Full tài liệu tổng hợp và lời giải đề môn giải tích 1

Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
Chương 1: Giới hạn và tính liên tục của dãy số
1) Dạng 1: Tính Lim
+) Cách 1: Dùng vơ cùng bé ()
Khi x  0 ta có:

Sin x
Tan

x
x

AreSin

x

e 1 x

AreTan

x

Ln(1  x)

a

x

x

+) Cách 2: Dùng l’Hopital dạng

x

x2
2

 x a
Limx0 1    e (a là hằng số)
 a

 x x
Limx0 1    e
 a

Lim

1  Cosx

x

0 
;
0 

f
f'
f ''
 Lim  Lim  ....
g x g ' x g ''

+) Cách 3: Khai triển Maclaurin (chỉ sử dụng khi đã học Maclaurin)
Chú ý: Các dạng bài tốn tính lim khi n  (gặp dạng này thì chia cho số mũ cao
nhất )
Bài 1: (Đề giữa kì k62) Tính lim x



n6  n3  n2  n6  2n3



Ta có:


I  lim
x

= lim
x





n6  n3  n2  n6  2n3 .



n6  n3  n2  n6  2n3

n6  n3  n2  n6  2n3

n3  n 2
n6  n3  n2  n6  2n3





 Chú ý:
+) Các dạng bài tốn tính lim khi x  0
+) Cứ dạng

0
0
ta đạo hàm đến bao giờ hết dạng thì dừng.
0
0
cos 2x  cos3x
x0
x2

Bài 4: (Đề thi giữa kì K62) Tính I  lim
Ta có:

1



Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
0
C1: l’Hopital  
0

cos 2 x  cos3x
x 0
x2
2sin 2 x  3sin 3x
 lim
x 0
2x
4cos 2 x  9cos3x
= lim
x 0
2
5
=
2
I  lim

C2: Dùng công thức cos 2 x  cos3x  2sin

5x
x
.sin
2
2

Ta có

5x
x
.sin
2
2
I  lim
2
x0
x
5x  x
2. .
2 2
= lim
x 0
x2
5
=
2
2sin

(Vì x  0 ta có: sin

5x
2

Bài 5: (Đề thi giữa kì K61) Tính I  lim x0

5x
)
2
e x  x  x 2  cos x
( x  sin x)cos x

Ta có

e x  x  x 2  cos x
x  sin x
1
e x  x  x 2  cos x
=lim x0
.lim x0
cos x
x  sin x
x
2
e  x  x  cos x
=lim x0
x  sin x

I  lim x0

e x  1  2 x  sin x
0
Sử dụng L’Hopital    lim x0
1  cosx
0

2


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
e x  2  cos x
=lim x0
sin x
e x  sin x
=lim x0
1
cos x
Chú ý: Cứ dạng

0
0
ta đạo hàm đến bao giờ hết dạng thì thơi.
0
0

Bài 6. (Đề thi giữa kì K61) Cho dãy số xn  n 2n  1  sin n; n  N *
Tính limn xn

limn n 2n  1  sin
1 sin n 

 limn n 2n 1  n  n 
2 
 2
1 sin n 


 limn 2. n 1  n  n 
2 
 2
2
Vì limn

1
sin x
 0 và limn n  0 (-1  sin n
n
2
2

1)

Bài 7. (Đề thi giữa kì K61) Tính limn n 2016n  1
Ta có:

limn n 2016n  1
.  limn n 1 

1
.
2016n

 2016
*) Các dạng bài tốn tính lim khi x  0
Bài 8. (Đề thi giữa kì K61)
Tính I  lim x0

e x  x  x 2  cos x
( x  sin x).cos x

Ta có:

3


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
e x  x  x 2  cos x
I  lim x0
( x  sin x)
1
e x  x  x 2  cos x
=lim x0
.lim x0
cos x
( x  sin x)
=lim x0

e x  x  x 2  cos x
( x  sin x)

e x  x  2 x  sin x
0
Sử dụng l’Hopital    lim x0
1  cosx
0

 lim x0

e x  x  x2  cos x
e x  sin x
 lim x0
1
( x  sin x)
cos x

Chú ý: Cứ dạng

0
0
ta đạo hàm đến bao giờ hết dạng thì thơi.
0
0

Bài 9. (K62) Tính lim
n

I  lim
n

Ta có:

 lim
n



n 4  2n 2  1  n 4  1



( n4  2n2  1  n4  1)  ( n4  2n2  1  n4  1)
n4  2n2  1  n4  1
n4  2n  1  (n4  1)
n4  2n2  1  n4  1

2n2  2

 lim

n4  2n2  1  n4  1
2
2 2
n
 lim
n
2 1
1
1 2  4  1 2
n n
n
1
n



Bài 10 (K60) I  lim sin n  1  sin n
n



Ta có:

4


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD

I  lim 2  cos 
n


=2  lim(cos 
n


=2  lim(cos 
n


n 1  n  
 sin 
2
 
n 1 n 


 .sin 
n 1  n 

1


 .sin 
n 1  n 


n 1  n 

2

n 1 n 
)
n 1  n 
1

)
n 1  n 

1


  sin 0  0
 n 1  n 

Khi n  thì limsin 

n

1
1


.sin 
)  0
n 1  n
 n 1  n 

Vậy I  2  lim(cos
n

Vì 1  cos

1
1
n 1  n

1
.0  lim1.0
n
n
n
n 1  n
1
 0
 limcos
.0  0

n
n 1  n
1
 limcos
.0  0
n
n 1  n
 lim(1).0  limcos

x  ln(1  x)
x0
x2

Bài 11 (K63) Tính lim
Ta có:

x  ln(1  x)
x 0
x2
1
1
 lim x  1
x 0
2x
x  1 1
 lim
x 0 2 x( x  1)
1

2

lim

 2017 x2  1 
Bài 12 (K62) lim 

n 2017 x 2  2



2017 x2

Ta có:

5


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD

3


I  lim 1 

2
x 
 2017 x  2 

=e

=e

2017 x2  2
3






3
.2017 x2
2017 x2  2

3.2017 x2
x  2017 x 2  2
lim

3.2017
lim
x  2017  2
x2

=e3



Bài 13: (Đề thi K63) Tính I=?; I  lim n  n2  n
n



Ta có:



I  lim n  n2  n
n

 lim



(n  n 2  n )  (n  n 2  n )

n

= lim

n2  n  n
n 2  ( n 2  n)

n2  n  n
1
= lim
n
1
1 1
n
1

=
2
n

Bài 14: (K60) Cho dãy số xn  n 2n  1  sin n; n  N *
Tính lim xn  ?
n

Ta có:

lim n 2n  1  sin n
n

1 sin n 

 lim n 2n 1  n  n 
n
2 
 2
 lim 2 n 1 
n

1 sin n
 n 2
2n
2

1
sin n
 0 và lim n  0 (-1  sin n  1)

n
n 2
n 2

Vì lim

6


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
Bài 15 (K60) Tính I  lim n 2016n  1  ?
n

Ta có:

I  lim n 2016n  1
n

= lim n 2016n 

1
.2016n
n
2016

=2016.lim n 1 

1
2016n

n

n

=2016
Bài 16 (Giữa kì K62)



Tính lim e
x0

2017 x

 2017 x 

1
2017 x

Ta có:


I  lim  1   e2017 x  2017 x  1
x0




lim

e2017 x  2017 x 1
2017 x

lim

2017.e2017 x  2017 x 1
2017

=e

x 0

=e

x 0



1
e2017 x  2017 x 1





e2017 x  2017 x 1 1
.
1
2017 x

=e2
(Ở bước 2 ta đạo hàm

e2017 x  2017 x  1
(lopital))
2017 x

1  cos x
x0
x2

Bài 17 (K60) Tính lim
Ta có:

7


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
1  cos x
(1  cos x )  (1  cos x )
1  cos x
 lim

lim
2
x0
x0
x0

x
x 2  (1  cos x )
1  cos x .x 2



lim

x2
2
=lim
x0
1  cos x .x 2



=lim
x0

=





1

2 1  cos x



1
4

Vì khi x  0 thì 1  cos x

x2
2

Bài 18 (Giữa kì K62). Tính I  lim
x0

1  3x  1  5 x
sin3x

Ta có:

3
5

I  lim 2 1  3x 2 1  5 x
x0
3cos3x
1
=3
(lopital vì

0
)
0

ln(1  x)  arctan x
2
x0
esin x  1

Bài 19 (K60). Tính lim

2
2

sin x x
Ta có: Khi x  0 thì  2
2
sin x
 1 ex  1 x2

e

ln(1  x)  arctan x  0 
0
x0
x2
 

Vậy I  lim

8



Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
1
1

2
=lim 1  x 1  x
x 0
2x
x2  x
=lim
x 0 2 x(1  x)(1  x 2 )
x2  x
=lim 4
x 0 2 x  2 x3  2 x 2  2 x
2x 1
=lim 3
x 0 8 x  6 x 2  4 x  2
1
=
2
(*) Chú ý: (arctan x) 

1
1  x2

Bài 20 (K61) Tính lim
x

Khi x  


4

2.cos x  1
1  tan 2 x



0
 lim   => dùng lopital
4
x  0 
4

 2.sin x
1
x
4 2 tan x.
cos2 x

Vậy I  lim


 lim
x

4

 lim
x



4

a .cos2 x.sin x
2tan x
2.cos2 x.sin x
2tan x

1
4

1 
 1
Bài 21 (K59) Tính lim 

x1 ln x
x  1 


x  1  ln x
x  1  ln x
 lim
x1 ln x( x  1)
x1 ln(1  x  1)( x  1)

Ta có: I  lim

Khi x  1 thì x  1  0 hay ln(1  x 1)

x 1

9


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
1
1
x  1  ln x
x  lim x2  1
Vậy I  lim

lim
0 x1 2( x  1)
x1 ( x  1)2
x1 2
2
1

0

Bài 22 (K62) I  lim
x1

x100  2 x  1  0 

phương án đạo hàm tử và mẫu
x50  2 x  1  0 

x100  2 x  1
Ta có: I  lim 50
x1 x  2 x  1
100.x99  2
x1 50.x 49  2
98

48
49

24
 lim

1

 sin x  x2
Bài 23 (K63) Tính I  lim 

x 0
 x 
1

 sin x  x2
Ta có: I  lim 

x 0
 x 

 sin x 
 lim 1 
 1
x 0
x


1

 sin x  x  x2
 lim 1 
x 0
x 

 sin x  x 
x  sin x  x 1
 lim 1 
.
. 2

x 0
x  sin x  x 
x
x

lim

sin x  x
x3

lim

cos x 1
3 x2

e

x 0

e

x 0

e

lim

 x2

e

x 0



2
3 x2

1

6

Vì khi x  0 thì cos x  1 

x2
2

10


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
arctan x  sin x
x0 x.ln(1  2 x 2 )

Bài 24 (K61) Tìm giới hạn I  lim

arctan x  sin x
arctan x  sin x
(Vì khi x  0 thì ln(1  2x2 ) 2x )

lim
2
x0 x.ln(1  2 x 2 )
x0
x  2x

Ta có: I  lim

2 x

1
0
 sin x

cos
x
2
0
(1  x2 )2
1

x
 lim
 lim
x0
x0
6 x2
12 x
2
1  6x
0
 cos x
0
2 1
(1  x 2 )3
 lim
 
x0
12
12 6

* Chú ý: Ta đạo hàm (Lopital) đến khi thay số 0 là được
2) Dạng 2: Cách tìm cực trị hàm số dựa vào dấu f ( x)
Cho hàm số f khả vi cấp 2 tại x0 và f ( x0 )  0
+ Nếu f ( x0 )  0 thì f đạt cực đại tại x0
+ Nếu f ( x0 )  0 thì f đạt cực tiểu tại x0
( n1)
( x0 )  0
Tổng quát; Cho hàm số f khả vi cấp n tại x0 và f ( x0 )  ...  f

+ Nếu n lẻ thì f khơng đạt cực trị tại x0
n
+ Nếu n chẵn và f ( x0 )  0 thì f đạt cực đạt tại x0
n
+ Nếu n chẵn và f ( x0 )  0 thì f đạt cực tiểu tại x0

Khảo sát, vẽ đồ thị hàm số.
a) Tiệm cận của đường cong
- Điểm M ra vô cùng
Định nghĩa tiệm cận:
Đường thẳng  gọi là tiệm cận của đường cong C nếu M  C; M  ; d(M; )  0
* Phân loại tiệm cận:
+ Tiệm cận đứng
+ Tiệm cận ngang
+ Tiệm cận xiên
b) Khảo sát, vẽ đồ thị y  f ( x)
- Phương pháp:

11

Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
+ Miền xác định, tính chẵn, lẻ, tuần hồn
+ Chiều biến thiên, cực trị, lồi lõm, điểm uốn
+ Tiệm cận của đồ thị
+ Bảng biến thiên
+ Vẽ đồ thị (vẽ cũng được, đa số khơng cần vẽ)
BÀI TẬP
* Bài tốn tìm cực trị Hàm số
Câu 1 (K63) Tìm cực trị của hàm số y  x4 .e4 x
Ta có: y  x4 .e4 x TXĐ: D=R

 y  2 x.e4 x  4.e4 x .x 2
=e4 x (4 x 2  2 x)
y  0  e4 x (4 x 2  2 x)  0  4 x 2  2 x  0
x  0


1
 x  2
Bảng biến thiên:

1



x
y’

+

0

2

0

-

0



1
4e2

y



0

Vậy yct  0  x  0

yct 

1
1
x
2

4e
2

Câu 2 (K62) Tìm cực trị của hàm số y  ( x  2)e
Ta có: y  ( x  2)e

1
x



TXĐ: D  R 0

12

1
x


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
1
x

1
1
 y  e  2 ( x  2).e x
x
1
 x2

y  0  e x 1  2   0
x 

 x2  x  2  0

 x  1

x  2
Bảng biến thiên



x
y’

-1
+

0

0



2

-

-

0

+



1
e



y





4 e

1
 x  1
e

Vậy yCÑ 

yct  4 e  x  2
Câu 3 (K63) Tìm cực trị của hàm số f ( x)  x 
Ta có: f ( x)  x 

33

( x  1)2
2

33
( x  1)2
2

TXĐ: D=R
1

3 2
f ( x)  1  . .( x  1) 3
2 3
1
=1+ 3
x  1
x 1
f ( x)  0  3 x  1  1  x  0

Bảng biến thiên
x
f’(x)



0
+

0



1
-

+

13


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD


3
2

F(x)



Vậy fCÑ 

1

3
 x0
2

f ct  1  x  1

(*) Bài tập tự luyện
B1 (K63): Tìm cực trị của hàm số y  x2 .e6 x
B2 (K62): Tìm cực trị của hàm số y  ( x  6)e
B3 (K61): Tìm cực trị của hàm số y  x 

1
x

33
( x  1)2
2

ln(1  sin x)  x
x0
x(e x  1)

B4 (K63): Tính lim

ln(1  sin x)  x
x0
x tan x

B5 (K62): Tính lim

x  arctan x
x0
x3

B6 (K63): Tính lim

sin x  x.e x
B7 (K63): Tính lim
x 0 x ln(1  2 x)

cos x  e x x
B8 (K63): Tính lim
x 0 x ln(1  2 x)

sin x  x cos x
x0 x.ln(1  3x 2 )

B9 (K64): Tính giới hạn lim

x.e x  ln(1  x)
x0
x2

B10 (K63): Tính giới hạn lim

3) Dạng 3: Bài tốn xét tính liên tục trên R
Bước 1: Tính lim f ( x)  m
xx0

Bước 2: Tính lim f ( x)  n
xx0

14

Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
Bước 3: Tính f ( x0 )  k
Nếu m  n  k thì hàm số liên tục trên R
* Những chú ý khi tính Lim:

limx

sin x
0
x

limx

cos x
0
x

limx

arctan x
0
x

limx

arccot x
0
x

0.sin x  0; 0.cos x  0
0.arctan x  0; 0.arctan x  0
sin x   1;1

cos x   1;1

  
arctan x   ; 
 2 2
Bài 1 (Thi giữa kì K62):

 x  sin x
, neá
ux0

Cho hàm số f ( x)   x
Chứng minh hàm số liên tục tại x  0
0
, neá
ux 0

Ta có:
+) lim

x  sin x
1  cos x
 lim
0
x0
x

1

+) lim

x  sin x
1  cos x
 lim
0
x0
x
1

x0

x0

+) f (0)  0
Vậy lim f ( x)  lim f ( x)  f (0)  0 nên hàm số liên tục trên R.
x0

x0

Bài 2 (Thi giữa kì K63):
Xác định a, b để các hàm sau liên tục trên R.

ax2  bx  1,
neu x 0
F ( x)  
a cos x  b sin x, neu x  0

15


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
Ta có:
+) lim f ( x)  lim(
ax2  bx  1)  1

x0

x0

a cos x  b sin x)  a
+) lim f ( x)  lim(

x0

x0

+) f (0)  1
Vậy hàm số liên tục trên R thì:

lim f ( x)  lim f ( x)  f (0)  0

x0

x0

 a=1 và b thuộc R

Bài 3 (K62): Tìm a để g ( x) liên tục trên R

1

 x.sin , neu x  0
g ( x) 
x

, neu x  0
a
Ta có: lim f ( x)  lim x.sin
x0

Vì 1  sin

x0

1
1
 lim 0.sin  0
x x0
x

1
1
 1  0.sin  0
x
x

+) lim f ( x)  lim x.sin

x0

x0

1
0
x

+) f (0)  a
Vậy để hàm số liên tục trên R thì a=0

1

khi x  0
2017 x.sin
Bài 4 (K62): CMR f ( x)  
2017 x
0
khi x  0
Ta có:
+) lim f ( x)  lim 2017.x.sin

1
1
 lim 0.sin
0
2017 x0
2017 x

+) lim f ( x)  lim 2017.x.sin

1
0
2017

x0

x0

x0

x0

+) f (0)  0
 Hàm số liên tục tại x=0
Bài 5 (K61): Tìm a để hàm

16


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
 ln(1  sin 2 2017 x)
khi x  0

f ( x)  
liên tục trên R
x
a 2
khi x  0


Ta có: lim f ( x)  lim
x0

x0

ln(1  sin 2 2017 x)
x

Khi x  0 . Ta có: ln(1  sin 2 2017 x) sin2 2017 x

(2017 x)2

(2017 x)2
 lim f ( x)  lim
 lim 2017 2.x  0
x0
x0
x0
x
+ lim f ( x)  a2
x0

+ f (0)  0
 Để hàm số liên tục trên R thì a2  0  a  0
Bài 6 (K61): Xác định  để hàm

1
 
neu x  0

 x .sin
liên tục tại x  0
f ( x)  
x

neu x  0
0
Ta có:
Do f (0)  0 => Để hàm số liên tục trên R thì

lim x .sin
x0

1
1
 0 hay lim0.sin
x0
x
x

Ta có: 0  0    0
Vậy   0 thì f ( x) liên tục trên R
Bài 7 (K62): CMR

1

khi x  0
2017 x  sin
f ( x)  
liên tục tại x  0

2017 x
0
khi x  0
Giải
Ta có: Xét liên tục

1 
1

+) lim f ( x)  lim  2017 x  sin
 lim 0  sin
0

x0
x0 
2017  x0
2017 x

17


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
mơn từ đại cương đến chun ngành XD
(Vì 0.sin

1
1
 1)
 0 do 1  sin
2017x

2017x

1 
1 


+) lim f ( x)  lim  2017 x.sin
 lim  0.sin
0

x0
x0 
2017  x0 
2017 x 
(*) Bài tập:
B1: Tìm a để hàm số liên tục tại x  0

1  cos x
neu x  0

f ( x)   x 2
a
neu x  0
B2: Tìm a để hàm số liên tục tại x  0

ax2  bx  1
voi x  0
f ( x)  
a cos x  b sin x voi x  0

18


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
Chương 2: Hàm số khả vi, khai triển Maclaurin, đạo hàm, đồ thị, Viết pttp.
1) Dạng 1: Hàm số khả vi (Hay tính đọa hàm f ( x0 ) )
+ B1: Tính lim xx

f ( x)  f ( x0 )
m
x  x0

+ B2: Tính lim xx

f ( x)  f ( x0 )
n
x  x0

0

0

Nếu m  n => Hàm số khả vi
Bài 1 (Đề thi giữa kì K63): Xác định a, b để hàm số:

sin x  a neu x  0
Khả vi tại x  0
F ( x)  
bx

neu
x
0

Ta có:
- Xét tính liên tục:
+) lim x0 f ( x)  lim x0 bx  0
+) lim x0 f ( x)  lim x0 (sin x  a)  a
+) f (0)  0 => Để hàm số liên tục a  0
- Xét tính khả vi:
+) limx0

f ( x)  f ( x0 )
sin x  0
 limx0
1
x0
x0

+) limx0

f ( x)  f ( x0 )
bx  0
 limx0
b
x0
x0

Để hàm số khả vi thì b  1. Vậy a  0, b  1
Bài 2 (Đề thi giữa kì K62):

 x  sin x
;x0

f ( x)   x
CMR: hàm số liên tục tại x  0 và tính f (0)  ?
0
;x0
Ta có:
+) limx0  lim
x0

+) lim  lim
x0

x0

x  sin x
1  cos x
 lim
0
x0
x
1

x  sin x
0
x

19

Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
+) f (0)  0
 Hàm số liên tục tại x  0

f ( x)  lim x0

x  sin x
0
f ( x)  f ( x0 )
x  sin x
1  cos x
sin x
x
 lim
 lim x0
 lim x0
 limx0
0
2
x0
x0
x0
x
2x
2
Vậy f (0)  0

Bài 3 (Đề thi giữa kì K63):

 ln(1  2 x 2 )
;x  0

Tìm a, b để hàm số 
Khả vi trên R
x
 x 2  ax  b; x  0

Ta có:
- Xét liên tục
+ lim x0

ln(1  2 x 2 )
2 x2
f ( x)  lim
 lim
 lim 2 x  0
x0
x0
x0
x
x

+ lim x0 f ( x)  lim x0 ( x 2  ax  b)  b
+ f (0)  b
Để hàm số liên tục trên R thì b  0
- Xét tính khả vi:

ln(1  2 x 2 )
0
2x2
x0
 lim x0 2  2
x0
x

+ f(0  )  lim x0

f ( x)  f (0)
 lim x0
x0

+ f(0  )  lim x0

f ( x)  f (0)
x 2  ax  0
 lim x0
a
x0
x0

a  2
Vậy để hàm khả vi thì a  2  
b  0
Bài 4 (Đề thi giữa kì K62): Chứng minh rằng:

1


khi x  0
2017 x.sin
f ( x)  
liên tục tại x  0 nhưng khơng khả vi tại đó.
2017 x
0
khi x  0
Ta có:

20


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
- Xét liên tục:

1 
1

+ lim x0 f ( x)  lim x0  2017 x  sin
 lim x0 0.sin
0

2017 x 
2017 x

(vì 0.sin

1
1

 1)
 0 do 1  sin
2017x
2017x

1 
1 


+ lim x0 f ( x)  lim x0  2017 x.sin
 lim x0  0.sin
0

2017 x 
2017 x 


+ f (0)  0
Vì lim x0 f ( x)  lim x0 f ( x)  f ( x)  0 nên hàm số liên tục tại x  0
- Xét khả vi:

