Chuyên đề ôn thi đại học năm 2015 môn toán bộ 3

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC (QUYỂN 3)
(Phần 2: Hình học)
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt là
khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ
GD&ĐT.
- Tài liệu được chia ra làm 2 phần:
+ Phần 1: Phần Đại số (Chiếm khoảng 7 điểm) gồm 2 quyển – Mỗi quyển 5 chuyên
đề.
Trong phần này có 10 chuyên đề:
 Chuyên đề 1: Chuyên đề khảo sát hàm số và các câu hỏi phụ trong khảo sát
hàm số.
 Chuyên đề 2: Chuyên đề PT – BPT Đại số.
 Chuyên đề 3: Chuyên đề HPT – HBPT Đại số.
 Chuyên đề 4: Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit.
 Chuyên đề 5: Chuyên đề Lượng giác và PT Lượng giác.
 Chuyên đề 6: Chuyên đề Tích phân.
 Chuyên đề 7: Chuyên đề Tổ hợp – Xác suất.
 Chuyên đề 8: Chuyên đề Nhị thức Newtơn.
 Chuyên đề 9: Chuyên đề Số phức.
 Chuyên đề 10: Chuyên đề Bất đẳng thức.
+ Phần 2: Phần Hình học (Chiếm khoảng 3 điểm) gồm 1 quyển – Quyển 3
Trong phần này có 5 chuyên đề:
 Chuyên đề 11: Chuyên đề Thể tích: Khối chóp, Khối lăng trụ
 Chuyên đề 12: Chuyên đề Hình học phẳng.
 Chuyên đề 13: Chuyên đề Hình học không gian.
 Chuyên đề 14: Chuyên đề Phương trình đường thẳng (*).
 Chuyên đề 15: Chuyên đề Các hình đặc biệt trong đề thi.
Cuối cùng, Phần tổng kết và kinh nghiệm làm bài.

1
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên (Chủ biên)
2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).
3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).
4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.
5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.
7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được
coi là vi phạm nội quy của nhóm.
- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.
Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng không thể tránh khỏi sự sai
xót nhất định.
Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email:
!
Xin chân thành cám ơn!!!
Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm 2015 an toàn,
nghiêm túc và hiệu quả!!!
Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014
Trưởng nhóm Biên soạn

Cao Văn Tú
2
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
CHUYÊN ĐỀ 11: THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – LĂNG TRỤ
 HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN.
A. Các Tính Chất :
1. Tam giác thường:
− Diện tích của tam giác
*
µ
1
. . .sin
2
ABC
S AB AC A
∆
=
;
1
. .
2
ABC
S BC AH
∆
=
2. Các tam giác đặc biệt :
a. Tam giác vuông :
+ Định lý pitago:
2 2 2
BC AB AC= +
+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vuông

µ
= =
Ñoái
sin
Huyeàn
b
B
a
;
µ
= =
Keà
cos
Huyeàn
c
B
a
;
µ
= =
Ñoái
tan
Keà
b
B
c
+ Diện tích tam giác vuông:
1
. .

2
ABC
S AB AC
∆
=
b. Tam giác cân:
+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
+ Tính đường cao và diện tích :
µ
.tanAH BH B=
,
1
. .
2
ABC
S BC AH
∆
=
c. Tam giác đều:
+ Đường cao của tam giác đều :
= =
3
.
2
h AM AB
( đường cao h = cạnh x
3
2
)
+ Diện tích :

2
3
( ) .
4
ABC
S AB
∆
=
2. Tứ giác
a. Hình vuông

+ Diện tích hình vuông :
2
( )
ABCD
S AB=
( Diện tích bằng cạnh bình phương)
+ Đường chéo hình vuông
= = . 2AC BD AB
+ OA = OB = OC = OD ( đường chéo hình vuông bằng cạnh x
2
)
3
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
h
H
A
B
C
c

a
b
C
B
A
A
B
C
H
B
A
G
C
M
O
B
D
A
C
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
b. Hình chữ nhật
+ Diện tích hình vuông :
.
ABCD
S AB AD=
( Diện tích bằng dài nhân rộng)
+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và OA = OB = OC = OD
B. Thể Tích Khối Chóp:
+ Thể tích khối chóp :

=
1
. .
3
V B h
Trong đó :B là diện tích đa giác đáy , h : là đường cao của
hình chóp
 Các khối chóp đặc biệt :
a. Khối tứ diện đều:
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều
+ O là trọng tâm của tam giác đáy Và AO
⊥
(BCD)
B
b. Khối chóp tứ giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
+ Đa giác đáy là hình vuông tâm O
+ SO
⊥
(ABCD)
 NỘI DUNG.
B à i 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a,
·
0
60ACB =
, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 45
0
.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA
⊥
(ABC) và vẽ thẳng đứng
− Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó lên (ABC)
4
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
O
A
B
D
C
A
C
D
M
O
O
C
D
B
A
S
Chuyờn ụn thi i hc (Phn Hỡnh hc) Quyn 3. Ti liu lu hnh ni b.
Nghiờm cm sao chộp di mi hỡnh thc.
Li gii:
* Ta cú :AB = a ,
( )
SB

