Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THÔNG QUA KHAI THÁC ỨNG DỤNG
CỦA VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN

LĨNH VỰC: TỐN HỌC

NĂM HỌC 2022 - 2023


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ HƯNG NGUYÊN
----------

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Đề tài:

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN
TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
THÔNG QUA KHAI THÁC ỨNG DỤNG
CỦA VECTƠ TRONG KHƠNG GIAN
LĨNH VỰC: TỐN HỌC

Nhóm tác giả

MỤC LỤC
PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ........................................................................................ 1
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ................................................................................... 1
II. TÍNH MỚI, ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI......................................................... 2
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU ......................................................................... 2
VI. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU ....................................................................... 3
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU .................................................................. 3
VI. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI ........................................................................... 3
PHẦN II. NỘI DUNG .......................................................................................... 4
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN ........................................................................................... 4
1. Tư duy ......................................................................................................... 4
1.1. Khái niệm tư duy ................................................................................... 4
1.2. Đặc điểm của tư duy .............................................................................. 4
1.3. Tư duy toán học..................................................................................... 4
1.4. Năng lực tư duy toán học....................................................................... 4
2. Năng lực tư duy và lập luận toán học ........................................................... 4
2.1. Khái niệm năng lực lập luận toán học .................................................... 4
2.2. Biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học ............................... 5
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN ...................................................................................... 5
1. Thực trạng giảng dạy của giáo viên ............................................................. 5
2. Thực trạng học tập của học sinh................................................................... 6
III. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG
LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TỐN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG
HỌC PHỔ THƠNG THƠNG QUA KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA
VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN ....................................................................... 6
1. Củng cố kiến thức liên quan và tiếp cận các dạng tốn hình học khơng gian
bằng phương pháp vectơ từ đó hồn thiện phương pháp giải mỗi dạng ................. 7
1.1. Một số kiến thức về vectơ trong không gian .......................................... 7
1.2. Phương pháp chung để giải các bài toán hình học khơng gian bằng

phương pháp vectơ ....................................................................................... 8
1.3. Một số bài tốn hình học khơng gian giải bằng phương pháp vectơ ....... 8
2. Rèn luyện các thao tác tư duy cho học sinh thơng qua giải tốn hình
học khơng gian bằng phương pháp vectơ ....................................................... 11
2.1. Khai thác phương pháp vectơ để giải các bài tốn hình học khơng
gian thuần tuý ............................................................................................. 12
2.2. Khai thác phương pháp vectơ để giải bài tốn cực trị và bất đẳng
thức trong hình học khơng gian .................................................................. 21
2.2.1. Giải bài tốn cực trị và bất đẳng thức trong hình học khơng
gian nhờ đánh độ dài của vectơ ............................................................... 21
2.2.2. Giải bài toán cực trị và bất đẳng thức trong hình học khơng
gian thơng qua đánh giá tích vơ hướng .................................................... 25


2.2.3. Giải bài toán cực trị và bất đẳng thức trong hình học khơng
gian nhờ khai thác tính chất thẳng hàng và đồng phẳng .......................... 29
3. Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thơng qua
hướng dẫn học sinh sáng tác bài tốn mới...................................................... 32
4. Phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn học cho học sinh thơng qua
vận dụng phương pháp chuyển đổi ngơn ngữ ................................................. 40
4.1. Toạ độ hố chuyển bài tốn hình học sang bài tốn toạ độ .................. 41
4.2. Toạ độ hoá chuyển bài toán đại số sang bài toán toạ độ ....................... 43
5. Khảo sát sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp đề xuất .................. 44
5.1. Mục đích khảo sát................................................................................ 44
5.2. Nội dung và phương pháp khảo sát ...................................................... 44
5.2.1. Nội dung khảo sát ......................................................................... 44
5.2.2. Phương pháp khảo sát và thang đánh giá ....................................... 44
5.3. Đối tượng khảo sát .............................................................................. 45
5.4. Kết quả khảo sát về sự cấp thiết và tính khả thi của các giải pháp
đã đề xuất ................................................................................................... 45