+ lim x0

f ( x)  f (0)
 lim x0
x0

1
0
1

2017 x
 lim x0 2017 x.sin
x0
2017 x

2017 x.sin

Không xác định nên hàm số không khả vi tại x  0

 e x sin x  1
; x0

Bài 5 (Đề thi giữa kì K62): Tìm a, b để: f ( x)   x
 x2  ax  b; x  0


Khả vi tại x  0

Ta có:
- Xét tính liên tục:

e x sin  1
x sin x
f ( x)  lim
 lim
 lim x  0
+ xlim

0
x0

x0
x0
x
x
Vì khi x  0 Ta có: ex sin x  1 x sin x

f ( x)  lim(
x2  ax  b)  b
+ xlim
0
x0
+ f (0)  b
Để hàm số liên tục  b  0
- Xét tính khả vi

f ( x)  f (0)
((e x sin x  1) x)  0
x sin x
x
 lim
 lim
 lim  1
+ f (0 )  lim
2
x0
x0
x0
x0 x
x0
x0

x


+ f (0 )  lim
x0

f ( x)  f (0)
( x 2  ax)  0
 lim
 lim(
x  a)  a
x0
x0
x0
x0

21


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
a  1
Để hàm số khả vi thì a  1 . Vậy 
b  0
Bài 6 (Đề thi giữa kì K62)

1  cos x
f ( x)  
x
1  e +x

neu x  0
neu x  0

CMR: Hàm có đạo hàm cấp 1 tại 0 nhưng khơng có đạo hàm cấp 2 tại 0.
Ta có:
- Đạo hàm cấp 1
+ f (0 )  lim

f ( x)  f (0)
(1  e x  x)  0
e x  1
 lim
 lim
 0 (l’Hopital)
x0
x0
x0
x0
1

+ f (0 )  lim

f ( x)  f (0)
(1  cos x)  0
1  cos x
sin x
 lim
 lim
 lim

0
x0
x0
x0
x0
x0
x
1

x0

x0

Vậy f '(0 )  f '(0)  0 => Có đạo hàm cấp 1
- Đạo hàm cấp 2:

neu x  0
sin x
Xét f ( x)   x
e +1 neu x  0
+) f (0 )  lim
x0

f '( x)  f '(0)
(e x  1)  0
e x  1
e x
 lim
 lim
 lim

 1 (lopital)
x0
x0
x0
x0
x0
x
1

Vậy f (0 )  f (0 )  khơng thuộc đạo hàm cấp 2
Bài 7 (Đề K61) Tìm a  R để f ( x)  x  2016 .sin ax khả vi tại x  2016

 f ( x)  ( x  2016).sin ax neu x  2016  0  x  2016
Ta có: 
 f ( x)  ( x  2016).sin ax neu x  2016  0  x  2016
Vậy

+

( x  2016).sin ax neu x  2016
f ( x) 
( x  2016).sin ax neu x  2016

f (2016 )  lim 
x2016

f ( x)  f (2016)
( x  2016).sin ax  0
 lim 
x2016

x  2016
( x  2016)
 lim  (sin ax)  sin.2016a
x2016

+ f (2016 )  lim 
x2016

f ( x)  f (2016)
( x  2016).sin ax  0
 lim 
  sin(2016a)
x2016
x  2016
x  2016

22


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
 Để hàm số khả vi thì sin 2016a   sin 2016a

 2sin 2016a  0
 sin 2016a  0
 2016a  k  a 

k
(k  z )
2016

Bài 8 (Đề K58) CMR hàm f ( x)  x  1.sin  x
Khả vi tại x  1 và hàm g ( x)  x  1 cos  x
Không khả thi tại x  1
Ta có:
*) Xét hàm f ( x)  x  1.sin  x

( x  1).sin x neá
u x 1
f ( x) 
u x 1
(1 x).sin x neá
+) lim
x1

f ( x)  f (1)
( x  1)sin  x  0
 lim
 lim sin  x  0
x1
x1
x 1
x 1
Vì f (1)  (1 1)sin   0

+) lim
x1

f ( x)  f (1)
(1  x)sin  x

 lim
 lim  sin  x  0
x1
x1
x 1
x 1

Vậy hàm số khả vi tại x  1
*) Xét hàm g( x)  x  1.cos  x

( x  1).cos x
Ta có: g( x) 
(1 x).cos x

neá
u x 1
neá
u x 1

+) lim

g( x)  g (1)
( x  1)cos  x  0
 lim
 1
x1
x 1
x 1

+) lim

g( x)  g (1)
(1  x)cos  x  0
 lim
 lim  cos  x  1
x1
x1
x 1
x 1

x1

x1

Do 1  1 nên g ( x) không khả vi tại x  1
2) Dạng 2: Khai triển Maclaurin và ứng dụng
- Khai triển Maclaurin của 1 số hàm thường gặp

x x 2 x3
xn
+) e  1     .....   0( x n )
1! 2! 3!
n!
x

23


Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD

+)

1
 1  x  x2  x3  x4  .....  0( xn )
1 x

+) sin x  x 

x3 x5
 .....  0( x n )
3! 5!

x3 x5
cos x  1  x   .......  0  ( x n )
3! 5!
+)
+)

1
 1  x  x2  x3  x4  .....  0( xn )
1 x

x 2 x3 x 4
+) ln(1  x)  x    .....  0( x n )
2 3 4
+) (1  x)  1   .x 

 (  1)
2!

.x 2 

 (  1).(  2)
3!

.x3  ...  0( xn )

Chú ý: Khai triển Maclaurin áp dụng khi phân tử x  0 hoặc x  0 thì u  0
Bài 1 (K64): Khai triển maclaurin hàm e x2 đến cấp 5=?
+) Ta có:

ex2  ex .e2
Mà e x  1 

x x 2 x3 x 4 x5
     ...  0( x5 )
1! 2! 3! 4! 5!

Vậy ex2  ex .e2

x x 2 x3 x 4 x 5
     ...  0( x5 ))
1! 2! 3! 4! 5!
x
x2
x3
x4
x5
 e2 .1  e2 .  e2 .  e2 .  e2 .  e2 .  ...  0( x5 )
1!

2!
3!
4!
5!

 e2 (1 

2

Bài 2 (K63): Viết khai triển Maclaurin của hàm số e x =?

x x 2 x3 x 4 x5
Ta có: e  1       ...  0( xn )
1! 2! 3! 4! 5!
x

 ex  1 

x 2 x 4 x6
   ...  0( x n )
2! 4! 6!

Bài 3 (K63): Khai triển hàm Maclaurin hàm f ( x) 

24

1
?
(3x  1)

Tham gia group FB: “GÓC HỌC TẬP ĐHXD” để nhận tài liệu các
môn từ đại cương đến chuyên ngành XD
Ta có:

 1 
1
 

(3x  1)
 (1  3x) 

+)

1
 1  x  x2  x3  x4  ...  0( xn )
1 x



1
 1  3x  (3x2 )  (3x3 )  (3x4 )  ...  0( xn )
1  3x



1
 1  3x  9 x2  27 x3  81x4  ...  0( xn )
1  3x

Bài 4 (K63- Thi cuối kì) Viết triển khai Maclaurin của hàm số f ( x) 

x3
với phần dư
1  x2

peano tới x11 , từ đó hãy tìm f (11) (0) .

x3
Ta có: f ( x) 
1  x2

Đặt x2  t (x  0  t  0)

Khai triển Maclaurin của hàm
Mà

1
tại t  0
1 t

1
 1  t  t 2  t 3  t 4  ...  0(t 4 )
1 t

Thay t   x2 vào ta được:

1
 1  x2  x4  x6  x8  ...  0( x8 )
2

1 x
x3
 f ( x) 
 x3  x5  x7  x9  x11  ...  0( x11)
2
1 x
(11)
Ta có: a11  1  f (0)  a11.11!  11!

Bài 5 (K63- Thi cuối kì)
Viết khai triển Maclaurin của hàm số y  ( x2  1)sin 2x với phần dư peano tới x11 , từ đó

y(11) (0)  ?
Giải
Ta có: y  ( x2  1)sin 2x
Đặt 2x  t

 x  0  t  0

Khai triển Maclaurin của hàm sin(t ) tại t  0

25