Luận văn chuỗi thời gian và ứng dụng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN
----------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

SINH VIÊN THỰC HIỆN

Th.s Dương Thị Tuyền

Trần Anh Thi

Bộ mơn Tốn – Khoa KHTN

MSSV: B1401612
Ngành: Tốn Ứng dụng – K40

CẦN THƠ, 07/2020


TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA KHOA HỌC TỰ NHIÊN
BỘ MÔN TOÁN

----------

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

CHUỖI THỜI GIAN VÀ ỨNG DỤNG

GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN

SINH VIÊN THỰC HIỆN

Th.s Dương Thị Tuyền

Trần Anh Thi

Bộ mơn Tốn – Khoa KHTN

MSSV: B1401612
Ngành: Tốn Ứng dụng – K40

CẦN THƠ, 07/2020


LỜI CẢM ƠN
------------Trước hết, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Cô Dương Thị Tuyền,
người giảng viên đã tận tâm, nhiệt tình hướng dẫn, truyền đạt những kinh
nghiệm quý báo để em thực hiện luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn quý Thầy, quý Cô trong Khoa Khoa học Tự
nhiên trường Đại học Cần Thơ đã truyền dạy kiến thức, kinh nghiệm, kỹ năng
cho em trong suốt những năm học qua.
Xin cảm ơn gia đình là chỗ dựa vững chắc cho tôi trong suốt thời gian
học tập.
Xin cảm ơn các anh, chị đi trước cùng các bạn của con, những người

luôn ủng hộ, giúp đỡ, chia sẻ những kinh nghiệm và giúp đỡ tôi trong thời
gian làm đề tài.
Mặc dù, đã cố gắng hoàn thiện luận văn bằng tất cả sự nhiệt tình và
năng lực của mình, tuy nhiên luận văn khơng thể tránh khỏi những thiếu sót,
rất mong nhận được những đóng góp quý báu của quý Thầy Cô và các bạn.
Xin chân thành cảm ơn tất cả!
Cần Thơ, ngày … tháng … năm 2020
Sinh viên thực hiện

Trần Anh Thi


MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN....................................................................................................i
MỤC LỤC........................................................................................................ii
DANH SÁCH BẢNG.......................................................................................v
DANH SÁCH HÌNH, BIỂU ĐỒ.....................................................................vi
PHẦN MỞ ĐẦU..............................................................................................1
1. Lý do chọn đề tài..........................................................................................1
2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................1
3. Đối tượng và phạm vị nghiên cứu.................................................................2
3.1. Đối tượng nghiên cứu................................................................................2
3.2. Phạm vi nghiên cứu....................................................................................2
4. Phương pháp nghiên cứu...............................................................................2
5. Cấu trúc luận văn..........................................................................................2
Chương 1..........................................................................................................3
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ.................................................................................3
1.1. Phương trình sai phân và tốn tử trễ...........................................................3
1.1.1. Phương trình sai phân.........................................................................3
1.1.2. Tốn tử trễ (Lag operators)...............................................................10

1.2. Kỳ vọng, tính dừng và tính Ergodicity.....................................................14
1.2.1. Kỳ vọng, hiệp phương sai.................................................................14
1.2.2. Chuỗi dừng yếu (Weakly stationarity)...............................................16
1.2.3. Chuỗi dừng chặt (Strick sationarity).................................................17
1.2.4. Quá trình Ergodicity..........................................................................17
1.2.5. Kiềm định nghiệm đơn vị (Unit Root Test).......................................18
1.3. Nhiễu trắng (White noise)........................................................................20
1.4. Bước ngẫu nghiên (Random walk)...........................................................21
1.5. Chuỗi thời gian........................................................................................22
1.5.1 Yếu tố xu thế (Trend).........................................................................22
1.5.2 Yếu tố chu kỳ (Cyclical)....................................................................22
1.5.3 Yếu tố mùa (Seasonal).......................................................................23
1.5.4 Yếu tố ngẫu nhiên/ bất thường (Irregular).........................................23


Chương 2........................................................................................................25
MỘT SỐ MƠ HÌNH CHUỖI THỜI GIAN....................................................25
2.1. Chuỗi thời gian khơng dừng và mơ hình ARIMA....................................25
2.1.1 Mơ hình trung bình trượt tự hồi quy ARMA(p,q)..............................25
2.1.2 Mơ hình tự hồi quy - AR (Autoregressive process)............................27
2.1.3 Mơ hình trung bình trượt – MA(q).....................................................34
2.1.4 Mơ hình trung bình trượt tự hồi quy - ARIMA(p,d,q)........................37
2.1.5 Mơ hình SARIMA.............................................................................39
2.2. Mơ hình chuỗi thời gian mờ hóa Abbasov-Mamedova............................40
2.3 Một số vấn đề liên quan............................................................................41
2.3.1 Phương pháp làm trơn số liệu.............................................................41
2.3.2 Phương pháp mờ hóa dữ liệu.............................................................45
2.4. Tiêu chuẩn đánh giá và vấn đề tính tốn..................................................49
2.4.1 Một số tiêu chuẩn đánh giá mức độ chính xác của dự báo.................49
2.4.2 Vấn đề tính tốn.................................................................................50

Chương 3........................................................................................................52
DỰ BÁO SỐ GIỜ NĂNG TẠI THÀNH PHỐ CẦN THƠ.............................52
3.1 Tổng quan của việc dự báo...................................................................52
3.1.1 Đặc điểm của dự báo..........................................................................52
3.1.2 Phân loại dự báo.................................................................................52
3.1.3 Tình hình dự báo của Việt Nam.........................................................53
3.2 Tổng quan vấn đề thực hiện..................................................................54
3.2.1 Ý nghĩa của việc dự báo thời tiết........................................................54
3.2.2 Tổng quan việc thực hiện...................................................................55
3.3 Dự báo từ dữ liệu gốc................................................................................56
3.3.1 Kiểm tra tính dừng của chuỗi.............................................................56
3.3.2 Xác định mơ hình SARIMA tối ưu....................................................56
3.3.3 Kiểm định phần dư của mơ hình........................................................58
3.3.4 Dự báo cho 12 tháng tiếp theo............................................................59
3.4 Dự báo từ dữ liệu làm trơn hóa.................................................................61


3.4.1 Trơn hóa dữ liệu.................................................................................61
3.4.2 Kiểm tra tính dừng của chuỗi trơn hóa DEMA.3...............................62
3.4.3 Xác định mơ hình SARIMA tối ưu....................................................62
3.4.4 Kiểm định phần dư của mơ hình........................................................63
3.4.5 Dự báo cho 12 tháng tiếp theo............................................................64
3.5 Dự báo từ dữ liệu làm mờ hóa...................................................................66
3.5.1 Mờ hóa dữ liệu...................................................................................66
3.5.2 Kiểm tra tính dừng của chuỗi.............................................................67
3.5.3 Xác định mơ hình SARIMA tối ưu....................................................68
3.5.4 Kiểm định phần dư của mơ hình........................................................69
3.5.5 Dự báo cho 12 tháng tiếp theo............................................................70
3.6. Dự báo.....................................................................................................72
PHẦN KẾT LUẬN.........................................................................................74

A. Kết luận......................................................................................................74
B. Định hướng................................................................................................74
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................76
PHỤ LỤC.......................................................................................................77


DANH SÁCH BẢNG
Bảng 3. 1. Tổng hợp một số phương pháp dự báo thường dùng trên thế giới. 52
Bảng 3. 2. Kiểm định Dickey-Fuller Test.......................................................56
Bảng 3. 3. Bảng chỉ số AIC các mơ hình........................................................56
Bảng 3. 4. Kết quả ước lượng mơ hình...........................................................58
Bảng 3. 5. Kiểm định Box-Ljung test.............................................................59
Bảng 3. 6. Kết quả dự báo cho 12 tháng tiếp theo...........................................60
Bảng 3. 7. Kết quả trơn hóa dữ liệu................................................................61
Bảng 3. 8. Kiểm định Dickey-Fuller Test.......................................................62
Bảng 3. 9. Bảng chỉ số AIC các mơ hình........................................................62
Bảng 3. 10. Kết quả ước lượng mơ hình.........................................................63
Bảng 3. 11. Kiểm định Box-Ljung test...........................................................64
Bảng 3. 12. Kết quả dự báo cho 12 tháng tiếp theo.........................................65
Bảng 3. 13. Kết quả mờ hóa dữ liệu................................................................66
Bảng 3. 14. Kiểm định Dickey-Fuller Test.....................................................67
Bảng 3. 15. Bảng chỉ số AIC các mơ hình......................................................68
Bảng 3. 16. Kết quả ước lượng mơ hình.........................................................69
Bảng 3. 17. Kiểm định Box-Ljung test...........................................................70
Bảng 3. 18. Kết quả dự báo cho 12 tháng tiếp theo.........................................71
Bảng 3. 19. Số lượng giờ nắng của Cần Thơ giai đoạn 01/2015 – 12/2015....71


DANH SÁCH HÌNH, BIỂU ĐỒ
Hình 3. 1 Biểu đồ thống kê mô tả chuỗi số giờ nắng tại TP. Cần Thơ............56

Hình 3. 2 Biểu đồ thống kê mơ tả phần dư của chuỗi dự báo..........................59
Hình 3. 3. Biểu đồ dự báo của mơ hình cho 12 tháng tiếp theo.......................60
Hình 3. 4. Biểu đồ làm trơn của 9 phương pháp làm trơn dữ liệu...................61
Hình 3. 5. Biểu đồ thống kê mơ tả chuỗi trơn hóa bằng phương pháp DEMA.3
........................................................................................................................ 62
Hình 3. 6. Biểu đồ thống kê mô tả phần dư của chuỗi dự báo.........................64
Hình 3. 7. Biểu đồ dự báo của mơ hình cho 12 tháng tiếp theo.......................65
Hình 3. 8. Biểu đồ mơ hình Chen, Singh, Heuristic và Chen-Hsu, AbbasovMamedova......................................................................................................67
Hình 3. 9. Biểu đồ thống kê mơ tả chuỗi trơn hóa bằng phương pháp ChenHsu 25............................................................................................................. 67
Hình 3. 10 Biểu đồ thống kê mơ tả phần dư của chuỗi dự báo........................70
Hình 3. 11. Biểu đồ dự báo của mơ hình cho 12 tháng tiếp theo.....................71
Hình 3. 12. Biểu đồ dự báo của 3 mơ hình tối ưu............................................72


PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khí hậu ln là bộ phận quan trọng của tự nhiên và môi trường, có ý nghĩa
quyết định đến nhiều mặt hoạt động sản xuất và đời sống. Vì thế nghiên cứu điều
kiện tự nhiên hay cụ thể là phân tích khí tượng thủy văn là một ứng dụng phổ
biến trong nghiên cứu khí hậu.
Theo viện hàn lâm khoa học và cơng nghệ Việt Nam, mặc dù trong nữa đầu
thế kỷ XXI nguồn năng lượng hóa thạch vẫn cịn chiếm vai trị chủ đạo cung cấp
nhu cầu năng lượng của nhân loại nhưng chúng đang trên đường cạn kiệt và là thủ
phạm chính gây ơ nhiễm mơi trường. Chính vì vậy lồi người đang nổ lực tìm tịi
và khai thác các nguồn năng lượng thay thế. Theo những số liệu dự báo, ngay từ
sau năm 2050 các nguồn năng lượng tái tạo sẽ giữ vai trò chủ đạo cung cấp năng
lượng cho con người, trong đó năng lượng mặt trời sẽ đóng vai trò đặc biệt quan
trọng, cung cấp tới 75% nhu cầu năng lượng của nhân loại vào năm 2100. Việt
Nam là một trong các quốc gia có tiềm năng đáng kể về năng lượng mặt trời. Các
số liệu khảo sát về lượng bức xạ mặt trời cho thấy các địa phương phía bắc bình

qn có khoảng từ 1800-2100 giờ nắng trong một năm, cịn các tỉnh phía nam,
trong đó có Cần Thơ, có khoảng 2000-2600 giờ nắng trong một năm. Để đánh
giá, dự báo ngắn hạn và dài hạn về tiềm năng khai thác năng lượng mặt trời, địi
hỏi cần có những nghiên cứu về sự biến đổi và sự phân bố của các dãy bức xạ
tổng hàng ngày đo được trên mặt đất, hay một dạng vô hướng tương đương dãy
chỉ số sáng. Để đóng góp cho yêu cầu này, tôi chọn đề tài "Chuỗi thời gian và
ứng dụng", nhằm mơ hình hố sự biến đổi của bức xạ tổng và dãy chỉ số sáng.
Các tham số của mơ hình sẽ được ước lượng từ dữ liệu thực. Kết quả của đề tài sẽ
được áp dụng thử nghiệm trên các dữ liệu được cung cấp từ Trung tâm dự báo khí
tượng khu vực Nam Bộ đặt tại Thành phố Cần Thơ.
2. Mục đích nghiên cứu
Tổng kết một cách có hệ thống các phương pháp dự báo chuỗi thời gian,
giải quyết các vấn đề tính tốn của các phương pháp này, đồng thời áp dụng
chúng vào mơ hình thuật tốn phù hợp để phân loại ảnh từ số liệu thực tế.

1


3. Đối tượng và phạm vị nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Các mơ hình chuỗi thời gian dự báo của bức xạ tổng chỉ số sáng trung
bình.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Các mơ hình chuỗi thời gian được xây dựng cho các dãy chỉ số sáng trung
bình theo các ngày trong các tháng đặc trưng trong năm tại Thành phố Cần Thơ.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Sắp xếp, phân tích, tổng hợp các vấn đề nghiên cứu một cách có hệ thống
và logic từ các tài liệu tham khảo.
- Sử dụng các phương pháp tính gần đúng trong thống kê và trong giải tích,
giải quyết vấn đề tính tốn bằng các phần mềm R Studio.

5. Cấu trúc luận văn
Cấu trúc luận văn gồm có phần giới thiệu, phần nội dung, phần kết luận và
tài liệu tham khảo. Phần nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị
Trình bày những kiến thức liên quan đến bài toán chuỗi thời gian, vấn đề
tính tốn và các kết quả lý thuyết liên quan đến chuỗi thời gian.
Chương 2: Một số mơ hình chuỗi thời gian
Trình bày các mơ hình chuỗi thời gian đang sử dụng hiện nay. Mỗi mơ hình
trình bày lý thuyết và các kết quả lý thuyết liên quan
Chương 3: Dự báo số giờ nắng tại Thành phố Cần Thơ
Ứng dụng thực tế các mơ hình chuỗi thời gian trình bày ở chương 2 để dự
báo số giờ năng tại Thành phố Cần Thơ.

2


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Phương trình sai phân và tốn tử trễ
1.1.1. Phương trình sai phân
a) Phương trình sai phân bậc nhất
Gọi Y là biến số có giá trị biến đổi theo thời gian,
Yt là giá trị của Y tại thời điểm t,
Wt là các ảnh hưởng đến Y tại thời điểm t.

Giả sử phương trình động biểu diễn giá trị của Y tại thời điểm t với giá trị tại
điểm trước đó có dạng
Yt Yt  1 +Wt .

(1.1)

Phương trình (1.1) được gọi là sai phân bậc nhất biểu diễn Yt hàm tuyến
tính của Yt  1 và Wt . Trong đó Wt có thể là biến tất định cũng có thể là biến ngẫu
nhiên.
Ta giải phương trình (1.1) bằng phương pháp đệ quy. Giả sử phương trình
(1.1) đúng với tất cả các t.
T

Y

1

Y1 Y0  W1

2

Y2 Y1  W2

3

Y3 Y2  W3

.....

…..

T

Yt Yt  1  Wt

Nếu biết giá trị xuất phát của Y ở thời điểm t  1 và các giá trị W đối với
t 0,1, 2,... thì có thể tìm giá trị của Y ở bất kỳ điểm nào.
Y0 Y 1  W0 .
Y1 Y0  W1  (Y 1  W0 )  W1  2Y 1   W0  W1.

Tương tự ta có:
3


Yt  t 1Y 1   t W0   t  1W1   t  2 W2  ...  Wt .

(1.2)

Như vậy (1.2) biểu diễn Yt như là một hàm tuyến tính của giá trị xuất phát
Y 1 và các giá trị quá khứ của W. Do đó có thể dễ dàng tính ảnh hưởng của W0

đến Yt
Yt
 t .
W0

Tương tự nếu bắt đầu từ thời điểm t thì các

Yt  j

được mơ tả như hàm tuyến

W , W ,..., Wt  j
tính của các giá trị Yt  1 và t t 1

Yt Yt  1  Wt .
Yt 1 Yt  Wt 1  (Yt  1  Wt )  Wt 1  2Yt  1   Wt   Wt 1.

Tương tự ta có:
Yt  j  j 1Yt  1   j Wt   j  1Wt 1  ...   Wt  j  1  Wt  j .
Y
Khi đó ảnh hưởng của Wt đến t  j là:

Yt  j
Wt

 j .

(1.3)

(1.3) được gọi là nhân tử động (dynamic multiplier), nhân tử này chỉ phụ
thuộc vào j, độ dài khoảng thời gian tính từ thời điểm t đến thời điểm t  j , không
phụ thuộc vào t, tức là thời điểm quan sát. Kết luận này đúng với bất kỳ phương
trình sai phân tuyến tính nào.
b) Phương trình sai phân bậc p
Định nghĩa: Phương trình sai phân bậc p có dạng:
Yt 1Yt  1  2Yt  2  ...   pYt  p +Wt .

(1.4)

Trong đó Y ở thời kỳ t phụ thuộc vào p giá trị trễ của chính biến này và giá
trị hiện thời của biến đầu vào Wt .
Dạng ma trận của phương trình sai phân bậc p:

t Ft  1  Vt .

4

(1.5)


 Yt

 1 2 3


1 0 0
 Yt  1 

t  Yt  2  ; F  0 1 0



 ... 
 ... ... ...
Y

 0 0 0
 t  p 1 

...  p  1  p 
 Wt 
0 

... 0
0

 
... 0
0  ;Vt  0  ,
 

... ... ... 
 ... 
0 
... 1
0 
 

(1.5) là một hệ gồm p phương trình.
Phương trình thứ nhất là (1.4)
Phương trình thứ hai là Yt  1 Yt  1
Phương trình thứ ba là Yt  2 Yt  2
…..
Phương trình thứ p là

Yt  p 1 Yt  p 1

Nhân tử của (1.5) cũng tương tự phương trình sai phân bậc 1
Giải phương trình sai phân bậc p:
Giả sử có giá trị của  của thời điểm t  1 . Khi đó:
0 F  1  V0 .
1 F 0  V1 F 2  1  FV0  V1.
t F t 1  1  F tV0  F t  1V1  F t  2V2  ...  FVt  1  FVt .

hay

 Yt

 Y 1 
 W0 
 Wt  1   Wt 
 W1 


 


0  0 


 Yt  1 
 Y 2 
0 

  
0 
 Yt  2  F t 1  Y 3   F t  0   F t  1  0   ...  F  0    0  .


 
 

  
 
 ... 
 ... 

 ... 
 ...   ... 
 ... 
Y

Y 
0 
0  0 
 0 
 

  
 t  p 1 
  p

Xét phương trình đầu của hệ trên, ta có:
Yt  f11( t 1)Y 1  f12( t 1)Y 2  ...  f1(pt 1)Y p  f11( t ) W0  f11( t  1) W1  ...  f11(1) Wt  1  Wt .

Trong đó

f1(ji )

(1.6)

i
là phần tử (1,j) của ma trận F

(1.6) mô tả Y ở thời điểm t là hàm tuyến tính của p giá trị ban đầu của
Y (Y 1 , Y 2 ,..., Y p )

và các giá trị quá khứ của W từ thời điểm t 0 .
5


Nếu bắt đầu từ thời điểm j, ta có:
t  j F j 1t  1  F jVt  F j  1Vt 1  F j  2Vt 2  ...  FVt  j  1  Vt  j .

Từ đó ta có:
Yt  j  f11( j 1)Yt  1  f12( j 1)Yt  2  ...  f1(pj 1)Yt  p  f11( j ) Wt  f11( j  1) Wt 1  ...  f11( j ) Wt  j  1  Wt  j .

Phương trình sai phân bậc p cho nhân tử động:
Yt  j
Wt

 f11( j ) .

( j)
j
Trong đó f11 là phần tử (1,1) của ma trận F .
(1)
Nếu j 1, f11 1 , phần tử (1,1) của ma trận F. Khi đó:

Yt 1
1 ,
W
Y

W
t
t


1
t
Ảnh hưởng của
đến
:
Yt 2
 f11(2) 12  2 .
Ảnh hưởng của Wt đến Yt 2 : Wt

Với các giá trị j lớn hơn thì càng dễ dàng để tìm được giá trị bằng số cho các
Yt  j
Y Y ... Y p 0; W0 1
nhân tử động Wt bằng cách đặt  1  2
.

Xác lập giá trị cho W đối với tất cả các thời điểm kể từ thời điểm 0.
Khi t = 0, theo (1.4) ta có Y0 1 .
Thay
như trên.

Y0 , Yt  1 , Yt  2 ,..., Yt  p 1

vào (1.4) để tính Yt 1 và tiếp tục quá trình đệ quy

Giá trị của Y ở bước thứ t sẽ cho ảnh hưởng của W0 đến Yt
Yt  j

 f11( j )
Y

W

W
t
Ảnh hưởng của t đến t  j :
cũng có thể tìm được ảnh hưởng
F   I p 0

này từ các giá trị riêng của ma trận F:

Với p 2 ta có giá trị riêng là nghiệm của phương trình:
      0  1  
F  I p   1 2   
  1
 1 0   0 

6

2
0.


(1.7)


F   I 0

p
Đối với hệ tổng quát bậc p,
là một phương trình bậc p đối với

 và p nghiệm của phương trình là p giá trị riêng của ma trận F.

Mệnh đề 1.1: Các giá trị riêng của ma trận F là các giá trị  thỏa mãn
 p  1 p  1  2 p  2  ...   p  1   p 0.

(1.8)

Giả sử rằng các giá trị riêng của ma trận F cấp ( p p) là phân biệt nhau, khi
đó tồn tại ma trận T cấp ( p p ) không suy biến sao cho
F T T  1.

Trong đó ma trận  có dạng
 1 0
0 
2
 
 ... 0

 0 0

... 0 
... 0 
.
... 0 

...  p 

Mỗi cột của ma trận T là vector riêng tương ứng với các giá trị riêng của F.
2
2 1

j
j 1
Khi đó F T  T , tổng quát F T  T .

 t11 t12
t
t22
21
j
F 
 ... 0

 t p1 t p 2

 1j

0
j
 
 ...

 0

0
2j
0
0

... 0 


... 0 
.
... 0 

...  pj 

... t1 p   1j

... t2 p   0
... 0   ...

... t pp   0

0
2j
0
0

... 0   t 11 t 12

... 0   t 21 t 22
... 0   ... ...

...  pj   t p1 t p 2

 t111j

t211j



 ...

j
 t p11

t122j
t22 2j
...
t p 2 2j

... t1 p  pj   t 11 t 11

... t2 p  pj   t 21 t 22
...
...   ... ...

... t pp  pj   t p1 t p 2

... t 1 p 

... t 2 p 
... ... 

... t pp 

... t 11 

... t 2 p 
.
... ... 


... t pp 

j
Phần tử (1,1) của F là:

f11( j ) (t11t11 )1j  (t12t 21 )2j  (t13t 31 )3j  ...  (t1 pt p1 ) pj .
f11( j ) c11j  c2 2j  c33j  ...  c p  pj .

7

(1.9)


i1
c  c  ...  c p (t11t11 )  (t12t 21 )  t13t 31  ...  t1 pt p1
Trong đó ci (t1i t ) và 1 2
là phần

1
1
c  c  ...  c p 1
tử thứ (1,1) của ma trận TT . Mà TT là ma trận đơn vị nên 1 2

Do đó ta có:
Yt  j
Wt

 f11( j ) c11j  c2 2j  c33j  ...  c p  pj .

Vậy nhân tử động tại thời điểm t là trung bình có trọng số của p giá trị riêng
được nâng lên lũy thừa bậc j.
(1 , 2 ,..,  p )

Mệnh đề 1.2: Nếu như các giá trị riêng

của ma trận F là phân

biệt nhau thì ci được xác định như sau:
ci 

i p  1

.

p

 (   )
i

k

k 1, k i

Phương trình sai phân bậc p (1.4) ngụ ý rằng:
Yt  j  f11( j 1)Yt  1  f12( j 1)Yt  2  ...  f1(pj 1)Yt  p  f11j  1 Wt 1  ...  f111 Wt  j  1  W j
 f11( j 1)Yt  1  f12( j 1)Yt  2  ...  f1(pj 1)Yt  p  Wt  j  1 Wt  j  1  2 Wt  j  2  ....
 j  1Wt  j  j Wt .

Yt  j

Nhân tử động Wt
Theo (1.9) ta có

 j

j
j  f .
được cho bởi phần tử (1,1) của F : j 11

 j c11j  c22j  c33j  ...  c p  pj .

Nếu p 1 , theo (1.7) ta có :   1 0  phương trình có nghiệm 1 1
Yt  j

Nên Wt

c11j .
Yt  j

Kết hợp (1.9) ta có c1 1, do đó Wt

1j

giống với (1.3)

Khi các giá trị riêng của F đều là số thực, điều này xảy ra khi p 2
2
2
Theo (1.7) ta được 1  42  0 và các giá trị riêng đều có giá trị tuyệt đối

nhỏ hơn 1, khi đó hệ thống sẽ ổn định. Nhân tử động
dạng hàm mũ hoặc giảm theo hàm mũ đan xen dấu.
8

F   I p 0

sẽ giảm theo


Dài hạn và giá trị hiện tại:
j
Nếu tất cả các giá trị riêng đều nhỏ hơn 1 theo modun thì F trong

t  j F j 1t  1  F jVt  F j  1Vt 1  F j  2Vt 2  ...  FVt  j  1  Vt  j

Sẽ hội tụ đến ma trận 0 khi j đủ lớn.
Xét Yt Wt  1Wt  1  2 Wt  2  ...
j
Trong đó  1 cho bởi phần tử (1,1) của ma trận F .  1 có dạng như (1.8)
nếu tất cả các giá trị riêng là khác nhau.

Từ đó có thể tính được ảnh hưởng đến giá trị hiện thời Y do tác động có tính
nhất thời của W.
Xét vấn đề tổng quát hơn
t F t  1  Vt ,Vt ' (W, 0, 0,..., 0).
t  j
Vt

'

F j .

Yt  j
j
Nhân tử động Wt là bởi phần tử (1,1) của ma trận F .

1
Nếu như tất cả các giá trị riêng của F đều nhỏ hơn  theo modun thì ảnh
hưởng của giá trị hiện thời của  do thay đổi V được cho bởi:



  j
j 0

Vt '



  j F j ( I p   F )  1.
j 0

B iYt  j

Ảnh hưởng đến giá trị hiện thời của Y do thay đổi trong W là

Wt

.

Mệnh đề 1.3: Nếu như các giá trị riêng của ma trận F cấp p p đều có
1
( I   F ) 1
modun nhỏ hơn  thì tồn tại ma trận p
và ảnh hưởng của W đến giá trị
hiện thời của Y được cho bởi phần tử (1,1) của ma trận trên
Yi  j

1

.
2
3
Wt 1  1   2   3   ...   p  1 p  1   p  p

Ảnh hưởng lũy thừa khi thay đổi W ở thời kỳ t (Wt ) đến Yt , Yt 1 ,... có thể
xem như một trường hợp đặc biệt của mệnh đề 1.3.

9


Đặt  1 , các giá trị riêng đều có modun nhỏ hơn 1, khi đó ảnh hưởng tích
lũy đến Y là


Yt  j

 W
j 0

t

1

.
1  1  2  3  ...   p  1   p

Điều này có nghĩa là ảnh hưởng trong dài hạn của thay đổi nhất thời
trong W
 Yt  j Yt  j Yt  j
Yt  j
lim 


 ... 
j    W
Wt 1 Wt 2
Wt  j
t



1
.
 
 1  1  2  3  ...   p

1.1.2. Toán tử trễ (Lag operators)
a) Giới thiệu

Chuỗi thời gian là dãy các quan sát về một biến nào đó theo thời gian.
Thường chúng ta thu thập số liệu bắt đầu ở một thời điểm nhất định, chẳng hạn
t 1 và kết thúc tại thời điểm khác t n , ta được các quan sát (Y1 , Y2 ,..., Yn ) . Chúng
ta có thể tìm được các quan sát trước quan sát thứ nhất (..., Y 2 , Y 1 , Y0 ) hoặc các
quan sát sau quan sát thứ n (Yn 1 , Yn 2 ,...) . Mẫu quan sát được có thể xem như một
đoạn hữu hạn của một chuỗi vô hạn.


 Yt     ..., Y 1 , Y0 , Y1 , Y2 ,..., Yn , Yn 1 , Yn 2 ,... .
Ví dụ:
Yt Pt , Pt là giá trị của một loại cổ phiếu ở thời điểm t;
Yt t , t là biến xu thế;
Yt c, c là các thành phần của chuỗi là một hằng số.

Nếu người ta coi một hàm Y  f ( X ) hay Y g ( X , W) như là một toán tử
biến đầu vào X hay (X, W) thành đầu ra Y.
Toán tử chuỗi thời gian biến đổi một chuỗi thời gian hay một nhóm chuỗi
thời gian thành một chuỗi thời gian mới. Nghĩa là toán tử thời gian biến đổi một










 X t    ,  Wt   
Xt  


chuỗi
hay một nhóm chuỗi
thành đầu ra một chuỗi mới

 Yt    tương ứng với các thành phần của đầu vào.

Toán tử nhân: Yt  X t là toán tử nhân giá trị của biến X ở thời điểm bất kỳ
với hằng số  để tạo ra giá trị của biến Y ở cùng thời điểm này.
10


Toán tử cộng: Yt  X t  Wt là tốn tử tính tổng của giá trị biến X và giá trị
của biến W ở tại một thời điểm để tạo ra giá trị của biến Y ở cùng thời điểm này.
Do toán tử nhân hoặc cộng thực hiện nhân hoặc cộng từng thành phần nên
các toán tử này tuân theo các quy tắc của các phép biến đổi đại số, chẳng hạn
như:
 X t   Wt  ( X t  Wt ).




X
Y
Toán tử trễ: giả sử ta có chuỗi  t    bây giờ ta tạo ra chuỗi mới  t   

trong đó giá trị Y ở thời điểm t bằng giá trị X ở thời điểm t  1 , tức là Yt  X t  1
Ký hiệu: Yt LX t  X t  1.
2
Khi đó L được gọi là tốn tử trễ kí hiệu là L , khi đó

L2 X t L( LX t ) L( X t  1 )  X t  2 .
k
Tổng quát với k là số nguyên bất kỳ ta có: L X t  X t  k

Tính chất: L(  X t )  L( X t )  X t  1.
L( X t  Wt ) L( X t )  L (Wt )  X t  1  Wt  1
( a  bL) LX t aLX t  bL2 X t aX t  1  bX t  2
(1  1 L)(1  2 L) X t (1  1L  2 L  12 L2 ) X t
(1  (1  2 ) L  12 L2 ) X t

 X t  (1  2 ) X t  1  12 X t  2 .




X
c
Nếu  t     t    thì

LX t  X t  1 c
(   L   L2 )c (     )c.

b) Phương trình sai phân bậc nhất dưới dạng tốn tử trễ
Phương trình sai phân bậc nhất có dạng Yt Yt  1  Wt .
Phương trình sai phân bậc nhất được viết dưới dạng tồn tử trễ:
Yt LYt  Wt .
Yt   LYt Wt .
(1   L)Yt Wt .

(1.10)
11


2 2
3 3
t t
Nhân 2 vế với toán tử (1   L   L   L  ...   L ) ta được

(1   L   2 L2   3 L3  ...   t Lt )(1   L)Yt (1   L   2 L2   3 L3  ...   t Lt )Wt .

Xét
(1   L   2 L2   3 L3  ...   t Lt )(1   L)
(1   L   2 L2   3 L3  ...   t Lt )  (1   L   2 L2   3 L3  ...   t Lt ) L
(1   L   2 L2   3 L3  ...   t Lt )  ( L   2 L2   3 L3  ...   t Lt   t 1Lt 1
(1   t 1 Lt 1 ).

Do đó ta có
(1   t 1 Lt 1 )Yt (1   L   2 L2   3 L3  ...   t Lt )Wt

 Yt   t 1Yt  (t 1) Wt   Wt  1   2 Wt  2   3 Wt  3  ...   t Wt  t
 Yt  t 1Y 1  Wt   Wt  1   2 Wt  2   3 Wt  3  ...   t Wt  t .
2 2
3 3
t t
t 1 t 1
t 1
Ta thấy (1   L   L   L  ...   L )(1   L)Yt (1   L )Yt Yt   Y 1.
2 2
3 3

t t
Toán tử (1   L   L   L  ...   L )(1   L)Yt Yt chỉ khác Yt một lượng

 t 1Y 1 .

 1

và t đủ lớn ta có thể áp dụng cho chuỗi bị chặn để tính xấp xỉ của
2 2
3 3
t t
toán tử (1   L   L   L  ...   L ) bằng nghịch đảo của toán tử (1   L)
Nếu

lim(1   L   2 L2   3 L3  ...   t Lt ) (1   L)  1.
t 

1
1
Trong đó tốn tử (1   L) có tính chất (1   L)(1   L) 1.

Với “1” là toán tử đơn vị: 1Yt Yt
Giả sử

 1

và các chuỗi Y, W đều bị chặn, theo (1.10) ta có:

(1   L)  1 (1   L)Yt (1   L)  1 Wt  Yt (1   L)  1 Wt .
2

3
hay Yt Wt   Wt  1   Wt  2   Wt  3 .

Công thức trên được thực hiện với
với W là biến ngẫu nhiên dừng.

 1

và khơng chỉ với W bị chặn mà cịn

c) Phương trình sai phân bậc hai dưới dạng toán tử trễ
Xét phương trình sai phân cấp hai:
12