5.4.1. Sự cấp thiết của các giải pháp đã đề xuất....................................... 45
5.4.2. Tính khả thi của các giải pháp đề xuất ........................................... 46
6. Thực nghiệm sư phạm ............................................................................... 47
6.1. Mục đích thực nghiệm sư phạm ........................................................... 47
6.2. Nhiệm vụ thực nghiệm sư phạm .......................................................... 47
6.3. Phương pháp thực nghiệm sư phạm ..................................................... 47
6.3.1. Thời gian, đối tượng, địa bàn thực nghiệm .................................... 47
6.3.2. Nội dung thực nghiệm sư phạm ..................................................... 47
6.3.3. Nội dung kiểm tra đánh giá ........................................................... 48
6.4. Đánh giá về kết quả thực nghiệm......................................................... 48
6.4.1. Một số nhận xét chung .................................................................. 48
6.4.2. Phân tích định tính ........................................................................ 48
6.4.3. Phân tích định lượng ..................................................................... 49
PHẦN III. KẾT LUẬN ...................................................................................... 51
I. KẾT LUẬN ................................................................................................... 51
1. Tính mới của đề tài .................................................................................... 51
2. Tính khoa học ............................................................................................ 51
3. Tính hiệu quả và phạm vi áp dụng ............................................................. 51
4. Hướng phát triển của đề tài ........................................................................ 52
II. NHỮNG KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT ................................................................ 52
1. Đối với giáo viên ....................................................................................... 52
2. Đối với học sinh ........................................................................................ 52
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


DANH MỤC TỪ VIẾT TẮT
Từ viết tắt

TT

Từ đầy đủ

1

ĐC

Đối chứng

2

GV

Giáo viên

3

HHKG

Hình học khơng gian

4

HS

Học sinh

5

HSG

Học sinh giỏi

6

SGK

Sách giáo khoa

7

THPT

Trung học phổ thông

8

TN

Thực nghiệm


DANH MỤC BẢNG, BIỂU
Bảng
Bảng 1. Khảo sát tính cấp thiết của giáo viên mơn Tốn và học sinh Trường
THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên ............................................................. 45
Bảng 2. Đánh giá sự cấp thiết của các giải pháp đề xuất ....................................... 45
Bảng 3. Khảo sát tính khả thi của giáo viên mơn Toán và học sinh lớp 12A1
và 12A2 trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên ................................... 46
Bảng 4. Đánh giá tính khả thi của các giải pháp đề xuất ....................................... 46

Bảng 5. Phân bố tần số kết quả của bài kiểm tra lớp thực nghiệm (TN) và lớp
đối chứng (ĐC) .................................................................................................... 49
Bảng 6. Phân bố tần số (ghép lớp) kết quả của bài kiểm tra .................................. 49
Bảng 7. Phân bố (ghép lớp) tần suất điểm kiểm tra............................................... 49
Biểu
Biểu đồ 1. Biểu đồ hình cột phân bố tần số điểm bài kiểm tra .............................. 50
Biểu đồ 2. Biểu đồ phân bố tần suất điểm kiểm tra ............................................... 50


PHẦN I. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Mục tiêu chung của giáo dục phổ thông 2018 và bộ mơn Tốn nói riêng là
giúp học sinh phát triển tồn diện về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ
năng cơ bản, phát triển năng lực cá nhân, tính năng động và sáng tạo, hình thành
nhân cách con người Việt Nam xã hội chủ nghĩa... Theo đó, chương trình giáo dục
phổ thơng bảo đảm phát triển phẩm chất và năng lực người học thông qua nội dung
giáo dục với những kiến thức, kỹ năng cơ bản; chú trọng thực hành, vận dụng kiến
thức, kỹ năng đã học để giải quyết vấn đề trong học tập và đời sống. Điều đó địi
hỏi học sinh khơng chỉ cần phải tích cực chủ động tiếp thu lĩnh hội kiến thức mới
mà còn phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức đã học biết kết nối những kiến thức
cũ để chiếm lĩnh kiến thức mới. Vì lẽ đó việc đổi mới phương pháp dạy học trong
dạy học mơn Tốn càng trở nên quan trọng bức thiết.
“Năng lực tư duy và lập luận toán học” là một trong ba thành phần cốt lõi
biểu hiện năng lực toán học của một học sinh. Đây cũng là năng lực địi hỏi q
trình giáo dục cần phải hình thành cho các em nếu muốn đáp ứng đầy đủ các yêu
cầu của chương trình giáo dục phổ thơng mới nói chung và đổi mới trong mơn
Tốn nói riêng.
Chương trình giáo dục phổ thơng mơn Tốn (2018) xác định năng lực tư duy
và lập luận toán học là một trong những yếu tố cốt lõi của năng lực toán học với
yêu cầu: “Thực hiện được tương đối thành thạo các thao tác tư duy, đặc biệt phát

hiện được sự tương đồng và khác biệt trong những tình huống tương đối phức tạp
và lí giải được kết quả của việc quan sát; Sử dụng được các phương pháp lập luận,
quy nạp và suy diễn để nhìn ra những cách thức khác nhau trong việc giải quyết
vấn đề; Nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề. Giải thích,
chứng minh, điều chỉnh được giải pháp thực hiện về phương diện toán học” (Bộ
Giáo dục và Đào tạo, 2018).
Trong chương trình mơn Tốn trung học phổ thơng, Hình học khơng gian
(HHKG) đóng một vai trị quan trọng. Nó thường xuất hiện là câu khó trong đề thi
học kỳ lớp 11, thi học sinh giỏi, cũng như những câu vận dụng, vận dụng cao trong
đề thi tốt nghiệp THPT. Không những thế mà đây là chủ đề đa dạng về dạng tốn
hay, có nhiều cách giải. Đặc biệt nhiều bài toán HHKG giải bằng cách áp dụng
kiến thức vectơ thể hiện rõ sự ưu điểm và độc đáo.
Khai thác ứng dụng của vectơ trong không gian để giải toán là một cách
nghiên cứu giải bài tập hình học bằng phương pháp vectơ là sự tổng hợp, phối hợp
nhịp nhàng các năng lực trí tuệ như: quan sát, ghi nhớ, óc tưởng tượng và chủ yếu
là năng lực tư duy mà đặc trưng là năng lực tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo, vận
dụng những hiểu biết đã học để giải quyết vấn đề được đặt ra một cách tốt nhất.
Góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho HS.
1


Mặc dù tầm quan trọng của kiến thức về vectơ trong khơng gian lớn như thế,
nhưng nó khơng được trình bày kỹ trong SGK. Hơn nữa ở SGK, sách bài tập và cả
các tài liệu tham khảo cũng chưa đưa ra được phương pháp cụ thể cho từng phần
mà chỉ đưa ra một số ví dụ rồi giải. Chính vì vậy HS không được học một cách bài
bản, không xâu chuỗi được kiến thức trong khi nội dung kiến thức chun đề này
xun suốt trong chương trình mơn Tốn ở nhà trường phổ thơng.
Với những lí do trên, chúng tơi lựa chọn đề tài: “Phát triển năng lực tư duy
và lập luận toán học cho học sinh trung học phổ thông thông qua khai thác ứng
dụng của vectơ trong không gian”.

II. TÍNH MỚI, ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI
Thứ nhất, đề tài đã sử dụng cách tiếp cận hoàn toàn mới đó là khai thác kiến
thức vectơ để giải các bài toán HHKG theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập
luận toán học cho HS.
Thứ hai, đề tài đã trình bày cơ sở lý luận về tư duy, năng lực tư duy và lập
luận toán học; hệ thống hoá các kiến thức về vectơ , trình bày được phương pháp
chung để giải các bài toán HHKG bằng phương pháp vectơ .
Thứ ba, đề tài đã xây dựng được lớp các bài toán HHKG và định hướng xử
lý lớp các bài toán HHKG bằng phương pháp vectơ . Đặc biệt khai thác kiến thức
về vectơ để giải các bài toán về cực trị, bất đẳng thức trong HHKG và tập luyện
cho HS thói quen khai thác đề bài để sáng tạo bài toán mới giúp các em tự tin hơn
trong học tập.
Thứ tư, luyện tập cho HS thói quen suy nghĩ, quan sát, lập luận để HS phát
huy trí thơng minh, óc sáng tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, tư duy độc lập và
thông qua việc thảo luận, tranh luận mà HS phát triển khả năng nói lưu lốt, biết lí
luận chặt chẽ khi giải tốn.
Thứ năm, đề tài đã góp phần phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học
cho HS. Đặc biệt đối với các em học sinh lớp 12 có thêm một tài liệu hữu ích để ơn
thi tốt nghiệp THPT năm học 2022 - 2023 và học sinh giỏi cấp tỉnh hằng năm.
III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
Điều tra thực trạng về tình hình dạy và học vấn đề vectơ trong không gian ở
trường THPT.
Nghiên cứu các kiến thức nền tảng liên quan đến vấn đề vectơ trong không
gian qua SGK và các tài liệu tham khảo.
Triển khai đề tài trong quá trình dạy học bằng cách lựa chọn các kiến thức
và bài toán HHKG giải bằng phương pháp sử dụng kiến thức vectơ trong khơng
gian phù hợp đưa vào các tiết học chính khoá, các tiết học thêm buổi chiều và các
buổi bồi dưỡng HSG.
2