ABC
AB hc=


ã
ã
ã
( ,( )) ( , ) 45
o
SB ABC SB AB SBA= = =
*

ABC vuụng ti B cú AB = a,
ã
0
60ACB =


0
3
tan 60 3
3
AB a a
BC = = =


2
ABC
1 1 3 . 3
S . . .

2 2 3 6
a a
BA BC a

= = =
*

SAB vuụng ti A cú AB= a,
à
0
45B =



.tan 45
o
SA AB a= =
*
2 3
.
1 1 . 3 . 3
. . . .
3 3 6 18
S ABC ABC
a a
V S SA a= = =
B i 2:
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a, cnh bờn SA vuụng gúc vi mt
phng ỏy v SC to vi mt ỏy mt gúc bng 60
0

.Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD
Gii
Xaực ủũnh goực giửừa (SBC) vaứ (ABC)
Ta coự : (SBC)

(ABC) = BC
SM

BC, AM

BC

ã
ã
ã
(( ),( )) ( , )SBC ABC SM AM SMA= =

Phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh:
V tam giỏc ỏy, v ng cao SA

(ABC) v v thng ng
Xỏc nh gúc gia SC v (ABCD) l gúc gia SC vi hỡnh chiu AC ca SC lờn (ABCD)
Li gii:
* Ta cú : ABCD l hỡnh vuụng cnh a ,
( )
SC
ABCD
AC hc=

ã
ã
ã
( ,( )) ( , ) 60
o
SC ABCD SC AC SCA
= = =
,
2
ABCD
S a=
*

SAC vuụng ti A cú AC=
2a
,
à
0
60C =



.tan 60 6
o
SA AC a= =
*
3
2
.
1 1 . 6

. . . . 6
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
B i 3:
Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng ti B, AB =
3a
, BC = a, cnh bờn SA vuụng gúc vi
mt phng ỏy ; mt bờn (SBC) to vi mt ỏy (ABC) mt gúc bng 60
0
.Tớnh th tớch khi chúp
S.ABC
Gii
Sai lm ca hc sinh:
Gi M l trung im BC
Ta cú AM

BC , SM

BC



ã
ã
ã
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABC SM AM SMA= = =

5
Ch biờn: Cao Vn Tỳ Email:
60
M
S
B
C
A
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
(Hình vẽ sai)
 Lời giải đúng:
* Ta có : AB =
3a
, (SBC)
∩
(ABC) = BC
AB
⊥
BC ( vì
∆
ABC vuông tại B)
SB
⊥
BC ( vì
( )
SB
ABC
AB hc=
)

⇒

·
·
·
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABC SB AB SBA
= = =
*
∆
ABC vuông tại B có AB =
3a
,BC =a

⇒

2
ABC
1 1 . 3
S . . 3.
2 2 2
a
BA BC a a
∆
= = =
*
∆
SAB vuông tại A có AB= a,
µ

0
60B =
⇒

.tan 60 3
o
SA AB a= =
*:
2 3
.
1 1 . 3 . 3
. . . .3
3 3 2 2
S ABC ABC
a a
V S SA a= = =
 Nhận xét:
− Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60
o
, do đó mất 0.25 điểm
− Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh không nắm rõ cách xác
định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC
o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vuông và SA vuông góc với đáy thì góc giữa
mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai vị trí đầu mút của cạnh giao
tuyến
Trang 05
o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vuông góc với đáy hoặc là hình chóp đều thì góc
giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của cạnh giao tuyến.
B à i 4:
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, cạnh BC =

2a
, cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc bằng 45
0
.Tính thể tích khối
chóp S.ABC
Giải
 Sai lầm của học sinh:
⇒

·
·
(( ),( )) 45
o
SBC ABC SBA= =
 Lời giải đúng: * Ta có : AB =
3a
, (SBC)
∩
(ABC) = BC
6
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
60
S
B
C
A
45
M
S

B
C
A
60
A
B
D
C
S
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Gọi M là trung điểm BC
AM
⊥
BC ( vì
∆
ABC cân tại A)
SM
⊥
BC ( vì
( )
SM
ABC
AM hc=

⇒

·
·
·

(( ),( )) ( , ) 45
o
SBC ABC SM AM SMA
= = =
*
∆
ABC vuông cân tại A có ,BC =
2a

⇒
AB = BC = a và AM =
2
2
a

⇒

2
ABC
1 1
S . . .
2 2 2
a
AB AC a a
∆
= = =
*
∆
SAM vuông tại A có AM=
2

2
a
,
¶
0
45M =

⇒

2
.tan 45
2
o
a
SA AB= =
*
2 3
.
1 1 2 . 2
. . . .
3 3 2 2 12
S ABC ABC
a a a
V S SA= = =
 Nhắc lại cách xác định góc :
1. Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
a. Tìm hình chiếu d
/
của d lên mặt phẳng (P)
b. Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d

/

Bài 5 : Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông, SA vuông góc với (ABCD) và góc giữa SC với
(ABCD) bằng 45
0
. Hãy xác định góc đó.
Giải
Ta có :
=
( )ABCD
AC hc SC

⇒

·
·
·
= = =( ,( )) ( , ) 45
o
SC ABCD SC AC SCA
2. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) :
c. Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)
d. Tìm trong (P) đường thẳng a
⊥
(d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b
⊥
(d)
e. Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b
Bài 6 : Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vuông, và góc giữa mặt bên với mặt đáy bằng
60

0
. Hãy xác định góc đó.
Giải
Gọi M là trung điểm BC
Ta có : (SBC)
∩
(ABCD) = BC
(ABCD)
⊃
AM
⊥
BC
(SBC)
⊃
SM
⊥
BC ( vì
( )
SM
ABCD
AM hc=
)
7
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
45
O
S
C
D
B

A
60
M
O
S
A
B
C
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
⇒

·
·
·
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABCD SM AM SMA= = =
B à i 7 :
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a
2
, AC = a
3
, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SB =
3a
.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA

⊥
(ABC) và vẽ thẳng đứng
− Sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông
 Lời giải:
Ta có : AB = a
2
, AC = a
3
,SB =
3a
.
*
∆
ABC vuông tại B nên
2 2
BC AC AB a= − =

⇒

2
ABC
1 1 . 2
S . . 2.
2 2 2
a
BA BC a a
∆
= = =
*
∆

SAB vuông tại A có
2 2
SA SB AB a= − =
*
2 3
.
1 1 . 2 . 2
. . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a a
V S SA a= = =
B à i 8 :
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a
2
, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SB =
3a
.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA
⊥
(ABC) và vẽ thẳng đứng
− Tam giác ABC vuông , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông
 Lời giải:
Ta có : AC = a
2
, SB =
3a

.
*
∆
ABC vuông, cân tại B nên
2
2
AC
BA BC a= = =

⇒

2
ABC
1 1
S . . .
2 2 2
a
BA BC a a
∆
= = =
*
∆
SAB vuông tại A có
2 2
SA SB AB a= − =
*
2 3
.
1 1
. . . .

3 3 2 6
S ABC ABC
a a
V S SA a= = =
8
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
A
C
B
S
A
C
B
S
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
B à i 9 :
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SB =
5a
.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA
⊥
(ABC) và vẽ thẳng đứng
− Tam giác ABC đều có ba góc bằng 60
0
và sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông SAB
 Lời giải:

*
∆
ABC đều cạnh 2a nên AB = AC = BC = 2a
⇒

0 2
ABC
1 1 3
S . .sin 60 .2 .2 . . 3
2 2 2
BA BC a a a
∆
= = =
*
∆
SAB vuông tại A có
2 2
SA SB AB a= − =
*
3
2
.
1 1 . 3
. . . . 3.
3 3 3
S ABC ABC
a
V S SA a a
= = =
B à i 10:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a
3
,
·
0
AC 120B =
,cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA
⊥
(ABC) và vẽ thẳng đứng
− Tam giác ABC cân tại A và Â = 120
0

 Lời giải:
 *
∆
ABC cân tại A,
·
0
AC 120B =
, BC = 2a
3
,AB = AC = BC = 2a
Xét
∆
AMB vuông tại M có BM = a
3

, Â = 60
0
⇒
AM =
0
3
tan 60
3
BM a
a= =
⇒

2
ABC
1 1
S . . .2 3 . 3
2 2
AM BC a a a
∆
= = =
, SA = a
*
3
2
.
1 1 . 3
. . . . 3.
3 3 3
S ABC ABC
a

V S SA a a= = =
9
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
S
B
C
A
M
S
B
C
A
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
2
, cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SC =
5a
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA
⊥
(ABCD) và vẽ thẳng đứng
− ABCD là hình vuông ; sử dụng định lý pitago trong tam giác vuông
 Lời giải:
Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a
2
, SC =

5a

*
( )
2
2
ABCD
S 2 2a a= =
* Ta có : AC = AB.
2
=
2. 2 2a a=

∆
SAC vuông tại A
⇒

2 2
SA SC AC a= − =
*
3
2
.
1 1 2
. . .2 .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
B à i 12:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA= AC = a
2
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Vẽ đáy là hình vuông ( vẽ như hình bình hành), cao SA
⊥
(ABCD) và vẽ thẳng đứng
− Biết AC và suy ra cạnh của hình vuông (Đường chéo hình vuông bằng cạnh nhân với
2
)
 Lời giải:
Ta có : SA = AC = a
2

* ABCD là hình vuông :AC = AB.
2

⇒
2
AC
AB a= =
;
2
ABCD
S a=
, SA = a
2
10

Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
A
B
D
C
S
A
B
D
C
S
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
*
3
2
.
1 1 . 2
. . . . . 2
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
Baøi 13:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a
3
, cạnh bên bằng 2a.Tính thể tích khối
chóp S.ABC
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O
+ Gọi M là trung điểm BC
+ O là trọng tâm của tam ABC
+ AM là đường cao trong
∆
ABC
− Đường cao của hình chóp là SO ( SO
⊥
(ABC))
 Lời giải:
* S.ABC là hình chóp tam giác đều
Gọi M là trung điểm BC
∆
ABC đều cạnh
3a
, tâm O
SO
⊥
(ABC) , SA=SB=SC = 2a
*
∆
ABC đều cạnh
3a

⇒
AM =
3 3
3.
2 2
a

a =

⇒

2 2 3
AO= . .
3 3 2
a
AM a= =
⇒

2
0
ABC
1 1 3 3 . 3
S . .sin 60 . 3. 3.
2 2 2 4
a
AB AC a a
∆
= = =
*
∆
SAO vuông tại A có
2 2
. 3SO SA AO a= − =
11
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
A
C

B
S
M
O
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
*
2 3
.
1 1 3 3 . 3
. . . .
3 3 4 4
S ABC ABC
a a
V S SA a= = =
 Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên
− Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác đều vì
+ không xác định được vị trí điểm O
+ không hiểu tính chất của hình chóp đều là SO
⊥
(ABC)
+ không tính được AM và không tính được AO
− Tính toán sai kết quả thể tích
B à i 14:
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng
3a
.Tính thể tích khối
chóp S.ABCD
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

− Hình chóp tứ giác đều có :
+ đa giác đáy là hình vuông ABCD tâm O
+ SO
⊥
(ABCD)
+ tất cả các cạnh bên bằng nhau
− Đường cao của hình chóp là SO ( SO
⊥
(ABCD))
 Lời giải:
* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
ABCD là hình vuông cạnh 2a , tâm O
SO
⊥
(ABCD) , SA=SB=SC =SD =
3a

* Diện tích hình vuông ABCD :
⇒
AC = 2a.
2

⇒

AC 2 2
AO= 2
2 2
a
a= =

⇒

( )
2
2
ABCD
S 2 4a a= =
*
∆
SAO vuông tại O có
2 2
SO SA AO a= − =
*
3
2
.
1 1 4
. . .4 .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
 Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên
− Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác đều
+ không xác định được tính chất đa giác đáy là hình vuông
12
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
O
C
D

B
A
S
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
+ không SO
⊥
(ABCD) mà lại vẽ SA
∆
(ABCD)
+ không tính được AC và không tính được AO
− Tính toán sai kết quả thể tích
B à i 15 : Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Tứ diện đều ABCD có các tính chất
+ tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ tất cả các mặt là các tam giác đều
+ gọi O là trọng tâm của tam giác đáy
− Đường cao của hình chóp là AO ( AO
⊥
(BCD))
 Lời giải:
* ABCD là tứ diện đều cạnh a
Gọi M là trung điểm CD
Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a
∆
BCD đều cạnh a, tâm O
⇒
AO

⊥
(BCD)
*
∆
BCD đều cạnh a
⇒
BM =
3
2
a

⇒

2 2 3 3
BO= . .
3 3 2 3
= =
a a
BM

⇒

2
BCD
. 3
S
4
∆
=
a

*
∆
AOB vuông tại O có
( )
2
2
2 2
3 6
3 3
 
= − = − =
 ÷
 ÷
 
a a
AO AB BO a
*:
2 3
1 1 3 6 . 2
. . . .
3 3 4 3 12
= = =
ABCD BCD
a a a
V S AO
Dạng 3 : TỶ SỐ THỂ TÍCH
- Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy nhiên trong các đề thi lại yêu cầu
học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau:
+ Cách 1:
o Xác định đa giác đáy

o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy)
o Tính thể tích khối chóp theo công thức
+ Cách 2
13
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
A
C
D
B
M
O
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
o Xác định đa giác đáy
o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu
cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần
tìm bằng k lần thể tích khối đã cho
+ Cách 3: Dùng tỷ số thể tích
Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
Ta có :
.
.
. .
S MNK
S ABC
V
SM SN SK
V SA SB SC
=
Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều có đề cập đến tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” liên quan đến

