[123Doc] - Cac-Dinh-Ly-Co-Ban-Trong-Giai-Tich-Ham.pptx

CÁC ĐỊNH LÝ CƠ BẢN
TRONG GIẢI TÍCH HÀM
GVHD: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY
THỰC HIỆN:
NGUYỄN ĐỨC LỄ
BÙI THỊ KHUYÊN


1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
TIÊN ĐỀ ZORN:

•Nếu tập S là mợt tập được sắp một phần bởi liên hệ và mọi tập
con được sắp tuyến tính của S đều có cận trên thì S phải có một
phần tử tối đại m.
Có nghĩa:


1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
1.1 ĐỊNH NGHĨA (SƠ CHUẨN)

• Cho X là không gian định chuẩn trên trường số K
Gọi là một sơ chuẩn nếu thỏa:
i)
ii)


1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
1.2 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN VECTO

• Cho X0 là khơng gian con của KGVT X trên . là mợt phiếm hàm
tún tính.

• Giả sử tờn tại sơ chuẩn p thỏa
Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tinh:
i)
ii)


1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
1.2 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN VECTO

•Chứng minh:
• Lấy g1, g2 là 2 phiếm hàm tuyến tính trên 2 KG con N1, N2 của X. g1
< g2 như sau:
Nếu thì
• Gọi S là tập tất cả các PHTT g sao cho f < g.
S khác rỗng , được sắp một phần và mọi tập con của S đều sắp
tuyến tính và có cận trên là giá trị của g.
Theo tiên đề Zorn, S phải có một phần tử tối đại F thỏa:


1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
1.3 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN ĐỊNH CH̉N

• Cho X0 là khơng gian con của KGĐC X trên là mợt phiếm hàm
tún tính liên tục.
• Giả sử tồn tại sơ chuẩn p thỏa
Khi đó tồn tại phiếm hàm tuyến tính
i)
ii)

1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
1.3 ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH CHO KHÔNG GIAN ĐỊNH CH̉N:

•
Chứng
minh:
• Dễ dàng kiểm tra là mợt sơ ch̉n trên X.
• Do f tuyến tính liên tục nên
Theo (1.2) tờn tại phiếm hàm tún tính thỏa
i)
ii)
Suy ra:
• Mà:
• Vậy:


1. ĐỊNH LÝ HAHN-BANACH
1.4 Hệ quả:

• Cho khơng gian định chuẩn X trên và
• Khi đó thỏa mãn


Chứng minh:
Đặt (không gian con sinh bởi )
Xét thỏa g)=
Rõ ràng g tuyến tính trên X0.
Vì nên g liên tục trên X0 và
Áp dụng định lý 1.3: