góc – cung lượng giác công thức lượng giác

Lượng giác Trần Sĩ Tùng
I. Giá trị lượng giác của góc (cung) lượng giác
1. Định nghĩa các giá trị lượng giác
Cho
OA OM( , )
α
=
. Giả sử
M x y( ; )
.
( )
x OH
y OK
AT k
BS k
cos
sin
sin
tan
cos 2
cos
cot
sin
α
α
α π
α α π
α
α
α α π
α

= =
= =
 
= = ≠ +
 ÷
 
= = ≠
Nhận xét:
•
, 1 cos 1; 1 sin 1
α α α
∀ − ≤ ≤ − ≤ ≤
• tanα xác định khi
k k Z,
2
π
α π
≠ + ∈
• cotα xác định khi
k k Z,
α π
≠ ∈
•
ksin( 2 ) sin
α π α
+ =
•
ktan( ) tan
α π α
+ =

kcos( 2 ) cos
α π α
+ =

kcot( ) cot
α π α
+ =
2. Dấu của các giá trị lượng giác
Phần tư
Giá trị lượng giác
I II III IV
cosα
+ – – +
sinα
+ + – –
tanα
+ – + –
cotα
+ – + –
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
0
6
π
4
π
3
π
2
π

2
3
π
3
4
π
π
3
2
π
2
π
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
180
0
270
0

360
0
sin 0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
0 –1 0
cos 1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
–1 0 1

tan 0
3
3
1
3
3−
–1 0 0
cot
3
1
3
3
0
3
3
−
–1 0
Trang 56
CHƯƠNG VI
GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
CHƯƠNG VI
GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
cosin
O
cotang
sin

tang

H
A
M
K
B S
α
T
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
4. Hệ thức cơ bản:
2 2
sin cos 1
α α
+ =
;
tan .cot 1
α α
=
;
2 2
2 2
1 1
1 tan ; 1 cot
cos sin
α α
α α
+ = + =
5. Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt
Góc đối nhau Góc bù nhau Góc phụ nhau
cos( ) cos
α α

− =
sin( ) sin
π α α
− =
sin cos
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
sin( ) sin
α α
− = −
cos( ) cos
π α α
− = −
cos sin
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
tan( ) tan
α α
− = −
tan( ) tan

π α α
− = −
tan cot
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
cot( ) cot
α α
− = −
cot( ) cot
π α α
− = −
cot tan
2
π
α α
 
− =
 ÷
 
Góc hơn kém
π
Góc hơn kém
2
π
sin( ) sin

π α α
+ = −
sin cos
2
π
α α
 
+ =
 ÷
 
cos( ) cos
π α α
+ = −
cos sin
2
π
α α
 
+ = −
 ÷
 
tan( ) tan
π α α
+ =
tan cot
2
π
α α
 
+ = −

 ÷
 
cot( ) cot
π α α
+ =
cot tan
2
π
α α
 
+ = −
 ÷
 
II. Công thức lượng giác
1. Công thức cộng
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )

1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+
Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
π α π α
α α
α α
   
+ −
+ = − =
 ÷  ÷
− +
   
2. Công thức nhân đôi
sin2 2sin .cos
α α α
=
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
α α α α α
= − = − = −

2

2
2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot
1 tan
α α
α α
α
α
−
= =
−

Trang 57
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
α
α

α
α
α
α
α
−
=
+
=
−
=
+
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
α α α
α α α
α α
α
α
= −
= −
−
=

−
3. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b

a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =
b a
a b
a b
sin( )
cot cot
sin .sin
−
− =
sin cos 2.sin 2.cos
4 4

π π
α α α α
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
sin cos 2 sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
4. Công thức biến đổi tích thành tổng
Trang 58
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
VẤN ĐỀ 1: Dấu của các giá trị lượng giác
Để xác định dấu của các giá trị lượng giác của một cung (góc) ta xác định điểm nhọn
của cung (tia cuối của góc) thuộc góc phần tư nào và áp dụng bảng xét dấu các GTLG.
Bài 1. Xác định dấu của các biểu thức sau:
a) A =
0 0
sin50 .cos( 300 )−
b) B =
0
21
sin215 .tan
7
π

c) C =
3 2
cot .sin
5 3
π π
 
−
 ÷
 
d) D =
c
4 4 9
os .sin .tan .cot
5 3 3 5
π π π π
Bài 2. Cho
0 0
0 90
α
< <
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
0
sin( 90 )
α
+
b) B =
0
cos( 45 )
α

−
c) C =
0
cos(270 )
α
−
d) D =
0
cos(2 90 )
α
+
Bài 3. Cho
0
2
π
α
< <
. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
cos( )
α π
+
b) B =
tan( )
α π
−
c) C =
2
sin
5

π
α
 
+
 ÷
 
d) D =
3
cos
8
π
α
 
−
 ÷
 
Bài 4. Cho tam giác ABC. Xét dấu của các biểu thức sau:
a) A =
A B Csin sin sin+ +
b) B =
A B Csin .sin .sin
c) C =
A B C
cos .cos .cos
2 2 2
d) D =
A B C
tan tan tan
2 2 2
+ +

Bài 5.
a)
VẤN ĐỀ 2: Tính các giá trị lượng giác của một góc (cung)
Ta sử dụng các hệ thức liên quan giữa các giá trị lượng giác của một góc, để từ giá trị
lượng giác đã biết suy ra các giá trị lượng giác chưa biết.
I. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại
1. Cho biết sin
α
, tính cos
α
, tan
α
, cot
α
•
Từ
2 2
sin cos 1
α α
+ =

⇒

2
cos 1 sin
α α
= ± −
.
– Nếu
α

thuộc góc phần tư I hoặc IV thì
2
cos 1 sin
α α
= −
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư II hoặc III thì
2
cos 1 sin
α α
= − −
.
•
Tính
sin
tan
cos
α
α
α
=
;
1
cot
tan
α
α
=

.
2. Cho biết cos
α
, tính sin
α
, tan
α
, cot
α
•
Từ
2 2
sin cos 1
α α
+ =

⇒

2
sin 1 cos
α α
= ± −
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
sin 1 cos
α α
= −

.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
sin 1 cos
α α
= − −
.
•
Tính
sin
tan
cos
α
α
α
=
;
1
cot
tan
α
α
=
.
Trang 59
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
3. Cho biết tan
α

, tính sin
α
, cos
α
, cot
α
•
Tính
1
cot
tan
α
α
=
.
•
Từ
2
2
1
1 tan
cos
α
α
= +

⇒

2
1

cos
1 tan
α
α
= ±
+
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư I hoặc IV thì
2
1
cos
1 tan
α
α
=
+
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư II hoặc III thì
2
1
cos
1 tan
α
α
= −
+

.
•
Tính
sin tan .cos
α α α
=
.
4. Cho biết cot
α
, tính sin
α
, cos
α
, tan
α
•
Tính
1
tan
cot
α
α
=
.
•
Từ
2
2
1
1 cot

sin
α
α
= +

⇒

2
1
sin
1 cot
α
α
= ±
+
.
– Nếu
α
thuộc góc phần tư I hoặc II thì
2
1
sin
1 cot
α
α
=
+
.
– Nếu
α

thuộc góc phần tư III hoặc IV thì
2
1
sin
1 cot
α
α
= −
+
.
II. Cho biết một giá trị lượng giác, tính giá trị của một biểu thức
•
Cách 1: Từ GTLG đã biết, tính các GTLG có trong biểu thức, rồi thay vào biểu thức.
•
Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG đã biết
III. Tính giá trị một biểu thức lượng giác khi biết tổng – hiệu các GTLG
Ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để biến đổi:
A B A B AB
2 2 2
( ) 2+ = + −
A B A B A B
4 4 2 2 2 2 2
( ) 2+ = + −
A B A B A AB B
3 3 2 2
( )( )+ = + − +
A B A B A AB B
3 3 2 2
( )( )− = − + +
IV. Tính giá trị của biểu thức bằng cách giải phương trình

•
Đặt
t x t
2
sin , 0 1= ≤ ≤

⇒

x t
2
cos =
. Thế vào giả thiết, tìm được t.
Biểu diễn biểu thức cần tính theo t và thay giá trị của t vào để tính.
•
Thiết lập phương trình bậc hai:
t St P
2
0− + =
với
S x y P xy;= + =
. Từ đó tìm x, y.
Bài 1. Cho biết một GTLG, tính các GTLG còn lại, với:
a)
a a
0 0
4
cos , 270 360
5
= < <
b)

2
cos , 0
2
5
π
α α
= − < <
c)
a a
5
sin ,
13 2
π
π
= < <
d)
0 0
1
sin , 180 270
3
α α
= − < <
e)
a a
3
tan 3,
2
π
π
= < <

f)
tan 2,
2
π
α α π
= − < <
g)
0
cot15 2 3= +
h)
3
cot 3,
2
π
α π α
= < <
Bài 2. Cho biết một GTLG, tính giá trị của biểu thức, với:
Trang 60
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
a)
a a
A khi a a
a a
cot tan 3
sin , 0
cot tan 5 2
π
+
= = < <
−

ĐS:
25
7
b)
a a
B khi a a
a a
2
0 0
8tan 3cot 1 1
sin , 90 180
tan cot 3
+ −
= = < <
+
ĐS:
8
3
c)
a a a a
C khi a
a a a a
2 2
2 2
sin 2sin .cos 2cos
cot 3
2sin 3sin .cos 4cos
+ −
= = −
− +

ĐS:
23
47
−
d)
a a
D khi a
a a
3 3
sin 5cos
tan 2
sin 2cos
+
= =
−
ĐS:
55
6
e)
a a a
E khi a
a a
3 3
3
8cos 2sin cos
tan 2
2cos sin
− +
= =
−

ĐS:
3
2
−
g)
a a
G khi a
a a
cot 3tan 2
cos
2cot tan 3
+
= = −
+
ĐS:
19
13
h)
a a
H khi a
a a
sin cos
tan 5
cos sin
+
= =
−
ĐS:
3
2

−
Bài 3. Cho
a a
5
sin cos
4
+ =
. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
A a asin .cos
=
b)
B a asin cos
= −
c)
C a a
3 3
sin cos= −
ĐS: a)
9
32
b)
7
4
±
c)
41 7
128
±
Bài 4. Cho

a atan cot 3− =
. Tính giá trị các biểu thức sau:
a)
A a a
2 2
tan cot= +
b)
B a atan cot= +
c)
C a a
4 4
tan cot= −
ĐS: a) 11 b)
13±
c)
33 13±
Bài 5.
a) Cho
x x
4 4
3
3sin cos
4
+ =
. Tính
A x x
4 4
sin 3cos= +
. ĐS:
7

A
4
=
b) Cho
x x
4 4
1
3sin cos
2
− =
. Tính
B x x
4 4
sin 3cos= +
. ĐS: B = 1
c) Cho
x x
4 4
7
4sin 3cos
4
+ =
. Tính
C x x
4 4
3sin 4cos= +
. ĐS:
C C
7 57
4 28

= ∨ =
Bài 6.
a) Cho
x x
1
sin cos
5
+ =
. Tính
x x x xsin , cos , tan , cot
.
b) Cho
x xtan cot 4+ =
. Tính
x x x xsin , cos , tan , cot
.
ĐS: a)
4 3 4 3
; ; ;
5 5 3 4
− − −
b)
1 2 3
; ; 2 3; 2 3
2
2 2 3
−
+ −
−
hoặc

2 3 1
2 3; 2 3; ;
2
2 2 3
−
− +
−
Bài 7.
a)
Trang 61
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác của biểu thức bằng các cung liên kết
Sử dụng công thức các góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết).
Bài 1. Tính các GTLG của các góc sau:
a)
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
120 ; 135 ; 150 ; 210 ; 225 ; 240 ; 300 ; 315 ; 330 ; 390 ; 420 ; 495 ; 2550
b)
7 13 5 10 5 11 16 13 29 31
9 ; 11 ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;
2 4 4 3 3 3 3 6 6 4
π π π π π π π π π π
π π
− − − −
Bài 2. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A x x xcos cos(2 ) cos(3 )
2
π
π π

 
= + + − + +
 ÷
 
b)
B x x x x
7 3
2cos 3cos( ) 5sin cot
2 2
π π
π
   
= − − + − + −
 ÷  ÷
   
c)
C x x x x
3
2sin sin(5 ) sin cos
2 2 2
π π π
π
     
= + + − + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
d)
D x x x x
3 3
cos(5 ) sin tan cot(3 )

2 2
π π
π π
   
= − − + + − + −
 ÷  ÷
   
Bài 3. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
A
0 0 0 0
0 0
sin( 328 ).sin958 cos( 508 ).cos( 1022 )
cot572 tan( 212 )
− − −
= −
−
ĐS: A = –1
b)
B
0 0
0
0 0
sin( 234 ) cos216
.tan36
sin144 cos126
− −
=
−
ĐS:

B 1= −
c)
C
0 0 0 0 0
cos20 cos40 cos60 cos160 cos180= + + + + +
ĐS:
C 1
= −
d)
D
2 0 2 0 2 0 2 0
cos 10 cos 20 cos 30 cos 180= + + + +
ĐS:
D 9
=
e)
E
0 0 0 0 0
sin20 sin40 sin60 sin340 sin360= + + + + +
ĐS:
E 0=
f)
x x x x
0 0 0 0
2sin(790 ) cos(1260 ) tan(630 ).tan(1260 )+ + − + + −
ĐS:
F x1 cos
= +
Bài 4.
a)

VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác
Sử dụng các hệ thức cơ bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác.
Trong khi biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng các hằng đẳng thức.
Chú ý: Nếu là biểu thức lượng giác đối với các góc A, B, C trong tam giác ABC thì:
A B C
π
+ + =
và
A B C
2 2 2 2
π
+ + =
Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x
4 4 2
sin cos 1 2cos− = −
b)
x x x x
4 4 2 2
sin cos 1 2cos .sin+ = −
c)
x x x x
6 6 2 2
sin cos 1 3sin .cos+ = −
Trang 62
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
d)
x x x x x x
8 8 2 2 4 4

sin cos 1 4sin .cos 2sin .cos+ = − +
e)
x x x x
2 2 2 2
cot cos cos .cot− =
f)
x x x x
2 2 2 2
tan sin tan .sin− =
g)
x x x x x1 sin cos tan (1 cos )(1 tan )+ + + = + +
h)
x x x x x x x x
2 2
sin .tan cos .cot 2sin .cos tan cot+ + = +
i)
x x x
x x x
sin cos 1 2cos
1 cos sin cos 1
+ −
=
− − +
k)
x
x
x
2
2
2

1 sin
1 tan
1 sin
+
= +
−
Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
a b
a b
a b
tan tan
tan .tan
cot cot
+
=
+
b)
a a a
a a a a
a
2
2
sin cos 1 cot
sin cos cos sin
1 cot
+
− =
− −
−

c)
a a
a a
a a
2 2
sin cos
1 sin .cos
1 cot 1 tan
− − =
+ +
d)
a a a
a a
a a
a
2
2
sin sin cos
sin cos
sin cos
tan 1
+
− = +
−
−
e)
a a
a
a
a

2
2
1 cos (1 cos )
1 2cot
sin
sin
 
+ −
− =
 
 
f)
a a a
a a a a
2 2 4
2 2 2 2
tan 1 cot 1 tan
.
1 tan cot tan cot
+ +
=
+ +
g)
a a
a
a a
2
2
1 sin 1 sin
4tan

1 sin 1 sin
 
+ −
− =
 ÷
− +
 
h)
a b a b
a b a b
2 2 2 2
2 2 2 2
tan tan sin sin
tan .tan sin .sin
− −
=
i)
a a
a
a a
2 2
6
2 2
sin tan
tan
cos cot
−
=
−
k)

a a
a a
a a
a a
3 3
3 3
2 2
tan 1 cot
tan cot
sin .cos
sin cos
− + = +
Bài 3. Cho
x a
vôùi a b
a b a b
4 4
sin cos 1
, , 0.+ = >
+
Chứng minh:
x x
a b a b
8 8
3 3 3
sin cos 1
( )
+ =
+
.

Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:
a)
x x x
2 2 2
(1 sin )cot 1 cot− + −
b)
x x x x
2 2
(tan cot ) (tan cot )+ − −
c)
x x x
x x x
2 2 2
2 2 2
cos cos .cot
sin sin .tan
+
+
d)
x a y a x a y a
2 2
( .sin .cos ) ( .cos .sin )− + +
e)
x x
a x
2 2
2 2
sin tan
cos cot
−

−
f)
x x x
x x x
2 2 4
2 2 4
sin cos cos
cos sin sin
− +
− +
g)
x x x x
2 2
sin (1 cot ) cos (1 tan )+ + +
h)
x x
x
x x
1 cos 1 cos
; (0, )
1 cos 1 cos
π
+ −
− ∈
− +
i)
x x
x
x x
1 sin 1 sin

; ;
1 sin 1 sin 2 2
π π
 
+ −
+ ∈ −
 ÷
− +  
k)
x x x x
2 2
3
cos tan sin ; ;
2 2
π π
 
− − ∈
 ÷
 
Bài 5. Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x:
a)
x x x x
4 4 6 6
3(sin cos ) 2(sin cos )+ − +
ĐS: 1
b)
x x x x x
8 8 6 6 4
3(sin cos ) 4(cos 2sin ) 6sin− + − +
ĐS: 1

c)
x x x x
4 4 2 2
(sin cos 1)(tan cot 2)+ − + +
ĐS: –2
d)
x x x x x
2 2 2 2 2
cos .cot 3cos cot 2sin+ − +
ĐS: 2
e)
x x
x x x
4 4
6 6 4
sin 3cos 1
sin cos 3cos 1
+ −
+ + −
ĐS:
2
3
Trang 63
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
f)
x x x x
x x
2 2 2 2
2 2
tan cos cot sin

sin cos
− −
+
ĐS: 2
g)
x x
x x
6 6
4 4
sin cos 1
sin cos 1
+ −
+ −
ĐS:
3
2
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
B A Csin sin( )= +
b)
A B Ccos( ) cos+ = −
c)
A B C
sin cos
2 2
+
=
d)
B C A Ccos( ) cos( 2 )− = − +
e)

A B C Ccos( ) cos2+ − = −
f)
A B C
A
3
cos sin2
2
− + +
= −
g)
A B C
C
3
sin cos
2
+ +
=
h)
A B C C2 3
tan cot
2 2
+ −
=
Bài 7.
a)
VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a+ = +
sin( ) sin .cos sin .cosa b a b b a− = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b+ = −
cos( ) cos .cos sin .sina b a b a b− = +

tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
−
− =
+
Hệ quả:
1 tan 1 tan
tan , tan
4 1 tan 4 1 tan
π α π α
α α
α α
   
+ −
+ = − =
 ÷  ÷
− +

   
Bài 1. Tính các giá trị lượng giác của các góc sau:
a)
0 0 0
15 ; 75 ; 105
b)
5 7
; ;
12 12 12
π π π
Bài 2. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a)
khi
3
tan sin ,
3 5 2
π π
α α α π
 
+ = < <
 ÷
 
ĐS:
38 25 3
11
−
b)
khi
12 3
cos sin , 2

3 13 2
π π
α α α π
 
− = − < <
 ÷
 
ĐS:
(5 12 3)
26
−
c)
a b a b khi a b
1 1
cos( ).cos( ) cos , cos
3 4
+ − = =
ĐS:
119
144
−
d)
a b a b a bsin( ), cos( ), tan( )− + +
khi
a b
8 5
sin , tan
17 12
= =
và a, b là các góc nhọn.

ĐS:
21 140 21
; ; .
221 221 220
e)
a b a btan tan , tan , tan+
khi
a b a b0 , ,
2 4
π π
< < + =
và
a btan .tan 3 2 2= −
. Từ đó
Trang 64
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
suy ra a, b . ĐS:
2 2 2−
;
a b a btan tan 2 1,
8
π
= = − = =
Bài 3. Tính giá trị của các biểu thức lượng giác sau:
a) A =
o o o2 2 2
sin 20 sin 100 sin 140+ +
ĐS:
3
2

b) B =
o o o2 2
cos 10 cos110 cos 130+ +
ĐS:
3
2
c) C =
o o o o o o
tan20 .tan80 tan80 .tan140 tan140 .tan20+ +
ĐS: –3
d) D =
o o o o o o
tan10 .tan70 tan70 .tan130 tan130 .tan190+ +
ĐS: –3
e) E =
o o o
o o
cot225 cot79 .cot71
cot259 cot 251
−
+
ĐS:
3
f) F =
o o2 2
cos 75 sin 75−
ĐS:
3
2
−

g) G =
o
0
1 tan15
1 tan15
−
+
ĐS:
3
3
h) H =
0 0
tan15 cot15+
ĐS: 4
HD:
0 0 0 0 0 0
40 60 20 ; 80 60 20= − = +
;
0 0 0 0 0 0
50 60 10 ; 70 60 10= − = +
Bài 4. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
x y x y x y
2 2
sin( ).sin( ) sin sin+ − = −
b)
x y
x y
x y x y
2sin( )

tan tan
cos( ) cos( )
+
+ =
+ + −
c)
x x x x x x
2 2
tan .tan tan .tan tan .tan 3
3 3 3 3
π π π π
       
+ + + + + + = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d)
x x x x
3 2
cos .cos cos .cos (1 3)
3 4 6 4 4
π π π π
       
− + + + + = −
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
e)
o o o o
(cos70 cos50 )(cos230 cos290 )+ +
o o o o
(cos40 cos160 )(cos320 cos380 ) 0+ + + =

f)
x x
x x
x x
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan 2 .tan
−
=
−
Bài 5. Chứng minh các hệ thức sau, với điều kiện cho trước:
a)
a a b khi b a cos a b2tan tan( ) sin sin . ( )= + = +
b)
a a b khi b a b2tan tan( ) 3sin sin(2 )= + = +
c)
a b khi a b a b
1
tan .tan cos( ) 2cos( )
3
= − + = −
d)
k
a b b khi a b k a
k
1
tan( ).tan cos( 2 ) cos
1

−
+ = + =
+
HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a
c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b
Bài 6. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
C A B B Asin sin .cos sin .cos= +
b)
C
A B A B
A B
0
sin
tan tan ( , 90 )
cos .cos
= + ≠
c)
A B C A B C A B C
0
tan tan tan tan .tan .tan ( , , 90 )+ + = ≠
d)
A B B C C Acot .cot cot .cot cot .cot 1
+ + =
Trang 65
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
e)
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2

+ + =
f)
A B C A B C
cot cot cot cot .cot .cot
2 2 2 2 2 2
+ + =

g)
o
C B
B C A
B A C A
cos cos
cot cot ( 90 )
sin .cos sin .cos
+ = + ≠
h)
A B C A B C A B C A B C
cos .cos .cos sin sin cos sin cos sin cos sin sin
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
= + +
i)
A B C A B C
2 2 2
sin sin sin 1 2sin sin sin
2 2 2 2 2 2
+ + = +
HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 180
0
e, f) Sử dụng

A B C
0
90
2 2 2
 
+ + =
 ÷
 
g) VT = VP = tanA h) Khai triển
A B C
cos
2 2 2
 
+ +
 ÷
 
i) Khai triển
A B C
sin
2 2 2
 
+ +
 ÷
 
.
Chú ý: Từ
B C A
cos sin
2 2 2
 

+ =
 ÷
 

⇒

B C A B C
cos .cos sin sin .sin
2 2 2 2 2
= +
⇒

A B C A A B C
2
sin .cos .cos sin sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2 2
= +
Bài 7. Cho tam giác A, B, C. Chứng minh:
a)
A B C ABC nhoïntan tan tan 3 3, .
∆
+ + ≥ ∀
b)
A B C ABC nhoïn
2 2 2
tan tan tan 9, .
∆
+ + ≥ ∀
c)
A B C ABC nhoïn

6 6 6
tan tan tan 81, .
∆
+ + ≥ ∀
d)
A B C
2 2 2
tan tan tan 1
2 2 2
+ + ≥
e)
A B C
tan tan tan 3
2 2 2
+ + ≥
HD: a, b, c) Sử dụng
A B C A B Ctan tan tan tan .tan .tan+ + =
và BĐT Cô–si
d) Sử dụng
a b c ab bc ca
2 2 2
+ + ≥ + +

và
A B B C C A
tan .tan tan .tan tan .tan 1
2 2 2 2 2 2
+ + =
e) Khai triển
A B C

2
tan tan tan
2 2 2
 
+ +
 ÷
 
và sử dụng câu c)
VẤN ĐỀ 6: Công thức nhân
Công thức nhân đôi
sin2 2sin .cos
α α α
=
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
α α α α α
= − = − = −

2
2
2tan cot 1
tan2 ; cot 2
2cot
1 tan
α α
α α
α
α
−
= =

−

Trang 66
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Công thức hạ bậc Công thức nhân ba (*)
2
2
2
1 cos2
sin
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
tan
1 cos2
α
α
α
α
α
α
α
−
=
+
=
−
=

+
3
3
3
2
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
3tan tan
tan3
1 3tan
α α α
α α α
α α
α
α
= −
= −
−
=
−
Bài 6. Tính giá trị của biểu thức lượng giác, khi biết:
a)
khi
5 3
cos2 , sin2 , tan2 cos ,
13 2
π
α α α α π α
= − < <
b)

khicos2 , sin2 , tan2 tan 2
α α α α
=
c)
khi
4 3
sin , cos sin2 ,
5 2 2
π π
α α α α
= − < <
d)
khi
7
cos2 , sin2 , tan2 tan
8
α α α α
=
Bài 7. Tính giá trị của biểu thức sau:
a)
o o o o
A cos20 .cos40 .cos60 .cos80=
ĐS:
1
16
b)
o o o
B sin10 .sin50 .sin70=
ĐS:
1

8
c)
C
4 5
cos .cos .cos
7 7 7
π π π
=
ĐS:
1
8
d)
D
0 0 0
cos10 .cos50 .cos70=
ĐS:
3
8
e)
o o o o
E sin6 .sin42 .sin66 .sin78=
ĐS:
1
16
f)
G
2 4 8 16 32
cos .cos .cos .cos .cos
31 31 31 31 31
π π π π π

=
ĐS:
1
32
h)
o o o o o
H sin5 .sin15 .sin25 sin75 .sin85=
ĐS:
2
512
i)
I
0 0 0 0 0
cos10 .cos20 .cos30 cos70 .cos80=
ĐS:
3
256
k)
K 96 3sin .cos .cos cos cos
48 48 24 12 6
π π π π π
=
ĐS: 9
l)
L
2 3 4 5 6 7
cos .cos .cos .cos .cos .cos .cos
15 15 15 15 15 15 15
π π π π π π π
=

ĐS:
1
128
m)
M sin .cos .cos
16 16 8
π π π
=
ĐS:
2
8
Bài 8. Chứng minh rằng:
a)
n
n
n
a a a a a
P
a
2 3
sin
cos cos cos cos
2
2 2 2
2 .sin
2
= =
Trang 67
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
b)

n
n
Q
n n n
2 1
cos .cos cos
2 1 2 1 2 1
2
π π π
= =
+ + +
c)
n
R
n n n
2 4 2 1
cos .cos cos
2 1 2 1 2 1 2
π π π
= = −
+ + +
Bài 9. Chứng minh các hệ thức sau:
a)
x x
4 4
3 1
sin cos cos4
4 4
+ = +
b)

x x x
6 6
5 3
sin cos cos4
8 8
+ = +
c)
x x x x x
3 3
1
sin .cos cos .sin sin4
4
− =
d)
x x
x x
6 6 2
1
sin cos cos (sin 4)
2 2 4
− = −
e)
x
x
2
1 sin 2sin
4 2
π
 
− = −

 ÷
 
f)
x
x x
2
2
1 sin
1
2cot .cos
4 4
π π
−
=
   
+ −
 ÷  ÷
   
g)
x
x
x
1 cos
2
tan . 1
4 2
sin
2
π
π

π
 
+ +
 ÷
 
 
+ =
 ÷
 
 
+
 ÷
 
h)
x
x
x
1 sin2
tan
4 cos2
π
 
+
+ =
 ÷
 
i)
x x
x
cos

cot
1 sin 4 2
π
 
= −
 ÷
−  
k)
x x
x x
x x
2 2
2 2
tan 2 tan
tan .tan3
1 tan .tan 2
−
=
−
l)
x x xtan cot 2cot= −
m)
x x
x
2
cot tan
sin2
+ =
n)
x

x vôùi x
1 1 1 1 1 1
cos cos , 0 .
2 2 2 2 2 2 8 2
π
+ + + = < <
Bài 10.
a)
VẤN ĐỀ 7: Công thức biến đổi
1. Công thức biến đổi tổng thành tích
cos cos 2cos .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
cos cos 2sin .sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− = −
sin sin 2sin .cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =
sin sin 2cos .sin
2 2

a b a b
a b
+ −
− =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
+
+ =
sin( )
tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−
− =
sin( )
cot cot
sin .sin
a b
a b
a b
+
+ =
b a
a b

a b
sin( )
cot cot
sin .sin
−
− =
sin cos 2.sin 2.cos
4 4
π π
α α α α
   
+ = + = −
 ÷  ÷
   
sin cos 2sin 2 cos
4 4
π π
α α α α
   
− = − = − +
 ÷  ÷
   
2. Công thức biến đổi tích thành tổng
Trang 68
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Bài 1. Biến đổi thành tổng:
a)
a b a b2sin( ).cos( )+ −
b)
a b a b2cos( ).cos( )+ −

c)
x x x4sin3 .sin2 .cos
d)
x x
x
13
4sin .cos .cos
2 2
e)
o o
x xsin( 30 ).cos( 30 )+ −
f)
2
sin .sin
5 5
π π
g)
x x x2sin .sin2 .sin3 .
h)
x x x8cos .sin2 .sin3
i)
x x xsin .sin .cos2
6 6
π π
   
+ −
 ÷  ÷
   
k)
a b b c c a4cos( ).cos( ).cos( )− − −

Bài 2. Chứng minh:
a)
x x x x4cos .cos cos cos3
3 3
π π
   
− + =
 ÷  ÷
   
b)
x x x x4sin .sin sin sin3
3 3
π π
   
− + =
 ÷  ÷
   
Áp dụng tính:
o o o
A sin10 .sin50 .sin70=
o o o
B cos10 .cos50 .cos70=
C
0 0 0
sin20 .sin40 .sin80=
D
0 0 0
cos20 .cos40 .cos80=
Bài 3. Biến đổi thành tích:
a)

x2sin4 2+
b)
x
2
3 4cos−
c)
x
2
1 3tan−
d)
x x xsin2 sin4 sin6
+ +
e)
x x3 4cos4 cos8+ +
f)
x x x xsin5 sin6 sin7 sin8+ + +
g)
x x x1 sin2 –cos2 –tan2+
h)
o o
x x
2 2
sin ( 90 ) 3cos ( 90 )+ − −
i)
x x x xcos5 cos8 cos9 cos12
+ + +
k)
x xcos sin 1
+ +
Bài 4. Rút gọn các biểu thức sau:

a)
x x x x
A
x x x x
cos7 cos8 cos9 cos10
sin7 sin8 sin9 sin10
− − +
=
− − +
b)
x x x
B
x x x
sin2 2sin3 sin 4
sin3 2sin4 sin5
+ +
=
+ +
c)
x x x
C
x x
2
1 cos cos2 cos3
cos 2cos 1
+ + +
=
+ −
d)
x x x

D
x x x
sin4 sin5 sin6
cos4 cos5 cos6
+ +
=
+ +
Bài 5. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
A
2
cos cos
5 5
π π
= +
b)
B
7
tan tan
24 24
π π
= +
c)
o o o
C
2 2 2
sin 70 .sin 50 .sin 10=
d)
o o o o
D

