Tài liệu Tenseur - cơ học môi trường liên tục ppt

1
CHNG 1 : M U
I. Vecteur hình học và không gian R
3
:
A. Ví dụ:


Chúng ta tiến hành xét bài toán chuyển động tròn đều. Vị trí của
điểm M ở thời điểm t đợc xác định bởi vectơ
OM . ở đây, ta thấy vectơ
vận tốc
v vuông góc với véc tơ OM ( Véc tơ vị trí).

V OM V . OM = 0
Gia tốc hớng tâm:

= - (/R)OM
Mặt khác ta có: Lực hớng tâm

F = m


Vectơ vị trí
OM là một bộ phận của không gian phẳng bao gồm
điểm gốc: Đây là không gian hình học hai chiều. Môđun ||
OM || đồng
nhất trên toàn bộ chiều dài ||
OM || = R.
ở đây chúng ta cần phân biệt

OM với các vectơ V và F . Theo
quan điểm vật lý,
OM và V ,

, F thuộc những không gian khác nhau.
Ta nhận thấy sẽ không có khái niệm vuông góc (
V OM ) hay tích vô
hớng (
V . OM ) nếu V và OM trong cùng một không gian.

2
Vậy tại sao ta có các khái niệm vuông góc và tích vô hớng? Là
do ta cố tình đa tất cả các véc tơ về cùng một không gian duy nhất.
Trong thực tế, ta thờng biểu diễn các vectơ
V và
F
trên cùng một tờ
giấy. Ta gọi đây là không gian hình học phẳng.
Khi nghiên cứu chuyển động của một điểm trong không gian, các
vectơ vận tốc, gia tốc đợc xem xét nh là những vectơ của một không
gian 3 chiều (luôn đợc phân tích thành 3 thành phần).
B. Sự hợp nhất giữa các không gian
Khi những đại lợng vật lý có những đặc điểm toán học tơng
đồng (3 chiều; tuân theo những quy tắc tính toán giống nhau) thì chúng
ta coi những đại lợng đó là các yếu tố của không gian R
3
. Không gian
vectơ hình học đợc gọi là biểu diễn có thể có của R
3
(Présentation

possible).
Một cách tổng quát hơn, khi những đại lợng có bản chất vật lý
khác nhau thuộc những không gian toán học có cùng n chiều và tuân
theo cùng một quy tắc tính toán, chúng ta coi những đại lợng này nh
là những bộ phận của cùng một tập hợp: không gian vectơ R
n
.
II.Quy ớc: Kí hiệu Einstein
A. Chỉ số câm:
Xét các chỉ số i và j (i, j =
n,1 ) và ma trận với các thành phần: x
ij
.
Giả thiết rằng chúng ta tiến hành tính với mỗi giá trị của i, tính
tổng của các thành phần khi j từ 1 đến n.
Ví dụ: Với mỗi dòng của ma trận ta tính tổng các thành phần có
chỉ số cột biến đổi.
x
11
x
12
x
13
t
1
= x
11
+ x
12
+ x

13

x
21
x
22
x
23
t
2
=

x
21
+ x
22
+ x
23

x
31
x
32
x
33
t
3
= x
31
+ x

32
+ x
33
Ta có thể viết dới dạng tổng quát:
t
i
=

=
n
j 1
X
ij

3
Chỉ số j, theo nó mà ngời ta có thể tính tổng tất cả các giá trị
đợc gọi là chỉ số câm.
Hiển nhiên là chúng ta có thể thay đổi kí hiệu của chỉ số câm:
t
i
=

=
n
j 1
X
ij
t
i
=

=
n
k 1
X
ik
B. Quy ớc của Einstein:
Xét hai ma trận vuông (n, n): A và B. Các thành phần của chúng
lần lợt là a
ij
và b
ij
.
Chỉ số dòng quy ớc phía trái.
Chỉ số cột quy ớc ở phía phải.
Ta tiến hành tính tích P = A.B với các thành phần P
ij
. Khi đó:
P
ij
=

=
n
l 1
a
il
b
lj
b

11
b
12
b
13

b
21
b
22
b
23

b
31
b
32
b
33

a
11
a
12
a
13
p
11
p
12

p
13
a
21
a
22
a
23
p
21
p
22
p
23
a
31
a
32
a
33
p
1
p
32
p
33

Einstein quy ớc chỉ số câm xuất hiện hai lần trong một biểu
thức. Khi đó ta bỏ dấu và viết một chỉ số ở trên và một chỉ số ở dới.

k
j
i
k
i
j
n
k
k
j
i
k
i
j
aapaap ==

=1

Trong đó :
i
j
p Với i là chỉ số dòng còn j là chỉ số cột.
Ví dụ:
1)

=
=
n
l
l

jk
i
l
i
jk
rqp
1
hay
l
jk
i
l
i
jk
rqp =

2)


==
=
n
l
l
j
k
lik
n
k
ij

tsrt
11
hay
l
j
k
likij
tsrt =

Xét ví dụ sau:

4
Nhân ma trận P = A.B với Q = C.D với

k
j
i
k
i
j
bap = và
k
j
i
k
i
j
dcq =
Nếu chúng ta muốn viết rõ tích P.Q thì phải tiến hành đổi tên của
cặp chỉ số và viết nh sau:

|PQ|
i
j
=
k
m
i
k
ba
l
j
m
l
dc
P.Q = A . B. C . D

III. Đổi cơ sở trong R
3
Ta có thể viết mọi vectơ V của R
3
nh là một tổ hợp tuyến tính
của 3 vectơ tuỳ ý có chung gốc o nhng độc lập tuyến tính. Ký hiệu
i
e
với e = 1,2,3.



Các vectơ
i

e làm thành cơ sở của R
3
. Ta phân tích vectơ V :

V =

=
3
1i
v
i
i
e
= v
i

i
e

v
i
là thành phần của vectơ V trong hệ cơ sở (
i
e ).
Xét một hệ cơ sở khác của không gian R
3
, (
I
E ) với I = 1,2,3. Mỗi
vectơ

i
E là một tổ hợp tuyến tính của
i
e và ta có thể viết:
I
E = a
i
.
i
e
Để có thể biểu diễn dễ dàng dới dạng ma trận ta viết dới dạng:

I
E = a
i
I
.
i
e
Trong đó:

5
A = [a
i
I
] =
3
3
3
2

3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
aaa
aaa
aaa

Khi đó: [
1
E
2
E
3
E ] = [
1
e

2
e

3
e ]
3
3
3
2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
aaa
aaa
aaa

Với I là chỉ số cột
i là chỉ số dòng
A: ma trận chuyển
Ta sẽ tiến hành tìm thành phần v
i

của vectơ V trong hệ toạ độ
mới. Nhận thấy rằng
V không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ nên ta
có:

V = v
i
.
i
e v
t

I
E
Mặt khác
I
E
=
i
I
a
i
e nên ta có: V
I
i
I
a
i
e = v
i

i
e hay v
i
= a
i
I
v
I
.
Đây là biểu thức biểu diễn thành phần của
V trong hệ toạ độ cũ
theo hệ toạ độ mới. Nếu muốn tìm theo hệ toạ độ cũ ta cần phải đảo ma
trận A. Chúng ta sẽ tìm thấy tính độc lập tuyến tính của
i
e và
I
E ảnh
hởng tới trật tự của A.
Kí hiệu B = A
-1
là ma trận đảo của A với các thành phần b
i
I
. Khi
đó: v
I
= b
i
I
v

i

Ta có bảng sau:
Hệ mới hệ cũ Hệ cũ hệ mới
i
e = b
i
I

I
E
(B = A
-1
)
I
E
=
i
I
a
i
e
v
i
=
i
I
a v
I
(A) v

I
=
i
I
b v
I

Chúng ta cần chú ý rằng thành phần của các vectơ của R
3
tuân
theo sự thay đổi của hệ cơ bản. Có nghĩa là khi hệ cơ bản thay đổi thì
thành phần của các vectơ cũng thay đổi theo. Ta gọi thành phần này là

6
phản biến với sự thay đổi hệ cơ bản. Khi các thành phần tuân theo sự
thay đổi của hệ cơ bản thì ta gọi là hợp biến.
Các chỉ số kết hợp với thành phần hợp biến của hệ (
i
e ) nằm ở
dới còn chỉ số kết hợp với thành phần phản biến của (v
i
) nằm ở phía
trên.
Biểu diễn dới dạng ma trận:
=

3
3
3
2

3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
bbb
bbb
bbb

hay V
I
= b
i
I
v
i

Ví dụ:
Cho hệ trực giao Oxyz với các vectơ đơn vị
i
, j ,

k
bây giờ
kí hiệu
1
e ,
2
e ,
3
e
.
Ta tiến hành quay một góc quanh trục oz ta sẽ có thành phần
vectơ đơn vị
I
E :

1
E = cos
1
e + sin
2
e + 0
3
e
2
E = -sin
1
e + cos
2
e + 0
3

e

3
E = 0
1
e + 0
2
e + 1
3
e
Ta có thể viết:
[
1
E
2
E
3
E ] = [
1
e
2
e
3
e ]

Khi đó B = A
-1
có dạng:

B =

và V
I
= b
i
I
. v
I
đợc viết nh sau:

=




V
1
V
2
V
3
v
1
v
2
v
3
cos

- sin

0
sin cos 0
0 0 1
cos

- sin

0
sin cos 0
0 0 1
V
1
V
2
V
3
v
1
v
2
v
3
cos

- sin

0
sin cos 0
0 0 1

7
IV. Không gian đối ngẫu, ánh xạ tuyến tính trên R
3
:
A. Định nghĩa: F đợc gọi là một ánh xạ từ không gian vectơ vào
tập vô hớng thì F làm tơng ứng mọi vectơ
V của R
3
là một số thực.
Ví dụ:
a. Cho hệ cơ sở đặc biệt
j
e thuộc R
3
. Tơng ứng giữa vectơ V và
thành phần thứ hai của nó trong hệ cơ bản đặc biệt này có dạng:
V R
3
F (V ) R bởi F (V ) v
2

b. Sự kết hợp của một môđun với một vectơ, trên một đơn vị chiều
dài định sẵn, có dạng:

V R
3
F (V ) = |V | R
Trong trờng hợp này tích vô hớng luôn dơng hoặc bằng không
c. Nhân vô hớng vectơ

V bởi một vectơ U có dạng

V R
3
F (V ) = U . V R
Vô hớng kết hợp của mọi vectơ
V luôn độc lập với hệ trục toạ
độ trong không gian.
F (
V ) gọi là vô hớng thực.
Trong trờng hợp b và c ta có:
F (
V ) = |V | =
232221
)()()( vvv ++
và F(
V ) = V .U =

=
3
1
i
v
i
u
i
= v
1
u
1

+ v
2
u
2
+ v
3
u
3

Định nghĩa: Không gian tuyến tính trên R
3
là một ánh xạ tuyến
tính từ R
3
vào tập vô hớng.

V R
3
F (V ) R
F (
V + V ) = F(V ) + F(V ) V và V R
3
và R.
Ta sẽ chứng minh trờng hợp b và c.
Trong trờng hợp b
F (
V +V ) = |(V +V )| |V | + |V |
không tuyến tính

8

Trong trờng hợp c
F (
V +V ) = U .(V +V ) = U .V + U .V
= F(
V ) + F(V )
là một không gian tuyến tính.
B. Hệ số của một không gian tuyến tính:
a. Định nghĩa: Xét vô hớng thực F(
V ) trong hệ cơ sở đặc biệt
(
i
e ). Ta có thể biểu diễn V bởi các thành phần v
i
.
Do F là ánh xạ tuyến tính nên ta có thể viết:
F(
V ) = F (v
i

i
e ) = v
i
F(
i
e )
Kí hiệu f
i
= F (
i
e ). Các thành phần của f

i
là các hệ số của F trong
hệ cơ sở (
i
e ).
Ta có thể viết đơn giản nh sau: F(
V ) = v
i
f
i
.
b. ảnh hởng của việc thay đổi hệ cơ sở trong R
3
:
Nếu chúng ta thay đổi hệ cơ sở (
I
E =
i
I
a

i
e ), các thành phần của
V sẽ có dạng v
I
=
I
i
b . v
i

Ta thấy biểu thức v
i
f
i
là một bất biến khi hệ cơ sở thay đổi. Nh
vậy, các hệ số của F buộc phải biến đổi ngợc so với các thành phần v
i
.
Ta tiến hành xem xét sự thay đổi này:
Gọi F
i
là thành phần của hệ số F trong hệ toạ độ mới.
Ta có F
I
= F (
I
E ).
Nh vậy: F (
V ) = F
I
V
I
= f
i
v
i
với v
i
=

i
I
a V
I
.
F
I
= f
i
i
I
a
Vậy ta có: F
I
=
i
I
a f
i
Kết luận: F
I
=
i
I
a f
i
f
i
=
I

i
b
F
I
C. Không gian đẳng cấu R
3
: Xét tập hợp các không gian tuyến
tính trên R
3
. Ta có các tính chất sau:
a. Tổng của hai không gian tuyến tính

9
S = F + G S(
V ) = F(V ) + G(V ) V
b. Tích với một vô hớng :
P = F P(
V ) = F(V ) V
với giả thiết chúng ta có:
F = G F(
V ) = G(V ) V
Trờng hợp đặc biệt: F = 0 F(
V ) = 0 V
Nh vậy, tập hợp các không gian tuyến tính trên R
3
là một không
gian vectơ 3 chiều gọi là không gian đẳng cấu của R
3
và ta ký hiện là
R

3*
.
D) Hệ cơ sở trong không gian đẳng cấu:
R
3*
là một không gian vectơ, ta có thể luôn tìm đợc 3 không gian
tuyến tính độc lập tạo nên hệ cơ sở trong R
3*
cho phép phân tích tất cả
các không gian tuyến tính còn lại. Chúng ta sẽ đi tìm hệ cơ sở đặc biệt
này của R
3*
đồng thời sẽ dẫn ra những đặc điểm đơn giản đem lại sự
thuận tiện cho công tác tính toán.
Chúng ta sẽ đa ra dạng đầu tiên, kí hiệu e
*
, mà ánh xạ của nó
làm cho vectơ đơn vị của hệ cơ sở bằng 1, và hai vectơ còn lại bằng 0.
e
*
(
1
e )= 1 ; e
*
(
2
e ) = 0 ; e
*
(
3

e ) = 0
Tơng tự nh trên ta lập đợc ba dạng sau: e
*1
, e
*2
, e
3*
.
Chỉ số Kronecker
i
j

: e
*i
(
j
e ) =
i
j


Với
i
j

= 1 si i = i
0 si i j
Ta có thể biểu diễn dới dạng ma trận
1 0 0
[

i
j

] = 0 1 0 ma trận đơn vị
0 0 1
Chúng ta sẽ tiến hành khảo sát tính độc lập tuyến tính của 3 chỉ
số e
*i
. Tiếp đó, ta sẽ chứng minh tổ hợp
i
e
*i
cho ta giá trị bằng 0 khi
và chỉ khi hệ số
i
= 0.

10
Nếu
i
e
*i
(V ) = 0 V = v
i

i
e

i
e

*i
(v
j

j
e ) = 0 (thay đổi chỉ số câm)
hay
i
e
*i
(v
j
(
j
e )) = 0
i
v
j
e
*i
(
j
e )
Thay e
*i
(
j
e )=
i
j

ta có
Khai triển tổng này theo chỉ số j ta có:

i
v
1
i
1

+
i
v
2
i
2

+
i
v
3
i
3

= 0
Khai triển tiếp tổng trên với chỉ số i thay đổi từ 1 đến 3 ta nhận
thấy: khi i = j thì
i
j

= 1, j i thì
i
j

= 0.
Vậy ta có:
i
v
i
i
i

= 0

i
v
i
= 0
Để đẳng thức trên đúng
V thì
i
= 0.
Kết luận
: Ba ánh xạ e
*i
đợc định nghĩa bởi e
*i
(
j
e ) =

i
j

là độc
lập tuyến tính và nó tạo thành một cơ sở của không gian đẳng cấu R
3*
.
Hệ cơ sở (e
*i
) của R
3*
đợc định nghĩa từ cơ sở (
i
e
) của R
3
. Ta gọi
nó là cơ sở đẳng cấu kết hợp với (
i
e ).
Khi không gian R
3
đợc thiết lập bởi cơ sở (
i
e
) thì ta có thể sử
dụng không gian R
3*
với cơ sở (
i

e ) để khai triển các vectơ của không
gian đó (dạng tuyến tính).
E. Thay đổi cơ sở trong không gian đẳng cấu:
Xét cơ sở đẳng cấu mới (E
*I
) trong đó E
*I
(
j
E ) =
I
J

. Khi đó vectơ
V đợc khai triển trong hệ mới nh sau:
E
*I
(v
J

j
E ) = v
J
E
*I
(
j
E ) = v
J
I

J


Khai triển tổng v
J

I
J

ta có với I =J thì
I
J

= 1
E
*I
(V ) = v
J
= v
I
Trong hệ cơ sở cũ ta cũng có e
*i
(V ) = v
i
Xét mối quan hệ giữa 2 cơ sở:

i
v
j

i
j

= 0

11
E
*
(V ) = v
I
=
I
i
b v
i
=
I
i
b e
*i
Biểu thức trên đúng V R
3

F. Thành phần của các vectơ trong R
3

Gọi F là không gian tuyến tính trong R
3
với các thành phần
i

trong cơ sở (e
*i
) . Ta có F =
i
e
*i

Nh vậy, f(
V ) =
i
e
*i
(V ) =
i
v
i

Chúng ta đã định nghĩa hệ số F: F = (
V ) = f
i
v
i

Các thành phần của F trong hệ cơ sở (e
*i
):
F = f
i
e

*i
Chúng ta cũng đã chứng minh các thành phần phản biến khi có sự
thay đổi cơ sở trong R
3
:

G. Các thành phần trên R
3
và R
3*
a. Tính đẳng cấu của hai không gian: Không gian vectơ R
3*
là
không gian 3 chiều và biểu diễn một cấu trúc tơng đơng, so với cấu
trúc của R
3
. ở đây, ta có thể hiểu tính đẳng cấu của hai không gian
chính là sự tơng đồng giữa các nguyên tắc tính toán trong các không
gian đó.
b. Các thành phần:
Chúng ta đã biết các thành phần phản biến (v
i
) của một vectơ R
3
.
Nếu chúng ta tìm ra đợc một dãy gồm 3 vô hớng v
i
, hàm của cơ sở
(
i

e ) đợc chọn trong R
3
và quy tắc biến đổi của kiểu phản biến khi thay
đổi cơ sở trong R
3
. Khi đó chúng ta sẽ coi những thành phần này nh là
thành phần của một vectơ của không gian R
3
.
Chúng ta cần chú ý rằng phản biến của (v
i
) luôn đảm bảo tính
chất vốn có của vectơ mới
Tơng tự nh vậy chúng ta có thể tìm ra đợc dãy gồm 3 vô
hớng f
i
, hàm của (
i
e ), nhng sự biến đổi lúc này là hợp biến. Chúng ta
có thể xem chúng nh là thành phần của một vectơ của không gian R
3*
:
E
*I
=
I
i
b e*
i

F
I
=
i
I
a
f
i
V
= v
i
i
e
F= f
i
e
*i

12


c) Ví dụ: Xét một cơ sở (
i
e ) của R
3
kông nhất thiết phải trực
hớng. Ta tiến hành tính các thành phần (v
i
) của (V ) khi chiếc vectơ
này lên các trục toạ độ.

Sơ đồ trên chỉ là một biểu diễn 2 chiều đơn giản và không nói hết
đợc tính tổng quát của bài toán.
Trong thực tế, phép chiếu nghiêng trên
i
e
, ví dụ là v
1
e có mô đun
|v||
1
e |.
Kí hiệu v
1
cho ta biết đợc chiều của phép chiếu.
Tích vô hớng của
V bởi các vectơ cơ sở cho ta các số
Xem xét trên sơ đồ ta quan sát thấy:
v
1
= |V | |
1
e
| cos
Bây giờ chúng ta xét dãy (v
i
) đã đợc thiết lập. Nếu ta tiến hành
chiếu vuông góc
V xuống các trục của một cơ sở mới (
I

E ) ta thu đợc:
v
I
= V .
I
E hay
I
E =
i
I
a
i
e

Nh vậy, ta có:
v
I
= V .
i
I
a .
i
e =
i
I
a v.
i
e =
i
I

a v
i
v
i
=
v
.
i
e

13
Ta nhận thấy vùng v
I
đã đợc thu gọn từ v
i
bằng cách hợp biến.
Nh vậy, chúng ta khẳng định là một vectơ của R
3*
.
Ta gọi v
*
là vectơ đẳng cấu của v .
H. Không gian đẳng cấu của R
3*
R
3*
là một không gian vectơ tơng tự nh R
3
, ta có thể định nghĩa
đẳng cấu của nó là R

3**
nh là một không gian của các ánh xạ tuyến
tính trên R
3*
. Bằng các phép chứng minh tơng tự ta có thể chỉ ra đợc
R
3**
đẳng cấu với R
3*
.
Nếu cơ sở của R
3*
thay đổi thì sẽ dẫn tới sự thay đổi cơ sở theo
nguyên tắc đảo chiều trong R
3**
. Ta có kết luận sau:
R
3
R
3*
R
3**

base (
i
e
) base(e
*i
) base (e
i

**
)
Các vectơ cơ sở sẽ thay đổi cùng với các ma trận.
A trong R
3
; B = A
-1
trong R
3*
, A = B
-1
trong R
3**

Qua đây, ta có thể coi R
3**
và R
3
là nh nhau. Các vectơ của R
3**

đợc xem nh là các phần tử của R
3
.
KL: Tính đối ngẫu là một mối quan hệ tơng đơng (2 chiều)



TểM TT CHNG 1
1. Chúng ta đa ra một không gian toán học R

3
để biểu diễn tất cả
các vectơ vật lý, dù bản chất khác nhau, đợc xác định cùng các nguyên
tắc toán học với vectơ vị trí và chúng cùng chịu sự biến đổi của cơ sở.
j
E =
i
I
a
i
e với các vectơ cơ sở
v
I
=
I
i
b v
i
với các thành phần của các vectơ v = v
i
i
e
2. Ta đa ra một không gian vectơ thứ hai R
3*
, đối ngẫu của R
3
,
biểu diễn các vectơ gắn với các vectơ của R
3
, nhng tuân theo sự thay

đổi của cơ sở kết hợp đảo so với cơ sở của R
3
:
v
*
= v
i
e
*i
tính đối ngẫu
R
3


R
3*

14
F = f
i
e
*i
R
3*
trong đó e
*i
(
j
e ) =
i

j


I
E =
i
I
a
i
e E
*I
=
I
i
b e
*i
và F
I

=
i
I
a f
i

Ta cũng có : R
3**
R
3

3. Quy luật chuyển các vectơ cơ sở của R
3
dùng hệ quy chiếu để
định nghĩa sự thay đổi của dãy các chỉ số.
Chỉ số ở phía trên phản biến
Chỉ số phía dới hợp biến.
4. Ta sử dụng qui ớc Einstein để ghi các chỉ số câm:

v =v
i
i
e v =

=
n
i 1
v
i

i
e

15
CHNG 2 : TENSEUR
I. Phép nhân Tenseur
A. Ví dụ: Chúng ta xét không gian hình học phẳng R
2
, gốc O.
Điểm M chuyển động trong mặt phẳng và vị trí của nó đợc xác định
bởi vectơ

V = OM R
2
. Chọn hệ trục ox , oy và các vectơ cơ sở
1
E ,
2
E .
Ta có thể khai triển
V với các thành phần V = v
i

i
E .
Xét điểm thứ hai M chuyển động cùng một mặt phẳng với M.
Hai điểm này chuyển động độc lập với nhau. Vị trí của điểm M đợc
biểu diễn bởi vectơ
V =
OM
= v
i

i
E
. Theo quan điểm toán học chúng
ta có thể coi các vectơ
V và V thuộc những không gian phẳng khác
nhau.

V =
OM

R
2
và V =
''MO
R
2
Qua việc sử dụng ảnh của
1
E và
2
E ta có thể viết:

V =
OM
= v
i

i
e
R
2
và V =
''MO
= v
i

i
e
R
2

Nh vậy, R
2
và R
2
biểu diễn vị trí riêng của các điểm chuyển
động trong khi đó mặt phẳng ban đầu XOY biểu diễn vị trí tức thời của
chúng.


16

Vị trí tức thời sẽ đợc kí hiệu bởi:
V

V . Ta quy ớc phía bên
trái dấu
là vị trí của chuyển động đầu tiên, phía bên phải là vị trí của
chuyển động thứ hai.
Sự kết hợp này, kí hiệu

giữa một véc tơ của R
2
với một vectơ
của R
2
đợc gọi là phép nhân tenseur.


Tập hợp của

V

V (vị trí tức thời) là tích đề các của R
2
bởi R
2
:
R
2
x R
2

B. Không gian tích tenseur:
Chúng ta sẽ thiết lập không gian R
2
x R
2
dới dạng một không
gian vectơ. Để có thể thiết lập đợc tổ hợp tuyến tính của các yếu tố
V V , không gian tâm tới tính tức thời của mỗi biểu diễn vật lý, và
đa ra các chỉ tiêu độc lập hay không độc lập tuyến tính của các nhân
tố này, ngời ta định nghĩa phép cộng và nhân vô hớng.
Chúng ta chấp nhận 3 tiên đề sau để có thể hiểu rõ hơn bản chất
của phép nhân vô hớng với hai phép toán cộng và nhân với một vô
hớng mà chúng ta vừa đề cập tới:
a) Tính chất phân phối của phép cộng:

V (
'
1

V +
'
2
V ) = V

'
1
V + V

'
2
V
(
V
1
+V
2
) V = V
1

V + V
2

V
V V là tích tenseur của V bởi V

17
b) Phép nhân với một vô hớng:
(
V ) V = V

(V ) = (V

V )
và ta có thể kí hiệu đơn giản
V

V
c) Độc lập tuyến tính:
Nếu p vectơ
V
k
của R
2
và q vectơ
'
l
V
của R
2
(với k = p,1 và l
=
q,1 ) độc lập tuyến tính trong các không gian của nó thì tích pq phần tử
(
V
'
l
V ) là độc lập tuyến tính.
Vì ta tìm đợc nhiều hơn hai vectơ độc lập tuyến tính trong R
2

và
nhiều hơn hai vectơ độc lập tuyến tính trong R
2
nên ta có thể xây dựng
tích tenseur của các vectơ này, nhiều hơn bốn phần tử (
V
'
l
V
) độc lập
tuyến tính.
Tuy nhiên, từ một cơ sở đặc biệt (
i
e ) của R
2
và từ một cơ sở (
i
e )
của R
2
, chúng ta có thể xây dựng đợc bốn phần tử
i
e
j
e =
ij
, dựa
trên tiên đề cuối, độc lập tuyến tính.
Kết quả là một không gian vectơ đợc tạo ra nhờ phép nhân
tenseur nhất thiết phải có số chiều bằng 4 và các phần tử

ij
=
i
e


j
e
cấu tạo nên một cơ sở (i = 1, 2 ; j = 1,2).
Bởi vậy, một không gian nh vậy có thể xem nh đợc sinh ra bởi
các phần tử
ij
. Có nghĩa là các phần tử này là tất cả các tổ hợp tuyến
tính có thể có của
ij
. Không gian này, đợc gọi là tích tenseur của R
2

bởi R
2
(hay R
2
bởi chính nó), là độc lập với cơ sở đặc biệt (
ij
).
Định nghĩa:
Tích tenseur của R
2
bởi R
2

R
2
, kí hiệu R
2
R
2
, là
một tập hợp của các tổ hợp tuyến tính . Không gian này
có cấu trúc của một không gian vectơ 4 chiều với cơ sở là (
ij
).
Các phần tử của R
2

R
2
là các tenseur trên R
2
.
Nếu chúng ta kí hiệu một tenseur T nh là một tổ hợp của (
ij
),
chúng ta có thể biểu diễn các thành phần của T trên cơ sở (
ij
):

ij
=
i
e

j
e


18
T = t
ij

ij
R
2

R
2

Chúng ta sẽ hiểu ngầm với nhau kí hiệu
ij
từ 1 tới 4 nh sau:

1

11
;
2

12
;

3

21
;
4

22
. Việc đánh số cho các thành
phần của t cũng đợc tiến hành tơng tự. Nhng ta sẽ biết rằng các
phép tính trên tenseur sẽ đơn giản hơn rất nhiều nếu chúng ta giữ
nguyên những chỉ số ban đầu của chúng.
C. Biểu diễn hình học của cơ sở (
ij
)


D. So sánh giữa tích Đề cac và tích Tenseur
Không gian R
2
xR
2
là một tập hợp của các tích tenseur của tất cả
các vectơ của R
2
với tất cả các vectơ của R
2
.
Không gian R
2
R

2
là một tập hợp của tất cả các tổ hợp tuyến
tính của các tích tenseur này.
Liệu giữa hai không gian này có sự tơng đồng?
Một phần tử
V V của R
2
xR
2
là một tổ hợp tuyến tính trên
chính nó, phần tử này cũng thuộc R
2

R
2
nhng có hay không mối
quan hệ hai chiều?

19
Cho hai vectơ
V = v
i
i
e R
2
và V = v
i
i
e R
2

. Ta có thể biểu
diễn các thành phần của T:
T = (
V

V )= (v
i
i
e )

(v
i
i
e ) = v
i
v
i
(
i
e

i
e ) = v
i
v
i

ij

Ta ký hiệu: t

ij
= v
i
. v
i
. Khi đó:
t
11
= v
1
v
1
; t
12
= v
1
v
2
; t
21
= v
2
v
1
; t
22
= v
2
v
2

Ta có:

2'
1'
22
21
12
11
v
v
t
t
t
t
==
Nh vậy, 4 phần tử trên là không độc lập với nhau. Ta có thể tính
đợc một phần tử theo các phần tử còn lại.
Ví dụ: t
22
=
12
2111
)(
t
xtt
với t
11
0
Nếu ta đa ra một dãy 4 số t

ij
tuân theo mối quan hệ trên, khi đó
ta có thể biểu diễn nó nh là các thành phần trên (
ij
) của một phần tử
của không gian R
2
xR
2
.
Nhng nếu t
ij
là tuỳ ý không tuân theo quy luật trên thì sự biểu
diễn nh vừa rồi là không thể. Điều đó có nghĩa là: T = t
ij

ij
R
2
xR
2
.
Kết quả là R
2
x R
2
chỉ là tập con của R
2

R

2
. Ta có thể minh hoạ
bởi hình vẽ:


20


Nh vậy là một phần tử của R
2

R
2
không hoàn toàn là một vị
trí tức thời của chất điểm chuyển động nhng là một tổ hợp tuyến tính
của vị trí tức thời.
Không gian vectơ R
2

R
2
rộng hơn R
2
xR
2
. Vả lại không gian
R
2
xR
2

không hẳn đã là một không gian vectơ bởi một tổ hợp tuyến tính
của các phần tử cha chắc đã cho ta một phần tử của không gian đó.
Kết luận:
Để có thể mở rộng thêm những quy tắc đã biết từ tính
toán vectơ đến khái niệm mới là tính tenseur (
V

V ) chúng ta phải đa
ra một tập tích tenseur R
2

R
2
nh là một không gian làm việc.
E. Biểu diễn vật lý các tenseur: Trong thực tế, trong mỗi phạm vi
sử dụng tenseur, việc biểu diễn vật lý thờng xuất phát trực tiếp từ định
nghĩa. Trong ví dụ mà chúng ta đã từng xem xét ở trên, ta có thể hình
dung ra đợc phần nào biểu diễn tĩnh của các tenseur với t cách là
những tổ hợp tuyến tính
ij
. Những hệ số của các tổ hợp này sẽ là tọng
lợng tĩnh ứng với 4 tình huống cơ bản:

11
và
22
biểu diễn những trờng hợp mà các chất điểm có xu
hớng chuyển động hợp lại với nhau ở vùng lân cận trục
OX
và

OY
.

12
và
21
ứng với trờng hợp mà các chất điểm chuyển động có
xu hớng chuyển động tới, trục thứ nhất
OX , trục thứ hai OY hay ngợc
lại.
Trong cơ học lợng tử, trạng thái động của các điểm chuyển động
(phân tử) đợc biểu diễn bởi các hàm sóng , phần tử của không gian
Hilbert (rộng hơn là không gian vectơ). Ta xây dựng các trạng thái
động của cơ sở, cho 2 điểm đặc biệt, bởi tích tenseur của các trạng thái
riêng:

ij
=
i


j


21
Một trạng thái động nào đó có thể luôn đợc khai triển nh là
một tổ hợp tuyến tính của các trạng thái của cơ sở. Trong trờng hợp
này, đó chính là những bình phơng của các hệ số có biểu diễn tĩnh nh
là trọng lợng.
F. Có tồn tại tính giao hoán của phép nhân tenseur?

a. Chú ý: Chúng ta đã xem xét hai không gian R
2
và R
2
là hoàn
toàn riêng biệt. Trong thực tế xét theo quan điểm vật lý thì chúng có thể
bị nhầm bởi chúng biểu diễn cùng một không gian hình học phẳng. Kết
qủa là chúng đẳng cấu và những quy tắc thay đổi cơ sở trong đó là
tơng đơng. Theo quan điểm toán học thì chúng ta cũng có thể nhầm
lẫn nh vậy. Do đó, không gian vectơ sinh ra bởi
ij
là tích tenseur của
R
2
bởi chính nó: R
2
R
2
, và phép nhân tenseur tổ hợp hai vectơ của
cùng một không gian:

V V V và V R
2
.
b. Tính giao hoán:
Cho hai vectơ không song song của R
2
: U và V R
2
. Ta lập tích

tenseur giữa chúng
U V R
2

R
2
.
Cho hai vectơ khác không song song của R
2
: W và
T
với W
không song song với U ;
T
không song song với V .
Điều đó có nghĩa là
U và W ; V và
T
là độc lập tuyến tính.
Xét trờng hợp đặc biệt
W = V và
T
= U mà ta có thể quan tâm
tới tính chất không song song của các vectơ này:


22
Nếu tồn tại tính giao hoá của

, khi đó U

V = V

U và nh vậy
là mâu thuẫn với tính độc lập tuyến tính của hai phần tử. Một cách tổng
quát thì:

U V V

U
II. Tổng quan về phép nhân tenseur
A. Khái quát về R
n
: Chúng ta có thể tổng quát hoá R
2
ngay lập
tức cho R
n
với n > 2.
Ví dụ: Trong không gian R
3
chúng ta có cơ sở 3 vectơ cho phép
định nghĩa 9 phần tử
ij
=
i
e


j

e độc lập tuyến tính. Những phần tử
ij

sinh ra không gian vectơ 9 chiều R
3


R
3
.
Tơng tự, R
n
R
n
: n
2
chiều
Tuy nhiên chúng ta chỉ xét trong phạm vi của R
2
hoặc R
3
.
B. Những nét tổng quan về không gian vectơ:
Ta có thể định nghĩa tính tenseur của hai không gian vectơ nào đó
nhng chúng ta chỉ sử dụng hai không gian R
3
và R
3*
trong thực tế.
Tơng tự nh trên chúng ta đã đa ra tenseur T R

3
R
3
đợc
định nghĩa bởi T = t
ij
(
i
e

j
e ) = t
ij

ij
,ta sẽ đa ra các tenseur T
R
3*
R
3*
.
T = t
ij
(e
*i
e
*j
) và kí hiệu e
*i

e
*j
=
ij

Sau đó là:
T R
3

R
3*

T = t
j
i
(
i
e

e
*i
) với
i
e

e
*i
=
i

j

và cuối cùng là:
T R
3*
R
3

T= t
i
j
(e
*i

j
e ) với e
*i



j
e =
i
j

Chúng ta có 4 dạng tenseur, các yếu tố bên trong của không gian
vectơ đợc xây dựng bởi tính tenseur của 2 không gian R
3
hoặc R
3*

mỗi
trong chúng đợc sử dụng 2 lần. Bốn không gian này có số chiều là 9.

23
Tơng tự nh trên chúng ta phải xem xét R
3
và R
3*
là hoàn toàn
riêng biệt. Chúng ta sẽ phân biệt R
3

R
3*
từ R
3*

R
3
. Sự đồng nhất từ
R
3
R
3*
vào R
3*
R
3
đa ta quay lại việc xem xét tính giao hoán của
phép nhân tenseur.

Có thể dễ dàng chứng minh đợc rằng những không gian vectơ
sau là hoàn toàn riêng biệt:
R
3*

R
3
; R
3

R
3*
; R
3*

R
3*
; R
3

R
3
.
Chúng ta sẽ sử dụng cùng một kí hiệu t để biểu diễn dãy các
thành phần của 4 tenseur khác nhau. Ta sẽ phân biệt các dãy này bằng
vị trí của các chỉ số:
- Phần phía trên đợc chọn để có thể sử dụng quy ớc Einstein
trong tính tổng các chỉ số câm.
- Hàng ngang cho ta biết tích tenseur mà ta tiến hành, không gian
mà tenseur đó thuộc về.

Cũng nh vậy, dãy (t
j
i
) đợc kết hợp với dãy của cơ sở
i
j

=
i
e


e
*j
: tenseur có thành phần t
j
i
thuộc không gian R
3

R
3*
.
C. Cơ sở chuẩn của tích tenseur:
a. Định nghĩa: Bốn không gian vectơ đã định nghĩa luôn luôn có
thể đợc biểu diễn bởi những cơ sở nào đó độc lập với nhau.
Tuy nhiên, không phải tất cả các cơ sở đều thuận lợi cho việc tính
toán. Chúng ta đã thấy, khi cơ sở (
i
e

) đợc chọn trong R
3
chúng ta có
lợi khi đa ra R
3*
với hệ cơ sở đẳng cấu kết hợp (e
*i
). Điều đó có nghĩa
là (
i
j
), (
i
j
), v.v đợc sử dụng để tạo ra những không gian vectơ từ
chính chúng.
Một cơ sở nh vậy sẽ đợc gọi là cơ sở chuẩn kết hợp với (
i
e
).
Cũng nh vậy, cơ sở chuẩn đợc kết hợp với (
i
e ) trong R
3*

R
3
sẽ
là (
i

j
) = (e
*i

j
e ) và trong R
3*

R
3*
là: (
ij
) = (e
*i

e
*j
).
b. Thay đổi cơ sở chuẩn: Dẫu rằng những không gian tích tenseur
đợc sinh ra bởi cơ sở đặc biệt (cơ sở chuẩn) ta phải chấp nhận ngầm

24
với nhau rằng những phần tử của chúng, có khả năng biểu diễn các đại
lợng vật lý, đợc định nghĩa theo cách đồng nhất, nh là những vectơ
của R
3
. Kết quả là tất cả những thay đổi cơ sở trong R
3
dẫn tới một sự
thay đổi của cơ sở chuẩn,ảnh hởng tới sự biến đổi các thành phần của

tenseur.
Khi ta chuyển từ cơ sở (
i
e ) sang cơ sở (
I
E =
i
I
a
i
e ), một tenseur
của R
3
R
3*
đợc viết là: T= t
i
j
(
i
e

e
*j
) trở thành T= T
I
J

(E
I

E
*J
).
Đặc tính đồng nhất của T ảnh hởng:
T
I
J
(
I
E

E
*J
) = t
i
j
(
i
e

e
*j
)
Với
i
e

e
*j
=(

I
i
b
I
E )

(
j
J
a E
*J
) =
I
i
b
j
J
a (
I
E

E
*J
)
Từ đó ta có: T
I
J
(
I
E

E
*J
) =
I
i
b
j
J
a
i
j
t (
I
E

E
*J
)
Việc khai triển một phần tử của không gian vectơ trên cơ sở duy
nhất đợc rút gọn lại:

I
J
T =
I
i
b
j
J

a
i
j
t I, J
Ta thấy rằng chỉ số I (hoặc i) biến đổi nh là phản biến (B= A
-1
)
và chỉ số J (hoặc j) biến đổi theo cách hợp biến (ma trận A).
Chúng ta nhận thấy rằng quy ớc tơng đối về độ cao của chỉ số
theo biến kết hợp vẫn còn có giá trị.
Tơng tự cho R
3*

R
3
:
I
J
T =
i
I
a
I
i
b
i
j
t kết hợp với
Trong R
3

R
3
: t
IJ
=
I
i
b
J
j
b t
ij
và trong R
3*
R
3*
: T
IJ
=
i
I
a
j
J
a t
ij

Nh vậy, những quy tắc thay đổi cơ sở chuẩn trong tích tenseur
đợc viết rất đơn giản khi ta tuân thủ việc kết hợp giữa độ cao của chỉ
số và biến kết hợp.

Lợi ích của chỉ số kép của các đại lợng t hay

thể hiện nh sau:
Khi chúng ta thay thế nó bởi một chỉ số đơn giản ( i=1, ,9), các
nguyên tắc về thay đổi cơ sở không thể đợc diễn đạt đơn giản nh vậy

I
J
=
I
i
b


i
j


25
bởi những hệ số mới khi đó là những hàm phức tạp của các phần tử của
ma trận ban đầu.
Chú thích: Xem lại phần kí hiệu: t = v
1
v
1
vv.
D. Tích tenseur của một dãy hai chỉ số:
a. Ví dụ:
Xét một toán tử c. Toán tử này thực hiện phép chuyển
tất cả các vectơ

V của R
3
thành một véctơ khác U của R
3


V R
3
u = c(v) R
3

Sự kết hợp giữa
U và V đợc định nghĩa là độc lập với mọi cơ sở:
đây là một ánh xạ thực (inteinsèque). Toán tử c có thể hoàn toàn đợc
định nghĩa bởi tác động của nó lên tất cả các vectơ của một cơ sở (
i
e ):

U = c (V ) = c(v
j

j
e ) = v
j
c(
j
e ).
Việc biết đợc 3 thành phần c (
j
e ) đủ để nhận ra toàn bộ V đợc

chuyển thành
U nh thế nào .
Hay 3 thành phần c(
j
e ) bản thân nó là các vectơ của R
3
mà ta
hoàn toàn có thể khai triển trên cơ sở (
i
e ).
c(
j
e )=
i
j
c
i
e
Mỗi hệ cố
i
j
c biểu diễn thành phần thứ i của phép biến đổi của
vectơ thứ j của cơ sở.
Ta có thể viết U = u
i

i
e = v
j
i

j
c
i
e . Từ đó ta rút ra đợc thành phần
của
U :
Nếu ta chú ý sự kết hợp của các chỉ số (
i
j
c v
i
), ta nhận thấy sự xuất
hiện tích của ma trận vuông [
i
j
c ] với ma trận cột của các thành phần của
U (trong
i
j
c thì i là chỉ số dòng còn j là chỉ số cột).
Ma trận [
i
j
c ] là ma trận kết hợp trong cơ sở (
i
e ) của toán tử c.
=
3
3
3

2
3
1
2
3
2
2
2
1
1
3
1
2
1
1
ccc
ccc
ccc

u
i
=
i
j
c
v
j
u
1

u
2

u
3

v
1
v
2
v
3