Kiểm tra, đánh giá, trao đổi với HS, và đồng nghiệp qua đó thấy được sự
hiệu quả của việc áp dụng đề tài như thế nào và đồng thời điều chỉnh việc dạy học
nội dung vectơ cho phù hợp nhằm nâng cao chất lượng khi dạy học chủ đề này nói
riêng cũng như học mơn tốn nói chung.
VI. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
- Học sinh bậc trung học phổ thông.
- Giáo viên dạy tốn bậc trung học phổ thơng.
- Tài liệu về phương pháp dạy học, hình học khơng gian.
V. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Phương pháp phân tích - tổng hợp
- Phương pháp điều tra, phân tích.
- Phương pháp thống kê, xử lí số liệu
- Phương pháp phỏng vấn.
- Phương pháp thực nghiệm.
VI. CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI
Phần I. Đặt vấn đề.
Phần II. Nội dung.
Phần III. Kết luận

3


PHẦN II. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Tư duy
1.1. Khái niệm tư duy
Tư duy là sản phẩm cao nhất của cái vật chất được tổ chức một cách đặc biệt
là bộ não, q trình phản ánh tích cực thế giới khách quan trong các khái niệm,
phán đốn, lí luận,… (dẫn theo [3]).

Trong Đề tài này, chúng tôi thống nhất với quan điểm về tư duy của tác
giả Phạm Minh Hạc trong [2]: “Tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những
thuộc tính bản chất, những mối liên hệ và quan hệ bên trong có tính quy luật
của sự vật và hiện tượng trong hiện thực khách quan mà trước đó chủ thể nhận
thức chưa biết”.
1.2. Đặc điểm của tư duy
Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp những hồn cảnh có vấn đề;
Tư duy có tính khái qt;
Tư duy có tính gián tiếp;
Q trình tư duy là một hành động trí tuệ: q trình tư duy được diễn ra
bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định. Có rất nhiều thao tác
trí tuệ tham gia vào một quá trình tư duy cụ thể với tư cách một hành động trí tuệ:
phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, khái quát hoá,... (dẫn theo [4]).
1.3. Tư duy tốn học
Trong Đề tài này, chúng tơi sử dụng định nghĩa tư duy toán học: Tư duy
toán học được hiểu là hình thức biểu lộ tư duy biện chứng trong quá trình con
người nhận thức khoa học tốn học hay trong q trình áp dụng tốn học vào các
khoa học khác như kĩ thuật, kinh tế,… Tư duy tốn học có các tính chất đặc thù
được quy định bởi tính chất của khoa học tốn học vì có sự áp dụng các phương
pháp tốn học để nhận thức các hiện tượng thế giới hiện thực, cũng như bởi chính
các phương thức chung của tư duy mà nó sử dụng.
1.4. Năng lực tư duy toán học
Năng lực tư duy toán học là tổng hợp những khả năng cá nhân về ghi nhớ,
tái hiện, trừu tượng hóa, khái quát hóa, tưởng tượng, suy luận - giải quyết vấn
đề, xử lý và linh cảm trong quá trình phản ánh, phát triển tri thức và vận dụng
vào thực tiễn.
2. Năng lực tư duy và lập luận toán học
2.1. Khái niệm năng lực lập luận tốn học
Mơn Tốn vừa có tính trừu tượng cao và tính thực tiễn phổ dụng, vừa có tính
logic và tính thực nghiệm; mơn Tốn có vai trị quan trọng trong phát triển năng

lực trí tuệ cho HS:
4


lý thuyết đã học. Khơng ít giáo viên chưa thực sự quan tâm để giúp HS làm nổi bật
lên được mối quan hệ giữa các bài tập này với bài tập khác và chưa giúp học sinh
xâu chuỗi các kiến thức với nhau.
- GV cũng chưa dành thời gian thỏa đáng để HS suy nghĩ về vấn đề cần giải
quyết. Nhiều GV cịn khơng có thói quen để HS tự do tranh luận. Các hoạt động
trao đổi, thảo luận được tiến hành rất nhanh, rất gấp gáp, dẫn đến không kích thích
được HS tích cực suy nghĩ, tìm nhiều phương án, nhiều giải pháp và giải pháp độc
đáo cho vấn đề. Do đó khơng phát huy được các yếu tố để rèn luyện và phát triển
tư duy và lập luận toán học cho HS.
2. Thực trạng học tập của học sinh
Thông qua khảo sát điều tra HS học tập tại trường và các trường bạn trên địa
bàn tỉnh huyện Hưng Nguyên và vùng phụ cận chúng tôi thu được các thơng tin:
- Rất nhiều HS ngại học hình học khơng gian, phần lớn học sinh yếu về kiến
thức vecto; hạn chế về năng lực tư duy và lập luận toán học: nhìn các đối tượng
tốn học một cách rời rạc, chưa thấy được mối liên hệ giữa các yếu tố tốn học,
thường yếu trong việc chuyển đổi ngơn ngữ để quy lạ về quen, không linh hoạt
trong điều chỉnh hướng suy nghĩ khi gặp trở ngại, quen với kiểu suy nghĩ rập
khn do đó việc kiến tạo nên hệ thống tri thức mới trên nền tri thức cũ bị hạn chế.
- Hầu hết HS thường có thói quen giải xong một bài tốn xem như là mình
đã hồn thành cơng việc được giao và dừng lại ở đó, rất ít HS nào biết chủ động,
khai thác, tìm tịi, suy nghĩ, vận dụng nó để giải một số bài tốn khác. Vì vậy khi
đứng trước một bài tốn mới, bài tốn chưa có thuật giải hay những bài tốn nâng
cao HS thường có tâm lí sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả năng của mình, lúng túng
chưa biết cách chọn lọc các kiến thức và liên kết những kiến thức cũ để giải quyết
vấn đề mới có liên quan.
- Đa số HS có kiến thức rất yếu và khơng hứng thú học chủ đề vectơ vì sự

trừu tượng và tâm lý nghĩ rằng chủ đề này rất khó nên khơng thể chinh phục được.
- Đứng trước một bài toán HHKG học sinh thường không ưu tiên lựa chọn
công cụ vectơ để khai thác, HS lúng túng không biết bắt đầu từ đâu và đi theo
hướng nào.
Vậy làm thế nào để khắc phục được thực trạng đó? Trong khn khổ một
sáng kiến kinh nghiệm, chúng tôi mạnh dạn đề xuất một số giải pháp cụ thể đã được
áp dụng có hiệu quả tại đơn vị - trường THPT Nguyễn Trường Tộ Hưng Nguyên.
III. MỘT SỐ BIỆN PHÁP SƯ PHẠM GÓP PHẦN PHÁT TRIỂN NĂNG
LỰC TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH TRUNG HỌC
PHỔ THÔNG THÔNG QUA KHAI THÁC ỨNG DỤNG CỦA VECTƠ
TRONG KHÔNG GIAN
Trong nội dung này chúng tôi sẽ củng cố các kiến thức liên quan đến vectơ ,
định hướng giúp HS vận dụng các kiến thức về vectơ để giải một số bài toán
6


HHKG và tìm cách khai thác mở rộng thành các bài toán mức độ vận dụng, vận
dụng cao; giúp HS nắm được quy trình tổng thể, phương pháp giải một số bài tốn
HHKG bằng phương pháp vectơ. Thơng qua đó giúp học sinh có thêm một phương
pháp để giải các bài tốn HHKG từ mức độ thơng hiểu đến mức độ vận dụng, vận
dụng cao có trong chương trình Tốn THPT và trong cấu trúc đề thi TNTHPT
cũng như trong đề thi HSG. Qua việc phân tích, khai thác giúp cho học sinh có thói
quen, kỹ năng ln tìm nguồn gốc của bài tốn cũng như nhìn bài tốn dưới dạng
động, ln có ý thức tìm tịi, khai thác bài tốn nhiều khía cạnh. Từ đó hình thành,
phát triển tư duy và lập luận toán học cho HS.
1. Củng cố kiến thức liên quan và tiếp cận các dạng toán hình học khơng gian
bằng phương pháp vectơ từ đó hồn thiện phương pháp giải mỗi dạng
1.1. Một số kiến thức về vectơ trong không gian




, , ,


  


Quy tắc trừ:
, , , .

Quy tắc ba điểm:




.

 Quy
tắc hình bình hành: Tứ giác
.



  Qui tắchình





hộp:

là hình bình hành thì
   

Nếu








là trung điểm của


 

điểm bất kì trong không gian).
Nếu là trung điểm của
, là trung điểm của

 
 










là





hình


hộp
(

thì

là một

thì ta có



là trọng tâm của 




  


( là một điểm bất kì trong khơng gian).




    
là trọng tâm của tứ diện













 

( là một điểm bất kì trong khơng gian).





Nếu

trong khơng gian ta có

 thì với mọi điểm







.



  


cùng phương với
.

 


ta ln có









thẳng hàng    
 
 
 



 











 

với mọi điểm M

.

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi



và



cùng phương.
7


đó:










,




Cho ba vectơ
,





  





, ,

trong đó ,

là hai vectơ khơng cùng phương. Khi

đồng phẳng khi và chỉ khi có duy nhất các số thực
.
  

Cho ba vectơ , ,


 





 thì
  





,

,

.



,

,

sao cho















sao cho

là ba số thực mà

là ba vectơ khơng đồng phẳng thì với vectơ

Nếu , ,
tìm được các số
duy nhất.

khơng đồng phẳng. Nếu

,



bất kì, ta đều

. Hơn nữa các số

,

,

là

1.2. Phương pháp chung để giải các bài tốn hình học khơng gian bằng phương

pháp vectơ
Bước 1. Chọn 3 vectơ không đồng phẳng làm cơ sở.
Bước 2. Biểu diễn các vectơ cần tính tốn về hệ 3 vectơ cơ sở.
Bước 3. Dựa vào hệ thức biểu diễn ở trên ta tìm mối quan hệ giữa các vectơ
cần xét.
vectơ

Sau đây chúng tôi xin đưa ra một số bài toán HHKG giải bằng phương pháp

1.3. Một số bài tốn hình học khơng gian giải bằng phương pháp vectơ
Bài toán 1: Chứng minh 3 điểm
Phương pháp giải.
Cách 1. Ta chứng minh
Để nhận được
vectơ trung gian.








,





bất kì, ta có:











phân biệt thẳng hàng.


,

, ta có thể tính vectơ

Cách 2. Với điểm




,











và



Cho






và






.
thơng qua một tổ hợp





Hay , , thẳng hàng  



Bài tốn 2: Chứng minh ba vectơ đồng phẳng
Phương pháp giải.









khơng cùng phương. Khi đó










  



 

đồng phẳng

(Với m, n xác định duy nhất)

Bài toán 3: Chứng minh hai đường thẳng song song
Phương pháp giải.
Cho hai đường thẳng phân biệt

và

. Khi đó:









.
8


Bài toán 4: Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng
Phương pháp giải.
Cho hai vectơ
. Khi đó:

thuộc



khơng cùng phương thuộc mặt phẳng
(P) 











,

khơng

( x, y duy nhất ).

Bài tốn 5: Chứng minh hai mặt phẳng song song
Phương pháp giải.
Cho hai mặt phẳng phân biệt (ABC) và (MNP) .
Khi đó: (ABC)










 .
  





Bài toán 6: Chứng minh hai đường thẳng vng góc
Phương pháp giải.
Cho hai đường thẳng phân biệt
và . Để chứng minh đường thẳng
vng góc với đường thẳng ta có quy trình như sau:
Bước 1: Chọn bộ vectơ cơ sở, trên đường thẳng
và chọn hai vectơ
 
.
Bước 2: Biểu thị hai vectơ trên theo bộ vectơ cơ sở.
Bước 3: Xét tích vơ hướng


 

, nếu

 



thì kết luận

.

Bài tốn 7: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng
Phương pháp giải.
Cho đường thẳng và mặt phẳng (ABC) . Để chứng minh đường thẳng
vng góc với mặt phẳng (ABC) ta có quy trình như sau:
Bước 1: Chọn bộ ba vectơ cơ sở, trên đường thẳng
Bước 2: Biểu thị ba vectơ

  

Bước 3: Xét tích vơ hướng của


.



ta chọn ra một vectơ



theo bộ ba vectơ cơ sở.

với



và



 



, nếu  




thì

Bài tốn 8: Tính góc giữa hai vectơ
Phương pháp giải.


Góc  giữa hai đường thẳng
và
được tính theo cơng thức:

9


 

   

Bài tốn 9: Tính góc giữa hai đường thẳng
Phương pháp giải.
Góc  giữa hai đường thẳng
và
được tính theo cơng thức:
 
 

  
Bài tốn 10: Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Phương pháp giải.
Để tính góc giữa
và
ta thực hiện như sau
Đặt

cịn

 



 




 , gọi

là hình chiếu của
lên
 ,
  

 
Khi đó:



 

  

 


  

Do
nên  

 



 

  thì góc giữa
Nếu

và
bằng góc giữa
và

 

.
  thì







,

Bài tốn 11: Tính góc giữa hai mặt phẳng
Phương pháp giải.
Gọi

 

,

lần lượt là hai vectơ vng góc với hai mặt phẳng (P) , (Q) . Khi đó
 

góc  giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) được tính theo cơng thức

   

Bài tốn 12. Tính khoảng cách giữa hai điểm
Phương pháp giải.




Khoảng cách giữa hai điểm và là:
Bài toán 13: Tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Phương pháp giải.
Cho điểm
và đường thẳng  có vectơ chỉ phương
Tính khoảng cách từ
đến  .
Đặt







, gọi

là hình chiếu của



, điểm

thuộc  .

lên  .
10


PHỤ LỤC
Phụ lục 1. Một số hình ảnh triển khai đề tài

54


Phụ lục 2. Phiếu điều tra tính khả thi của các giải pháp trong đề tài đối với
giáo viên và học sinh
Thầy(Cơ) và các em vui lịng cho ý kiến về các vấn đề sau:
Đánh dấu X vào 1 trong 4 mức độ của thang đánh giá mỗi giải pháp
Thang đánh giá các giải pháp
TT

Các giải pháp

Khơng Ít khả Khả Rất
khả thi thi
thi khả thi

Củng cố kiến thức liên quan và tiếp cận
các dạng toán HHKG bằng phương pháp
1
vectơ từ đó hồn thiện phương pháp giải

mỗi dạng.
Rèn luyện các thao tác tư duy cho HS
2 thơng qua giải tốn HHKG bằng phương
pháp vectơ.
Phát triển năng lực tư duy và lập luận tốn
3 học cho HS thơng qua hướng dẫn HS sáng
tác bài toán mới.
Phát triển năng lực tư duy và lập luận
4 tốn học cho học sinh thơng qua vận
dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ

55


Phụ lục 3. Phiếu điều tra tính cấp thiết của các giải pháp trong đề tài đối với
giáo viên và học sinh
Thầy(Cơ) và các em vui lịng cho ý kiến về các vấn đề sau:
Đánh dấu X vào 1 trong 4 mức độ của thang đánh giá mỗi giải pháp

Thang đánh giá các giải pháp
TT

Các giải pháp

Khơng
Ít cấp Cấp
cấp
thiết thiết
thiết

Rất
cấp
thiết

Củng cố kiến thức liên quan và tiếp cận
các dạng toán HHKG bằng phương pháp
1
vectơ từ đó hồn thiện phương pháp giải
mỗi dạng.
Rèn luyện các thao tác tư duy cho HS
2 thơng qua giải tốn HHKG bằng phương
pháp vectơ.
Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán
3 học cho HS thơng qua hướng dẫn HS sáng
tác bài tốn mới.
Phát triển năng lực tư duy và lập luận
4 toán học cho học sinh thông qua vận
dụng phương pháp chuyển đổi ngôn ngữ

56


Phụ lục 4. Đề bài kiểm tra 45 phút lớp thực nghiệm và đối chứng
Bài 1. Cho lăng trụ tam giác
C' .

. Gọi

là trọng tâm tứ diện

sao cho
Bài 2. Cho hình chóp

. Tính

lần lượt là trung điểm của

đối xứng với

,

qua

,

thuộc

.
có

cosin của góc giữa hai đường thẳng













Tính

và

57