Thuyết trình sự hội tụ manh và yếu của phép lặp

Trường đại học Bách Khoa Hà Nội
Viện Toán ứng dụng & Tin học
Sự hội tụ mạnh và yếu của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn
Giáo viên hướng dẫn : TS. TRẦN QUỐC BÌNH
Sinh viên thực hiện : NGUYỄN VĂN CƯỜNG
Lớp : Toán tin 1 – K54
Mục lục
•
Chương 1. Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.
•
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn.
•
Chương 3. Sự hộ tụ yếu của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.
Chương 1. Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không
giãn.
Định lý 1.1. Cho D là tập con đóng của không gian Banach X và T là ánh xạ liên tục từ D
vào X sao cho
(1.1)
(1.2) Với mỗi và mọi
(1.3) Tồn tại
với
Khi đó { } hội tụ đến điểm bất động của T thuộc D khi và chỉ khi
Chương 1. Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.
Chương 1. Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.
Định nghĩa 1.1. Gọi T là ánh xạ từ vào D.
- T được gọi là chính quy tiệm cận tại nếu

- T được gọi là chính quy tiệm cận trên D nếu với mọi ta có
Chương 1. Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.
Định nghĩa. Ta gọi ánh xạ là tựa không giãn có điều kiện nếu T là tựa không
giãn khi

Chương 1. Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.
Định lý 1.2. Cho D là tập con đóng trong không gian Banach X, và T là ánh xạ liên tục từ D vào
X. Giả sử
(1.1)
(1.2) T là tựa không giãn.
(1.3) Tồn tại thuộc D sao cho
với mọi . .
(1.4) T là chính quy tiệm cận tại .
(1.5) Nếu và
với thì
Khi đó
hội tụ đến một điểm bất động của T thuộc D.
Chương 1. Sự hộ tụ mạnh của phép lặp và ánh xạ tựa không giãn.
Định lý 1.4. Cho D là tập con đóng của không gian Banach X. T là ánh xạ tựa không
giãn có điều kiện từ D vào X. Giả sử
với nào đó thuộc D. Khi đó dãy
hội tụ mạnh đến điểm bất động của T thuộc D khi và chỉ khi
(1.4) T là chính quy tiệm cận tại
(1.10) Tồn tại một tập compact K sao cho
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa
không giãn.
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Định nghĩa: Nửa compact
Ánh xạ T từ vào X là nửa compact tại f nếu mọi dãy bị chặn thuộc D sao
cho với
thì , khi đó tồn tại một dãy con và x thuộc D sao cho
khi
và
là nửa compact trên D nếu T là nửa compact với mỗi f như trên.
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn

Định nghĩa: Không giãn ngặt
được gọi là không giãn ngặt nếu
với x và y thuộc G.
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Hệ quả 2.1. Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập lồi, đóng, bị chặn thuộc X
và T là ánh xạ không giãn từ D vào D sao cho T thỏa mãn một trong hai điều kiện
sau:
(2.1) Ánh xạ (I - T) biến tập đóng thuộc D vào tập đóng thuộc X.
(2.2) T là nửa compact tại 0.
Với bất kì, , ta định nghĩa
Và với mọi thì phép lặp , hội tụ mạnh tới
điểm bất động của T thuộc D.
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Định nghĩa 2.1.
- Độ do không compact Kuratorskii được xác định là có thể được
phủ bởi một số hữu hạn các tập mà đường kính nhỏ hơn hoặc bằng d }.
- Độ đo không compact Hausdorff được xác định là được
phủ với một số hữu hạn các hình cầu có tâm thuộc X và bán kính r.}
- Tương ứng với ta có ánh xạ k-ball-contraction, k-set-contraction, ball-condensing,
set-condensing.
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Hệ quả 2.3. Cho X là không gian Banach và D là tập con lồi, đóng, bị chặn của X.
Gọi T là ánh xạ không giãn của một set-condensing hoặc một ball-condensing từ D
vào D. Giả sử thêm rằng X là lồi chặt hoặc T là không giãn ngặt. Với bất kì,
, ta có . Với mỗi , dãy hội tụ mạnh
đến điểm bất động của T thuộc D.
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Bổ đề 2.1. Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập con của X, và T là ánh xạ từ
D vào X sao cho và T là tựa không giãn. Nếu tồn tại x
0

thuộc D và thuộc
(0,1) sao cho được xác định và nằm trong D với mỗi và
, khi đó
nghĩa là là chính quy tiệm cận tại .
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Định lý 2.1. Cho X là không gian Banach lồi đều, D là tập con mở, bị chặn của X, và Cho T là ánh
xạ 1-set-contractive hoặc 1-ball-contractive từ D vào X sao cho
(2.4) Tồn tại y thuộc D sao cho với tất cả x thuộc D và .
(2.5) T là tựa không giãn có điều kiện.
(2.6) Tồn tại và sao
là xác định và nằm trong D với mỗi
.
(2.7) T là &ền conpact tại 0 hoặc là ánh xạ từ tập đóng
vào tập đóng X.

Khi đó dãy hội tu mạnh đến một điểm bất động của T trong D.
Chương 3. Sự hộ tụ yếu của phép lặp và ánh xạ tựa không
giãn.
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Định lý 3.1. Cho X là không gian Banach, D là tập con lồi, đóng của X và T là ánh xạ từ D vào X
sao cho
(3.1) Tồn tại thuộc D sao cho với và là conpact dãy yếu.
(3.2) T là tiệm cận chính quy tại .
(3.3) Nếu là dãy con bất kì của sao cho và
với , thì .

Khi đó T có điểm bất động thuộc D, thu được như một giới hạn (yếu) của dãy con hội tụ yếu
, hơn thế nữa, mỗi một dãy con hội tụ yếu có giới hạn như là điểm bất động của T. Nếu
bổ sung, chúng ta giả thiết T có nhiều nhất một điểm bất động, thì là hội tụ yếu và giới hạn
yếu là điểm bất động duy nhất của T.

Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Định lý 3.2. Cho X là không gian Banach phản xạ, D là tập con lồi, đóng của X, và T là ánh xạ
liên tục từ D vào X sao cho
(3.5)
(3.6) T là tựa không giãn.
(3.7) Tồn tại thuộc D sao cho với
Nếu T thỏa mãn điều kiện (3.2) và (3.3) của Định lý 3.1, thì chứa một dãy con hội tụ yếu
với giới hạn thuộc F(T), hơn thế nữa, mọi dãy con hội tụ yếu của có một điểm giới hạn thuộc
F(T). Giả sử rằng F(T) chứa một điểm duy nhất, gọi là p, thì chỉ sự hội tụ yếu với
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
Định lý 3.4.
Cho X là không gian Banach lồi chặt và phản xạ, D là tập con lồi, đóng của X, và T là ánh
xạ liên tục từ D và X sao cho
(3.5)
(3.6) T là tựa không giãn.
(3.7) Tồn tại thuộc D sao cho với
(3.2) T là tiệm cận chính quy tại .
(3.3) Nếu là dãy con bất kì của sao cho và
với , thì .
Chương 2. Ánh xạ nén và tựa không giãn
.
(3.8) Không gian X có tính chất Opial. Nếu
là dãy bất kỳ thuộc X mà hội tụ yếu đến

thuộc X thì

với mọi .

Khi đó dãy hội tụ yếu đến điểm bất động của T thuộc D.
Xin chân thành cảm ơn