Bài tập lớn Cơ học môi trường liên tục

Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
64
Chương 5. MỘT SỐ MÔ HÌNH CỦA CƠ HỌC
CÁC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC
A. VẬT RẮN Đ ÁN HỒI - LÝ THUYẾT ĐÀN HỒI TUYẾN TÍNH:
I. Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng - Định luật Hooke:
Trong lý thuyết đàn hồi tuyến tính dịch chuyển u
i
và gradient dịch chuyển được giả
sựí đủ nhỏ để cho không có sựü khác biệt nhau về tenxơ biến dạng giữa mô tả theo
Lagrange và mô tả theo Euler. Ten xơ biến dạng tuyến tính được cho bởi:
()
i,jj,i
i
j
j
i
i
j
j
i
ijij
uu
2
1
x
u
x
u
2
1

X
u
X
u
2
1
l
+=








+=








+==
∂
∂
∂
∂

∂
∂
∂
∂
ε
Nếu quá trình biến dạng xảy ra trong điều kiện đoạn nhiệt và đẳng nhiệt, thì phương
trình cơ bản cho vật thể đàn hồi tuyến tính liên hệ giữa ten xơ biến dạng và tenxơ
ứng suất có dạng.
kmijkmij
C
εσ
= :biểu thị định luật Hooke tổng quát. [5.21]
Trong đó tenxơ hằng số đàn hồi
ijkm
C có 81 thành phần. Vì ten xơ ứng suất và ten
xơ biến dạng đều đối xứng do đó hằng số đàn hồi
ijkm
C chỉ còn lại 36 thành phần
phân biệt. Vậy nhằm mục đích biểu diển định luật Hooke cho 36 thành phần khác
nhau nầy ta thay hệ thống hai chỉ số (với khoảng cuả mổi chỉ số là 3) của tenxơ ứng
suất và tenxơ biến dạng thành hệ thống 1 chỉ số, với khoảng của chỉ số là 6. Theo
các ký hiệu sau :
σ
11
= σ
1
σ
22
= σ
2

σ
33
= σ
3
σ
23
= σ
32
= σ
4
σ
31
= σ
13
= σ
5
σ
21
= σ
12
= σ
6
ε
11
= ε
1
ε
22
= ε
2

ε
33
= ε
3
2ε
23
= 2ε
32
= ε
4
2ε
13
= 2ε
31
= ε
5
2ε
21
= 2ε
12
= ε
6
Định luật Hooke có thể được viết:
MKMK
C
ε
σ
= (K, M: 1, 2, 3, 4, 5, 6).[5.22]
Trong đó C
KM

biểu diển cho 36 hằng số đàn hồi.
[]




















=
666564636261
565554535251
464544434241
363534333231
262524232221
161514131211
KM

CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
CCCCCC
C [5.23]
II. Các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi:
1.Phương trình năng lượng biến dạng:
Theo định lý năng lượng ở chương 4 ta có:
∫∫∫∫∫∫
−++=+
∧
•
S
ii
VV
ii
S
)n(
ii
VV
ii
dSnCZdVdVbvdStvdVudV
2
vv
dt
d
ρρρρ
Rút gọn ta được:

Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
65
()
∫∫∫∫∫
−++=








+
V
i,i
VV
ii
V
j,
jii
V
2
dVCZdVdVbvdVvdVu
2
v
dt
d
ρρσρ
Suy ra:

()
i,iii
j,
jii
2
C
1
Zbvv
1
u
2
v
dt
d
ρ
σ
ρ
−++=








+
()
i,iii
j,

jiiii
C
1
Zbvv
1
vv
dt
du
ρ
σ
ρ
−++=+
•
Cộng cho:
iij,jiiii
bvv
1
vv −−=−
•
σ
ρ
(phương trình chuyển động)

⇒
i,ij,iji
C
1
Zv
1
dt

du
ρ
σ
ρ
−+=
Hay
i,iijji
C
1
ZD
1
dt
du
ρ
σ
ρ
−+= [5.24]
Nếu ảnh hưởng của nhiệt không đáng kể, ta có phương trình cân bằng năng lượng:
ij
ijijji
1
D
1
dt
du
•
==
εσ
ρ
σ

ρ
[5.25]
được gọi là phương trình năng lượng biến dạng ( cơ năng)
ta có:
ijij
d
1
du
εσ
ρ
= [5.26]
Nếu đặt u là hàm số của tenxơ biến dạng
ε
ij
: u = u
(ε
ij

)
, ta có:
ij
ij
d
u
du
ε
∂ε
∂
=
Suy ra:

ij
ij
1u
σ
ρ∂ε
∂
=
Đặt u
*
=
ρ
u , ta có:
ij
*
ij
u
∂ε
∂
σ
= [5.27]
(u* là năng lượng biến dạng trên đơn vị thể tích)
Dạng đơn giản nhất của hàm năng lượng biến dạng để dẫn tới quan hệ biến dạng và
ứng suất là tuyến tính là:
kmijijkm
*
C
2
1
u
εε

= [5.28]
hay:
ijij
*
2
1
u
εσ
= [5.29]
Theo hệ thống chỉ số đơn, phương trình trên trở thành:
MKKM
*
C
2
1
u
εε
= : hàm số năng lượng biến dạng. [5.30]
Vì C
KM
= C
MK
(đối xứng) nên hằng số đàn hồi có tối đa 21 trị số khác nhau.
2. Hằng số đàn hồi của môi trường đẳng hướng:
a.
Môi trường đẳng hướng:
Vật thể có tính đàn hồi giống nhau cho mọi hướng bao hàm tính chất đối xứng hoàn
toàn được gọi là đẳng hướng. Mọi mặt phẳng cũng như mọi trục đều là mặt đối xứng
hay là trục đối xứng đàn hồi.
b. Hằng số đàn hồi của môi trường đẳng hướng:

Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
66
Chỉ còn lại 2 hằng số độc lập
λ
và
µ
gọi là hằng số Lamê.
[]
()
()
()





















+
+
+
=
µ
µ
µ
µλλλ
λµλλ
λλµλ
00000
00000
00000
0002
0002
0002
C
KM
[5.31]
Vậy định luật Hooke cho môi trường đẳng hướng được viết:
ijkkijij
2
µ
εελδσ
+= [5.32]
hay:
()
ijkkijij
2

1
232
σ
µ
σδ
µλµ
λ
ε
+
+
−
= [5.33]
Đối với trạng thái ứng suất đơn trục đơn giản theo một phương, giả sử theo hướng
x
1
. Hằng số kỹ thuật E gọi là mô đun đàn hồi Young và hệ số Poisson
ν
được đưa
vào cho môi trường đẳng hướng thay cho các hằng số đàn hồi, ta có:
Quan hệ giữa ứng suất và biến dạng cùng phương như sau:
1111
E
εσ
= [5.34]
và quan hệ giữa biến dạng theo phương x
1
với biến dạng theo 2 phương vuông góc
còn lại:
113322
νεεε

−== [5.35]
So sánh các công thức xác định ứng suất và xét quan hệ giữa các biến dạng ta rút
ra:
()( )
νν
ν
λ
211
E
−+
= và
()
ν
µ
+
=
12
E
[5.36]
hay:
()
()
()
2
m
N
:
2
23
E

µλ
µ
λ
µ
+
+
= và
()
µλ
λ
ν
+
=
2
[5.37]
Các công thức xác định ứng suất và biến dạng lúc này trở thành:






−
+
+
=
kkijijij
211
E
εδ

ν
ν
ε
ν
σ
[5.38]
vaì
kkijijij
EE
1
σδ
ν
σ
ν
ε
−
+
= [5.39]
Đối với trạng thái áp suất thủy tĩnh đồng nhất của ứng suất, mô đ un khối được định
nghĩa là tỉ số giữa áp suất và sự co giãn thể tích:
ii
p
K
ε
−= là :
)21(3
E
K
ν
−

= hoặc
3
)23(
K
µ
λ
+
= [5.40]
Đối với trạng thái thuần ứng suất cắt, mô đun cắt G là quan hệ giữa các thành phần
ứng suất tiếp và biến dạng trượt.
()
ν
µ
+
==
12
E
G [5.41]
III. Bài toán Tĩnh đàn hồi và Động lực đàn hồi:
1. Bài toán Tĩnh đàn hồi:
Đối với vật thể đồng chất đẳng hướng dựa vào các phương trình sau đây:
a. Phương trình cân bằng:
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
67
0b
ij,ji
=+
ρ
σ
b. Định luật Hooke:

ijkkijij
2
ε
µ
ελδσ
+=
c. Quan hệ biến dạng và chuyển vị:
()
i,jj,iij
uu
2
1
+=
ε
Thay phương trình (c) vào (b) sau đó thay vào (a) ta được phương trình Navier -
Cauchy:
()
0buu
iji,jjj,i
=+++
ρ
µ
λ
µ
[5.42a]
Nghiệm của bài toán là vectơ chuyển vị u
i
phải thỏ a mản phương trình trên với các
điều kiện biên được cho đầy đủ dưới dạng chuyển vị:
(

)
Xgu
ii
r
= [5.42b]
2. Bài toán đàn hồi động lực:
Phương trình cân bằng được thay thế bằng phương trình của chuyển động:
iij,ij
vb
&
ρ
ρ
σ
=+
Các điều kiện ban đầu và điều kiệ n biên được xác định trước. Phương trình động lực
đàn hồi có dạng:
()
iiji,jjj,i
ubuu
&&
ρ
ρ
µ
λ
µ
=+++ [5.43]
Nghiệm của bài toán có dạng
()
t,xuu
ii

r
= phải thỏa các điều kiện ban đầu của
chuyển động:
()
0,xuu
ii
r
= và )0,x(uu
ii
r
&&
= [5.44]
và điều kiện biên dưới dạng chuyển vị:
()
t,xgu
ii
r
= [5.45]
hoặc dưới dạng ứng suất mặt:
()
t,xtt
)n(
i
)n(
i
r
))
= [5.46]
IV. Định lý độc lập tác dụng - Tính duy nhất nghiệm:
1. Định lý độc lập tác dụng: ( định lý cộng tác dụng)

Vì những phương trình đàn hồi tuyến tính là những phương trình tuyến tính.
Nên các nguyên lý độc lập tác dụng được phát biểu như sau: Nếu
)1(
i
)1(
ij
u,
σ
đặc trưng
cho 1 nghiệm của hệ phương trình (a), (b), (c) với lực khối là b
i
(
1
)
và
)2(
i
)2(
ij
u,
σ
đặc
trưng cho 1 nghiệm của hệ phương trình (a), (b), (c) với lực khối là b
i
(
2
)
thì:




+=
+=
)2(
i
)1(
ii
)2(
ij
)1(
ijij
uuu
σσσ
của hệ phương trình đối với lực khối
)2(
i
)1(
ii
bbb +=
2. Tính duy nhất nghiệm:
Nghiệm của bài toán tĩnh đàn hồi tổng quát của vật thể đàn hồi có tính duy
nhất. Tính duy nhất nghiệm này được chứng tỏ bởi nguyên lý độc lập tác dụng cùng
với định luật bảo toàn năng lượng.
3. Nguyên lý St. Venant:
Phát biểu về sựü khác biệt xãy ra trên ứng suất và biến dạng tại các vị trí
khác nhau bên trong vật rắn đàn hồi như sau: “ Đối với những vị trí đủ xa miền
đặt tải trọng, những sự khác biệt nói trên là không đáng kễ “.
Tức là nếu tác dụng lên một bộ phận của vật thể một hệ tải trọng tự cân bằng
thì hệ tải trọng nầy chỉ gây nên những ứng suất cục bộ giảm rất nhanh theo khoảng
cách đến vị trí đặt tải trọng.

Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
68
Tại các điểm của vật rắn có khoảng cách đủ xa đến miền đặt tải trọng, ứng
suất rất ít phụ thuộc vào cách đặt lực cụ thể. ( Tải trọ ng phân bố trên miền nhỏ của
bề mặt vật thể có thể thay bằng lực tập trung.)
V. ĐÀN HỒI HAI PHƯƠNG. ỨNG SUẤT PHẲNG VÀ BIẾN DẠNG PHẲNG:
Nhiều bài toán đàn hồi có thể giải hai phương hoặc bằng lý thuyết đàn hồi phẳng.
Thường có hai dạng bài toán:
-Bài toán ứng suất phẳng, dạng hình học của vật thể phải là dạng bản mỏng, có kích
thước của một chiều rất nhỏ hơn hai chiều còn lại. Tải trọng tác dụng đều lên chiều
dày của bản và có phương song song với mặt bản.
- Bài toán biến dạng phẳng, dạng hình học của vật thể phải là hình trụ hoặc lăng
trụ với một chiều có kích thước phải lớn hơn nhiều so với hai chiều còn lại. Tải
trọng tác dụng phân bố đều lên cạnh dài nhất và có phương vuông góc với nó.
5.1. Bài toán ứng suất phẳng:
Trong đó các thành phần ứng suất bao gồm
231333
,,
σσσ
được lấy = 0 ở mọi nơi, các
thành phần còn lại có giá trị là các hàm số của
x
1
, x
2
mà thôi.
)2,1,(;)x,x(
21
==
β

ασσ
αβαβ
[5.47]
Tương ứng, các phương trình cơ bản cho bài
toán ứng suất phẳng là:
a. 0b
,
=+
αβαβ
ρ
σ
[5.48]
b.
γγαβαβαβ
σδ
ν
σ
ν
ε
EE
1
−
+
= [5.49]
αα
σ
ν
ε
E
33

=
()
αββααβ
ε
,,
uu
2
1
+= [5.50]
Trong đó












∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂

=
2
2
1
2
2
1
1
1
,
x
u
x
u
x
u
x
u
u
βα
;











=
000
0
0
2212
1211
σσ
σσ
σ
αβ
và










=
33
2212
1211
00
0
0
ε

εε
εε
ε
αβ
Do dạng đặc biệt của ten xơ biến dạng trong trường hợp ứng suất phẳng, sáu
phương trình tương thích (chươ ng 3) có thể giãm còn 1 phương trình với độ chính
xác hợp lý cho bản rất mỏng:
12,1211,2222,11
2
εεε
=+ [5.51]
Theo thành phần chuyển vị u
α

, nếu kết hợp các phương trình cơ bản lại ta có
phương trình chủ đạo như sau:
0bu
)1(2
E
u
)1(2
E
,
2
=+
−
+∇
+
αβαβα
ρ

νν
[5.52]
5.2. Bài toán biến dạng phẳng:
x
2
x
1
x
3
x
2
Hình 5-1.
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
69
Thành phần chuyển vị u
3
= 0 và các thành phần còn
lại là hàm số của x
1
, x
2
mà thôi.
)x,x(uu
21
αα
=
Trường hợp này các phương trình cơ bản là:
a. 0b
,
=+

αβαβ
ρ
σ
[5.53]
b.
αβγγαβαβ
µ
εελδσ
2+= [5.54]
αααα
σ
µλ
λ
νσσ
)(2
33
+
==
c.
()
αββααβ
ε
,,
uu
2
1
+= [5.55]
Từ a, b, c, phương trình Navier cho biến dạng phẳng có dạng:
0bu)(u
,

2
=+++∇
αβαβα
ρµλµ
[5.56]
Giống như bài toán ứng suất phẳng, các phương trình tương thích cho biến dạng
phẳng cũng trở thành một phương trình như [5.51].
VI. HÀM ỨNG SUẤT AIRY:
Nếu lực khối bằng không hoặc hằng số, thì nghiệm của bài toán đàn tĩnh phẳng
(biến dạng phẳng hoặc ứng suất phẳng suy rộng) thường được giải bằng hàm ứng
suất Airy. Ngay khi lực khối bắ t buột phải đưa vào tính toán thì người ta có thể dùng
nguyên lý cộng tác dụng để tính thêm vào tác dụng của nó bằng cách tích phân riêng
các phương trình vi phân tuyến tính cơ bản.
Đối với bài toán đàn tĩnh phẳng khi lực khối = 0 , phương trình cân bằng trở thành:
0
,
=
βαβ
σ
[5.57]
và phương trình tương thích [5.51] biểu diễn bằng ứng suất có dạng như sau:
0)(
2211
2
=+∇
σσ
[5.58]
các thành phần ứng suất được cho dưới dạng đạo hàm riêng phần củ a hàm ứng
suất Airy )x,x(
21

φ
φ
= như sau:
11,22;12,12;22,11
φ
σ
φ
σ
φ
σ
=−== [5.59]
Phương trình cân bằng [5.57] cũng được thỏa và điều kiện tương thích [5.58] trở
thành phương trình điều hoà kép:
0,,2,)(
222211221111
422
=++=∇=∇∇
φφφφφ
[5.60]
Những hàm số thoả mản [5.60] được gọi là hàm điều hòa kép.
VII. CÁC BÀI TOÁN ĐÀN HỒI TĨNH 2 PHƯƠNG TRONG TOẠ ĐỘ CỰC:
Để tiện lợi người ta
thường dùng hệ tọa
độ cực (r ,
θ
) để quy
chiếu dạng hình học
của vật thể trong bài
toán đàn tĩnh 2
phương. Các

phương trình biến
đổi toạ độ là:
θ
cosrx
1
=
θ
sinrx
2
=
ứng với các thành
phần ứng suất trong
hình 5-3 phương trình cân bằng có dạng:
x
3
x
1
x
2
Hình 5-2.
x
1
x
2
θ
r
dθ
σ
θ
σ

rr
dr
dr
r
rr
rr
∂
∂
+
σ
σ
θ
θ∂
σ∂
+σ
θθ
θθ
d
Hình 5-3.
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
70
0R
rr
1
r
rrr
rr
=+
−
+

∂
∂
+
∂
∂
θθθ
σσ
θ
σ
σ
[5.61]
0Q
r
2
rr
1
rr
=++
∂
∂
+
∂
∂
θθθθ
σσ
θ
σ
[5.62]
trong đó R và Q là các thành phần của lực khối trên đơn vị thể tích theo các phương
r và

θ
Dùng hàm ứng suất Airy
),r(
θΦΦ
=
thành phần ứng suất được cho bởi:
2
2
2
rr
r
1
rr
1
θ
ΦΦ
σ
∂
∂
+
∂
∂
= [5.63]
2
2
r∂
∂
=
Φ
σ

θθ
[5.64]






∂
∂
∂
∂
−=
θ
Φ
σ
θ
r
1
r
r
[5.65]
Điều kiện tương thích dẫn tới phương trình điều hòa kép:
0)(
422
=∇=∇∇
ΦΦ
trong tọa độ cực
2
2

22
2
2
r
1
rr
1
r
θ
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇
B. CHẤT LƯU:
I. Áp suất chất lưu - Tenxơ ứng suất nhớt:
Khi chất lưu ở trạng thái tĩnh, vectơ ứng suất
)n(
i
t
∧
trên 1 mặt phân tố bất kỳ thì cùng
phương với pháp tuyến
n
)
của mặt đó và có độ lớn bằng nhau ở mọi phương tại 1

điểm cho trước. Do đó:
iojij
)n(
i
npnt −==
∧
σ
[5.1]
trong đó p
o
là cường độ ứng suất hay áp suất thủy tĩnh. Dấu âm chỉ ứng suất nén. Ở
đây mọi phương đều là phương chính, ta có:
ijoij
p
δσ
−= [5.2]
đặc trưng cho trạng thái ứng suất cầu.
Thành phần ứng suất tiếp tuyến ở đây bằng không khi chất lưu ở trạng thái tĩnh.
Đối với chất lưu chuyển động thành phần ứng suất tiếp thường khác không và ten
xơ ứng suất trong trường hợp này được viết:
ijijij
p
τδσ
+−= [5.3]
trong đó
τ
ij
là ten xơ ứng suất nhớt (ma sát).
p là áp suất ( thủy động)
Tất cả chất lưu thực đều có tính nhớt và tính nén được. Tuy nhiên, các tính chất này

thay đổi tùy theo loại chất lưu và trong một số trường hợp có thể bỏ qua các ảnh
hưởng của nó mà vẫn không làm mất sự chính xác khi tính toán. Tương ứng khi bỏ
qua tính nhớt ta có chất lưu hoàn hảo trong đó
τ
ij
= 0 ngay cả khi chất lưu này
chuyển động, ngược lại ta sẽ có chất lưu nhớt. Từ [5.3] ứng suất pháp bình quân
được cho bởi:
ii
3
1
ii
3
1
p
τσ
+−= [5.3a]
Trường hợp chất lưu đứng yên
τ
ij
= 0 và p trở thành p
o
và bằng trừ ứng suất pháp
bình quân.
Với chất lưu nén được: Áp suất p, khối lượng riêng
ρ
và nhiệt độ tuyệt đối T có liên
quan với nhau bởi phương trình:
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
71

p = p(
ρ
, T). [5.3b]
Chẳng hạn như phương trình trạng thái biểu diễn định luật khí lý tưởng:
p =
ρ
R T, với R là hằng số khí. [5.3c]
• Với sựü thay đổi của chất lưu có phương trình trạng thái không phụ thuộc nhiệt
độ, p = p(
ρ
), được gọi là quá trình barotropic. Chẳng hạn như quá trình đẳng
nhiệt trong khí lý tưởng là một thí dụ.
II. Phương trình Navier-Stokes:
1. Quan hệ giữa tenxơ ứng suất và tenxơ vận tốc biến dạng:
Thành phần của ten xơ ứng suất ma sát trong ten xơ ứng suất có liên quan đến sựü
tiêu hao năng lượng. Người ta giả sử rằng tenxơ ứng suất nhớt
τ
ij
là hàm số của ten
xơ vận tốc biến dạng D
ij
.
Nếu quan hệ hàm số không tuyến tính ta có:
(
)
pqijij
Df=
τ
[5.4]
thì chất lưu được gọi là chất lưu Stokes.

Khi hàm số là tuyến tính ta có chất lưu Newton.
pqijpqij
DK=
τ
[5.5]
trong đó
ijpq
K là hệ số nhớt.
Đối với chất lưu Newton đẳng hướng và đồng chất, phương trình cơ bản có dạng:
ij
*
kkij
*
ijij
D2Dp
µδλδσ
++−= [5.6]
trong đó λ* và µ* là hệ số nhớt của chất lưu. Từ [5.6] ta có giá trị ứng suất pháp bình
quân là:
iiii
3
1
ii
3
1
D*pD*)2*3(p
κ
µ
λσ
+−=++−= [5.6a]

trong đ ó *)2*3(*
3
1
µ
λκ
+= được gọi là hệ số nhớt thể tích. Khi 0***
3
2
=+=
µ
λκ
được gọi là điều kiện Stokes.
Theo thành phần tenxơ lệch ta có
kkij
3
1
ijij
S
σδσ
−= và
kkij
3
1
ijij
DD'D
δ
−= , phương
trình [5.6] được viết thành:
ijii
3

2
ijijkkij
3
1
ij
'D*2D*)*(pS
µ
µ
λδδσδ
+++−=+ [5.6b]
Từ [5.6a] và [5.6b] ta có:
ijij
'D*2S
µ
= [5.6c]
iiii
D*3p3
κσ
+−= [5.6d]
[5.6c] phản ánh thành phần biến dạng trượt của chất lưu và [5.6d] cho ta quan hệ
biến dạng thể tích.
2. Phương trình Navier-Stokes-Duhem: Thay thế trị số
ij
σ
vào phương trình
chuyển động ta được:
()
j,
ij
*

iiij
*
ijii
D2Dpbv
µδλδρρ
++−+=
•
[5.7]

ij,j
*
jj,i
*
ij,iij
*
ijj,i
vvvpb
µµδλδρ
+++−=
Suy ra:
()
jj,i
*
ij,j
**
i,ii
vvpbv
µµλρρ
+++−=
•

[5.8]
Khi dòng chảy không nén được: 0v
j,j
= , ta có phương trình Navier-Stokes cho chất
lưu không nén được.
jj,i
*
i,ii
vpbv
µρρ
+−=
•
[5.9]
III. Dòng ổn định - Thủy tĩnh - Dòng không xoáy:
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
72
1. Dòng ổn định: Khi vận tốc độc lậ p với thời gian. Tức là đạo hàm riêng
của vận tốc 0
t
v
i
=
∂
∂
. Do đó đạo hàm của vận tốc sẽ là:
j,ijj,ij
i
i
i
vvvv

t
v
v
td
vd
=+==
•
∂
∂
Suy ra:
j,iji
vvv =
•
[5.10]
2. Thủy tĩ nh: Khi dòng ổn định có vận tốc bằng 0 ở mọi nơi phương trình
Navier-Stokes trở thành phương trình cân bằng thủy tĩnh:
i,i
pb =
ρ
ký hiệu: pb
x
∇=
→
ρ
[5.11]
3. Dòng không xoáy: là dòng có tenxơ xoáy triệt tiêu mọi nơi. Vectơ xoáy q
i
liên
hệ với tenxơ xoáy bởi phương trình:
0vVq

j,kijkjkijki
==∈=∈ [5.12]
Vì 0v
x
=×∇
→
là điều kiện cần và đủ cho thế vận tốc
φ
hiện hữu. Vectơ vận tốc trong
dòng không xoáy là:
i,i
v
φ
−= ký hiệu:
φ
−∇=
→
v [5.13]
IV. Chất lưu lý tưởng - Phương trình Bernoulli:
Nếu hệ số nhớt
λ
*
vaì
µ
*
bằng không thì chất lưu đượ c gọi là chất lưu lý tưởng hay
chất lưu không nhớt (không ma sát) Phương trình Navier Stokes trở thành:
i,ii
pbv −=
•

ρρ
ký hiệu: pbv ∇−=
→→
ρρ
[5.14]
gọi là phương trình Euler của chuyển động.
Đặt:
i,i
b
Ω
−= và
()
∫
=
p
p
o
dp
pP
ρ
ta có:
()
i,
i
Pv
+−=
•
Ω
gọi là phương trình Euler của chuyển động.
Nếu phương trình Euler được tích phân dọc theo đường dòng ta sẽ được phương

trình Bernoulli có dạng:
()
∫
=+++ tCdx
t
v
2
v
P
i
i
2
∂
∂
Ω
[5.15]
trong đó
Ω
là hàm thế, P là hàm áp suất.
Chứng minh: gọi dx
i
là vectơ gia số của dịch chuyển dọc theo đường dòng. Nhân vô
hướng cho phương trình Euler và tích phân ta được:
()
∫∫∫
=++ tCdxPdxdx
td
dv
ii,ii,i
i

Ω
mà ta có:
∫∫∫
+=
ij,iji
i
i
i
dxvvdx
t
v
dx
td
vd
∂
∂
và:
PdPdxP;ddx
ii,ii,
====
∫∫∫∫
ΩΩΩ
Cơ học môi trường liên tục GVC Trần Minh Thuận
73
Vậy:
()
Pdxvvdx
t
v
tC

ij,iji
i
+++=
∫∫
Ω
∂
∂
Đặt: dS
v
v
dx
i
i
= dS: là độ lớn của khoảng dịch chuyển; v: cường độ của vectơ v
i
ta có:
∫∫∫








=







=
dS
v
v
vvdS
v
v
vvdxvv
j
j,ii
i
j,ijij,ij
=
iiiijj,ii
vv
2
1
dvvdxvv ==
∫∫
Cuối cùng:
()
∫
+++=
i
i
2
dx
t

v
v
2
1
PtC
∂
∂
Ω
Đối với dòng ổn định: 0
t
v
i
=
∂
∂
và C(t) trở thành hằng số Bernoulli C, nói chung sẽ
khác nhau cho các đường dòng khác nhau.
Trong dòng không xoáy, C là hằng số mọi nơi trong trường chảy.
Khi lực khối chỉ gồm trọng lực, thế
Ω
= g.h ; trong đó g là gia tốc trọng trường, h là độ
cao so với cao trình chuẩn.
Đặt:
g
P
h
p
= là cột áp suất và
v
2

h
g2
v
= là cột lưu tốc. Vậy phương trình Bernoulli
thỏa điều kiện tổng cột áp toàn phần dọc theo đường dòng bất kỳ là hằng số. Ta có:
const
g2
v
g
p
hhhh
2
vp
=++=++
ρ
[5.16]
V. Dòng chảy có thế - Dòng chảy có thế phẳng:
Dòng chảy có thế: là dòng chảy không xoáy, có vectơ vận tốc là:
i,i
v
φ
−= [5.17]
Đối với dòng chảy có thế không nén được phương trình liên tục có dạng:
0
ii,
=
φ
ký hiệu: 0
2
=∇

φ
[5.18]
Đối với dòng thế nén được. Phương trình liên tục có dạng:
()
0vvvC
i,jjiij
2
=−
δ
[5.19]
trong đó C là vận tốc âm thanh trong chất lưu. Còn gọi là phương trình khí động lực
học.
Dòng chảy có thế phẳng: là dòng có thế không nén được song song với mặt phẳng
x
1
x
2
bất kỳ, và v
3
= 0. Phương trình liên tục trở thành:
0v
,
=
αα
hay
0v =⋅∇
[5.20]
trong đó
α
là chỉ số có khoảng xác định là 2.