dữ kiện của khối chóp lớn.Tuy nhiên
Chương Trình Chuẩn Chương Trình Nâng Cao
- Không trình bày khái niệm tỷ số thể tích
của 2 khối chóp
Có trình bày khái niệm tỷ số thể tích của 2
khối chóp
Trang 12
B à i 16 :
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA =
3a
. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể tích khối chóp S.AMN
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho
 Lời giải:
Cách 1: (dùng công thức thể tích
1
. .
3
V S h=
)
* Khối chóp S.AMN có : Đáy là tam giác AMN , đường cao là SA
*
∆
AMN có Â = 60
0
, AM=AN = a

⇒

2
0
AMN
1 1 3 . 3
S . .sin 60 . . .
2 2 2 4
a
AM AN a a
∆
= = =
, SA =
3a

*
2 3
.
1 1 . 3
. . . . . 3
3 3 4 4
S AMN AMN
a a
V S SA a
= = =
Cách 2 : ( Dùng công thức tỷ số thể tích)
14
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
n
B
C

A
S
N
K
M
N
M
A
C
B
S
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A
Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có
.
.
AS 1 1 1
. . 1. .
AS 2 2 4
A SMN
A SBC
V
AM AN
V AB AC
= = =

⇒

.

. . .
1
.
4 4
S ABC
S AMN A SMN A SBC
V
V V V= = =
Ta có :
2
3
.
1 1 4 . 3
. . . . . 3
3 3 4
S ABC ABC
a
V S SA a a= = =
Vậy
3
.
.
4 4
S ABC
S AMN
V
a
V = =
 Nhận xét: - Học sinh thường lúng túng khi gặp thể tích của khối chóp “nhỏ” hơn khối chóp đã cho và khi
đó xác định đa giác đáy và đường cao thường bị sai.

− Trong một số bài toán thì việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi hơn.
B ài 17 :
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và
SA =
3a
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể tích khối chóp S.AMN và A.BCNM
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ”dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp
đã cho
 Lời giải:
( Dùng công thức tỷ số thể tích)
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
Do đó theo công thức tỷ số thể tích , ta có
.
.
SA 1 1 1
. . 1. .
SA 2 2 4
S AMN
S ABC
V
SM SN
V SB SC
= = =

⇒

2
3

.
.
1
. 3. 3
3
4 4 4
S ABC
S AMN
a a
V
a
V = = =

⇒

3
. .
3 3
.
4 4
A BCNM S ABC
a
V V= =
B à i 18 :
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy
và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp I.ABCD
Giải
 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện liên quan đến khối chóp đã cho
 Lời giải:

15
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
N
M
S
B
C
A
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Gọi O là giao điểm AC và BD
Ta có : IO // SA và SA
⊥
(ABCD)
⇒
IO
⊥
(ABCD)
⇒

.
1
. .
3
I ABCD ABCD
V S IO=
Mà :
2
ABCD
S a=

,
2
SA
IO a= =
Vậy :
3
2
.
1
. .
3 3
I ABCD
a
V a a= =

THỂ TÍCH KHÔI LĂNG TRỤ
Kiến Thức Cơ Bản
• Hình vuông cạnh a có diện tích
• Hình chữ nhật có cạnh a,b có diện tích
• Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông a,b có diện tích .
• Tam giác thường biết cạnh đáy và chiều cao
a
a
a
b
a
b
a
hA
b

a
a
hA
16
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
O
I
A
B
D
C
S
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
• Hình thoi biết hai đường chéo a,b
• Hình bình hành biết cạnh a và đường cao h
A
.
• Một số công thức khác tính diện tích tam giác
Định lý Cosin
.
Định lý sin
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
TỶ SỐ THỂ TÍCH.
ĐỊNH LÝ 1
ĐỊNH LÝ 2
17
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Thể tích khối hộp chữ nhật bằng tích ba kích thước

Thể tích khối chóp bằng một phần ba tích số diện tích mặt đáy và chiều cao.

Cho tam giác ABC và đường thẳng d cắt AB,AC lần lượt tại B’,C’ khi đó

a
3a
C'
B'
A'
C
B
A
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
III. Nội Dung :
1) Dạng 1: Khối lăng trụ đứng có chiều cao hay cạnh đáy
Ví dụ 1: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác ABC vuông cân tại A có cạnh
BC = a
2
và biết A'B = 3a. Tính thể tích khối lăng trụ.


