pqr giải BĐt potx

1. P; q; r và sức mạnh trong chứng minh BDT
Đổi biến để chứng minh một dạng Bất Đẳng Thức
(Phương Pháp p; q; r)
Đối với một số bài toán chứng minh bất đẳng thức chứa ba biến a; b; c không âm, có vai trò như nhau (Bình
đẳng), bằng cách đặt:
p= a+b+c, q = ab+bc+ca, r = abc, ta có pq - r = (a+b)(b+c)(c+a); = (a+b)(b+c) + (b+c)(c+a) + (c+a)
(a+b);
Biến đổi bất đẳng thức chứa ba biến a; b; c nói trên về bất đẳng thức chứa ba biến p; q; r phép chứng minh đôi khi
sẽ đơn giản hơn với việc áp dụng các bất đẳng thức sau:

Chúng ta dễ dàng nhận thấy rằng: p; q; r và các biểu thức chứa p; q; r ở trên đều không âm. Việc chứng minh các
đẳng thức và bất đẳng thức trên không khó xin được phép dành cho các bạn. Sau đây là một số ví dụ minh họa:
Lý thuyết về phương pháp p, q, r các bạn đã được làm quen sơ bộ. Để củng cố lại nền tảng lý thuyết còn có vẻ hơi
mơ hồ. mời bạn tham khảo một số ví dụ và bài tập sau đây:
Ví dụ 1:
Cho ba số dương a; b; c thỏa mãn điều kiện abc = 1. Chứng minh rằng:
Lời giải:
Do r = abc = 1, với cách đổi biến trên, bất đẳng thức (BĐT) trở thành:
pq - r = 2(1+p) <=> pq - 1 2(1+p) <=> p(q-2) 3
Cũng do r=1, từ (2) suy ra , từ (2) suy ra .
=> là BĐT đúng. Suy ra BĐT cần phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi: p = q = 3 <=> a = b = c = 1.
Ví dụ 2: Cho ba số dương a; b; c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

Lời giải:
Với cách đổi biến trên BĐT trở thành:
Do p = a + b + c = 3 nên theo (5) ta có: , suy
ra (**). Mặt khác,
<=> , là BĐT đúng với mọi q. Từ và (**) suy ra BĐT
cần phải chứng minh.
Dăng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1

Ví dụ 3: Cho ba số không âm a; b; c không âm thỏa mãn điều kiện: ab + bc + ca + abc = 4. Chứng minh rằng:
Lời giải:
Do q + r = ab + bc + ca + abc = 4, với cách đổi biến trên BĐT trở
thành Mặt khác
từ
Thật vậy từ (2) ta suy ra:
Từ đó ta có:
là BĐT đúng.
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c = 1.
Ví dụ 4: cho ba số dương a;b;c thỏa ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Lời giải: Do q = ab + bc + ca = 3, với cách đổi biến như trên, BĐT trở thành:
Do q = 3 , từ (1) ta suy ra , kết hợp với (5), ta có BĐT trên đúng => BĐT cần chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
nguồn: />ps: Đây là PP mạnh trong những PP hiện đại để chứng minh BDT. Tư tưởng của PP thì người đọc cũng dễ dàng nắm
bắt và hiểu được. Nhưng việc ghi nhớ những BDT phát sinh ra từ việc đặt ẩn và việc dử dụng pp này là cả một vấn
đề.
(hẹn thi xong: dồn biến)
Last edited by goddess07051807; 21-11-2009 at 08:31 PM.
Không Phải Đăng Quỳnh
Join Date
Apr 2009
Location
Singapore
Age
17
Posts
202
Rep Power
16
Re: P; q; r và sức mạnh trong chứng minh BDT

Lâu rồi topic này không hoạt động nhỉ. Hôm nay Gs xin phép "hâm lại" topic bằng một số biểu thức và bất đẳng
thức với p, q, r.
Một số đẳng thức :
Một số bất đẳng thức
Bất đẳng thức Schur :
=> Schur bậc 1
=> Schur bậc 2
Tài liệu tham khảo: vothanhvan.pdf
Last edited by goddess07051807; 19-11-2009 at 12:53 PM.
Mạnh mẽ tan chảy ở nhiệt độ của một giọt nước mắt
Reply With Quote
2. 24-11-2009#3
Re: P; q; r và sức mạnh trong chứng minh BDT
Nào. Thử một vài bài áp dụng đổi biến p, q, r
Bài 1: Cho a, b, c dương
CMR
Bài này có nhiều cách giải. Nhưng ở đây chúng ta đang luyện tập cách đổi biến nên các bạn cố gắng sử dụng đổi
biến xem nhé. Các lời giải hay và sáng tạo cũng rất được khuyến khích nhé
Mạnh mẽ tan chảy ở nhiệt độ của một giọt nước mắt
10
Re: P; q; r và sức mạnh trong chứng minh BDT
Nhân vào rồi áp dụng 3 bdt thức sau là OK:
Reply With Quote
Re: P; q; r và sức mạnh trong chứng minh BDT
Bài 2: VỚi a, b, c>0. Chứng minh: