Chuyên đề ôn thi đại học năm 2015 môn toán bộ 2

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Tài liệu lưu hành nội bộ.

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC (QUYỂN 2)
(Phần 1: Đại số)
- Tài liệu được soạn theo nhu cầu của các bạn học sinh khối trường THPT (đặc biệt
là khối 12).
- Biên soạn theo cấu trúc câu hỏi trong đề thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng của Bộ
GD&ĐT.
- Tài liệu được chia ra làm 2 phần:
+ Phần 1: Phần Đại số (Chiếm khoảng 7 điểm) gồm 2 quyển – Mỗi quyển 5 chuyên
đề.
Trong phần này có 10 chuyên đề:
 Chuyên đề 1: Chuyên đề khảo sát hàm số và các câu hỏi phụ trong khảo sát
hàm số.
 Chuyên đề 2: Chuyên đề PT – BPT Đại số.
 Chuyên đề 3: Chuyên đề HPT – HBPT Đại số.
 Chuyên đề 4: Chuyên đề PT – BPT – HPT – HBPT Mũ và Logarit.
 Chuyên đề 5: Chuyên đề Lượng giác và PT Lượng giác.
 Chuyên đề 6: Chuyên đề Tích phân.
 Chuyên đề 7: Chuyên đề Tổ hợp – Xác suất.
 Chuyên đề 8: Chuyên đề Nhị thức Newtơn.
 Chuyên đề 9: Chuyên đề Số phức.
 Chuyên đề 10: Chuyên đề Bất đẳng thức.
+ Phần 2: Phần Hình học (Chiếm khoảng 3 điểm)
Trong phần này có 5 chuyên đề:
 Chuyên đề 1: Chuyên đề Thể tích: Khối chóp, Khối lăng trụ...
 Chun đề 2: Chun đề Hình học phẳng.
 Chun đề 3: Chun đề Hình học khơng gian.

 Chuyên đề 4: Chuyên đề Phương trình đường thẳng (*).
 Chuyên đề 5: Chuyên đề Các hình đặc biệt trong đề thi.
Cuối cùng, Phần tổng kết và kinh nghiệm làm bài.

Chủ biên: Cao Văn Tú

1

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Tài liệu lưu hành nội bộ.

- Tài liệu do tập thể tác giả biên soạn:
1. Cao Văn Tú – CN.Mảng Toán – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái
Nguyên (Chủ biên)
2. Cô Trần Thị Ngọc Loan – CLB Gia Sư Thái Nguyên(Đồng chủ biên).
3. Thầy Vũ Khắc Mạnh – CLB Gia sư Bắc Giang (Tư vấn).
4. Nguyễn Thị Kiều Trang – SV Khoa Toán – Trường ĐHSP Thái Nguyên.
5. Nguyễn Trường Giang – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
6. Lý Thị Thanh Nga – SVNC – Khoa Toán – Trường ĐH SP Thái Nguyên.
7. Ngô Thị Lý – Khoa CNTT – Trường ĐH CNTT&TT Thái Nguyên.
- Tài liệu được lưu hành nội bộ - Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
- Nếu chưa được sự đồng ý của ban Biên soạn mà tự động post tài liệu thì đều được
coi là vi phạm nội quy của nhóm.
- Tài liệu đã được bổ sung và chỉnh lý lần thứ 2.
Tuy nhóm Biên soạn đã cố gắng hết sức nhưng cũng khơng thể tránh khỏi sự sai

xót nhất định.
Rất mong các bạn có thể phản hồi những chỗ sai xót về địa chỉ email:
!
Xin chân thành cám ơn!!!
Chúc các bạn có một kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng năm 2015 an toàn,
nghiêm túc và hiệu quả!!!

Thái Nguyên, tháng 07 năm 2014
Trưởng nhóm Biên soạn

Cao Văn Tú

CHUYÊN ĐỀ 6: TÍCH PHÂN
Chủ biên: Cao Văn Tú

2

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Tài liệu lưu hành nội bộ.

I. NGUYÊN HÀM
1. Khái niệm.
Định nghĩa. Cho hàm số f ( x) xác định trên K (K là đoạn, khoảng, nửa khoảng). Hàm số
F ( x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f ( x) trên K, nếu F '( x) = f ( x ) , với mọi x ∈ K .
Định lý. Giả sử F ( x) là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) trên khoảng K. Khi đó

a. Với mỗi hằng số C, hàm số G ( x) = F ( x) + C cũng là một nguyên hàm của f ( x ) .
b. Ngược lại, nếu G(x) là một nguyên hàm của f ( x) thì tồn tại hằng số C sao cho G(x) = F(x)
+ C.
c. Họ tất cả các nguyên hàm của f ( x) là
hàm của f ( x) , C là hằng số bất kỳ.

∫ f ( x)dx = F ( x) + C , trong đó

F ( x) là một nguyên

d. Bảng các nguyên hàm cơ bản.
Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
Nguyên hàm các hàm số sơ cấp thường gặp

Nguyên hàm của hàm số hợp u = u ( x )

∫ kdx = kx + C , k ∈ R

∫ kdu = ku + C , k ∈ R

∫x

α

dx =

1
.xα +1 + C (α ≠ −1)
1+ α

∫u

α

du =

1
.uα +1 + C (α ≠ −1)
1+ α

∫

dx
= ln x + C ( x ≠ 0 )
x

∫

du
= ln u + C ( x ≠ 0 )
u

∫

dx
= 2 x +C
x

∫

du
= 2 u +C
u

∫ e dx = e
x

x
∫ a dx =

x

∫ e du = e

+C

u

ax
+ C (0 < a ≠ 1).
ln a

u
∫ a du =

u

+C

au

+ C (0 < a ≠ 1).
ln a

∫ cos xdx = sin x + C

∫ cos udu = sin u + C

∫ sin xdx = − cos x + C

∫ sin udu = − cos u + C

dx

∫ cos

2

x

= tan x + C ;

dx

∫ sin

2

x

du

∫ cos

= − cot x + C .

2

u

= tan u + C ;

du

∫ sin

2

u

= − cot u + C

Ngồi ra cịn một số cơng thức thường gặp là.

Chủ biên: Cao Văn Tú

3

Email:

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
k
∫ (ax + b) dx =

1 (ax + b) k +1
+ C , ( a ≠ 0, k ≠ −1);
a k +1

1

ax + b

2.

