𝐴 ∉ (𝑄 ).
Ta có: [𝑛 ⃗, 𝑛 ⃗] = (−2; 1; 3).
Đường thẳng 𝛥 đi qua 𝐴(3; 1; −5) và nhận vectơ 𝑛⃗ = (2; −1; −3) làm vectơ chỉ
phương.
Phương trình chính tắc của đường thẳng 𝛥 là:

=

=

.

Câu 99. Chọn A
Ta có

𝑢⃗
𝑢⃗

= (1; −4; 6)
. Gọi 𝑑 là đường thẳng qua 𝐴 và vng góc với 𝑑 , 𝑑 .
= (2; 1; −5)

Suy ra 𝑢⃗ = 𝑢⃗ , 𝑢⃗

= (14; 17; 9). Vậy phương trình 𝑑:

=

=

.

Câu 100. Chọn D

𝐴𝐵⃗ = (−1; 0; 3), 𝐴𝐶⃗ = (3; 1; 1)..
Khi đó 𝐴𝐵⃗ . 𝐴𝐶⃗ = 0 suy ra tam giác 𝐴𝐵𝐶 vuông tại 𝐴, suy ra tất cả các điểm cách đều ba điểm
𝐴, 𝐵, 𝐶 nằm trên đường thẳng vng góc với mặt phẳng (𝐴𝐵𝐶 ) tại 𝐼 3; ; 2 (với 𝐼 là trung
điểm cạnh 𝐵𝐶 ). VTCP của đường thẳng 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗, 𝐵𝐶⃗ = (3; 10; −1).
Suy ra phương trình của đường thẳng là

=

=

.

TRUNG TÂM THẦY DŨNG * LỚP 3 ĐẾN LỚP 12 * 0843225533

18