Tài Liệu Phát Triển Năng Lực Tư Duy Và Lập Luận Toán Học Cho Học Sinh Qua Giải Bài Toán Hình Học Không Gian Bằng Phương Pháp Tọa Độ.pdf

1 of 98.

ĐỀ TÀI:
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO
HỌC SINH QUA GIẢI BÀI TOÁN HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BẰNG
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Giáo viên: Nguyễn Hồng Hào
Số ĐTDĐ: 0979.033.268
Lĩnh vực: Tốn học

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


2 of 98.

A. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Dạy học định hướng phát triển năng lực thực hiện bước chuyển từ chương
trình giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận phẩm chất, năng lực của người học,
không quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định kết quả đầu ra, khả
năng vận dụng vào thực tiễn. Vì vậy việc đổi mới phương pháp dạy học theo định
hướng phát triển phẩm chất, năng lực cho học sinh là vấn đề then chốt.
Toán học là một trong những ngành khoa học đóng vai trị quan trọng, là yếu
tố chủ chốt giúp ta có thể nghiên cứu nhiều ngành khoa học khác. Các năng lực
chuyên biệt trong mơn Tốn bao gồm: năng lực tư duy và lập luận tốn học, năng
lực mơ hình hóa tốn học, năng lực giải quyết vấn đề, năng lực giao tiếp toán học và
năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện tốn học. Trong đó năng lực tư duy và lập
luận tốn học là một trong những năng lực quan trọng mà người học cần phải được
rèn luyện và phát triển. Nhờ tư duy con người mới có thể tồn tại và phát triển. Nó
chính là con đường ngắn nhất dẫn đến mọi sự thành công của mỗi con người.

Trong những năm gần đây, đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông Quốc gia
(TN THPT QG) ln xuất hiện bài tốn hình học khơng gian được ra dưới dạng mà
học sinh có thể giải bằng hai phương pháp: Phương pháp hình học thuần túy và
phương pháp tọa độ. Chẳng hạn:
Câu 37: (Mã đề 101, kỳ thi TN THPT Quốc
gia 2018): Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D '
có tâm O . Gọi I là tâm của hình vuông A ' B ' C ' D '
và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho
MO  2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó cơsin của
góc tạo bởi hai mặt phẳng  MC ' D ' và ( MAB) bằng
A.

6 85
.
85

B.

7 85
.
85

C.

B

C

A

D
O

17 13
6 13
. D.
.
65
65

B'

C'

M

I
A'

D'

Câu 42: (Mã đề 112, kỳ thi TN THPT Quốc gia năm 2022): Cho khối lăng
trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vng cân tại A , cạnh AA '  2a ,
góc giữa hai mặt phẳng  A ' BC  và  ABC  bằng 600 . Thể tích của khối lăng trụ đã
cho bằng
A.

8 3
a.
9

B.

8 3
a.
3

C. 24a 3 .

D. 8a 3 .

Trong quá trình dạy học, nhận ra việc giải bài tốn hình học khơng gian bằng
phương pháp thuần túy gặp nhiều khó khăn đối với học sinh vừa học xong lớp 12 vì
1

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chun và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123


3 of 98.

đa phần các em ít nhiều đã quen giải các bài tốn tọa độ trong khơng gian. Đặc biệt
là các em có học lực trung bình khá và khá thường bỏ qua khơng làm mà cũng khơng
phân tích bài tốn, khơng biết định hướng giải bài này như thế nào.
Nhận thấy điều đó, tơi muốn giúp các em rèn luyện tốt khả năng tư duy lập
luận, biết cách đặt câu hỏi, biết các phân tích để giải các bài tốn hình học khơng
gian bằng phương pháp tọa độ có rất nhiều ưu việt, tuy nhiên học sinh cũng gặp
khơng ít khó khăn. Bởi vì, phương pháp này chưa được đề cập nhiều trong sách giáo
khoa, và phương pháp này chỉ tối ưu với một lớp bài toán nào đó chứ khơng phải lúc
nào cũng hiệu quả. Kết hợp với máy tính Casio hiện hành mà Bộ Giáo dục và Đào
tạo cho phép sử dụng như Fx570, Fx580…các em có thể tính nhanh kết quả của bài

tốn.
Với những lí do trên tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Phát triển năng lực tư duy
và lập luận toán học cho học sinh qua giải bài tốn hình học khơng gian bằng
phương pháp tọa độ”.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu các bài tốn hình học khơng gian có thể sử dụng phương pháp
tọa độ hóa để giải.
- Rèn luyện kỹ năng cho học sinh dấu hiệu nhận biết các bài toán hình học
khơng gian có thể giải quyết bằng phương pháp tọa độ hóa.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu những khó khăn và thuận lợi của học sinh khi tiếp cận bài tốn
hình học khơng gian.
- Xây dựng hệ thống các bài tốn hình học khơng gian giải bằng phương pháp
tọa độ hóa tạo sự hứng thú học tập cho học sinh.
- Áp dụng một số phương pháp dạy học, phương pháp đánh giá bám sát
chương trình phổ thơng mới.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 12 THPT
- Giáo viên giảng dạy mơn tốn bậc THPT.
- Các bài tốn về hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ và các
vấn đề liên quan.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
- Bám sát nội dung chương trình tốn bậc THPT, các bài tốn hình học khơng
gian trong các đề thi chính thức TN THPT QG, các đề thi minh họa của Bộ Giáo dục
và đề thi thử của các sở Giáo dục và Đào tạo các tỉnh thành trong cả nước.
2

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123

4 of 98.

- Mở rộng nội dung phù hợp với ôn thi TN THPT QG.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra, phân tích: Tập hợp và phân tích các bài toán trong kỳ
thi TN THPT QG những năm gần đây, trong sách giáo khoa, sách bài tập.
- Phương pháp thực nghiệm: sử dụng các bài toán tạo ra, đặc biệt là các bài
tập theo mức độ, thực nghiệm cho các lớp giảng dạy và phổ biến cho đồng nghiệp
sử dụng để khảo nghiệm đề tài, rút ra kinh nghiệm, bổ sung vào đề tài.
- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa tri thức: Sắp xếp bài tốn theo dạng,
theo giải pháp phù hợp, bài tập theo mức độ.
6. Đóng góp mới của đề tài
- Xây dựng các dấu hiệu nhận biết giúp học sinh định hướng giải các bài tốn
hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ hóa.
- Tăng tốc độ giải các bài tốn trắc nghiệm hình học khơng gian bằng Casio
khi chuyển qua phương pháp tọa độ hóa.
- Thiết kế trị chơi hoạt động luyện tập tạo sự hứng thú học tập cho học sinh.
B. PHẦN NỘI DUNG
I. CƠ SỞ KHOA HỌC
1. Cơ sở lí luận
1.1. Năng lực tốn học
Năng lực tốn học là khả năng của cá nhân biết lập công thức, vận dụng và
giải thích tốn học trong nhiều ngữ cảnh. Năng lực tốn học phổ thơng là khả năng
nhận biết ý nghĩa, vai trị của kiến thức tốn học trong cuộc sống; vận dụng và phát
triển tư duy toán học để giải quyết các vấn để của thực tiễn, đáp ứng nhu cầu đời
sống hiện tại và tương lai một cách linh hoạt; là khả năng phân tích, suy luận, lập
luận, khái qt hóa, trao đổi thơng tin hiệu quả thơng qua việc đặt ra, hình thành và
giải quyết vấn đề tốn học trong các tình huống, hồn cảnh khác nhau, trong đó chú
trọng quy trình, kiến thức và hoạt động.

Năng lực tốn học phổ thơng khơng đồng nhất với khả năng tiếp nhận nội
dung của chương trình tốn trong nhà trường phổ thơng truyền thống, mà điều cần
nhấn mạnh đó là kiến thức toán học được học, vận dụng và phát triển như thế nào
để tăng cường khả năng phân tích, suy luận, lập luận, khái qt hóa và phát hiện
được tri thức toán học ẩn dấu bên trong các tình huống, các sự kiện.
1.2. Năng lực tư duy tốn học
Năng lực tư duy toán học là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ, tái
hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tường tượng, suy luận - giải quyết vấn đề, xử lý
và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng vào thực tiễn.
3

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


5 of 98.

1.3. Năng lực lập luận toán học
Năng lực lạp̣ luận toán học là khả năng của mỗi cá nhân dựa vào những tiền
đề cho trước, sử dụng ngôn ngữ toán học, bằng phương pháp luận đề đưa ra kết luận
đúng.
1.4. Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, mặt phẳng
 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng:
Về mặt hình học: Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a là khoảng cách
giữa hai điểm O và H , trong đó H là hình chiếu của điểm O lên đường thẳng a .
Kí hiệu: d  O, a   OH

Về mặt tọa độ: Trong không gian Oxyz cho điểm A  xA ; y A ; z A  , d có vectơ
chỉ phương u  u1; u2 ; u3  . Khoảng cách từ điểm A dến đường thẳng d là d ( A, d ) :
Cách 1: d ( A, d ) 

[ AM , u ]
với điểm M bất kì thuộc d .
|u |

Cách 2: Bước 1: Gọi M là hình chiếu của A lên đường thẳng d . Tham số
hóa điểm M theo t .
Bước 2: Tìm tọa độ AM theo t , vì AM vng góc với u nên AM .u  0 , từ
đó tìm t .
Bước 3: Biết t , tìm tọa độ M , từ đó tìm được d ( A, d )  AM .
 Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Về mặt hình học: Khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( ) là khoảng
cách giữa hai điểm O và H , trong đó H là hình chiếu của điểm O trên mặt phẳng
( ) .
Kí hiệu: d ( A,( P ))  AM .

Về mặt tọa độ:
Trong không gian Oxyz , cho điểm A  xA ; y A ; z A  và
( ) : Ax  By  Cz  D  0 . Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng ( ) là:
4

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chun ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


6 of 98.

d ( A,( )) 

Ax A  By A  Cz A  D
A2  B 2  C 2

1.5. Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Về mặt hình học: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng   . Khoảng
cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng   là khoảng cách từ một điểm bất kì của
a đến mặt phẳng   .
Kí hiệu: d  a,    .

Về mặt tọa độ:
Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng a và ( ) : Ax  By  Cz  D  0 .
Khoảng cách từ đường thẳng a đến mặt phẳng ( ) là:

d (a,( ))  d ( A,( )) 

AxA  By A  Cz A  D
A2  B 2  C 2

với điểm A  xA ; y A ; z A  bất kỳ thuộc a

1.6. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Về mặt hình học: Khoảng cách giữa hai mặt
phẳng song song   ,    là khoảng cách từ một
điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Kí hiệu: d    ,     .

Về mặt tọa độ:
Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng song song
( ) : Ax  By  Cz  D  0 và (  ) : A ' x  B ' y  C ' z  D '  0 . Khoảng cách giữa hai
mặt phẳng ( ) và (  ) là:

d (( ),(  ))  d ( A,( )) 

AxA  By A  Cz A  D
A2  B 2  C 2

với điểm A  xA ; y A ; z A   (  ) .
5

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123


7 of 98.

1.7. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Về mặt hình học: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
bằng độ dài đoạn vng góc chung MN của hai đường thẳng ấy.
Kí hiệu: d  a, b   MN

a
M

b
N

Về mặt tọa độ: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng a, b lần lượt
có các vectơ chỉ phương u1 , u2 .
Cách 1: Bước 1: Lấy tọa độ điểm M  a và N  b .
Bước 2: d (a, b) 

u1 , u2   M 1M 2



.
u1 , u2 



Cách 2: Bước 1: Tham số hóa điểm M  a theo t , tham số hóa điểm N  b
theo t ' . Lập vectơ MN theo t , t ' .
 MN  u1  0
Bước 2: Vì MN vng góc với cả u1 , u2 nên 
từ đó tìm được t , t '
MN

u

0

2
Bước 3: Từ t , t ' tìm được tọa độ hai điểm M , N . Tính d (a, b)  MN .

1.8. Góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian
Về mặt hình học: Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc
giữa hai đường thẳng a ' và b ' cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a, b

a

Kí hiệu:  a, b 

a'
O
b'

Chú ý: - Nếu a //b hoặc a  b thì  a, b   0

b
0

- Nếu a cắt b hoặc a chéo b thì 00   a, b   900 .
6

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


8 of 98.

Về mặt tọa độ: Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng a, b lần lượt
có các vectơ chỉ phương u1 , u2 . Góc giữa hai đường thẳng là:

cos(a, b)  cos(u1 , u2 ) 

u1.u2
u1 . u2

1.9. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong khơng gian
Về mặt hình học: Góc giữa hai đường thẳng a và ( ) trong khơng gian là
góc giữa hai đường thẳng a và a ' , trong đó a ' là hình chiếu của a lên ( ) .
Kí hiệu:  a,( ) 

a

Chú ý: 00   a,( )   900

a'
α

Về mặt tọa độ: Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng a có các vectơ chỉ
phương u và ( ) có véc tơ pháp tuyến là n . Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:
sin(a,( ))  cos(u , n ) 

u.n
u .n

1.10. Góc giữa hai mặt phẳng trong khơng gian
Về mặt hình học: Góc giữa hai mặt phẳng ( ) và (  ) là góc được tạo bởi
hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai mặt phẳng đó.
Kí hiệu:  ( ),(  ) 
Chú ý: 00   ( ),(  )   900
Về mặt tọa độ: Trong không gian Oxyz , cho ( ) và (  ) có các vectơ pháp
tuyến lần lượt là n1 và n2 . Góc giữa hai mặt phẳng là:
cos(( ),(  ))  cos(n1 , n2 ) 

n1 , n2
n1 . n2

1.11. Thể tích của khối đa diện
1
 AB, AC  . AD

6
 Thể tích của khối hộp ABCD. A ' B ' C ' D ' : V   AB, AD  . AA '

 Thể tích của khối tứ diện ABCD : V 

7

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chun ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


9 of 98.

1.12. Sử dụng Casio tính nhanh tích có hướng, tích vơ hướng hai véc tơ,
tích hỗn tạp
Trong khơng gian Oxyz , cho véc tơ a  a1; a2 ; a3  , b  b1; b2 ; b3 , c  c1; c2 ; c3 
Tính:
 Tích vơ hướng a.b
 Tích có hướng  a , b 
 Tính góc giữa hai véc tơ a , b
 Tính tích hỗn tạp:  a , b  .c
a. Đối với Casio Fx580VN

 

Bước 1: Ấn w513 (nhập véc tơ a ) Ấn C
Bước 2: Ấn w523 (nhập véc tơ b ) Ấn C
Bước 3:
- Tính tích vơ hướng a.b : Ấn OPTN 3 OPTN R2 OPTN 4=
- Tính tích có hướng  a , b  : Ấn phím OPTN 3O Ấn phím OPTN 4
- Tính góc giữa hai véc tơ a , b :
Ấn OPTN R3OPTN3q)OPTN4)=

 

- Tính tích hỗn tạp:  a , b  .c : Dùng ma trận
MENU4133(Nhập dòng a1; a2 ; a3 )(nhập dòng b1; b2 ; b3 )(nhập dòng
c1; c2 ; c3 )COPTNR2OPTN3=
b. Đối với Casio Fx570VN, Fx570ES
Bước 1: Ấn w811 (nhập véc tơ a ) Ấn C
Bước 2: Ấn w812 (nhập véc tơ b ) Ấn C
Bước 3:
- Tính tích vơ hướng a.b : Ấn q537q4=
- Tính tích có hướng  a , b  : Ấn q53Oq54=
- Tính góc giữa hai véc tơ a , b : Ấn
(q53q57q54)a(qcq53)
Oqcq54))=

 

- Tính tích hỗn tạp:  a , b  .c : Dùng ma trận

W611(Nhập dòng a1; a2 ; a3 )(nhập dòng b1; b2 ; b3 )(nhập dòng c1; c2 ; c3 )
Cq47q43=
2. Cơ sở thực tiễn
Sự cần thiết của phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học trong dạy học.
Và bắt nguồn từ một thực tiễn là đề thi TN THPT QG những năm gần đây đều xuất
hiện những bài tốn hình học khơng gian ở mức độ vận dụng, vận dụng cao làm cho
nhiều em học sinh, đặc biệt là học sinh có học lực trung bình và khá lo lắng, quan
8

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


10 of 98.

tâm nhưng chưa giải quyết được. Nhưng bằng cách chuyển bài tốn về hướng giải
tích có thể giải được một cách hiệu quả bằng phương pháp tọa độ.
2.1. Khảo sát thực trạng
Từ thực tế cho thấy phương pháp tọa độ hóa hình học khơng gian khơng được
đề cập nhiều trong sách giáo khoa bởi một phần do hình học khơng gian được học ở
lớp 11. Cịn hình học khơng gian giải tích lại nằm ở chương trình lớp 12 nên giáo
viên và học sinh khơng có nhiều thời gian để đi sâu về nó. Qua khảo sát học sinh lớp
12 trường THPT Thanh Chương 3 tôi nhận thấy rất ít học sinh được tiếp cận, hoặc
từng giải bài tốn hình học khơng gian bằng phương pháp tọa độ hóa. Và thực tế các
giáo viên cũng rất ít hướng dẫn học sinh giải bằng phương pháp này.
Tôi đã tiến hành khảo sát tại các lớp: 12A3, 12D1, 12D5 ở trường THPT
Thanh chương 3.
Hình thức khảo sát: Học sinh làm đề kiểm tra tự luận
Thời gian: 45 phút
Mục tiêu: Đánh giá mức độ của người học giải bài tốn hình học khơng gian
về tính góc, tính khoảng cách và thể tích của khối đa diện.
Đề khảo sát như sau: (Kết quả bài làm ở phần phụ lục)
Mức độ 2:
Câu 1: (2.0 điểm). Cho hình chóp S . ABC có SA  ( ABC ) , tam giác ABC
đều cạnh a và SA  a . Tính góc giữa SC và mặt phẳng ( ABC ) .
Câu 2: (2.0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD , có đáy ABCD là hình vuông
a 3
cạnh a , SA  ( ABCD ) và SA 
. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
3
( SCD ) .
Mức độ 3:
Câu 3: (2.0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang vng tại A
và B ; AB  BC  a và AD  2a ; SA vng góc với mặt đáy và SA  a . Tính khoảng

cách giữa SB và CD .
Câu 4:(4.0 điểm). Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình chữ nhật
AB  a, AD  a 2 , SA  a, SA  ( ABCD) , Gọi M , N là trung điểm AD, SC . Gọi
I là giao điểm BM , AC
a. Chứng minh rằng ( SAC )  ( SMB )
b. Tính thể tích của khối tứ diện ANIB
2.2. Phân tích, đánh giá thực trạng
a. Kết quả khảo sát
Sau khi khảo sát giáo viên đã nhận được kết quả như sau:
9

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


11 of 98.

Thứ tự

Lớp

Sĩ số

Điểm Trung bình

1

12A3

38

5,8

2

12D1

43

5,3

3

12D5

42

4,0

b. Phân tích, đánh giá thực trạng đó
Trường THPT Thanh Chương 3 đóng trên địa bàn huyện miền núi, nhiều xã
cịn gặp nhiều khó khăn về kinh tế và giao thông đi lại. Nhiều em có nền tảng kiến
thức về mơn Tốn cịn yếu đa số tập trung ở mức trung bình và khá.
Đối với bài tốn hình học khơng gian, qua bảng khảo sát trên cho thấy các
em hầu hết gặp rất nhiều khó khăn trong việc tiếp cận bài tốn, nhiều em chưa giải
quyết được các bài toán cơ bản mức độ 2. Qua việc quan sát các em khi làm bài khảo
sát, tơi nhận thấy chỉ có khoảng 30% học sinh hứng thú với các câu mức độ 3. Qua
đó cho thấy mặc dù câu hỏi hình học khơng gian chưa phải ở mức độ 4 nhưng các
em cũng đã cảm thấy khó khăn trong việc giải quyết bài tốn.
II. PHƯƠNG HƯỚNG VÀ GIẢI PHÁP
Từ thực trạng đó, tơi định hướng phát triển cho các em năng lực tư duy và lập

luận hình học bằng phương pháp tọa độ hóa đề giải quyết các bài toán. Kết hợp với
sử dụng máy tính cầm tay trong tính tốn nhằm tăng tốc độ giải toán tạo sự hứng thú
cho học sinh khi làm bài tập trắc nghiệm.
1. Dấu hiệu nhận biết bài toán hình học khơng gian có thể giải bằng
phương pháp tọa độ
- Hình đã cho có một đỉnh là tam diện vng.
- Hình chóp có một cạnh bên vng góc với đáy và đáy là các tam giác vuông,
tam giác đều, hình vng, hình chữ nhật…
- Hình lập phương, hình hộp chữ nhật.
- Hình đã cho có một đường thẳng vng góc với mặt phẳng, trong mặt phẳng
đó có những đa giác đặc biệt: Tam giác vng, tam giác đều, hình thoi…
- Một vài hình chưa có sẵn tam diện vng nhưng có thể tạo được tam diện
vng chẳng hạn: Hai đường thẳng chéo nhau mà vng góc, hoặc hai mặt phẳng
vng góc.
Ngồi ra, với một số bài tốn mà giả thiết khơng cho những hình quen thuộc
như đã nêu ở trên thì ta cịn có thể dựa vào tính chất song song, vng góc của các
đoạn thẳng hay đường thẳng trong hình vẽ để thiết lập hệ trục tọa độ.
10

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123


12 of 98.

2. Các bước giải bài tốn hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz thích hợp và tìm tọa độ các điểm có liên
quan đến u cầu bài tốn
Bước 2: Chuyển bài tốn đã cho về bài tốn hình học giải tích
Bước 3: Giải bài tốn hình học giải tích trên
Bước 4: Chuyển kết luận của bài tốn hình học giải tích sang tính chất hình

học tương ứng
3. Thiết lập hệ trục tọa độ
Vấn đề quan trọng nhất trong việc giải bài tốn hình học khơng gian bằng
phương pháp tọa độ là thiết lập hệ trục tọa độ cho phù hợp. Sau đây là một số phương
pháp để thiết lập hệ trục tọa độ.
3.1. Thiết lập hệ tọa độ đối với tam diện vuông thường gặp
Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho gốc tọa độ O trùng với đỉnh của tam
diện vuông.
Bước 2: Xác định tọa độ các đỉnh liên quan từ dữ kiện đề bài.
Bước3: Sử dụng các cơng thức, tính chất trong tọa độ Oxyz để giải quyết bài tốn
Một số mơ hình tam diện vuông thường gặp:

Giả thiết và chọn hệ trục Oxyz tương ứng

Hình vẽ

1. Hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có các
cạnh bằng a .

z
A'

D'

- Chuẩn hóa a  1 . Chọn hệ trục Oxyz sao cho:
A  0;0;0  , B 1;0;0  , C 1;1;0  , D  0;1;0 

B'

C'

A '  0;0;1 , B ' 1;0;1 , C ' 1;1;1 , D '  0;1;1

A

D

y

O

B

C

x

z

2. Hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có các
cạnh bằng AB  a, AD  b, AA '  c .

A'

D'

- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:
A  0;0;0  , B  a;0;0  , C  a; b;0  , D  0; b;0 

B'

A '  0;0; c  , B '  a;0; c  , C '  a; b; c  , D '  0; b; c 

C'

A

B

D

y

O

C

x

11

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


13 of 98.

3. Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình
vng, SA   ABCD  .

z

S

- Chọn hệ trục Oxyz sao cho: O  0;0;0   A

A

B

x

C

y

O
D
C
y

4. Hình chóp S. ABC có đáy ABC vng tại
A, SA   ABC  .

z
S

- Chọn hệ trục Oxyz sao cho: O  0;0;0   A

A

O

B

5. Hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy
ABC vuông tại A.

x

z
A'

- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:

B'

C'

O  0;0;0   A
A
O
C

B

x

y

3.2. Thiết lập hệ trục tọa độ vào các hình đa diện tạo thêm mơ hình tam
diện vng

3.2.1. Định hướng chọn hệ trục tọa độ đối với các hình chóp, hình lăng
trụ:
Định hướng 1: Vẽ hình theo u cầu, giả thiết của bài tốn. Trong mặt đáy
tìm mối quan hệ vng góc, khi đó điểm có yếu tố vng góc ở mặt đáy chính là
điểm ta chọn làm gốc tọa độ O , đồng thời hai đường thẳng vng góc tại điểm đó
được chọn làm hai trục tọa độ Ox, Oy . Từ O dựng tia vng góc với mặt đáy ta
được trục Oz
Định hướng 2: Từ chân hình chiếu của đỉnh hình chóp ta chọn làm gốc tọa
độ, đồng thời đường cao này ta chọn làm trục Oz . Trong mặt đáy tại O tạo ra hai
đường thẳng vng góc thích hợp, và hai đường thẳng này chọn làm trục Ox, Oy .
12

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123


14 of 98.

3.2.2. Một số hình đa diện tạo thêm mơ hình tam diện vng thường gặp
Giả thiết và chọn hệ trục Oxyz tương ứng

Hình vẽ

1. Hình chóp tứ giác đều S. ABCD có đáy
ABCD là hình vng tâm O .

z
S

- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao
cho:

O  0;0;0   O

D

A
O
x

B

y

C

2. Hình chóp tứ giác S. ABCD có đáy ABCD
là hình thoi tâm O, SO   ABCD 

z
S

- Chọn hệ trục Oxyz sao cho: O  0;0;0   O
D

A
O
x

B

y

C

3. Hình chóp tam giác đều S. ABC có đáy
ABC là tam gác đều cạnh a , đường cao
SI  h với I là tâm của đáy.

S

z

- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ:
O  0;0;0   H

OH

- Trục Oz //SI

I
x

B

4. Hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình
thoi tâm O, SA   ABCD 

S

- Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ sao
cho: O  0;0;0   O

z

D

A

- Trục Oz //SA

x

O
B

5. Hình chóp tam S. ABC có SA   ABC  và
ABC vuông tại B .
- Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho:
O  0;0;0   B
- Trục Bz //SA

y

C

A

C

S

y

z

y
x

C
A
BO

13

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123


15 of 98.

6. Hình chóp tam S. ABC có mặt bên  SAB 
là tam giác đều hoặc cân tại
S ,  SAB    ABC  và đáy ABC vuông tại A .
Gọi H là trung điểm của AB
- Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho:
O  0;0;0   A

z

A

S

y

O
C

- Trục Az //SH
H
B

7. Hình chóp tam S. ABC
là tam giác đều
S ,  SAB    ABC  và đáy
C.
Gọi H là trung điểm của

có mặt bên  SAB 
hoặc cân tại
ABC vng cân tại

AB
- Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao cho:
O  0;0;0   H

x

z
S

y

A

C
O
H
B

8. Hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC
đều (hoặc vng cân tại C hoặc cân tại C ).
Hình chiếu vng góc H của A ' trên mặt
phẳng  ABC  là trung điểm của AB .

x

z
A'

C'
B'

- Chọn hệ trục tọa độ sao cho: O  0;0;0   H
y
A

C

O
H
B

9. Hình lăng trụ ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC
vng tại A . Hình chiếu vng góc H của A '
trên mặt phẳng  ABC  là trung điểm của AB
.

x

z
A'

C'
B'

- Chọn hệ trục tọa độ sao cho: O  0;0;0   A
A

O

y
C
H
B

x

14

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123

16 of 98.

4. Hệ trục tọa độ Oxyz
4.1. Định nghĩa
Hệ trục tọa độ vng góc Oxyz trong khơng gian là hệ gồm 3 trục
x ' Ox, y ' Oy, z ' Oz đơi một vng góc.
- Điểm O là gốc tọa độ

z

- Ox gọi là trục hoành
- Oy gọi là trục tung

y'

- Oz gọi là trục cao

x

x'
o

y
z'

4.2. Cách xác định tọa độ điểm M  xM ; yM ; zM  trong hệ tọa độ Oxyz
z
K
M
y'

x'

I

O

x

J
M'
y
z'

- Tìm hình chiếu M ' của M trên mặt phẳng Oxyz
- Từ điểm M ' kẻ M ' I vng góc với trục x ' Ox tại điểm I
- Từ điểm M ' kẻ M ' J vng góc với trục y ' Oy tại điểm J
- Từ điểm M kẻ MK vng góc với trục z ' Oz tại điểm K
 xM  OI

Nếu I , J , K lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz thì:  yM  OJ
 z  OK  MM '
 M

 xM  OI

Nếu I , J , K lần lượt thuộc các tia Ox ', Oy ', Oz ' thì:  yM  OJ
 z  OK   MM '
 M
15

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thơng tin document, khoa luan, tieu luan, 123


17 of 98.

5. Các dạng bài toán
5.1. Bài toán về khoảng cách trong không gian
 Khoảng các từ điểm đến đường thẳng và mặt phẳng
Bài tốn 1: Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' có cạnh bằng a . Tính
khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng B ' D .
Phương pháp hình học thuần túy:
Lời giải:
 AD  AB
Vì 
 AD   ABB ' A '  AD  AB ' .
AD

AA
'


Trong tam giác ADB ' vuông tại A ta vẽ đường cao AH .
Vậy AH  d  A, B ' D  .
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác
ADB '

D'

C'

A'

B'

1
1
1
1
1


 2 2
2
2
2
AH
AD AB a 2a

H
C

D

a 6
 AH 
3

B

A

Phương pháp tọa độ hóa:
Lời giải:
Chuẩn hóa a  1.

z

Chọn hệ trục tọa độ Dxyz (hình vẽ) với
gốc tọa độ tại điểm D .

D'

C'

A'

B'

Trong hệ trục tọa độ này ta có:

D  0;0;0  , A 1;0;0  , B ' 1;1;1

H

Ta có DA  1;0;0  , DB '  1;1;1
Khoảng cách điểm A đến đường thẳng B ' D là:

y
C

D
x

A

B

 DA, DB '
6


d  A, DB ' 

.
3
DB '

Vậy d  A, DB ' 

a 6
.
3

16

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


18 of 98.

Phân tích: Đây là một bài tốn mà đối với các em có học lực khá sẽ giải quyết
được một cách khá dễ dàng bằng phương pháp hình học thuần túy nhưng đối với
các em có học lực trung bình, trung bình yếu thì khơng hề đơn giản. Vì các em
thường khơng dựng được điểm H chính vì vậy việc tọa độ hóa để đưa bài tốn hình
học về bài tốn hình học giải tích sẽ tạo cho các em sự hứng thú trong việc tính tốn.
Nhờ sự hỗ trợ của máy tính Casio các em có thể tính nhanh  DA, DB ' , DB ' .
Bài tốn 2: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B ,
cạnh bên SA vuông góc với đáy và SA  2a, AB  BC  a. Gọi M là điểm thuộc
2a
. Tính khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CM .
AB sao cho AM 
3
Phương pháp hình học thuần túy:
Lời giải:
S

B
M
H
A

C

Trong ( SMC ) kẻ SH  MC tại H .
 MC  SH
Có 
 MC  ( SAH )  MC  AH . Do đó d  S , CM   SH
MC

SA



Diện tích tam giác ABC là S ABC 

1
a2
AB  BC 
2
2

1
a2
Diện tích tam giác MBC là S MBC  MB  BC 
2
6
2
2
2
a
a
a
 S AMC  S ABC  S MBC 

 .
2
6
3

Xét BMC  MC  MB 2  BC 2 
Độ dài cạnh AH 

10a
.
3

2 S AMC 2a 10

.
MC
10

17

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chun ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Cơng ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


19 of 98.

Xét AHS  SH  AH 2  SH 2 

a 110
a 110
. Vậy d  S , CM  
.
5
5

Phương pháp tọa độ hóa:
Lời giải:
Chuẩn hóa a  1. Chọn hệ trục tọa độ Bxyz (hình vẽ) với gốc tọa độ tại điểm B .

Trong hệ trục tọa độ này ta có:
1

B  0;0;0  , A 1;0;0  , C  0;1;0  , S 1;0;2  , M  ;0;0 
3


2

 1

 2 2
Ta có MS   ;0;2  , MC    ;1;0    MS , MC    2; ;  
3

 3

 3 3
z

Khoảng cách điểm S đến đường thẳng CM là:
 MS , MC 
110


d  S , CM  

.
5
MC

Vậy d  S , CM  

S

a 110
.
5

B
M
H
C

A

y

x

Phân tích: Khi giải bài tốn này bằng phương pháp hình học thuần túy đối
với nhiều em có học lực khá trở xuống cũng có thể gặp nhiều khó khăn vì phải dựng
được được khoảng cách từ điểm S đến đường thẳng CM và việc tính tốn độ dài
đoạn thẳng SH . Nhưng công việc trở nên “dễ dàng” hơn nhiều khi ta đưa bài toán
này về dạng hình học tọa độ.
Bài tốn 3 (sáng tác): Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng
a và chiều cao bằng h . Gọi I là trung điểm cạnh bên SC . Tính khoảng cách từ S
đến mặt phẳng ( AIB ) .
Phương pháp tọa độ hóa
Lời giải:

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Ta có OA  OB  OC 

a 2
.
2

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc tọa độ O , tia Ox chứa điểm A , tia Oy chứa
điểm B , tia Oz chứa điểm S .
18

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123


20 of 98.

z
S

I

G
C

D
O
x

y

B

A

a 2
  a 2   a 2

Khi đó: A 
;0;0  , B  0;
;0  , C 
;0;0  , S (0;0; h) .
2
 2
 
  2

Gọi G là giao điểm của SO và AI . Tam giác SAC có G là giao điểm của hai
h

đường trung tuyến nên G là trọng tâm, do đó G  0;0;  .
3

Mặt phẳng ( AIB ) đi qua A, B, G nên có phương trình:



Do đó khoảng cách từ S đến mặt phẳng ( AIB ) là: d 

x
a 2
2



y
a 2
2



z
1
h
3

2
2
3
x
y  z 1  0 .
a
a
h
3
 h 1
2ah
h

2
2
2

2
9
4
h

9
a
 
a 2 a 2 h2

 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song
Bài toán 4: Cho hình chóp tứ giác đều S. ABCD có cạnh đáy bằng 2a và chiều
cao bằng a 3 . Tính khoảng cách giữa đường thẳng CD và mặt phẳng ( SAB ) .
Phương pháp hình học thuần túy
Lời giải:

 SO   ABCD 
Gọi O là tâm của đáy  
 SO  a 3
19

Tng hp các án, khóa lun, tiu lun, chuyên và lun vn tt nghip i hc v các chuyên ngành: Kinh t, Tài Chính & Ngân Hàng, Công ngh thông tin document, khoa luan, tieu luan, 123