Khóa Luận Tốt Nghiệp Đại Học Một Số Bài Tập Về Mạng Đảo.pdf

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

ĐINH THỊ HUẤN

ẠI

Đ
MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO

C

Ọ

H
SƯ

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

ẠM

PH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

HÀ NỘI, 2017


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ

ĐINH THỊ HUẤN

MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO

ẠI

Đ
Ọ

H
C

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết

SƯ
PH

ẠM

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn khoa học
TS.PHẠM THỊ MINH HẠNH

HÀ NỘI, 2017


LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Một số bài tập về mạng đảo” đã
đƣợc hoàn thành với sự nỗ lực của bản thân và sự giúp đỡ tận tình của gia
đình, bạn bè và thầy cơ.

Qua đây, tơi xin tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô giáo hƣớng dẫn –
Ts.Phạm Thị Minh Hạnh đã tận tình hƣớng dẫn, chỉ bảo tơi trong suốt q
trình làm khóa luận.
Đồng thời, tơi xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Vật lý lý
thuyết, khoa Vật lý trƣờng Đại học Sƣ Phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện để tơi
hồn thành khóa luận này.

ẠI

Đ

Xin chân thành cảm ơn sự động viên, giúp đỡ của gia đình, bạn bè
trong suốt q trình làm khóa luận.

Ọ

H

Tơi xin chân thành cảm ơn!

C

Hà Nội, ngày ,tháng ,năm 2017.

SƯ

Sinh viên

ẠM

PH
Đinh Thị Huấn


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tơi, đƣợc hồn
thành với sự nỗ lực của bản thân và sự hƣớng dẫn của Ts.Phạm Thị Minh
Hạnh. Các dữ liệu đƣa ra trong khóa luận là hồn tồn trung thực và khơng
trùng với các cơng trình nghiên cứu của các tác giả khác.

ẠI

Đ
C

Ọ

H
SƯ
ẠM

PH


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ........................................................................................... 1
2. Mục đ ch nghiên cứu ..................................................................................... 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu................................................................. 1
4. Nhiệm vụ nghiên cứu .................................................................................... 1

5. Phƣơng pháp nghiên cứu............................................................................... 2
6. Cấu trúc khóa luận ........................................................................................ 2

Đ

ẠI

NỘI DUNG ....................................................................................................... 3

Ọ

H

CHƢƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN................................. 3

C

1.1. Mạng tinh thể ............................................................................................ 3

SƯ

1.1.1. Mạng tinh thể lý tƣởng ............................................................................ 3

PH

1.1.2. Ô cơ sở ................................................................................................... 3

ẠM

1.1.3. Cấu trúc tinh thể .................................................................................... 5

1.2. Các phép đối xứng của mạng tinh thể ....................................................... 5
1.2.1. Phép đối xứng tinh thể ........................................................................... 5
1.2.2. Nhóm điểm trong mạng tinh thể ............................................................ 6
1.3. Các chỉ số Miller ....................................................................................... 6
1.3.1. Chỉ số nút ............................................................................................... 6
1.3.2. Chỉ số hƣớng ........................................................................................... 7
1.3.3. Chỉ số mặt phẳng .................................................................................... 8
1.4. Mạng Bravais .......................................................................................... 10


1.4.1. Mạng Bravais trong không gian ba chiều ............................................ 10
1.4.2. Phân loại các mạng Bravais ba chiều ................................................... 11
1.5. Một số cấu trúc tinh thể đơn giản............................................................ 12
1.5.1. Cấu trúc Natri Clorua ............................................................................ 12
1.5.2. Cấu trúc Xêsi Clorua ............................................................................. 13
1.5.3. Cấu trúc kim cƣơng ............................................................................... 14
1.5.4. Cấu trúc Kẽm Sunfua lập phƣơng (Sphalerite) và vuazit (wurtzite) .... 15
1.5.5. Cấu trúc xếp chặt các quả cầu ............................................................... 16
1.6. Mạng đảo ................................................................................................. 18

Đ

ẠI

1.6.1. Định nghĩa mạng đảo ............................................................................ 18

H

Ọ

1.6.2. Một vài tính chất của mạng đảo ............................................................ 19

C

1.6.3. Ý nghĩa vật lý của mạng đảo ................................................................. 20

SƯ

Kết luận chƣơng 1 ........................................................................................... 21

PH

CHƢƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO...................................... 22

ẠM

Kết luận chƣơng 2 ........................................................................................... 33
KẾT LUẬN ..................................................................................................... 34
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 35


MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý chất rắn nghiên cứu các tính chất và các q trình vật lý xảy ra
bên trong vật rắn. Các tính chất và quá trình đặc biệt này chỉ bộc lộ khi các
nguyên tử hoặc các phân tử liên kết mạnh với nhau và sắp xếp một cách đều
đặn, tuần hoàn trong tinh thể.
Mạng đảo là một khái niệm quan trọng trong vật lý chất rắn. Khái
niệm về mạng đảo lần đầu tiên đƣợc nhà vật lý ngƣời Pháp Auguste Bravais
đề xuất vào năm 1850 và nhà vật lý ngƣời Mỹ Josiah Willard Gibbs xây dựng

vào năm 1881, nhƣng không đƣợc chú ý nhiều. Khái niệm này lại đƣợc Paul

ẠI

Đ

Peter Ewald và Max Theodor Felix von Laue Tái phát minh và phát triển
trong thời gian từ 1911-1914 cùng với các phát hiện về sự nhiễu xạ tia X trên

Ọ

H

tinh thể. Khái niệm này tiếp tục đƣợc hoàn thiện bởi Paul Peter Ewald cho

C

đến năm 1962. Mạng đảo giúp đơn giản hóa các bài tốn tinh thể học và nhiễu

SƯ

xạ các sóng trên tinh thể.
bài tập về mạng đảo".

ẠM

PH

Chính vì các lí do trên tôi quyết định chọn và nghiên cứu đề tài "Một số
2. Mục đ ch nghi n cứu

Nghiên cứu cấu trúc tinh thể của vật rắn.
Nghiên cứu về mạng đảo.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mạng tinh thể của vật rắn.
Mạng đảo.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
Tìm hiểu cấu trúc tinh thể của vật rắn.
Giải quyết một số bài tập về mạng đảo.

1


. Phư ng ph p nghi n cứu
Vật lý lý thuyết và vật lý toán.
Đọc, nghiên cứu tài liệu.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo thì khóa luận bao gồm
hai chƣơng:
CHƯƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN
CHƯƠNG 2. MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ MẠNG ĐẢO

ẠI

Đ
C

Ọ

H

SƯ
ẠM

PH
2


NỘI DUNG
CHƯƠNG 1. CẤU TRÚC TINH THỂ CỦA VẬT RẮN
1.1. Mạng tinh thể
1.1.1. Mạng tinh thể lý tưởng
Trong vật rắn tinh thể, các nguyên tử và phân tử đƣợc sắp xếp một cách
đều đặn, tuần hồn trong khơng gian tạo thành mạng tinh thể.
Mạng tinh thể lý tƣởng: Tinh thể trong đó sự sắp xếp các nguyên tử,
phân tử là hoàn toàn tuần hoàn. Tinh thể lý tƣởng phải hoàn tồn đồng nhất,
nghĩa là ở mọi nơi, nó đều chứa những loại nguyên tử nhƣ nhau, đƣợc phân
bố nhƣ nhau. Tinh thể lý tƣởng phải có k ch thƣớc trải rộng vơ hạn để khơng

ẠI

Đ

có mặt giới hạn làm ảnh hƣởng đến tính chất sắp xếp tuyệt đối tuần hồn của
các ngun tử, phân tử. [4]

Ọ

H

1.1.2. Ơ cơ sở

C

Có thể xây dựng nên tinh thể bằng cách lặp lại trong không gian theo

SƯ

một quy luật nhất định các đơn vị cấu trúc giống nhau, gọi là các ô sơ cấp hay

PH

ô cơ sở. Ở các tinh thể đơn giản nhƣ tinh thể đồng, bạc, tinh thể kim loại
kiềm, mỗi ô cơ sở chỉ chứa một nguyên tử. Ở các tinh thể phức tạp, mỗi ơ cơ

ẠM

sở có thể chứa nhiều nguyên tử, phân tử.[4]

Hình 1.1. Mạng tinh thể

3


Vị trí của 1 hạt bất kì của mạng đƣợc xác định nhờ vectơ:
⃗⃗ = n1 + n2 ⃗ + n3 trong đó: n1, n2, n3 là các số nguyên
⃗⃗⃗ , ⃗ , là các vectơ cơ sở
Hình hộp đƣợc tạo từ ba vectơ cơ sở ⃗⃗⃗ , ⃗ , đƣợc gọi là ô cơ sở.
Tất cả các ô cơ sở tạo thành mạng có cùng một hình dạng và thể tích.
Tại tất cả các đỉnh của ơ có các ngun tử hoặc nhóm ngun tử nhƣ
nhau gắn vào. Vì vậy tất cả các đỉnh của ô là tƣơng đƣơng nhau và đƣợc gọi

là nút mạng.
Về mặt nguyên tắc, để mô tả một ô cơ sở phải biết 6 đại lƣợng: 3 cạnh
của ơ (a, b, c) và ba góc giữa chúng (α, β, γ).

Đ

ẠI

Ô cơ sở mà chỉ chứa các hạt ở tại các đỉnh đƣợc gọi là ô đơn giản hay ô

H

nguyên thủy. Với loại ô này chỉ có một hạt trên một ơ cơ sở.

C

Ọ

Trong nhiều trƣờng hợp, để mơ tả một cách đầy đủ hơn tính chất đối
xứng của mạng, ô cơ sở đƣợc xây dựng bằng cách nó chứa các hạt khơng chỉ

SƯ

ở đỉnh mà cịn ở các điểm khác. Ơ cơ sở này gọi là ơ phức tạp, ví dụ: ơ lập

ẠM

PH

phƣơng tâm khối, ơ lập phƣơng tâm diện…..

Hình 1.2

Hình 1.3

Hình 1.2. Ơ lập phƣơng đơn giản
Hình 1.3. Ơ lập phƣơng tâm khối
Hình 1.4. Ô lập phƣơng tâm diện

4

Hình 1.4


1.1.3. Cấu trúc tinh thể [4]
Chuyển từ mạng không gian là mơ hình tốn học trừu tƣợng sang cấu
trúc tinh thể. Ta có đƣợc cấu trúc thực của tinh thể nếu ta đặt nguyên tử hoặc
nhóm nguyên tử vào mỗi nút mạng hoặc gần mỗi nút mạng. Chẳng hạn có thể
đặt các nguyên tử sao cho ở trạng thái cân bằng, hạt nhân của chúng nằm ở
các nút mạng không gian.
Cịn trong tinh thể hiđrơ (ở thể rắn) tại mỗi nút mạng là một phân tử H2.
Trong các tinh thể phân tử, ở mỗi nút mạng là một phân tử có chứa hàng
chục, có khi hàng trăm nguyên tử. Nguyên tử hoặc nhóm nguyên tử nhƣ vậy
đƣợc gọi là gốc.

ẠI

Đ

Do đó, ta có thể viết một cách tƣợng trƣng:

Mạng khơng gian + gốc = cấu trúc tinh thể.

Ọ

H

Vì l do đó mà cấu trúc tinh thể có thể có những yếu tố đối xứng mà

C

mạng khơng gian khơng có, đó là các trục xoắn ốc và mặt phẳng trƣợt.

PH

1.2.1. Phép đối xứng tinh thể

SƯ

1.2. C c phép đối xứng của mạng tinh thể [1]
Tất cả các tinh thể đều có một tính chất chung là tính chất tuần hồn

ẠM

tịnh tiến, ngoài ra, tùy vào các trƣờng hợp cụ thể chúng cịn có thể có (hoặc
khơng có) các tính chất đối xứng khác nữa.

Phép đối xứng của tinh thể đƣợc định nghĩa chung nhƣ sau: Nếu sau
một phép biến đổi cứng rắn (không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm
bất kì trong tinh thể) nào đó mà mạng tinh thể chuyển sang một vị trí mới
hồn tồn giống nhƣ vị tr cũ (chỉ có sự đổi chỗ các nguyên tử cùng loại) thì

phép biến đổi này đƣợc gọi là phép đối xứng của tinh thể.
Các phép đối xứng chủ yếu của mạng tinh thể là:
+ Tịnh tiến
+ Quay quanh một trục

5


+ Phản xạ gƣơng (qua một mặt phẳng)
và các tổ hợp khác nhau của chúng.
Chú ý: Có những trƣờng hợp mà một phép biến đổi trên đây, nếu xét
đơn lẻ thì khơng phải là một phép đối xứng, nhƣng nếu xét một tổ hợp nhất
định nào đó của chúng với nhau thì lại là một phép đối xứng.
1.2.2. Nhóm điểm trong mạng tinh thể [1]
Một tập hợp các biến đổi đối xứng đi kèm thêm với hai định nghĩa:
định nghĩa t ch của hai yếu tố và định nghĩa yếu tố nghịch đảo sẽ lập thành
một nhóm. Các thí dụ về nhóm trong tinh thể là:
+ Nhóm tịnh tiến T(R)

1, 2, 3, 4, 6): Cn

ẠI

Đ

+ Nhóm quay quanh một trục bậc n (góc quay là bội của 2 /n, với n =

Ọ

H

+ Nhóm quay - nghịch đảo: Sn

C

+ Nhóm quay - phản xạ gƣơng: Cnv, Cnh.

PH

góc với trục bậc n: Dn.

SƯ

+ Nhóm quay quanh hai trục, một trục bậc n và một trục bậc hai vuông
Đáng chú ý là tất cả các biến đổi thuộc nhiều nhóm đối xứng của tinh

ẠM

thể, thí dụ: Cn, Cnv, Cnh, Sn, Dn…đều giữ cố định một điểm nào đó của tinh
thể. Các nhóm có tính chất nhƣ vậy đƣợc gọi là các nhóm điểm.
Tập hợp tất cả các phép đối xứng khác nhau của tinh thể lập thành một
nhóm gọi là nhóm khơng gian của tinh thể. Có tất cả 230 nhóm khơng gian,
tức là có 230 loại tinh thể có các tính chất đối xứng không gian khác nhau.
1.3. Các chỉ số Miller
Để chỉ rõ các nút, các hƣớng và các mặt trong mạng tinh thể, ngƣời ta
dùng các chỉ số Miller.
1.3.1. Chỉ số nút [3]
Vị trí của nút đƣợc xác định bởi 3 tọa độ x, y, z.

6

Nếu tọa độ của nút M là x = ma, y = nb, z = pc, thì chỉ số của nút M là
[[mnp]]. Nếu nút có tọa độ âm thì ghi dấu “-“ ở phía trên chỉ số tọa độ đó, th
dụ: tọa độ của nút N là x = ma, y = nb, z = -pc, chỉ số của nút N là [[mn ̅]].

𝑧
pc

M [[mnp]]
ma

𝑥

nb
-pc

ẠI

Đ

𝑦

Ọ

H

N [[mn𝑝̅]]

C

Hình 1.5. Chỉ số nút của điểm M và N

SƯ

1.3.2. Chỉ số hướng [3]

PH

Để biểu thị một hƣớng ngƣời ta dựng đƣờng thẳng đi qua gốc tọa độ và
song song với hƣớng đó. Vị trí của đƣờng thẳng này (cũng là vị trí vủa hƣớng

ẠM

nói trên) đƣợc xác định bằng chỉ số nút [[mnp]] của nút đầu tiên mà đƣờng
thẳng này đi qua và chỉ số hƣớng đó đƣợc kí hiệu là [mnp].

7


𝑧

[001]

[011]

[111]

[[011]]

𝑥
[100]

[[110]]

[010]

𝑦

[110]

Hình 1.6. Chỉ số của một số nút và một số hƣớng trong mạng lập phƣơng.

ẠI

Đ

Các hƣớng tƣơng đƣơng nhau về tính chất đối xứng tạo thành một họ
hƣớng và đƣợc kí hiệu là <mnp>. Thí dụ trong hệ lập phƣơng, họ hƣớng

1.3.3. Chỉ số mặt phẳng [4]

C

Ọ

H

<100> biểu thị các hƣớng [100], [ ̅ 00], [0 ̅ 0], [001], và [00 ̅ ].

SƯ

Trong mạng không gian, đƣờng thẳng đi qua vô số các nút mạng đƣợc

PH

gọi là đƣờng thẳng mạng. Có thể chứng minh đƣợc rằng đƣờng thẳng đi qua
hai nút mạng, thì nó là đƣờng thẳng mạng.

ẠM

Mặt phẳng có chứa vơ số các nút mạng đƣợc gọi là mặt phẳng mạng.
Mặt phẳng chứa ba nút mạng là mặt phẳng mạng.
Để xác định đƣờng thẳng mạng và mặt phẳng mạng ta sử dụng hệ tọa
độ xyz có các trục dựa trên ba vectơ cơ sở ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ . Gốc O của hệ tọa độ đặt
ở một nút mạng.

8


𝑧
C (0, 0, n3a3)

⃗⃗⃗⃗
𝑎

B (0, n2a2, 0)

⃗⃗⃗⃗
𝑎

O

𝑦

𝑎
⃗⃗⃗⃗

A (n1a1, 0,
0)
𝑥
Hình 1.7.

Một mặt phẳng mạng cắt các trục tọa độ tại các nút có các tọa độ (n1a1,
0, 0), (0, n2a2, 0), (0, 0, n3a3) (hình 1.7).

ẠI

Đ

Để kí hiệu mặt phẳng này, ta dùng các chỉ số Miller đƣợc xác định nhƣ
sau:

Ọ

H

Viết tọa độ của các giao điểm của mặt phẳng mạng với các trục tọa độ

C

theo đơn vị a1, a2, a3, tức là n1, n2, n3.

SƯ

Lấy nghịch đảo của chúng

,

,

:

:

ẠM

h:k:l=

PH

Tìm bộ ba số nguyên h, k, l có trị số nhỏ nhất sao cho:

Bộ ba số h, k, l đƣợc đặt trong dấu ngoặc (h k l) và đƣợc gọi là chỉ số
Miller của mặt phẳng mạng.
Ví dụ: n1 = 3, n2 = 4, n3 = 2, do đó:
h:k:l= : : =

:

:

= 4 : 3 : 6.

Vậy chỉ số Miller của mặt phẳng đó là (4, 3, 6).
Các mặt phẳng mạng song song nhau có cùng chỉ số Miller. Vì vậy chỉ
số Miller (h k l) có thể kí hiệu một mặt phẳng hoặc một họ các mặt phẳng
song song với nhau.

9


Nếu mặt phẳng mạng song song với một trục tọa độ, thì coi nhƣ nó cắt
trục đó ở vơ cực, và chỉ số Miller tƣơng ứng với trục đó bằng 0.
Nếu mặt phẳng mạng cắt trục tọa độ ở điểm có tọa độ âm thì chỉ số
Miller tƣơng ứng có dấu âm, và đƣợc kí hiệu bằng dấu “-“ bên trên chỉ số đó.
Ví dụ (h ̅ l).
1.4. Mạng Bravais [3]
1.4.1. Mạng Bravais trong không gian ba chiều
Trong tinh thể ba chiều, ta cũng luôn luôn chọn đƣợc ba vectơ ⃗⃗⃗ , ⃗ ,
sao cho khi dịch chuyển tinh thể theo vectơ: ⃗ = n1⃗⃗⃗ + n2 ⃗ + n3
với n1, n2, n3 là những số nguyên bất kì, thì tinh thể lại trùng với chính nó.

ẠI

Đ
C

Ọ

H
SƯ
PH
𝑟

𝑅⃗
⃗⃗𝑟

ẠM

𝑐 ⃗
𝑏
𝑎

Hình 1.8. Mạng khơng gian ba chiều.
⃗

Vectơ tịnh tiến tinh thể ⃗

Nói cách khác những điểm có bán k nh vectơ ⃗⃗ đƣợc xác định bằng
biểu thức: ⃗⃗ =

+ ⃗ hoàn toàn tƣơng đƣơng với điểm có bán k nh vectơ .

Phép dịch chuyển ⃗ nói trên gọi là phép tịnh tiến tinh thể.

10


Tập hợp các điểm có bán k nh vectơ ⃗⃗ tạo thành một mạng khơng gian

gọi là mạng Bravais, cịn ch nh các điểm đó gọi là các nút mạng.
Ba vectơ ⃗⃗⃗ , ⃗ ,

gọi là các vectơ cơ sở, chiều dài của chúng gọi là

hằng số mạng hay chu kì mạng, hình hộp tạo bởi các vectơ cơ sở gọi là ô đơn
vị hay ô cơ sở.
1.4.2. Phân loại các mạng Bravais ba chiều
Căn cứ vào tính chất đối xứng của các loại mạng không gian, ngƣời ta
chia chúng thành 7 hệ tinh thể, ứng với 14 loại mạng Bravais nhƣ sau:
Bảng 1.1. Phân loại các mạng Bravais ba chiều
Hệ tinh

thứ tự

thể

1

Tam tà

Đặc điểm của ô cơ sở 14 loại mạng Bravais

ẠI

Đ

Số

a#b#c

H

Tam tà đơn giản

C

Ọ

α#β#γ

a#b#c
Đơn tà

α=γ=

SƯ

2

Đơn tà tâm đáy

PH

β#

Đơn tà đơn giản

3

Thoi

ẠM

Thoi đơn giản

a#b#c

Thoi tâm khối
Thoi tâm đáy

α=β=γ=

Thoi tâm mặt
4

5

6

Tứ giác

Tam
giác
Lập

a=b#c

Tứ giác đơn giản

α=β=γ=

Tứ giác tâm khối

a=b=c
α=β=γ<

Tam giác đơn giản

α=β=γ#
Lập phƣơng đơn giản

a=b=c

11


phƣơng α = β = γ =

Lập phƣơng tâm khối
Lập phƣơng tâm mặt

7

a=b#c

Lục
giác

α=β=

Lục giác đơn giản

γ=

1.5. Một số cấu trúc tinh thể đ n giản [3]
1.5.1. Cấu trúc Natri Clorua

ẠI

Đ
C

Ọ

H
SƯ
ẠM

PH
Hình 1.9. Cấu trúc NaCl
Mạng không gian Bravais là mạng lập phƣơng tâm mặt, gốc mạng gồm
hai nguyên tử: nguyên tử Cl nằm tại vị trí 0 0 0, nguyên tử Na nằm tại vị trí
.
Trong một ơ cơ sở có 4 nguyên tử Cl và 4 nguyên tử Na nằm tại các vị
trí sau:
Cl:
Na:

0 0 0

0
0 0

0
0 0

12

0
0 0


Mỗi nguyên tử có 6 nguyên tử khác loại nằm ở lân cận gần nhất, do đó
số phối vị là 6. Một số tinh thể có cấu trúc NaCl đƣợc dẫn ra trong bảng 1.2
trong đó a là hằng số mạng.
Bảng 1.2. Các tinh thể có cấu trúc NaCl

Tinh thể

a (Å)

Tinh thể

a (Å)

LiH

4,08

AgBr

5,77

MgO

4,20

PbS

5,92

MnO

4,43

KCl

6,29

NaCl

5,63

KBr

6,59

ẠI

Đ
1.5.2. Cấu trúc Xêsi Clorua

C

Ọ

H
SƯ
ẠM

PH
Hình 1.10. Cấu trúc CsCl
Mạng không gian là mạng lập phƣơng, gốc mạng gồm hai nguyên tử:
nguyên tử Cs nằm tại vị trí 0 0 0 nguyên tử Cl nằm tại vị trí

13

.


Bảng 1.3. Các tinh thể có cấu trúc CsCl
Tinh thể

a (Å)

Tinh thể

a (Å)

BeCu

2,70

LiHg

3,29

AlNi

2,88

NH4Cl

3,87

CuZn

2,94

TlBr

3,97

CuPd

2,99

CsCl

4,11

Trong một ơ cơ sở có 1 ngun tử Cs và một nguyên tử Cl nằm ở vị trí
nhƣ trên. Mỗi ngun tử có 8 ngun tử khác loại ở vị trí lân cận gần nhất, vì
thế số phối vị bằng 8. Một số tinh thể có cấu trúc tƣơng tự CsCl đƣợc dẫn ra

ẠI

Đ

trong bảng 1.3.

H
C

Ọ

1.5.3. Cấu trúc kim cương

SƯ
ẠM

PH
Hình 1.11. Cấu trúc kim cƣơng.
Mạng khơng gian của cấu trúc kim cƣơng là mạng lập phƣơng tâm mặt,
gốc mạng gồm hai nguyên tử nằm tại các vị trí: 0 0 0;

14

.

Mỗi ô cơ sở gồm 8 nguyên tử nằm ở các vị trí sau
0 0 0

0

0

Mỗi ngun tử có 4 nguyên tử ở vị trí lân cận gần nhất và 12 nguyên tử
ở vị trí lân cận thứ hai.
Các tinh thể của các nguyên tố thuộc nhóm 4 trong bảng tuần hồn các
ngun tố hóa học nhƣ Cacbon (C), Silic (Si), Giecmani (Ge), và thiếc (Sn)
có cấu trúc kim cƣơng với các hằng số mạng tƣơng ứng là: 3,56; 5,43; 5,65;

ẠI

Đ

và 6,64 Å.

1.5.4. Cấu trúc Kẽm Sunfua lập phương (Sphalerite) và vuazit (wurtzite)

C

Ọ

H
SƯ
ẠM

PH
Hình 1.12. Cấu trúc ZnS.
Cấu trúc kẽm sunfua lập phƣơng, ZnS, gần giống cấu trúc kim cƣơng.
Mạng không gian là mạng lập phƣơng tâm mặt, gốc mạng gồm hai
nguyên tử khác loại: nguyên tử Zn nằm tại vị trí 0 0 0, nguyên tử S nằm ở vị
trí

.
Trong một ơ cơ sở có 4 ngun tử Zn và 4 nguyên tử S nằm ở các vị trí

sau:

15


Zn:

0

S:
Mỗi nguyên tử có 4 nguyên tử khác loại nằm ở lân cận gần nhất và có
12 nguyên tử khác loại nằm ở lân cận thứ hai. Các tinh thể có cấu trúc tƣơng
tự ZnS đƣợc dẫn ra trong bảng 1.4.
Bảng 1.4. Các tinh thể có cấu trúc ZnS lập phƣơng.
Tinh thể

a (Å)

Tinh thể

a (Å)

SiC

4,36

ZnSe

5,65

CuCl

5,41

GaAs

5,65

ZnS

Đ

AlAs

5,66

AlP

5,45

CdS

5,82

GaP

5,45

InSb

6,46

5,41

ẠI

C

Ọ

H

SƯ

ZnS và nhiều hợp chất A2B6 khác có thể kết tinh theo kiểu vuazit.

PH

Mạng khơng gian của cấu trúc loại này là mạng lục giác.

ẠM

Trong một ô cơ sở có 2 nguyên tử Zn và 2 nguyên tử S nằm ở các vị trí
sau:
Zn: 0 0 0

1/3 2/3 1/2

S: 0 0 u

1/3 2/3 1/2 + u với u

3/8

Mỗi nguyên tử có 4 nguyên tử nằm ở lân cận gần nhất và có 12 nguyên
tử khác loại nằm ở lân cận thứ hai.
1.5.5. Cấu trúc xếp chặt các quả cầu
Các loại ngun tử có tính chất đối xứng cầu nhƣ các nguyên tử kh trơ
hay các nguyên tử mà sự liên kết giữa chúng khơng có phƣơng hƣớng rõ rệt
nhƣ liên kết kim loại, thƣờng có cấu trúc nhƣ các quả cầu xếp chặt sao cho
phần thể tích cịn lại giữa chúng là bé nhất.

16


Thƣờng có hai cách xếp các quả cầu: cách một dẫn đến cấu trúc lập
phƣơng xếp chặt, cách hai dẫn đến cấu trúc lục giác xếp chặt.
Hãy xét hai cách xếp chặt này.
Ta lần lƣợt xếp các quả cầu thành từng lớp. Lớp thứ nhất (gọi là lớp A)

nằm trên một mặt phẳng, mỗi quả cầu tiếp xúc với 6 quả cầu khác tạo thành 6
hốc rỗng (ký hiệu là B và C) ở xung quanh. Ở lớp thứ 2 các quả cầu đƣợc đặt
vào những hốc B (gọi là lớp B).
A

. C

+

B

+

.

B

A
B
+

.
. C
CA
A
A
B
+B
C
+B

+B
+B
+
.
. C
. C
.
C
C A
A
A
A
A
. C

A

A

ẠI

Đ

A

+

A

A

BA

C

Ọ

H

SƯ

Hình 1.13. Sự sắp xếp các quả cầu lớp A và các hốc rỗng B và C.

PH

Lớp thứ 3 có hai cách xếp: nếu các quả cầu của lớp này đƣợc xếp vào
những chỗ ngay phía trên các hốc rỗng C của lớp thứ nhất, rồi tiếp đó lớp thứ

ẠM

tƣ lại trùng với lớp thứ nhất, sao cho trình tự các lớp là ABCABCABC… thì
ta nhận đƣợc cấu trúc lập phƣơng tâm mặt. Tinh thể các loại khí trơ nhƣ Ne,
Ar… các kim loại nhƣ Ag, Au, Pt… có cấu trúc loại này. Nếu các quả cầu của
lớp thứ 3 đƣợc xếp ngay phía trên tâm của các quả cầu của lớp thứ nhất, sao
cho trình tự các lớp là ABABAB… thì ta nhận đƣợc cấu trúc lục giác.
Cấu trúc lục giác có mạng không gian là mạng lục giác, gốc mạng gồm
hai nguyên tử nằm tại vị trí 0 0 0; 2/3 1/3 1/2

17

a

b

a

Hình 1.14.

b

Hình 1.15.

Hình 1.14a. Ơ cơ sở của cấu trúc lập phƣơng xếp chặt
Hình 1.14b. Cấu trúc lập phƣơng xếp chặt
Hình 1.15a. Ơ cơ sở của cấu trúc lục giác xếp chặt

Đ

Hình 1.15b. Cấu trúc lục giác xếp chặt

ẠI

Mỗi ơ cơ sở có hai nguyên tử nằm ở các vị trí 0 0 0; 2/3 1/3 1/2. Mỗi

H

nguyên tử đƣợc bao quanh bởi 12 nguyên tử ở vị trí lân cận gần nhất.

C

Ọ

Ô cơ sở của mạng lục giác xếp chặt có trị số c/a có giá trị bằng (8/3)1/2

SƯ

= 1,633. Các tinh thể có cấu trúc lục giác xếp chặt đƣợc dẫn ra trong bảng 1.5.
Bảng 1.5. Các tinh thể có cấu trúc lục giác xếp chặt

PH

c/a

Tinh thể

c/a

Cd

1,886

Zr

Zn

1,861

Gd

He

1,633

Lu

1,586

Mg

1,623

Ti

1,586

Co

1,622

Be

1,581

ẠM

Tinh thể

1,594
1,592

1.6. Mạng đảo
1.6.1. Định nghĩa mạng đảo [4]
Mạng thuận: là mạng không gian đƣợc xây dựng từ ba vectơ cơ sở
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , vị trí của mỗi nút mạng đƣợc xác định nhờ vectơ:
= n1⃗⃗⃗⃗ + n2⃗⃗⃗⃗ + n3⃗⃗⃗⃗

với n1, n2, n3 Z

18


Mạng đảo: là mạng đƣợc xây dựng từ ba vectơ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ , đƣợc xác
định nhƣ sau: ⃗⃗⃗ = 2
⃗⃗⃗⃗ = 2
⃗⃗⃗⃗ = 2

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
[⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ] ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,⃗⃗⃗⃗⃗ là các vectơ cơ sở của mạng đảo.
Vị trí của nút mạng đảo đƣợc xác định bởi vectơ mạng đảo :
= m1⃗⃗⃗ + m2⃗⃗⃗⃗ + m3⃗⃗⃗⃗ với m1, m2, m3 Z
Ta có thể chứng minh đƣợc rằng: ⃗⃗⃗ vng góc với ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ vng

ẠI

Đ

góc với ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ vng góc với ⃗⃗⃗⃗ và ⃗⃗⃗⃗ .
Độ lớn của vectơ mạng đảo có thứ nguyên nghịch đảo của chiều dài.

H

C

Ọ

Hình hộp tạo thành từ 3 vectơ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗ là ô cơ sở hay ơ sơ cấp của
⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

SƯ

mạng đảo, có thể t ch là V’= ⃗⃗⃗

Có thể tính ra rằng thể tích V của ô cơ sở của mạng Bravais và thể tích

PH

V’ của ơ cơ sở của mạng đảo liên hệ với nhau theo cơng thức:

ẠM
1.6.2. Một vài tính chất của mạng đảo [3]
Mỗi nút có tọa độ h k l trong mạng đảo tƣơng ứng với một mặt phẳng
(h k l) trong mạng thuận.
Vectơ mạng đảo

= h⃗⃗⃗ + k⃗⃗⃗⃗ + l⃗⃗⃗⃗ vng góc với mặt phẳng (h k l)

trong mạng thuận.
Chiều dài của vectơ mạng đảo |⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | = (
trong đó

)n

là khoảng cách giữa hai mặt phẳng mạng liên tiếp trong họ mặt

phẳng (hkl), n là số nguyên.

19