1

∫ ax + b dx = a ln ax + b + C , a ≠ 0.

1 ax +b
e
+C;
a
1
∫ sin(ax + b)dx = − a cos(ax + b) + C

∫e

Tài liệu lưu hành nội bộ.

1

∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C

dx =

Một số tính chất cơ bản của nguyên hàm
Định lý. Nếu F ( x ), G ( x ) tương ứng là một nguyên hàm của f ( x), g ( x ) thì
a.

∫ f '( x)dx = f ( x) + C

b. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx = F ( x) ± G ( x) + C ;
c. ∫ a.f(x)dx = a ∫ f ( x)dx = aF ( x) + C (a ≠ 0) .
3.

Một số phương pháp tìm nguyên hàm
a. Phương pháp đổi biến số
Cơ sở của phương pháp đổi biến số là định lý sau: Cho hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục
trên K và hàm số y = f (u) liên tục sao cho f [u ( x )] xác định trên K. Khi đó nếu F là một
nguyên hàm của f, tức là ∫ f (u ) du = F (u ) + C thì ∫ f [u ( x)]dx=F[u(x)]+C .
b. Phương pháp tích phân từng phần
Một số dạng thường gặp:
Dạng 1.

∫ P( x).e

ax +b

dx , ∫ P ( x) sin(ax + b)dx , ∫ P ( x)cos(ax + b)dx

Cách giải: Đặt u = P ( x) , dv = eax +b dx ( hoaëc dv = sin(ax + b)dx, dv = cos(ax + b)dx)
Dạng 2.

∫ P( x) ln(ax + b)dx

Cách giải: Đặt u = ln(ax + b) , dv = P( x)dx.

I.

TÍCH PHÂN.
1. Định nghĩa. Cho hàm f ( x) liên tục trên khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu

F ( x) là một nguyên hàm của f ( x) thì hiệu số F (b) − F (a ) được gọi là tích phân của f ( x) từ
b

a đến b và ký hiệu là

∫

b

f ( x)dx . Trong trường hợp a < b thì

a

Chủ biên: Cao Văn Tú

∫ f ( x)dx

là tích phân của f trên

a

4

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Tài liệu lưu hành nội bộ.

[ a; b] .
2. Tính chất của tích phân .
Cho các hàm số f ( x), g ( x) liên tục trên K và a, b, c là ba số thuộc K.
a

b

• ∫ f ( x )dx = 0

•

a

∫
a

b

c

b

a

a

c

a

f ( x)dx = − ∫ f ( x )dx
b

b

a

• ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x )dx

b

a

• ∫ k . f ( x )dx = k ∫ f ( x )dx

b

b

b

a

a

a

• ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x) dx
3. Một số phương pháp tính tích phân
b

a

•

Phương pháp đổi biến số: Công thức đổi biến số

u (b )

u (a)

∫ f [u ( x)]u '( x)dx = ∫

f (u )du . Trong đó

f ( x ) là hàm số liên tục và u ( x) có đạo hàm liên tục trên khoảng J sao cho hàm hợp f [u ( x)]

xác định trên J; a, b ∈ J .

Phương pháp đổi biến số thường áp dụng theo hai cách
Cách 1. Đặt ẩn phụ u = u ( x ) ( u là một hàm của x)
Cách 2. Đặt ẩn phụ x = x(t ) ( x là một hàm số của t).
•

Phương pháp tích phân từng phần.

Định lý. Nếu u ( x ), v ( x ) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và a, b là hai số thuộc
b

b

a

a

b
K thì ∫ u ( x)v '( x) dx = u ( x)v( x) a − ∫ v( x)u '( x)dx

4. Ứng dụng của tích phân
•

Tính diện tích hình phẳng

•

Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên [ a; b ] thì diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị
b

hàm số y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là S = ∫ f ( x) dx .
a

•

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số y = f ( x) , y = g ( x) và hai đường thẳng
x = a, x = b là
b

S = ∫ f ( x) − g ( x ) dx
a

•

Tính thể tích vật thể. Thể tích vật thể B giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox

Chủ biên: Cao Văn Tú

5

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Tài liệu lưu hành nội bộ.

b

tại các điểm a, b là V = ∫ S ( x)dx . Trong đó S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt
a

bởi mặt phẳng vng góc với trục Ox tại điểm có hồnh độ là x ∈ [ a; b ] và S(x) là một
hàm liên tục.
•

Tính thể tích khối trịn xoay.

• Hàm số y = f ( x) liên tục và không âm trên [ a; b ] . Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f ( x) , trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh trục hoành tạo nên một
b

2
khối trịn xoay. Thể tích V được tính bởi cơng thức V = π ∫ f ( x)dx .
a

Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g ( y ) , trục tung và hai đường thẳng y = c, y = d
quay quanh trục tung tạo nên một khối trịn xoay. Thể tích V được tính bởi công thức
d

V = π ∫ g 2 ( y )dy .
c

Bảng cơng thức tích phân bất định

∫ 0dx = C
n
∫ x dx =

∫ dx = x + C

x n +1
+C
n +1

n ≠ −1

1

∫ x dx = ln x + C
ax
C
ln a

x
x
∫ e dx = e + C

x
∫ a dx =

∫ sin xdx = − cos x + C

∫ cos xdx = sin x + C

1

∫ cos

2

dx = tan x + C

x
u′( x)
∫ u( x) dx = ln u ( x) + C

∫

x 2 + a dx =

1

∫ sin
∫x

2

2

x

dx = − cot x + C

1
1
x−a
dx =

ln
+C
2
−a
2a x + a

x 2
a
x + a + ln x + x 2 + a + C
2
2

Phương pháp biến số phụ :
Cho hàm số f (x) liên tục trên đoạn [ a; b] có nguyên hàm là F (x) .
Giả sử u (x ) là hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α , β ] và có miền giá trị là [ a; b] thì ta có :

∫ f [ u( x)].u ' ( x)dx = F ( x)[ u( x)] + C
BÀI TẬP

Chủ biên: Cao Văn Tú

6

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Tài liệu lưu hành nội bộ.

Tính các tích phân sau :
1

1

e

e x dx
ex − 1
0

xdx
a) I1 = ∫ 2
x +1
0

b) I 2 = ∫

c) I 3 = ∫
1

1 + ln x dx
x

Bài làm :
2
a) Đặt t = x + 1 ⇒ dt = 2 xdx ⇒ xdx =

dt

2

x = 0 → t = 1
Đổi cận : 
x = 1 → t = 2
2

2

2

xdx
1 dt 1
1
= ∫ = ln t = ln 2
Vậy : I1 = ∫ 2
x +1 2 1 t 2
2
1
1

b) Đặt t = e x − 1 ⇒ dt = e x dx

x = 1 → t = e − 1
Đổi cận : 
2
x = 2 → t = e − 1
1

x

e dx
=
ex −1
0

Vậy : I 2 = ∫

e2 −1

∫

e−1

e2 −1

dt
= ln t
= ln(e + 1)
t
e−1

c) Đặt t = 1 + ln x ⇒ tdt =

1
dx
x

x = 1 → t = 1
Đổi cận : 

x = e → t = 2
e

I3 = ∫
1

2

2

1 + ln x dx
2 3
2
= ∫ t dt = t 2 = (2 2 − 1)
x
3 1 3
1

Tích phân lượng giác :
β

Dạng 1 : I = ∫ sin mx. cos nxdx
α

Cách làm: biến đổi tích sang tổng .
β

m
n
Dạng 2 : I = ∫ sin x. cos x.dx

α

Cách làm :
Nếu m, n chẵn . Đặt t = tan x
Nếu m chẵn n lẻ . Đặt t = sin x (trường hợp cịn lại thì ngược lại)

Chủ biên: Cao Văn Tú

7

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
β

Dạng 3 : I = ∫
α

Tài liệu lưu hành nội bộ.

dx
a. sin x + b. cos x + c

Cách làm :
2t

sin x = 1 + t 2

x

⇒ 
Đặt : t = tan
2
2
cos x = 1 − t

1+ t2

β

Dạng 4 : I = ∫
α

a. sin x + b. cos x
.dx
c. sin x + d . cos x

Cách làm :
a. sin x + b. cos x
B(c. cos x − d . sin x)
= A+
Đặt :
c. sin x + d . cos x
c. sin x + d . cos x
Sau đó dùng đồng nhất thức .
β

Dạng 5: I = ∫

α

a. sin x + b. cos x + m
.dx
c. sin x + d . cos x + n

Cách làm :
a. sin x + b. cos x + m
B (c. cos x − d . sin x)
C
= A+
+
Đặt :
c. sin x + d . cos x + n
c. sin x + d . cos x + n c. sin x + d . cos x + n
Sau đó dùng đồng nhất thức.
BÀI TẬP
Tính tích phân :
π
2

π
2

cos xdx
a) I =
1
∫ (sin x + 1) 4
0

π
4

b) I = cos 5 xdx
2
∫

c) I = tan 6 xdx
3
∫

0

0

Bài làm :
a) Đặt : t = sin x + 1 ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 1

Đổi cận : 
π
x = 2 → t = 2

Vậy : I =
1

π
2

2

cos xdx
dt
1
∫ (sin x + 1) 4 = ∫ t 4 = − 3t 3
0
1

2

=
1

7
24

b) Đặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx

Chủ biên: Cao Văn Tú

8

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Tài liệu lưu hành nội bộ.

x = 0 → t = 0

Đổi cận : 
π
x = 2 → t = 1

π
2

1

0

0

(

)

2

1

(

)

I 2 = ∫ cos 5 xdx = ∫ 1 − t 2 dt = ∫ 1 + t 4 − 2t 2 dt

Vậy :

0

1

 t5 2 3 
8
= ∫ − t + t =
5 3

 0 15
0
1

c) Đặt : t = tan x ⇒ dt = (tan 2 x + 1) dx
x = 0 → t = 0

Đổi cận : 
π
x = 4 → t = 1

π
4

Vậy :

1

1

t 6 dt
1 

I 3 = ∫ tan xdx = ∫ 2
= ∫ t 4 − t 2 + 1 − 2
dt
t + 1
0
0 t +1
0
6

π

1

4
 t5 t3

13 π
=  − + t  − ∫ du = −
5 3

15 4

0 0

Tính các tích phân sau :
π
2

a) I =
1
∫
0

sin x. cos x
a .sin x + b . cos x
2

2

2

2

dx

b) I =
2

π
3

∫
0

cos x
2 + cos 2 x

dx

Bài làm :
a) Đặt : t = a 2 .sin 2 x + b 2 . cos 2 x ⇒ dt = 2(−b 2 + a 2 ) sin x. cos xdx
x = 0 → t = a 2

Đổi cận : 
π
2
x = → t = b
2


Nếu a ≠ b

Chủ biên: Cao Văn Tú

9

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
π
2

sin x. cos x

1

dx =
2
2
2
2 b − a2
a . sin x + b . cos x

I1 = ∫
0

Vậy :

1
= 2
t
b − a2

b

2

(

a−b

=

b −a
2

a2

2

=

b2

)∫

a2

Tài liệu lưu hành nội bộ.
dt
t

1
a+b

Nếu a = b
π
2

sin x. cos x

I1 = ∫

a . sin x + b . cos x
2

0

Vậy :
=

π
2

2

2

2

sin x. cos xdx
a
0

dx = ∫

π
2

π
2

1
1
1
∫ sin 2 xdx = − 4 a cos 2 x = 2 a

2a 0
0

b) Đặt : t = sin x ⇒ dt = cos xdx
x = 0 → t = 0

Đổi cận : 
π
3
x = → t =
3
2

π
3

cos x

Vậy : I 2 = ∫

dx =

2 + cos 2 x

0

3
2

dt

∫

3 − 2t 2

0

=

3
2

1

∫

2

0

dt
3 2
−t
2

3
3
cos u ⇒ dt = −
sin udu
2

2

Đặt : t =

π

t = 0 → u = 2

Đổi cận : 
t = 3 → u = π


2
4
I2 =

1
2

3
2

∫
0

Vậy :
=

1

π
4

∫ du =
2π

dt
3 2
−t
2
1
2

=

π
2

=

u

4

π
4

1
2

π
2

∫

π
4

3
sin udu
2
3
1 − cos 2 u
2

(

)

π
4 2

Tính các tích phân sau :

Chủ biên: Cao Văn Tú

10

Email:

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
π
2

a) I =
1
∫
0

Tài liệu lưu hành nội bộ.

π
2

b) I = sin x + 7 cos x + 6 dx
2
∫ 4 sin x + 3 cos x + 5
0

1
dx
4 sin x + 3 cos x + 5

Bài làm :
a) Đặt : t = tan

x
2

x 
2dt

⇒ dt =  tan 2 + 1dx ⇒ dx = 2
2 
t +1


x = 0 → t = 0

Đổi cận : 
π
x = 2 → t = 1

2
1
1
dt
1+ t2
I1 = ∫
dt = ∫
2
2
2t
1− t
0
0 ( t + 1)
4
+3

+5
Vậy :
1+ t2
1+ t2
1

1
1
=−
=
t+2 0 6
sin x + 7 cos x + 6
4 cos x − 3 sin x
C
= A+ B
+
4 sin x + 3 cos x + 5
4 sin x + 3 cos x + 5 4 sin x + 3 cos x + 5
Dùng đồng nhất thức ta được: A = 1 , B = 1 , C = 1

b)Đặt :

Vậy :

I2 =

π
2

sin x + 7 cos x + 6

π
2



4 cos x − 3 sin x

1



∫ 4 sin x + 3 cos x + 5 dx = ∫ 1 + 4 sin x + 3 cos x + 5 + 4 sin x + 3 cos x + 5 dx


0

0

π

= ( x + ln 4 sin x + 3 cos x + 5 ) 02 + I1 =

π
9 1
+ ln +
2
8 6

Bạn đọc tự làm :

π
2

cos3 x
dx
a) I1 = ∫
2
π sin x

π
2

b) I = cos3 x. sin xdx
2
∫
0

6

π
2

π
2

dx
sin x + 2
0

c) I =

3
∫

π
2

π
2

1
sin x − cos x + 1
c) I = 4 sin x dx d) I =
3
5
∫ cos x + 1
∫ sin x + 2 cos x + 3 dx d) I 6 = ∫ sin x + 2 cos x + 3 dx
0
0
0
3

Tính nguyên hàm,tích phân các hàm hữu tỷ

Chủ biên: Cao Văn Tú

11

Email:

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Dạng 1 : I = ∫

Tài liệu lưu hành nội bộ.

dx
1
1
=−
.
+ C với ( a, n ) ∈ C × ( N − { 0,1} ) ta có :
n
n − 1 ( x − a ) n−1
( x − a)

dx
= ln x + C
x−a
αx + β
α , β , a, b, c ∈ R
dx trong đó : 
Dạng 2 : I = ∫ 2
n
2
ax + bx + c
∆ = b − 4ac < 0
* Giai đoạn 1 : α ≠ 0 ,làm xuất hiện ở tử thức đạo hàm của tam thức ax 2 + bx + c , sai khác một số :
2 aβ
2ax + b +

−b
α
α
2ax + b
α  2 aβ
dx

α
I=
∫ ax 2 + bx + c n dx = 2a ∫ ax 2 + bx + c n dx + 2a  α − b ∫ ax 2 + bx + c n
2a



Nếu n = 1 , a ∈ R ta có : I = ∫

(

)

(

)

(

)

(

)

* Giai đoạn 2 :
Tính I = ∫

(

n

dt
 4a  − ∆
dx = 
.
n
∫ +b 1 + t 2
 − ∆  2a 2 ax
ax 2 + bx + c
t=
dx

)

−∆

(

)

n

* Giai đoạn 3 :
1
dt có thể tính bằng hai phương pháp , truy hồi hoặc đặt t = tan φ
Tính I = ∫ 2
n
t +1

(

Dạng 3 : I = ∫

Pm ( x )
dx
Qn ( x )

)

Pm ( x ) am x m + ...... + a1 x + a0
=
Ta có :
Qn ( x ) bn x n + ...... + b1 x + b0
Nếu : deg( P ) ≥ deg( Q ) thì ta thực hiện phép chia
có deg( R ) < deg( Q )

Pm ( x )
R ( x)
Rr ( x )
= A( m − n ) ( x ) + r
trong đó phân số
Qn ( x )

Qn ( x )
Qn ( x )

Nếu : deg ( P ) < deg( Q ) ta có các qui tắc sau :
Pm ( x )
A1
An −1
An
=
+ ...... +
+
*Qt 1:
n
n −1
( x − a) ( x − a)
( x − a)
( x − a) n
Pm ( x )

Vdụ 1a :

n

n

∏( x − a )

=∑

i

i =1

i

Ai
( x − ai ) i

i =1

Vdụ 1b :

*Qt 2':

Pm ( x )
A
B
C
D
=
+
+
+
2
( x − a )( x − b)( x − c)
x − a x − b x − c ( x − c) 2

( ax

Pm ( x )

2

+ bx + c

Chủ biên: Cao Văn Tú

)

n

=

(

An−1 x + Bn−1
An x + Bn
A1 x + B1
+ ...... +
+
2
n −1
2
ax + bx + c
ax + bx + c
ax 2 + bx + c

)

(

12

)

(

)

n

với ∆ < 0

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
*Qt 3:

Pt ( x )

n
Ai
A x + B1
+∑ 2i
i
i
i =1 ( x − α )
k =1 ax + bx + c
m

=∑

( x − α ) m ( ax 2 + bx + c ) n
Pt ( x )
=

Vdụ 1 :
Vdụ 2 :

(

( x − α ) ax + bx + c
2

Pt ( x )

( ax

( x −α )

2

Tài liệu lưu hành nội bộ.

A
Bx + C
+
x − α ax 2 + bx + c

)

+ bx + c

)

2

(

(

=

)

)

B1 x + C1
B2 x + C 2
A
+
+
2
( x − α ) ax + bx + c ax 2 + bx + c

(

) (

)

2

BÀI TẬP
Tính các tích phân sau :
1

1

dx
a) I 1 = ∫ 2
0 x + 3x + 2

b) I 2 = ∫
0

(x

dx
2

+ 3x + 2

)

2

Bài làm :
1

a) I 1 = ∫
0

1

1

dx
dx
1 
 1
=∫
= ∫
−
dx
2
x + 3 x + 2 0 ( x + 1)( x + 2 ) 0  x + 1 x + 2 

= [ ln x + 1 − ln x + 2 ] 0 = ln

4
3
1
1
 1

dx
1
2

dx = ∫ 
+
−
dx
b) I 2 = ∫ 2
2
2
2
( x + 2) ( x + 1)( x + 2) 

0 ( x + 3x + 2)
0  ( x + 1)
1

1

1
 1

= −
−
− 2( ln x + 1 − ln x + 2 )  = OK
 x +1 x + 2
0
Tính các tích phân sau :
1

a) I1 = ∫
0

1

dx
4
x + 3x 2 + 3

b) I 2 = ∫
0

(

4x − 2
dx
x + 1 ( x + 2)

)

2

Bài làm :
a)* Bạn đọc dễ dàng chứng minh được I 0 = ∫
1

1

dx
1
x
= arctan + C với a > 0
2

x +a
a
a
2

1

dx
dx
1  1
1 
I1 = ∫ 4
=∫ 2
= ∫ 2
− 2
dx
2
2
x + 3x + 3 0 x + 1 x + 3 2 0  x + 1 x + 3 
0

(

)(

)

1

(

1
1
x 
π
=  arctan x −
arctan
 = 9−2 3
2
3
30 2

Chủ biên: Cao Văn Tú

)
13

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
b) Đặt :

Tài liệu lưu hành nội bộ.

4x − 2
A
Bx + C x 2 ( A + B ) + x( 2 B + C ) + 2C + A
=

+ 2
=
( x + 2) ( x 2 + 1) x + 2 x + 1
( x + 2) ( x 2 + 1)

A + B = 0

Do đó ta có hệ : 2 B + C = 4 ⇔
2C + A = 0

1

Vậy : I 2 = ∫
0

[

 A = −2

B = 2
C = 0


1

(

4x − 2
2
2x 


dx = ∫  −
+ 2 dx
2
x + 2 x +1
x + 1 ( x + 2)
0

)

]

1

= − 2 ln x + 2 + ln x 2 + 1 = −2 ln 3 + ln 2 + ln 2 − ln 1 = ln
0

4
9

Bạn đọc tự làm :
3

a) I1 = ∫
2

2

c) I 3 = ∫
1

5

x +1
dx
2
x ( x − 1)

b) I 2 = ∫
2

dx
x + 2x − 3
2

2

x3 − 1
dx
4x3 − x

d) I 3 =

∫x

4

3

x

dx
− 3x 2 + 2

HD:
a)

x +1
A B
C
= + 2+
x −1
x ( x − 1) x x

b)

2

1
A
B
=
+
x + 2x − 3 x −1 x + 3
2

x
A
B
C
D


x3 −1 1 
x−4
= 1 +
c)
3
 x( 2 x + 1)( 2 x − 1)  d) x 4 − 3 x 2 + 2 = x − 1 + x + 1 + x + 2 + x − 2

4x − x 4 

Đẳng thức tích phân :
Muốn chứng minh đẳng thức trong tích phân ta thường dùng cách đổi biến số và nhận xét một số đặc điểm
sau .
* Cận tích phân , chẵn lẻ , tuần hoàn , cận trên + cận dưới, ….
Chúng ta cần phải nhớ những đẳng thức nầy và xem nó như 1 bổ đề áp dụng.
BÀI TẬP
1

Chứng minh rằng :

∫ x (1 − x )
m

0

n

1

dx = ∫ x n (1 − x ) dx

m

0

Bài làm :

Chủ biên: Cao Văn Tú

14

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
1

Tài liệu lưu hành nội bộ.

m
Xét I = ∫ x (1 − x ) dx
n

0

Đặt : t = 1 − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt
x = 0 → t = 1
Đổi cận : 
x = 1 → t = 0
1

0

1

n
Vậy : I = ∫ x (1 − x ) dx = − ∫ (1 − t ) t dt = ∫ (1 − t ) t dt (đpcm)
n

m

0

m n

1

m

0

Chứng minh rằng nếu f (x) là hàm lẻ và liên tục trên đoạn [ − a, a ] thì :
a

I=

∫ f ( x ) dx = 0

−a

Bài làm :
a

I=

∫

0

f ( x)dx =

−a

∫

−a

a

f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

(1)

0

0

Xét

∫ f ( x ) dx

. Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt

−a

 x = −a → t = a
Đổi cận : 
x = 0 → t = 0
0

a

−a

V ậy :

a

0

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( − t ) dt = − ∫ f ( t ) dt

Thế vào (1) ta được : I = 0 (đpcm)
Tương tự bạn đọc có thể chứng minh : Nếu f (x) là hàm chẳn và liên tục trên đoạn [ − a, a ] thì
a

I=

∫

−a

a

f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x )dx
0

Cho a > 0 và f ( x ) là hàm chẵn , liên tục và xác định trên R .

f ( x)
∫α a x + 1 dx = ∫ f ( x )dx
−
0
α

Chứng minh rằng :

α

Bài làm :
f ( x)
f ( x)
f ( x)
∫α a x + 1 dx = −∫α a x + 1 dx + ∫ a x + 1 dx
−
0
α

0

Chủ biên: Cao Văn Tú

α

(1)

15

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

f ( x)
dx . Đặt t = − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt
x
+1

0

Xét

Tài liệu lưu hành nội bộ.

∫α a

−

 x = −α → t = α
Đổi cận : 
x = 0 → t = 0

f ( x)
f (− t)
at f ( t )
dx = ∫ − t
dt = ∫ t
∫ ax + 1 0 a + 1 0 a + 1
−α
α

0

Vậy :

α

f ( x)
a x f ( x)
f ( x)
dx = ∫ x
dx + ∫ x
dx = ∫ f ( x ) dx (đpcm)
Thế vào (1) ta được : ∫ x
a +1
a +1
a +1

−α
−α
0
0
α

α

0

α

Cho hàm số f ( x ) liên tục trên [ 0,1] . Chứng minh rằng :
π

∫ x. f ( sin x ) dx =
0

π

π
f ( sin x ) dx
2∫
0

Bài làm :
π

Xét

∫ x. f ( sin x ) dx

. Đặt t = π − x ⇒ dt = −dx ⇒ dx = −dt

0

x = 0 → t = π
Đổi cận : 
x = π → t = 0
π

π

π

Vậy : ∫ x. f ( sin x ) dx = ∫ ( π − t ). f [ sin ( π − t ) ] dt = ∫ ( π − t ). f ( sin t ) dt
0

0

0

π

π

0

0

= π ∫ f ( sin t ) dt − ∫ t. f ( sin t ) dt
π

π

⇒ 2∫ x. f ( sin x ) dx = π ∫ f ( sin x )dx
0

⇒

0

π

π

π

∫ x. f ( sin x ) dx = 2 ∫ f ( sin x )dx
0

0

Từ bài tốn trên , bạn đọc có thể mở rộng bài toán sau .
Nếu hàm số f ( x ) liên tục trên [ a, b] và f ( a + b − x ) = f ( x ) . Thì ta ln có :
b

∫ x. f ( x ) dx =
a

π

a+b
f ( x ) dx
2 ∫
0

Cho hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T .

Chủ biên: Cao Văn Tú

16

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
a +T

T

a

Tài liệu lưu hành nội bộ.

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

Chứng minh rằng :

Bài làm :
a +T

∫
a

T

a +T

a

T

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx +

∫

0

T

a +T

a

0

T

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx +

a

a +T

0

Vậy ta cần chứng minh

∫ f ( x ) dx

T

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx

a

Xét

∫ f ( x ) dx . Đặt

t = x +T

⇒ dt = dx

0

x = 0 → t = T
Đổi cận : 
x = a → t = a + T
a +T

Vậy :

f ( t − T ) dt =

∫

T

a +T

∫ f ( t )dt

T

a +T

T

a

0

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx (đpcm)

Hay :

Từ bài toán trên , ta có hệ quả sau :
Nếu hàm số f ( x ) liên tục,xác định , tuần hoàn trên R và có chu kì T , thì ta ln có :
T
2

T

∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx
0

−

T
2

Bạn đọc tự làm :
1

−1

0

π

π

x. sin x
dx
c) I 3 = ∫

9 + 4 cos 2 x
0
e) I 5 =

∫π

−

g) I

∗

x 2 sin x
1+ 2x

x.sin x
dx
1 + cos 2 x
0

d) I 4 = ∫

1

x 2 + sin x
dx
1+ x2
−1

f) I 6 = ∫

dx

2

2π

7

)

2
2
b) I 2 = ∫ sin x. cos x ln x + x + 1 dx

6

π
2

(

1

a) I1 = ∫ x(1 − x ) dx

(

)

= ∫ ln sin x + 1 + sin x dx
0

Chủ biên: Cao Văn Tú

2

h) I

∗

8

=

2009π

∫

1 − cos 2 x dx

0

17

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Tài liệu lưu hành nội bộ.

Tích phân từng phần :
Cho hai hàm số u và v có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a, b ] , thì ta có :
b

b

∫ udv = [ uv] a − ∫ vdu
b

a

a

Trong lúc tính tính tích phân từng phần ta có những ưu tiên sau :
*ưu tiên1: Nếu có hàm ln hay logarit thì phải đặt u = ln x hay u = log a x .
*ưu tiên 2 : Đặt u = ?? mà có thể hạ bậc.
BÀI TẬP

Tính các tích phân sau :
π
2

1

a) I1 = ∫ x.e dx
x

e

c) I 3 = ∫ ln xdx

b) I 2 = x . cos xdx
∫

0

2

1

0

Bài làm :

u = x ⇒ du = dx
a) Đặt : 
x
x
dv = e dx ⇒ v = e
1

Vậy : I1 = ∫ x.e dx = x.e
x

x 1

0

0

1

− ∫ e x dx = e − e x = e − ( e − 1) = 1
1

0

0

u = x 2 ⇒ du = 2 xdx
b) Đặt : 
dv = cos xdx ⇒ v = sin x
1

π
2

π
2

Vậy : I1 = x.e x dx = − x. cos x − 2 x. sin xdx = π −2 x. sin xdx
∫
∫
∫
4
0
0

0
Ta đi tính tích phân

π
2
0

2

(1)

π
2

∫ x. sin xdx
0

u = x ⇒ du = dx
Đặt : 
dv = sin xdx ⇒ v = − cos x
Vậy :

π
2

π
2
0

π

2

π

π

∫ x. sin xdx = − x. cos x + ∫ cos xdx = − x. cos x 02 + sin 02 = 1
0

Chủ biên: Cao Văn Tú

0

18

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
1
π 2 −8
x
Thế vào (1) ta được : I1 = ∫ x.e dx =

Tài liệu lưu hành nội bộ.

4

0

1

u = ln x ⇒ du = dx
x
c) Đặt : 
dv = dx ⇒ v = x

e

e

Vậy : I 3 = ∫ ln xdx = x. ln x 1 − ∫ dx = x. ln x 1 − x 0 = 1
e

1

e

e

1

Tính các tích phân sau :
π

a) I1 = ∫ e . sin xdx
x

0

π
4

eπ

c) I 3 = ∫ cos( ln x ) dx

x
b) I 2 =
∫ cos 2 x dx
0

1

Bài làm :

u = e x ⇒ du = e x dx
a) Đặt : 
dv = sin xdx ⇒ v = − cos x
π

π

π

(1)

x
x

x
π
Vậy : I1 = ∫ e . sin xdx = − e . cos x 0 + ∫ e . cos xdx = e + 1 + J
0

0

u = e ⇒ du = e dx
Đặt : 
dv = cos xdx ⇒ v = sin x
x

x

π

π

π

x
Vậy : J = ∫ e . cos xdx = e . sin x 0 − ∫ e . sin xdx = − I
x

x

0

0

Thế vào (1) ta được : 2 I1 = eπ + 1 ⇒

I1 =

eπ + 1
2

u = x ⇒ du = dx

b) Đặt : 
1
dv = cos 2 x dx ⇒ v = tan x

π
4

Vậy : I 2 =
∫
0

π
4

π
x
π
π
2
dx = x. tan x − ∫ tan xdx = + ln ( cos x ) 04 = + ln
2

cos x
4
4
2
0
π
4
0

1

u = cos( ln x ) ⇒ du = − sin ( ln x ) dx
x
c) Đặt : 
dv = dx ⇒ v = x

eπ

eπ

(

)

Vậy : I 3 = ∫ cos( ln x ) dx = x. cos( ln x ) 1 + ∫ sin ( ln x ) dx = − eπ + 1 + J
1

Chủ biên: Cao Văn Tú

eπ

1

19

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Tài liệu lưu hành nội bộ.

1

u = sin ( ln x ) ⇒ du = cos( ln x ) dx
x
Đặt : 
dv = dx ⇒ v = x

eπ

eπ

Vậy : I 3 = ∫ sin ( ln x ) dx = x. sin ( ln x ) 1 − ∫ cos( ln x ) dx = 0 − I 3
eπ

1

1

(

)

Thế vào (1) ta được : 2 I 3 = − eπ + 1

⇒

I3 = −

eπ + 1
2

Bạn đọc tự làm :
ln 2

a) I1 =

−x
∫ x.e dx
0

2

1 
 1
dx
c) I 3 = ∫  2 −
ln x ln x 

e
π
3

e) I 5 = ∫ sin x. ln ( tan x ) dx
π
4

π
4

g) I ∗ 7 = x 2 cos 2 x
∫
0

e

b) I 2 = ∫ (1 − ln x ) dx
2

1

)

(

1

2
d) I 4 = ∫ ln x + 1 + x dx

0

e

2
f) I 6 = ∫ cos ( ln x ) dx
1

π
2

h) I ∗ 7 = 1 + sin x e x dx
∫ 1 + cos x
0

Tích phân hàm trị tuyệt đối, min , max :
b

Muốn tính I = ∫ f ( x ) dx ta đi xét dấu f ( x ) trên đoạn [ a, b] , khử trị tuyệt đối
a

b

Muốn tính I = ∫ max[ f ( x ) , g ( x ) ] dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ a, b]
a
b

Muốn tính I = ∫ min[ f ( x ) , g ( x ) ] dx ta đi xét dấu f ( x ) − g ( x ) trên đoạn [ a, b]
a

Tính các tích phân sau :
4

a) I1 = ∫ x − 2 dx
1

2

2
b) I1 = ∫ x + 2 x − 3 dx
0

Bài làm :

Chủ biên: Cao Văn Tú

20

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
x 1

2

Tài liệu lưu hành nội bộ.

4

a)
x-2

4

Vậy : I1 = ∫
1

0

+
2

4



x2   x2
x − 2 dx = ∫ ( 2 − x )dx + ∫ ( x + 2 )dx = 2 x −  +  − 2 x 
2 1  2

2
1
2
2

4



1 
5

= ( 4 − 2) −  2 −  + [ ( 8 − 8) − ( 2 − 4) ] =
2 
2



x ∈ [ 0,2] tương tự ta được

b) Lập bảng xét dấu x 2 + 2 x − 3 ,
2

1

0

0

(

2

)

(

)

I1 = ∫ x 2 + 2 x − 3 dx = − ∫ x 2 + 2 x − 3 dx + ∫ x 2 + 2 x − 3 dx
1

.
1

2


x3  
x3 
I1 = 3 x − x 2 −  + − 3 x + x 2 +  = 4
3 0 
3 1


1

Tính I a = ∫ x x − a dx với a là tham số :
0

Bài làm :
x
x-a

−∞

+∞

a

0

-

+

(Từ bảng xét dấu trên ta có thể đánh giá ).
Nếu a ≤ 0 .
1

1

I a = ∫ x x − a dx = ∫
0

0

(

1

 x 3 ax 2 
1 a
x − ax dx =  −
 =3−2
2 0
3

)

2

Nếu 0 < a < 1 .
1

a

1

I a = ∫ x x − a dx = − ∫ ( x − ax ) dx + ∫ ( x 2 − ax ) dx
2

0

0

a

a

1

 ax 2 x 3   ax 2 x 3 
1 a2 a3
=
−  + −
+  = −
+
3 0  2
3 a 3 2

2
 2
Nếu a ≥ 1 .
1

 x 3 ax 2 
1 a
I a = ∫ x x − a dx = − ∫ x − ax dx = −  −
 =−3+ 2
2 0
3
0
0
1

Chủ biên: Cao Văn Tú

1

(

2

)

21

Email:

Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
2

(

3

)

Tính : a) I1 = ∫ min 1, x dx
2

(

2

(

)

)

I 2 = ∫ max x 2 , x dx

0

Bài làm :
a) Xét hiệu số : 1 − x 2

(

Tài liệu lưu hành nội bộ.

0

∀x ∈ [ 0,2]
1

)

2

2

x3
4
2
+ x1 =
Vậy : I1 = ∫ min 1, x dx = ∫ x dx + ∫ dx =
3 0
3
0
0
1
2

2

∀x ∈ [ 0,3] tương tự như trên ta có .

b) Xét hiệu số : x( x − 1)
3

(

1

)

1

3

3

x2
x3
55
I 2 = ∫ max x , x dx = ∫ xdx + ∫ x dx =
+
=
2 0 3 1 6
0
0
1
2

2

Bạn đọc tự làm :
π
2

3

2
a) I1 = ∫ min ( x, x − 3) dx b) I 2 = max( sin x, cos x ) dx c) I 3 =
∫
−2

3

0

(

3π
4

∫ sin x − cos x dx
0

5

)

2
∗



d) I 4 = ∫ max x ,4 x − 3 dx d) I 4 = ∫  x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 dx


−2
1

Nguyên hàm , tích phân của hàm số vơ tỷ :
Trong phần nầy ta chỉ nghiên cứu những trường hợp đơn giản của tích phân Abel
Dạng 1:

∫ R ( x,

)

ax 2 + bx + c dx ở đây ta đang xét dạng hữu tỷ.

2
a > 0
− ∆   2ax + b  
→ ax 2 + bx + c =
1+ 
 


4a   − ∆  
∆ < 0



∫ R ( x,

)

ax 2 + bx + c dx =

∫ S (t ,

)

1 + t 2 dt

2 ax +b
t=
−∆

Tới đây , đặt t = tan u .

2
a < 0
− ∆   2ax + b  
2
→ ax + bx + c =
 
1 − 
Dạng 2: 
4a   − ∆  
∆ < 0



∫ R ( x,

)

ax 2 + bx + c dx =

∫ S (t ,

2 ax + b
t=
−∆

)

1 − t 2 dt

Tới đây , đặt t = sin u .

2

a > 0
∆  2ax + b 
2
→ ax + bx + c =
 − 1

Dạng 3: 
4a  − ∆ 
∆ > 0





Chủ biên: Cao Văn Tú

22

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

)

∫ R ( x,

)

∫ S (t ,

ax 2 + bx + c dx =

t 2 − 1 dt

2 ax + b
t=
∆

dx

Dạng 4 (dạng đặc biệt) : ∫ ( αx + β )

ax + bx + c
2

Tài liệu lưu hành nội bộ.

Tới đây, đặt t =
=
t=

∫

1
αx + β

1
.
sin u

dt

αt + µt + ζ
2

Một số cách đặt thường gặp :

∫ S ( x,

)
+ x )dx
− a )dx

a 2 − x 2 dx
a2

2

đặt x = a. tan t

2

đặt x =

0≤t ≤π

đặt x = a. cos t

∫ S ( x,
∫ S ( x,

x2

a
cos t

π
π

2
2
π
t ≠ + kπ
2
−

 ax 2 + bx + c = xt ± c ; c > 0

2
2
∫ S x, ax + bx + c dx đặt  ax + bx + c = t ( x − x0 ) ; ax0 + bx0 + c = 0

 ax 2 + bx + c = ± a .x ± t
; a>0


)

(



∫ S  x,



m

ax + b 

cx + d 


Tính : I = ∫

Bài làm :
dx

∫

(x

2

+ 4x + 7

(x

)

3

đặt t = m

dx
2

+ 4x + 7

∫

=

t = x+2

)

(t

∫

3 tan u

(

dt
2

)
3 ( tan
3

+3

)

3 tan 2 u + 1 du

(

)

3 3. tan u + 1
2

; ad − cb ≠ 0

3

Đặt : t = 3 tan u ⇒ dt =
Ta có I =

ax + b
cx + d

3

2

=

)

u + 1 du

1
3

∫ cos udu

3 tan u

1
1
t
1
= sin u + C =
+C =
2
3
3 t +1
3

Tính : a) I = ∫

xdx
x2 + x + 1

Chủ biên: Cao Văn Tú

x+2
x + 4x + 7

b) I = ∫

2

+C

dx
x x2 − 2x − 1
23

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.

Tài liệu lưu hành nội bộ.

Bài làm :
xdx

∫
a)
I=

x + x +1
2

1
2

=∫

3t − 1

∫

2 x +1
t=
3

t2 +1

xdx

=

2

1 3

x +  +
2 4

dt =

1
2

3t − 1

∫

t2 +1

2 x +1
t=
3

dt

)

(

3 2
1
t + 1 − ln t + t 2 + 1 + C
2
2

1
1


+ ln x + + x 2 + x + 1  + C
2
2


1
dt
⇒ dx = − 2
b)Đặt : x =
t

t
dx
dt
t +1
I =∫
=−∫
= − arcsin
+C
2
2
2
x x − 2x −1
1 2 − ( t + 1)
x=
= x2 + x + 1 −

t

1
+1
x +1
x
= − arcsin
+ C = − arcsin
+C
2
2
Tìm các nguyên hàm sau
dx
a) I = ∫

1+ x + 3 1+ x

b) I = ∫

dx
x +1+ x +1

Bài làm :
a)Đặt : t = 6 1 + x
Vậy : I = ∫

⇒ t 6 = 1 + x ⇒ 6t 5 dt = dx

dx
t 5 dt
1


= 6 ∫ 3 2 = 6 ∫ t 2 − t +1−
dt 
3
t +1 
t +t
1+ x + 1+ x
t = 6 1+ x
t = 6 1+ x 

= 2t 3 − 3t 2 + 6t − 6 ln t + 1 + C
= 2 1 + x − 33 1 + x + 66 1 + x − 6 ln 6 1 + x + 1 + C

b) I = ∫

=
Xét

∫

1

dx
1+ x − x +1
1  −
1
x +1
=∫
dx = ∫  x 2 + 1dx − ∫
dx

2 
2
x
x +1+ x +1
2 x



1
1
x +1
x+ x − ∫

dx
2
2
x

(1)

x +1
x

⇒

x +1
dx
x

Đặt : t =

Chủ biên: Cao Văn Tú

x=

1
2t
⇒ dx = −
dt
2
2
t −1
t −1

(

2

24

)

Email:


Chuyên đề ôn thi Đại học (Phần Đại số) – Quyển 2.
Nghiêm cấm sao chép dưới mọi hình thức.
Vậy :

x +1
dx = −2
x

∫

t=

Tài liệu lưu hành nội bộ.

t 2 dt
∫ ( t − 1) 2 = OK
x +1
x

Tìm các nguyên hàm sau :
2
2
a) I = ∫ x . x + 9dx

2
2
b) I = 16 ∫ x . x + 4dx

Bài làm :
x2 + 9 = x − t

a)Đặt :

⇒

x=

(

t2 − 9
2t

)

⇒ dx =

(

2

t2 + 9
dt
2t 2

)

2

 t2 + 9   − t2 − 9  t2 − 9
1 t 4 − 81
.
.
I1 = ∫ 
dt = − ∫
dt
 2t 2   2t
 4t 2
16
t5



=−
Vậy :

1  3 162 6561 
1  t4
6561 

+ 5 dt = −  − 162 ln t − 4  + C
t −
∫ t
4
16
t 
16 
4t 


(

1  x − x2 + 9
=− 
16 
4


)

4

− 162 ln x − x 2 + 9 −

x + 4 = x −t ⇒
2

b)Đặt :

(

t2 − 4
x=
2t

t2 + 4 − t2 − 4 t2 − 4
.
I = 16∫ 
 2t 2 . 2t

 4t 2




)


+C
4 
4 x − x2 + 9 
6561

(

)

t2 + 4
⇒ dx =
dt

2t 2

2

dt = − ∫

(t

4

)

2

− 16
dt
t5

t4
36 256 
64 

= −∫  t 3 −
+ 5 dt = −  − 36 ln t − 4  + C
4
t
t 
t 





(

 x − x2 + 4
= −

4


)

4

+ 36 ln x − x 2 + 4 −

(


+C
4 
x − x2 + 4 
64

)

Tính các tích phân sau :
1

2

a) I1 = ∫ x − x dx
1
2

b) I 2 =

−8

∫x

−3

dx
dx
1− x

Bài làm :

Chủ biên: Cao Văn Tú

25

Email: