Sự hội tụ mạnh và yếu của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.

Mục lục
LỜI MỞI ĐẦU 1
NỘI DUNG 3
Chương 1. Sự hội tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa
không giãn 3
1.1. Định lý 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Ví dụ 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3. Định nghĩa 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4. Định lý 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.5. Ví dụ 1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.6. Định lý 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.7. Hê quả 1.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.8. Ví dụ 1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.9. Định lý 1.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.10. Định lý 1.1’ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn 11
2.1. Hệ quả 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2. Hệ quả 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Định nghĩa 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.4. Hệ quả 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.5. Định lý 2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
Chương 3. Sự hội tụ yếu của phép lặp và ánh xạ tựa
không giãn 19
3.1. Định lý 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2. Hệ quả 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.3. Hệ quả 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
i
3.4. Định lý 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5. Định lý 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.6. Hệ quả 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.7. Hệ quả 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.8. Định lý 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.9. Định lý 3.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.10. Hệ quả 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.11. Định lý 3.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.12. Hệ quả 3.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
KẾT LUẬN 28
TÀI LIỆU THAM KHẢO 29
ii
LỜI MỞ ĐẦU
Cho X là không gian Banach thực, D là tập con đóng của X và T là
ánh xạ liên tục từ D vào X. Giả thiết rằng với x
0
∈ D và λ ∈ (0, 1), ta
có dãy lặp {x
n
} xác định bởi phương pháp lặp liên tiếp:
(i) x
n
= T (x
n−1
) = T
n
(x
0
), n = 1, 2, 3, ,
hoặc bởi phương pháp lặp:
(ii) x
n
= T
λ

(x
n−1
) = T
n
λ
(x
0
), T
λ
= λI + (1 − λ)T, n = 1, 2, ,
mục đích của bài viết này là để có được điều kiện chung nhất có thể
của T , D và X mà sẽ đảm bảo sự hội tụ (hội tụ mạnh) và dưới các điều
kiện yếu hơn trên T thì phép lặp {x
n
} hội tụ yếu đến điểm bất động của
T trên D. Điều này, sẽ được thấy rõ qua phân tích dưới đây là kết quả
của chúng tôi, thống nhất và mở rộng cho lớp ánh xạ rộng hơn các kết quả
trước đó.
Kết quả cơ bản đầu tiên là Định lý Picard-Banach-Caccioppoli, nếu T
là ánh xạ co ngặt từ D vào D (tức là  T (x) − T (y)  q  x − y 
vợi mọi x, y thuộc D và q < 1) cho bởi (i) hội tụ đến điểm bất động duy
nhất. Người ta biết rằng (Ví dụ: Một vòng xoay của đĩa đơn vị) nếu T là
không giãn trên D (có nghĩa là:  T (x) − T (y)  x − y , ∀x, y ∈ D),
khi đó T
n
(x
0
) không nhất thiết hội tụ, nói chung T không nhất thiết có
điểm bất động (Xem [6]). Tuy nhiên, như được chỉ ra bởi Krasnoselsky [17]
rằng nếu X là lồi đều, D là tập con lồi, đóng, bị chặn của X và T là ánh

xạ compact (T liên tục và T(D) compact tương đối) từ D vào D, khi đó
{T
n
1
2
(x
0
)} hội tụ đến điểm bất động của T . Schaefer [30] đã mở rộng kết
quả của [17] với trường hợp {x
n
} cho bởi (ii), trong khi đó Edelstein [11]
mở rộng nó với trường hợp X là lồi ngặt. Trong trường hợp X là không
1
gian Hilbert và D là cầu đóng B(0, 1), Petryshyn [24] đã mở rộng kết quả
của [17, 30] cho ánh xạ không giãn, nửa compact từ B vào X mà thỏa
mãn điều kiện Leray-Schauder trên biên ∂B của B. Phương pháp sử dụng
trong [24] gọi là phương pháp lặp co rút, theo kết quả của [7], chỉ có thể
thực hiện được trong các không gian Hilbert. Browder và Petryshyn [8, 9]
đã đưa ra thêm các kết quả [17, 30, 24], nghiên cứu sự hội tụ {x
n
} cho
bởi (i) và/hoặc (ii) cho ánh xạ không giãn từ X vào X mà T là chính quy
tiệm cận (xem phần 2) và cho ánh xạ I − T từ tập đóng, bị chặn vào tập
đóng. Xem [25] mà kết quả tương tự thu được từ tập lồi, đóng, bị chặn D
của X vào D. Mở rộng hơn, liên quan đến hội tụ của (i) và (ii) thu được
bởi Diaz và Metcalf [8, 9] và bởi Dotson [10] cho ánh xạ tựa không giãn
(T sao cho  T (x) − p  x − p  với x thuộc D và p thuộc F(T ), F (T )
là tập điểm bất động của T) và bởi Outlaw [23] cho ánh xạ không giãn đã
biết. Petryshyn và Tucker [28] xem xét trường hợp ánh xạ không giãn và
P

1
-compact, không khi Petryshyn [26] nghiên cứu sự hội tụ của (ii) khi T
là không giãn và nén (xem phần 2).
Thật thú vi khi nhận thấy rằng, để thiết lập sự hội tụ của {T
n
(x
0
)}
hoặc {T
n
λ
(x
0
)} cho điểm bất động của T , mỗi tác giả trên đã phải áp đặt
điều kiện bổ sung nhất định trên ánh xạ không giãn hoặc tựa không giãn T
với F(T ) khác rỗng. J.Lindenstrauss thông báo cho tác giả thứ nhất rằng
ông ấy đã xây dựng được một ví dụ về ánh xạ không giãn T của hình cầu
đơn vị B(0, 1) trong không gian Hilbert vào B(0, 1) mà {T
n
1
2
(x
0
)} không
hội tụ về điểm bất động của T mặc dù F(T
1
2
) = F (T ) = ∅ và T
1
2

là
chính quy tiệm cận trên B. Do đó, với ánh xạ không giãn T từ B vào B,
F (T ) = ∅ và T
λ
là chính quy tiệm cận trên B, một số điều kiện bổ sung
phải được áp đặt trên T với dãy {x
n
} cho bởi (ii) để hội tụ đến điểm bất
động của T.
Sự hội tụ của phép lặp của ánh xạ tựa không giãn được xây dựng dựa
trên 3 chương:
Chương 1: Sự hội tụ mạnh của phép lặp.
Chương 2: Anh xạ nén.
Chương 3: Sự hội tụ yếu của phép lặp.
2
Chương 1. Sự hội tụ mạnh của
phép lặp và ánh xạ tựa không giãn
Ở phần này, việc tìm hiểu sự hội tụ của phép lặp của ánh xạ tựa không
giãn, thường thực hiện theo giả thuyết là tập các điểm bất động được biết
là không rỗng.
Cho X là không gian Banach thực với chuẩn || . ||. Nếu A và B là hai
tập thuộc X, khoảng các giữa A và B cho bởi
d(A, B) ≡ inf{ a − b : a ∈ A, b ∈ B}
và khoảng cách giữa điểm p và tập A là d(p, A). Nếu ánh xạ T từ D ⊂ X
vào X, thì tập các điểm bất động của T trong D được kí hiệu là F
D
(T ),
đơn giản ta viết F (T) khi mà tập ban đầu là rõ ràng.
Kết quả cơ bản đầu tiên của phần này là định lý sau đây, đặc trưng
cho sự hội tụ của phép lặp.

1.1. Định lý 1.1. Cho D là tập con đóng của không gian Banach X và
ánh xạ liên tục từ D vào X sao cho
(1.1) F (T ) = ∅
(1.2) Với mỗi x ∈ D và mọi p ∈ F (T )
 T x − p  x − p  .
(1.3) Tồn tại x
0
∈ D sao cho
x
n
= T
n
(x
0
) ∈ D với mỗi n ≥ 1.
Thì { x
n
} hội tụ đến một điểm bất động của T thuộc D khi và chỉ
khi
lim
n
d(x
n
, F (T )) = 0.
Chứng minh. Rõ ràng điều kiện lim
n→∞
d(x
n
, F (T )) = 0 là cần thiết.
Đầy đủ hơn, giả sử lim

n→∞
d(x
n
, F (T )) = 0. Ta cần chỉ ra { x
n
} là một
3
dãy Cauchy. Cho  > 0, thì tồn tại một n
1
∈ N sao cho mọi n ≥ n
1
,
d(x
n
, F (T )) < /2. Từ đó, với mọi l, k ≥ n
1
ta có
 x
l
− x
k
 x
l
− p  +  x
k
− p ,
khi p ∈ F(T ). Từ (1.2) ta có
 x
l
− p = T

l
(x
0
) − p  T
n
1
(x
0
) − p 
và
 x
l
− p = T
k
(x
0
) − p  T
n
1
(x
0
) − p 
Do đó,
 x
l
− x
k
 2d(x
n
1

, F (T )) < .
Cho nên { x
n
} là dãy Cauchy và do đó hội tụ đến x
∗
nào đó ∈ D, do D là
đóng. Hơn nữa, do T là liên tục, F (T ) là đóng nên
lim
n→∞
d(x
n
, F (T )) = 0
nghĩa là x
∗
∈ F (T ). 
Điều kiện (1.2) được gọi là "tựa không giãn", được đưa ra bởi Tricomi
[31] cho hàm số thực, và sau đó được nghiên cứu bởi Diaz và Metcalf [8,
9] và bởi Dotson [10] cho ánh xạ trong không gian Banach. Ví dụ sau [10]
chỉ ra một ánh xạ tựa không giãn nhưng không phải là không giãn.
1.2. Ví dụ 1.1. Cho X là đường thẳng thực và T được xác định:
T (0) = 0
T x =
x
2
sin

1
x

, với x = 0.

Điểm bất động duy nhất của T là 0, vì nếu x = 0 và T x = x, thì
x =
x
2
sin

1
x

, hoặc 2 = sin

1
x

điều đó là không thể.
T là tựa không giãn, vì nếu y ∈ X, p = 0, thì
 T y − p = T y − 0 =



y
2







sin

1
y





|y|
2
< |y| = y − p  .
4
Tuy nhiên T không là ánh xạ không giãn. Điều này được thấy bằng cách
chọn x = 2/π và y = 2/3π. Ta có
 T x − Ty =
2
π
sin
π
2
−
2
3π
sin
3π
2
=
2
π
.
4

3
=
8
3π
trong khi đó
 x − y =
4
3π
1.3. Định nghĩa 1.1 (Browder và Petryshyn [3]). Nếu T là ánh xạ từ
D ⊆ X vào D sao cho với mọi x ∈ D,
lim
n→∞
 T
n
(x) − T
n+1
(x) = 0
thì T được gọi là chính quy tiệm cận trên D. T : D → X là chính quy
tiệm cận tại x
0
∈ D nếu T
n
(x
0
) − T
n+1
(x
0
) → 0 với n → ∞ khi T
n

(x
0
)
được xác định với mọi n.
1.4. Định lý 1.2 Cho D là tập con đóng trong không gian Banach X,
và T là ánh xạ liên tục từ D vào X. Giả sử
(1.1) F (T ) = ∅.
(1.2) T là tựa không giãn.
(1.3) Tồn tại x
0
thuộc D sao cho x
n
= T
n
(x
0
) ∈ D với mọi n ≥ 1.
(1.4) T là chính quy tiệm cận tại x
0
.
(1.5) Nếu {y
n
} ⊆ D, n ≥ 1 và  (I − T )y
n
→ 0 với n → ∞, thì
lim
n→∞
inf d(y
n
, F (T )) = 0.

Khi đó { x
n
} hội tụ đến một điểm bất động của T thuộc D
Chứng minh. Do T
n
(x
0
) ∈ D với n ≥ 1, T là chính quy tiệm cận tại x
0
,
và (I −T )T
n
(x
0
) = T
n
(x
0
)−T
n+1
(x
0
), ta thấy rằng lim
n→∞
 (I−T )x
n
= 0.
Từ (1.5) ta có
lim
n→∞

inf d(x
n
, F (T )) = 0.
Do (1.2) nên dãy {d(x
n
, F (T ))}
n≥1
là đơn điệu giảm, do đó
lim
n→∞
d(x
n
, F (T )) = 0. Vì vậy, theo Định lý 1.1, {x
n
} hội tụ mạnh đến một
điểm bất động của T thuộc D. 
5
Toán tử campact không giãn sau đây, xác định trên một hình cầu đơn
vị B thuộc không gian Hilbert, cho ta một ví dụ về ánh xạ là chính quy
tiệm cận tại một số điểm thuộc B nhưng không phải tại vị trí khác.
1.5. Ví dụ 1.2 Cho B = B(0, 1) là hình cầu đơn vị thuộc R
2
với chuẩn
thông thường. Định nghĩa T : B → B bởi
T : (x, y) →

−
x
2
, −y


trong đó (x, y) là tọa độ thông thường trong R
2
.
(a) T là không giãn. Nếu (x
1
, y
1
) và (x
2
, y
2
) ∈ B, thì
 T (x
1
, y
1
) − T (x
2
, y
2
) 
2
=








−
x
1
2
, −y
1

−

−
x
2
2
, −y
2







2
=
1
4
(x
1
− x

2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2
 (x
1
− x
2
)
2
+ (y
1
− y
2
)
2
= (x
1
, y
1
) − (x
2
, y
2
) 

2
.
Vì T là ánh xạ không giãn từ B vào B, và B là conpact, nên T cũng là
ánh xạ conpact.
(b) F (T) = ∅, thực tế (x, y) = (0, 0) là điểm bất động duy nhất của
T thuộc B.
(c) Nếu (x, y) ∈ B, thì ta có một phép toán đơn giản,
 T
n
(x, y) − T
n+1
(x, y) 
2
=

3x
2
n+1

2
+ (2y)
2
, với mọi n
Do đó, tại mọi điểm z thuộc B, nằm trên đường y = 0, T là chính quy
tiệm cận tại z và T không là chính quy tiệm cận tại những điểm khác cũng
thuộc B.
Như là một hệ quả khác của Định lý 1.1, định lý sau đây cung cấp một
điều kiện tổng quát đủ cho sự hội tụ của phép lặp.
1.6. Định lý 1.3 Cho D là tập con đóng thuộc không gian Banach X.
T là ánh xạ liên tục từ D vào X sao cho

(1.1) F (T ) = ∅.
(1.2) T là tựa không giãn.
(1.6) Với mọi x ∈ D − F, thì tồn tại p
x
∈ F (T ) sao cho
 T x − p
x
< x − p
x
 .
6
(1.7) Tồn tại x
0
∈ D sao cho T
n
(x
0
) ∈ D, với mọi n ≥ 1, và
{x
n
} ≡ {T
n
(x
0
)}
n≥0
chứa một dãy con hội tụ {x
n
j
}

j≥1
hội tụ đến x
∗
nào
đó thuộc D.
Khi đó x
∗
∈ F (T ) và {x
n
} hội tụ đến x
∗
.
Chứng minh. Từ điều kiện (1.2) ta thấy tồn tại lim
n→∞
d(x
n
, F (T )) = d ≥
0. Ta cần chỉ ra rằng d = 0, thì Định lý 1.1 có thể được áp dụng. Nếu
x
∗
∈ F(T ), thì d = 0. Nếu x /∈ F(T ), thì theo điều kiện (1.6), tồn tại
p = p
x
∗
∈ F (T) sao cho  T x
∗
− p < x
∗
− p . Nhưng bởi tính liên tục
của T và điều kiện (1.7), chúng ta có quan hệ

 T x
∗
− p = T ( lim
j→∞
x
n
j
) − p = lim
j→∞
 T
n
j
+1
(x
0
) − p 
= lim
n→∞
 T
n
(x
0
) − p = lim
j→∞
 T
n
j
(x
0
) − p 

= lim
j→∞
 x
n
j
− p = x
∗
− p 
dấu bằng xảy ra, do từ (1.2) lim
n→∞
 T
n
(x
0
) − p  tồn tại. Điều này mâu
thuẫn với (1.6), do đó x
∗
∈ F (T ) và định lý được chứng minh. 
Ta có thể thay điều kiện (1.2), (1.6) bởi điều kiện (1.8) Với mọi x ∈ D,
x /∈ F(T ), d(T x, F (T)) < d(x, F (T )). Hệ quả sau đây của Định lý 1.3 là
do Diaz và Metcalf [8] đưa ra.
1.7. Hê quả 1.1 Cho D là tập con đóng của không gian Banach X và
T là ánh xạ liên tục từ D vào D sao cho
(1.1) F (T ) = ∅.
(1.9) Với mọi x ∈ D, x /∈ F (T ) và mọi p ∈ F (T ),
 T x − p < x − p  .
Cho x
0
là một phần tử tùy ý thuộc D, ta định nghĩa x
n

≡ T
n
x
0
, n ≥ 1.
Nếu {x
n
} chứa một dãy con hội tụ, thì toàn bộ dãy đó hội tụ đến một điểm
bất động của T thuộc D.
Dễ dàng chứng minh hệ quả trên, do (1.9) bao gồm (1.2) và (1.6). Hệ
quả trên được chứng minh tương tự Định lý 1.3. Ví dụ sau thỏa mãn các
giả thiết của Định lý 1.3 nhưng không thỏa mãn Hệ quả 1.1.Như vậy Định
lý 1.3 là trường hợp tổng quát của Hệ quả 1.1.
7
1.8. Ví dụ 1.3. Cho H là không gian Hilbert thực tách được với cơ
sở trực chuẩn {α
i
}
i≥0
. Nếu

x ∈ H , ta định nghĩa

x = (x
0
, x
1
, ), trong
đó x
i

là hệ số thứ i của phép biểu diễn

x thuộc cơ sở {α
i
}. Cho H
+
≡
{

x ∈ H|x
1
≥ 0} và cho

a = (4, 0, 0, ). Khi đó, ta lấy D = H ∩ B(

a, 1),
trong đó B(

a, 1) là hình cầu tâm

a, bán kính 1. Chú ý rằng nếu

x ∈ D,
thì x
0
≥ 0 và x
1
≥ 0. Với mỗi

x ∈ D và


x = (x
0
, x
1
, x
2
, ), ta định nghĩa
ánh xạ T : D → H như sau:
T (

x) ≡ ((x
2
0
+ x
2
1
)
1/2
, 0, x
2
, x
3
, ).
(a) T là không giãn, nếu

x,

y ∈ D, mà


x = (x
0
, x
1
, ) và

y = (y
0
, y
1
, ,
khi đó ta có


x −

y 
2
=

i≥0
|x
i
− y
i
|
2
và
 T


x − T

y 
2
= [(x
2
0
+ x
2
1
)
1/2
− (y
2
0
+ y
2
1
)
1/2
]
2
+

i≥2
|x
i
− y
i
|

2
.
Từ đó ta có
[(x
2
0
+ x
2
1
)
1/2
− (y
2
0
+ y
2
1
)
1/2
]  (x
0
− y
0
)
2
+ (x
1
− y
1
)

2
,
tương đương ta có
(x
2
0
+ x
2
1
)
1/2
(y
2
0
+ y
2
1
)
1/2
≥ x
0
y
0
+ x
1
y
1
.
Do x
1

, y
1
, x
0
, y
0
đều không âm, khi đó bình phương hai vế ta được
2x
0
y
0
x
1
y
1
 x
2
1
y
2
0
+ x
2
0
y
2
1
.
điều này luôn luôn đúng do
(x

1
y
0
− y
1
x
0
)
2
≥ 0.
(b) T (D) ⊆ D. Thật vậy, theo T ta có T(D) ⊆ H
+
. Do

a là điểm bất
động của T và T là không giãn, nên T (D) ⊆ B(

a, 1). Vì vậy
T (D) ⊆ H
+
∩ B(

a, 1) ≡ D.
(c) F (T ) = {

x ∈ D|x
1
= 0, điều này là rõ ràng, chú ý T(D) = F(T ).
(d) Điều kiện (1.6) được thỏa mãn. Với x ∈ D − F (T ), khi đó cho
p

x
= T x ∈ F (T ). Ta có
0 = T x − p
x
< x − p
x
 .
8
(e) Nếu lấy x
0
∈ D tùy ý, khi đó dãy lặp trở thành liên tục sau một
bước, do đó (1.7) thỏa mãn với mọi x
0
∈ D.
(f) Điều kiện (1.9) của Hệ quả 1.1 không thỏa mãn, do với

0 ∈ F (T )
và mọi

x ∈ D − F ta có


x −

0 =

x = T

x = T


x −

0 
Trong các phần sau, chúng ta sẽ gọi ánh xạ T : D → X là tựa không
giãn có điều kiện nếu T là tựa không giãn khi F (T ) = ∅. Định lý sau đây
được chứng minh mà không có giả thiết trước về F(T ).
1.9. Định lý 1.4. Cho D là tập con đóng của không gian Banach X. T
là ánh xạ tựa không giãn có điều kiện từ D vào X. Giả sử {T
n
(x
0
)}
n≥1
⊆ D
với x
0
nào đó thuộc D. Khi đó dãy {T
n
(x
0
)}
n≥1
hội tụ mạnh đến điểm bất
động của T thuộc D khi và chỉ khi
(1.4) T là chính quy tiệm cận tại x
0
(1.10) Tồn tại một tập compact K sao cho
lim
n→∞
d(T

n
(x
0
), K) = 0
Chứng minh. Ta thấy ngay chiều thuận của định lý là đúng. Ngược lại,
giả thiết có (1.4) và(1.10). Từ (1.10), do K là compact cho nên tồn tại y
0
∈
K ∩ D và dãy con {T
n
j
(x
0
)}
j≥1
của {T
n
(x
0
)}
n≥1
sao cho T
n
j
(x
0
) → y
0
.
Bởi T liên tục nên T

n
j
+1
(x
0
) → Ty
0
. Do T là chính quy tiệm cận tại x
0
nên ta có bất đẳng thức
 y
0
− Ty
0
 y
0
− T
n
j
(x
0
)  +  T
n
j
+1
(x
0
) − T (y
0
) 

+  T
n
j
(x
0
) − T
n
j
+1
(x
0
) 
nghĩa là Ty
0
= y
0
. Do đó y
0
∈ F (T ) và do tựa không giãn có điều kiện
của T nên toàn bộ dãy {T
n
(x
0
)}
n≥1
hội tụ mạnh đến y
0
. 
Đặc trưng hội tụ mạnh của phép lặp này khác với Định lý 1.1 ở chỗ
Định lý 1.4 không yêu cầu giả thiết F(T ) = ∅ hoặc một sự hiểu biết nào

đó về F (T ) (như d(T
n
(x
0
), F (T )) → 0, khi n → ∞)nhưng thay vào đó,nó
yêu cầu T thỏa mãn (1.4) và (1.10).
Nhận xét 1.1. Mặc dù chúng ta xây dựng Định lý 1.1 đến 1.4 trong giới
hạn của không gian Banach, một cuộc kiểm tra cẩn thận chỉ ra rằng chỉ
9
có hàm khoảng cách giữa điểm và tập được sử dụng. Do đó Định lý 1.1
đến 1.4 cũng áp dụng được cho không gian metric tổng quát, đầy đủ.
Với không gian Banach, Định lý 1.1 đến 1.4 cũng được xây dựng cho
dãy {x
n
} cho bởi phép lặp (ii). Định lý 1.1’ sau đây, cho trường hợp của T
λ
.
1.10 Định lý 1.1’. Cho D là tập con lồi, đóng của không gian Banach
và T là ánh xạ liên tục từ T và X sao cho
(1.1) F (T ) = ∅
(1.2) T là tựa không giãn.
(1.3) Tồn tại x
0
thuộc D sao cho x
n
= T
n
λ
(x
0

) ∈ D với n ≥ 1 và
λ ∈ (0, 1).
Khi đó {x
n
} hội tụ đến điểm bất động của T thuộc D khi và chỉ khi
d(T
n
λ
(x
0
), F (T )) → 0 khi n → ∞.
Chứng minh. Để chứng minh Định lý 1.1’, ta cần chỉ ra rằng toán tử
T
λ
thỏa mãn điều kiện (1.1), (1.2) và (1.3) của Định lý 1.1. Thật vậy, do
D cũng là lồi nên T
λ
là xác định đúng đắn trên D và F(T ) = F(T
λ
). Với
mỗi λ ∈ (0, 1), x ∈ D và p ∈ F (T), từ điều điện 1.1 ta có
 T
λ
(x) − p = λx + (1 − λ)T (x) − λp − (1 − λp 
 λ  x − p  +  1 − λ  T(x) − p  x − p .
Chúng ta thấy rằng T − λ cũng là tựa không giãn. Theo giả thiết, tồn tại
x
0
thuộc D sao cho T
n

λ
∈ D với mỗi n ≥ 1. Do đó, Định lý 1.1’ kế thừa từ
Định lý 1.1, nghĩa là, nó trình bày lại Định lý 1.1 cho ánh xạ T
λ
. 
10
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa
không giãn
Ở phần này, chúng ta sẽ sử dụng Định lý 1.1 và hệ quả của nó, Định
lý 1.2 và 1.3, để có được những kết quả mới liên quan đến sự hội tụ của
phép lặp T
n
λ
(x
0
), cho các lớp khác nhau của ánh xạ tựa không giãn.
Trước khi chúng ta trình bày các hệ quả về ánh xạ tựa không giãn xác
định trên tập con lồi, đóng, bị chặn của X, chúng ta cần định nghĩa sau đây.
Theo Petryshyn [24], chúng ta gọi ánh xạ T từ D ⊆ X vào X là nửa
compact tại f nếu mọi dãy bị chặn {x
n
} thuộc D sao cho x
n
− T (x
n
) → f
khi n → ∞, thì tồn tại một dãy con {x
n
j
} và x thuộc D sao cho x

n
j
→ x
khi j → ∞ và x − T(x) = f. T : D → X là nửa compact trên D nếu T
là nửa compact với mỗi f như vậy.
Rõ ràng, khi T là nửa compact trên D thì nó cũng là nửa compact tại 0,
nhưng ngược lại không đúng. Và nếu T : D → X là compact thì T cũng là
nửa compact trên D. Như vậy, nếu S : D → X là nén chặt và C : D → X
là compact, thì T = S + C : D → X là nửa compact trên D. Xem thêm
về ánh xạ nửa compact tại [24].
Ta có hệ quả đầu tiên của Định lý 1.2.
2.1. Hệ quả 2.1 Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập lồi,
đóng, bị chặn thuộc X và T là ánh xạ không giãn từ D vào D sao cho T
thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
(2.1)Ánh xạ (I − T ) biến tập đóng thuộc D vào tập đóng thuộc X.
(2.2) T là nửa compact tại 0.
Với λ bất kì, 0 < λ < 1, ta định nghĩa T
λ
≡ λI + (1 − λ)T. Và với mọi
x
0
∈ D, thì phép lặp x
n
≡ T
n
λ
(x
0
), n ≥ 1, hội tụ mạnh tới điểm bất động
của T thuộc D.

Chứng minh. Ta cần chỉ ra rằng T
λ
thỏa mãn điều kiện (1.1) đến (1.5)
11
của Định lý 1.2. Theo kết quả do Browder [2], Gohde [14] và Kirk [16],
thì ánh xạ không giãn từ một tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian
lồi đều vào chính nó có điểm bất động, nghĩa là F (T ) = ∅. Rõ ràng,
F (T ) = F(T
λ
) = ∅ và ánh xạ T
λ
từ D vào D do D là lồi. T là không giãn,
cho nên T
λ
cũng là không giãn, tức là (1.2) đúng. Điều kiện (1.3) đúng với
mọi x
0
thuộc D và Browder và Petryshyn [3] đã chỉ ra rằng T
λ
là chính
quy tiệm cận trên D, do đó điều kiện (1.4) cũng đúng với mọi x
0
thuộc
D. Giả sử ta có {y
n
} ⊆ D, n ≥ 1 và  (I − T
λ
)y
n
→ 0 khi n → ∞. Giả

thiết đầu tiên là (2.1) đúng và cho G là bao đóng mạnh của tập {y
n
}. G
là tập con của D, do (2.1) và (I − T
λ
)G = (1 − λ)(I − T)(G) ta thấy
(I − T
λ
)(G) đóng; do đó 0 ∈ (I − T
λ
)(G). Khi đó, tồn tại y
∗
∈ G sao cho
(I − T
λ
)y
∗
= 0 và tồn tại {y
n
j
} là dãy con của {y
n
}, sao cho y
n
j
→ y
∗
khi
j → ∞ với y
∗

∈ F (T ). Do đó d(y
n
j
, F (T
λ
)) → 0 khi j → ∞, cho nên
lim
n
inf d(y
n
, F (T
λ
)) = 0
thỏa mãn điều kiện (1.5). Nếu thỏa mãn điều kiện (2.2), thì (1.5)được suy
ra từ tính nửa compact của T tại 0.
Nhận xét 2.1. Joran Lindenstrauss đã thông báo cho tác giả thứ nhất
rằng ông ấy đã xây dựng được ví dụ về ánh xạ không giãn T cho quả
cầu đơn vị B(0,1) từ không gian Hilbert vào chính nó, với F(T ) = ∅ mà
dãy {T
n
1
2
(x
0
)} không hội tụ đến điểm bất động của T . Do đó, với các dãy
{x
n
} của phép lặp được xây dựng theo phương pháp x
n
= T

n
λ
(x
0
), để có
sự hội tụ đến điểm bất động của ánh xạ không giãn T : D → D (với
F (T ) = ∅) ta phải thêm một số điều kiện bổ sung trên T. Có vẻ như giả
thiết "d(T
n
λ
(x
0
), F (T
λ
)) → 0 khi n → ∞" là điều kiện yếu nhất để đảm
bảo sự hội tụ của {T
n
λ
(x
0
)} đến điểm bất động của T thuộc D.
Nhận xét 2.2. Hệ quả 2.1 được xây dựng đầu tiên bởi Krasnoselsky [17]
cho trường hợp khi T là compact và λ =
1
2
, và sau đó bởi Schaefer [30]
cho T là compact và λ ∈ (0, 1). Trong trường hợp T là nửa compact trên
D, Hệ quả 2.1 được chứng minh bởi Petryshyn [24] và bởi Browder và
Petryshyn [83] khi T thỏa mãn điều kiện (2.1).
Nhận xét 2.3. Điều kiện (2.1) và (2.2) không liên quan đến nhau. Có

ánh xạ (ví dụ: T = I) mà (2.1) đúng nhưng với (2.2) lại không đúng, và
12
có những ánh xạ (ví dụ: nén tổng quát trong một phương của Belluce và
Kirk [1]) mà (2.2) đúng, những không nhất thiết đúng với (2.1).
2.2. Hệ quả 2.2 Cho X là không gian lồi đều, D là tập con lồi, đóng,
bị chặn của X, và T là ánh xạ không giãn từ D vào D. Giả thiết
(2.3) Tồn tại một số c > 0 sao cho với mỗi x ∈ D
 (I − T )x ≥ cd(x, F (T )).
Cho x là một phần từ bất kì thuộc D và ta định nghĩa x
n
≡ T
n
λ
(x
0
), n ≥ 1,
với λ cố định bất kì, 0 < λ < 1. Thì {x
n
}
n≥0
hội tụ mạnh đến điểm bất
động của T thuộc D.
Chứng minh Một lần nữa, ta chứng minh theo các giả thiết của Định
lý 1.2. Điều kiện (1.1), (1.2), (1.3) và (1.4) được thỏa mãn như trong hệ
quả trước. Nếu {y
n
} ⊆ D và  (I − T
λ
)y
n

→ 0 khi n → ∞, từ (2.3) ta
có lim
n
d(y
n
, F (T )) = 0, I − T
λ
= (1 − λ)(I − T ) và F(T ) = F(T
λ
), do đó
(1.5) thỏa mãn với T
λ
và F (T
λ
). 
Ta cần định nghĩa sau, cho các trường hợp tiếp theo.
2.3. Định nghĩa 2.1 Cho X là không gian Banach thực và D là tập
con bị chặn của X. Độ đo Kuratorskii của D không compact, kí hiệu là
γ(D), được xác định là
γ(D) = inf{d > 0|D có thể được phủ bởi một số hữu hạn các tập mà
đường kính nhỏ hơn hoặc bằng d}.
Ta có ngay lập tức γ(D) = γD, γ(λD) = |λ|γ(D), γ(D)  γ(Q) bất
cứ khi nào D ⊆ Q và Q là tập con bị chặn của X, γ(D) = 0 khi và
chỉ khi D là compact; hơn thế nữa, nếu co(D) là bao lồi đóng của D và
D + Q = {x + y|x ∈ D, y ∈ Q}, thì như được chỉ ra bởi Darbo [5]:
γ(D) = γ(co(D)) và γ(D + Q)  γ(D) + γ(Q).
Liên quan đến γ là khái niệm k-set-contraction xác định ở [18] là một
ánh xạ liên tục, bị chặn của tập con G(G ⊂ X) vào trong X, sao cho
γ(T (D)) ≤ kγ(D) với mỗi tập con bị chặn D của G và hằng số k ≥ 0.
Theo định nghĩa này thì: C : G → X là compact khi và chỉ khi C là 0-set-

contractive và mọi ánh xạ Lipschitzian S : G → X với hằng số Lipschitz
13
l > 0 là k-set-contraction với k = l. Rõ ràng ánh xạ T = S + C : G → X
cũng là k-set-contraction với k = l. Tiếp theo, chúng ta sẽ cần khái niệm
của ánh xạ nén, được đưa ra đầu tiên bởi Sadovsky [29] cho Độ đo không
compact Hausdorff (xem định nghĩa dưới đây) và sau đó Furi và Vignoli
[12] cho Độ đo Kuratorskii γ. Ánh xạ T liên tục, bị chặn của G vào trong
X là set-condensing (hoặc nén theo [12]) nếu γ(T (D)) < γ(D) với mỗi
tập con bị chặn D của G mà γ(D) > 0. Theo đó, mỗi ánh xạ k-set-
contractive với k < l là set-condenting và mỗi ánh xạ set-condensing là
1-set-contractive nhưng điều ngược lại là không đúng (Xem ví dụ [19, 20])
Độ đo không compact Hausdorff của tập D trong X, χ
χ
(D), đã được
giới thiệu ở [13] bằng cách xác định
χ
χ
(D) = inf{r > 0|D được phủ với một số hữu hạn các hình cầu với
tâm thuộc X và bán kính r}.
Độ do γ và χ
χ
là khác nhau mặc dù chúng có nhiều điểm chung (xem
[20, 12]). Ở bài này, chúng ta xem xét Độ đo không compact Hausdorff
của tập D chỉ liên quan đến X và do dó để đơn giản, chúng ta sẽ kí hiệu
χ thay vì χ
χ
Trong trường hợp của γ, tương ứng với χ chúng ta có ánh xạ k-ball-
contraction và ball-condensing. Rõ ràng là cho χ người ta cũng chứng minh
được rằng T : G → X là compact khi và chỉ khi T là 0-ball-contractive
với k = l. Mặt khác, nếu với ví dụ, T : G → X là nén (ví dụ hằng

số Lipschitzian k <1), khi đó không chắc chắn ánh xạ T có là k-ball-
contractive với k = l không. Mặt khác, như đã được trình bày ở [27], ánh xạ
T 1-ball-contractive từ X vào X mà không nhất thiết là 1-set-contractive.
Lý do của việc đưa ra ánh xạ k-ball-contractions và ball-condensing là đối
với lý thuyết điểm bất động phương pháp lặp cho ánh xạ T : D → X xác
định với điều kiện của γ cũng như điều kiện của
χ
.
Nhớ lại rằng T : G ⊂ X → X được gọi là không giãn ngặt nếu
||T x − T y|| < ||x − y||
với x và y thuộc G
Hệ quả sau đây của định lý 1.3 là do Petryshyn [26], người đã tổng hợp
14
kết quả của [17, 30, 11] cho không gian Banach lồi chặt và cho ánh xạ
set-condensing.
2.4. Hệ quả 2.3. Cho X là không gian Banach, và D là tập con lồi,
đóng, bị chặn của X. Gọi T là ánh xạ không giãn của một set-condensing
hoặc một ball-condensing từ D vào D. Giả sử thêm rằng X là lồi chặt hoặc
T là không giãn ngặt. Với λ bất kỳ, 0 < λ < 1,có T
λ
≡ λT + (1 − λ)T .
Với mỗi x
0
∈ D, dãy {T
n
λ
(x
0
)}
n≥0

hội tụ mạnh đến điểm bất động của T
thuộc D.
Chứng minh. Chúng ta chứng minh hệ quả 2.3 cho trường hợp T là set-
condensing, từ đó trường hợp ball-condensing thì làm tương tự. Dễ thấy
rằng, T
λ
đáp ứng các điều kiện của định lý 1.3. Qua kết quả của [12, 20,
29], thì T là set-condensing, F (T ) = ∅. Do T là không giãn, (1.2) được
thỏa mãn. Nếu T là không giãn ngặt, thì (1.6) được thỏa mãn. Với trường
hợp X là lồi chặt, với x ∈ D − F (T ) và p ∈ F(T )
 λ(x − p) + (1 − λ)(T x − p) = T
λ
x − p  x − p  .
Bất đẳng thức chặt đúng, do X là lồi chặt, nên (1.6) đúng trong trường hợp
này. Do T là ánh xạ set-condensing, nên T
λ
cũng là set-condensing. Dễ ràng
thấy rằng x
0
∈ D, {T
n
λ
(x
0
)} chứa một dãy con hội tụ, tức là (1.7) đúng. Xét
tập C ≡ {T
n
λ
(x
0

)|n ≥ 0}. Nếu γ(C) > 0, cho T
λ
(C) = {T
n
λ
(x
0
)|n ≥ 1}.
Do đó T
λ
là nén, γ(T
λ
(C)) < λ(C). Nhưng C = T
λ
(C) ∪ {x
0
}, điều này
cho thấy
γ(C)  max{γ(T
λ
(C), γ({x
0
})} = γ(T
λ
(C)) < γ(C),
mâu thuẫn. Vì thế γ(C) = 0 và C là tiền compact. 
Nhận xét 2.2. Hệ quả 2.3 là một trường hợp đặc biệt của kết quả do
Edelstein [11] nhận được cho trường hợp T là ánh xạ compact từ D vào
D và X là lồi chặt.
Nhận xét 2.3. Ở trường hợp S : D → X là nén chặt (l < 1), C : D → X

là conpact, và T = S + C : D → D, thì hệ quả 2.3 được áp dụng cho ánh
xạ T = S + C , khi đó nó là k-set-contractive với k = l < 1 và do đó nó
là set-condensing.
15
Trước tiên, Chúng ta nêu hệ quả tiếp theo của Định lý 1.1, chúng ta
cần tổng quát qua Định lý 5 của Browder và Petryshyn [3].Ta phát biểu
và chứng minh của Bổ đề 2.1 dựa theo lý luận của [3].
Bổ đề 2.1. Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập con của X, và
T là ánh xạ từ D vào X sao cho F (T) = ∅ và T là tựa không giãn. Nếu tồn
tại x
0
thuộc D và λ thuộc (0,1) sao cho T
n
λ
(x
0
) được xác định và nằm trong
D với mỗi n ≥ 1 và T
λ
= λI + (1 − λ)T , khi đó T
n
λ
(x
0
) − T
n+1
λ
(x
0
) → 0

khi n → ∞, nghĩa là T
λ
là tiệm cận chính quy tại x
0
.
Chứng minh. Cho p là phần tử bất kì thuộc F (T ) và cho x
0
là một
phần tử thuộc D và λ là một số thuộc (0,1) sao cho x
n
= T
n
λ
(x
0
) ∈ D với
n ≥ 1. Chú ý rằng T
λ
cũng là tựa không dãn do F (T
λ
) = F (T ) = ∅ và với
mọi x thuộc D:
 T
λ
(x) − p = λx − λp + (1 − λ)(T x − p) 
 λ  x − p  +(1 − λ)  x − p 
= x − p 
bởi T là tựa không dãn. Do đó
 x
n+1

− p = T
λ
(x
n
) − p  x
n
− p  với mỗi n ≥ 1
và do  x
n
− p → d
0
với một số d
0
≥ 0. Nếu d
0
= 0, thì x
n
→ p khi
n → ∞ và ở trường hợp này x
n
− x
n+1
= T
n
λ
(x
0
) − T
n+1
λ

(x
0
) → 0 khi
n → ∞, nghĩa là, T
λ
là tiệm cận chính quy tại x
0
. Giả sử rằng d
0
> 0. Do
dó  x
n
− p → d
0
,  T
λ
(x
n
) − p  x
n
− p  với mỗi n, và
 T
λ
(x
n
) − p = x
n+1
− p → d
0
khi n → ∞, do X là lồi đều nên

 (x
n
− p) − (T
λ
x
n
− p) → 0
khi n → ∞, nghĩa là
 x
n
− T
λ
(x
n
) = T
n
λ
(x
0
) − T
n+1
λ
(x
0
) → 0
khi n → ∞.
Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ tổng quát kết quả của Schaefer [30].
16
Bổ đề 2.2. Cho X là không gian Banach lồi chặt và D là tập con lồi
đóng của X. Nếu T là ánh xạ liên tục từ D vào X sao cho F(T ) = ∅ và

(1.2)  T (x) − p  x − p  với x ∈ D − F và p ∈ F,
khi đó F(T ) là tập lồi.
Chứng minh. Cho x và y là hai điểm phân biệt của F(T ) và với t ∈
(0, 1), định nghĩa z
t
= tx + (1 − t)y. Do D là lồi, z
t
∈ D với mỗi t thuộc
(0,1). Giả thiết, trái với khẳng định của ta, tức z
t
/∈ F (T) với t ∈ (0, 1),
thì z
t
∈ D − F . Do đó từ (1.2) có
 x − y  x − T (z
t
)  +  T(z
t
) − y  x − z
t
 +  z
t
− y 
= x − y  .
Do X là lồi chặt, cho nên
x − T (z
t
) = a(T (z
t
) − y), a > 0

Nhưng điều này có nghĩa là
T (z
t
) =
1
1 + a
x +
a
1 + a
y,
tức là T (z
t
) nằm trên đường thẳng xác định với x và y. Mặt khác, 
T (z
t
) − x  z
t
− x  và  T (z
t
) − y  z
t
− y . Vì vậy T (z
t
) phải trùng
với z
t
và Bổ đề 2.2 được chứng minh.
Kết của tiếp theo của chúng tôi là định lý mới về ánh xạ 1-set-contractive
và 1-ball-contractive.
2.5. Định lý 2.1. Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập con mở,

bị chặn của X, và Cho T là ánh xạ 1-set-contractive hoặc 1-ball-contractive
từ D vào X sao cho
(2.4) Tồn tại y thuộc D sao cho T x−y = λ(x−y) với tất cả x thuộc
∂D và λ > 1.
(2.5) T là tựa không giãn có điều kiện.
(2.6) Tồn tại x
0
∈ D và λ ∈ (0, 1) sao cho x
n
= T
n
λ
(x
0
) là xác định
và nằm trong D với mỗi n ≥ 1
(2.7) T là tiền conpact tại 0 hoặc I − T là ánh xạ từ tập đóng D và
tập đóng X.
Khi đó dãy{x
n
} hội tu mạnh đến một điểm bất động của T trong D
Chứng minh. Để chứng minh Định 2.1, Ta thấy rằng ánh xạ T
λ
đáp ứng
điều kiện (1.1) - (1.5) của Định lý 1.2.
17
Do T : D → X là 1-set-contractive hoặc 1-ball-contractive và do T đáp
ứng điều kiện (2.4) và (2.7), Định lý điểm bất động của Petryshyn [27] nói
rằng F(T ) = ∅, do đó F (T
λ

) = F(T ) = ∅, nên điều kiện (1.1) của Định
lý 1.2 đúng. Do T (và do T
λ
) là điều kiện tựa không giãn, nó theo (1.2)
cũng đúng. Điều kiện (1.3) là đúng bởi giả định, trong khi (1.4) dựa theo
Bổ đề 2.1. Chứng minh (1.5) cũng đúng dựa theo một trong các giả thiết
(2.7), cũng giống như chứng minh của Hệ quả 2.1.
Nhận xét 2.4. Nếu D trong Hệ quả 2.1 và 2.3 là bao đóng của một tập
con mở, lồi, bị chặn thuộc X, thì rễ ràng thấy Hệ quả 2.1 và 2.3 là trường
hợp đặc biệt của Định lý 2.1.
18
Chương 3. Sự hội tụ yếu của phép
lặp và ánh xạ tựa không giãn
Trong phần 2 (Nhận xét 2.1), T là ánh xạ không giãn từ quả cầu đơn
vị B(0,1)trong không gian Hilberl X vào B(0,1) , dãy lặp {x
n
} thu được
bằng phương pháp
x
n
= λx
n−1
+ (1 − λ)T (x
n−1
) n = 1, 2, , x
0
∈ D, λ ∈ (0, 1) (3.0a)
không nhất thiết hội tụ (mạnh) đến điểm bất động của T . Tuy nhiên, Định
lý 1.1 chỉ ra rằng {x
n

} hội tụ đến một điểm bất động của T khi và chỉ khi
điều kiện bổ xung (3.0b) sau là đúng:
d(x
n
, F (T )) → 0 với n → ∞ (3.0b)
Ở phần 1 đến phần 2, chúng tôi nghiên cứu phép lặp của các lớp ánh xạ
không giãn và tựa không giãn khác nhau khi điều kiện (3.0b) là đúng.
Khái quát kết quả chính của Browder và Petryshyn [3], Schaefer [30],
Opial [22] chỉ ra rằng, với không gian Banach lồi đều (bao gồm cả không
gian Hilbert và không gian l
p
với 1 < p < ∞) dãy {x
n
} xác định bởi (3.0a)
hội tụ yếu đến điểm bất động của T cả khi miền D lồi đóng. Các kết quả
trong [40, 8, 29], ta nhận được cho ánh xạ tựa không giãn T của D vào D
mà I − T là nửa đóng (xem định nghĩa bên dưới).
Mục đích của phần này là để thống nhất và mở rộng hơn nữa các kết
quả của [30, 3, 22] cũng như của [10, 1] cho các lớp khác nhau của ánh xạ
tựa không dãn T : D → X mà I − T đáp ứng điều kiện (xem điều kiện
3.3 trong Định lý 3.1 dưới đây) là yếu hơn so với điều kiện nửa đóng và
cho không gian Banach là tổng quát hơn so với được sử dụng trong [3, 22,
10].
3.1. Định lý 3.1. Cho X là không gian Banach, D là tập con lồi, đóng
của X và T là ánh xạ từ D vào X sao cho
19
(3.1) Tồn tại x
0
thuộc D sao cho x
n

= T
n
(x
0
) ∈ D với n ≥ 1 và {x
n
}
là conpact dãy yếu.
(3.2) T là tiệm cận chính quy tại x
0
.
(3.3) Nếu {x
n
j
} là dãy con bất kì của {x
n
} sao cho x
n
j
→ x ∈ D và
(I − T )(x
n
j
) → 0 với j → ∞, thì x − T (x) = 0.
Khi đó T có điểm bất động thuộc D, thu được như một giới hạn (yếu)
của dãy con hội tụ yếu {x
n
}; hơn thế nữa, mỗi một dãy con hội tụ yếu
{x
n

} có giới hạn như là điểm bất động của T. Nếu bổ sung, chúng ta giả
thiết T có nhiều nhất một điểm bất động, thì {x
n
} là hội tụ yếu và giới
hạn yếu là điểm bất động duy nhất của T.
Chứng minh Do {x
n
} ⊂ D là conpact dãy yếu và D là đóng yếu do D là
lồi, đóng. Khi đó, tồn tại một dãy con {x
n
j
} và x thuộc D sao cho x
n
j
 x
với j → ∞. Và do T là chính quy tiệm cận tại x
0
, x
n
j
− T (x
n
j
) → 0 với
j → ∞. Từ điều này và điều kiện (3.3), cho ta x − T (x) → 0, tức là
F (T ) = ∅.
Bây giờ, nếu {x
n
k
} là dãy con bất kì hội tụ yếu của {x

n
} với

x là giới
hạn yếu của nó, khi đó

x ∈ D, thêm vào đó, từ điều kiện (3.2) và (3.3)
suy ra

x ∈ F (T ).
Nếu T có nhiều nhất một điểm bất động, thì theo kết quả trước, T có
duy nhất một điểm bất động,

x ∈ D. Nhưng x
n
 x với n → ∞, được
chứng mình ở phần trước, cho nên mọi dãy con hội tụ yếu của {x
n
} phải
có giới hạn (yếu)

x của nó. 
Hệ quả sau đây, được suy ra trực tiếp từ Định lý 3.1.
3.2. Hệ quả 3.1. Cho X là không gian Banach, D là tập con lồi và
conpact yếu của X, và T là ánh xạ từ D vào D sao cho điều kiện (3.2) và
(3.3) của định Định lý 3.1 nghiệm đúng với x
0
nào đó thuộc D. Khi đó T
có điểm cố định thuộc D, và mọi dãy con hội tụ yếu {T
n

(x
0
)} có giới hạn
như là điểm bất động của nó.
Một trường hợp đặc biệt của Hệ quả 3.1 là hệ quả sau đây do Belluce
và Kirk [1] đã chứng minh nó trong điều kiện bổ sung mà T là không giãn.
3.3. Hệ quả 3.2. Cho X là không gian Banach và D là tập con lồi và
conpact yếu của X. Cho T ánh xạ liên tục từ D vào chính nó sao cho T là
20
chính quy tiệm cận trên D và V = I − T là lồi trên D, nghĩa là








V

x + y
2











1
2
{ V (x)  +  V (y) } với mọi x, y ∈ D (3.4)
Khi đó kết luận của Hệ quả 3.1 đúng.
Chứng minh. Tính đúng đắn của Hệ quả 3.2 được suy ra từ Hệ quả 3.1
và bổ đề sau.
Bổ đề 3.1 Cho D là tập con lồi, đóng của không gian Banach X và T
là ánh xạ liên tục từ D vào X sao cho V = I − T là lồi trên D. Nếu x
0
là
một phần tử thuộc D sao cho T
n
(x
0
) ∈ D với mỗi n ≥ 1, thì T thỏa mãn
điều kiện (3.3).
Chứng minh Xem xét phiến hàm F (x) = x − T x  với x ∈ D.Từ (3.4)
ta có








F


x + y
2










1
2
{ V (x)  +  V (y)  với mọi x và y thuộc D
nghĩa là F là lồi yếu trên D. Do F cũng là liên tục, nên dễ ràng thấy F
cũng là lồi mạnh trên D
F (tx+(1−t)y)  tF (x)+(1−t)F (y) với mọi x,y thuộc D và t ∈ (0, 1)
Do đó, F là nửa liên tục dưới yếu trên D. Giả sử {x
n
j
} là dãy con của
{x
n
} = {T
n
(x
0
)} sao cho x
n

j


x với

x nào đó thuộc D và (I −T)(x
n
j
) →
0 khi j → ∞. Từ này và từ tínhnửa liên tục dưới yếu của F , ta thấy
0  F (

x)  lim
j
inf F (x
n
j
) = lim
j
 x
n
j
− T(x
n
j
) = 0
do đó (3.3) được thỏa mãn.
Nhận xét 3.0. Từ chứng minh của Bổ đề 3.1, ta thấy kết luận của Hệ
quả 3.2 vẫn đúng khi giả thiết I − T là lồi trên D, được thay thế bằng giả
thiết yếu hơn, cụ thể, T sao cho phiến hàm F(x) = x − Tx  là nửa liên

tục dưới yếu trên D.
Nếu chúng ta chỉ quan tâm đến vấn đề tìm một dãy lặp {x
n
} =
{T
n
(x
0
)} ⊆ D là hội tụ yếu hoặc ít nhất, mọi dãy con hội tụ yếu của
21
{T
n
(x
0
)} có giới hạn như là điểm bất động của nó, thay vì giả thiết {x
n
}
là compact yếu, ta có thể giả thiết F(T ) = ∅. Kết quả đầu tiên trong vấn
đề này là kết quả tổng quát của Browder và Petryshyn [3].
3.4. Định lý 3.2. Cho X là không gian Banach phản xạ, D là tập con
lồi, đóng của X, và T là ánh xạ liên tục từ D vào X sao cho
(3.5) F(T ) = ∅.
(3.6) T là tựa không dãn.
(3.7) Tồn tại x
0
thuộc D sao cho x
n
= T
n
(x

0
) ∈ D với n ≥ 1.
Nếu T thỏa mãn điều kiện (3.2) và (3.3) của Định lý 3.1, thì {x
n
} chứa
một dãy con hội tụ yếu với giới hạn thuộc F(T), hơn thế nữa, mọi dãy con
hội tụ yếu của {x
n
} có một điểm giới hạn thuộc F(T). Giả sử rằng F(T)
chứa một điểm duy nhất, gọi là p, thì x
n
 p chỉ sự hội tụ yếu với n → ∞.
Chứng minh. Do T là tựa không giãn trên D và F(T ) = ∅ , với p bất
kì cố định và n bất kì, ta có quan hệ
 x
n
− p = T (x
n−1
) − p  x
n−1
− p  .
điều đó có nghĩa là {x
n
} là dãy bị chặn nằm trên D (theo (3.7)) và là dãy
compact yếu bởi vì X là phản xạ. Do dó, theo giả thiết, T cũng thỏa mãn
điều kiện (3.2) và (3.3), kết luận của Định lý 3.2 được suy ra từ Định lý 3.1.

Nhắc lại rằng, một ánh xạ V : D → X được gọi là nửa compact nếu
{x
n

} là dãy bất kì thuộc D sao cho x
n
 x thuộc D và V (x
n
) → f thuộc
X, thì V (x) = f. Chú ý rằng, với D đóng và lồi, mọi ánh xạ liên tục yếu
từ D vào chính nó là đóng yếu, và mọi ánh xạ đóng yếu vào chính nó là
nửa đóng.
Nhận xét 3.1. Từ giả thiết I − T là nửa đóng trên D, nghĩa là điều
kiện (3.3) đúng và mọi ánh xạ không giãn là tựa không giãn, Định lý 3.2
bao hàm Định lý 3 của Browder và Petryshyn [3] cho trường hợp khi X
là phản xạ. Định lý 3.2 cũng liên quan đến Định lý 6 [10]. Ta thêm Bổ đề
3.1 để thấy rằng ánh xạ (ví dụ ánh xạ lồi) cho trường hợp (3.3) là đúng
nhưng I − T không nhất thiết phải nửa đóng.
Nếu ta giả sử X là lồi đều và nếu thay vì xét lặp { T
n
x} ta xét lặp {
T
n
λ
(x) } với λ bất kì thuộc (0,1), thì ta có thể bỏ đi các giả thiết về tính
tiệm cận.
22
3.5. Định lý 3.3. Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập con
lồi, đóng của X và T là ánh xạ liên tục từ D vào X sao cho (3.5) và (3.6)
của Định lý 3.2 đúng. Giả sử tồn tại x
0
thuộc D sao cho T
n
λ

(x
0
) ∈ D với
mỗi n ≥ 1. Nếu T
λ
thỏa mãn điều kiện (3.3) của Định lý 3.1, thì kết luận
của Định lý 3.2 đúng.
Chứng minh Ta cần chỉ ra rằng T
λ
thỏa mãn điều kiện của Định lý 3.2,
với mỗi λ cố định thuộc (0, 1). Trong phần 2, (3.5) và (3.6) vẫn đúng cho
T
λ
. Hơn nữa, dưới điều kiện hiện tại trên X và T , Bổ đề 2.1 chỉ ra rằng T
λ
là
chính quy tiệm cận tại x
0
, tức là (3.2) đúng. Do đó, kết luận của của Định lý
3.3 được suy ra từ Định lý 3.2. 
3.6. Hệ quả 3.3 Cho D là tập con lồi, đóng, bị chặn của một không
gian Banach lồi đều. Nếu T là ánh xạ liên tục từ D vào chính nó sao cho
(3.5) và (3.6) của Định lý 3.2 đúng và I − T là lồi trên D, với mỗi x thuộc
D và λ thuộc (0, 1) thì dãy lặp {x
n
} ⊂ D xác định bởi x
n
= T
n
λ

(x), với
mỗi n sao cho {x
n
} chứa dãy con hội tụ yếu với giới hạn thuộc F(T ), hơn
thế nữa, mỗi dãy con hội tụ yếu của {x
n
} có điểm giới hạn thuộc F(T).
Ta giả sử F (T ) chỉ chứa một điểm, gọi là p, thì x
n
 p khi n → ∞
Chứng minh. Để chứng minh Hệ quả 3.3, ta cần chỉ ra rằng, với mỗi λ cố
định thuộc (0, 1), ánh xạ T
λ
thỏa mãn điều kiện của Định lý 3.3. Do D là
lồi và T : D → D là tựa không giãn, thì T
λ
: D → D, F (T
λ
) = F (T) = ∅
và T
λ
cũng là tựa không giãn. Hơn nữa, Bổ đề 2.1 chỉ ra rằng T
λ
là chính
quy tiệm cận trên D. Mặt khác, V
λ
= I − T
λ
cũng là lồi, do đó cho λ bất
kì thuộc (0, 1) và x, y thuộc D, dễ ràng thấy









V
λ

x + y
2









=









(1 − λ)

x + y
2

− T

x + y
2










1
2
(1 − λ){ x − T(x)  +  y − T (y) }
=
1
2
{ x − T
λ
(x)  +  y − T
λ

(y) }
Do đó, theo Bổ đề 3.1, T
λ
thỏa mãn điều kiện (3.3) với mỗi λ cố định
thuộc (0, 1). Vì vậy, T
λ
thỏa mãn tất cả điều kiện của Định lý 3.3, cho nên
các kết luận trên được áp dụng. 
23