PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT
Dạng 1. Phương trình cơ bản
a) Phương trình mũ cơ bản có dạng:
x
a m=
, trong đó
0, 1a a> ≠
và m là số đã cho.
• Nếu
0m ≤
, thì phương trình
x
a m=
vô nghiệm.
• Nếu
0m >
, thì phương trình
x
a m=
có nghiệm duy nhất
log
a
x m=
.
b) Phương trình lôgarit cơ bản có dạng:
log
a
x m=
, trong đó m là số đã cho.
• Phương trình có điều kiện xác định là x > 0 (
0, 1a a> ≠

).
• Với mọi
m∈ ¡
, phương trình
log
a
x m=
có nghiệm duy nhất
m
x a=
.
VD1. Giải các phương trình sau:
1.
1 1
5 6.5 3.5 52
x x x+ −
+ − =
2.
1 2 3 1 2
3 3 3 9.5 5 5
x x x x x x+ + + + +
+ + = + +
3.
1
3 .2 72
x x+
=
4.
− + + + + +
+ = +

2 2 2
3 2 6 5 2 3 7
4 4 4 1
x x x x x x
5.
− − +
− + − +
2 1 1 1
5.3 7.3 1 6.3 9
x x x x
VD2. Giải các phương trình sau:
1.
( )
3
log 2 1x x + =
2.
( )
( )
2
2 2
log 3 log 6 10 1 0x x− − − + =
3.
( ) ( )
log 15 log 2 5 2x x+ + − =
4.
( )
1
2
log 2 5
x

x
+
− =
Bài tập
Giải các phương trình sau:
1.
1 2
3 2.3 25
x x+ −
− =
2.
1 2 2
3.2 2.5 5 2
x x x x+ − −
+ = +
3.
2
log 1 log log 2
4 6 2.3
x x x+ +
− =
4.
3 1
4 7 16
0
7 4 49
x x−
   
− =
 ÷  ÷

   
5.
2 3
2.5 5 375 0
x x+ +
− + =
6.
5 7
3 2 5 2 32
x x− −
− =
7.
1 2 2 1
1 1
2.5 .4 .5 4
5 4
x x x x+ + + +
− − =
8.
( ) ( )
2 1 1 1
3 10 6 4.10 5 10 6
x x x x x+ + − −
− + = −
9.
( ) ( )
5 3
3
log 2 log 2log 2x x x− = −
10.

( ) ( )
2 2
1
log log 1 4 2
4
x
x x
x
−
+ − + =
+
11.
2
log 16 log 7 2
x
x
− =
12.
( )
( )
2
8 8
4
2log 2 log 2 1
3
x x x+ − + =
Dạng 2. Phương pháp đưa về cùng cơ số
Sử dụng công thức:
•
a a

α β
α β
= ⇔ =
.
•
( )
0
log log
a a
b c
b c
b c
>

= ⇔

=


hoÆc > 0
VD1. Giải các phương trình sau:
1.
2 1 1
5 7 175 35 0
x x x+ +
+ − − =
2.
2 1 1
1 1
3.4 .9 6.4 .9

3 2
x x x x+ + +
+ = −
3.
3 2 3 4
2 1 2 1
.2 2 .2 2
x x
x x
x x
− + − +
+ −
+ = +
4.
( )
2
2 2
1
1
4 2 2 1
x
x x x
+
+ −
+ = +
VD2. Giải các phương trình sau:
1.
16 64
log 2.log 2 log 2
x x x

=
2.
2
5 5
5
log log 1
x
x
x
+ =
3.
2 3 4 20
log log log logx x x x+ + =
4.
( )
( )
( )
1log2
2log
1
13log
2
3x
2
++=+−
+
xx
5.
( )
2

2
9 3
3
1 1
log 5 6 log log 3
2 2
x
x x x
−
− + = + −
6.
( ) ( )
2 2
2 2 2
log 3 2 log 7 12 3 log 3x x x x+ + + + + = +
VD3. Giải phương trình sau:
( ) ( ) ( )
8
4 2
2
1 1
log 3 log 1 log 4
2 4
x x x+ + − =
Bài tập
Giải các phương trình sau:
1.
2 3
3 3
1

9 27 81
3
x
x x x
−
+
 
=
 ÷
 
2.
4 2 2 4
log log log log 2x x+ =
3.
1 2 1
3.13 13 2 5.2
x x x x+ + +
+ − =
4.
( )
2
5
5
1
log 2 3 log
3
x
x x
x
−

+ − =
+
5.
( )
( )
2
2
4 4 4
log 1 log 1 log 2x x x− − − = −
6.
( )
( )
2
5 5
log 6 4 2log 4x x x− − = +
7.
( )
− = −
5
1
2 log 1 log log
2
x x x
8.
( )
= + −
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1x x x
9.

( ) ( )
2 3
4 8
2
log 1 2 log 4 log 4x x x+ + = − + +
Dạng 3. Phương pháp đặt ẩn phụ
VD1. Giải các phương trình sau:
1.
2 2
2 1 2
4 5.2 6 0
x x x x+ − − + −
− − =
2.
3 2cos 1 cos
4 7.4 2 0
x x+ +
− − =
3.
( ) ( ) ( )
26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1
x x x
+ + + − − =
4.
( ) ( )
2 3 2 3 14
x x
− + + =
5.
3 1

5 3
5.2 3.2 7 0
x
x
−
−
− + =
6.
3
3 1
8 1
2 6 2 1
2 2
x x
x x−
   
− − − =
 ÷  ÷
   
7.
27 12 2.8
x x x
+ =
VD2. Giải các phương trình sau:
1.
( )
2 1
log 1 log 16
x
x

+
+ =
2.
( )
+ = +log 6.5 25.20 log 25
x x
x
3.
2 2
2
log .log (4 ) 12
x
x x =
4.
8
2
4 16
log 4
log
log 2 log 8
x
x
x x
=
5.
( ) ( )
1
2 2
log 4 4 .log 4 1 3
x x+

+ + =
6.
( ) ( )
4 2 2 4
log log log log 2x x+ =
7.
( )
2
25
log 125 .log 1
x
x x =
8.
3 3
1
log 3 log log 3 log
2
x
x
x x+ = + +
9.
( )
3 9
3
4
2 log log 3 1
1 log
x
x
x

− − =
−
10.
( )
2 3
log log 2x x= +
Bài tập
Giải các phương trình sau:
1.
9 10.3 9 0
x x
− + =
2.
2 2
4 6.2 8 0
x x
− + =
3.
2 2 2
15.25 34.15 15.9 0
x x x
− + =
4.
2 2
sin cos
9 9 10
x x
+ =
5.
( ) ( )

2 3 2 3 4
x x
+ + − =
6.
3
5
log log 3
2
x
x + =
7.
82
3loglog
2 2 5 0
xx
x x
−
+ − =
8.
1 2
5 5.0,2 26
x x− −
+ =
9.
25 12.2 6,25.0,16 0
x x x
− − =
10.
1 3
3

64 2 12 0
x x
+
− + =
11.
log log5
25 5 4.
x
x= +
12.
1
4 4 3.2
x x x x+ +
− =
13.
2 2
sin cos
2 5.2 7
x x
+ =
14.
2
cos2 cos
4 4 3
x x
+ =
15.
(
)
(

)
4 15 4 15 8
x x
− + + =
16.
(
)
(
)
cos cos
5
7 4 3 7 4 3
2
x x
+ + − =
17.
( ) ( )
7 3 5 7 3 5 14.2
x x
x
+ + − =
18.
( )
2
25
5
log 5 1
log 7
7 0
x

x
−
− =
19.
3
log 3 .log 1 0
x
x x + =
20.
8
2
4 16
log 4
log
log 2 log 8
x
x
x x
=
21.
( )
2 5
1 2log 5 log 2
x
x
+
+ = +
22.
2 2
log log 5

5 2. 15
x
x+ =
23.
( )
( )
3
log log log log 2 0x x+ − =
24.
( ) ( )
1
3
log 3 1 .log 3 3 6
x x+
− − =
25.
9 8.3 7 0
x x
− + =
26.
2 1 1
1
.4 21 13.4
2
x x− −
+ =
27.
1 1 1
6.9 13.6 6.4 0
x x x

− + =
28.
3 3 3
25 9 15 0
x x x
− + =
29.
( )
2
log 9 2 3
x
x− = −
30.
(
)
(
)
2 3 2 3 2
x x
x
+ + − =
Dạng 4. Phương pháp lôgarit
VD. Giải các phương trình
1.
4 1 3 2
2 1
5 7
x x+ +
   
=

 ÷  ÷
   
2.
2
5 .3 1
x x
=
3.
2
3 .8 6
x
x
x+
=
Bài tập
Giải các phương trình sau:
1.
1 2 1
4.9 3 2
x x− +
=
2.
2
2
2 .3 1,5
x x x−
=
3.
2 1
1

5 .2 50
x
x
x
−
+
=
4.
3
2
3 .2 6
x
x
x+
=
5.
3 2
2 3
x x
=
Dạng 5. Phương pháp sử dụng tính đồng biến và nghịch biến của hàm số
VD1. Giải các phương trình:
1.
2
2 1 3
x
x
= +
2.
3 2

2 8 14
x
x x
−
= − + −
VD2. Giải các phương trình:
1.
2
log 3x x= −
2.
( )
2
2 2
log 1 log 6 2x x x x+ − = −
VD3. Giải các phương trình:
1.
( )
25 2 3 5 2 7 0
x x
x x− − + − =
2.
3
8 .2 2 0
x x
x x
−
− + − =
VD4. Giải phương trình:
( )
2 3 2

.3 3 12 7 8 19 12
x x
x x x x x+ − = − + − +
VD5. Giải phương trình:
( )
2 3
log 1 logx x+ =
VD6. Giải phương trình:
( )
+ −
+ =
− +
2 1 3 2
2
3
8
2 2
log 4 4 4
x x
x x
Bài tập
Giải các phương trình sau:
1.
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
2 log 1 4 1 log 1 16 0x x x x+ + + + + − =
2.
4 9 25
x x x

+ =
3.
( )
2 2
3.25 3 10 5 3 0
x x
x x
− −
+ − + − =
4.
( )
9 2 2 .3 2 5 0
x x
x x+ − + − =
5.
( )
( )
2
log 6 4 log 2x x x x+ − − = + +
6.
( ) ( ) ( ) ( )
2
3 3
3 log 2 4 2 log 2 16x x x x+ + + + + =