Phương trình mũ và logarit hay nhấy

Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
PHẦN MỞ ĐẦU
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 1 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Có thể nói rằng, hàm số mũ và hàm số logarit cùng với các bài toán liên quan đến hai
hàm số này là phần kiến thức khá khó trong phân phối chương trình Toán phổ thông. Khi tìm
hiểu phần kiến thức này đòi hỏi chúng ta phải vận dụng rất nhiều kiến thức có liên quan để
giải quyết các dạng toán. Nhiều dạng bài tập, thường gặp phải nhiều sai lầm khi giải toán
nhưng mũ và logarit vẫn có những nét đẹp riệng của chúng.
Là sinh viên nghành Toán, tôi nhận thức được cái khó của mũ và logarit và thông qua
tiểu luận này tôi muốn tìm hiểu thêm để phục vụ cho việc giảng dạy ở trường THPT sau này.
Do đó, tôi chọn đề tài “Các vấn đề về Mũ và Logarit”. Trong đề tài này, tôi trình bày sơ lược
các kiến thức cơ bản về hàm số mũ và logarit cũng như các dạng toán điển hình của phần này
qua đó tích lũy thêm kinh nghiệm cũng như kiến thức phục vụ cho việc giảng dạy sau này.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Mục tiêu chính của đề tài mà tôi chọn là có thể tổng hợp tất cả các dạng toán có liên
quan về muc và logarit như tìm tập xác định, tính và rút gọn các biểu thức, chứng minh đẳng
thức, bất đẳng thức, giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình
cũng như các bài toán biện luận.
Tôi hy vọng trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, tôi có thể giới thiệu đầy đủ các dạng
toán trong phần kiến thức này.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Trong đề tài này, tôi xây dựng xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit mà trong đó
trọng tâm là phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và
logarit. Theo đó, các phương pháp giải các dạng toán trên cũng được tôi đề cập đến trong đề
tài của mình.
IV. PHẠM VI NGHIÊM CỨU:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài chỉ xoay quanh các vấn đề về mũ và logarit đã nêu ở trên
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham khảo ý kiến

của cán bộ hướng dẫn.
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 2 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
PHẦN NỘI DUNG
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 3 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
PHẦN I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ
HÀM SỐ LOGARIT
A. Tóm tắt về lũy thừa và hàm số mũ:
1. Các phép tính về lũy thừa với hàm số mũ thực:
Định lý: Gọi
,a b
l;à những số thực dương;
,x y
là những số thực tùy ý. Ta có:
( )
( )
.
x
x y x y x y
y
y
x
x xy x x
x
x
x
a
a a a a
a

a a ab a b
a a
b b
+ −
= =
= =
 
=
 ÷
 
Chú ý rằng: 1)
0
1, 0x x= ∀ ≠
2) Nếu chỉ xác định với mọi
2. Hàm số mũ:
a. Định nghĩa: Hàm số mũ cơ số
( )
0a a ≠
là hàm số được xác định bởi công thức
x
y a=
Ví dụ:
1
2 , ,
3
x
x
y y
 
= =

 ÷
 
b. Các tính chất:
+ Hàm số
x
y a=
liên tục tại mọi điểm
x∈ R
.
+
0
x
a >
với mọi
x∈ R
.
+ Nếu
1a =
thì hàm số không đổi trên
R
:
1y =
.
+ Nếu
1a
>
thì hàm số đồng biến trên
R
.
+ Nếu

0 1a< <
thì hàm số nghịch biến trên
R
.
c. Từ các tính chất đơn điệu của hàm số mũ, ta suy ra với mọi
0a
>
thì:
*
1
,
1
M N
a
M N
a a
a
M N
 =



∀


= ⇔

≠




=



*
1
0 1
M N
a
M N
a a
a
M N
 >



>


> ⇔

< <



<




GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 4 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
*
1
0
1
0 1
0
x
a
x
a
a
x
 >



>


> ⇔

< <



<




*
1
0
0 1
0 1
0
x
a
x
a
a
x
 >



<


< < ⇔

< <



>




Các tính chất trên thường dùng để giải các phương trình và bất phương trình mũ.
d. Công thức đổi cơ số:
Từ hàm số mũ cơ số
a
đổi sang hàm số cơ số
b
ta có công thức:
( )
log
, 1
b
x a
x
a b a b
= ≠
Ví dụ:
3
log 2
ln
2 3 ;
x
x x x a
a e= =
,…
e. Đồ thị hàm số mũ:
x
y a=
* Với
1a

>
:
Bảng biến thiên:
x
−∞

0

+∞
x
y a=

+∞

1

0

Đồ thị:
* Với
0 1a< <
:
Bảng biến thiên:
x
−∞

0

+∞
x

y a=
+∞

1

0
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 5 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
Đồ thị:
Nhận xét rằng:
+ Đồ thị hàm số
x
y a=
luôn luôn đi qua điểm
( )
0,1A
.
+ Đồ thị hàm số
x
y a=
luôn luôn nằm phía trên trục hoành.
+ Các hàm số
x
y a=
và
1
x
y
a
 

=
 ÷
 
có đồ thị đối xứng nhau qua trục tung.
B. Tóm tắt về hàm số Logarit:
1. Định nghĩa:
Cho số thực
0a
>
và
0a
≠
, logarit cơ số
a
của một số dương
N
là một số
M
sao cho
M
N a=
. Kí hiệu là
log
a
N
.
Ta có:
log
M
a

N M N a= ⇔ =
.
Ví dụ:
2
log 32 5=
vì
5
2 32=
;
2
1
3
9
−
=
nên
3
1
log 2
9
= −
.
2. Tính chất:
+ Cơ số
0a
>
và
1a
≠
.

+
log
a
N
có nghĩa khi và chỉ khi
0N
>
.
+
log 1 0 ; log 1 ; log
n
a a a
a a n= = =
.
+
log
log , ; , 0
a
N
M
a
a M M a N N= ∀ ∈ = ∀ >R
Ví dụ:
( )
2
2
log 4 x−
xác định khi và chỉ khi
2
4 0 2 2x x− > ⇔ − < <

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 6 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
( )
1
log 5
x
x
−
−
xác định khi và chỉ khi
1 0 1
1 5
1 1 2
2
5 0 5
x x
x
x x
x
x x
− > >
 
< <

 
− ≠ ⇔ ≠ ⇔
  
≠

 

− > <
 
3
4
log 2
3
5 1 1
2 2
1
3 2 ; log 5 3 ; log 16 log 4
2
−
−
 
= = − = = −
 ÷
 
3. Các phép tính về logarit:
Giả sử
0 1a< ≠
;
, , 0A B N >
, ta có các công thức sau:
*
( )
log log log
a a a
AB A B
= +
Mở rộng:

( )
1 2 1 2
log . log log log
a n a a a n
A A A A A A
= + + +
*
log log log
a a a
A
A B
B
 
= −
 ÷
 
Hệ quả:
1
log log
a a
N
N
 
= −
 ÷
 
*
( )
log log
a a

N N
α
α α
= ∈
R
*
1
log log
n
a a
N N
n
= =
4. Công thức đổi cơ số:
Giả sử
0 , 1a b< ≠
;
, 0c x >
ta có:
*
log log .log
a a b
c b c
=
Hệ quả:
1 2 2 1 1
2 3 1
log .log log .log log
n n
a a a n a n a n

a a a a a
− −
−
=
*
log
log
log
b
a
b
x
x
a
=
*
log
log
a
b
a
b
a
=
*
1
log log
a
a
x x

α
α
=
*
log log
n
a
a
x n x
=
*
1
log log
a
a
x x
= −
*
( )
1
log 1
1 1
log log
ab
a b
x x
x x
= ≠
+
5. Hàm số logarit:

GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 7 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
a. Định nghĩa: Hàm số logarit cơ số
a

( )
0, 1a a> ≠
là hàm số xác định bởi công thức
log
a
y x=
.
Ví dụ:
2
logy x=
,
1
3
logy x=
.
b. Các tính chất:
* Hàm số
log
a
y x=
có tập xác định là
( )
0;+∞
* Hàm số
log

a
y x=
liên tục tại mọi điểm
0x >
* Nếu
1a >
thì hàm số
log
a
y x=
đồng biến trong khoảng
( )
0;+∞
* Nếu
0 1a< <
thì hàm số
log
a
y x=
nghịch biến trong khoảng
( )
0;+∞
* Hàm số
log
a
y x=
có tập giá trị là
R
.
c. Từ tính chất đơn điệu của hàm số logarit ta suy ra các đẳng thức và bất đẳng thức

sau:
*
log log 0
0, 1
a a
M N
M N N
a a
=


= ⇔ >


> ≠

*
1
0
log log
0 1
0
a a
a
M N
M N
a
M N
 >




< <


< ⇔

< <



> >



*
1
1
log 0
0 1
0 1
a
a
M
M
a
M
 >




>


> ⇔

< <



< <



*
1
0 1
log 0
0 1
1
a
a
M
M
a
M
 >




< <


< ⇔

< <



>



Các tính chất nầy thường được dùng để giải các phương trình và bất phương trình
logarit.
6. Đồ thị của hàm số logarit:
* Với
1a
>
:
Bảng biến thiên:
x
0

1

a

+∞
log

a
y x=

+∞

1


0
−∞

Đồ thị:
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 8 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
* Với
0 1a
< <
Bảng biến thiên:
x
0

1

a

+∞
log
a
y x=
+∞

0


1

−∞
Đồ thị:
Nhận xét:
* Đồ thị hàm số
log
a
y x=
luôn luôn đi qua điểm
( )
1,0A
.
* Đồ thị hàm số
log
a
y x=
luôn luôn ở beeb phải trục tung.
* Các hàm số
log
a
y x=
và
1
log
a

y x=
đối xứng nhau qua trục hoành.
* Vì
log
y
a
y x x a= ⇔ =
nên các hàm số
log
a
y x=
và
x
y a=
là những hàm số
ngược nên các đồ thị của chúng đối xứng nhau qua đường phân giác
y x=
.
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 9 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
PHẦN II: CÁC DẠNG BÀI TẬP
DẠNG I: TÌM TẬP XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ
I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG.
Cơ sở của phương pháp tìm tập xác định của hàm số là cần xác định các giá trị của
x

để hàm số
( )
y f x=
có nghĩa. Để làm tốt dạng bài tập này chúng ta cần lưu ý:

1. Điều kiện có nghĩa của các hàm số cơ bản:
*
( )
2k
y f x x= =
có nghĩa khi và chỉ khi
0x ≥
;
k ∈ Z
*
( )
tany f x x= =
có nghĩa khi và chỉ khi
;
2
x k k
π
π
≠ + ∈ Z
*
( )
coty f x x= =
có nghĩa khi và chỉ khi
;x k k
π
≠ ∈ Z
*
( )
log
a

y f x x= =
có nghĩa khi và chỉ khi
0
0; 1
x
a a
>


> ≠

*
( )
x
y f x a= =
có nghĩa khi và chỉ khi
0a >
2. Điều kiện có nghĩa của đa thức bậc
( )
:
n
n y P x=
là
x∀ ∈ R
3. Gọi
( ) ( )
,P x Q x
là các hàm số hợp của các hàm số cơ bản, ta có:
*
( )

( )
P x
y
Q x
=
có nghĩa khi và chỉ khi
( )
0Q x ≠

*
( )
2k
y P x=
có nghĩa khi và chỉ khi
( )
0;P x k≥ ∈ Z
*
( )
2 1k
y P x
+
=
có nghĩa khi và chỉ khi
;x k∀ ∈ ∈R Z
*
( )
( )
log
P x
y Q x=

có nghĩa khi và chỉ khi
( )
( ) ( )
0
0; 1
P x
Q x Q x
>


> ≠


*
( )
( )
P x
y Q x=  
 
có nghĩa khi và chỉ khi
( )
0Q x >
4. Các hàm số
( ) ( )
y f x g x= ±
và hàm số
( ) ( )
.y f x g x=
có tập xác định là
f g

D D D= ∩
.
Trong khi đó hàm số
( )
( )
f x
y
g x
=
có tập xác định là
( )
{ }
\ 0
f g
D D D x g x= ∩ ∈ ≠R
Ngoài ra muốn tìm tập xác định của hàm số chúng ta cần chú ý:
* Tập xác định của hàm số
( )
y f x=
là tập các giá trị
x
∈
R
sao cho tồn tại
( )
f x ∈ R
.
* Ta chú ý rằng
( )
x

y a
ϕ
=
xác định khi
0a
>
và
( )
x
ϕ
xác định. Nếu
0a
=
thì
( )
0x
ϕ
≠

và nếu
0a
<
thì
( )
x
ϕ
∈ Z
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 10 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
* Hàm số

( )
log
a
y x
ϕ
=
xác định khi
0, 1a a> ≠
và
( )
x
ϕ
xác định,
( )
0x
ϕ
>
.
II. CÁC VÍ DỤ.
Ví dụ 1: Tìm tập xác định của hàm số:
(
)
2
3
log 3 2 4y x x x= − + + −
Giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
2
2
2

1 2
3 2 0
3 2 3
3 2 4 1
x x
x x
x x x
x x x
≤ ∨ ≥

− + ≥

 
⇒
 
− + ≥ −
− + + − ≥




Giải bất phương trình
2
3 2 3x x x− + ≥ −
, ta có:
( )
2
2
2
2

3 0
1
3 2 0
2 3
1
3 2 3
3 0
2
3
3 7
3 2 3
x
x
x x
x
x
x x x
x
x
x
x
x x x
 − ≤

 ≤






− + ≥
≤ ≤
≤





− + ≥ − ⇔ ⇔ ⇔



− ≥
≥

≥








≥

− + ≥ −






Vậy tập xác định của hàm số đã cho là
( ,1] [2,+ )D = −∞ ∪ ∞
Ví dụ 2: Tìm tập xác định của hàm số:
2
1 1
log
1 1
y
x x
 
= −
 ÷
− +
 
Giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
2
2
2
22
1 1
1
1 1 2
0 0
2 1
1 1 1
0
1

2
1 1
1
log 0
1
1 1
x x
x
x
x x
x x x
x
x
x
x x




≠ ± ≠ ±

≠ ±


  
+ > ⇔ > ⇔
  
+ −
− + −
≥

  
−

 
 
≥
+ ≥
 ÷
 
−

− +
 

Xét dấu đa thức
( )
2
2
2 1
1
x x
P x
x
+ −
=
−
ta có:
x
−∞

1 2− −

1−

1 2− +

1
+∞
( )
P x

−

0

+

−

0

+

−

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là
[ 1 2, 1) ( 1 2,1]D = − − − ∪ − +
Ví dụ 3:Tìm tập xác định của hàm số:
2
3

1 log
log
1 log
a
a
x
y
x
 
+
=
 ÷
+
 
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 11 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
Giải
Hàm số xác định khi và chỉ khi:
2 2 2
3
1 log 1 log log log
log 0 1 0
1 log 1 log 1 log
1
1
1
log 1
1 log 0
0 1
0

1
1
a a a a
a a a
a
a
x x x x
x x x
a
x a
x
x
a
x
a
x a
x
a
 
+ + −
≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
 ÷
+ + +
 
 >



≥








< ≤


≥




⇔ ⇔


− < ≤
< <




< ≤









≤ <





Kết luận:
* Với
1a >
:
1
( ,1] [ , )D a
a
= ∪ +∞
* Với
0 1a< <
:
1
(0, ] [1, )D a
a
= ∪
Ví dụ 4: Tìm các giá trị của
m
để hàm số
( )
2
3
1

log 2 3
y
x x m
=
− +
xác định với mọi.
Giải
Hàm số xác định với mọi
x∈ R
khi và chỉ khi
( )
2
3
log 2 3 0,x x m x− + > ∀ ∈ R
2 2
2 3 1, 2 3 1 0,x x m x x x m x− + > ∀ ∈ ⇔ − + − > ∀ ∈R R
Vì
1 0a = >
nên
( )
2
0 1 3 1 0
3
m m
′
∆ < ⇔ − − < ⇔ >
Vậy với
2
3
m >

thì hàm số đã cho xác định với mọi
x∈ R
.
Ví dụ 5:Tìm tập xác định của hàm số
( ) ( )
lg lg lg 4 lg lg3y x x= − − −
Giải
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
( ) ( )
0
lg 0
4 lg 0
lg lg lg 4 lg lg3 0
x
x
x
x x
>


>


− >


− − − ≥

(4)
( ) ( )

lg lg
lg 0 1
3 4 lg 3 4 lg
x x
x x
 
⇔ ≥ ⇔ ≥
 
− −
 
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 12 SVTH: Phạm Ngọc Tài
(1)
(2)
(3)
(4)
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit

( )
( )
( )
4 lg 3
lg lg 3
1 0 0 0
3 4 lg 3 4 lg 4 lg
3 lg 4 1000 10000
x
x x
x x x
x x
−

−
⇔ − ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
− − −
⇔ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
Giá trị của
x
vừa tìm thỏa mãn tất cả các điều kiện (1), (2), (3).
Vậy tập giá trị của hàm số là
[ ]
1000,10000D =
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số
2
1
log
x
y
x
−
=
Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số
2
5 6
1 3
x x
y
− +
= −
Bài 3: Tìm tập xác định của hàm số
( )

2
2
ln 16
5 10 25
x
y
x x x
−
=
− + − +
Bài 4: Tìm tâp xác định của hàm số
( )
ln 5 5y x x= − + −
Bài 5: Tìm tập xác định của hàm số
( )
2
3
1
2 1
3 2 2
x x
y
−
= − −
−
Bài 6: Tìm tập xác định của hàm số
( )
2
log 3 4y x= +
Bài 7: Tìm tập xác định của hàm số

( )
2 2
2
16 log 5 6y x x x= − − +
Bài 8: Tìm tập xác định của hàm số
( )
2 2
25 lg 42y x x x= − + + −
Bài 9: Tìm tập xác định của hàm số
1
2
1
log
5
x
y
x
−
=
+
Bài 10: Tìm tập xác định của hàm số
2
3
4 3
log
2
x x
y
x
+ +

=
−
DẠNG II: TÍNH GIÁ TRỊ CÁC BIỂU THỨC MŨ VÀ LOGARIT
I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG.
Để giải các bài toán dạng này, chúng ta cần nắm vững các vấn đề sau:
1.
{
( )
. ,
n
n
a a a a a n= ∈ ∈
*
R N
2. Với
a
∈
R
và
n∈
*
N
, ta có:
0
1
1
n
n
a
a

a
−

=


=


3. Với
,a b∈
*
R
và
,m n∈ Z
ta có:
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 13 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
( )
* .
*
m n m n
n
m mn
a a a
a a
+
=
=
( )

*
*
n
n n
m
m n
n
ab a b
a
a
a
−
=
=
*
n
n
n
a a
b b
 
=
 ÷
 
4. Cho
, 0, 1a b a> ≠
. Số
α
thỏa mãn
a b

α
=
được gọi là logarit cơ số
a
của
b
. Kí hiệu
log
a
b
α
=
.
( )
log , 0, 1
a
b a b a b a
α
α
= ⇔ = > ≠
5. Với mọi số dương
,a b
và
1a
≠
ta có:
( )
*log 1 0
*log
a

m
a
a m m
=
= ∈ R
log
*log 1
* ;
a
a
b
a
a b b , b >0
=
= ∈R
6. Cho
0 1a
< ≠
và
, 0x y >
( )
( )
*log log log
1
*log log
*log log
a a a
a a
a a
xy x y

y
y
x x
α
α α
= +
= −
= ∈R
a
*log log log
*log log
*log log
a a
a a
n m
a a
x
x y
y
x y
y x
m
x x
n
 
= −
 ÷
 
 
 

= −
 ÷
 ÷
 
 
=
7. Công thức đổi cơ số:
Cho
0 , 1a b< ≠
và
0x >
ta có:
log
log
log
b
a
b
x
x
a
=
hoặc
log .log log
a b b
x a x=
* Hệ quả 1:
log .log 1
a b
b a =

hoặc
1
log
log
a
b
b
a
=
Mở rộng: Với
0 , , , , 1; 0a b c z x< ≠ >
ta có:
log .log .log log log
a b c z a
b c d x x=
* Hệ quả 2:
1
log log
a
a
b b
α
α
=
.
Đặc biệt:
1
log log ;log log ;log log
n
n

n n
a a a
a
a
a
b b b b b b= − = =
II. CÁC VÍ DỤ.
1. Tính giá trị của biểu thức:
Ví dụ 1: Biết
27 8 2
log 5 ;log 7 ;log 3a b c= = =
. Tính
6
log 35
Giải
Theo giả thiết ta có:
27 3 3
1
log 5 log 5 log 5 3
3
a a a= ⇒ = ⇒ =
2 3 2 2
log 3.log 5 log 5 log 5 3ac= ⇒ =
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 14 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
2
8 2 2 3
2
log 71 3
log 7 log 7 log 7 3 log 7

3 log 3
b
b b
c
= = ⇒ = ⇒ = =
Ta lại có:
( )
6 6 6
2 3 2 3
1 1
log 35 log 5 log 7
1 1 1 1
log 5 log 5 log 7 log 7
3
3 3
1 1 1
ac b
ac b
c c c
= + = +
+ +
+
= + =
+ + +
Vậy
( )
6
3
log 35
1

ac b
c
+
=
+
Ví dụ 2: Tính
25
log 15
theo
3
log 15a =
Giải
Ta có:
( )
25 5 5 5
1 1 1
log 15 log 15 log 3.5 log 3 1
2 2 2
= = = +
Theo giả thiết ta lại có:
3 3 3 3
5
3
log 15 log 3.5 1 log 5 log 5 1
1 1
log 3
log 5 1
a a
a
= = = + ⇒ = −

⇒ = =
−
Do đó:
( )
( )
25 5
1 1 1
log 15 log 3 1 1
2 2 1 2 1
a
a a
 
= + = + =
 ÷
− −
 
Vậy
( )
25
log 15
2 1
a
a
=
−
Ví dụ 3: Tính
3
7
121
log

8
theo
49
log 11a =
và
2
log 7b =
.
Giải
Ta có:

7 2
1
log 11; log 7
2
a b= =
Mặt khác:
( )
3
2
7 7 7 7
3
7
2
121 11 9 9
log 3log 3 2log 11 3log 2 6log 11 12
8 2 log 7
a
b
= = − = − = −

Vậy
3
7
121 9
log 12
8
a
b
= −
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 15 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
Ví dụ 4: Tính
2 3 4 2000
1 1 1 1

log log log log
A
x x x x
= + + + +
. Với
Giải
Do
2000! 1.2.3.4 2000x
= =
nên chọn
x
làm cơ số.
Ta có:
( ) ( )
log 2 log 3 log 4 log 2000

log 2.3.4 2000 log 1.2.3.4 2000 log 1
x x x x
x x x
A
x
= + + + +
= = = =
Vậy
1A =
Ví dụ 5: Tính
0 0 0 0
lg tan1 lg tan 2 lg tan3 lg tan89S = + + + +
Giải
Nhận xét:
( )
0 0 0 0
lg tan1 lg tan89 lg tan1 .tan89 lg1 0+ = = =
( )
0 0 0 0
lg tan1 lg tan88 lg tan1 .tan88 lg1 0+ = = =
…………………………………………………
…………………………………………………
Và
0
lg tan 45 lg1 0= =
Suy ra:
( ) ( )
0 0 0 0
0 0 0 0 0
lg tan1 lg tan 2 lg tan3 lg tan89

lg tan1 lg tan89 lg tan 2 lg tan88 lg tan 45 0
S = + + + +
= + + + + + =
Vậy
0 0 0 0
lg tan1 lg tan 2 lg tan3 lg tan89 0S = + + + + =
Ví dụ 6: Tính
2 2
x x
A
−
= +
biết rằng
4 4 23
x x−
+ =
Giải
Ta có:
( )
2
2 2
2 2 2 2 2.2 2 4 4 2 23 2 25
x x x x x x x x− − − −
+ = + + = + + = + =
Do
2 2 0
x x−
+ >
nên
2 2 25 5

x x
A
−
= + = =
Vậy
2 2 5
x x
A
−
= + =
2. Đơn giản biểu thức:
Ví dụ 7: Rút gọn biểu thức
( ) ( )
log log 2 log log log 1
a b a ab b
A b a b b a= + + − −
Giải
Ta có:
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 16 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
log log 2 log log log 1
log log 2 1 log 1

1
log log 2 1 1
1 log
log
log log 2 1
1 log
1
log 1 2log 1 log
1 log
1
log log log
1 log
a b a ab b
a b ab
a b
a
a
a b
a
a a a
a
a a a
a
A b a b b a
b a b
b a
b
b
b a
b

b b b
b
b b b
b
= + + − −
= + + − −
 
= + + − −
 ÷
+
 
= + + −
+
 
= + + − −
 
+
= + =
+
Vậy:
( ) ( )
log log 2 log log log 1 log
a b a ab b a
A b a b b a b= + + − − =
Ví dụ 8: Rút gọn biểu thức
( )
( )
2
log log 1
2 2 4

2 2 4
1
log 2 log . log
2
x
x
B x x x x
+
= + +
Giải
Ta có:
( )
( )
( ) ( )
2
log log 1
2 2 4
2 2 4
2
2 2 2 2
2
2 2
1
log 2 log . log
2
1 log log . log 1 2log
3log 3log 1
x
x
B x x x x

x x x x
x x
+
= + +
= + + + +
= + +
Vậy
( )
( )
2
log log 1
2 2 4 2
2 2 4 2 2
1
log 2 log . log 3log 3log 1
2
x
x
B x x x x x x
+
= + + = + +
Ví dụ 9: Rút gọn biểu thức sau:
( )
2 2
lg 10 lgC x x= −
Giải
Ta có:
( ) ( )
( )
( )

2
2
2 2 2 2
lg 10 lg lg 10 lg 1 lg lg 1 2lgC x x x x x x x= − = − = + − = +
Vậy
1 2lgC x= +
Ví dụ 10: Đơn giản biểu thức sau:
2 3
1 1 1 1

log log log log
n
a
a a a
A
x x x x
= + + + +
Giải
Theo công thức biến đổi cơ số ta có:
log
1
log log
log
n
a
a
n
a
a
x

x x
a n
= =
Từ đó ta có:
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 17 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
( )
2 3
1 1 1 1

log log log log
1 2 4

log log log log
1
1 2 3
log log
n
a
a a a
a a a a
a a
A
x x x x
n
x x x x
n n
n
x x
= + + + +

= + + + +
+
+ + + +
= =
Vậy
( )
2 3
1
1 1 1 1

log log log log log
n
a a
a a a
n n
A
x x x x x
+
= + + + + =
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Tính giá trị của các biểu thức:
a.
4
1
25
log 5 5
b.
3 3
log 729
c.

2 2
log 64
2
d.
8 16
3log 3 2log 5
4
+
Bài 2: Tính các giá trị của biểu thức
3 4 5 15 16
log 2.log 3.log 4 log 14.log 15A =
Bài 3: Tính các giá trị của biểu thức
6
log 16B =
theo
12
log 27x =
.
Bài 4: Cho
lg3 ;lg 2a b= =
. Tính giá trị của biểu thức
125
log 30 theo ,a b
.
Bài 5: Cho biết
log 5
a
b =
. Tính giá trị của biểu thức
log

ab
b
A
a
=
Bài 6: Tính giá trị của cơ số
a
biết
3
7
log 4 2
6
a
=
.
Bài 7: Tính giá trị của cơ số
a
biết
( )
3
11
log 3. 3 3
12
a
= −
Bài 8: Cho
3 3 3 3
4 4 4 4
1 1
2 2

a b a b
C ab
a b
  
− +
 ÷ ÷
  
= −
−
. Tính giá trị của
C
.
Bài 9: Tính giá trị của
x
để 3 số
( ) ( )
lg 2,lg 2 1 ,lg 2 3
x x
− +
theo thứ tự đó lập thành một cấp số
cộng.
Bài 10: Cho
81 3
2log 2 4log 2
9C
+
=
. Tính giá trị của
C
.

Bài 11: Biết
log 2,log 3,log 6
a b c
x x= = =
. Tính giá trị của
log
abc
x
Bài 12: Cho
9 9 47
x x−
+ =
. Tính giá trị của biểu thức
3 3
x x
A
−
= +
Bài 13: Tính giá trị
x
trong đẳng thức
( )
2 2 2
1
log 9log 4 3log 5
2
x = −
Bài 14: Trong mỗi trường hợp sau, hãy tính
log
a

x
, biết
log 3
a
b =
,
log 2
a
c = −
.
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 18 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
a.
3 2
x a b c=
b.
4
3
3
a b
x
c
=
Bài 15: Hãy biểu diễn các logarit sau qua
và
α β
:
a.
3
log 50

nếu
3 3
log 15, log 10
α β
= =
.
DẠNG III: MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VÀ BẤT ĐẲNG
THỨC MŨ VÀ LOGARIT
I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG.
Để giải bài toán dạng này, ngoài các tính chất đã biết ở những phần trước chúng ta cần chú ý
thêm một số tính chất sau:
1. * Nếu
0 a b< <
thì
, 0
, 0
n n
n n
a b n
a b n

< ∀ >

< ∀ <

* Nếu
1a >
thì
m n
m n a a> ⇔ >

* Nếu
0 1a< <
thì
m n
m n a a> ⇔ <
2. Cho
, 0x y >
và
0 1a< ≠
ta có:
* Nếu
1a >
thì
log log
a b
x y x y> ⇔ >
.
* Nếu
0 1a< <
thì
log log
a b
x y x y> ⇔ <
*
log log
a b
x y x y= ⇔ =
3. *
1, 1
log 0

0 1, 1
a
a b
b
a b
> >

> ⇔

< < <

*
log 0
a
b > ⇔
trong hai số
và ba
có một số lớn hơn 1 và số còn lại nằm trong khoảng
( )
0;1
.
Ngoài ra khi chứng minh các bất đẳng thức chúng ta cần nắm vững các tính chất của bất đẳng
thức và các bất đẳng thức quen thuộc như bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức chứa dấu giá
trị tuyệt đối, ứng dụng của đạo hàm. Đặc biệt khi giải các bài toán trắc nghiệm của dạng toán
này chúng ta có thể lấy phản ví dụ để loại bỏ các đáp án nhiễu nhanh hơn.
II. CÁC VÍ DỤ.
1. Chứng minh đẳng thức:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu
, 0x y >
và

2 2
4 12x y xy+ =
thì
( ) ( )
1
lg 2 2lg 2 lg lg
2
x y x y+ − = +
Giải
Theo giải thiết ta có:
( )
2
2 2
4 12 2 16x y xy x y xy+ = ⇔ + =
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 19 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
Do
, 0nên 2 4x y x y xy> + =
. Khi đó ta có:
( ) ( ) ( )
1 1
lg 2 lg 4 lg lg 2 2lg 2 lg lg
2 2
x y xy x y x y+ = + ⇒ + − = +
Vậy với
, 0x y >
và
2 2
4 12x y xy+ =
thì .

( ) ( )
1
lg 2 2lg 2 lg lg
2
x y x y+ − = +
.
Ví dụ 2: Cho các số dương
, ,a b c
trong đó
1c ≠
. Chứng minh
log log
c c
b a
a b=
.
Giải
Đặt
log
c
b
m a=
, ta có
log
log log
a
m
c a
b m b c= ⇒ =
.

Từ đó
( ) ( )
log log
log log log log
c a
c a c a
a m
a m a m
b c c a m= = = =
.
Nghĩa là hai vế của đẳng thức đề bài cho đều bằng
m
.
Suy ra
log log
c c
b a
a b=
.
Ví dụ 3: Cho
1 1
1 lg 1 lg
10 ; 10
b c
a b
− −
= =
. Chứng minh
1
1 lg

10
a
c
−
=
.
Giải
Giả sử
0 , , 10a b c< ≠
. Khử
b
từ các đẳng thức giả thiết ta có:
( )
1
1 lg
1 1 1
10 lg 1 lg lg 1 1
1 lg lg lg
b
a a b b
b a a
−
= ⇒ = ⇒ − = ⇒ = −
−
( )
1
1 lg
1
10 lg 2
1 lg

c
b b
c
−
= ⇒ =
−
Từ (1) và (2) suy ra:

1
1 lg
1 1 lg 1
1 1 lg 1
lg 1 lg lg 1 lg 1
1
lg 10
1 lg
a
a
c
a c a a
c c
a
−
− = ⇒ − = = +
− − −
⇒ = ⇒ =
−
Vậy với
1 1
1 lg 1 lg

10 ; 10
b c
a b
− −
= =
thì
1
1 lg
10
a
c
−
=
.
Ví dụ 4: Cho
0 , , , , , 1a b c d c abcd< ≠
. Chứng minh rằng
1
log
1 1 1 1
log log log log
abcd
a b c d
x
x x x x
=
+ + +
Giải
Theo đề bài ta có:
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 20 SVTH: Phạm Ngọc Tài

Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
1 1
log
log log log log log
1
1 1 1 1
log log log log
abcd
x x x x x
a b c d
x
abcd a b c d
x x x x
= =
+ + +
=
+ + +
Ví dụ 5: Chứng minh đẳng thức
3 3
7 5 2 7 5 2 2+ + − =
.
Giải
Ta có:
( )
3
7 5 2 1 3 2 6 2 2 1 2+ = + + + = +
Tương tự ta lại có:

( )
3

7 5 2 1 3 2 6 2 2 1 2− = − + − = −
Suy ra:

( ) ( )
3 3
3 3
3 3
7 5 2 7 5 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2+ + − = + + − = + + − =
Vậy :
3 3
7 5 2 7 5 2 2+ + − =
.
2. Chứng minh bất đẳng thức:
Ví dụ 6: Không dùng bảng số hay máy tính, hãy chứng minh:
2 3
5
2 log 3 log 2
2
< + <
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2 3 2 3
log 3 log 2 2 log 3.log 2 2 1 2+ > = =
(1)
Dấu bằng không xảy ra vì
2 3
log 3 log 2≠
Mặt khác, ta giả sử:
( )
( ) ( ) ( )

2
2 3 2 3
2
2 2 2
2 2
5 5
log 3 log 2 log 3 log 2 0
2 2
1
2log 3 5log 3 2 0 2 log 3 log 3 2 0
2
2log 3 1 log 3 2 0 2
+ < ⇔ + − <
 
⇔ − + < ⇔ − − <
 ÷
 
⇔ − − <
Ta có:
2 2 2 2
2log 3 log 9 log 2 1 2log 3 1 0= > = ⇒ − >
2 2 2
log 3 log 4 2 log 3 2 0< = ⇒ − <
Suy ra:
( ) ( )
2 2
2log 3 1 log 3 2 0− − <
đúng hay
2 3
5

log 3 log 2
2
+ <
(3)
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 21 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
Từ (1) và (3) suy ra
2 3
5
2 log 3 log 2
2
< + <
.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng nếu
0x >
thì
( ) ( )
2
9 4.3 1 1 3 0
x x x
x x− + + + >
Giải
Giả thiết
0x
>
nên chia hai vế của bất phương trình đã cho cho số dương
.3
x
x
:

( ) ( )
2
1 1 1 1
9 4.3 1 1 0 3 4 0
3 3
x x x
x x
x x
x x
   
− + + + > ⇔ − + + + >
 ÷  ÷
   
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương
1
3 ;
3
x
x
ta được:
1 1
3 2 3 . 2
3 3
x x
x x
+ > =
(1)
Dấu bằng không xảy ra vì giả sử điều đó xảy ra ta có:
1
3 0

3
x
x
x= ⇔ =

Điều này trái với giả thiết
0x
>
.
Tương tự, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương
1
;x
x
ta được:
1 1
2 . 2x x
x x
+ > =
(2)
Trong trường hợp này dấu bằng cũng không xảy ra.
Cộng hai vế của hai bất phương trình (1) và (2) ta được:
1 1 1 1
3 4 3 4 0
3 3
x x
x x
x x
x x
       
+ + + > ⇔ − + + + >

 ÷  ÷  ÷  ÷
       
Vậy:
( ) ( )
2
9 4.3 1 1 3 0
x x x
x x− + + + >
Ví dụ 8: Chứng minh với mọi số
, 1a b ≥
ta có bất đẳng thức:
( )
1
ln ln ln
2 2
a b
a b
+
+ ≤
.
Giải
Từ giả thiết ta có:
, 1 ln 0;ln 0;ln 0
2
a b
a b a b
+
 
≥ ⇒ ≥ ≥ ≥
 ÷

 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm
ln ;lna b
ta có:
ln ln 2 ln .lna b a b+ ≥
Suy ra:
( )
( )
2
2 ln ln ln ln 2 ln .ln ln lna b a b a b a b+ ≥ + + = +
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 22 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
Do
( )
( )
( ) ( )
2
1
ln ln ln ln
2 2 2
1 1
ln ln ln ln ln ln
2 4 2 2
a b a b
ab ab a b
a b a b
a b a b
+ +
 
≥ ⇒ ≥ = +

 ÷
 
+ +
   
⇒ ≥ + ⇒ + ≤
 ÷  ÷
   
Dấu bằng xảy ra khi và chi khi:
ln lna b a b= ⇔ =
Ví dụ 9: Chứng minh rằng
x
∀ ∈
R
ta có
1
1
sin cos
2
2 2 2
x x
−
+ ≥
. Dấu bằng xảy ra khi nào?
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm
sin cos
2 ;2
x x
ta có:
sin cos

sin cos sin cos
2
2 2 2 2 .2 2.2
x x
x x x x
+
+ ≥ =
Do
sin cos 2 cos - 2
4
x x x
π
 
+ = ≥ −
 ÷
 
nên
sin cos 2 sin cos 2 2
1
sin cos
2 2 2 2 2
2 2 2.2 2.2 2 2 2
x x x x
x x
+ +
− − −
≥ ⇒ ≥ ⇒ + ≥
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
sin cos
2 2

2 5
sin cos 2 ,
2 4
cos 1
4
x x
x x x k k Z
x x
π
π
π

=

⇔ = = − ⇔ = + ∈

 
− = −
 ÷

 

Vậy
1
1
sin cos
2
2 2 2
x x
−

+ ≥
và dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
5
2 ,
4
x k k Z
π
π
= + ∈
.
Ví dụ 10: Cho
, ,a b c
là độ dài ba cạnh của tam giác vuông
ABC
trong đó
c
là cạnh huyền sao
cho:
1, 1a b c≠ ± ≠
. Chứng minh rằng:
log log 2log .log
c b c b c b c b
a a a a
+ − + −
+ =
Giải
Áp dụng định lý Pytagore ta có:

( ) ( )
2 2 2

a c b c b c b= − = + −
Do
1, 1a b c≠ ± ≠
nên:
( ) ( ) ( ) ( )
2
log log 2 log log
1 1
2 log log 2log .log
log log
a a a a
c b c b c b c b
c b c b
a c b c b c b c b
a a a a
a a
+ − + −
− +
= + − ⇔ = + + −
⇔ = + ⇔ + =
III. BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
sin cos
5 5
x x
y = +
Bài 2: Chứng minh rằng nếu
, 0a b >

và
a b c
+ =
thì
2 2 2
3 3 3
a b c+ >
Bài 3: Chứng minh rằng
1999 2000
log 2000 log 2001>
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 23 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
Bài 4: Chứng minh rằng
, 0a b∀ >
và
; 1a b ≠
ta có
log log 2
a b
b a+ ≥
Bài 5: Chứng minh rằng
135 45
log 675 log 75>
Bài 6: So sánh
a.
2 1
9
2log 5 log 9
2
+

với
8
b.
2 4
5
log 3 log
11
4
+
với
18
Bài 7: Chứng minh rằng nếu
, ,a b c
lập thành một cáp số nhân thì
1 1 1
, ,
log log log
a b c
N N N
cũng
lập thành một cấp số cộng.
Bài 8: Cho hai số dương
,a b
thỏa mãn
2 2
7a b ab+ =
. Chứng minh rằng
( )
7 7 7
1

log log log
3 2
a b
a b
+
= +
. Chứng minh rằng đẳng thức trên vẫn đúng khi thay đổi cơ số 7
bởi một cơ số tùy ý
( )
0 1c< ≠
Bài 9: Chứng minh đẳng thức
log log log
log log log
a a b
c b c
N N N
N N N
−
=
−
trong đó
, ,a b c
là các số dương lập
thành một cấp số nhân.
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
a.
2
2 2
log logy x x= − +
b.

1 2
1 1
2 2
log 3 .log 3
x x
y
− +
=
c.
P xy=
nếu
2 2
5 5
log log 1x y+ =
d.
2 2
sin cos
1 1
3 3
log 2 . log 2
x x
y y= =
DẠNG IV: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ
LOGARIT
I. PHƯƠNG PHÁP CHUNG.
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số:
Thường áp dụng các phép tính về lũy thừa hay phép tính về logarit để biến đổi.
Để đồng hóa cơ số hoặc để khử biểu thức mũ hoặc logarit chứa ẩn số, ta thường lấy
mũ hoặc logarit hai vế. Ta áp dụng các công thức sau:
Với

0 1a< ≠
ta có:
+
M N
a a M N= ⇔ =
+
log log 0
a a
M N M N= ⇔ = >
+
log
M
a
N M N a= ⇔ =
Ngoài ra ta cũng cần chú ý đến một số tính chất sau:
+
log
a
b
có nghĩa
0
0; 1
b
a a
>

⇔

> ≠


GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 24 SVTH: Phạm Ngọc Tài
Tiểu luận Tốt nghiệp Các vấn đề về Mũ và Logarit
+
log
log
log
c
a
c
b
b
a
=
+
log log
n
m
a
a
m
b b
n
=
+
2
log 2 log ;
k
a a
b k b k= ∈ Z
Ví dụ 1: Giải phương trình:

2
5 625
x
=
Giải
Ta có:
2 2 4
5 625 5 5 2 4 2
x x
x x= ⇔ = ⇔ = ⇔ =
Vậy nghiệm của phương trình là
2x =
Ví dụ 2: Giải phương trình
( )
2 1
16 8
x
x
−
=
Giải
Ta có:
( ) ( )
( )
2 1 6 1
4
3
16 8 2 2 4 6 1 10 6
5
x x

x x
x x x x
− −
= ⇔ = ⇔ = − ⇔ = ⇔ =
Vậy nghiệm của phương trình là
3
5
x =
Ví dụ 3: Giải phương trình:
1
2
2
log log 0
a
a x
x
a
−
− =
Giải
Ta có:
( )
2
1
2
2 1
log log
2
log log 0 ; 0 1
0 2

a a
a
a x
a x
x x a a
a x
a
x a
−

=
−

− = ⇔ ⇔ = < ≠


< <

Vậy nghiệm của phương trình là
x a=
Ví dụ 4: Giải phương trình:
1 1 3
5 5 2 2
x x x x+ + +
− = +
Giải
Ta có:
1 1 3
1
5 5 2 2 5.5 5 2.2 8.2 4.5 10.2

5 5
1
2 2
x x x x x x x x x x
x
x
+ + +
− = + ⇔ − = + ⇔ =
   
⇔ = ⇔ =
 ÷  ÷
   
Vậy nghiệm của phương trình là
1x =
Ví dụ 5: Giải phương trình:
2 4 8
log log log 11x x x+ + =
Giải
Phương trình đã cho tương đương với:
GVHD: Cô Trần Thị Thanh Thúy Trang 25 SVTH: Phạm Ngọc Tài