Sự hội tụ hay phân kỳ của chùm laze

Nguyễn Thế Bình, Khoa Vật Lý, ĐHKHTN Hà Nội
Bài toán: Sự hội tụ và phân kỳ của một chùm tia laze.
(đề thi học sinh giỏi Vật Lý quốc tế-phần Quang học)
Trong bài toán này ta sử dụng tọa độ trụ (r,,z) với trục Oz là trục của chùm laze cho
mọi trờng hợp .
1. Mô hình thô sơ nhất của một chùm laze là một sóng phẳng mà biên độ phức của
nó có dạng:
o
_
oo
_
Wr khi 0a
Wr khi )/zj2exp(Aa
=
=
W
o
=1mm là bán kính của chùm laze khảo sát có bớc sóng = 690nm.
1.a- Vẽ các tia sáng của chùm tia laze tới và truyền qua một thấu kính hội tụ mỏng
tiêu cự f =1m, bán kính đờng biên b = 5cm, có quang trục trùng với trục chùm tia
laze.
1.b- Trong thực tế ngời ta quan sát thấy trên mặt phẳng tiêu của thấu kính một vết có
tâm ở tiêu điểm ảnh F với bán kính vết 0,2mm. Hãy giải thích hiện tợng này.
2. Điều quan sát thấy trong 1.b dẫn đến phải thừa nhận một mô hình bổ xung: Chùm
tia laze là một chùm Gauss với biên độ phức có dạng:
z
z
z)z(R;
z
z
1W)z(W;

W
z
)
)z(R
rjzj2
exp()
)z(W
r
exp(
)z(W
W
Aa
2
o
2
o
2
o
2
o
o
2
2
2
o
o
_
+=+=

=





=
Với W
o
và là các giá trị đã cho ở câu 1.
2.a- Hãy tìm biểu thức công suất ánh sáng đi qua mặt phẳng đặt vuông góc với chùm
tia tại vị trí z . Cho nhận xét về kết quả này.
2.b- Hãy lợc vẽ đờng cong mô tả độ rọi I theo r ở vị trí z xác định và chỉ ra rằng từ
đây về sau ta có thể xem W(z) là bán kính vết của chùm laze. Để ý đờng tiệm cận của
W(z) và chỉ ra rằng chùm tia laze nh thể đợc tạo bởi các tia sáng làm với trục Oz một
góc nhỏ hơn hoặc bằng
oM
W/ =
. Từ đó giải thích việc tạo thành vết có bán kính
trong câu 1b.
3. Nửa không gian z 0 là một miền không đồng nhất với chiết suất có dạng:
0a ; 0n;
a
r
1n)M(n
o
2
2
o
>>=

Một tia sáng của chùm laze trên đến môi trờng này tại điểm M(r
o
,0,0) trong mặt
phẳng = 0 làm với trục Oz một góc nhỏ
o
với
o

M
và r
o
W
o
. Các tính toán
đợc giới hạn trong gần đúng bậc nhất đối với r
o
/a và
o
.
Nguyễn Thế Bình, Khoa Vật Lý, ĐHKHTN Hà Nội
3.a- Chia môi trờng này thành các vành hình trụ vô cùng nhỏ, hãy chứng minh rằng
tia sáng luôn nằm trong mặt phẳng = 0 và góc giữa tia sáng với Oz tuân theo hệ
thức : n(r) cos (r) = hằng số
3.b- Hãy suy ra rằng phơng trình r(z) của tia sáng là nghiệm của phơng trình vi phân:
0
a
r
zd
rd
22

2
=+
. Từ đó xác định r(z) theo r
o
, a,
o
và z.
3.c- Xác định giá trị z
F
của điểm F trên quang trục gần với điểm O nhất nơi các tia
sáng song song với Oz sẽ hội tụ. Xác định bán kính của vết quan sát thấy trên mặt
phẳng F. Đánh giá tiêu cự của thấu kính mỏng tơng đơng theo a. So sánh hiệu quả của
sự hội tụ với trờng hợp một thấu kính mỏng.
4. Trong câu hỏi này, nửa không gian z 0 là một môi trờng phi tuyến trong đó chiết
suất phụ thuộc vào độ rọi I ( hiệu ứng Kerr): n = + I với > 0 và > 0
Biết rằng
o
2
o
WW; A
<<
hãy chỉ ra rằng môi trờng này có thể làm hội tụ ánh
sáng , gần đúng với tình huống trong câu 3 và đánh giá tiêu cự của thấu kính mỏng t-
ơng đơng theo W
o
, và A
o
. Ưu điểm của thiết bị này so với thấu kính mỏng là gì?
5. Về phơng diện thực nghiệm ta nhận thấy rằng một chùm laze mạnh khi truyền
trong không khí bị phân kì nhiều hơn so với dự đoán theo mô hình chùm Gauss

trong câu hỏi 2. Hãy giải thích định tính hiện tợng này biết rằng chiết suất n của
một chất khí loãng thỏa mãn ( n-1) tỷ lệ với khối lợng riêng của không khí ( định
luật Gladstone).
Câu hỏi 1:
Mô hình thô sơ nhất của một chùm laze là một sóng phẳng mà biên độ phức của nó
có dạng:
o
_
oo
_
Wr khi 0a
Wr khi )/zj2exp(Aa
=
=
W
o
=1mm là bán kính của chùm laze khảo sát có bớc sóng = 690nm.
1.a- Vẽ các tia sáng của chùm tia laze tới và truyền qua một thấu kính hội tụ mỏng
tiêu cự f =1m, bán kính đờng biên b = 5cm, có quang trục trùng với trục chùm tia
laze.
1.b- Trong thực tế ngời ta quan sát thấy trên mặt phẳng tiêu của thấu kính một vết có
tâm ở tiêu điểm ảnh F với bán kính vết 0,2mm. Hãy giải thích hiện tợng này.
Bài giải:
1a. Do giả thiết sóng phẳng nên mặt sóng là các mặt phẳng z = const và các tia sáng
đợc biểu diễn bằng các đờng thẳng song song với Oz trong một hình trụ bán kính W
o
.
Sau khi truyền qua thấu kính hội tụ mỏng sẽ hội tụ tại tiêu điểm ảnh F
1b. Do W
o

=1mm << b =5cm << f =1m các tia sáng của chùm laze song song và rất
gần trục Oz hiện tợng tạo vết có bán kính 0,2mm tại F không thể là do quang
Nguyễn Thế Bình, Khoa Vật Lý, ĐHKHTN Hà Nội
sai. Nh vậy chùm sáng thực tế không phải là song song. Ta dễ dàng đánh giá độ lớn
của góc phân kì .
110.2
f
4
<<=

<

Câuhỏi 2
Điều quan sát thấy trong 1.b dẫn đến phải thừa nhận một mô hình bổ xung:
Chùm tia laze là một chùm Gauss với biên độ phức có dạng:
z
z
z)z(R;
z
z
1W)z(W;
W
z
)
)z(R
rjzj2
exp()
)z(W
r
exp(

)z(W
W
Aa
2
o
2
o
2
o
2
o
o
2
2
2
o
o
_
+=+=


=





=
Với W
o

và là các giá trị đã cho ở câu 1.
2.a- Hãy tìm biểu thức công suất ánh sáng đi qua mặt phẳng đặt vuông góc với chùm
tia tại vị trí z . Cho nhận xét về kết quả này.
2.b- Hãy lợc vẽ đờng cong mô tả độ rọi I theo r ở vị trí z xác định và chỉ ra rằng từ
đây về sau ta có thể xem W(z) là bán kính vết của chùm laze. Để ý đờng tiệm cận của
W(z) và chỉ ra rằng chùm tia laze nh thể đợc tạo bởi các tia sáng làm với trục Oz một
góc nhỏ hơn hoặc bằng
oM
W/ =
. Từ đó giải thích việc tạo thành vết có bán kính
trong câu 1b.
Bài giải:
2.a Độ rọi I =








=
)z(W
r2
exp
)z(W
W
Aa
2
2

2
2
o
2
o
2
_
theo định nghĩa là
công suất nhận đợc bởi một đơn vị diện tích bề mặt. Từ đó ta có thể tính công suất
ánh sáng truyền qua mặt phẳng z nh sau:










=

=
=
=
=
=
d.dr.r.
)z(W
r2

exp
)z(W
W.A
dS .IP
r
0r
2
0
2
2
2
2
o
2
o
Tích phân theo bằng 2. Đổi biến số trong tích phân theo r còn lại :
F
W
o

f
Nguyễn Thế Bình, Khoa Vật Lý, ĐHKHTN Hà Nội
Đặt
)z(W
4rdr
du
)z(W
r2
u
22

2
=>=
Ta có :
2
W.A
du)uexp(
4
W.A2
dr.r
)z(W
r2
exp
)z(W
W.A
2P
2
o
2
o
u
0u
2
o
2
o
r
0r
2
2
2

2
o
2
o

=



=









=
=
=
=
=
Nhận xét: Công suất P không phụ thuộc vào z. Biểu thức biên độ phức a đảm bảo sự
bảo toàn công suất chùm sáng.
2.b Biếu diễn độ rọi I theo r trên đồ thị (I,r) ta đợc một đờng cong dạng Gauss.

=
)z(W
r2
exp
)z(W
W
AI
2
2
2
2
o
2
o
Tại r =W(z) ta có:
I / I
o
= exp(-2) = 1/e
2
=0,135
Vì vậy W(z) đợc xem là bán kính tiết diện ngang
của chùm tia.
Theo biểu thức của W(z),với z >> z
0
ta có:

0
0
2
0
2
0
2
0
2
0
z
z
W
z
z
W
z
z
1W)z(W
=+=
Khi đó bán kính W(z) tăng tuyến tính theo z sao cho chùm laze
gần đúng đợc giới hạn trong một hình côn với 1/2 góc ở đỉnh là:
rad10.2,2
Wz
W
z
)z(W
4
00
0

M

=


===
Điều này phù hợp với quan sát thực nghiệm nói trên.
Các tia sáng nghiêng góc tới thấu kính sẽ họi tụ trên tiêu điểm phụ , dẫn đến một vết
trên tiêu diện với bán kính:
mm22,0
W
.f
.f
0
M
=


==
( tơng ứng với 1b)
Câu hỏi 3:
Nửa không gian z 0 là một miền không đồng nhất với chiết suất có dạng:
0a ; 0n;
a
r
1n)M(n
o
2
2
o

>>=
Một tia sáng của chùm laze trên đến môi trờng này tại điểm M(r
o
,0,0) trong mặt
phẳng = 0 làm với trục Oz một góc nhỏ
o
với
o

M
và r
o
W
o
. Các tính toán
đợc giới hạn trong gần đúng bậc nhất đối với r
o
/a và
o
.
3.a- Chia môi trờng này thành các vành hình trụ vô cùng nhỏ, hãy chứng minh rằng
tia sáng luôn nằm trong mặt phẳng = 0 và góc giữa tia sáng với Oz tuân theo hệ
thức : n(r) cos (r) = hằng số
W(z) r
I(r)
I
o
Nguyễn Thế Bình, Khoa Vật Lý, ĐHKHTN Hà Nội
3.b- Hãy suy ra rằng phơng trình r(z) của tia sáng là nghiệm của phơng trình vi phân:
0

a
r
zd
rd
22
2
=+
. Từ đó xác định r(z) theo r
o
, a,
o
và z.
3.c- Xác định giá trị z
F
của điểm F trên quang trục gần với điểm O nhất nơi các tia
sáng song song với Oz sẽ hội tụ. Xác định bán kính của vết quan sát thấy trên mặt
phẳng F. Đánh giá tiêu cự của thấu kính mỏng tơng đơng theo a. So sánh hiệu quả của
sự hội tụ với trờng hợp một thấu kính mỏng.
Bài giải:
3.a Các mặt chiết suất n không đổi là các mặt trụ trục Oz.
Chia cắt môi trờng thành các hình trụ đồng trục và xem rằng chiết suất giữa hai mặt
trụ liên tiếp là đồng nhất.
Một tia sáng ban đầu nằm trong mặt phẳng =0 chứa pháp tuyến u - chính là mặt
phẳng tới.
Theo định luật khúc xạ, tia khúc xạ cũng nằm trong mặt phẳng = 0.
Xét 2 lớp môi trờng mỏng ứng với chiết suất n (r) và n(r') góc tới mặt phân cách là
= /2 - ( là góc nghiêng của tia sáng với Oz).
Theo định luật khúc xạ: n(r) sin (r) = n(r') sin (r')
Từ điều kiện ban đầu suy ra: n(r) cos (r) = n(r') cos (r')= n
0

cos
0
.=const.
3.b Lân cận một điểm M, xét đoạn MM' = dr u
r
+dz u
z
theo phơng tiếp tuyến với tia
sáng nghiêng góc với Oz tại M
Từ hình vẽ ta có:
1cos do
)
a
r
1(
)
a
r
1(
cos
1
cosn
n
cosn
n
cos
1
tg1
dz
dr

1
tg
dz
dr
0
2
2
2
2
2
0
2
0
22
0
2
22
2
2
2
2




=

=

=

=
+=






+
=
Lấy đạo hàm ta đợc:
n(r)
n(r')
r
z
(r')
(r)
M
đr
r
M'
z
dz

Nguyễn Thế Bình, Khoa Vật Lý, ĐHKHTN Hà Nội
)a/zsin(B)a/zcos(A)z(r
0
a
r

dz
rd

dz
dr
a
r
2
dz
rd
dz
dr
2
22
2
22
2
+=
=+>=
Từ điều kiện ban đầu:
sin(z/a)a)a/zcos(rr(z) aB ; rA
tg
a
B
)0z(
dz
dr
; A)0z(rr
0000
000

+=>==
======
3.c Các tia sáng ứng với
0
= 0 có r(z) = r
0
cos (z/a) sẽ lần đầu tiên hội tụ tại F trên
trục đối xứng khi r ( z = z
F
) = 0. Từ đó suy ra : z
F
= a/2.
Những tia có
0
0 sẽ cắt mặt phẳng z= ở vị trí:

a Do
a)2/sin(.a.)2/cos(rr
MM0
000
=>
=+=
Vậy thiết bị có tiêu cự f = z
F
= a/2.và vết hội tụ có bán kính:


==
f2
a

M
M
Thiết bị làm giảm đợc bán kính vết hội tụ so với thấu kính 1- 2/ =30%.
Câu hỏi 4.
Trong câu hỏi này, nửa không gian z 0 là một môi trờng phi tuyến trong đó chiết
suất phụ thuộc vào độ rọi I ( hiệu ứng Kerr): n = + I với > 0 và > 0
Biết rằng
o
2
o
WW; A
<<
hãy chỉ ra rằng môi trờng này có thể làm hội tụ ánh
sáng , gần đúng với tình huống trong câu 3 và đánh giá tiêu cự của thấu kính mỏng t-
ơng đơng theo W
o
, và A
o
. Ưu điểm của thiết bị này so với thấu kính mỏng là gì?
Bài giải:
Trong gần đúng bậc nhất ta có:
2
0
2
0
0
2
2
0
2

0
22
0
2
0
22
0
2
0
2
0
2
2
0
0
2
2
2
2
A2
W
; n voi ;
a
r
1n)r(n
W
rA2
1
W
rA2

1
W
r2
1A)r(n
W W ;
W
r2
1
W
r2
exp


==

+=








+=

Theo 3.c ta nhận đợc một thiết bị tơng đơng một thấu kính có tiêu cự điều chỉnh đợc
nhờ thay đổi A
0
nghĩa là thông qua thay đổi công suất của chùm laze.