(Skkn rất hay) một số giải pháp giúp học sinh giải được một số bài toán trắc nghiệm về phương trình đường thẳng trong không gian oxyz

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƢỜNG THCS & THPT NHƢ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH GIẢI ĐƢỢC MỘT SỐ
BÀI TOÁN TRẮC NGHIỆM VỀ PHƢƠNG TRÌNH ĐƢỜNG THẲNG

sk

kn

TRONG KHƠNG GIAN OXYZ

MỤC LỤC

Ngƣời thực hiện: Trịnh Thị Hiếu
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực (môn): Tốn

THANH HỐ NĂM 2023


MỤC LỤC
1. Mở đầu.............................................................................................................1
1.1. Lý do chọn đề tài..........................................................................................1
1.2. Mục đích nghiên cứu.....................................................................................2
1.3. Đối tƣợng nghiên cứu....................................................................................2
1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu.............................................................................2
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm...................................................................2

2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.......................................................2
2.2. Thực trạng vấn đề trƣớc khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.....................3
2.3. Một số giải pháp giúp học sinh giải đƣợc một số bài tốn trắc nghiệm về
phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng gian Oxyz.............................................3
2.3.1. Các kiến thức cơ bản...................................................................................3
2.3.2. Một số giải pháp giải bài tốn trắc nghiệm về phƣơng trình đƣờng thẳng
trong khơng gian Oxyz........................................................................................4
Giải pháp 1: viết phƣơng trình đƣờng thẳng Δ đi qua điểm A , cắt và vng góc
đƣờng thẳng d...............................................................................................4
Giải pháp 2: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm A , song song mặt

sk

phẳng  P và cắt đƣờng thẳng d  ..................................................................... 6

kn



Giải pháp 3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm A , vng góc
đƣờng thẳng

d1 và cắt đƣờng thẳng d 2 ............................................................................................................................................8

Giải pháp 4: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm A và cắt hai đƣờng
thẳng

d1 , d 2 ...................................................................................................................................................................................................................................10

Giải pháp 5: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  song song đƣờng thẳng d và

cắt cả hai đƣờng thẳng
d1

và d2 ……………………………………………….13

Giải pháp 6: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d vng góc mặt phẳng  P và cắt



hai đƣờng thẳng

d1 , d2...................................................................................................................................................................... 16

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trƣờng........................................................................17
3. Kết luận và kiến nghị....................................................................................18
3.1. Kết luận.......................................................................................................18
3.2. Kiến nghị......................................................................................................18


TÀI LIỆU THAM KHẢO................................................................................20

kn

sk


1
1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài

Trong dạy học bộ mơn ở trƣờng THPT ngồi việc giúp cho học sinh nắm
vững kiến thức cơ bản, giáo dục chính trị tƣ tƣởng, phẩm chất đạo đức cho các
em, ngƣời giáo viên còn phải giúp cho các em năng lực nhận thức.
Sự yếu kém của học sinh 12 trong vấn đề giải tự luận khi học đến chƣơng
phƣơng pháp tọa độ trong khơng gian (chƣơng 3 hình học 12), nhiều học sinh
nhất là học sinh trung bình và yếu thƣờng gặp nhiều khó khăn khi giải các bài
tốn về phƣơng trình đƣờng thẳng trong không gian. Học sinh thƣờng không
biết phải từ đâu và làm nhƣ thế nào để giải đƣợc. Đặc biệt trong tình hình thi
trắc nghiệm mơn tốn nhƣ hiện nay thì việc tìm ra kết quả của bài tốn nhanh,
chính xác là hết sức quan trọng. Vì thế việc hƣớng dẫn cho học sinh, nhất là học
sinh trung bình và yếu giải đƣợc một số bài tốn về phƣơng trình đƣờng thẳng
trong khơng gian sao cho có kết quả nhanh mà chính xác là rất cần thiết. Từ đó
mới giúp đƣợc các em có điểm số tốt trong các kỳ thi học kỳ và thi tốt nghiệp.

sk

kn

Với nhu cầu đó tơi viết sáng kiến “Một số giải pháp giúp học sinh giải đƣợc
một số bài toán trắc nghiệm về phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng gian
Oxyz”. Nhằm giúp các em học sinh nhất là học sinh trung bình và yếu giải đƣợc
đúng đáp số bài toán một cách nhanh chóng, chỉ cần các em chịu khó nhớ cơng
thức và kết hợp bấm máy tính nhanh.
Năm học 2022-2023 nhà trƣờng phân công tôi giảng dạy hai lớp: 12A và
12C, cả 2 lớp là ban xã hội, đa số các em học yếu mơn tốn, bằng cách dạy cho
các em nắm đƣợc cơ sở lý thuyết, trên cơ sở có sự hổ trợ của máy tính. Tơi thấy
kết quả so sánh giữa làm tự luận thông thƣờng so sử dụng những cơng thức
nhanh tơi cung cấp trong sáng kiến có sự chênh lệch đáng kể, theo chiều hƣớng
điểm số tốt hơn (cụ thể kết quả tôi nêu ở mục kết quả nghiên cứu). Vì thế năm
nay tơi viết đề tài này, với mong muốn giúp các em học sinh nhất là học sinh

trung bình và yếu có thể đạt đƣợc điểm tốt trong kỳ thi tốt nghiệp 2022-2023 sắp
tới.


2

kn

sk

1.2. Mục đích nghiên cứu
Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối lớp 12 ở trƣờng
THPT, cùng với kinh nghiệm trong thời gian giảng dạy. Tơi đã tổng hợp, khai
thác và hệ thống hố lại các kiến thức thành một chuyên đề giúp học sinh giải
đƣợc một số bài toán trắc nghiệm về phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng
gian Oxyz.
Qua nội dung của đề tài này tôi muốn bồi dƣỡng cho học sinh về phƣơng
pháp, kỹ năng giải nhanh, kỷ năng thử đáp án ngƣợc trong một số bài tốn về
phƣơng trình đƣờng thẳng trong không gian Oxyz. Hy vọng với đề tài nhỏ này
sẽ giúp các bạn đồng nghiệp cùng các em học sinh có một cái nhìn tồn diện
cũng nhƣ phƣơng pháp giải một lớp các bài tốn về Phƣơng trình đƣờng thẳng
trong khơng gian Oxyz.
1.3. Đối tƣợng nghiên cứu.
Phƣơng trình đƣờng thẳng trong không gian Oxyz. Nội dung nằm ở sách
giáo khoa Hình học 12. Xây dựng các bài tốn về viết phƣơng trình đƣờng thẳng
trong khơng gian Oxyz và các giải pháp giúp học sinh khắc phục sai lầm trong
giải phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng gian Oxyz.
1.4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Phương pháp:
- Nghiên cứu lý luận chung.

- Khảo sát điều tra từ thực tế dạy và học.
- Tổng hợp so sánh, đúc rút kinh nghiệm.
Cách thực hiện:
- Trao đổi với đồng nghiệp, tham khảo ý kiến giáo viên cùng bộ môn.
- Thông qua việc giảng dạy trực tiếp ở các lớp khối 12 trong năm học.
- Thời gian nghiên cứu Năm học 2022– 2023.
2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
Nhiệm vụ trung tâm trong trƣờng học THPT là hoạt động dạy của thầy và
hoạt động học của trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo
nhân lực, bồi dưỡng nhân tài”. Giúp học sinh củng cố những kiến thức phổ
thông đặc biệt là bộ môn tốn học rất cần thiết khơng thể thiếu trong đời sống
của con ngƣời. Mơn tốn là một mơn học tự nhiên quan trọng và khó với kiến
thức rộng, đa phần các em ngại học mơn này.
Muốn học tốt mơn tốn các em phải nắm vững những tri thức khoa học ở
mơn tốn một cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào từng dạng
bài tập. Điều đó thể hiện ở việc học đi đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tƣ


3
duy logic và cách biến đổi. Giáo viên cần định hƣớng cho học sinh học và
nghiên cứu mơn tốn học một cách có hệ thống trong chƣơng trình học phổ
thơng, vận dụng lý thuyết vào làm bài tập, phân dạng các bài tập rồi tổng hợp
các cách giải.
Do vậy, tôi mạnh dạn đƣa ra sáng kiến kinh nghiệm này với mục đích
giúp học sinh giải đƣợc một số bài tốn trắc nghiệm về phƣơng trình đƣờng
thẳng trong khơng gian Oxyz.

kn

sk

2.2. Thực trạng vấn đề trƣớc khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Qua quá trình giảng dạy lớp 12 nhiều năm ở Trƣờng THPT & THCS
Nhƣ Xuân tôi thấy học sinh thƣờng lúng túng trƣớc một bài toán trắc nghiệm
về phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng gian Oxyz, chƣa hệ thống đƣợc kiến
thức, khơng định đƣợc hƣớng giải quyết, vì thế tôi đã hệ thống một số dạng bài
tập yêu cầu học sinh phải nắm vững và từ đó có thể giải đƣợc bài tốn đã nêu.
Lúc này vai trị của ngƣời giáo viên là rất quan trọng, phải hƣớng dẫn chỉ
rõ cho học sinh phƣơng pháp giải từng dạng toán, nên giải nhƣ thế nào cho hợp
lý đối với từng loại toán để đƣợc một bài toán đúng biến đổi đúng và suy luận
có logic tránh đƣợc các tình huống rƣờm rà phức tạp dễ mắc sai lầm. Trên cơ sở
đó hình thành cho học sinh kỹ năng tốt khi giải quyết các bài tốn về phƣơng
trình đƣờng thẳng thẳng trong không gian Oxyz.
2.3. Một số giải pháp giúp học sinh giải đƣợc một số bài toán trắc nghiệm về
phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng gian Oxyz
Qua nghiên cứu trao đổi và đúc rút kinh nghiệm từ thực tế và ý kiến của
đồng nghiệp tôi mạnh dạn đƣa ra hƣớng giải quyết các vấn đề trên của học sinh
với những giải pháp cụ thể giúp học sinh khắc phục những sai lầm trên và qua
đó rèn luyện kĩ năng giải các bài tồn về phƣơng trình đƣờng thẳng trong khơng
gian Oxyz.
2.3.1. Các kiến thức cơ bản
Trƣớc tiên học sinh phải nắm thật kĩ các kiến thức cơ bản sau:
1. Sự liên hệ giữa cặp vectơ chỉ phƣơng (VTCP) và vectơ pháp tuyến (VTPT):
Đƣờng thẳng d có cặp vectơ pháp tuyến

a, b

thì d có vectơ chỉ phƣơng

u   a,b  .



a) Đƣờng thẳng d vng góc với hai đƣờng thẳng

d1 và d2 lần lƣợt có VTCP

a và b thì đƣờng thẳng d có vectơ chỉ phƣơng u   a,b  .


4
b) Đƣờng thẳng d vng góc với đƣờng thẳng

d1 có VTCP a và song song

mặt phẳng  P  có VTPT n , thì đƣờng thẳng d có vectơ chỉ phƣơng u  a, n  .
c) Đƣờng thẳng d song song với hai mặt phẳng  P  và Q (Với  P và Q 





là hai mặt phẳng phân biệt khơng song song nhau ) lần lƣợt có VTPT n2 và n2
thì đƣờng thẳng d có vectơ chỉ phƣơng u  n1, n2  .
x  x0  a1t

y  0  a2t ,  t 
a t
y

zz

2. Phƣơng trình tham số của đƣờng
thẳng:



Trong đó

3

M o  x0 ; y0 ; là điểm thuộc đƣờng thẳng và a  (a1;a2 ;a3 ) là VTCP

kn

sk

z0 

của đƣờng thẳng.

3. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng
thẳng:
Trong

0

.

đó

M o  x0 ; y0 ;

là

x  x0 y  y0 z  z0


a1
a2
a3

điểm

thuộc

đƣờng

thẳng

và

z0 

a  (a1 ;a 2 ;a 3 ),  a1.a 2 .a 3 
0

là VTCP của đƣờng thẳng.

2.3.2. Một số giải pháp giải bài tốn trắc nghiệm về phƣơng trình đƣờng

thẳng trong khơng gian Oxyz
Giải pháp 1: viết phƣơng trình đƣờng thẳng Δ đi qua điểm A , cắt và vng
góc đƣờng thẳng d
Phƣơng Pháp
a) Cách tự luận
Cách 1:
- Viết pt mp P




5
- Tìm giao điểm

qua A và vng góc d  ,
B   P   d ,

- Đƣờng thẳng cần tìm đi
qua

A, B .

Cách 2:
- Gọi B    d , B thuộc d nên viết đƣợc tọa độ B theo tham số t ,
- Giải phƣơng trình AB.u  0 , ta tìm đƣợc tham số t , suy ra đƣợc toạ độ B ,
d

kn

sk

6
- Viết phƣơng trình  đi qua A và có vec tơ chỉ phƣơng AB .
b) Cách thử đáp án ngƣợc
Bƣớc 1: Kiểm tra ý đƣờng thẳng đi qua điểm A .
Bƣớc 2: Kiểm tra ý  vng góc d (tức cần u
.ud

 0 ).

Bƣớc 3: Kiểm tra ý  cắt d (tức cần  u ,u  .AM  0,(A , M d) ).
  d 
Lưu ý: Nếu có
Bài tập

 u ,ud  .AM  0, suy ra  và d chéo nhau, loại đáp án đó.



Câu 1. Đƣờng thẳng d đi qua điểm

A1; 2; 2  , đồng thời vng góc và cắt

đƣờng thẳng Δ: x  y 1  z có tọa độ vectơ chỉ phƣơng là
1
1
2
A. 1;1;

B. 1; 1;1

1

1;1;1

kn

sk

VTCP của

Lời giải

D. 1; 1; 0 

C.

:
u

VTCP của d : ud

 1;1; 2 ,
lấy

M 0;1;0  AM  1;1; 2.
,

 u ,  u , AM     8; 8;8  8 1;1;1 .Vậy chọn đáp



ánA


Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho đƣờng thẳng
2
d:

x 1
2

y z
 
1
3

và điểm A1; 1; 3 . Phƣơng trình chính tắc của đƣờng

thẳng  đi qua A , vng góc và cắt đƣờng thẳng d là
x 1
x 1
A.  :
 y1 z
B.

:
 y1 z3
3



1
1
1
2
1
3
x 1
x 1
C.  :
 y1 z
D.

:
 y1 z3
3


2
1
1
1
4
2
Lời giải
a) Cách giải tự luận

Gọi H là giao điểm giữa
đƣờng thẳng

7


x  1  2t d :  y  t
 z  2  3t

và đƣờng
thẳng 

kn

sk


8
H 1  2t;t; 2  3t   d  AH  2t;t 1; 3t 1 . Vì đƣờng thẳng d vng góc
1
284
.
với đƣờng thẳng  nên AH.u  0  t  , AH 
;
;
d


7
7
7
7



7
Đƣờng thẳng  đi qua A1; 1;
và nhận u  AH  1; 4; làm vectơ chỉ
2 2
3
phƣơng. Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng  là:  : x 1  y  1  z  3 .
1
4
2
Vậy chọn đáp án D.
b) Cách thử đáp án ngƣợc
- Trƣớc tiên kiểm tra ý đƣờng thẳng ∆ đi qua điểm A, cả 4 đáp án đều có nên
khơng loại đƣợc đáp án nào.
- Kiểm tra ý  vng góc d (tức cần

u .u  0 ). Do tọa độ VTCP của  chƣa
d

máy tính nhƣ sau 2X  Y  3A

kn

sk

có nên ta giả sử tọa độ VTCP của  là  X ;Y ; A, VTCP ud  2;1; 3. Ta bấm
sau đó nhấn CALC nhập

X ,Y , A là tọa độ

VTCP ở 4 đáp án, Cụ thể:
Kiểm tra đáp án A nhấn CALC:
 2,Y  1, A  3 kết quả 14 ≠ 0 nên loại đáp án A
X
 1,Y  1, A  1 kết quả 0 = 0, tạm nhận đáp án B
Kiểm tra đáp án B nhấn CALC:
X
Kiểm tra đáp án C nhấn CALC:

X  2,Y  1, A  1 kết quả 0 = 0 nên tạm nhận

đáp án C.
Kiểm tra đáp án D nhấn CALC: X  1,Y  4, A  kết quả 0 = 0 nên tạm nhận đáp
2
án D.
- Phải kiểm tra tiếp ý  cắt d (tức cần

 u ,ud

 .AM


 0, A , M  d . Nhập

máy tính tính thì chỉ có đáp án D là có kết quả là 0, nên ta chọn đáp án D.
Giải pháp 2: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm A , song song
mặt phẳng  P Phƣơng pháp



9
và cắt đƣờng

thẳng d 

a) Cách giải tự luận

kn

sk


10
Cách 1:
- Viết pt mp  Q
- Tìm

 đi qua A và song song với  P 

B  Q  d 

- Đƣờng thẳng cần tìm đi qua 2 điểm A, B .
Cách 2:
- Gọi M  d  d  . B thuộc d  nên viết đƣợc tọa độ B theo tham số t
- Do

d//

nên giải phƣơng trình AM .nP  0 , ta tìm đƣợc tham số t , suy ra

P

tìm đƣợc M .

- Viết phƣơng trình d đi qua A và có vec tơ chỉ phƣơng AM .
b) Cách thử đáp án ngƣợc
Bƣớc 1: Kiểm tra ý đƣờng thẳng đi qua điểm A .

kn

sk

Bƣớc 2: Kiểm tra ý d song song mp P  (tức
cần

nP .u  0 ).
d

Bƣớc 3: Kiểm tra ý d cắt d  (tức cần kiểm tra:  u ,u
 d d
 .AM
Bài tập

Câu 3. Cho đƣờng thẳng
điểm

 0, A d, M  d  .

x 1 y  3 z
d : 1  3  2 và mp ( ) : x  y  z  5  0 và

A1; 2; 1 . Đƣờng thẳng  đi qua A cắt d và song song với mp  có

phƣơng trình là
A.
C.

x 1
3

x 1
1





y2
4

y2
2





z1

2

B.

x 1 y  2 z  1
1  2  1

D.

x 1 y  2 z  1
3  4  7

z1
1
Lời giải

a) Cách giải tự luận
Gọi



P

là mặt phẳng đi qua điểm

A1; 2;
1

và song song với mp  nhận

11
n   1;1; 1 làm vec tơ chỉ phƣơng. Phƣơng trình mp  P  : x  y  z  4  0 .

kn

sk


12
Gọi  Q



A1;2;

là mặt phẳng đi qua điểm

và chứa đƣờng thẳng d . Lấy

1

M (1; 3;0)  d,
AM

 0; 5;1 . Mặt phẳng Q

 nhậnn

Q

 ud , AM 

 13; 1; 5 làm vectơ pháp tuyến. Phƣơng trình Q :13x  y  5z  16  0 .

Đƣờng thẳng    P    Q  nên VTCP của  :
  n , n    6;8;14
u
P Q 
 

 23; 4; 7  . Vậy Phƣơng
trình

:



x 1

y2

3



4

z1

 

. Ta chọn đáp án D.

7

b) Cách thử đáp án ngƣợc
- Kiểm tra ý đƣờng thẳng đi qua điểm A : cả 4 đáp án đều thỏa nên không loại
đƣợc đáp án nào.
- Kiểm tra ý d song song mp

 (tức cần



d

kn

sk

n .u  0 ). Do tọa độ VTCP của d

chƣa có nên ta giả sử tọa độ VTCP của d là  X ;Y ; A  , VTPT n   1;1; 1 . Ta
bấm máy tính nhƣ sau X  Y  A

sau đó nhấn CALC nhập X ,Y , A là tọa độ

VTCP ở 4 đáp án, Cụ thể:
Kiểm tra đáp án A nhấn CALC: X

án A.
Kiểm tra đáp án B nhấn CALC:
B.

 3,Y  4, A 
2

kết quả -3 ≠ 0 nên loại đáp

X  1,Y  2, A  kết quả 2 ≠ 0 nên loạ đáp án
1

Kiểm tra đáp án C nhấn CALC:

X  1,Y  3, A  kết quả 0 = 0 nên tạm nhận đáp
4
án C.
Kiểm tra đáp án D nhấn CALC:  3,Y  4, A  kết quả 0 = 0 nên tạm nhận đáp án
X
7
D.
- Ta kiểm tra tiếp ý đƣờng thẳng 
 u ,ud

 .AM


đi qua

A

cắt d (tức cần

 0, A, M  d ). Nhập máy tính tính thì chỉ có đáp án D là có kết

quả là 0 nên ta chọn đáp án D.


13
Giải pháp 3: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm A , vng góc
đƣờng thẳng

d1 và cắt đƣờng thẳng d2

kn

sk


14
Phƣơng pháp
a) Cách giải tự luận
Cách 1:
- Viết pt mp (P) qua A và vng góc d1
- Tìm giao điểm B   P   d2
- Đƣờng thẳng cần tìm đi
qua

A, B .

b) Cách thử đáp án ngƣợc
Bƣớc 1: Kiểm tra ý đƣờng thẳng đi qua điểm A .
Bƣớc 2: Kiểm tra ý d vng góc đƣờng thẳng d (tức cần u .u 1  0 ).
1
d d
Bƣớc 3: Kiểm tra ý d cắt
Bài tập

d2 (tức kiểm tra:  ud ,u 2 .AM  0, A d, M  d2 ).

d

sk
d1:

x 1

kn

Câu 4. Cho hai đƣờng thẳng

3



y 1 z
5 
1

x  1  t


và d2 :  y  6  t . Đƣờng
 z  2 

t

A3;1;0  , vng góc với đƣờng thẳng d1 và cắt d2 có

thẳng  đi qua điểm
phƣơng trình là
x3
z
A. 19  y 1

16 23
x3
C.
 y 1 z


B.

D.


1

3

2

x3
2

y 1 z
1  1
y 1

x3
2

1



z

3

Lời giải
a) Cách giải tự luận
Phƣơng trình mặt phẳng  P đi qua điểm A và vng góc đƣờng thẳng d
1



3 x  3  5  y 1  z  0  3x  5 y  z  14  0


15

Tìm giao điểm

B  P

Đƣờng thẳng  đi qua

  d2  B 22; 15; 23  .
A, B có VTCP u  AB  19; 16; 23 .

kn

sk


16
Vậ
y

:

z
x  3 y 1
16  23 .

19

b) Cách thử đáp án ngƣợc
Bƣớc 1: Kiểm tra ý đƣờng thẳng  đi qua điểm A . Ta không loại đƣợc đáp án
nào.
Bƣớc 2: Kiểm tra ý  vng góc đƣờng thẳng

d1

(tức cần u .ud  0 )
1

Lƣu ý: Ở bƣớc này để kiểm tra nhanh ta cần xem VTCP u  của  ở mỗi đáp
án có tọa đơ  X ;Y ; A  , với VTCP ud  3;5; 1
Ta bấm máy 3X  5Y 
A
độ VTCP

1

sau đó nhấn phím CALC ở máy tính nhập lần lƣợt tọa

X  ?,Y  ?, A  của đƣờng thẳng  ở mỗi đáp án. Khi đó đáp án A
?

kn

sk

và B cho kết quả 0. còn đáp án C và D cho kết quả khác 0. Nên ta tạm nhận
đƣợc các đáp án A và B, loại đƣợc C, D.
Bƣớc 3: Kiểm tra ý  cắt d2 (tức kiểm tra:  u , .AM  0, A, M  d ).
2
  
ud
Ta chọn đƣợc đáp án A.
2

Giải pháp 4: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d đi qua điểm A và cắt hai
đƣờng thẳng

d1 , d 2

Phƣơng pháp
a) Cách giải tự luận
- Viết phƣơng trình mặt phẳng  P đi qua điểm A và chứa đƣờng thẳng d1



- Tìm

B   P   d2 .

- Đƣờng thẳng cần tìm đi
qua

A, B .

b) Cách thử đáp án ngƣợc
Bƣớc 1: Kiểm tra ý đƣờng thẳng d đi qua điểm A .
Bƣớc 2: Kiểm tra ý d cắ

1


17
d1 (tức kiểm tra:

Bƣớc 3: Kiểm tra ý d cắt
Bài tập

 .
d ,u


u


AM

 0, với A  d, M  d1 ).

d

d 2 (tức kiểm tra:  ud ,ud

 .AM


2

0,
với

A d, N  d )

kn

sk
2


18
Câu 5. Viết phƣơng trình đƣờng thẳng d qua
x  1  t
x y 1 z  1

d
:

, d2 :  y  2  t .
thẳn

3
1
 z  1  3t
1
g
1

x  1  u

A.  y  2  u .
z  3


x  1  3u

B.  y  2 


A1;

và cắt cả hai đƣờng

2;3

x  1

C.  y  2  2u .
z  3  3u


u
z  3  u


x  1

D.  y  2  2u .
z  3  u


Lời giải
a) Cách giải tự luận
VTCP u

1

d

 1;

1;3,

Phƣơng trình mp

A1;

2;3

n  ud , AM   5;1; 2
là:



và chứa đƣờng thẳng d1 có VTPT:

kn

đi
qua

AM  1;3; 4.

sk

P

M  0;1; 1 
d1 ,

5x  y  2z  1  0 .

1

Tìm

B   P   d 2  B 1; 2;1 .

Đƣờng thẳng d đi qua A, B có VTCP u  AB  0; 4; 2
Phƣơng trình tham số d là

x  1

 y  2  2u .
z  3  u


hay u  0; 2;1 .

Vậy chọn đáp án D.

b) Cách thử đáp án ngƣợc
- Kiểm tra ý đƣờng thẳng d đi qua điểm A . Ta không loại đƣợc đáp án nào.
- Kiểm tra ý d cắt d1 (tức kiểm tra
u ,u .AM  0, với A1; 2;3  d ,


M  0;1; 1  d1 ).

+ Kiểm tra đáp án A ta
có:

d

d
1



 ud ,ud  .AM  4  nên loại đáp án A.


0,
1


19
+ Kiểm tra đáp án B ta
có:

+ Kiểm tra đáp án C ta
có

 ud ,ud

 .AM



 4  0, nên loại đáp án B.

1

 ud ,ud

 .AM


 8  0, nên loại đáp án C.

1

kn

sk


20
Câu 6. Biết đƣờng thẳng  đi qua điểm

A1;0;1 và cắt cả hai đƣờng thẳng sau

x  1 
x  t
2t d :  y  t và d  :  y  1  2t  . Phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng là:

z  t



z  2  t
A.

x1 y z1
.
 
6
3
4

C.

x 1
y
z 1
6 

3 4 .

B.

x 1 y z 1
.
 
6
3
4
x 1

D. 
Lời giải

6

y z 1
3 4 .

a) Cách giải tự luận
VTCP ud

 2;1;
1 ,



đi qua điểm A1;

sk

Phƣơng trình mp P

M 1; 0; 0   AM  (0;0; 1) .
d,

và chứa đƣờng thẳng d có VTPT

kn

0;1

n   ud , AM    1;


2;0 

là: x  2 y  1  0 .

3 9
 1
. Đƣờng thẳng  đi A, B có VTCP:
Tìm B   P   d   B  ;  ;
qua


5 55


6 3 4
u  BA  ; ; 
có phƣơng trình chính tắc là:

 hay u  6;3;

4
5 5 5

x 1
6



y
3



z 1

. Vậy chọn đáp án B.

4

b) Cách thử đáp án ngƣợc
- Kiểm tra ý đƣờng thẳng  đi qua điểm A . Thay tọa độ điểm A vào 4 đáp án ta
thấy đáp án A và đáp án D không thỏa bằng nhau tức đƣờng thẳng  không đi
qua A nên loại đƣợc đáp án A và D.
- Kiểm tra ý  cắt đƣờng thẳng d và d ' ở hai đáp án B và C (tức kiểm tra


21
 u ,ud

 .AM


 0 với A1; 0;1  , M(1; 0; 0) d ).

+ Kiểm tra  đáp án B cắt d ta có:

 u ,ud

+ Kiểm tra  đáp án B cắt d  ta có:  .AM

 u ,ud

 .AM


 0 nên  cắt d .
 0 nên  cắt d  .

kn

sk


22
Vậy chọn đáp án B.
Giải pháp 5: Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  song song đƣờng thẳng d và cắt
cả hai đƣờng thẳng

d1 và d2

Phƣơng pháp

a) Cách giải tự luận
-  / /d

nên VTCP

u  ud

- Viết phƣơng trình mp
P
- Tìm

.
song song d và chứa d1 .

A   P   d2 .

- Viết phƣơng trình  qua A có VTCP u  .
b) Cách thử đáp án ngƣợc
Bƣớc 1: Kiểm tra ý đƣờng thẳng  song song đƣờng thẳng d . VTCP

kn

sk

u   a;b;c ,
u  (m; n; p) .
VTCP
d
a b c
Nếu có   (m, n, p  0)
hoặc u ,ud 
0
m n p

hoặc u  kud (k 
0)

thì ∆

song song d hoặc ∆ trùng d .
Bƣớc
2: Kiểm tra ý ∆
cắt
d1 (tức kiểm tra u
.AM  0 với A , M  d ).
,ud
1


Bƣớc 3: Kiểm tra ý d cắt d 2 (tức kiểm tra: u ,ud  .AN  0 với A, Nd ).
1

2



Bài tập
x  1

2



x 1
2

Câu7. Cho các đƣờng thẳng d :  y  2  4u d1 :

1
,
z  1  u

d:
2

x4
5



y7
9

y
4

z2


3

,

z
 . Gọi  là đƣờng thẳng song song với d và cắt hai đƣờng
1

thẳn d1 , d2 . Phƣơng trình  là
g