Rèn luyện năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh qua bài toán viết phương trình đường thẳng trong không gian

1.MỞ ĐẦU
1.1. Lý do chọn đề tài
Theo Chương trình giáo dục phổ thơng 2018, “năng lực là thuộc tính cá
nhân được hình thành, phát triển nhờ tố chất sẵn có và quá trình học tập, rèn
luyện, cho phép con người huy động tổng hợp các kiến thức, kĩ năng và các
thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí,… thực hiện thành cơng
một loại hoạt động nhất định, đạt kết quả mong muốn trong những điều kiện cụ
thể”.
Thơng qua chương trình mơn Tốn, học sinh cần hình thành và phát triển
được năng lực toán học. Năng lực toán học bao gồm các thành tố cốt lõi sau:
năng lực tư duy và lập luận toán học; năng lực mơ hình hóa tốn học; năng lực
giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp toán học; năng lực sử dụng cơng
cụ, phương tiện học tốn.Tùy vào từng đối tượng học sinh, yêu cầu cần đạt của
từng khối lớp, năng lực toán học của mỗi học sinh được biểu hiện ở các mức độ
khác nhau.
Dạy học theo hướng phát triển năng lực học sinh là chuyển đổi từ việc
“học sinh cần phải biết gì” sang việc “phải biết và có thể làm gì” trong các tình
huống và bối cảnh khác nhau. Do đó dạy học theo hướng phát triển năng lực học
sinh chú trọng lấy học sinh làm trung tâm và giáo viên là người hướng dẫn, giúp
các em chủ động trong việc đạt được năng lực theo yêu cầu đặt ra, phù hợp với
đặc điểm cá nhân.
“Phương pháp tọa độ trong không gian” là phần kiến thức trọng tâm của
Hình học lớp 12 cũng là nội dung xuất hiện nhiều trong các đề thi THPT Quốc
gia và thi tốt nghiệp. Việc giải các toán bằng phương pháp tọa độ trong khơng
gian nói chung và giải bài tốn viết phương trình đường thẳng nói riêng chứa
đựng tiềm năng rất lớn trong việc phát triển, rèn luyện năng lực tư duy và lập
luận tốn học cho học sinh.
Với những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài “ Phát triển năng lực tư duy và
lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xuân 2 qua bài toán
viết phương trình đường thẳng trong khơng gian Oxyz” để nghiên cứu, áp
dụng vào giảng dạy nhằm phần nào đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục và góp

phần vào nâng cao chất lượng dạy học cho nhà trường .
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho học sinh thơng qua
việc phân loại và tìm lời giải cho bài tốn viết phương trình đường thẳng trong
Oxyz
không gian với hệ tọa độ
.
1.3. Đối tượng nghiên cứu
Oxyz
- Các bài tập viết phương trình đường thẳng trong khơng gian
nằm
trong chương trình tốn học phổ thơng.
1.4. Phương pháp nghiên cứu

1


- Phương pháp nghiên cứu lý luận: nghiên cứu chương trình giáo khoa,
nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo liên quan đến vấn đề viết phương trình
đường thẳng trong khơng gian.
- Phương pháp nghiên cứu thực tế: thông qua việc dạy và học phân mơn
Hình học ở THPT rút ra một số nhận xét và phương pháp giúp học sinh rèn
luyện năng lực tư duy và lập luận toán học.
- Phương pháp kiểm chứng sư phạm: tiến hành dạy, kiểm tra đánh giá khả
năng tiếp thu kiến thức và năng lực tư duy toán học của học sinh.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN
2.1.Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm
2.2.1. Khái niệm năng lực tư duy và lập luận toán học
Theo chương trình giáo dục phổ thơng tổng thể mơn Toán, năng lực tư
duy và lập luận toán học của học sinh ở cấp trung học phổ thông được thể hiện

qua việc:
- Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát
hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức
tạp và lí giải được kết quả của việc quan sát.
- Sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để nhìn ra
những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề.
- Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích,
chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học.
2.2.2. Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học qua bài toán viết
phương trình đường thẳng
Khi giải bài tốn viết phương trình đường thẳng, năng lực tư duy và lập
luận toán học của học sinh được thể hiện ở việc:
- Trước hết học sinh cần nắm được quy tắc : muốn viết được phương trình
đường thẳng thì cần biết hai yếu tố đó là một điểm thuộc đường thẳng và một
vectơ chỉ phương của đường thẳng đó.
- Biết phân tích, so sánh tìm ra điểm giống nhau, khác nhau giữa các dạng
tốn với quy tắc trên; xác định yếu tố đã biết là gì, yếu tố cần tìm là gì và tìm
như thế nào.
- Căn cứ vào kiến thức hình học khơng gian, phương pháp tọa độ trong
không gian đã học, lập luận để giải quyết vấn đề, đưa bài toán từ lạ về quen.
2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Sau nhiều năm giảng dạy tại trường THPT Thường Xuân 2, tôi nhận thấy
đa số các em học sinh của nhà trường còn học yếu các mơn tự nhiên, đặc biệt là
mơn Tốn. Trong q trình học, các em thường lúng túng khi phải giải các bài
tốn địi hỏi khả năng tư duy và lập luận tốn học. Chẳng hạn, ở bài tốn viết
phương trình đường thẳng các em viết được phương trình đường thẳng nếu giả
thiết cho cụ thể điểm thuộc đường thẳng và vectơ chỉ phương, nhưng sẽ gặp khó
khăn nếu bài tốn u cầu viết phương trình đường thẳng thỏa mãn một điều
kiện nào đó, bởi các em khơng biết cách phân tích, lập luận để tìm ra hướng giải.
2

Từ thực trạng như trên, tôi đã áp dụng đề tài “ Phát triển năng lực tư duy
và lập luận toán học cho học sinh trường THPT Thường Xuân 2 qua bài tốn
viết phương trình đường thẳng trong khơng gian Oxyz” vào giảng dạy để giúp
các em khắc phục những điểm yếu khi học về mảng kiến thức này.
2.3. Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn
đề
Giải pháp:
- Hệ thống một số kiến thức liên quan đến phương trình đường thẳng, mặt
phẳng; quan hệ song song và quan hệ vng góc trong khơng gian.
- Phân loại và hướng dẫn học sinh phân tích tìm cách giải cho bài tốn
Oxyz
viết phương trình đường thẳng trong không gian
.
- Triển khai dạy trên lớp và kiểm tra đánh giá cuối chuyên đề.
Nội dung giải pháp:
2.3.1. Kiến thức cơ bản
1). Khái niệmuvectơ
chỉ phương của đường thẳng
u
r
ud
Vectơ
khác vectơ-không
được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của
uu
r
ud
d

d.
đường thẳng nếu giá của
song song hoặc trùng với đường thẳng
2). Khái niệmuu
vectơ
ur chỉ pháp tuyến của mặt phẳng
n( P )
Vectơ
khác vectơ-không
được gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của
uuur
n( P)
( P)
( P) .
mặt phẳng
nếu giá của
vng góc với mặt phẳng
3). Quan hệ song song và quan hệ vng góc giữa hai đường thẳng, giữa đường
thẳng và mặt phẳng
uu
r
uu
r
ud = k .u∆ (k ≠ 0).
d / /∆
+) Nếu
uu
rthìuu
r
uu

r uu
r
d ⊥ ∆ ⇔ ud ⊥ u∆ ⇔ ud .u∆ = 0.
+)
uu
r
uuur
ud = k .n( P) (k ≠ 0).
d ⊥ ( P)
) Nếu
thì
+
uu
r uuur
uu
r uuur
ud ⊥ n( P) ⇔ ud .n( P ) = 0.
d / / ( P)
thì
+) Nếu
( P) , ( Q)
d
+) Đường thẳng
là giao tuyến của hai mặt phẳng
hoặc đường
uu
r uuur uuur
ud =  n( P) ; n( Q)  .
( P) , ( Q)
d

thẳng là song song với hai mặt phẳng
thì
3


+) Đường thẳng
uu
r uur uur
ud = ud1 ; ud 2  .

d

vng góc với hai đường thẳng

d1 , d 2

thì

4). Phương trình của đường thẳng trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz
M ( x0 ; y0 ; z0 )
d
Cho đường thẳng
đi qua điểm
và có VTCP
uu
r
ud = (u1;u 2 ;u 3 )
. Khi đó:
 x = x0 + u1t


d :  y = y0 + u2t (t ∈ R)
z = z + u t

0
3
a. Phương trình tham số của đường thẳng
x − x0 y − y0 z − z0
d:
=
=
u1
u2
u3
b. Phương trình chính tắc của đường thẳng
a1 ≠ 0; a2 ≠ 0; a3 ≠ 0
(với
).
2.32. Phân loại và tìm cách giải bài tốn viết phương trình đường thẳng
trong khơng gian Oxyz
M ( x0 ; y0 ; z0 )
d
Dạng 1: Viết uphương
trình đường thẳng đi qua điểm
có vectơ
u
r
ud = (u1;u 2 ;u 3 )
chỉ phương
Cách giải:
d

Phương trình tham số của đường thẳng
có dạng:
 x = x0 + u1t

 y = y0 + u2t
z = z + u t
0
3

∈
với t R
u1, u 2 , u 3 ≠ 0
d
Nếu cả
thì đường thẳng có phương trình chính tắc là:
x − x0 y − y0 z − z0
=
=
u1
u2
u3
Nhận xét: Để viết được phương trình đường thẳng ở dạng tham số (hoặc chính
tắc ) cần biết hai yếu tố đó là biết một điểm thuộc đường thẳng và một vectơ chỉ
phương của đường thẳng đó.
4


d
Ví dụ 1: Viết phương trình tham số, phương trình
chính

tắc
của
đường
thẳng
uu
r
M 0 (3;2; −1)
ud = (2; −1;3)
đi qua điểm
có vectơ chỉ phương
Giải:
 x = 3 + 2t

 y = 2 − t , t ∈R

d  z = −1 + 3t
Phương trình tham số của đường thẳng :
x − 3 y − 2 z +1
=
=
.
d
2
−1
3
Phương trình chính tắc của đường thẳng :
M (2;0; −1)
∆
Bài tập tương
tự: Cho đường thẳng

đi qua điểm
có vectơ chỉ
r
a = (4; −6;2)
∆
phương
. Phương trình tham số của là
 x = −2 + 4t
 x = −2 + 2t
 x = 2 + 2t
 x = 4 + 2t




 y = −6t .
 y = −3t
 y = −3t.
 y = −6 − 3t
 z = 1 + 2t
z = 1+ t
 z = −1 + t
z = 2 + t




A.
B.
C.

D.
(BT SGK Hình học 12 tr96).
A ( xA; y A; z A )
d
Dạng 2: Viết phương trình đường thẳng
đi qua hai điểm
và
B ( xB ; y B ; z B )

Ở dạng 2, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS
thông qua việc định hướng học sinh thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 2 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết (điểm thuộc
A
B
đường thẳng điểm
và điểm ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của
đường thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho dựa vào hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa
biết, từ đó đưa dạng 2 về dạng 1: Từ định nghĩa VTCP của
uu
r đường
uuu
r thẳng ta nhận
ud = AB
A, B
d
thấy đường thẳng đi qua hai điểm
nên có VTCP
.

- Nêu cách giải dạng 2.
Cách giải:
uu
r uuu
r
ud = AB
- Tìm vectơ chỉ phương:
5


uu
r -uuViết
u
r phương trình đường thẳng đi qua điểm
ud = AB.

A

Ví dụ 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng
A(−1;3; −2), B(4;2; −3).
Giải:

d

hoặc điểm

d

B

và có VTCP

đi qua hai điểm

A(−1;3; −2), B(4;2; −3)

Đườnguu
thì có vectơ chỉ
rthẳng
uuu
r đi qua hai điểm
ud = AB = (5; −1; −1).
d
phương là
Khi đó phương trình tham số của là:
 x = −1 + 5t

, t ∈R
y = 3− t
z = 2 − t


Oxyz
Bài tập tương tự: Trong không gian
, đường thẳng đi qua hai điểm
A(1;2; −1)
B (2; −1;1)
và
có phương trình tham số là:
x = 1 + t

x = 1 + t
x = 1 + t
x = 1 + t




 y = 2 − 3t .
 y = 2 − 3t
 y = −3 + 2t.
 y = 1 + 2t
 z = 1 + 2t
 z = −1 + 2t
z = 2 − t
 z = −t




A.
B.
C.
D.
(Đề minh họa thi tốt nghiệp 2021).
A ( xA ; y A ; z A )
d
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
và song
∆
song với đường thẳng cho trước.

Ở dạng 3, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho HS
thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
nào đã biết (điểm thuộc
- So sánh dạng 3 và dạng 1 để xác định yếu tố
A
đường thẳng điểm ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường
thẳng).
- Dựa vào hình vẽ phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa
d
∆
biết, từ đó đưa dạng 3 về dạng 1: Đường thẳng song song với đường thẳng
6


uu
r
u∆

∆

nên ta có VTCP
uu
r uu
r của cũng là VTCP
ud = u∆ .
có thể chọn
- Nêu cách giải dạng 3.
Cách giải:

- Từ phương trìnhuu
đường
r uu
r thẳng
ud = u∆ .
d
của đường thẳng là

∆

- Viết phương trình đường thẳng

d

uu
r
ud

của đường thẳng

xác định VTCP

, tức là ta

, từ đó suy ra VTCP

r
ud

A

và có VTCP
.
A(−1;3; −2)
d
Ví dụ 3: Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm
 x = 3 + 2t

 y = 2 − t , t ∈R
 z = −1 + 3t

∆
và song song với đường thẳng có phương trình
Giải:
uu
r uu
r
ud = u∆ = ( 2; −1;3)
d
∆
Do đường thẳng song song với
nên ta có:
 x = −1 + 2t

, t ∈ R.
y = 3− t

d  z = −2 + 3t
Phương trình tham số :
A(1;2;0), B(1;1;2)

Bài tập tương tự: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm
và
C (2;3;1)
A
. Đường thẳng đi qua và song song với BC có phương trình là

A.

C.

x −1 y − 2 z
=
=
1
2
−1

x +1 y + 2 z
=
=
3
4
3

đi qua

uur
u∆

d

.

B.

.

D.

x −1 y − 2 z
=
=
3
4
3

.

x +1 y + 2 z
=
=
1
2
−1

.

(Mã đề 103 –TN THPT - 2020).
Dạng 4: Viết phương trình đường thẳng
( P)

mặt phẳng
cho trước.

d

đi qua điểm

A

và vng góc với

7


Ở dạng 4, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho HS
thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
nào đã biết (điểm thuộc
- So sánh dạng 4 và dạng 1 để xác định yếu tố
A
đường thẳng điểm ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường
thẳng).
- Từ hình vẽ phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ
( P)
d
đó đưa dạng
vng góc với mặt phẳng
nên ta
uuur4 về dạng 1: Đường thẳng
uu

r
n( P)
( P)
ud
d
có VTPT
cũng là VTCP của đường thẳng , tức là ta có thể
uu
r uu
r của
u d = u∆
chọn
.
- Nêu cách giải dạng 4.
Cách giải:
uuur
n
( P)
( P)
- Từ phương trình mặtuu
xác định VTPT
, từ đó suy ra
rphẳng
uuur
ud = n( P) .
d
VTCP của đường thẳng là
r
u
d

d
A
- Viết phương trình đường thẳng đi qua
và có VTCP
.
d
Ví dụ 4: Viết phương trình tham số của đường thẳng
đi qua điểm
( P ) : 2 x − y + 3z − 2 = 0
A(−1;3; −2)
và vng góc với mặt phẳng
.
Giải:
uuu
r uuur
(d ) ⊥ ( P) ⇒ u( d ) = n( P ) = (2; −1;3)
Do
 x = −1 + 2t

d : y = 3− t
, t ∈R
 z = −2 + 3t

Phương trình tham số

8


Oxyz
Bài tập tương tự: Trong không gian với hệ tọa độ

, phương trình nào dưới
A(2;3;0)
đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm
và vng góc với mặt
( P) : x + 3 y − z + 5 = 0?
phẳng
 x = 1 + 3t
x = 1 + t
x = 1 + t
 x = 1 + 3t




 y = 3t
 y = 3t
 y = 1 + 3t
 y = 3t
z = 1 − t
z = 1 − t
z = 1 − t
z = 1 + t




A.
B.
C.
D.

( Mã đề 101 THPT.QG - 2017).
d
A
Dạng 5: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm
và vng góc với
d1 , d 2
hai đường thẳng khơng song song
cho trước.

Ở dạng 5, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS
thông qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
nào đã biết (điểm thuộc
- So sánh dạng 5 và dạng 1 để xác định yếu tố
A
đường thẳng điểm ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường
thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa
d1 , d 2
d
dạng 5 về dạng 1: Đường thẳng uurvng
thẳng
nên ta
uur góc với hai đường
uu
r
ud1 , ud2
ud
d
có tích có hướng của hai VTCP

cũng là VTCP của đường thẳng
uu
r uur uur
ud = ud1 ; ud2 
, tức là ta có thể chọn
.
- Nêu cách giải dạng 5.
Cách giải:
uu
r uur uur


u
d = ud1 ; u d2 
d
- Xác định VTCP của đường thẳng là
r
u
d
d
A
- Viết phương trình đường thẳng đi qua
và có VTCP
.

9


d
Ví dụ 5: Viết phương trình tham số của đường thẳng

đi qua
A(−1;3; −2)
và vng góc với hai đường thẳng:
 x = −1 + 2t

d1 :  y = 3 − t
, t ∈R
x +1 y − 3 z + 2
d2 :
=
=
 z = −2 + 3t

5
−1
−1
và
Giải:
uur
uur
ud = (2; −1;3) d 2
ud = (5; −1; −1)
d1
Đường thẳng có VTCP
;
có VTCP
1

Do

d

vng góc với

d1

và

điểm

2

uur uuu
r uur


⇒
VTCP
u
=
u
d
d2
 d 1 , ud2  = (4;17;3)

 x = −1 + 4t

d :  y = 3 + 17t , t ∈ R.
 z = −2 + 3t


Vậy phương trình tham số của đường thẳng
Oxyz
M (−1;1;3)
Bài tập tương tự: Trong không gian
, cho điểm
và hai đường
x −1 y + 3 z −1 ′ x +1 y
z
∆:
=
=
,∆ :
= = .
3
2
1
1
3 −2
thẳng
Phương trình nào dưới đây là
∆′ ?
M
∆
phương trình đường thẳng đi qua
vng góc với và
 x = −1 − t
 x = −t
 x = −1 − t
 x = −1 − t





y = 1+ t
y =1+ t
y =1− t
y = 1+ t
 z = 1 + 3t
z = 3 + t
z = 3 + t
z = 3 + t




A.
B.
C.
D.
( Mã đề 101, THPTQ G-2017 ).
d
A
Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm , vng góc và cắt
d1
đường thẳng
cho trước.
Ở dạng 6, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho
HS thông qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.

nào đã biết (điểm thuộc
- So sánh dạng 6 và dạng 1 để xác định yếu tố
A
đường thẳng điểm ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường
thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa
10


d1

d ⊥d'
M
dạng
6
về
dạng
2:
Giả
sử
đường
thẳng
cắt
tại
điểm
.
Do
nên
uuuu
r uur

uuuu
r uur
AM ⊥ ud ' ⇔ AM .ud ' = 0.
M
Từ đó, tìm được tọa độ điểm
và viết phương trình
d
đường thẳng như dạng 2.
- Nêu cách giải dạng 6.
Cách giải:
uuuu
r uur
AM
.ud ' = 0.
d
d'
M ∈d '
d ⊥d'
- Giả sử
cắt
tại điểm
. Do
nên
Từ đó
M.
d

suy ra tọa độ điểm
- Viết phương trình đường thẳng

d

đi qua

A, M

như dạng 2.
A ( 1;1;1)
d
Ví dụ 6: Viết phương trình của đường thẳng
đi qua điểm
, cắt và
 x = 1 + 2t

d' :  y = 2 − t .
 z = −1 + t

vng góc với đường thẳng
Giải:
uur
u
d ' = ( 2; −1;1)
d'
Đường thẳng có VTCP:
M ( 1 + 2t ;2 − t; −1 + t ) ∈ d '
d
d'
Giả sử
cắt
tại điểm

. Khi đó:
uuuu
r uur
1 ⇒ M  2; 3 ; − 1  .
uuuu
r

÷
AM .ud ' = 0 ⇔ t = .
AM = ( 2t;1 − t; −2 + t ) .
2 2
d ⊥d'
2
Do
nên
 3 1
M  2; ; − ÷
 2 2
A ( 1;1;1)
d
Đường thẳng
đi qua
và
có VTCP
uu
r uuuu
r  1 3 1
x −1 y −1 z −1
ud = AM = 1; ; − ÷ = .( 2;1; −3) .
=

=
.
 2 2 2
d
2
1
−3
Phương trình là:
A(2;1;3)
Oxyz
Bài tập tương tự: Trong không gian
, cho điểm
và đường thẳng
x + 1 y −1 z − 2
d:
=
=
.
Oy
d
1
−2
2
A
Đường thẳng đi qua , vng góc với và cắt trục
có phương trình là

11

A.

 x = 2t

 y = −3 + 4t
 z = 3t


B.

 x = 2 + 2t

y =1+ t
 z = 3 + 3t


 x = 2 + 2t

 y = 1 + 3t
 z = 3 + 2t


 x = 2t

 y = −3 + 3t
 z = 2t


C.
D.

(Mã đề 102 THPT.QG - 2018).
d
A
ạng 7: Viết phương trình đường thẳng
đi qua điểm
và song song với
D
( P) , ( Q)
hai mặt phẳng
cho trước.

Ở dạng 7, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho
HS thông qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
nào đã biết (điểm thuộc
- So sánh dạng 7 và dạng 1 để xác định yếu tố
A
đường thẳng điểm ); yếu tố nào chưa biết (vectơ chỉ phương của đường
thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa
( P) , ( Q)
d
dạng 7 về dạng 1: Đường thẳng uusong
nên ta
ur uusong
ur với hai mặt phẳng
uu
r
n( P) , n( Q)
ud

có tích có hướng của hai VTPT
cũng là VTCP
của đường thẳng
uu
r uuur uuur
ud =  n( P) ; n( Q) 
d
, tức là ta có thể chọn
.
- Nêu cách giải dạng 7.
Cách giải:
uu
r uuur uuur
ud =  n( P) ; n( Q) 
d
- Xác định VTCP của đường thẳng là
r
u
d
d
A
- Viết phương trình đường thẳng đi qua
và có VTCP
.
A(−1;3; −2)
d
Ví dụ 7: Viết ptts của đường thẳng đi qua điểm
và song song với
( P) : x + y + z − 3 = 0 ( Q) : − 2 x + y − z = 0
hai mặt phẳng:

;
Giải:
12


Mặt phẳng
Do

d

( P)

có VTPT

uuu
r
n( P) = (1;1;1)

song song với hai mp

;

( Q)

có VTPT

uuu
r
n( Q) = (−2;1; −1)

uu
r uuu
r uuur


⇒
VTCP
u
=
n
( P) , ( Q)
d
 (P) , n(Q)  = (−2; −1;3)

Vậy phương trình tham số của

 x = −1 − 2t

d :  y = 3 − t , t ∈R
 z = −2 + 3t


Oxyz

A(1; −2;3)

Bài tập tương tự: Trong không gian với hệ tọa độ
, cho điểm
và
( P) : x + y + z + 1 = 0,(Q) : x − y + z − 2 = 0

hai mặt phẳng
. Phương trình nào
( P)
(Q )
A
dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua , song song với
và
?
 x = −1 + t
x = 1
 x = 1 + 2t
x = 1 + t




y = 2
 y = −2
 y = −2
 y = −2
 z = −3 − t
 z = 3 − 2t
 z = 3 + 2t
z = 3 − t




A.
B.

C.
D.
( Mã đề 102 THPT.QG - 2017).
d
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
( P) , ( Q) .

Ở dạng 8, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho
HS thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
nào đã biết; yếu tố nào chưa
- So sánh dạng 8 và dạng 1 để xác định yếu tố
biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ đó đưa
( P) , ( Q)
d
Do đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
dạng 8 về dạng 1:

13


d

( P) , ( Q)

uu
r
ud

thì thuộc cả hai mặt phẳng
và VTCP
của
uuur uuur
n
( P) , n( Q )
d
đường thẳng vng góc với hai VTPT
của hai mặt phẳng hay ta có
uu
r uuur uuur
ud =  n( P) ; n( Q)  .
thể chọn
- Nêu cách giải dạng 8.
Cách giải:
uu
r
uuur uuur
ud =  n( P) ; n( Q)  .
d
- Xác định VTCP của đường thẳng là
( P) , ( Q)
A
- Chọn một điểm thuộc cả hai mặt phẳng
.
r
u
d
d
A

- Viết phương trình đường thẳng đi qua
và có VTCP
.
d
Ví dụ 8: Viết phương trình của đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng
(P) : x + 2 y − z + 3 = 0; (Q) : 2 x − y + z − 3 = 0
nên mọi điểm thuộc

Giải:
Mặt phẳng

( P) , ( Q)

uuur
uuur
n( P) = ( 1;2; −1) , n( Q ) = ( 2; −1;1)

lần lượt có VTPT là:
.
uu
r uuur uuur
ud =  n( P) ; n( Q )  = ( 1; −3; −5)
d
Khi đó, VTCP của đường thẳng là
A ( 0;0;3)
( P) , ( Q)
Mặt khác, ta có điểm
là điểmr thuộc cả hai mặt phẳng
nên
u d = ( 1; −3; −5)

d
d
A
A
thuộc .Vậy, đi qua
và có VTCP
có ptts là:
x = t

 y = −3t , t ∈ R.
 z = 3 − 5t


d

Bài tập tương tự: Viết phương trình của đường thẳng
là giao tuyến của hai
(P) : −3 x + 2 y + 1 = 0; (Q) : 2 x + y − z − 1 = 0
mặt phẳng
.
d
ng
9:
Viết
phương
trình
hình
chiếu
vng
góc

của
đường
thẳng
lên mặt
Dạ
( P)
( P)
d
phẳng
( trong đó khơng vng góc với
).

14


Ở dạng 9, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho
HS thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 9 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết; yếu tố nào chưa
của đường thẳng).
biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP
- Từ hình vẽ phân tích giả thiết đã cho, lập luận để tìm yếu tố chưa biết, từ
d'
d
đó đưa dạng 9 về dạng 8: Do đường thẳng
là hình chiếu vng góc của lên
( Q)
( P)
( P) , ( Q)
d'

mặt phẳng
nên
là giao tuyến của hai mặt phẳng
với
là mặt
( P)
d
phẳng chứa và vng góc với
.
- Nêu cách giải dạng 9.
Cách giải:
( Q)
( P)
d
- Lập phương trình mặt phẳng
chứa và vng góc với
.
d ' = ( P) ∩ ( Q)
d'
- Do
nên ta tìm VTCP và viết phương trình đường thẳng
theo dạng 8.
d'
d
Ví dụ 9: Viết phương trình hình chiếu vng góc
của đường thẳng có
 x = 3 + 2t

y = − t
 z = −1 + t

(P) : x − 2 y + z + 1 = 0

phương trình
lên mặt phẳng
Giải:
uu
r
M
3;0;
−
1
(
)
u
= (2; −1;1)
d
d
Đường thẳng đi qua
và có VTCP
uuu
r điểm
n( P) = (1; −2;1)
( P)
Mp
có VTPT
M ( 3;0; −1)
( Q)
( Q)
( P)
d

Mp
chứa và vng góc với
nên
đi qua điểm
và
uuur uu
r uuur
n( Q) = ud ; n( P)  = ( 1; −1; −3) ⇒ ptmp ( Q ) x − y − 3z − 6 = 0
cóVTPT
:

15


Do đường thẳng

d'

d

( P)

là hình chiếu vng góc của lên mặt phẳng
nên
( P) , ( Q) .
d'
là giao tuyến của hai mặt phẳng
uur uuur uuur
ud ' =  n( P) ; n( Q)  = ( 7;4;1)
d'

Khi đó, VTCP của đường thẳng
là
A ( −11; −5;0)
( P) , ( Q)
Mặt khác, ta có điểm
là điểm thuộc cả hai mặt phẳng
d'
d'
A
nên thuộc . Vậy đường thẳng
có phương trình tham số là:
 x = −11 + 7t

 y = −5 + 4t , t ∈ R.
z = t


Oxyz

( P) : x + y + z − 3 = 0

Bài tập tương tự: Trong không gian
, cho mặt phẳng
x y +1 z − 2
d: =
=
( P)
d
1
2

−1
và đường thẳng
. Hình chiếu vng góc của
trên
là
x +1 y +1 z +1
x −1 y −1 z −1
=
=
=
=
−1
−4
5
3
−2
−1
A.
.
B.
x −1 y −1 z −1
x −1 y − 4 z + 5
=
=
=
=
1
4
−5
1

1
1
C.
D.
(Đề minh họa THPTQG- 2019).
d
A
Dạng 10: Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm và cắt hai đường
d1 , d 2 .
thẳng

Ở dạng 10, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học
cho HS thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 10 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết ( điểm thuộc
đường thẳng); yếu tố nào chưa biết ( VTCP của đường thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết,
từ đó đưa dạng 10 về dạng 8 hoặc dạng 2 theo hướng:
16


+) Hướng 1:
d1 , d 2

d
đi qua điểm và cắt hai đường thẳng
nên
( P) , ( Q)
( P)
A, d1

là giao tuyến của hai mặt phẳng
với
là mặt phẳng chứa
, còn
( Q)
A, d 2
là mặt phẳng chứa
.
+) Hướng 2:
d1 , d 2
M1, M 2.
d
Giả
thẳng
cắt hai đường thẳng
lần lượt là
uuuursửuuđường
uuu
r
AM 1 , AM 2
Khi đó:
cùng phương.
- Nêu cách giải dạng 10.
Do đường thẳng

d

A

Cách giải:

+) Cách 1:

( P)

A, d1

( Q)

Lập phương trình mặt phẳng
chứa
, còn
là mặt phẳng chứa
d = ( P) ∩ ( Q)
A, d 2
d
Do
nên
ta
tìm
VTCP
và
viết
phương
trình
đường
thẳng
.
theo dạng 8.
+) Cách 2:

d1 , d 2
M1, M 2.
d
Giả sử đườnguuu
thẳng
lần lượt là
ur uuuuu
r cắt hai đường thẳng
t,t '
M1, M 2.
AM 1 , AM 2
Tìm tham số
để
cùng phương, suy ra tọa độ điểm
Viết
A, M 1
d
phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
như dạng 2.
A ( 1;1;1)
d
Ví dụ 10: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm
 x = 1 + 2t
x +1 y − 2 z −1

d1 :  y = 2 − t ; d 2 :
=
=
1
2

1
 z = −1 + t

và cắt hai đường thẳng
Giải:
uur
u
A1 ( 1;2; −1)
d1
d = (2; −1;1)
Đường thẳng
đi qua điểm
và có VTCP uur
ud = (1;2;1)
A2 ( −1;2;1)
d2
Đường thẳng
đi qua điểm
và có VTCP
uuur uuur uur
n( P) =  AA1; ud1  = ( −1; −4; −2) ⇒ ptmp ( P )
( P)
A, d1
Mp
chứa
có VTPT:
:
x + 4 y + 2 z − 7 = 0.
1

2

17


Mp

( Q)

chứa

x + 2 y − 5 z + 2 = 0.

Vậy,

d

A, d 2

Do

có VTPT:

d = ( P) ∩ ( Q)

uuur uuuu
r uur
n( Q) =  AA2 ; ud2  = ( 1;2; −5) ⇒ ptmp ( Q )

nên VTCP

A ( 1;1;1)

đi qua điểm
và có VTCP
x −1 y −1 z −1
=
=
.
−24
7
−2
trình chính tắc là:
Dạng 11: Viết phương trình đường thẳng
d1 , d 2 .
cắt hai đường thẳng

d

là:
uu
r
uuu
r uuur
ud =  n( P ) ; n( Q)  = ( −24;7; −2)

uu
r
ud = ( −24;7; −2)

nên có phương

song song với đường thẳng

∆

và

Ở dạng 11, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho
HS thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 11 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết ( chưa có); yếu
tố nào chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết,
từ đó đưa dạng 11 về dạng 8 hoặc dạng 2 theo hướng:
+) Hướng 1:
d1
d
∆
Do đường thẳng song song với và cắt
nên có một mặt phẳng
( P)
d , d1
d
∆.
∆
chứa
song song với
Tương tự, đường thẳng song song với
d2

( Q)
d , d2
∆.
và cắt
nên có một mặt phẳng
chứa
song song với
d = ( P) ∩ ( Q) .
Vậy:
+) Hướng 2:
uu
r uu
r
u
=
u
d
d
∆.
∆
Do song song với nên

18


d

d1 , d 2

Giả sử giaouđiểm

của
lần lượt
u
r uuuu
uur đưởng thẳng với hai đường thẳng
M1, M 2.
u d , M 1M 2
là
Khi đó,
cùng phương.
- Nêu cách giải dạng 11.
Cách giải:
+) Cách 1:
( Q)
( P)
d1
∆
Lập phương trình mặt phẳng
song song với và chứa , còn
d = ( P) ∩ ( Q)
d2 .
∆
song song với và chứa
Khi đó:
nên ta tìm VTCP, điểm
d
thuộc đường thẳng và viết phương trình đường thẳng theo dạng 8.
+) Cách 2:
uu
r uu

r
M1, M 2
u
=
u
d
d
∆.
Xác định VTCP của đường thẳnguu
Lấy
bất kì thuộc
r ulà:
uuuuur
d1 , d 2
t,t '
ud , M 1M 2
.Tìm tham số
để hai vectơ
cùng phương, từ đó suy ra tọa
M 1, M 2
M1
d
độ điểm
. Viết
đi qua điểm
( hoặc điểm
uu
r phương trình đường thẳng
M1
ud .

) và có VTCP
 x = 1 + 2t

∆ :y = 2 − t
 z = −1 + t

d
Ví dụ 11: Viết phương trình của đường thẳng song song với
và
x +1 y − 2 z −1
x y +1 z − 3
d2 :
=
=
.
d1 :
=
=
1
2
1
−1
1
2
cắt hai đường thẳng
;
Giải:
A1 ( −1;2;1)
( P)
d1

∆
Mặt phẳng
song song với và chứa
thì đi qua điểm
và có
uuur uu
r uur
n( P) = u∆ ; ud1  = ( −3; −1;5) ⇒ ptmp ( P ) : − 3x − y + 5z − 6 = 0.
VTPT
A2 ( 0; −1;3)
( Q)
d2
∆
Mặt phẳng
song song với và chứa
thì đi qua điểm
và
uuur uur uur
n( Q) = u∆ ; ud2  = ( −3; −5;1) ⇒ ptmp ( Q ) : − 3x − 5 y + z − 8 = 0.
có VTPT

19


 4 4 
A  − ; − ;0÷
 9 3 

d = ( P) ∩ ( Q)

Đường thẳng
nên đi qua điểm
và có VTCP
uu
r uuur uuur
ud =  n( P) ; n( Q)  = ( 24; −12;12) = 2 ( 2; −1;1) .
Vậy, phương trình đường thẳng
4
4
x+
y+
9=
3 = z.
d:
2
−1
1
Dạng 12: Viết phương trình đường thẳng
d1 , d 2 .
cắt hai đường thẳng

d

vng góc với mặt phẳng

( P)

và

Ở dạng 12, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho

HS thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 12 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết ( chưa có); yếu
tố nào chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết,
từ đó đưa dạng 12 về dạng 8 hoặc dạng 2 theo hướng:
+) Hướng 1:
( P)
d1
d
Do đường thẳng vng góc với
và cắt
nên có một mặt phẳng
( Q)
d , d1
( P)
d
chứa
vng góc với
. Tương tự, đường thẳng vng góc với
( P)
d2
( R)
d , d2
( P) .
và cắt
nên có một mặt phẳng
chứa
vng góc với
d = ( Q) ∩ ( R) .

Vậy:
+) Hướng 2:

20


Do

d

(α)

uu
r uuu
r
ud = n( α ) .

vng góc với
nên VTCP
Giả sử giao điểm của
d1 , d 2
M1, M 2 .
d
đường
với hai đường thẳng
lần lượt là
Khi đó:
uu
r uuuuuthẳng
ur

ud , M 1M 2
cùng phương.
- Nêu cách giải dạng 12.
Cách giải:
+) Cách 1:
( R)
( Q)
( P)
d1
Lập phương trình mặt phẳng
vng góc với
và chứa , cịn
( P)
d2 .
là mặt phẳng vng góc với
và chứa
d = ( Q) ∩ ( R)
Khi đó:
nên ta tìm VTCP, điểm thuộc đường thẳng và viết
d
phương trình đường thẳng theo dạng 8.
+) Cách 2:
uu
r uuu
r
u
=
n
d
(α) .

d
Xác định VTCP của đường thẳng là:
M 1, M 2
d1 , d 2
t,t '
Lấy
bất kì thuộc
. Tìm tham số
để hai vectơ
uu
r uuuuu
ur hai điểm
M1, M 2
ud , M 1M 2
cùng phương, từ đó suy ra tọa độ điểm
. Viết
uu
r phương trình
M1
M1
ud .
d
đường thẳng
đi qua điểm
( hoặc điểm
) và có VTCP
d
Ví dụ 12: Viết phương trình đường thẳng
vng góc với mặt phẳng
 x = 1 + 2t

x = 2 − t '


d2 :  y = 1 + t ' .
d1 :  y = 2 − t
 z = −1 + t '
 z = −1 + t
(α) : x + y + z − 2 = 0


và cắt hai đường thẳng
;
Giải:
uuu
r
n( α ) = ( 1;1;1)
(α) : x + y + z − 2 = 0
Mặt phẳng
có VTPT
.
(α) : x + y + z − 2 = 0
d
Đường
vng góc với mặt phẳng
nên
uu
r thẳng
uuu
r
ud = n( α ) = ( 1;1;1) .

có VTCP

21


d1 , d 2

d

M1, M 2.

Giả sử đường thẳng
cắt hai đường thẳng
lần lượt là uu
Giả
r
M 1 ( 1 + 2t;2 − t; −1 + t ) ∈ d1; M 2 ( 2 − t ';1 + t '; −1 + t ') ∈ d 2 .
ud
sửuuu
: uuur
Suy ra,
và
M 1M 2 = ( −t '− 2t + 1; t '+ t − 1; t '− t )
cùng phương. Khi đó:
 3 1
 11 1 7 
−t '− 2t + 1 t '+ t − 1 t '− t
1
3
, M2  ; ;− ÷

=
=
⇔ t = ; t ' = − ⇒ M 1  2; ; − ÷
 4 4 4
2 2
1
1
1
2
4

d
Vậy, ptđt là:
Bài tập tương tự:

x−2
=
1

Oxyz

3
1
z+
2=
2.
1
1

y−

( P) : 2 x + 2 y − z − 3 = 0

Trong không gian
cho mặt phẳng
và hai
x −1 y z +1
x − 2 y z +1
d1 :
= =
, d2 :
= =
.
2
1
−2
1
2
−1
đường thẳng
Đường thẳng vng góc
( P),
d1
d2
với
đồng thời cắt cả và
có phương trình là:
x−3 y−2 z+2
x − 2 y − 2 z +1
=

=
=
=
2
2
−1
3
2
−2
A.
.
B.
.
x −1 y z +1
x − 2 y +1 z − 2
=
=
=
=
2
−2
−1
2
2
−1
C.
.
D.
.
( Đề tham khảo- THPTQG-2018).

d
ng
13:
Viết
phương
trình
đường
thẳng
là đường vng góc chung của
Dạ
d1 , d 2 .
hai đường thẳng chéo nhau

Ở dạng 13, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho
HS thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 13 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết ( chưa có); yếu
tố nào chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng).
22


- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết,
từ đó đưa dạng 13 về dạng 8 hoặc dạng 2 theo hướng:
+) Hướng 1:
d
Đường thẳng là đường vng góc chung của hai đường thẳng chéo
d1 , d 2
d1 , d 2 .
d
d

nhau
nên
vừa vng góc, vừa cắt
Do đó là giao tuyến của
( P)
( Q)
( P)
d1
( Q)
d2
d,
d.
hai mặt phẳng
và
, trong đó
chứa và
cịn
chứa
và
+) Hướng 2:
d1 , d 2
M1, M 2 .
d
Giả sử đường thẳng
cắt hai đường thẳng
lần lượt là
d1 , d2
d
Do
đường

nên
uur uulà
uuuu
r uuuur vng
uuuuuurgóc chung của hai đường thẳng chéo nhau
ud1 ⊥ M 1M 2 ; ud 2 ⊥ M 1M 2
.
Cách giải:
+) Cách 1:
uu
r uur uur
ud = ud1 ; ud2  .
d
Xác định VTCP của đường thẳng :
( P)
d1
( Q)
d2
d,
d.
Lập phương trình mặt phẳng
chứa và
cịn
chứa
và
d = ( P) ∩ ( Q)
Khi đó:
nên ta tìm VTCP, điểm thuộc đường thẳng và viết
d
phương trình đường thẳng theo dạng 7.

+) Cách 2:
M1, M 2
d1 , d 2
Lấy hai điểm
bất kì lần lượt thuộc hai đường thẳng
.
uur uuuuuur
ud .M 1M 2 = 0
1
uur uuuuuur uuuur uuuuuur ⇔  uur uuuuuur
ud1 ⊥ M 1M 2 ; ud2 ⊥ M 1M 2
ud2 .M 1M 2 = 0
t,t '
Xác định tham số
để
M1, M 2
Từ đó suy ra tọa độ điểm
.
M 1, M 2
d
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
như dạng 2.
Ví dụ 13: Viết phương trình đường vng góc chung của hai đường thẳng
 x = 1 + 3t

d1 :  y = −2 + 2t
x −1 y +1 z − 5
d2 :
=
=

.
 z = −1 + 2t

2
3
1
và
23


Giải:

Ta có:
M 2 ( 1; −1;5)

d1

M 1 ( 1; −2; −1)

uur
ud1 = ( 3;2;2) . d 2

đi qua điểm
, có VTCP
đi qua
uur
ud2 = ( 2;3;1) .
điểm
, có VTCP
d1 , d 2

d
Đường thẳng
là đường vng góc chung của hai đường thẳng
uu
r uur uur
ud = ud1 ; ud 2  = ( −4;1;5) .
nên VTCP:
M 1 ( 1; −2; −1)
( P)
( P)
d1 , d
Mặt phẳng
chứa
và nên
đi qua điểm
và có
uuur uu
r uur
n( P) = ud ; ud1  = ( −8;23; −11) ⇒ ptmp ( P ) : −8 x + 23 y − 11z + 43 = 0.
VTPT:
M 2 ( 1; −1;5)
( Q)
d2 , d
( Q)
Mặt phẳng
chứa
và nên
đi qua điểm
và có
uuur uu

r uur
n( Q ) = ud ; ud2  = ( −14;14; −14) ⇒ ptmp ( Q ) : − x + y − z + 7 = 0.
VTPT:
13
 34
A  − ;0; − ÷
d = ( P) ∩ ( Q)
 3
3
Đường thẳng
nên đi qua điểm
và có
uu
r
uuur uuur
ud =  n( P) ; n( Q)  = ( −12;3;15) = 3.( −4;1;5) .
VTCP
34

x
=
−
− 4t

3

⇒ pt d :  y = t
.

13

 z = − + 5t
3


d:

Bài tập tương tự: Cho đường thẳng

x −1 y − 2 z
=
=
−1
2
3

và
d , d '.

x = 1 + t '

d' :  y = 3 − 2t '.
z = 1


Viết phương trình đường vng góc chung của
( Bài 3.42- Sách BTHH12)
( P)
d
Dạng 14: Viết phương trình đường thẳng nằm trong mặt phẳng
và cắt

d1 , d 2 .
hai đường thẳng

24


Ở dạng 14, GV có thể phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho
HS thơng qua việc định hướng các em thực hiện các nhiệm vụ sau:
- Vẽ hình minh họa.
- So sánh dạng 14 và dạng 1 để xác định yếu tố nào đã biết (chưa có); yếu
tố nào chưa biết ( điểm thuộc đường thẳng và VTCP của đường thẳng).
- Phân tích giả thiết đã cho qua hình vẽ, lập luận để tìm yếu tố chưa biết,
d
từ đó đưa dạng 14 về dạng 2: Giả sử đường thẳng cắt hai đường thẳng
M 1 , M 2 ∈( P )
( P)
d1 , d 2
M1, M 2.
d
lần lượt là
Do nằm trong mặt phẳng
nên
,
( P)
M1, M 2
d1 , d 2
suy ra
là giao điểm của
và mặt phẳng
.

Cách giải:
( P)
M 1, M 2
d1 , d 2
- Xác định giao điểm
của
và mặt phẳng
.
M1, M 2
d
- Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
như dạng 2.
( P) : x + y + z − 2 = 0
d
Ví dụ 14: Viết phương trình đường thẳng
nằm trong
và
x −1 y − 2 z +1
x − 2 y −1 z +1
d1 :
=
=
; d2 :
=
=
.
2
−1
−1
−1

1
1
cắt hai đường thẳng
( P)
M1
d1
M1
Giải: Điểm
là giao điểm của
và mặt phẳng
. Tọa độ điểm
là
nghiệm của hệ phương trình:

x + y + z − 2 = 0
x = 5

x
−
1
y
−
2


=
⇔  y = 0 ⇔ M 1 ( 5;0; −3) .

−1
 2


 z = −3
 y − 2 z +1
=

 −1
−1

25