Đề thi học kì 1 môn Đại số tuyến tính năm 2009-2010-Đề 1 doc

ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 20 09 -20 10
Môn học : Đại số tuyến tính .
Th ời gian làm bài: 90 ph út. Đề thi go àm 7 câu.
Sinh viên k hông được sử dụn g tài liệu.
HÌNH THỨC T HI: TỰ L UẬN
CA 3
Câu 1 : T rong kh ông gian IR
4
vớ i tích v ô hướn g chính tắc, c ho kh ông g ian con
F = {( x
1
, x
2
, x
3
, x
4
) |x
1
+x
2
−x
3
−2 x
4
= 0 & 2 x
1
+x
2
−3 x
3

−5 x
4
= 0 & 3 x
1
+x
2
−5 x
3
−8 x
4
= 0 }
Tìm chiều v à một cơ s ở TRỰC C HUẨN của F .
Câu 2 : C ho ánh xạ tuy ến tính f : IR
3
−→ IR
3
, b iết ma trận của f tr ong cơ s ở
E = {( 1 , 2 , 1 ) , ( 1 , 1 , 2 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =



−1 4 −2
−3 4 0
−3 1 3



.
Ch éo hoá án h xạ tuyến tính f.
Câu 3 : C ho ánh xạ tuy ến tính f : IR

3
−→ IR
3
, b iết ma trận của f tr ong cơ s ở
E = {( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 1 , 0 ) ; ( 1 , 1 , 1 ) } là A =



1 1 2
2 3 0
3 5 −4



.
Tìm cơ sở v à số chie àu của Imf .
Câu 4 : C ho A v à B là hai m a tr ận đồng dạn g. C hứn g tỏ rằng A chéo ho á được khi và chỉ khi B ch éo
hoá đươ ïc.
Câu 5 : T ìm m để ma tr ận A =



1 4 −1
4 m 2
−1 2 4



có ít nha át một trò r iêng âm .
Câu 6 : C ho án h x ạ tuyến tính f : IR

3
−→ IR
3
, biết f ( x) = f( x
1
, x
2
, x
3
) = ( −x
2
+ 2 x
3
, −2 x
1
+ x
2
+
2 x
3
, x
1
− x
2
+ x
3
) . Tìm m để v éctơ x = ( 2 , 2 , m) là véctơ r iêng củ a f.
Câu 7 : C ho án h xạ tuyến tính f là phé p đối xứn g tron g hệ trục toạ độ Oxy qua đường thẳn g 2 x−3 y = 0 .
Tìm tất cả các trò riên g và cơ sở củ a các kh ông g ian con r iêng của f. Giải thích rõ.
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 3

Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 5, 6, 7: 1.5 điểm; câu 4: 1.0 điểm.
Câu 1(1. 5đ) . T ìm một cơ s ở tùy ý củ a F: E = {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 3 , −1 , 0 , 1 ) }
Dùn g quá trìn h Gram- Schm idt đưa về cơ s ở trực g iao: E
1
= {( 2 , −1 , 1 , 0 ) , ( 4 , 1 , −7 , 6 ) }
Ch uẩn ho ùa, có cơ sở tr ực chuẩn: E
2
= {
1
√
6
( 2 , −1 , 1 , 0 ) ,
1
√
67
( 4 , 1 , −7 , 1 ) }
Câu 2(1. 5đ) . C héo ho ùa ma trận (1 .0 đ) A = P · D · P
−1
, P =



2 1 1
3 1 3
3 1 4



. D =




2 0 0
0 1 0
0 0 3



.
Cơ sở cần tìm là B = {( 8 , 1 0 , 1 1 ) , ( 3 , 4 , 4 ) , ( 8 , 9 , 1 1 ) }. Ma tr ận của f tron g B là D. C ác cột cu ûa P
là các VTR của A, p hải đổi san g cơ sơ û chính t ắc!!
Câu 3(1. 5đ) . Dim (Im f) = r( A) = 3 ; Im( f) =< f( E) >=< f( 1 , 0 , 1 ) , f( 1 , 1 , 0 ) , f ( 1 , 1 , 1 ) >=
1
=< ( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) , ( −2 , −4 , −2 ) >. Cơ sở củ a Im( f) là {( 6 , 5 , 4 ) , ( 9 , 8 , 6 ) ( −2 , −4 , −2 ) }. Cách
khác: Vì Dim( Imf) = r( A) = 3 , nên I m( f) là IR
3
và cơ s ở của Im ( f) là cơ sở chính tắc của IR
3
.
Câu 4( 1.0 đ). A đồng d ạng B ⇔ ∃Q : B = Q
−1
· A · Q. Giả s ử A chéo hóa được ⇔ A = P · D · P
−1
.
Khi đó B = Q
−1
· P · D · P
−1
· Q ⇔ B = ( P
−1

Q)
−1
· D · ( P
−1
Q) ⇔ B = G
−1
· D · G →đpcm.
Câu 5 ( 1.5 đ). Ma trận đối xứ ng thực. Dạng toàn phươn g tươ ng ứng f( x, x) = x
2
1
+ mx
2
2
+ 4 x
2
3
+
8 x
1
x
2
− 2 x
1
x
3
+ 4 x
2
x
3
. Đưa về chính tắc bằn g biế n đổi Lag rang e

f( x, x) = ( x
1
+ 4 x
2
− x
3
)
2
+ 3 ( x
3
+ 2 x
2
)
2
+ ( m − 2 8 ) x
2
2
. A có m ột TR âm ⇔ m < 2 8 .
Câu 6 (1 .5đ) . x l à VTR của f ⇔ f( x) = λ · x ⇔ ( f ( 2 , 2 , m) = λ · ( 2 , 2 , m)
⇔ ( −2 + 2 m, −2 + 2 m, m) = ( 2 λ, 2 λ, λm) ⇔ m = 0 ∨ m = 2
Câu 7 ( 1.5 đ).f : IR
2
−→ IR
2
. VTR là v éctơ q ua p hép b iến đ ổi có ảnh cu øng ph ương vơ ùi v éctơ ban
đầu. Các vé ctơ cùng p hương với véctơ ch ỉ p hương a = ( 3 , 2 ) của đườn g th ẳng là tất cả các VTR
tương ứn g với TR λ
1
= 1 ; các véctơ cùn g phươn g với v éctơ pháp tuyến n = ( 2 , −3 ) củ a đườ ng
thẳn g là tất cả các VTR tươn g ư ùng v ới λ

2
= −1 . Vì f là axtt của k hông g ian 2 chie àu n ên k hôn g
còn VT R kh ác. Kluận : Cơ s ở của E
λ
1
: ( 3 , 2 ) của E
λ
2
: ( 2 , −3 ) .
2