2 2
sin 17 sin 43 sin17 .sin43= + +
e)
o
o
E
1
2sin70
2sin10
= −
f)
o o
F
1 3
sin10 cos10
= −
g)
o o
o o o o
G
tan80 cot10
cot25 cot 75 tan25 tan75
= −
+ +
h)
H
0 0 0 0
tan9 tan27 tan63 tan81= − − +
Trang 69
Trần Sĩ Tùng Lượng giác

ĐS:
A
1
2
=
B 2( 6 3)= −
C
1
64
=
D
3
4
=
E = 1 F = 4 G = 1 H = 4
Bài 6. Tính giá trị của các biểu thức sau:
a)
7 13 19 25
sin sin sin sin sin
30 30 30 30 30
π π π π π
ĐS:
1
32
b)
o o o o o
16.sin10 .sin30 .sin50 .sin70 .sin90
ĐS: 1
c)
o o o o

cos24 cos48 cos84 cos12+ − −
ĐS:
1
2
d)
2 4 6
cos cos cos
7 7 7
π π π
+ +
ĐS:
1
2
−
e)
2 3
cos cos cos
7 7 7
π π π
− +
ĐS:
1
2
f)
5 7
cos cos cos
9 9 9
π π π
+ +
ĐS: 0

g)
2 4 6 8
cos cos cos cos
5 5 5 5
π π π π
+ + +
ĐS: –1
h)
3 5 7 9
cos cos cos cos cos
11 11 11 11 11
π π π π π
+ + + +
ĐS:
1
2
Bài 7. Chứng minh rằng:
a)
o o o o
tan9 tan27 tan63 tan81 4− − + =
b)
o o o
tan20 tan40 tan80 3 3− + =
c)
o o o o
tan10 tan50 tan60 tan70 2 3− + + =
d)
o o o o o
8 3
tan30 tan40 tan50 tan60 .cos20

3
+ + + =
e)
o o o o o
tan20 tan40 tan80 tan60 8sin40+ + + =
f)
o o o6 4 2
tan 20 33tan 20 27tan 20 3 0− + − =
Bài 8. Tính các tổng sau:
a)
S n k
1
cos cos3 cos5 cos(2 1) ( )
α α α α α π
= + + + + − ≠

b)
n
S
n n n n
2
2 3 ( 1)
sin sin sin sin .
π π π π
−
= + + + +
c)
n
S
n n n n

3
3 5 (2 1)
cos cos cos cos .
π π π π
−
= + + +
d)
S vôùi a
a a a a a a
4
1 1 1
, .
cos .cos2 cos2 .cos3 cos4 .cos5 5
π
= + + + =

e)
n
S
x x x
x
5
1
1 1 1 1
1 1 1 1
cos cos2 cos3
cos2
−
     
= + + + +

 ÷ ÷ ÷
 ÷
   
 

ĐS:
n
S
1
sin2
2sin
α
α
=
;
S
n
2
cot
2
π
=
;
S
n
3
cos
π
= −
;

a a
S
a
4
tan5 tan
1 5
sin
−
= = −
;
n
x
S
x
1
5
tan2
tan
2
−
=
Bài 9.
Trang 70
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
a) Chứng minh rằng:
x x x
3
1
sin (3sin sin3 ) (1)
4

= −
b) Thay
n
n
n n
a a a a
x vaøo tính S
3 3 1 3
2
(1), sin 3sin 3 sin .
3
3 3 3
−
= = + + +
ĐS:
n
n
n
a
S a
1
3 sin sin .
4
3
 
= −
 ÷
 
Bài 10.
a) Chứng minh rằng:

a
a
a
sin2
cos
2sin
=
.
b) Tính
n
n
x x x
P
2
cos cos cos .
2
2 2
=
ĐS:
n
n
n
x
P
x
sin
.
2 sin
2
=

Bài 11.
a) Chứng minh rằng:
x
x
x
1
cot cot
sin 2
= −
.
b) Tính
n
n
S k
1
1
1 1 1
(2 )
sin sin2
sin2
α π
α α
α
−
−
= + + + ≠
ĐS:
n
S
1

cot cot2
2
α
α
−
= −
Bài 12.
a) Chứng minh rằng:
x x x x
2
tan .tan2 tan2 2tan= −
.
b) Tính
n
n
n n
a a a a a
S a
2 2 1 2
2 1
tan .tan 2tan .tan 2 tan .tan
2 2
2 2 2
−
−
= + + +
ĐS:
n
n
n

a
S atan 2 tan
2
= −
Bài 13. Tính
x
2
sin 2 ,
biết:
x x x x
2 2 2 2
1 1 1 1
7
tan cot sin cos
+ + + =
ĐS:
8
9
Bài 14. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x xcot tan 2tan2 4cot4− − =
b)
x x
x x
2
1 2sin 2 1 tan2
1 sin4 1 tan2
− +
=
− −

c)
x
x
x x
2
6
6 2
1 3tan
tan 1
cos cos
− = +
d)
x x
x
x x x
1 sin2 cos2
tan4
cos4 sin2 cos2
−
− =
+
e)
x x x x x xtan6 tan4 tan2 tan2 .tan4 .tan6− − =
f)
x
x x x
x
sin7
1 2cos2 2cos4 2cos6
sin

= + + +
g)
x x x x x xcos5 .cos3 sin7 .sin cos2 .cos4+ =
Bài 15.
a) Cho
a b bsin(2 ) 5sin+ =
. Chứng minh:
a b
a
2tan( )
3
tan
+
=
b) Cho
a b atan( ) 3tan+ =
. Chứng minh:
a b a bsin(2 2 ) sin2 2sin2+ + =
Bài 16. Cho tam giác ABC. Chứng minh:
a)
A B C
A B Csin sin sin 4cos cos cos
2 2 2
+ + =
b)
A B C
A B Ccos cos cos 1 4sin sin sin
2 2 2
+ + = +
Trang 71

Trần Sĩ Tùng Lượng giác
c)
A B C A B Csin2 sin2 sin2 4sin .sin .sin+ + =
d)
A B C A B Ccos2 cos2 cos2 1 4cos .cos .cos+ + = − −
e)
A B C A B C
2 2 2
cos cos cos 1 2cos .cos .cos+ + = −
f)
A B C A B C
2 2 2
sin sin sin 2 2cos .cos .cos+ + = +
Bài 17. Tìm các góc của tam giác ABC, biết:
a)
B C vaø B C
1
sin .sin .
3 2
π
− = =
ĐS:
B C A, ,
2 6 3
π π π
= = =
b)
B C vaø B C
2 1 3
sin .cos .

3 4
π
+
+ = =
ĐS:
A B C
5
, ,
3 12 4
π π π
= = =
Bài 18. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC vuông:
a)
A B Ccos2 cos2 cos2 1+ + = −
b)
A B Ctan2 tan2 tan2 0+ + =
c)
b c a
B C B Ccos cos sin .sin
+ =
d)
B a c
b
cot
2
+
=
Bài 19. Chứng minh điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC cân:
a)
A B

a A b B a btan tan ( )tan
2
+
+ = +
b)
B C B C
2
2tan tan tan .tan+ =
c)
A B
A B
A B
sin sin 1
(tan tan )
cos cos 2
+
= +
+
d)
C A B
C
2sin .sin
cot
2 sin
=
Bài 20. Chứng minh bất đẳng thức, từ đó suy ra điều kiện cần và đủ đê tam giác ABC đều:
a)
A B C
3 3
sin sin sin

2
+ + ≤
HD: Cộng
sin
3
π
vào VT.
b)
A B C
3
cos cos cos
2
+ + ≤
HD: Cộng
cos
3
π
vào VT.
c)
A B Ctan tan tan 3 3+ + ≥
(với A, B, C nhọn)
d)
A B C
1
cos .cos .cos
8
≤
HD: Biến đổi
A B C
1

cos .cos .cos
8
−
về dạng hằng đẳng thức.
BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG VI
Bài 11. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
x x x
x
x x x
2 2 4
4
2 2 4
sin cos cos
tan
cos sin sin
− +
=
− +
b)
x x x x x
2
(tan2 tan )(sin2 tan ) tan− − =
c)
x
x x
x
2 2
6 2cos4
tan cot

1 cos4
+
+ =
−
d)
x x x
x x x
1 cos 1 cos 4cot
1 cos 1 cos sin
+ −
− =
− +
e)
x x
x x
x x
2 2
sin cos
1 sin .cos
1 cot 1 tan
− − =
+ +
f)
x x x
0 0
cos cos(120 ) cos(120 ) 0+ − + + =
g)
x x
x
x x

2 cos 2cos
4
tan
2sin 2 sin
4
π
π
 
− +
 ÷
 
=
 
+ −
 ÷
 
h)
x x
x x
x
2 2
2 2
3
cot cot
2 2
8
3
cos .cos . 1 cot
2 2
−

=
 
+
 ÷
 
i)
x x x x
6 6 2
1
cos sin cos2 1 sin 2
4
 
− = −
 ÷
 
k)
x x x x
4 4
cos sin sin2 2 cos 2
4
π
 
− + = −
 ÷
 
Bài 12. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x:
a)
x x x x
4 4 6 6
3(sin cos ) 2(sin cos )+ − +

b)
x x x x x x
6 4 2 2 4 4
cos 2sin cos 3sin cos sin+ + +
Trang 72
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
c)
x x x x
3
cos .cos cos .cos
3 4 6 4
π π π π
       
− + + + +
 ÷  ÷  ÷  ÷
       
d)
x x x
2 2 2
2 2
cos cos cos
3 3
π π
   
+ + + −
 ÷  ÷
   
Bài 13. a) Chứng minh:
1
cot cot2

sin2
α α
α
− =
.
b) Chứng minh:
x x
x x x x
1 1 1 1
cot cot16
sin2 sin4 sin8 sin16
+ + + = −
.
Bài 14. a) Chứng minh:
tan cot 2cot 2
α α α
= −
.
b) Chứng minh:
n n n n
x x x x
x
2 2
1 1 1 1
tan tan tan cot cot
2 2
2 2 2 2 2 2
+ + + = −
.
Bài 15. a) Chứng minh:

x x x
2 2 2
1 4 1
4cos sin 2 4sin
= −
.
b) Chứng minh:
n n
n n
x x x x
x
2
2 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1

sin
4cos 4 cos 4 cos 4 sin
2
2 2 2
+ + + = −
.
Bài 16. a) Chứng minh:
x x x
3
1
sin (3sin sin3 )
4
= −
.

b) Chứng minh:
n n
n n
x x x x
x
3 3 1 3
2
1
sin 3sin 3 sin 3 sin sin
3 4
3 3 3
−
 
+ + + = −
 ÷
 
.
Bài 17. a) Chứng minh:
1 tan2
1
cos2 tan
α
α α
+ =
.
b) Chứng minh:
n
n
x
x x

x x
2
1 1 1 tan2
1 1 1
cos2 tan
cos2 cos2
    
+ + + =
 ÷
 ÷  ÷
 
   
.
Bài 18. a) Chứng minh:
sin2
cos
2sin
α
α
α
=
.
b) Chứng minh:
n
n
n
x x x x
x
2
sin

cos .cos cos
2
2 2
2 sin
2
=
.
Bài 19. Đơn giản các biểu thức sau:
a)
o o o o o o o o o
A tan3 .tan17 .tan23 .tan37 .tan43 .tan57 .tan63 .tan77 .tan83=
b)
B
2 4 6 8
cos cos cos cos
5 5 5 5
π π π π
= + + +
c)
C
11 5
sin .cos
12 12
π π
=
d)
D
5 7 11
sin .sin .sin .sin
24 24 24 24

π π π π
=
HD: a)
o
A tan27=
. Sử dụng
x x x x
0 0
tan .tan(60 ).tan(60 ) tan3− + =
.
b) B = –1 c)
C
1 3
2 4
= −
d)
D
1
16
=
Bài 20. Chứng minh:
a)
2 3 1
cos cos cos
7 7 7 2
π π π
− + =
Trang 73
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
b)

o o3 2
8sin 18 8sin 18 1+ =
c)
8 4tan 2tan tan cot
8 16 32 32
π π π π
+ + + =
d)
o o
1 1 4
3
cos290 3.sin250
+ =
e)
o o o o o
8 3
tan30 tan40 tan50 tan60 cos20
3
+ + + =
f)
o o o o o
3 1
cos12 cos18 4cos15 .cos21 .cos24
2
+
+ − = −
g)
o o o o
tan20 tan40 3.tan20 .tan40 3+ + =
h)

3 9 1
cos cos cos
11 11 11 2
π π π
+ + + =
i)
2 4 10 1
cos cos cos
11 11 11 2
π π π
+ + + = −
Bài 21. a) Chứng minh:
x x x x x
1
sin .cos .cos2 .cos4 sin8
8
=
.
b) Áp dụng tính:
A
0 0 0 0
sin6 .sin42 .sin66 .sin78=
,
B
3 5
cos .cos .cos
7 7 7
π π π
=
.

Bài 22. a) Chứng minh:
x x x
4
3 1 1
sin cos2 cos4
8 2 8
= − +
.
b) Áp dụng tính:
S
4 4 4 4
3 5 7
sin sin sin sin
16 16 16 16
π π π π
= + + +
. ĐS:
S
3
2
=
Bài 23. a) Chứng minh:
x
x
x
1 cos2
tan
sin2
−
=

.
b) Áp dụng tính:
S
2 2 2
3 5
tan tan tan
12 12 12
π π π
= + +
.
Bài 24. Không dúng máy tính, hãy tính giá trị các biểu thức sau:
a)
0 0
sin18 , cos18
b)
A
2 0 2 0 0 0
cos 18 .sin 36 cos36 .sin18= −
c)
B
2 0 2 0
sin 24 sin 6= −
d)
C
0 0 0 0 0 0 0 0 0
sin2 .sin18 .sin22 .sin38 .sin42 .sin58 .sin62 .sin78 .sin82=
HD: a)
0
5 1
sin18

4
−
=
. Chú ý:
0 0
sin54 cos36=

⇒

0 0
sin(3.18 ) cos(2.18 )=
b)
A
1
16
=
c)
B
5 1
4
−
=
d)
C
5 1
1024
−
=
. Sử dụng:
x x x x

0 0
1
sin .sin(60 ).sin(60 ) sin3
4
− + =
Bài 25. Chứng minh rằng:
a) Nếu
a bcos( ) 0+ =
thì
a b asin( 2 ) sin+ =
.
b) Nếu
a b bsin(2 ) 3sin+ =
thì
a b atan( ) 2tan+ =
.
Bài 26. Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có:
a)
b B c C a B Ccos cos cos( )+ = −
b)
S R A B C
2
2 sin .sin .sin=
c)
S R a A b B c C2 ( cos cos cos )= + +
d)
A B C
r R4 sin sin sin
2 2 2
=

Trang 74
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
Bài 27. Chứng minh rằng:
a) Nếu
B C
A
B C
sin sin
sin
cos cos
+
=
+
thì tam giác ABC vuông tại A.
b) Nếu
B B
C
C
2
2
tan sin
tan
sin
=
thì tam giác ABC vuông hoặc cân.
c) Nếu
B
A
C
sin

2cos
sin
=
thì tam giác ABC cân.
Bài 28.
a)
Chương VI: GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC:
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1. Góc và cung lượng giác:
*. Đường tròn bán kính R có độ dài bằng 2πR và có số đo bằng 360
0
.
*. Chia đường tròn thành 360 phần bằng nhau thì mỗi cung tròn này có độ dài
bằng
180
R
π
và có số đo 1
0
.
*. Cung tròn bán kính R có số đo a
0
(0 ≤ a ≤ 360) thì có độ dài bằng
180
aR
π
.
*. Radian là số đo của một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn.
*. Cung có số đo bằng a
0

ứng với α radian công thức đổi đơn vị là:
π
α
=
0
0
180
a
.
*. Độ dài của một cung tròn được tính theo công thức: l = R.α. y
*. Góc lượng giác (Ox, Oy) theo thứ tự này
là góc quét bởi tia Oz, theo một chiều nhất định từ z
Ox đến Oy.
*.Đường tròn lượng giác là đường tròn O x
Bán kính bằng đơn vị mà trên đó ta chọn một
chiều làm chiều dương (+).
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, ta quy ước đường tròn lượng giác là đường tròn
tâm O(0; 0) và đi qua A(1; 0), B(0; 1), A’(-1; 0), B’(0; -1); chiều dương là chiều
ngược kim đồng hồ.
*. Cung lượng giác AC với hai điểm A, C trên đường tròn lượng giác là cung
vạch bởi điểm M di chuyển trên đường tròn lượng giác theo một chiều nhất định từ
A đến C.
*. Số đo của góc và cung lượng giác:
sđ(Ox, Oy) = a
0
+ k360
0
hoặc sđ(Ox, Oy) = α + k2π.
sđAM = a
0

+ k360
0
hoặc sđAM = α + k2π.
y
B S
M
P T
*. Hệ thức Sa-lơ:
+ Với ba tia Ox, Oy, Oz tùy ý, ta có:
sđ(Ox, Oy) + sđ(Oy, Oz) = sđ(Ox, Oz).
+ Với M, N, K tùy ý trên đường tròn
Trang 75
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
A’ O Q A x
B’
lượng giác thì: sđMN + sđNK = sđMK.
2. Các công thức lượng giác cơ
bản:
Điểm M(x; y) trên đường tròn lượng
giác với sđAM = α + k2π (k ∈ Z).
Ta có:
.cot,tan,sin,cos BSATyOPxOQ ======
αααα
Nhận xét: - 1 ≤ cosα ≤ 1, - 1 ≤ cosα ≤ 1.
cos(α + k2π) = cosα, sin(α + k2π) = sinα, tan(α + kπ) = tanα, cot(α + kπ) = cot α.
tanα =
α
α
cos
sin

xác định khi α ≠
,
2
π
π
k+
cotα =
α
α
sin
cos
xác định khi α ≠ α ≠ kπ
sinα = tanαcosα, cosα = cotαsinα, tanαcotα = 1, sin
2
α + cos
2
α + 1.
.
sin
1
cot1,
cos
1
tan1
2
2
2
2
α
α

α
α
=+=+
*. Giá trị lượng giác của những cung đặc biệt:
Góc 0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
TS . 0
6
π
4
π
3
π
2

π
3
2
π
4
3
π
6
5
π
π
sin 0
2
1
2
2
2
3
1
2
3
2
2
2
1
0
cos 1
2
3
2

2
2
1
0
2
1
−
2
2
−
2
3
−
-1
tan 0
3
3
1
3

3−
-1
3
3
−
0
cot

3
1

3
3
0
3
3
−
-1
3−

3.Giá trị lượng giác của những cung có liên quan đặc biệt:
*. Cung đối nhau: - α và α:
cos(-α) = cosα, sin(-α) = - sinα, tan(-α) = - tanα, cot(-α) = - cotα.
*. Cung bù nhau: π - α và α:
sin(π - α) = sinα, cos(π - α) = - cosα, tan(π - α) = - tanα, cot(π - α) = - cotα.
*. Cung hơn kém π: π + α và α:
sin(π + α) = - sinα, cos(π

α) = - cosα, tan(π + α) = tanα, cotπ + α) = cotα.
*. Cung phụ nhau:
2
π
- α và α:
sin






−

α
π
2
= cosα, cos






−
α
π
2
= sinα, tan






−
α
π
2
= cotα, cot







−
α
π
2
= tanα.
Trang 76
Lượng giác Trần Sĩ Tùng
*. Cung hơn kém
2
π
:
2
π
+ α và α:
sin






+
α
π
2
= cosα, cos







+
α
π
2
= - sinα, tan






+
α
π
2
= - cotα, cot






+
α
π
2

= -
tanα.
4. Các công thứ lượng giác khác:
*. Công thức cộng:
cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ, sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ.
cos(α– β) = cosαcosβ + sinαsinβ, sin(α– β) = sinαcosβ – cosαsinβ.
tan(α + β) =
βα
βα
tantan1
tantan
−
+
, tan(α– β) =
βα
βα
tantan1
tantan
+
−
.
*. Công thức nhân đôi:
cos2α = cos
2
α - sin
2
α = 2cos
2
α - 1 = 1 – 2sin
2

α;
sin2α = 2sinαcosα; tan2α =
.
tan1
tan2
2
α
α
−
*. Công thức hạ bậc:
sinαcosα =
.
2
2cos1
sin;
2
2cos1
cos;2sin
2
1
22
α
α
α
αα
−
=
+
=
*. Công thức biến đổi tích thành tổng:

cosαcosβ =
[ ] [ ]
;)sin()sin(
2
1
cossin;)cos()cos(
2
1
βαβαβαβαβα
−++=−++
sinαsinβ = -
[ ]
.)cos()cos(
2
1
βαβα
−−+
*. Công thức biến đổi tổng thành tích:
cosα + cosβ =
;
2
cos
2
cos2
βαβα
−+
cosα – cosβ =
;
2
sin

2
sin2
βαβα
−+
−
sinα + sinβ =
;
2
cos
2
sin2
βαβα
−+
sinα – sinβ =
.
2
sin
2
cos2
βαβα
−+
B. BÀI TẬP RÈN LUYỆN:
1. a) Trên mặt phẳng tọa độ, biểu diễn các góc lượng giác (OA, OB) có các số
do sau: - 45
0
, 1200
0
, - 830
0
.

b) Trên đường tròn lượng giác, lấy điểm gốc A, xác đinh điểm M sao cho cung AM
có số đo bằng:
.45;
46
;
23
0
π
ππππ
kkk ++−+
c) Tính giá trị lượng giác của các cung đã biểu diễn ở câu a) và b).
2. Xác định điểm cuối M của cung lượng giác α biết cosα ≥ 0,5. Tìm miền giá
trị của sinα, tanα và cotα.
3. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) sin
4
x + cos
4
x = 1 – 2sin
2
x cos
2
x;b) sin
6
x + cos
6
x = 1 – 3sin
2
xcos
2

x;
x; tan tanx)-2x tanx)(sin-(tan2x d) ;
cosx 1
sinx
sinx
cosx - 1
c)
2
=
+
=
Trang 77
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
;
cos4x - 1
2cos4x 6
x cot x tang) x; tan
xsin x sin -x cos
xcos x cos xsin
e)
224
422
422
+
=+=
+
+−
h) tan
2
x – sin

2
x = tan
2
xsin
2
x;
i)
cosx. x
3
2
cos
3
2x cos -
6
x cos
3
2x sin =






−







+






−






+
ππππ
4. Rút gọn các biểu thức sau:
;
1 -cosx x 2cos
1 cosx cos2x cos3x
C ; tanx) x(1cos cotx) x(1sin B ;
sinx
1 -x 2cos
A
2
22
2
+
+++
=+++==

;
cosx - 1 cosx 1
cosx - 1 cosx 1
E ;
xsin
cosx) - (1
1
sinx
cosx 1
D
2
2
−+
++
=






+
+
=
;
cos4a cos3a cos2a acos
sin4a sin3a sin2a sina
F
+++
+++

=

;
cosb cosa
) - )sin(a sin(a
G
+
+
=

;
cos98 2cos638
)cos(-1882520sin2
tan368
1
H
00
00
0
+
+=

.
2
x
tan
cosx - 1
cosx 1
I
2

+
=
5. Tính tổng: S
1
= sina + sin2a + sin3a + . . . + sinna;
S
2
= 1 + cosa + cos2a + cos3a + . . . + cosna.
6. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào x, y:
A = cos
2
x + cos
2
(x + a) – 2cosxcosacos(x + a);
B = cos
6
x + 2sin
4
xcos
2
x + 3sin
2
xcos
4
x + sin
4
x;

3
3

x cos
6
x cos
4
x cos
3
-x cos C






+






++






+







=
ππππ
( )( )
;
cossin21xcos -x sin
xcos -x sin
E ; x-
3
2
cos
3
2
x cos x cos D
2222
88
222
xx−
=






+







++=
ππ
F = 3(sin
8
x – cos
8
x) + 4(cos
6
x – 2sin
6
x) + 6sin
4
x;
yxcotcot -
yxsinsin
ysin -x cos
G
22
22
22
=
7. CMR: sinxcosxcos2xcos4x =
.8sin
8
1

x
Áp dụng: Tính giá trị các biểu thức:
A = sin6
0
.sin42
0
.sin66
0
.sin78
0
;
.
7
5
.cos
7
3
.cos
7
cos B
πππ
=
8. a) Cho cosx = -
.270 x 108 và
5
3
00
<<
Tính sinx, tanx và cotx.
b) Biết tan

.
2
a
m=
Tính
;
sina tana
sina - tana
+
c) Biết tana + cota = m,
,
2
a 0
π
<<
tính sin2a, sin4a. Tìm điều kiện của m.
d) Cho sina + cosa = m với
.2 m 2 - ≤≤
Tính sin2a, sina, cosa.
9. Không dùng bảng tính và MTĐT, tính:
.
24
11
.sin
24
7
.sin
24
5
.sin

24
sin B ;
12
5
.cos
12
11
sin A
ππππππ
==
C = cos10
0
.cos50
0
.cos70
0
; D = cos20
0
.cos40
0
.cos80
0
.
E = sin160
0
.cos110
0
+ sin250
0
.cos340

0
+ tan110
0
.tan340
0
.
F = sin10
0
.sin50
0
.sin70
0
;
.
12
5
tan
12
tanG
22
ππ
+=
H = tan5
0
tan55
0
tan65
0
.
Trang 78

Lượng giác Trần Sĩ Tùng
H = tan9
0
– tan27
0
– tan63
0
+ tan81
0
; I = cos10
0
cos20
0
cos30
0
. . . cos80
0
.
;
7
3
cos
7
2
cos -
7
cos K
πππ
+=

.
24
sin
24
5
sin
12
7
sin
12
5
cos M
ππππ
=
10. Chứng minh định lý tang trong tam giác ABC:
.
2
A C
tan
2
A - C
tan

a c
a - c
;
2
C B
tan
2

C - B
tan

c b
c - b
;
2
B A
tan
2
B -A
tan

b a
b - a
+
=
+
+
=
+
+
=
+
11. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) tana + tanb + tanc – tana.tanb.tanc =
;
cosccosa.cosb.
c) b sin(a ++
b)

a; tana.tan3
a2a.tan tan- 1
a tan- 2atan
22
22
=

.
bacoscos
b) - b)sin(a sin(a
b tan- a tanc)
22
22
+
=
cos4x
4
1

4
3
x cos x sin f) ;
sina cosa
sina - cosa
sin2a 1
cos2a
e) 0;
2
3
-cos4x

2
1
-2cos2x -x4cos d)
444
+=+
+
=
+
=
.
8
3
.sin80.sin40sin20 h) 0;
9
7
cos
9
5
cos
9
cos g)
000
==++
πππ
12) Chứng minh rằng:
a) Nếu

2
1

y) -cos(x
y) cos(x
=
+
thì tanxtany =
.
3
1
b) x, y là hai góc nhọn thỏa mãn các
điều kiện 3sin
2
x + 2sin
2
y = 1 và 3sin2x 2sin2y thì
.
2
2y x
π
=+
13. CMR: a) Nếu cos(a + b) = 0 thì sin(a + 2b) = sina;
b) Nếu sin(2a + b) = 3sinb thì tan(a + b) = 2tana.
14. CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:
a) sinA + sinB + sinC =
;
2
C
cos
2
B
cos

2
A
4cos
;
2
C
sin
2
B
sin
2
A
4sin 1 cosC cosB cosA b) +=++
c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC;
d) cos
2
A + cos
2
B + cos
2
C = 1 – 2cosAcosBcosC;
e) sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C = 2 + 2cosAcosBcosC;
f) tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC; g) bcosB + ccosC = acos(B – C)
h)

;
2
C
.cot
2
B
.cot
2
A
cot
2
C
cot
2
B
cot
2
A
cot =++
i) cotA.cotB + cotB.cotC + cotC.cotA = 1;
0;
2
B
cot a) - (c
2
A
cot c) - (b
2
C
cot b) - (a k) =++

l) S = 2R
2
sinAsinBsinC;
;
2
C
sin
2
B
sin
2
A
4Rsin r m) =
1;
2
A
.tan
2
C
tan
2
C
.tan
2
B
tan
2
B
.tan
2

A
tann) =++
;
2
C
.cos
2
B
cos
2
A
p.sin
a o) =

;
sinC
B) -sin(A

c
b - a
p)
2
22
=

;
2
C
.tan
2

B
.tan
2
A
p.tan r q) =
Trang 79
Trần Sĩ Tùng Lượng giác
;
2
A
sin
2
C
.sin
2
B
asin
r r) =

;
2
C
.cos
2
B
.cos
2
A
4cos
p

R s) =

;
2
C
sin
2
B
sin
2
A
sin
4R
r
)t =
cosC; cosB cosA
R
r
1 u) ++=+

ccosC; bcosB acosA
R
2pr
v) ++=
;
2
C
tan
2
B

tan
2
A
tan
p
r 4R
w) ++=
+

0; )cotCb - (a )cotBa - (c )cotA c - (b x)
222222
=++
;
B) -2sin(A
)sinAsinBb - (a
S y)
22
=

( )
. A2sinb sin2Ba
4
1
S z)
22
+=
15. CMR: trong mọi ∆ABC ta đều có:
( )
3p; c - p b - p a - p p b) ;
abc

Rc b a
cotC cotB cotA a)
222
≤++<
++
=++
;
c
1

b
1

a
1
2
c - p
1

b - p
1

a - p
1
c)







++≥++
d) Nếu a
4
= b
4
+ c
4
thì 2sin
2
A = tanB.tanC
16. Nhận dạng tam giác ABC nếu nó thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
.

c - b - a
c - b a
a
4
3
sinBsinC
c) ;
1 3cosB C) A cos(
a
a - c b
a - c b
b) 2;
sinBcosC
sinA
a)
333

2
2
333







+
=
=





=++
=
+
+
=
;
c - b a
c - b - a
a
4
1
cosBcosC

e) ;
a
a - c b
a - c b
a 2bcosC
d)
333
2
2
333







−
=
=





=
+
+
=

( )
Csin Bsin A sinR
3
2
S f)
3332
++=
;
8
1
sCcosAcosBco i) ;
2
C
2cot tanB tanA h) ;
cosC cosB
sinC sinB
sinA g) ==+
+
+
=
k) 3(cosB + 2sinC) + 4(sinB + 2cosC) = 15;
.3
cosC cosB cosA
sinC sinB sinA
l) =
++
++
17. Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để ∆ABC vuông là:
a) cos2A + cos2B + cos2C = -1; b) tan2A + tan2B + tan2C = 0;
c) sinA + sinB + sinC = 1 + cosA + cosB + cosC.

18. Chứng minh ∆ABC vuông khi:
tanA.
cosA sinB
cosB sinA
c);
b
c a

2
B
cot b) ;
sinBsinC
a

cosC
c

cosB
b
a) =
+
++
==+
.
2
C
sin
2
B
sin22p h f) sin2B;a

4
1
S e) ;
a
2bc
C) - cos(B d)
a
2
2
===
19. Chứng minh rằng ∆ABC là vuông hoặc cân khi:
.
a
c - b
C) - sin(B b) ;
2
B - C
tan
b c
b - c
a)
2
22
=







=
+
20. Chứng minh rằng ∆ABC là cân khi và chỉ khi:
BtanC; tan tanC 2tanB b) ;
2
B A
b)tan (a b.tanB a.tanA a)
2
=+
+
+=+
B);cot A cot(
2
1

Bsin A sin
Bcos A cos
d) B); tan(A
2
1

cosB cosA
sinB sinA
c)
22
22
22
+=
+
+

+=
+
+
Trang 80