CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH pot

CHƯƠNG IV : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
I - BẤT ĐẲNG THỨC
Các phương pháp cơ bản chứng minh bất đẳng thức:
- Phương pháp biến đổi tương đương:
Dng cc tính chất cơ bản của bất đẳng thức để biến đổi tương đương bất đẳng thức cần
chứng minh về một bất đẳng thức đúng.
- Phương pháp dùng bất đẳng thức Cô-si:
a) Đối với 2 số không âm a và b: ab
ba


2
hay abba 2 .
a. Đẳng thức xảy ra

a = b.
b) Đối với 3 số không âm a, b và c:
3
3
abc
cba



hay
3
3 abccba  .
a. Đẳng thức xảy ra

a = b = c.
c) Tổng quát: Đối với n số không âm

n
aaaa ; ;;;
321
:
a.
n
n
n
aaaa
n
aaaa


321
321






d) Ch ý:
a. abba 2
22
 với mọi số thực a, b.
b. Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng có thể áp dụng
được bất đẳng thức Cô-si với các kỹ thuật tách – gộp, ghép cặp 2,
ghép cặp 3, ví dụ:
e)
b

aa
ba
bbaba





2
2
;2

f)
2
1
2
1
1
2
2
1  a
aa
a .

: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
2) baba 
3) 0
22
 baba .
4) 3

a
c
c
b
b
a
, với a, b, c > 0.
5)
233
963 abba 


0, ba
6) Tìm GTNN của




22
31  xxA
7) Tìm GTLN của 835  xxxA ,
0

x
.
8) Tìm GTNN của
2
2
3
x

xA  ,
0

x
.
9) Tìm GTNN của
2
1


x
xA ,
2

x
10) .
11) Chứng minh bất đẳng thức:
Rdcba


,,, ,






2222
2
. dcbabdac  (BĐT Bunhiacopxki)

HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về


0
2
 bcad .
12)
ba
a
b
b
a

, 0;0


ba
HD: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa bất đẳng thức về:
a.




0
2
 baba ,


22
2 baba  , 0;0



ba
HD: Do 2 vế của bất đẳng thức không âm nên ta bình phương 2 vế.
13) zyxzyx 61221434
222
 , với mọi x, y, z.
HD: biến đổi tương đương.
14) Cho .1534


yx Chứng minh: 9
22
 yx
HD: Rt x hoặc y từ ,1534


yx thế vo .
22
yx 
15) Chứng minh: cabcabcba  với 0,,

cba
HD: Dùng bất đẳng thức Cô-si đối với 3 cặp (a và b); (b và c); (c và a).
16) Chứng minh:









abccbcaba 1611  với a, b, c dương.
17) Với a bất kì, chứng minh:
4
2
6
2
2



a
a
.
HD: Tch
2
4
2
2
42
2
6
2
2
2
2
2
2








a
a
a
a
a
a

18) Cho 0,,

cba , chứng minh:






abcaccbba 8 .
19) Cho 0,

ba , chứng minh: baabba  1 .
20) Cho 0,

ba , chứng minh:

 
2
2
1
2
1








ba
ba .
21) Với
Rx


, tìm GTNN của
2
2
1
3
x
xA  .
22) Tìm GTNN:





22
31  xxA .
23) HD: Khai triển




22
31  xx , nhóm hằng đẳng thức. Chứng
minh:
2

A
.

24) Tìm GTNN của
1
3
1


x
xA với
.1

x

25) Tìm GTNN của:

2
2


x
xA , với
2


x
.
26) HD: Phn tích: 2
2
2
2 


x
xA . Áp dụng bất đẳng thức đối
với 2 số
2
2
;2


x
x .
27) (Đáp án:



122min A
28) Tìm GTLN của:




xxA  13 với
31


x
.
29) Tìm GTLN của:




xxA  532 , với 5
2
3
 x .
30) HD: Phn tích:
 
xxA 







 5
2
3
2 . Áp dụng bất đẳng thức Cô-si
đối với 2 số xx  5;
2
3
.
31) Tìm GTNN v GTLN của hm số:




4221  xxy với
2
1
2  x .
32) Tìm GTNN của:
x
xA


2
1
với
2

x
.
33) Tìm GTNN của: 2010

1
2
2



x
x
xxA .
34) Chứng minh rằng :
1
1 1, 1
a a a
a
     
.
35) Tìm GTNN của
1 1
,0 1
1
y x
x x
   

.
36) Tìm GTNN của
4 9
,0 1
1
y x

x x
   


37) Tìm GTLN của
3 4
4 ,0 4
y x x x
   

38) Chứng minh rằng :
4 4 3 3
x y x y xy
   .
39) Chứng minh rằng :
2 2 2
4 3 14 2 12 6
x y z x y z
     
.
40) Chứng minh rằng :
a b
a b
b a
  
.
41) Chứng minh rằng :
1 1 4
a b a b
 


.
42) Chứng minh rằng :
4
4
a b c d
abcd
  
 .
43) Chứng minh rằng :
1 1 1 1 16
a b c d a b c d
   
  
.
44) Chứng minh rằng :
2
1
2
a b a
b
 
.
45) Chứng minh rằng :







8 .
a b b c c a abc
   
46) Chứng minh rằng :


 
2
2 2
a b a b ab
   .
47) Chứng minh rằng :
1 1 1 9
a b c a b c
  
 
.
48) Chứng minh rằng :


 
2
2
2 2
4 , , .
x y xy x y x y
   
49) Chứng minh rằng :
2 2
2 2 1 0, , .

x y xy y x y
     
50) Chứng minh rằng :








1 1 16 . , , 0.
a b a c b c abc a b c
      

51) Chứng minh rằng
:
2 2 2
1 1 1 1
, , 0.
2
a b c a b b c c a a b c
a b c
 
         
 
 

52)
1 1 1 1 1 1

2 2 2 3 3 3
a b c b c a c a b a b b c c a
    
        

53) Chứng minh rằng :
2 2 2 1 1 1
6 4 6 4 6 4 4 4 4
x y z
x y y z z x x y z
    
  

54) Cho 3 số thực dương a, b v c thoả :ab+bc+ca = abc. chứng minh
rằng :
55)
     
4 4 4 4 4 4
1
3 3 3 3 3 3
a b b c c a
ab a b bc b c ca c a
  
  
  

56) Tìm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức
57)
x t t y y z z x
A

t y y z z x x t
   
   
   

58) Chứng minh rằng :
2 2 2
a b c
a b c
b c a
    
với a, b, c là các số
thực dương.
59) Tìm gi trị nhỏ nhất của biểu thức
60)
6 6 6
3 3 3 3 3 3
a b c
B
b c c a a b
  
  
trong đó a, b, c là các số thực
dương thỏa mn
1
a b c
  
.
61) Cho x,y,z>0 v thoả :
2 2 2

1
3
x y z
  

62) Tìm gi trị nhỏ nhất của:
3
3 3
2 3 5 2 3 5 2 3 5
y
x z
x y z y z x z x y
 
     

63) Cho a,b,c>0 v thoả : a.b.c = 1 .
64) Chứng minh rằng:
 
 
 
2 2 2
3
3 3 3
a b c b c a c a b
  
  

65) Cho 3 số thực dương x,y,z >o thoả :
3
x y z

  
.Tìm GTNN
của
66) A =
2
2 2
y
x z
x yz y zx z xy
 
  

67) Với x, y, z là số dương và
. . 1
x y z


68) Chứng minh rằng:
3
2
x y z
x yz y zx z xy
  
  