Giải
Ta có

∆ABC
vuông cân tại A nên AB = AC = a
ABC A'B'C' là lăng trụ đứng
AA' AB
⇒ ⊥

∆ ⇒ = − =
2 2 2 2
AA'B AA' A'B AB 8a

AA' 2a 2
⇒ =
Vậy V = B.h = S
ABC
.AA' =
3
a 2
Ví dụ 2: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D' có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể
tích khối lăng trụ này.
5a
4a
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Giải
ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên
BD
2
= BD'
2
- DD'

2
= 9a
2

BD 3a
⇒ =
ABCD là hình vuông
3a
AB
2
⇒ =
Suy ra B = S
ABCD
=
2
9a
4
Vậy V = B.h = S
ABCD
.AA' = 9a
3

Ví dụ 3: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều cạnh a = 4 và biết diện tích
tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
18
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Cho tứ diện S.ABC mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA,SB,SC lần lượt tại A’B’C’ khi đó
60
D'
C'

B'
A'
D
C
B
A
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
A'
C'
B'
A
B
C
I

Giải
Gọi I là trung điểm BC .
Ta có
∆
ABC đều nên

AB 3
3 &
2
AI 2 AI BC A'I BC(dl3 )
=
= ⊥ ⇒ ⊥ ⊥
A'BC
A'BC

2S
1
S BC.A'I A'I 4
2 BC
= ⇒ = =
AA' (ABC) AA' AI
⊥ ⇒ ⊥
.
2 2
A'AI AA' A'I AI 2
∆ ⇒ = − =

Vậy : V
ABC.A’B’C’
= S
ABC
.AA'=
8 3

Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng có đáy là hình thoi cạnh a và có góc nhọn bằng 60
0
. Đường chéo lớn của
đáy bằng đường chéo nhỏ của lăng trụ. Tính thể tích hình hộp .
Giải
Ta có tam giác ABD đều nên : BD = a và S
ABCD
= 2S
ABD
=
2

a 3
2
Theo đề bài BD' = AC =
a 3
2 a 3
2
=
2 2
DD'B DD' BD' BD a 2∆ ⇒ = − =
Vậy V = S
ABCD
.DD' =
3
a 6
2
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng có đáy là tam giác đều biết rằng tất cả các cạnh của lăng trụ bằng a. Tính thể tích
và
tổng diện tích các mặt bên của lăng trụ. ĐS:
3
a 3
V
4
=
; S = 3a
2

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là tứ giác đều cạnh a biết rằng
BD' a 6
=

.
Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2a
3

Bài 3: Cho lăng trụ đứng tứ giác có đáy là hình thoi mà các đường chéo là 6cm và 8cm biết rằng chu vi
đáy
bằng 2 lần chiều cao lăng trụ.Tính thể tích và tổng diện tích các mặt của lăng trụ.
Đs: V = 240cm
3
và S = 248cm
2
Bài 4: Cho lăng trụ đứng tam giác có độ dài các cạnh đáy là 37cm ; 13cm ;30cm và biết tổng diện tích các
mặt
bên là 480 cm
2
. Tính thể tích lăng trụ . Đs: V = 1080 cm
3
19
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
o
60
C'
B'
A'
C
B
A
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Bài 5: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A ,biết rằng chiều

cao
lăng trụ là 3a và mặt bên AA'B'B có đường chéo là 5a . Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 24a
3
Bài 6: Cho lăng trụ đứng tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng nhau và biết tổng diện tích các mặt của lăng
trụ
bằng 96 cm
2
.Tính thể tích lăng trụ. Đs: V = 64 cm
3
Bài 7: Cho lăng trụ đứng tam giác có các cạnh đáy là 19,20,37 và chiều cao của khối lăng trụ bằng trung
bình
cộng các cạnh đáy. Tính thể tích của lăng trụ. Đs: V = 2888
Bài 8: Cho khối lập phương có tổng diện tích các mặt bằng 24 m
2
.
Tính thể tích khối lập phương Đs: V = 8 m
3
2)Dạng 2: Lăng trụ đứng có góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC một góc 60
0
. Tính thể tích lăng trụ.
Giải
Ta có :
A'A (ABC) A'A AB&AB
⊥ ⇒ ⊥
là hình chiếu của A'B trên (ABC) .
Vậy
¼
o

góc[A'B,(ABC)] ABA' 60= =
0
ABA' AA' AB.tan60 a 3
∆ ⇒ = =
S
ABC
=
2
1 a
BA.BC
2 2
=
Vậy V = S
ABC
.AA' =
3
a 3
2
Ví dụ 2: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại A với
AC = a ,
¼
ACB
= 60
o
biết BC' hợp với (AA'C'C) một góc 30
0
. Tính AC' và thể tích lăng trụ.
20
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.

Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
a
o
60
o
30
C'
B'
A'
C
B
A
Giải

=
∆ ⇒ =
o
a 3
ABC AB AC.tan60
.
Ta có:
AB AC;AB AA' AB (AA'C'C)
⊥ ⊥ ⇒ ⊥
nên AC' là hình chiếu của BC' trên (AA'C'C).
Vậy góc[BC';(AA"C"C)] =
¼
BC'A
= 30
o

∆ ⇒ = =
o
AB
AC'B AC' 3a
tan30
V =B.h = S
ABC
.AA'
∆ ⇒ = − =
2 2
AA'C' AA' AC' A'C' 2a 2
∆
ABC
là nửa tam giác đều nên
2
ABC
a 3
S
2
=
Vậy V =
3
a 6
Ví dụ 3: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và đường chéo BD'
của lăng trụ hợp với đáy ABCD một góc 30
0
.
Tính thể tích và tổng diên tích của các mặt bên của lăng trụ .
o
30

a
D'
C'
A'
B'
D
C
B
A
Giải
Ta có ABCD A'B'C'D' là lăng trụ đứng nên ta có:
DD' (ABCD) DD' BD
⊥ ⇒ ⊥
và BD là hình chiếu của BD' trên ABCD .
Vậy góc [BD';(ABCD)] =
¼
0
DBD' 30
=
0
a 6
BDD' DD' BD.tan30
3
∆ ⇒ = =
Vậy V = S
ABCD
.DD' =
3
a 6
3

S = 4S
ADD'A'
=
2
4a 6
3
Ví dụ 4: Cho hình hộp đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và
¼
BAD
= 60
o

biết AB' hợp với đáy (ABCD) một góc 30
o
. Tính thể tích của hình hộp.
a
o
30
o
60
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Giải
∆

ABD
đều cạnh a
2
ABD
a 3
S
4
⇒ =
2
ABCD ABD
a 3
S 2S
2
⇒ = =
∆
ABB'
vuông tạiB
o
BB' ABtan30 a 3⇒ = =
Vậy
3
ABCD
3a
V B.h S .BB'
2
= = =
21
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông cân tại B biết A'C = a và A'C hợp với mặt
bên (AA'B'B) một góc 30
o
. Tính thể tích lăng trụ ĐS:
3
a 2
V
16
=

Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại B biết
BB' = AB = a và B'C hợp với đáy (ABC) một góc 30
o
. Tính thể tích lăng trụ. ĐS:
3
a 3
V
2
=

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a biết AB' hợp với
mặt bên (BCC'B') một góc 30
o
. Tính độ dài AB' và thể tích lăng trụ . ĐS:
AB' a 3=
;
3
a 3
V

2
=
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC vuông tại A biết
AC = a và
¼
o
ACB 60
=
biết BC' hợp với mặt bên (AA'C'C) một góc 30
o
.
Tính thể tích lăng trụ và diện tích tam giác ABC'. ĐS:
3
6
V a
=
, S =
2
3a 3
2
Bài 5: Cho lăng trụ tam giác đều ABC A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) bằng a và AA'
hợp
với mặt phẳng (A'BC) một góc 30
0
.Tính thể tích lăng trụ ĐS:
3
32a
V
9
=

Bài 6: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có đường chéo A'C = a và biết rằng A'C hợp với (ABCD)
một
góc 30
o
và hợp với (ABB'A') một góc 45
o
. Tính thể tích của khối hộp chữ nhật. Đs:
3
a 2
V
8
=
3)Dạng 3: Lăng trụ đứng có góc giữa 2 mặt phẳng
Ví dụ 1: Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với
BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) một góc 60
0
. Tính thể tích lăng trụ.
C'
B'
A'
C
B
A
o
60
Giải
Ta có
A'A (ABC)& BC AB BC A'B
⊥ ⊥ ⇒ ⊥

Vậy
¼
o
góc[(A'BC),(ABC)] ABA' 60
= =
0
ABA' AA' AB.tan60 a 3
∆ ⇒ = =
S
ABC
=
2
1 a
BA.BC
2 2
=
Vậy V = S
ABC
.AA' =
3
a 3
2
Ví dụ 2: Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy một
góc 30
0
và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
22
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

x
o
30
I
C'
B'
A'
C
B
A
Giải:
ABC
∆
đều
AI BC
⇒ ⊥
mà AA'
(ABC)⊥
nên A'I
BC⊥
(đl 3
⊥
).
Vậy góc [(A'BC);)ABC)] =
¼
A'IA
= 30
o
Giả sử BI = x
3

2
32
x
x
AI
==⇒
.Ta có
x
xAI
AIIAAIA 2
3
32
3
2
30cos:':'
0
====∆
A’A = AI.tan 30
0
=
xx
=
3
3
.3
Vậy V
ABC.A’B’C’
= CI.AI.A’A = x
3

3
Mà S
A’BC
= BI.A’I = x.2x = 8
2
=⇒
x
Do đó V
ABC.A’B’C’
= 8
3
Ví dụ 3: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC') hợp với đáy
(ABCD) một góc 60
o
.Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
a
0
60
O
A'
D'
B'
C'
C
A
D
B
Giải
Gọi O là tâm của ABCD .
Ta có ABCD là hình vuông nên

OC BD⊥
CC'
⊥
(ABCD) nên OC'
⊥
BD (đl 3
⊥
).
Vậy góc[(BDC');(ABCD)] =
¼
COC'
= 60
o

Ta có V = B.h = S
ABCD
.CC'
ABCD là hình vuông nên S
ABCD
= a
2

∆
OCC'
vuông nên CC' = OC.tan60
o
=
a 6
2
Vậy V =

3
a 6
2
Ví dụ 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = 2a ; mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy
(ABCD) một góc 60
o
và A'C hợp với đáy (ABCD) một góc 30
o
.
Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
Giải
23
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
2a
o
30
o
60
D'
C'
B'
A'
D
C
B
A
Ta có AA'
(ABCD)

⊥ ⇒
AC là hc của A'C trên (ABCD) .
Vậy góc [A'C,(ABCD)] =
¼
o
A'CA 30=
BC
⊥
AB
⇒
BC
⊥
A'B (đl 3
⊥
) .
Vậy góc[(A'BC),(ABCD)] =
¼
o
A'BA 60=
A'AC∆ ⇒
AC = AA'.cot30
o
=
2a 3
A'AB
∆ ⇒
AB = AA'.cot60
o
=
2a 3

3
2 2
4a 6
ABC BC AC AB
3
∆ ⇒ = − =
Vậy V = AB.BC.AA' =
3
16a 2
3
Bài tập tương tự:
Bài 1: Cho hộp chữ nhật ABCD A'B'C'D' có AA' = a biết đường chéo A'C hợp với đáy ABCD một góc
30
o
và
mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD một góc 60
0
. ]Tính thể tích hộp chữ nhật. Đs :
3
2a 2
V
3
=
Bài 2: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông và cạnh bên bằng a biết rằng mặt
(ABC'D') hợp với đáy một góc 30
o
.Tính thể tích khối lăng trụ. Đs: V = 3a
3
Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AC = 2a biết rằng
(A'BC)

hợp với đáy ABC một góc 45
o
. Tính thể tích lăng trụ. Đs:
3
V a 2=
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với AB = AC = a
và
¼
o
BAC 120=
biết rằng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 45
o
.
Tính thể tích lăng trụ. Đs:
3
a 3
V
8
=
Bài 5: : Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BB' = AB = h biết rằng
(B'AC) hợp với đáy ABC một góc 60
o
. Tính thể tích lăng trụ. Đs:
3
h 2
V
4
=
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC A'B'C' có đáy ABC đều biết cạnh bên AA' = a
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:

1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC một góc 60
o
.
2) A'B hợp với đáy ABC một góc 45
o
.
3) Chiều cao kẻ từ A' của tam giác A'BC bằng độ dài cạnh đáy của lăng trụ.
Đs: 1)
3
V a 3
=
; 2) V =
3
a 3
4
; V =
3
a 3
Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a .
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD một góc 45
o
.
2) BD' hợp với đáy ABCD một góc 60
0
.
24
Chủ biên: Cao Văn Tú Email:
Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Hình học) – Quyển 3. Tài liệu lưu hành nội bộ.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') bằng a . Đs: 1) V = 16a
3
. 2) V = 12a
3
.3) V =
3
16a
3
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD là hình vuông cạnh a
Tính thể tích lăng trụ trong các trường hợp sau đây:
1)Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD một góc 60
o
.
2)Tam giác BDC' là tam giác đều.
3)AC' hợp với đáy ABCD một góc 45
0
Đs: 1)
3
a 6
2
V =
; 2) V =
3
a
; V =
3
a 2
4) Dạng 4: Khối lăng trụ xiên
Ví dụ 1: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a , biết cạnh
bên là

a 3
và hợp với đáy ABC một góc 60
o
. Tính thể tích lăng trụ.
H
o
60
a
B'
A'
C'
C
B
A
Giải
Ta có
C'H (ABC) CH
⊥ ⇒
là hình chiếu của CC' trên (ABC)
Vậy
¼
o
góc[CC',(ABC)] C'CH 60
= =
0
3a
CHC' C'H CC'.sin60
2
∆ ⇒ = =
S

ABC

2
3
a
4
=
.Vậy V = S
ABC
.C'H =
3
3a 3
8
Ví dụ 2: Cho lăng trụ xiên tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu của A'
xuống (ABC) là tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC một góc
60
1) Chứng minh rằng BB'C'C là hình chữ nhật.
2) Tính thể tích lăng trụ .
25
Chủ biên: Cao Văn Tú Email: