TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
======
PHẠM THỊ HƯỜNG
MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG
Đ
ẠI
TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
C
Ọ
H
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
SƯ
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
ẠM
PH
HÀ NỘI - 2018
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA VẬT LÝ
======
PHẠM THỊ HƯỜNG
MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG
Đ
ẠI
TRONG VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
C
Ọ
H
Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết
SƯ
ẠM
PH
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn khoa học
TS. NGUYỄN HUY THẢO
HÀ NỘI - 2018
LỜI CẢM ƠN
Tƣ
ò
ậ
ế ơ sâ sắc t i TS. Nguyễn Huy Thảo
ê
tốt nhất
ạ
ứu, cung cấp nhữ
o
ọ sƣ
ƣ
o
q á
ờ
ả
ạ
H N
ệ
s
ê
ỏ
ú đỡ đị
ận tốt nghiệp.
Vậ ý ý
ợ
ƣ ng
ƣ ng dẫn, tạo đ ều kiện
ê
đã
ú đỡ
ơ s đ
ầ đầ
ê
ỏi s thiế s
ến c a thầ
o
ế
ờ
ƣờ
ọ ậ
è để
ê
ú đỡ c
đ
ê
ứu khoa họ
ê
ậy
oá
ạ
oá
rất mong nhậ đƣợc nhữ
ậ đƣợ
o
ệ
è
ận chắc
đ
ơ
Ọ
ảm ơ !
C
â
ạ
H
T
ả
ƣờ đã
ậ
oá
ẠI
Đ
ý
ơ
xin cả
á
chắn
o
ệ
ậ
Cuố ù
L
ệ q ý á
ố
SƯ
PH
Hà Nội, ngày.... tháng.... năm 2018
ẠM
Sinh Viên
Phạm Thị Hường
LỜI CAM ĐOAN
Cù
v is
ê
ƣ ng dẫn c a TS. Nguyễn Huy Thảo,
Vậ ý ý
vậ ý ƣợng tử” đƣợ
ả
trong phầ
T
trung th
ế đề
M t số ơ sở oá
â
c hiện T o
á
ận
ảo m t số
ậ
ọ
ố
ƣờ
q á
ệ
ù
ê
o
ứ
ệu c a m t số á
o
ả đã
ệu tham khảo.
đo
ƣ ừ
ững kết quả
đƣợ
ê
ứ
o
oá
ố trong bấ
ậ
o
o
o
ọ
á .
ẠI
Đ
Ọ
H
Hà Nội, ngày.... tháng... năm 2018
C
Sinh Viên
SƯ
PH
Phạm Thị Hường
o
ẠM
MỤC LỤC
PHẦN 1: MỞ ẦU .......................................................................................... 1
1. Lý o
ọ đề
2. Mụ đ
..................................................................................... 1
ê
ứu ............................................................................... 2
ối ƣợ
3.
ạ
ê
4. Nhiệm vụ
5. P ƣơ
ứu ........................................................... 2
ứu............................................................................... 2
á
ê
ú
6. Cấ
ê
ứu ......................................................................... 2
ận ................................................................................... 2
PHẦN 2: NỘI DUNG ...................................................................................... 3
CHƢƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƢỜNG DÙNG TRONG VẬT
LÝ LƢỢNG TỬ ............................................................................................... 3
Đ
H
e .................................................................................. 3
ẠI
11 K
ế
........................................................................ 3
H
111K
H
e ............................................................................ 5
1.1.3. S
o ....................................................................................... 6
C
Ọ
11 K
SƯ
1.1.4. Hệ tr c chuẩn .................................................................................... 7
Toá
ử oá
ửt
ê
ợp tuyế
á
PH
1
é
oá
ê
oá
ử........ 8
ử .............................................................................................. 8
1
Toá
ử
ê
ợ
1
Cá
é
oá
ê
1
H
1
Lý
ê
ế
oá
ị ê
ế
oá
ể
1 1 Lý
ết về
1
ế
ử Hermite) ............................ 10
ử ............................................................... 10
oá
ề
Lý
ẠM
1 1 Toá
ử ......................................................... 12
ễ
................................................. 14
.......................................................................... 14
ể
ễ
................................................................ 17
CHƢƠNG II MỘT SỐ BÀI TOÁN ỨNG DỤNG ....................................... 21
1 B
oá
ề
B
oá
ề
B
oá
ề
H
ê
e ............................................................. 21
ị ê
ểu diễ
oá
ử ...................................... 23
.................................................... 28
PHẦN 3: KẾT LUẬN .................................................................................... 38
TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................. 39
ẠI
Đ
C
Ọ
H
SƯ
ẠM
PH
PHẦN 1: MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vậ ý ọ
đ
o
ê
To
ữ
o
ừ
á
ệ
ê
ứ
ụ
đạ
ƣ
Vậ ý
ƣ: đị
ừ
ê
ứ
ƣ
ng thời vậ ý
o
s
á
ể
áđ
để
Ọ
ẠI
Đ
sắc c
ƣời về t
ệ đạ -
ị đƣợ
ậ ý
ứ
o
ọ đề
đề
ề
ọ
ố
o
ê
ố
ử He
e
ả
ơ ọ
ố mở
ể
á
ế
á
o
o
ọ
á
ậ
ế
ê
ƣợng tử
ơ
i hạn
ề á
ƣờng giải
ọc ho c triết học.
á
ơ sở oá
ọ
ị ê
oá
ử
ê
ê
đ ng thời mở ra
ƣ oá
ệ
ứ
ƣợng tử
ện m i trong vậ ý
á
ế
ứ
e
ê
ọ
á
ê
sâ
ƣờ N
ầ
ẠM
V
e
o
á
ử đƣợ
ố
ọc,
ứu m i t o
oá
ật ý
ại m
ậ ý ƣợ
PH
ế
ế ơ ản c
ê
Vậ ý
o
ƣợ
ƣờ đã đ sâ
ậ ý
Cá
ƣ
H
ọ
ƣ: vậ ý s
ơ
ải
ế
ậ
c a vậ ý
nhữ
ấp dẫ
ác. Vậ ý ọc giao nhau v i nhiề
á
ữ
ậ
ệ đạ đã
SƯ
á đị
ạ
t số hiệ
o
C
ê
ệ đạ
ấ
ở
ề
đế
ú đẩy s tiến b c
H
ọ
ê
đị
ạ
ê từ cấ đ
c để
ơ ả
ậ
ể
ệ đại nhằm giả
ọ
ậ
ế
đời c a vậ ý
o
á q
ậ ý ầ
định luậ
vậy, s
Vậ ý
ứ
đ ể đã đe
ƣợng trong t
đƣợ
ể
luậ q á
ạ
đƣợc nhiều hiệ
á
ê
o đế
s ố q á
ứ
ọ
ậ ý ƣợ
ế
ƣ:
ữ
ử
ứ
ê
M t s c sở to n học thường d ng trong vật lý lư ng t
ậ
ố
ệ
1
2. Mục đích nghiên cứu
N
ê
ứu
ọ ậ
số ơ sở ố
ê
ọ
sử ụ
số ơ sở oá
ọ
ứ
3. Đ i tư ng và phạm vi nghiên cứu
K
H
Toá
ử oá
H
ê
Lý
e .
ử Hermite.
ị ê
oá
ế
ử.
ểu diễ
ậ
M t số
ê q
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
ê
ứ
số ơ sở oá
ọ
ƣờ
ù
o
ẠI
Đ
N
5. Phư ng ph p nghiên cứu
ệ
ọ
á
Phần 1: Mở đầu
ố
ọ
ẠM
PH
6. Cấu trúc khóa luận
ả
SƯ
ƣơ
o ậ ý
C
Sử ụ
oá
á đọ
Ọ
Sử ụ
ƣơ
H
Sử ụ
Phần 2: N i dung
Phần 3: Kết luận
2
ậ ý ƣợ
ử
o
PHẦN 2: NỘI DUNG
CHƯƠNG I: MỘT SỐ CƠ SỞ TOÁN HỌC THƯỜNG DÙNG TRONG
VẬT LÝ LƯỢNG TỬ
1.1. Không gian Hilbert
K
H
e
q á
t dạng t
a
ị gi i hạn về vấ đề hữu hạn chiều. N
á đại số e ơ
á
e ơ
á
H
ọ
ậ ý
e xuất hiện m
ƣờ
ê
F
C
á ý
ết về á
ế đ i Fourier
H
e
o
é
q á
á
số tr c giao
oá
ữ
ụ
ừng phầ
ơ
ọc
ọc c a
ể đƣợ á
ấp m t khung
ệm chu i Fourier theo m t hệ bấ
K
ứ
trong việ
á
é biế đ i Fourier
a giả
o
a thế kỷ 20
ơ sở oá
ạn chiều. C ú
để hệ thố
â
ết ergodic
á tr
t số
á
â
ẠM
Cá
ƣơ
ý
nhiệ đ ng l c học.
c
đ
ê
ê
PH
é
ƣờ
es R esz C ú
SƯ
o
ê
t
ứu trong thập kỷ đầ
Ọ
H
ể thiế
o
o
ạn chiều Cá
bởi David Hilbert, Erhard Schmidt
dụ
á
á
gian Hilbert s m nhấ đƣợ
họ ƣợng tử
ạn chiều. M
đo đƣợc.
ẠI
oá
ƣơ
ƣ ng, hay đƣợc hiể
Đ
K
á
mở r ng c
hữu hạn ho
e
oả
e
oá từ m t ph ng Euclide hai chiề
gian ba chiều cho đến
H
E
H
e đ
ữ
m t
á
ệm
òq
ọng
é
c a
ọc ơ ọ ƣợng tử.
1.1.1. Khơng gian tuyến tính
M
ế
ầ
é
ử
â
ậ
é
á
o
â
ấ
đ
ầ
ƣờng c
3
á đị
ử
số
é
e ơ
é
ọc
é
â
e ơ
ọc v i m t số. C
ế
m t
é
ệ
á
1. T
ầ
ỏ
ấ
ử
ậ X đƣợc gọi
m
ệ
X
số a ( a T , T
X
ax
ơ
ế ứng v i m i c p phần tử x, y c a X á đị
é
á phần ử
c
á
ã
á
é
x+y
ể
â
ập số th c ho c phức,
ê đề s :
o oá : v
ử ất kỳ x, y X ta
ầ
x y y x.
3. T
( x y) z x ( y z ).
ất kết hợp: v i mọi x, y, z X
2. T
ạ
ọ x
ử 0 X sao cho x 0 0 x x
ầ
e ơ
ẠI
ạ phần tử đơ
C
a b x ax bx
ử đố ( x) X
ử x X sao cho
ầ
PH
ầ
x X.
a, b T
SƯ
ạ
x, y X .
a T
Ọ
6. a x y ax ay
8. T
x X.
a, b T
H
5. a(bx) ab x
7.
ị 1.x x.1 x v i mọi x X .
Đ
4. T
Ở ê
ố q
số
ệ
ữ
á
ầ
đị
ế
ẠM
x x 1 1 x 0.x 0.
á số a, b T . Nế a
ế
c. Nếu a
ử
aX
số phứ
ức [1,3].
Cho hệ n e ơ x1 , x2 ,..., xn xn X , e ơ:
y a1 x1 a2 x2 ... an xn y X , ai T .
ƣợc gọ
á
hợp tuyế
Nếu a1 x1 a2 x2 ... an xn 0
a1 , a2 ,..., an
á
ƣợc lại nếu ai 0
e ơ x1 , x2 ,..., xn .
ất m
t n tạ
ệ xn đƣợc gọ
ụ thu c tuyế
ệ e ơ ê đƣợc gọ
4
o
đ c lập tuyế
á
ệ số
T ƣờng hợp
N ƣờ
đã
ứ
đƣợc rằng:
a. T o
ất m t hệ tố đ p e ơ đ c lập tuyến
X t n tạ
Cá
ệ tố đ
b. Nế
ê
ệ (p + 1
e ơ đ c lập tuyế
o
X đề
o ệ p e ơ đ c lập tuyế
e ơ
số e ơ ằng p.
e ơ bấ
am
ụ thu c tuyế
x X
:
a1x1 a2 x2 ... ap x p ap1 x 0.
ất hệ số ap 1 c a x
V
c. T o
: x a1 x1 a2 x2 ... a p x p .
á
ể
X
số e ơ ằ
ều hệ ơ sở Cá
ằng p N ƣời ta gọi p
ệ ơ sở c a X đều
số chiều c
X
ệu dim X p.
Đ
X thỏ
ã 8 ê đề về
ến
e ơ đƣợc gọ
o
a X. N ƣời ta
ẠI
d. Phần tử X’ c
H
ế
ƣờ
ọ
phần tử c
á
PH
th c X đƣợ
á định
e ơ x, y X
ọ
ề H
ẠM
ế
đ
tro
e ơ
ế (x, y), gọ
á
á
e ơ
1.1.2. Không gian Hilbert
M
đƣợc gọi
SƯ
K
C
Ọ
chứng minh rằng dim X dim X [1].
ấ s
e
ế
ƣ ng
[4,7]:
1. ( y, x) x, y .
2.
x y, z ( x, z) y, z .
3. ( x, x) 0
( x, x) 0
4. ( x, ay) a x, y
V
đị
ƣ
a
x 0.
số
đƣợ đị
ề chuẩn x c a m
ở
á
e ơ x ê X. x
5
ất từ 1– 4 ò
x, x .
t
t chuẩn ê X, gọ
x
tiề H
ẩn sinh bở
e đƣợ đị
ƣ ng
ƣ ê
Định nghĩa 1: M
định chuẩn [5].
i chuẩn x
ế
x, x đƣợc gọi
ền Hilbert [1].
V
ền Hilbert
t
định chuẩ đề á
niệm về
H
định chuẩ
e
ểđ
ụ
o
đ .M
ê
M
ề H
ọ
á
tiền
e đ gọ
gian Hilbert.
Định nghĩa 2: M
ề H
đƣợc gọ
H
Đ
H
e X
e ơ x bấ
ể khai triển theo hệ
e :
H
ơ sở tr c chuẩ đ
t hệ ơ sở tr c chuẩ đ
e [1].
ẠI
To
e
n
C
Ọ
x a1e1 a2e2 ... anen .
ƣ ng hai vế v i ek ,
:
SƯ
N â
ứng minh:
ak
2
1 khi x 1.
ẠM
Ta sẽ đ
n
PH
ak ek , x k 1,2,..., n .
k 1
Thật vậy:
ak
2
ak ek , x ak x, ek
*
k
k
k
x, ak ek x, x 1.
k
1.1.3. Sự trực giao
Định nghĩa
Định nghĩa 3: Cho
ta
á
e ơ x, y
H
o
e X
ế x y
6
á
ầ
ệ
ử x, y X
x, y 0.
ƣờ
C c tính chất
y x. T
1. Nế x y
2. Nế x y1 , y2 ,..., yn
T ậ
ậ
x, a y
1 1
x a1 y1 a2 y2 ... an yn .
... an yn a1 x, y1 ... an x, yn 0.
3. Nế x yn , yn y n
T ậ
ậ
x 0.
xx
x y.
x, y lim( x, y ) 0.
n
n
4. Nếu x1 ,..., xn đ
x1 x2 ... xn
o
t tr
2
x1 x2 ... xn
2
2
2
đị
ý Pythagore).
1.1.4. Hệ trực chuẩn
Đ
H
e X.
ẠI
C o
ọ
ệ
ẩ
Ọ
H
1. Hệ e1, e2 ,... X
C
e , e
i
j
en
ệ
ẩ
ẠM
N ƣ ậ
0
1
PH
e , e 1 nếu i j.
i
ij
SƯ
đ : ei , e j 0 nếu i j.
To
j
ế :
en 1
ế
n
ei e j i j .
2. Nếu en
Fo
e
ệ
ọ x X , số i ( x, ei ) ọ
ẩ
x đố
e
ei
i i
i 1
ọ
Fo
e
x
en .
3. M
giao
ệ
ấ ả á
ẩ
ầ
en
ử
đƣợ
ọ
ệ:
7
đầ đ
e ơ
ệ số
eo ệ
x en (n 1,2,..) x 0.
1.2. To n t , to n t tự liên h p tuyến tính, c c phép to n trên to n t
N o
ữ
đạ ƣợng vậ ý đ
ƣ
ƣ tọ đ
ƣợ
o
ạ
á
ƣợng,... ò
ƣợng vậ ý ắn liền v i bản chất c a hạ
spin,... Trong ơ ọ
đ
ƣ
ởi m
ƣợng tử, m
oá
ể đ ng c a hạt vi
ƣ
ữ
ố ƣợ
đạ ƣợng hay thu
đại
đệ
ậ ý đề đƣợc
ử.
1.2.1. To n t
Kh i niệm
X, dim X p
C o
ođ
ạ K
ệ
é
Aˆ ,
oá
é
biến x y
oá
Ọ
ƣs
ần tử y Y đƣợc
ến phần tử x X
H
đƣợc viế
oá
ẠI
á
gọ
Đ
é
a. M
Y, dimY q.
[1]:
C
ˆ y ( x X , y Y )
Ax
ế
ếu:
PH
ạ Aˆ đƣợc gọ
SƯ
Á
(1.1)
ˆ , x X , a T
Aˆ ai xi ai Ax
i
i
i
i
i
M t s to n t
Toán tử tuyến tính: T ê
Aˆ đƣợc gọ
H
1
ố
1
ử tuyế
(1.2)
ẠM
X, v i x, y X
tuyế
ếu thỏ
ử
ã đ ng thời hai đ ều kiện sau:
ˆ Ay
ˆ v i x, y X
Aˆ x y Ax
(1.3)
ˆ v i a bấ
Aˆ (ax) aAx
(1.4)
ƣơ
đƣơ
i nhau
x X
ể viết gọn lạ
ƣs :
ˆ a Ax
ˆ ... a Ax
ˆ .
Aˆ a1x1 a2 x2 ... ak xk a1 Ax
1
2
2
k
k
To
oá
đ x1 , x2 ..., xk X ; a1, a2 ,..., ak
ững số th c ho c phức bấ
8
Toán tử đơn vị: T n tạ oá
s
ử đơ
đ
ị
oá
ử
á đ ng c
ê
s
ˆ .
I
Toán tử ngược: Toá
ƣợ
ử Aˆ 1 đƣợ
ọ
ử Aˆ ,
oá
Toán tử Unita: Toá
(1.5)
oá
ử
ˆ y
ế Ax
ử Aˆ ọ
oá
ửU
Aˆ ế
ƣợ
á đ
x Aˆ 1 y, x, y X .
e ế
ử Aˆ
oá
ị
:
ˆ ˆ Aˆ Aˆ I .
Aˆ Aˆ 1 hay AA
Toán tử liên hợp
oá
ử ê
ợ
ằ
Aˆ Aˆ
(1.7)
ẠI
H
ƣ ng:
Xé
ử
Đ
Chứng minh
oá
(1.6)
C
Ọ
x , Axˆ A T .
i
ij
SƯ
ần tử (i, j) c
Ta gọi Aij
j
ử Aˆ .
oá
ˆ , x x , Ax
ˆ
Ax
ẠM
PH
N ƣ ậy:
*
i
Tƣơ
ứ
á
vừa chuyển vị vừa lấ
j
j
ần tử c
oá
ê
hợp c a phần tử Aij . Tƣơ
ê
ợp c
oá
i
ử Aˆ . Phần tử Aij
đƣợc bằ
ợp phức c a phần tử Aij đƣợc gọ
ứng v
đề đ
ử Aˆ .
Toán tử tự liên hợp (toán tử hermite)
Nếu xả
A*ji Aij .
đ ng thức
Aij Aij
9
oá
ử Aˆ đƣợc gọ
á
ần tử ê
oá
ử
Tứ
x , Axˆ Axˆ , x
i
j
i
j
Hay Aˆ Aˆ
ử Aˆ đƣợc gọ
oá
oá
ửt
ê
ợ
oá
ử Hermite [1].
1.2.2. To n t tự liên h p tuyến tính to n t Hermite
ối v i m
Ф,
oá
ƣờ
ử
Aˆ đƣợc đị
ế
đị
m
ử Aˆ
oá
ˆ
Aˆ x, y x, Ay
ử Aˆ đƣợc gọ
á oá
ử ê
oá
o (1.8
(1.8)
ợp
oá
ử t
oá
ử
ê
ợ
oá
oá
ử
đƣợc [4,5]:
H
Hermite. T
ử Aˆ Aˆ đƣợc gọ
ẠI
ế
ˆ , y x, Ay
ˆ
Ax
ọi x, y X .
ừ Hermite Aˆ Aˆ
Bˆ Bˆ . M t số
C
Ọ
oá
ử He
oá
Aˆ Bˆ
e
oá
ừ
oá
ử Hermite.
ẠM
oá
1. T ng c
chất c
PH
Hermite:
2. T
(1.9)
SƯ
Xé
ƣs :
Đ
ử Aˆ
ến
ọi x, y X .
Cá oá
ê
Aˆ Bˆ Aˆ Bˆ .
ử Hermite v i m t số
oá
ử Hermite nếu số đ
c.
ˆ
kA
3. T
oá
a hai oá
k Aˆ k Aˆ kAˆ , k k , k R .
ử He
e
oá
ử He
e
i nhau.
ˆ ˆ
AB
ˆ ˆ.
ˆ ˆ AB
Bˆ Aˆ BA
1.2.3. C c phép to n trên to n t
10
oá
ửđ
o
Xé
ử Aˆ , Bˆ
oá
1. P é
ừ
Vậ
ấ
o oá
3. P é
â
ử ậ
Aˆ , Bˆ
é
sau:
oá
ử ằ
é
ừ P é
ợ
ˆ ˆ f Aˆ ( Bf
ˆ ).
ử: AB
oá
ˆ ˆ BA
ˆ ˆ,
chung AB
N
ừ
ế
á
ˆ Bf
ˆ Df
ˆ hay Dˆ Aˆ Bˆ .
ử: Aˆ Bˆ f Af
oá
oá
ấ
ˆ Bf
ˆ hay Cˆ Aˆ Bˆ .
ˆ Cf
ử: Aˆ Bˆ f Af
oá
2. P é
số f
Aˆ , Bˆ
ˆ ˆ BA
ˆ ˆ,
ƣợ ạ AB
o ố
o ố
ấ
Đ
ế
ể
ứ
ố
ử
ẠI
P é
ầ
úý
ứ
ấ
ố
ử ƣ
ố
o ố
ê
ửs
H
C
Ọ
d
d
Thí dụ 1: Aˆ ; Bˆ x; Pˆ Aˆ .Bˆ x.
dx
dx
ụ
x ấ
ê
SƯ
Cho P á
ẠM
PH
d x
d
d
Pˆ x Aˆ .Bˆ x . x x x x
1 x x
dx
dx
dx
d
Vậ Pˆ Aˆ .Bˆ 1 x .
dx
Bˆ . Aˆ
T
d
d
Bˆ . Aˆ x x x Bˆ . Aˆ x .
dx
dx
Dễ thấy rằ
tử Aˆ
Bˆ
o
ˆ ˆ BA
ˆ ˆ . N ƣ ậy, tứ
AB
ƣờng hợ
o ố .
Thí dụ 2: Cho Aˆ x 2 , Bˆ x, ta thấy ngay rằng:
ˆ ˆ BA
ˆ ˆ x3 .
AB
11
oá
â
ƣờng hợ
oá
ử
o oá
ˆ ˆ BA
ˆ ˆ . Nế Aˆ , Bˆ 0
ử: Aˆ , Bˆ AB
4. Giao oá
ƣợc lại Aˆ , Bˆ 0
oá v i nhau,
Aˆ , Bˆ
Aˆ , Bˆ gọ
o oá
o
i nhau.
1.3. Hàm riêng và trị riêng của to n t
Định nghĩa
Xé
ử Aˆ
oá
x bấ
ê
dụ
x , x bấ
á
ử Aˆ á
C o oá
á x :
đƣợc m
Aˆ x x
oá
ẠI
Đ
Trong ƣờng hợp khi m
t hằng số λ
chuyể
(1.10)
ử Aˆ á
â
ụ
x,
ê
:
H
Aˆ x x
Ọ
(1.11)
C
ƣời ta gọi x
Trong ƣờng hợ
á ị ê
ê
M
ƣơ
1 11 đƣợc gọ
oá
ử. Giả
oá
ử.
oá
ử
ƣơ
ể
1 11)
ề
ể
ê
ê
đ n x
Tập hợp những trị ê
ê
ị
ại ứng v i m t
:
Aˆ n x n n x n 1,2,3,...
To
oá
á trị ê
đƣợ
ê
ể viết lại (1.11
trị riê
o
ử Aˆ , ị
x c
ê
ƣơ
ố
c
ứng v
ẠM
c
ị ê
PH
tử Aˆ . P ƣơ
ê
SƯ
λ đƣợc gọ
ê
ứng v i trị ê
oá
n (n 1,2,3,...).
ử đƣợc gọ
12
(1.12)
c
oá
ửđ
Nếu trị ê
rời rạ ; ò
ê
λ
ếu trị ê
ục. Ph c
ữ
á trị rời rạc, ta gọi ph c
λ
ữ
oá
ử Aˆ vừ
á ị ê
ử Aˆ
oá
ục, ta gọi ph c
ể ê
ục, vừ
oá
ử Aˆ
ể rời rạc.
Hàm riêng và trị riêng của to n t Hermite
T
p ƣơ
ê
ị ê
oá
ử:
Aˆ x x .
T eo đị
oá
ử Hermite:
Aˆ , , Aˆ , ( Aˆ
ử Aˆ
Nếu oá
ử Hermite,
Aˆ ).
á
ê
á ị ê
Cá
ẠI
Đ
ất sau:
nhữ
á ị ê
ử He
o ị ê
e
oá
ững số th c.
ử Hermite Aˆ
o
ƣờng hợ
ị
C
Ọ
á đoạ
oá
H
P ƣơ
ê
oá
:
SƯ
Aˆ n n n
PH
V
ẠM
n , Aˆ n Aˆ n , n
Aˆ Aˆ n , Aˆ n Aˆ n , n ,
:
V
n n , n n n , n
n n n , n 0
V n , n 0 n n n
Vậ
á ị ê
Cá
oá
ê
ử He
ứng v
c.
e
ững số th c.
á ị ê
tr c giao v i nhau.
13
á
oá
ử Hermite
T eo đị
oá
ử Hermite:
, Aˆ Aˆ ,
1
2
1
2
a1 1, 2 a2 1, 2
a1 a2 1, 2 0.
V a1 a2 a1 a2 0 1 , 2 0.
Do đ 1 , 2 tr c giao v i nhau.
Cá
ê
oá
ử Hermite lậ
f x bấ
Nế
ể
â
á
t hệ đ .
un x c
ê
oá
ử Hermite
:
ẠI
Đ
f x c1u1 x c2u2 x c3u3 x ...
f x cnun x .
H
n
Ọ
SƯ
1.4.1. Lý thuyết về nhóm
C
1.4. Lý thuyết về nhóm và bi u di n nhóm
Định nghĩa
ử
é
á
â
ử a, b, c,... đƣợ
ỏ
ã
Tính có đơn vị: T ê
ậ
ọ
ế
ấ sau:
ọ a, b G
Tính kín: V
ệ
ầ
ẠM
ố
ậ G
PH
M
ọ a.b G.
ợ G
ạ
ầ
ử đơ
ị đƣợ
e, sao cho:
a.e e.a a
Tính có nghịch đảo: V
ị
đảo
a G.
ầ
m
ử o
ậ G
:
a.a 1 a 1.a e,
ọ a, a 1 G.
Tính chất kết hợp:
a. b.c a.b .c v
14
ọ a, b, c G.
ầ
ử
To
á
ầ
ử
ấ
o ố
a.b b.a.
Nhóm Abel
To
ố
ọ
A e
o
ầ
đ
ị đƣợ
ế q ả
ử
ệ á
ụ
á
o
ữ
á
á
ứ
o oá
é
ú
é
ế
N
o oá
ọ a, b G.
oá
A e
â
đƣợ
â theo ê đề ề
a.b b.a
M
ụ
ọ
o ố
ả
o ố
Ký
ẠI
Đ
Nhóm tuần hồn
ệ
Ọ
H
ử x n gọ
ừa bậc n c a x.
C
p ầ
x.x...x x n
đ
á
ần tử đề
o
ấ
ê
ọ
n
ọ
ữu hạ
ạ
á
To
ù
o ố
Nhóm hữu hạn, vơ hạn, liên tục
Số phần tử c a m
á
ẠM
ầ
M
o
ừ
PH
ầ
m t phần tử gọ
ững
SƯ
o
M
ấp c
ƣờng hợ
Nếu cấ
t số gi i
ọ
ạn. M t
á ạ
ần tử biế
ê
ê
ục gọ
ả
ể
ệ q
ê
ục.
á
ầ
Bảng nhân nhóm
Bả
đƣợ
â
ể
ệ
o
ả
ƣ
đâ :
15
ắ
â
ử o
Ví dụ 1: N
đơ
c
e
e
a
b
c
a
a
a.a
a.b
a.c
b
b
b.a
b.b
b.c
c
c
c.a
c.b
c.c
ấ
ầ
ỏ
ầ
e, a.
e.a a.e a. Vậ
ử
Tù
ị
ằ
đảo
ấ ả á
ầ
ấ
e
ê đề
á đị
C
ứ
ể
ả
e.e e
ế
â
C2. Luậ
ể
ƣờ
ợ :
ả
ế
â
đƣợc
PH
đâ :
ị T
ể ả
SƯ
ệ
ử đơ
e
C
Ọ
ƣ
ấ
đ
eo
H
a.a a. K ả
biểu thị qua bả
o
òn a.a ầ đƣợ
ẫ đế a e. T
a 1
ịe
ã
ẠI
ở
ử đơ
e.e e. R
Đ
ị
a.a e, o
b
â
đề đƣợ
Ví dụ 2: Xé
a
ả
ậ
e
e
a
e
e
ẠM
e
a
a
e
a
Nhóm quay SO(2) - nhóm quay trong mặt phẳng
Xé
á
é q
ạo
M
SO
á
q
á
é q
Th c hiệ
ú
xOy q
hay
, , ,...
á
é q
ệ
ố
đƣợ đ
ọ đ
Cá
ƣ
R( ), R , R ,... T
é q
ở ậ S
ệ
ê
ế
, , ,...
q
é q
é q
ê
ế
,
16
đƣợc m
é q
é q
.
a
R R R .
T
ấ
o oá :
R R R R R R
ị: R 0 R R R 0 R , e R 0 .
ơ
T
ạ
Cá
ầ
ử
đảo: R 1 R .
ị
é q
ấ
o ố
ê SO
o ố [2,7].
Nhóm con
Trong ý thuyế
. Nếu gọi H
đƣ
ƣờng hợp H
ẠI
G.
G
ệ s :
ập
H
Tậ
ợ
o H
ầ
ứ
ử
ỏ
ã
á đề
a.b H .
ầ
ử đơ
ầ
H
ịe
ử
ẠM
ọ a H ,b H
G khi
PH
V
o
SƯ
o H
Nế a
â
o c a G nế
C
ậ
é
Ọ
â c a
M
o c a G.
Gv i
H
é
v
â
o
H đƣợc gọ
G. H đƣợc gọ
con H c a
ể
H
Định nghĩa 4: Cho m t
é
Gv im t
t tập con c a G
Đ
To
ƣờ
,
ị
đảo
G: e H .
a
a-1 c
ần
tử c a H.
a H a 1 H .
G o
o
ọ ấ
ữ
o
G
G.
1.4.2. Lý thuyết bi u di n nhóm
Kh i niệm
Xé
đ i trong m
Gg m á
tuyế
ần tử a, b, c
n chiều Xn. Gọ
17
U á
é
ến
U á
é
ến
đ
o
X
t biểu diễn c
G ê
cấu c
ứng v i a, b, c G
U, tứ
o
U(a), U(b), U(c
é đ ng
G nế
é
ế đ i
ã : a.b.c U a .U b .U (c) v i
U thỏ
U a ,U b U [2,7].
a, b, c G,
P é đ ng cấu: G U đƣợc gọ
gian Xn. T o
đ
á ạ
T eo đị
ểu diễ
ểu diễn, n
Xn gọ
ế đ i tuyế
tuyế
é
é
é
đƣợ
é
G
ểu diễn
ến.
á
ất sau:
U a ,U b U
V i mọi a, b G
ều biểu diễn. Nếu U
ểu diễn c
ểu diễn gọ
s
G o
:
Đ
U a .U b U a.b
ẠI
(1.13)
ịec
é
G
ế đ
đ ng nhất trong
Ọ
H
Ứng v i yếu tố đơ
C
X.
U a .U e U e .U a U a hay U e 1.
SƯ
đảo:
PH
Yếu tố nghị
(1.14)
U a 1 U a .
1
é
G g m n phần tử a
â
ẠM
Nếu n
(1.15)
á
ần tử trong
:
a.a...a n.a U n.a U a .U a ...U a U a .
n
Bi u di n khả quy và bi u di n t i giản
G o
Cho m t biểu diễn U c
e ơ X. Nếu trong X
o X1 bất biế đối v i tất cả á
biểu diễn U, v i mọi yếu tố a c
khả q
To
ƣờng hợ
o
o
o ất biế đối v i tất cả á
18
ế đ i U(a) c a
ằng U
G
ƣợc lại, nế
é
t biểu diễn
X
é
ế đối v i tất cả á
t
é
ế đ i U(a), trừ
o
on tầ
ằ
ƣờ
X
ằng U
ểu diễn tối giản [2].
Bi u di n bất khả quy
ể
Cho U(G)
ọ
ễ
G ê
e ơ ơ sở ê Xn
ođ s o
e ơ Xn V
o
ậ
ể
s
ễ
U(G)
ạ :
0
D g
D g 1
D2 ( g )
0
D1 g
Trong đ
m m; D g
ậ
n m n m
”
ậ
Đ
D g
m (n m)
D2 g
đƣợ
ệ
H
:
ấ
ậ
D1 g
ế
ẠI
(n m) n,
ữ
ậ
U(G)
ể
ảq
ế X
ứ
ƣờ
o
ọ
ù
ợ
ảq
ế
e ơ o
o
ễ
ầ
X1
e ơ Xn U(G)
o
ấ
ù
ầ
o
o
ọ
o
ố
X1
e ơ ữ
ạo
X1
ế
ẠM
To
ể
G ê
ƣờ
ấ
o
PH
U(G). N ƣợ ạ
ễ
SƯ
T
C
Ọ
D g D1 g D2 g
á
ạ
e ơ
ề
ầ
:
X2
X X1 X 2 .
M
á
ể
ễ
ậ
o
ầ
ử
o
ảq
ế
ƣơ
ạ :
0
...
D g
D g ...
0
19
đƣơ
ể
ễ